Натурал саннан бөлшекті азайту
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ТАРАУ 1. ЖАЙ БӨЛШЕКТЕР ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДАҒЫ
ДӘСТҮРЛІ ӘДІС-
ТӘСІЛДЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ..
1.1 Бөлшектердің шығу
тарихынан ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.2 Жай бөлшектерге қолданылатын арифметикалық
амалдар ... ... ... ... ..
1.3 Мектеп математика курсындағы Жай бөлшектер
тақырыбының
мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .
ТАРАУ 2. ЖАЙ БӨЛШЕКТЕР ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДАҒЫ
ПРАКТИКАЛЫҚ
НЕГІЗДЕМЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... .
2.1 Мектеп математика курсында жай бөлшектерді оқытудың
әдістемесі ... ...
2.2. Жай бөлшектер тақырыбының оқушылардың
математикалық қабілеттерінің дамуына әсер ету
диагностикасы ... ... ... ..
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ДЕРЕКТЕР
КӨЗІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе.
Білім берудің қазіргі талабы – анық ашықтың кейпі, яғни тұлғаның жан-жақты
іс-әрекеттік қабілетін кеңейтіп, оның құзырын арттыру, жалпы өмірлік және
кәсіби құзырын дамыту және қалыптастыру. Жалпы білім беру саласының алдына
қойылған осы мақсат ең алдымен бірінші кезекте математикалық білім беру
сапасын арттыру мәселелеріне келіп тірелетіні баршаға анық.
Ежелгі замандардан бері математиканың алар орны, оның ғылым мен техниканың
қарқанды дамуына қосар үлесі, жас жеткіншектерді тәрбиелеудегі маңыздылығы
аз айтылған жоқ. Олай болса, ең алдымен мектептегі математиканы оқытудың
негізгі мақсаты:
• Математика – ғылым болмысынан балама ұғымдар. Сондықтан да
математика барлық ғылымдардың логикалық негізгі күре тамыры ретінде
қарастырылады;
• Математика – ең алдымен оқушылардың дұрыс ойлау мәдениетін
қалыптастырады, дамытады және оны шыңдай түседі;
• Математика - әлемде болып жатқан түрлі құбылыстарды, жаңалықтарды
дұрыс қабылдап,түсінуге көмектеседі;
Оқушының математикаға ынтасын дамыту мұғалімнің негізгі мақсаты болып
табылады.Оқушының пәнге қызығушылығы – оның табысты да, түбегейлі игерудің
негізгі шарты.
Пәнге танымдық қызығушылықтиы дамытудың үш шарты бар:
Біріншісі – мазмұнның жаңғыртылуы, бұрын жария етілген фактілерді жаңаша
сипаттау, хабарлап отырған материалға тарихи бағдар беру, ілімін
практикалық мәнін ашып көрсету және ғылымның соңғы жаңалықтарын, табыстарын
жүйелі баяндау;
Екіншісі - өз бетінше жұмыс істеудің әрқилы түрлерін, оқытудың проблемалық
тұрғыда қолға алған материалды зерттеу негіздеріне және оқушының
шығармашылық, практикалық жұмыстарына бағытталған оқыту тәсілдері;
Үшіншісі – оқуының қабілетін ұштау, мұғалімнің оқушыға көмек беруге дайын
тұруы, олардың мүмкіндіктеріне қолдау көрсету қабілеті, талап қоюшылдығы
мен адалдығы, балаларды көтермелей білу, сондай – ақ оқушылардың өзара
бәсекелесіне көмек көрсете білу қасиеті оқушы назарын аударатын ойына
түрткі болатын математика туралы қызғылықты материалдар, әртүрлі тартымды
есептар, математикалық софизмдер мен ойындар сабақ үстінде өзінің орнын
табу керек. Мұндай есептер оқушыларды математикаға деген ынта ықыласын
арттырып, есептерді өздігінен шешуге итермелейді, логикалық ой өрісін
дамытады.
Қызғылықты есептер мен математикалық ойындар, әсіресе, бесінші және алтыншы
сынып оқушылары үшін пайдалы.
Оқушылар бір сарынды есеп шығарудан шаршамас үшін әртүрлі математикалық
жарыстар, ойындар ұйымдастырған жөн.
Әр мұғалімнің негізгі мақсаты – сабақ сапасын көтеру.Оқушылардың сабаққа
деген қызығушылығын арттыру, олардың ізденімін, танымын қалыптастыру.
Міне, сондықтан математикалық білімдерін бастауыш сыныптан бастап, орта
буыннан бастап дұрыс қалыптастыру керек.Орта буын математикасы бөлшектер
түсінігімен басталады.Ал, бұл ұғымды дұрыс меңгеру үшін бастауыш
сыныптардағы бөлік ұғымы жақсы меңгерілуі керек. Яғни бастауыш сыныптан
келген оқушы бөлшек тақырыбын өту барысында бөлік ұғымын таныс, онымен
жұмыс істеуді білулері керек. Ал, бөлшек ұғымын жақсы меңгерген оқушының
математикаға деген қабілеті артып,қалған тақырыптарды меңгеруге көмек
береді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты:
Жай бөлшектер тақырыбын оқушыларға жеткілікті түрде меңгеру, дұрыс
қалыптастыру үшін қолданылатын әдіс-тәсілдерді көрсету.
Тақырыптың өзектілігі:
Жай бөлшектер тақырыбын дұрыс меңгеру арқылы математикалық білімді жақмы
қалыптастыру.
Дипломдық жұмыстың құрлымы:
Жұмыс кіріспе, негізгі бөлімде теориялық және практикалық бөлім және
қорытындыдан тұрады.
Негігі теориялық бөлімде жай бөлшектердің шығу тарихы, әр елдерде жазылуы,
мектеп курсында берілетін анықтаалар, бөлшектерге амалдар қолдану туралы
жаөылса, екінші практикалық бөлімде мұғалімдердің тәжірибесінен алынған
сабақтар конспектісі, факультатив сабақтар конспектілері келтірілген.
Қорытында бөлімі бөлшектер тақырыбының маңызы талданған.
ТАРАУ І. Жай бөлшектер тақырыбын оқытудағы дәстүрлі әдістер.
1. Жай бөлшектердің пайда болу тарихынан.
Бөлшектер ежелден пайда болған. Ерте кезде адамдарға сауда- саттық
олжаны бөлгенде, ұзындықты өлшегенде және түрлі есептеу жұмыстарында
бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада
бөлшектерді сынық сандар деп атаған. Бөлшектер туралы түсініктің дамуында
үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан:
➢ Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
➢ Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген
бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері
ғана болған.
➢ Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да, бөлімі
де кез келген натурал сан болды.
Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында
көптеген қиындықтар туғызды. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда – саттық
жұмыстары өркендеген елдерде: Мысырда. Вавилонда, Үндістанда және Римде
қалыптасты.
Ежелгі Мысырлықтар 2 затты 3 адамға қалай бөлетінін ертеректер білген
,
саны арнайы белгілі болған. Барлық ; ;; бөлшектерді
алымында бірлік
болса, алымында бірлігі жоқ бөлшек египеттерде жалғыз ғана болған. Егер
мысырлыққа барлық бөлшекті қолдану керек болса, онда ол негізгі
бөлшектердің қосындысы түрінде көрсеткен. Мысалы, орнына
жазатын, кейде бұлай жазу ыңғайлы болатын. Ахмеса папирусында мынадай есеп
бар: 7 нанды 8 адамға бөліп беру. Егер әрбір нанды 8 бөлікке бөлу қажет.
Ал Мысырлықша бұл есеп былайша шешіледі: бөлшек санын бөліктер
түрінде былай жазады: . Яғни әрбір адам үшін жарты нан, төрттен бір
нан, сегізден бір нан беру керек; сондықтан төрт нанды жартыдан, екі нанды
төрт бөлікке, ал бір ананды сегіз бөлікке бөлгеннен кейін әр адам өзінің
бөлігін ала алады.
Бірақ мұндай бөлшектерді қосу ыңғайсыз болды. Өйткені екі қосылғышқа
бірдей бөліктер енуі мүмкін, сонда қосу кезінде түріндегі бөлшек
пайда
болады. Ал мысырлықтар мұндай бөлшектердің болуына рұқсат етпеді.
Сондықтан, Ахмеса папирусы -ден -ға дейінгі бөлшектер қосынды
түрінде берілген кестеден басталады. Осы кестенің көмегімен сандарды бөлу
орындалады.
Мысалы, 5 санын 21 санына бөлу:
Мысырлықтар сонымен қатар бөлшектерді көбейтіп бөлуді де білген. Бірақ
көбейту үшін бөліктерді бөліктерге көбейту керек, кейін тағы да кестені
пайдалану қажет болды. Бөлу күрделірек болды.
Ежелгі Вавилонда керісінше болды, тұрақты бөлім 60-қа тең
еді.вавилондықтардан қалған 60-тық бөлшектерін кейін грек және араб
математиктері мен астраномдары пайдаланды. Бірақ онық жүйеде жазылған
натурал сандармен және алпыстық бойынша жазылған бөлшек сандармен жұмыс
жасау қолайсыз болды. Ал, жай бөлшектермен жұмыс жасау өте күрделі
болды.сондықтан голланд математигі Симон Стевин ондық бөлшектергн көшуді
ұсынды.
Ежелгі Римде де бөлшектердің қызықты жүйесі болды. Ал асс деп аталатын
салмақ бірлігін 12 бөлікке бөлуге негізделген. Он екінші бөлікті асты унция
деп атады. Ал, жол, уақыт және тағы басқа да өлшемдерді салмақпен
салыстырған. Мысалы, римдіктер жеті уиция жол жүрдім немесебес уиция кітап
оқыдым деп айтқан. Бірақ бұл кезде жолдың немесе кітаптың салмағы
өлшенгендігі туралы
айтылып тұрған жоқ. Керісінше жолдың бөлігі жүрілді немесе кітаптың
бөлігі оқылғандығы туралы сөз.Ал бөлімі 12 болатын бөлшекті қысқартудан
немесе 12 кішкене бөлікке бөлінген бөлшектердің өзінің ерекше аттары
болған.
Қазірдің өзінде былай айтылады: Ол бл сұрақты аяғына дейін зерттеп, бірде
бір
түсініксіз жері қалмағандығын білдіреді. Бұл сөз Римнің скрупулезно
асса- скрупулус сөзінен пайда болған. Тағы да мынадай атаулар болған:
семис-алтыншы бөлік, семиунция- жарты унция , яғни асса т.с.с.
Барлығы 18 әртүрлі бөлшектердің аты болған. Бөлшектермен жұмыс жасау үшін
осы бөлшектерді көбейту және қосу ережелерін естерінде сақтау керек
болады. Сондықтан римдік сатушылар триенса ( асса) және секстанса
сандарының қосындысы семис, ал беса ( асса) санын сескунцию (
унции, т.с.с асса) санына көбейткенде унция шығатынын білген.
Жұмыстарын жеңілдету үшін олардың кейбіреуі бізге де жеткен арнайы
кестелер құрған.
Ертеде әр түрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше
символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар -ді
белгісімен, -ді белгісімен және -ді белгісімен
көрсеткен. Олар бөлшегін
арасына қосу таңбасын қоймай түрінде жазды. Сол сияқты
-ді
түрінде жазған. Демек, аралас сандарды осылайша ( қосу белгісін жазбай )
жазу сол кезде қалыптасқан.
Ежелгі Үндістанда жай бөлшектерді жазуда бөлшек сызығын сызбай,
алымын үстіне, бөлімін астына жазған. Мысалы, -ді түрінде,
-ді деп немесе түрінде жазған. Демек, сол
кезден бастап бүтін санды бөлімі 1 болатын бөлшек етіп жазу қалыптасқан.
Бөлшекті осы түрде жазу тәжік ғалымы әл-Насавидің (1030 жылдары )
ғылыми жұмыстарында орын алған. Әл-Насави, егер бөлшектің бүтін бөлігі жоқ
болса, оның орнына 0 жазған. Мысалы, -ді түрінде жазған.
Ежелден -жарты ; -ді ширек ; -ді бір жарым және т.с.с. деп
атаған.Осылайша
жарты , ширек ұғымдары қалыптасқан.
Бөлшек сызығын уал-Хассара (ХІІ ғасырда) және итальяндық Леонардо
Пизанский бөлшек деген сөзді енгізген. Бөлшек сызығы ХVІ ғасырда ғана
белгілеуге толық енді.
Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми есептеу жұмыстарында алпыстық
бөлшектерді (бөлімі алпыс саны болатын) пайдаланды. Осыдан қалған бөлшек
жүйесінен қазіргі ауқыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан. 1мин
сағ; 1с мин. Бөлшектегі алым, бөлім атауларын ХІІІ ғасырда грек
математигі Максим Плануд енгізген, жалпы түрдегі бөлшегі ежелгі грек
ғалымы Архимедтің ( б.з.б. 287-212 ) еңбектерінде пайдаланылаған. ХХ
ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер бөлшектерге амалдар қолдануды
қалыптастырды. Бөлшектер туралы толық мәліметтерді арифметика кітаптарына
Орта Азия математигі Әл-Хорезми енгізген.
Бөлшектерді қазіргі алым және бөлім туралы жазылуы Үндістанда ойлап
табылған. Тек сол елде алымды – астына, бөлімді –үстіне жазатын болған.Ал,
дәл қазіргідей бөлшектердің жазылуын арабтар бастаған.
1.2. Жай бөлшекке қолданылатын арифметикалық амалдар.
Әр түрлі шамаларды ( ұзындықты, массаны, уақытты) өлшек үшін натурал
сандардан басқа бөлшек сандар мен де өлшеуге болады.
1-суретте дөңгелек (тұтас бір дене) тең 4 бөлікке бөлінген. Мұндай тең
бөліктер үлестер деп аталады. 1- суреттегі әрбір үлес – дөңгелекті өзара
тең 4 бөлікке бөлгендегі 1 бөлігі. Жазылуы дөңгелектің -і; - дің
оқылуы: төрттен бір . Демек, 1:4 дегеніміз ; 1:4 = , мұндағы
сызықша – бөлшек сызығы.
Алдымен бөлшек сызығының астындағы сан шығыс септгігінде оқылады,
сонан соң бөлшек сызығының үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер
осындай үлестің (-дің) екеуін алсақ, онда ол түрінде жазылады.
Оқылуы төрттен екі . Егер осындай үлестің үшеуін алсақ, онда ол
түрінде жазылады. Оқылуы төрттен үш . Мұндағы , және -
жай бөлшектер. Жай бөлшектің жалпы түрде әріппен жазылуы: . Мұндағы а-
бөлшектің алымы, b-бөлімі.
Бөлшек сызығының астындағы сан неше үлеске бөлінгенін көрсетеді, сондықтан
оны бөлшектің бөлімі деп атайды. Бөлшек сызығының үстіндегі сан неше
үлестің алынғанын көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің алымы деп атайды.
Кез келген натурал сан бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез келген натурал
сан алымы бола алады.
Мысалы, 2 алманы 3 балаға тең бөліп берсек, олардың әрқайсысы неше бөліктен
алма алады?
Шешуі. Алманы әрқайсысын 3 тең бөліккке бөлеміз. Әрбір бөлік алманың -
і болады. Бір балаға осындай 2 бөліктен беріледі. Балалардың әрқайсысы
алманың бөлігін алады.
Алымы 1 саны, бөлімі 1-ден өзге натурал сан болатын бөлшектер бірлік
бөлшектер (аликвоттық бөлшектер) деп аталады. Мысалы, , , ,
, т.с.с бірлік бөлшектер.
Бір натурал санды екінші натурал санға бөлуді жай бөлшекпен жазуға болады.
Бөлінгіш бөлшектің алымына жазылады да, бөлгіш бөлшектің бөліміне жазылады.
Демек, бөліндіні жай бөлшек түрінде жазуға болады.Мысалы,
.
Натурал санды бөлшек түрінде де жазуға болады. Мысалы,
немесе ;
немесе
немесе .
Әріппен жазсақ: .
Мұндағы а- берілген натурал сан, n=1,2,3,...
Өзара тең бір үш шаманы, мысалы А1 , А2 және А3 үш ұзындықты алайық та,
оларды өлшеудің бір ғана бірлігімен – метрмен өлшейік.
Бұл шамалар метрден қысқа. Онда бұл шамаларды өлшеу үшін метрдің өлшенетін
ұзындықтың ішінде бүтін сан рет болатын қандай да болса, бір үлесін алуымыз
керек болады. А1 ұзындықты өлшеу үшін метрдің төрттен бір
бөлігін алып, А1 ұзындықтың метрге тең екенін анықтадық. Енді әрбір
ширек метрді тең 5 бөлікке бөлеміз. Сонда метрдің одан да ұсақ үлесі
шығады: мұндай үлестер метрде бесеу болады, демек бір бүтінде, яғни 1
метрде олардың саны 5*4=20 болады. Олай болса, бұл метрдің үлесі
болады; метрде жиырмадан бір (жиырмалық) үлестер 5*3=15 болады.
Ұзындық А2=А1, демек, А2 ұзындық та метрге тең, бірақ егер біз бұл
ұзындықты ширек мертмен емес, оның жиырмалық үлесімен өлшейтін болсақ, онда
А2 ұзындық метрге тең екенін анықтаған болар едік. А1 мен А2 тең
ұзындықтар бір ғана өлшеу бірлігімен (метрмен) өлшенгендіктен, метр
метрге немесе бөлшегі бөлшегіне тең.
Әрбір ширек метрді тең 25 бөлікке бөлсек, метрдің неғұрлым ұсақ үлестері
шығады, метрде мұндай үлестердің саны 25 болады, демек 1 метрде, яғни
1 бүтінде, олардың саны 25*4=100 болады, демек олардың метрдің жүздік
үлестері; метрде жүздік үлестер 25*3= 75 болады.Ұзындық А3= А1 =
метр болсын. Егер А3 ұзындықты ширек метрмен ( метрдің төрттен бір
үлесімен) емес, оның жүздік үлесімен өлшейтін болсақ, онда А3 ұзындық
метрге тең екенін таптық. Бұдан метр метрге немесе
бөлшегі бөлшегіне тең.
пен бөлшектерінің де өзара тең екеніне осылайша көз жеткізуге
болады.
Сонымен, бір ғана бірлікпен өлшенген екі шама өз ара тең болса, онда ол
шамаларды өрнектейтін бөлшек сандар да өзара тең болады.
Өзара тең пен , пен , пен бөлшектерін қос-
қостан алып, тең
бөлшектердің әр қосының қасиеттері бірдей болатындығын, тап айтқанда;
бірінші бөлшектің алымы мен екінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісі екінші
бөлшектің алымы мен бірінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісіне тең
болатындығын көреміз.
Анығында 3*20=15*4; 3*100=75*4; 15*100=75*20. Өзара тең бөлшектердің
барлығында да осындай қасиет болады, сондықтан да бұл қасиет бөлшектердің
теңдігінің анықтамасы ретінде алынады, атап айтқанда, бұл анықтама былай
айтылады: егер бірінші бөлшектің алымы мен екінші бөлшектің бөлімінің
көбейтіндісі, екініші бөлшектің алымы мен бірінші бөлшектің бөлімінің
көбейтіндісіне тең болса, онда мұндай екі бөлшек өзара тең деп есептеледі.
Мысалы: егер ab1 = a1b , бөлшегі бөлшегіне тең болады.
Бүтін сандардың теңдігі сияқты бөлшек сандардың теңдіктерінің мынадай
негізгі қасиеттері бар:
➢ рефлексивтік;
➢ симметриялық;
➢ транзитивтік.
Бөлшектің алымын да, бөлімін де нольге тең емес бірдей санға көбейтуден
немесе бөлуден бөлшектің шамасы өзгермейді. бөлшегі берілсе,
1) 2)
Мысал, Дөңгелекті өзара тең 4 бөлікке бөліп, оның 3 бөлігін бояу қажет (2
сурет). Сонда дөңгелектің -і боялады. Егер әрбір бөлікті тағы
да өзара тең 2 бөлікке бөлсек, онда дөңгелектің -і боялады.
Демек, ; .
Сонда және бір санының ( бөлшектің ) түрліше жазылуы.
теңдігін түрінде де жазуға болады. Себебі . Осыдан шығатын
қорытынды: Жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей натурал санға
көбейткеннен немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді. Бұл – бөлшектің
негізгі қасиеті.
Бөлшектің қарастырылып өткен бұл қасиетінің бөлшектерді түрлендіруде үлкен
маңызы зор, сондықтан ол- бөлшектің негізгі немесе басты қасиеті деп
аталады.
Бөлшектерді қысқарту және бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру осы қасиетке
негізделген.
Бөлшектерді қысқарту және оларды ең кіші ортақ бөлімге келтіру.
Бөлшектің алымы мен бөліміндегі олардың ортақ көбейткіштерін, бөлшектің
мүшелерін осы көбейткіштерге бөлу арқылы жоюды, яғни бөлшегін
бөлшегімен алмастыруды бөлшекті қысқарту деп атайды.
Бұл сияқты алмастыруды орындауға болады, өйткені бөлшктің алымын да,
бөлімін де бірдей санға бөлуден оның шамасы өзгермейді.
Әрбір бөлшектің қысқартылмайтын түрі деп аталатын бір ең жай түрі болу
керектігі өзінен-өзі түсінікті. Бөлшектің қысқартылмайтын түрін шығарып алу
үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлу
керек. Қысқартылмайтын бөлшектің алымы мен бөлімі өзара жай сандар болады.
Бөлшектерді қысқартудың екі тәсілі.
1.Біртіндеп қысқарту. Сандардың бөлінгіштік белгілерін пайдаланып,
бөлшектің алымын да,бөлімін де олардың ортақ бөлгішіне біртіндеп бөледі.
Мысалы.
.
2. Толық қысқарту. Бөлшектің алымы мен бөлімінің ең үлкен ортақ бөлгішін
табады да, осыған бөлшектің мүшелерін бөледі.
Екінші тәсіл, әдетте, бөлшектің мүшелерінің ортақ бөлгіштерін бөлгіштік
белгілері бойынша табу қиын болған жағдайларда қолданылады.
Мысал:
.
Бөлшектің 2 177 мен 1 555 мүшелерінің ең үлкен ортақ бөлшегін біртіндеп
бөлу жолымен табамыз.
Демек, Евклид алгоритмі бойынша (2177;1555)=311
Сонымен
Көрнекі болу үшін бөлшектің үстіңгі жағына оны қысқартатын санды жазуымызға
болады, бірақ оны әдетте жазбайды:
.
Берілген бірнеше бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру деп осы бөлшектерді
шамаларын өзгертпей бөлімдері бірдей боларлықтай етіп, түрлендіруді айтады.
Бұл үшін барлық бөлімдердің еселік саны берілген бөлшектердің ортақ бөлімі
етіп алып, әр бөлшектің алымын да, бөлімін де бөлімінің табылған еселікке
жетпей тұрған көбейткішіне көбейтсе болғаны.
Мысалы: бөлшектерін былайша жазуға болады.
, , ,
Бұл бөлшектің әрқайсысын түрлендірудің мәнін бөлшектің алымын да , бөлімін
де бірдей анға көбейтуде екендігі өзінен-өзі түсінікті; бұдан бөлшектің
шамасы өзгермейді (бөлшектің негізгі қасиеті бойынша).
Бөлшектерге амалдар қолданғанда есептеуді оңай ету және ықшамдау мақсатымен
оларды ең кіші ортақ еселігі осы бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі болып
табылады.
Берілген бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін, егер мүмкін болса,
әуелі оларды қысқартады, одан кейін барлық бөлімдердің Е.К.О.Е. табады, әр
бөлім үшін тиісті толықтауыш көбейткішін анықтайды да, бөлшектің екі
мүшесін де осы көбейткішке көбейтеді.
Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтірудің дербес жағдайлары.
1-жағдай. Бөлімдердің ешбір қосының ортақ көбейткіштері болмайды.
Бұл жағдайда бөлімдердің барлығы да өзара жай сандар болатындығы өзінен-
өзі түсінікті. Мұндай сандардың ең кіші ортақ еселігі олардың
көбейтіндісіне тең. Олай болса, бұл қарастырылып отырған жағдайда
бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін әр бөлшектің екі мүшесін де
қалған бөлшектердің бөлімдерінің көбейтдісіне көбейтсе болғаны.
Мысалы: , . Бөлімдердің Е.К.О.Е-ге тең.
8-дің толықтауыш көбейткіші 75-ке тең.
25-тің толықтауыш көбейткіші 24-ке тең.
3-тің толықтауыш көбейткіші 200-ге тең.
; ; .
2-жағдай. Қысқартылмайтын бөлшектердің бөлімдерінің ең үлкені былайғы
бөлімдердің әрқайсысына бөлінеді.
Бұл жағдайда ең үлкен бөлім барлық бөлімдердің ең кіші ортақ еселігі
болады; ендеше ол берілген бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі де болып
табылады.
Мысалы: , , бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге келтіру
керек.
m (15;40;120)=120
15-тің толықтауыш көбейткіші 8-ге тең.
40-тың толықтауыш көбейткіші 3-ке тең.
Сонымен, ; және .
Бөлшектердің ортақ бөлімге келтіруінің дұрыстығын бөлшектерді қысқарту
арқылы тексеріледі; бөлшектердің қысқартулуының дұрыстығы қысқарған
бөлшекті бастапқы бөлшекпен ортақ бөлімге келтіру арқылы тексеріледі.
Бөлшектерді салыстыру.
Бөлшектерді натурал сандар сияқты салыстырылады.
Егер бөлшегінің алымының бөлшегінің бөліміне көбейтіндісі
екінші бөлшектің алымының біріншісінің бөліміне көбейтіндісінен артық, яғни
болса, онда бөлшегі бөлшегінен үлкен болады.
Егер бөлшегінің алымының бөлшегінің бөліміне көбейтіндісі
бұлардың екіншісінің алымының біріншісінің бөліміне көбейтіндісінен кем
болса, яғни болса, онда бөлшегі бөлшегінен кем болады.
Мысалы: пен бөлшектерін салыстыру керек.
; ; ал , ендеше екен.
Бөлімдері бірдей екі бөлшектің қайсысының алымы үлкен болса, сонысы үлкен
болады.
Мысал, егер болса, онда болады. Анығында, егер болса,
онда
болады. ендншн, бірінші анықтама бойынша бөлшегі
бөлшегінен үлкен болады.
Мысалы: .
Алымдары бірдей екі бөлшектің қайсысының бөлімі кіші болса сонысы үлкен
болады.
Мысалы, болса, онда болады. Анығында егер болса, онда
болады (көбейтудің монотондылық заңы бойынша). бөлшегі
бөлшегінен үлкен болады.
Мысалы. және бөлшектерін салыстырайық. 3,а - суретте
дөңгелектің бөлігі боялған , ал 3,ә - суретте дөңгелектің
бөлігі боялған.
Дөңгелекті (тұтас денені) өзара тең 8 бөлікке бөлгендегі бір бөлігі оны
өзара тең 4 бөлікке бөлгендегі бір бөлігінен кем болатындықтан,
.Алымдары бірдей екі бөлшектің қайсысынынң бөлімі кіші (кем)
болса, сол бөлшек үлкен (артық).
Қарастырылған бұл салдарлардың алымды арттырғанда бөлшектің артатындығы, ал
бөлімді арттырғанда бөлшектің кемитіндігі, және керісінше: алымды
кеміткенде бөлшектің кемитіндігі, ал бөлімді кішірейткенде бөлшектің
артатындығы көрінеді.
1-мысал. бөлшегін екі есе арттыру керек.
1) алымды арттырамыз:
2) бөлімді кемітеміз:
2-мысал. бөлшегін екі есе азайту керек.
1)Алымды кемітеміз.
2)Бөлімді арттырамыз:
Бөлшектің алымымен өрнектелетін бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп
санауға келісілген.
Мысалы,
Бұл анықтаманың нәтижесінде бөлшектердің жиынына бүтін сандардың барлығы да
кіреді, өйткені бүтін сандардың қайсысы болса да бөлімі бірге, ал алымы осы
санның өзіне тең бөлшек деп қарастыруға болады.
Мысалы. .
Сандардың қайсысы болса да, бөлімі нольден басқа, кез-келген сан болатын
бөлшек түрінде өрнектеуге болады.
Мысалы. a бүтін санды бөлімі n-ге тең бөлшек түрінде өрнектеу керек
болсын.
Бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп қарастыруға болатындықтан,
болады, бірақ (бөлшектің негізгі қасиеті бойынша) немесе .
Бұдан бөлшектердің транзитивтігі бойынша мынау шығады:
немесе .
Олай болса, бүтін санды бөлімі белгілі бөлшек түрінде өрнектеу үшін, бүтін
санды осы бөлімге көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіні алым етіп алып, ал
бөлім етіп берілген бөлімді жазса болғаны.
Мысалы. 11 саны сегіздік үлестер түрінде жазу керек.
Алымы бөліміне тең бөлшек бірге тең.Бөлшектің негізгі қасиеті бойынша
немесе екенін білеміз, бірақ , олай болса .
Бұл бір бүтінде n-нен бір бөлігі болып табылатындығы көрінеді.
➢ Алымы бөлімінен кем болатын бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады.
➢ Алымы бөлімінен артық немесе оған тең болатын бөлшек бұрыс бөлшек
деп аталады.
Бұрыс бөлшек бірден көп (артық) не оған тең болады.
Бөлшектің алымын да , бөлімін де бірдей санға арттырғанда бірден кем
бөлшек артады да, ал бірден көп бөлшек кемиді.
Бөлшектің алымынан да, бөлімінен де бірдей санды шегергенде бірден кем
бөлшек кемиді, ал бірден артық бөлшек артады.
Мысал. , , . Тексеру;
Мысал. , , ал , себебі
Мысал. , , ал
Мысал.,
Бөлшектерді қосу.
Екі бөлшектің қоындысы деп, бұл бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп,
олардың алымдарын қосып, бұдан шыққан қосындыны жаңа бөлшектің алымы етіп
алғанда, ал оның бөліміне ортақ бөлімді жазғанда шығатын жаңа өлшекті
айтады.
Бұл анықтамада амалдың алгоритмі, яғни берілген бөлшектердің қосындысын
табу үшін қолданылатын белгілі бір ереже бар.
Анығында, осы ережеге сүйеніп,
екенін табамыз.
Мысал. .
Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым етіп,
ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек. Бұл бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу
ережесі: .
Мысалы, ; қысқаша . 4-суретте және бөлшектерін
координаталық сәуледе қосу көрсетілген. Қосынды А нүктесімен кескінделеді:
А.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу үшін:
• Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек;
• Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын орындау
керек.
Мысалы, 5 суретте домбыраның басы (құлағы) м, мойны м, шанағы
м. Домбыраның ұзындығы неше метр?
Бүтін сан мен бөлшектің қосындысы аралас сан деп аталады. Қандай бүтін
санды болса да, бөліміне 1-ді жазып, бөлшек түрінде кескіндеуге
болатындығын біз жоғарыда көрген едік. Бұдан шығатын бөлшек бұрыс бөлшек
болатындығы өзінен-өзі түсінікті.
Аралас санды да бұрыс бөлшекке айналдыруға болады; бұл үшін бүтін санды
бөлшектің бөліміне көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіге алымды қосып, шыққан
бұл қосындыны ізделініп отырған бөлшектің алымы етіп алу керек., ал
бөлімді сол қалпында қалдыру керек. Мысалы, аралас санды бұрыс
бөлшекке айналдыру керек болсын. Бұл a-бүтін бірлікте, сол бірліктің bрет
алынған n-нен бір үлесін қоса есептегенде, неше n-нен бір үлес бар екенін
табу деген сөз. Бүтін сандардың қайсысы болса да бөліміне кез келген санды
алып, бөлшек түрінде кескіндеуге болатынын, бұл үшін бүтін санды осы
бөлімге көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіні алым етіп алып, ал бөлімге
алынған бөлімді жазу керектігін біз жоғарыда көрдік.
Олай болса, бүтін сан . Бұл- а бүтін санда бірліктің an рет алынған n-
нен
бір үлесі бар деген сөз. Ал b рет алынған n-нен бір үлесті қоса
есептегенде, a бүтін санда бірліктің рет алынған n-нен бір үлесі
бар. Сонымен,
болады.
Олай болса, аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру үшін, бүтін санды
бөлшектің бөліміне көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіге алымды қосып, бұл
қосындыны ізделініп отырған бөлшектің алымы етіп жазып, ал бөлімді бұрынға
қалпында қалдыру керек.
Мысал.
Аралас санды анықтамасынан бұрын бөлшектердің қайсысына болса да аралас
санға айналдыруға болатындығы, яғни бұл аралас санда неше бүтін бірліктің
және оның үстіне бірге толмайтын неше тең үлестердің бар екенін табуға
болатындығы шығады. Анығанда ,бұрыс бөлшектің әрбір бірлігінде n
рет n-нен бір үлес болатындықтан, a рет алынған n-нен бір үлесте, a-ның
ішінде n неше рет болса, сонша бірлер болу керек. а-ның ішінде n неше рет
болса, сонша бірлер болу керек. а-ның ішінде n үлес b рет болстын болса
және тағы r рет n-нен бір үлес қалатын болса.
Демек, . Бұдан .
Олай болса, бұрыс бөлшекті аралас санға немесе бүтін санға айналдыру үшін
алымды бөлімге бөлсе болғаны; бұл бөлуден шыққан бөлінді аралас санда неше
бүтін, ал қалдық аралас санда бірліктің неше үлесі болуы керек екенін
көрсетеді.
Мысалы. .
Аралас сандарды қосындаларды қосудың ережесі бойынша қосады: бүтін сандарды
бір бөлек, бөлшектерді бір бөлек қосады.
Мысал.
Бөлшек сандарды қосу мына заңдарға бағынады.
1. ауыстырымдылық (коммутативтік) заңы.
Қосылғыштардың орнын өзгертуден қосынды өзгермейді:
2. терімділік (ассоциативтік) заңы.
Қосылғыштарды топтарға біріктіріп қосуды топтар бойынша жүргізсек, сонан
кейін бұдан шыққан нәтижелерді қоссақ бұдан қосынды өзгермейді.
3. Монотондылық.
Егер болса, онда .
Бөлшектерді азайту.
бөлшегіне бөлшегін шегеру дегеніміз теңдігінің
қанағаттандыратын екінші бір жаңа бөлшекті табу деген сөз.
Бұдан бөлшек сандарды азайту деп, берілген қосынды мен қосылғыштардың
біреуі арқылы екінші қосылғышты табатын арифметикалық амалды айтатындығы
шығады.
Бұл айтылғаннан бөлшек сандарды азайту амалының орындалуы жағынан натурал
сандарды азайтудан айырмашылығы жоқ екендігі көрінеді.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынан азайтқыштың
алымын азайтып, алым етіп жазып, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек.
Мысалы,
Бөлшектірді азайту ережесі: бір бөлшектен екініші бөлшекті шегеру үшін
оларды ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, азайғыштың алымынан азайтқыштың
алымын шегеріп, бұдан шыққан айырманы жаңа бөлшектің алымы етіп, ал ортақ
бөлімді оның бөлімі етіп алса болғаны.
Екі және бөлшектері және екенідігі берілген болсын.
екендігін дәлелдейміз.
Бөлшектерді азайтудың анықтамасы бойынша, азайтқышқа айырманы
қосқанда азайғыш шығу керек. Осыған сүйеніп берілген бөлшектерді
азайтудан шыққан нәтиженің дұрыстығын тексереміз:
Мысал алып түсіндірейік.
. Айырманы есептеу керек. екендігін дәлелдейміз; азайғыш
азайтқышқа айырманы
қосқанға тең: .
Оң жақтағы қосуды орындаймыз: .
Азайғыш шықты; олай болса азайту дұрыс орындалған.
Натурал саннан бөлшекті азайту.
1-тәсіл. Азайғыш натурал санды бөлімі азайтқыш бөлшектің бөліміне тең бұрыс
бөлшек түрінде жазу керек. Сонан соң бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту
ережесін пайдаланып азайту керек.
Мысал,
2-тәсіл. Азайғыш натурал санды бір бүтінге кемітіп, бөлімі азайтқыш
бөлшектің бөліміндей аралас сан түрінде жазып, азайтуды орындау керек.
Мысал,
Қысқаша: .
Аралас сандарды азайтуда бүтін сандар жеке азайтылады да, бөлшектері
бөлшектерді азайтудың ережесі бойынша азайтылады. Егер азайғыштағы
үлестердің саны азайтқыштағыдан аз болса, онда бір бүтінді алып, оны тиісті
үлестерге ұсақтап, азайғыштың алымына қосамыз, сонан кейін азайтуды
орындаймыз.
Мысалы. .
Бөлшектерді көбейту.
Тік төртбұрыштың ауданын (s= ab), заттың құнын (C=an), жолды табу үшін
(S=vt) ондағы шамалар бөлшектермен берілсе, бөлшектерді көбейту амалы
қолданылады.
Мысалы, Тік төртбұрыштың ұзындығы дм, ені дм. Оның ауданын табу
керек. 6-суретте квадратты ұзындай тең 5 бөлікке (үлеске), көлденеңінен
тең 3 бөлікке бөлсек, квадрат тең 15 бөлікке бөлінеді. Сонда оның бір
бөлігінің ауданы дм2. ABCD тік төртбұрышының ұзындығы АВ дм, ені
ВСдм. ABCD тік төртбұрышында әрқайсысының ауданы дм2 болатын 8
бөлік бар.
Онда ABCD тік төртбұрышының ауданы дм2. Демек, көбейтінді
бөлшегінің алымы көбейткіш бөлшектердің алымдарының көбейтіндісі: , ал
бөлімі көбейткіш бөлшектердің бөлімдерінің көбейтіндісі: Нәтижесі:
.
Екі бөлшек санның көбейтіндісі деп алымы көбейтілетін бөлшектердің
алымдарының көбейтіндісіне, ал бөлімі осы бөлшектердің бөлімдерінің
көбейтіндісіне тең болатын бөлшекті айтамыз.
Қосудағы сияқты бөлшектерді көбейтудің бұл анықтамасында амалдың алгоритмі
бар. Анығында осы анықтамаға сүйеніп, біз
екенін, немесе мысалы, екенін табамыз.
Бөлшекті бүтін санға көбейту үшін ,оның бөлімін сол қалпында қалдырып,
алымын осы санға көбейтсе болғаны.
Анығында, , өйткені с бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп есептеп,
мынаны шығарып аламыз:, немесе мысалы,
.
Ескертпе. Бөлшекті бүтін санға көбейту үшін бөлшектің бөлімін осы санға
бөліп (егер бөлуге болса), алымын бұрынғыша қалдыруға болады.
.
Бүтін санды бөлшекке көбейту үшін бұл санды бөлшектің алымына көбейтіп,
бұдан шыққан көбейтіндіні ізделіп отырған көбейтіндінің алымы етіп алып, ал
көбейтіндінің бөліміне көбейткіштің бөлімін алса болғаны.
Анығында, , өйткені k бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп алып,
мынаны табамыз:
,
Немесе мысалы, .
Аралас сандарды көбейту үшін оларды бұрыс бөлшектерге айналдырып, шыққан
бөлшектерді жалпы ереже бойынша көбейтсе болғаны.
Анығында, анықтама бойынша аралас сандардың қайсысын болса да бұрыс
бөлшекпен алмастыруға болатындықтан, аралас санндарды көбейту оларға сәйкес
бұрыс бөлшектерді көбейтумен пара-пар болады.
Мысалы. .
Көбейтуде аралас санды қашан болса да бұрыс бөлшекке айналдырып отыру шарт
емес кендігін ескерте кетейік. Мұндай сандарды көбейтудің қосындыны
қосындыға көбейту ережесі бойынша да орындауға болады, өйткені аралас сан
қандай да болса бі рбүтін сан мне бөлшектің қосындысы болып табылады.Аралас
санды бүтін санға көбейткенде аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырмаса да
болады. Аралас сан бүтін санға қосынды сияқты көбейтіледі.
Мысалы.
Олай болса, аралыс санды бүтін санға көбейту үшін бүтін санға аралас санның
бүтінін бір бөлек, бөлшегін бірбөлек көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосу
керек.
Бөлшектерді көбейту мына заңдарға бағынады:
1. Үлестірімділік (дистрибутивтік).
Екі санның қосындысының ( айырмасының) үшінші санға көбейтіндісі олардың
сол үшінші санға көбейтінділерінің қосындысына (айырмасына) тең болады.
.
2. Терімділік (ассоциативтік).
Егер жеке көбейткіштерді қандай да болсын бір топтарға біріктіріп,
көбейтуді сол топтар бойынша орындап, шыққан көбейтінділерді өз ара
көбейтсе, бұдан көбейтінді өзгермейді.
3.Ауыстырымдылық (коммутативтік).
Көбейткіштердің орнын ауыстырғаннан көбейтінді өзгермейді.
4.Монотондылық
Егер болса, онда .
Егер көбейткіштердің бірі нөлге тең болса, онда көбейтінді де нөлге тең.
Мысал,
Егер көбейткішьердің бірі жай бөлшекпен, ал екіншісі әріппен берілсе, онда
әріп бөлшектен кейін бөлшек сызығының деңгейінде жазылады.
Мысал, , мұндағы -коэффиценті, х- әріп көбейткіш.
Бөлшектерді бөлу.
Бөлу амалының көбейтінді мен көбейткіштердің біреуі белгілі болғанда екінші
көбейткішті табу үшін қолданылатын амал. Бөлу көбейткішке кері амал.
Мысал, теңдеуін шешу қажет. х-ті табу үшін бөліндісін табу
керек. Ол үшін теңдеуінің екі жағын да көбейткішінің кері
санына, яғни -ке көбейту қажет. . Көбейтудің ауыстырымдылық және
терімділік қасиетін пайдаланып: немесе , яғни ; .
Демек, бөліндісі көбейтіндісіне тең, яғни бөлшекті
бөлшекке бөлу бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшектің кері санына көбейтумен
есептеледі.
Бөлшек сандарды бөлудің натурал сандарды бөлуден айырмашылығы тек бөлшек
сандарды бөлу жағдайында компоненттер натурал сандар болмай, бөлшек сандар
болатындығында.
Бөлшектерді бөлу ережесі. Бөлшекті бөлшекке бөлу үшін бірінші бөлшектің
алымын екінші бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің бөлімін екінші
бөлшектің алымына көбейтсе болғаны; бірінші көбейтінді бөліндінің алымы, ал
екінші көбейтінді оның бөлімі болады.
және екі бөлшек берілген болсын. екенін
дәлелдейміз.
деп ұйғарайық. Сонда бөлудің анықтамасы бойынша мынау шығады:
Көбейтудің монотондылық заңына сүйеніп, шыққан теңдіктің екі жағын да
бөлшегіне көбейтеміз; сонда шығады, бірақ .Сонымен: .Олай
болса, , немесе , т.с.с.
Мысалы. .
Бөлшекті бүтін санға бөлу үшін оның бөлімін осы бүтін анға көбейтсе
болғаны.
Анығында. , өйткені с бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп
есептесек мынау шығады: .
Мысалы. .
Ескерту. Бөлшекті бүтін санға бөлу үшін бөлшектің алымын осы бүтін санға
бөліп (егер бөлу болса), ал бөлімді бұрынғыша қалдырса да болады.
.
Бүтін санды бөлшекке бөлу үшін, бұл бүтін санды бөлгіштің бөліміне
көбейтіп, шыққан көбейтіндіні оның алымына бөлсе болғаны.
Мысалы. .
Бөлшектің анықтамасынан а және b екі бүтін санды біріне –бірін бөлгендегі
бөлінді болатындығы шығады.Анығында, а мен b бүтін сандарды
мен бөлшектер түріне келтіруге болады. Бұл бөлшектерді бөлуді
орындасақ бөлшегі шығады.
Аралас сандарды бөлу үшін оларды бұрыс бөлшектреге айналдырып, бұдан шыққан
бөлшектерді жалпы ереже бойынша бөлсе болғаны.
Мысалы. .
Көбейтінділері бірге тең болатын екі сан өзара кері сандар деп
аталады.Берілген санға кері сан бірді осы санға бөлгенде шығатындығы өзінен-
өзі түсінікті. Мысалы. а санына кері сан болады, өйткені ; 6 мен
өзара кері сандар.
Егер бір бөлшектің алымы екінші бір бөлшектің бөліміне және керісінше тең
болса, онда мұндай бөлшектер өзара кері бөлшектер деп аталады.
мен бөлшектері өзара кері бөлшектер, өйткені ;
пен бөлшектері -өзара кері бөлшектер.Берілген анықтамаларға
сүйеніп, бөлшекке бөлудің ережесін мына түрде тұжырымдап айтуға болады: бір
санды бөлшекке бөлу үшін бұл санды берілген бөлшектің кері бөлшегіне
көбейтсе болғаны. Анығында, , ал .Олай болса, , немесе
.
Сонымен, бөлу амалын санды берілген бөлшектің кері бөлшегіне көбейту деп
қарастыруға болады.
Бөлшек арқылы шешілетін есептердің үш түрі.
1) Берілген санның көрсетілген бір бөлігін табу.
2) Қандай да бір бөлігі белгілі санды табу.
3) Бір сан екінші бір санның қандай бөлігін құрайтындығын табу.
Бөлшекке берілген есептерді келесі түрде шешуге болады.
1) суреті салынады. Бұл суретте:
а) түзуде ұзындығы белгілі немесе белгісіз шамаға тең кез келген бүтін
кесіндіні белгілейміз;
б) осы кесіндінің белгілі немесе белгісіз бөлігін жуықтап белгілейміз;
в) кесіндіге және оның бөлігіне олармен анықталатын белгілі немесе белгісіз
шамалар белгіленеді.
2) Бүтіннің бір бөлігі неге тең екендігі анықталады.
3) Ізделінді шама табылыпғ жауабы жазылады.
Мысал.
72 метрдің бөлігін табайық.
Шешудің бірінші қадамы – есептің суретін салу. Суретті кез келген бір
кесінді салудан бастаймыз. Кесіндінің ұзындығына 72 м сәйкес келеді деп
ұйғарамыз. Осы кесіндінің бөлігін табу керек. Есеп суретін салудың
келесі қадамында 72 санның бөлігін құрайтын саныд жуықтап саламыз.
Бұл кесіндінің ұзындығы белгісіз, 7 - суретте m арқылы белгіленген.
8 сурет
Келесі қадамда бүтіннің бір бөлігі неге тең екенін анықтаймыз.
Тең 8 бөлікке бөлінген бірлік кесіндінің әрбір бөлігінің ұзындығы .
Басқаша айтқанда, 72-нің бөлігі дегеніміз - .
Шешудің соңғы қадамында ізделетін шаманы тауып, жауабын жазамыз.
Сонымен, 72-нің бөлігі дегеніміз - .
Жауабы. 72 м-дің бөлігі 27 м-ге тең.
Мысал.
23 м мата сатып алынды, Осы матаның 20 метрі жұмсалған болса, матаның
қанша бөлігі жұмсалған.
Сатып алынған матаның ұзындығын сипаттайтын кесіндіні сызайық. Жұмсалған
матаның ұзындығын 8-суретте белгісіз санмеy белгілейік.
9
сурет
Егер 23 м-ді ойша жекелеген метрлерге бөлсек, онда әрбір бөлік барлық
матаның бөлігн құрайды, 23 м берілген матаның бөлігін
құрайды.
Жауабы. 20м - 23м матаның бөлігі.
1.3.Мектеп математика курсындағы Жай бөлшектер тақырыбының мазмұны.
Жай бөлшектер тақырыбын бастауыш сыныпта оқыту.
Математика бағдарламасына сәйкес бастауыш V және VI сыныптарында өтілетін
жай бөлшектерге дайындық жүргізілуі керек.Бастауыш сыныпта балалардың
бөлік, бөлшек туралы түсініктерін қалыптастыру керек. Осы мақсатпен екінші
сыныпта балаларды бөлік, бөлшек туралы түсініктерін қалыптастыру керек. Осы
мақсатпен бесінші сыныпта балаларды бөлік ұғымымыен таныстырып, оларды
жазып , салыстырып, санның бөлігі мен бөлігі арқылы сандарды табуға
арналған есептер шығарып үйрету керек. Барлық аталған сұрақтар көрнекі
түрде қарастырылады.
Бөліктермен танысу.
Балаларды бөліктермен таныстыру - ол балаларды бөлік туралы нақты
түсінікті қалыптастырып, бөліктермен практикалық түрде жұмыс жасауға
үйрету.
Мысалы, дөңгелектің төрттен бір бөлігін алу үшін, дөңгелекті бөлікке бөлу
керек.
Бөліктер туралы түсініктерін дұрыс қалыптастыру үшін әртүрлі көрнекі
құралдарды жеткілікті түрде қолдану керек. Тәжірибеде көрсеткендей, ең
ыңғайлы көрнекі құралдар ретінде қағаздан қиылған геометриялық фигуралар (
дөңгелек, тіктөртбұрыш, үшбұрыш, кесінділер және т.б) болып табылады. Осы
құралдардың тек мұғалімде ғана емес оқушылардың әр қайсысында да болуы
қажет. Алдымен бөлік туралы, кейін бөлшек туралы түсініктері оқушылардың өз
көздерімен көріп қолдармен жасағанда ғана дұрыс қалыптастырады.
Балаларды бөлікпен былай таныстыруға болады:
Әрбір оқушыда және мұғалімде бірдей дөңгелектер мен тіктөртбұрыштар бар.
Бірдей екі дөңгелекті алайық. Олардың біреуін тең екі бөлікке бөл (
дөңгелекті бүктеп кесуді көрсету керек). Бұлай бүтін дөңгелек, ал мынау
жарты дөңгелек, басқаша айтқанда дөңгелектің екіден бір бөлігі. Бүтін
дөңгелекте қанша екіден бір бөлік болады?(2) Оларды көрсетіңдер. Шаршыны
алыңдар. Шаршының екіден бір бөлігін немесе жартысын қалай алуға болады?
(шаршыны тең екіге бөліп, оның біреуін алу).Оқушыларға орындату керек.
Оқушылар оны әртүрлі тәсілмен орындаулары мүмкін. Мысалы, шаршыны диагоналы
бойынша кесіп, екі үшбұрыш алу, орта сызығы бойынша кесіп, екі тіктөртбұрыш
алу. Ал, кейбір оқушылар шаршыны басқа тәсілмен кесіп жарты бөліктерін
алады. (Сурет 9)
Сурет 9
Бөліктер екі санның көмегімен жазылады. Бөліктің немесе шаршының екіден
бір бөлігін былай жазады: . 2 саны дөңгелек, шаршы немесе басқа
фигураны
нешеге бөлгені, ал 1 саны қанша бөліктің алынып отырғанын көрсетеді.
Оқушылар дөңгелектің жартысына жазып, осы жазылымдағы әрбір санның
мағынасын түсіндіреді.
Сонымен қатар ,,,,, және т.б. бөліктерін
алады.Осылай оқушылар
мысалы кесіндінің (тіктөртбұрыш, қағаз жолағы және т.б) бөлігін алу
үшін
берілген кесіндіні (тіктөртбұрыш, қағаз жолағы және т.б.) тең 5 бөлікке
бөліп, оның біреуін алатын болсақ, осындай бөліктің кесінді (тіктөртбұрыш,
қағаз
жолағы және т.б.) 5 бөлігі бар екенін түсіндірулері керек.
жазылымды 5
саны қанша тең бөлікке бөлінгені, ал 1 саны қанша бөлігін алып отырғанын
білдіреді. Оқушылардың осы білімдерін бекіту үшін әртүрлі есептер мен
жаттығулар беріледі.
Бөліктердің айтылуы мен жазылуын үйрететін жаттығулар. (Сурет 10) Шаршы
( дөңгелек) қандай бөлігі қиылғанын ( боялғанын) айтып жазып беріңдер.
Сурет 10
Оқушылардың өздеріне бөліктерді өздері ойлап қиып, оларды жазып, айтып
үйретуге болады.
Әр жағдай сайын оқушылардан бүтінде қанша бөлік бар деп сұрап отыру керек.
Мысалы, барлық кесіндіде үштен бір кесіндіден нешеуі бар және т.с.с.
Бөліктғр туралы түсініктерін қалыптастыру үшын таза практикалық,
көрнекіліктер көмегімен орындалатын бір өлшемнің бөліктері болатын
бөліктерді салыстыру жаттығулары тиімді.
Мысалы: және бөліктерін салыстырып, ,
белгілерінің біреуін қою керек.
Оқушылар мысалы, кесінділер көмегімен бөліктерді бейнелеп салыстырады.
Салыстыру кезінде -дің -ден кіші екеніне көздерін жеткізеді.
(Сурет 11).
Бөлшектерді таныстыру.
Бөлшектердің шығуы бөліктердің шығуы сияқты көрнекі құралдар көмегімен
қарастырылады.
Дөңгелекті 4 бөлікке бөліңдер. Мұндай бөлікті қалай атайды? Жазыңдар.
Төрттен үш бөлігін көрсетіңдер. Сендер төрттен үш деген бөлшекті алыңдар. 4
саны нені көрсетеді? (дөңгелектің неше бөлікке бөлінгендігі) 3 санын нені
көрсетеді? (бөліктің қаншасының алынғандығы). Осыған ұқсас оқушылар басқа
бөлшектерді алып, жазып үйренеді және әр санның нені білдіретінін
түсіндіріп ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ТАРАУ 1. ЖАЙ БӨЛШЕКТЕР ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДАҒЫ
ДӘСТҮРЛІ ӘДІС-
ТӘСІЛДЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ..
1.1 Бөлшектердің шығу
тарихынан ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.2 Жай бөлшектерге қолданылатын арифметикалық
амалдар ... ... ... ... ..
1.3 Мектеп математика курсындағы Жай бөлшектер
тақырыбының
мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .
ТАРАУ 2. ЖАЙ БӨЛШЕКТЕР ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДАҒЫ
ПРАКТИКАЛЫҚ
НЕГІЗДЕМЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... .
2.1 Мектеп математика курсында жай бөлшектерді оқытудың
әдістемесі ... ...
2.2. Жай бөлшектер тақырыбының оқушылардың
математикалық қабілеттерінің дамуына әсер ету
диагностикасы ... ... ... ..
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ДЕРЕКТЕР
КӨЗІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе.
Білім берудің қазіргі талабы – анық ашықтың кейпі, яғни тұлғаның жан-жақты
іс-әрекеттік қабілетін кеңейтіп, оның құзырын арттыру, жалпы өмірлік және
кәсіби құзырын дамыту және қалыптастыру. Жалпы білім беру саласының алдына
қойылған осы мақсат ең алдымен бірінші кезекте математикалық білім беру
сапасын арттыру мәселелеріне келіп тірелетіні баршаға анық.
Ежелгі замандардан бері математиканың алар орны, оның ғылым мен техниканың
қарқанды дамуына қосар үлесі, жас жеткіншектерді тәрбиелеудегі маңыздылығы
аз айтылған жоқ. Олай болса, ең алдымен мектептегі математиканы оқытудың
негізгі мақсаты:
• Математика – ғылым болмысынан балама ұғымдар. Сондықтан да
математика барлық ғылымдардың логикалық негізгі күре тамыры ретінде
қарастырылады;
• Математика – ең алдымен оқушылардың дұрыс ойлау мәдениетін
қалыптастырады, дамытады және оны шыңдай түседі;
• Математика - әлемде болып жатқан түрлі құбылыстарды, жаңалықтарды
дұрыс қабылдап,түсінуге көмектеседі;
Оқушының математикаға ынтасын дамыту мұғалімнің негізгі мақсаты болып
табылады.Оқушының пәнге қызығушылығы – оның табысты да, түбегейлі игерудің
негізгі шарты.
Пәнге танымдық қызығушылықтиы дамытудың үш шарты бар:
Біріншісі – мазмұнның жаңғыртылуы, бұрын жария етілген фактілерді жаңаша
сипаттау, хабарлап отырған материалға тарихи бағдар беру, ілімін
практикалық мәнін ашып көрсету және ғылымның соңғы жаңалықтарын, табыстарын
жүйелі баяндау;
Екіншісі - өз бетінше жұмыс істеудің әрқилы түрлерін, оқытудың проблемалық
тұрғыда қолға алған материалды зерттеу негіздеріне және оқушының
шығармашылық, практикалық жұмыстарына бағытталған оқыту тәсілдері;
Үшіншісі – оқуының қабілетін ұштау, мұғалімнің оқушыға көмек беруге дайын
тұруы, олардың мүмкіндіктеріне қолдау көрсету қабілеті, талап қоюшылдығы
мен адалдығы, балаларды көтермелей білу, сондай – ақ оқушылардың өзара
бәсекелесіне көмек көрсете білу қасиеті оқушы назарын аударатын ойына
түрткі болатын математика туралы қызғылықты материалдар, әртүрлі тартымды
есептар, математикалық софизмдер мен ойындар сабақ үстінде өзінің орнын
табу керек. Мұндай есептер оқушыларды математикаға деген ынта ықыласын
арттырып, есептерді өздігінен шешуге итермелейді, логикалық ой өрісін
дамытады.
Қызғылықты есептер мен математикалық ойындар, әсіресе, бесінші және алтыншы
сынып оқушылары үшін пайдалы.
Оқушылар бір сарынды есеп шығарудан шаршамас үшін әртүрлі математикалық
жарыстар, ойындар ұйымдастырған жөн.
Әр мұғалімнің негізгі мақсаты – сабақ сапасын көтеру.Оқушылардың сабаққа
деген қызығушылығын арттыру, олардың ізденімін, танымын қалыптастыру.
Міне, сондықтан математикалық білімдерін бастауыш сыныптан бастап, орта
буыннан бастап дұрыс қалыптастыру керек.Орта буын математикасы бөлшектер
түсінігімен басталады.Ал, бұл ұғымды дұрыс меңгеру үшін бастауыш
сыныптардағы бөлік ұғымы жақсы меңгерілуі керек. Яғни бастауыш сыныптан
келген оқушы бөлшек тақырыбын өту барысында бөлік ұғымын таныс, онымен
жұмыс істеуді білулері керек. Ал, бөлшек ұғымын жақсы меңгерген оқушының
математикаға деген қабілеті артып,қалған тақырыптарды меңгеруге көмек
береді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты:
Жай бөлшектер тақырыбын оқушыларға жеткілікті түрде меңгеру, дұрыс
қалыптастыру үшін қолданылатын әдіс-тәсілдерді көрсету.
Тақырыптың өзектілігі:
Жай бөлшектер тақырыбын дұрыс меңгеру арқылы математикалық білімді жақмы
қалыптастыру.
Дипломдық жұмыстың құрлымы:
Жұмыс кіріспе, негізгі бөлімде теориялық және практикалық бөлім және
қорытындыдан тұрады.
Негігі теориялық бөлімде жай бөлшектердің шығу тарихы, әр елдерде жазылуы,
мектеп курсында берілетін анықтаалар, бөлшектерге амалдар қолдану туралы
жаөылса, екінші практикалық бөлімде мұғалімдердің тәжірибесінен алынған
сабақтар конспектісі, факультатив сабақтар конспектілері келтірілген.
Қорытында бөлімі бөлшектер тақырыбының маңызы талданған.
ТАРАУ І. Жай бөлшектер тақырыбын оқытудағы дәстүрлі әдістер.
1. Жай бөлшектердің пайда болу тарихынан.
Бөлшектер ежелден пайда болған. Ерте кезде адамдарға сауда- саттық
олжаны бөлгенде, ұзындықты өлшегенде және түрлі есептеу жұмыстарында
бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада
бөлшектерді сынық сандар деп атаған. Бөлшектер туралы түсініктің дамуында
үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан:
➢ Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
➢ Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген
бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері
ғана болған.
➢ Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да, бөлімі
де кез келген натурал сан болды.
Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында
көптеген қиындықтар туғызды. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда – саттық
жұмыстары өркендеген елдерде: Мысырда. Вавилонда, Үндістанда және Римде
қалыптасты.
Ежелгі Мысырлықтар 2 затты 3 адамға қалай бөлетінін ертеректер білген
,
саны арнайы белгілі болған. Барлық ; ;; бөлшектерді
алымында бірлік
болса, алымында бірлігі жоқ бөлшек египеттерде жалғыз ғана болған. Егер
мысырлыққа барлық бөлшекті қолдану керек болса, онда ол негізгі
бөлшектердің қосындысы түрінде көрсеткен. Мысалы, орнына
жазатын, кейде бұлай жазу ыңғайлы болатын. Ахмеса папирусында мынадай есеп
бар: 7 нанды 8 адамға бөліп беру. Егер әрбір нанды 8 бөлікке бөлу қажет.
Ал Мысырлықша бұл есеп былайша шешіледі: бөлшек санын бөліктер
түрінде былай жазады: . Яғни әрбір адам үшін жарты нан, төрттен бір
нан, сегізден бір нан беру керек; сондықтан төрт нанды жартыдан, екі нанды
төрт бөлікке, ал бір ананды сегіз бөлікке бөлгеннен кейін әр адам өзінің
бөлігін ала алады.
Бірақ мұндай бөлшектерді қосу ыңғайсыз болды. Өйткені екі қосылғышқа
бірдей бөліктер енуі мүмкін, сонда қосу кезінде түріндегі бөлшек
пайда
болады. Ал мысырлықтар мұндай бөлшектердің болуына рұқсат етпеді.
Сондықтан, Ахмеса папирусы -ден -ға дейінгі бөлшектер қосынды
түрінде берілген кестеден басталады. Осы кестенің көмегімен сандарды бөлу
орындалады.
Мысалы, 5 санын 21 санына бөлу:
Мысырлықтар сонымен қатар бөлшектерді көбейтіп бөлуді де білген. Бірақ
көбейту үшін бөліктерді бөліктерге көбейту керек, кейін тағы да кестені
пайдалану қажет болды. Бөлу күрделірек болды.
Ежелгі Вавилонда керісінше болды, тұрақты бөлім 60-қа тең
еді.вавилондықтардан қалған 60-тық бөлшектерін кейін грек және араб
математиктері мен астраномдары пайдаланды. Бірақ онық жүйеде жазылған
натурал сандармен және алпыстық бойынша жазылған бөлшек сандармен жұмыс
жасау қолайсыз болды. Ал, жай бөлшектермен жұмыс жасау өте күрделі
болды.сондықтан голланд математигі Симон Стевин ондық бөлшектергн көшуді
ұсынды.
Ежелгі Римде де бөлшектердің қызықты жүйесі болды. Ал асс деп аталатын
салмақ бірлігін 12 бөлікке бөлуге негізделген. Он екінші бөлікті асты унция
деп атады. Ал, жол, уақыт және тағы басқа да өлшемдерді салмақпен
салыстырған. Мысалы, римдіктер жеті уиция жол жүрдім немесебес уиция кітап
оқыдым деп айтқан. Бірақ бұл кезде жолдың немесе кітаптың салмағы
өлшенгендігі туралы
айтылып тұрған жоқ. Керісінше жолдың бөлігі жүрілді немесе кітаптың
бөлігі оқылғандығы туралы сөз.Ал бөлімі 12 болатын бөлшекті қысқартудан
немесе 12 кішкене бөлікке бөлінген бөлшектердің өзінің ерекше аттары
болған.
Қазірдің өзінде былай айтылады: Ол бл сұрақты аяғына дейін зерттеп, бірде
бір
түсініксіз жері қалмағандығын білдіреді. Бұл сөз Римнің скрупулезно
асса- скрупулус сөзінен пайда болған. Тағы да мынадай атаулар болған:
семис-алтыншы бөлік, семиунция- жарты унция , яғни асса т.с.с.
Барлығы 18 әртүрлі бөлшектердің аты болған. Бөлшектермен жұмыс жасау үшін
осы бөлшектерді көбейту және қосу ережелерін естерінде сақтау керек
болады. Сондықтан римдік сатушылар триенса ( асса) және секстанса
сандарының қосындысы семис, ал беса ( асса) санын сескунцию (
унции, т.с.с асса) санына көбейткенде унция шығатынын білген.
Жұмыстарын жеңілдету үшін олардың кейбіреуі бізге де жеткен арнайы
кестелер құрған.
Ертеде әр түрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше
символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар -ді
белгісімен, -ді белгісімен және -ді белгісімен
көрсеткен. Олар бөлшегін
арасына қосу таңбасын қоймай түрінде жазды. Сол сияқты
-ді
түрінде жазған. Демек, аралас сандарды осылайша ( қосу белгісін жазбай )
жазу сол кезде қалыптасқан.
Ежелгі Үндістанда жай бөлшектерді жазуда бөлшек сызығын сызбай,
алымын үстіне, бөлімін астына жазған. Мысалы, -ді түрінде,
-ді деп немесе түрінде жазған. Демек, сол
кезден бастап бүтін санды бөлімі 1 болатын бөлшек етіп жазу қалыптасқан.
Бөлшекті осы түрде жазу тәжік ғалымы әл-Насавидің (1030 жылдары )
ғылыми жұмыстарында орын алған. Әл-Насави, егер бөлшектің бүтін бөлігі жоқ
болса, оның орнына 0 жазған. Мысалы, -ді түрінде жазған.
Ежелден -жарты ; -ді ширек ; -ді бір жарым және т.с.с. деп
атаған.Осылайша
жарты , ширек ұғымдары қалыптасқан.
Бөлшек сызығын уал-Хассара (ХІІ ғасырда) және итальяндық Леонардо
Пизанский бөлшек деген сөзді енгізген. Бөлшек сызығы ХVІ ғасырда ғана
белгілеуге толық енді.
Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми есептеу жұмыстарында алпыстық
бөлшектерді (бөлімі алпыс саны болатын) пайдаланды. Осыдан қалған бөлшек
жүйесінен қазіргі ауқыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан. 1мин
сағ; 1с мин. Бөлшектегі алым, бөлім атауларын ХІІІ ғасырда грек
математигі Максим Плануд енгізген, жалпы түрдегі бөлшегі ежелгі грек
ғалымы Архимедтің ( б.з.б. 287-212 ) еңбектерінде пайдаланылаған. ХХ
ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер бөлшектерге амалдар қолдануды
қалыптастырды. Бөлшектер туралы толық мәліметтерді арифметика кітаптарына
Орта Азия математигі Әл-Хорезми енгізген.
Бөлшектерді қазіргі алым және бөлім туралы жазылуы Үндістанда ойлап
табылған. Тек сол елде алымды – астына, бөлімді –үстіне жазатын болған.Ал,
дәл қазіргідей бөлшектердің жазылуын арабтар бастаған.
1.2. Жай бөлшекке қолданылатын арифметикалық амалдар.
Әр түрлі шамаларды ( ұзындықты, массаны, уақытты) өлшек үшін натурал
сандардан басқа бөлшек сандар мен де өлшеуге болады.
1-суретте дөңгелек (тұтас бір дене) тең 4 бөлікке бөлінген. Мұндай тең
бөліктер үлестер деп аталады. 1- суреттегі әрбір үлес – дөңгелекті өзара
тең 4 бөлікке бөлгендегі 1 бөлігі. Жазылуы дөңгелектің -і; - дің
оқылуы: төрттен бір . Демек, 1:4 дегеніміз ; 1:4 = , мұндағы
сызықша – бөлшек сызығы.
Алдымен бөлшек сызығының астындағы сан шығыс септгігінде оқылады,
сонан соң бөлшек сызығының үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер
осындай үлестің (-дің) екеуін алсақ, онда ол түрінде жазылады.
Оқылуы төрттен екі . Егер осындай үлестің үшеуін алсақ, онда ол
түрінде жазылады. Оқылуы төрттен үш . Мұндағы , және -
жай бөлшектер. Жай бөлшектің жалпы түрде әріппен жазылуы: . Мұндағы а-
бөлшектің алымы, b-бөлімі.
Бөлшек сызығының астындағы сан неше үлеске бөлінгенін көрсетеді, сондықтан
оны бөлшектің бөлімі деп атайды. Бөлшек сызығының үстіндегі сан неше
үлестің алынғанын көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің алымы деп атайды.
Кез келген натурал сан бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез келген натурал
сан алымы бола алады.
Мысалы, 2 алманы 3 балаға тең бөліп берсек, олардың әрқайсысы неше бөліктен
алма алады?
Шешуі. Алманы әрқайсысын 3 тең бөліккке бөлеміз. Әрбір бөлік алманың -
і болады. Бір балаға осындай 2 бөліктен беріледі. Балалардың әрқайсысы
алманың бөлігін алады.
Алымы 1 саны, бөлімі 1-ден өзге натурал сан болатын бөлшектер бірлік
бөлшектер (аликвоттық бөлшектер) деп аталады. Мысалы, , , ,
, т.с.с бірлік бөлшектер.
Бір натурал санды екінші натурал санға бөлуді жай бөлшекпен жазуға болады.
Бөлінгіш бөлшектің алымына жазылады да, бөлгіш бөлшектің бөліміне жазылады.
Демек, бөліндіні жай бөлшек түрінде жазуға болады.Мысалы,
.
Натурал санды бөлшек түрінде де жазуға болады. Мысалы,
немесе ;
немесе
немесе .
Әріппен жазсақ: .
Мұндағы а- берілген натурал сан, n=1,2,3,...
Өзара тең бір үш шаманы, мысалы А1 , А2 және А3 үш ұзындықты алайық та,
оларды өлшеудің бір ғана бірлігімен – метрмен өлшейік.
Бұл шамалар метрден қысқа. Онда бұл шамаларды өлшеу үшін метрдің өлшенетін
ұзындықтың ішінде бүтін сан рет болатын қандай да болса, бір үлесін алуымыз
керек болады. А1 ұзындықты өлшеу үшін метрдің төрттен бір
бөлігін алып, А1 ұзындықтың метрге тең екенін анықтадық. Енді әрбір
ширек метрді тең 5 бөлікке бөлеміз. Сонда метрдің одан да ұсақ үлесі
шығады: мұндай үлестер метрде бесеу болады, демек бір бүтінде, яғни 1
метрде олардың саны 5*4=20 болады. Олай болса, бұл метрдің үлесі
болады; метрде жиырмадан бір (жиырмалық) үлестер 5*3=15 болады.
Ұзындық А2=А1, демек, А2 ұзындық та метрге тең, бірақ егер біз бұл
ұзындықты ширек мертмен емес, оның жиырмалық үлесімен өлшейтін болсақ, онда
А2 ұзындық метрге тең екенін анықтаған болар едік. А1 мен А2 тең
ұзындықтар бір ғана өлшеу бірлігімен (метрмен) өлшенгендіктен, метр
метрге немесе бөлшегі бөлшегіне тең.
Әрбір ширек метрді тең 25 бөлікке бөлсек, метрдің неғұрлым ұсақ үлестері
шығады, метрде мұндай үлестердің саны 25 болады, демек 1 метрде, яғни
1 бүтінде, олардың саны 25*4=100 болады, демек олардың метрдің жүздік
үлестері; метрде жүздік үлестер 25*3= 75 болады.Ұзындық А3= А1 =
метр болсын. Егер А3 ұзындықты ширек метрмен ( метрдің төрттен бір
үлесімен) емес, оның жүздік үлесімен өлшейтін болсақ, онда А3 ұзындық
метрге тең екенін таптық. Бұдан метр метрге немесе
бөлшегі бөлшегіне тең.
пен бөлшектерінің де өзара тең екеніне осылайша көз жеткізуге
болады.
Сонымен, бір ғана бірлікпен өлшенген екі шама өз ара тең болса, онда ол
шамаларды өрнектейтін бөлшек сандар да өзара тең болады.
Өзара тең пен , пен , пен бөлшектерін қос-
қостан алып, тең
бөлшектердің әр қосының қасиеттері бірдей болатындығын, тап айтқанда;
бірінші бөлшектің алымы мен екінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісі екінші
бөлшектің алымы мен бірінші бөлшектің бөлімінің көбейтіндісіне тең
болатындығын көреміз.
Анығында 3*20=15*4; 3*100=75*4; 15*100=75*20. Өзара тең бөлшектердің
барлығында да осындай қасиет болады, сондықтан да бұл қасиет бөлшектердің
теңдігінің анықтамасы ретінде алынады, атап айтқанда, бұл анықтама былай
айтылады: егер бірінші бөлшектің алымы мен екінші бөлшектің бөлімінің
көбейтіндісі, екініші бөлшектің алымы мен бірінші бөлшектің бөлімінің
көбейтіндісіне тең болса, онда мұндай екі бөлшек өзара тең деп есептеледі.
Мысалы: егер ab1 = a1b , бөлшегі бөлшегіне тең болады.
Бүтін сандардың теңдігі сияқты бөлшек сандардың теңдіктерінің мынадай
негізгі қасиеттері бар:
➢ рефлексивтік;
➢ симметриялық;
➢ транзитивтік.
Бөлшектің алымын да, бөлімін де нольге тең емес бірдей санға көбейтуден
немесе бөлуден бөлшектің шамасы өзгермейді. бөлшегі берілсе,
1) 2)
Мысал, Дөңгелекті өзара тең 4 бөлікке бөліп, оның 3 бөлігін бояу қажет (2
сурет). Сонда дөңгелектің -і боялады. Егер әрбір бөлікті тағы
да өзара тең 2 бөлікке бөлсек, онда дөңгелектің -і боялады.
Демек, ; .
Сонда және бір санының ( бөлшектің ) түрліше жазылуы.
теңдігін түрінде де жазуға болады. Себебі . Осыдан шығатын
қорытынды: Жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей натурал санға
көбейткеннен немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді. Бұл – бөлшектің
негізгі қасиеті.
Бөлшектің қарастырылып өткен бұл қасиетінің бөлшектерді түрлендіруде үлкен
маңызы зор, сондықтан ол- бөлшектің негізгі немесе басты қасиеті деп
аталады.
Бөлшектерді қысқарту және бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру осы қасиетке
негізделген.
Бөлшектерді қысқарту және оларды ең кіші ортақ бөлімге келтіру.
Бөлшектің алымы мен бөліміндегі олардың ортақ көбейткіштерін, бөлшектің
мүшелерін осы көбейткіштерге бөлу арқылы жоюды, яғни бөлшегін
бөлшегімен алмастыруды бөлшекті қысқарту деп атайды.
Бұл сияқты алмастыруды орындауға болады, өйткені бөлшктің алымын да,
бөлімін де бірдей санға бөлуден оның шамасы өзгермейді.
Әрбір бөлшектің қысқартылмайтын түрі деп аталатын бір ең жай түрі болу
керектігі өзінен-өзі түсінікті. Бөлшектің қысқартылмайтын түрін шығарып алу
үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлу
керек. Қысқартылмайтын бөлшектің алымы мен бөлімі өзара жай сандар болады.
Бөлшектерді қысқартудың екі тәсілі.
1.Біртіндеп қысқарту. Сандардың бөлінгіштік белгілерін пайдаланып,
бөлшектің алымын да,бөлімін де олардың ортақ бөлгішіне біртіндеп бөледі.
Мысалы.
.
2. Толық қысқарту. Бөлшектің алымы мен бөлімінің ең үлкен ортақ бөлгішін
табады да, осыған бөлшектің мүшелерін бөледі.
Екінші тәсіл, әдетте, бөлшектің мүшелерінің ортақ бөлгіштерін бөлгіштік
белгілері бойынша табу қиын болған жағдайларда қолданылады.
Мысал:
.
Бөлшектің 2 177 мен 1 555 мүшелерінің ең үлкен ортақ бөлшегін біртіндеп
бөлу жолымен табамыз.
Демек, Евклид алгоритмі бойынша (2177;1555)=311
Сонымен
Көрнекі болу үшін бөлшектің үстіңгі жағына оны қысқартатын санды жазуымызға
болады, бірақ оны әдетте жазбайды:
.
Берілген бірнеше бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру деп осы бөлшектерді
шамаларын өзгертпей бөлімдері бірдей боларлықтай етіп, түрлендіруді айтады.
Бұл үшін барлық бөлімдердің еселік саны берілген бөлшектердің ортақ бөлімі
етіп алып, әр бөлшектің алымын да, бөлімін де бөлімінің табылған еселікке
жетпей тұрған көбейткішіне көбейтсе болғаны.
Мысалы: бөлшектерін былайша жазуға болады.
, , ,
Бұл бөлшектің әрқайсысын түрлендірудің мәнін бөлшектің алымын да , бөлімін
де бірдей анға көбейтуде екендігі өзінен-өзі түсінікті; бұдан бөлшектің
шамасы өзгермейді (бөлшектің негізгі қасиеті бойынша).
Бөлшектерге амалдар қолданғанда есептеуді оңай ету және ықшамдау мақсатымен
оларды ең кіші ортақ еселігі осы бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі болып
табылады.
Берілген бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін, егер мүмкін болса,
әуелі оларды қысқартады, одан кейін барлық бөлімдердің Е.К.О.Е. табады, әр
бөлім үшін тиісті толықтауыш көбейткішін анықтайды да, бөлшектің екі
мүшесін де осы көбейткішке көбейтеді.
Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтірудің дербес жағдайлары.
1-жағдай. Бөлімдердің ешбір қосының ортақ көбейткіштері болмайды.
Бұл жағдайда бөлімдердің барлығы да өзара жай сандар болатындығы өзінен-
өзі түсінікті. Мұндай сандардың ең кіші ортақ еселігі олардың
көбейтіндісіне тең. Олай болса, бұл қарастырылып отырған жағдайда
бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру үшін әр бөлшектің екі мүшесін де
қалған бөлшектердің бөлімдерінің көбейтдісіне көбейтсе болғаны.
Мысалы: , . Бөлімдердің Е.К.О.Е-ге тең.
8-дің толықтауыш көбейткіші 75-ке тең.
25-тің толықтауыш көбейткіші 24-ке тең.
3-тің толықтауыш көбейткіші 200-ге тең.
; ; .
2-жағдай. Қысқартылмайтын бөлшектердің бөлімдерінің ең үлкені былайғы
бөлімдердің әрқайсысына бөлінеді.
Бұл жағдайда ең үлкен бөлім барлық бөлімдердің ең кіші ортақ еселігі
болады; ендеше ол берілген бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі де болып
табылады.
Мысалы: , , бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге келтіру
керек.
m (15;40;120)=120
15-тің толықтауыш көбейткіші 8-ге тең.
40-тың толықтауыш көбейткіші 3-ке тең.
Сонымен, ; және .
Бөлшектердің ортақ бөлімге келтіруінің дұрыстығын бөлшектерді қысқарту
арқылы тексеріледі; бөлшектердің қысқартулуының дұрыстығы қысқарған
бөлшекті бастапқы бөлшекпен ортақ бөлімге келтіру арқылы тексеріледі.
Бөлшектерді салыстыру.
Бөлшектерді натурал сандар сияқты салыстырылады.
Егер бөлшегінің алымының бөлшегінің бөліміне көбейтіндісі
екінші бөлшектің алымының біріншісінің бөліміне көбейтіндісінен артық, яғни
болса, онда бөлшегі бөлшегінен үлкен болады.
Егер бөлшегінің алымының бөлшегінің бөліміне көбейтіндісі
бұлардың екіншісінің алымының біріншісінің бөліміне көбейтіндісінен кем
болса, яғни болса, онда бөлшегі бөлшегінен кем болады.
Мысалы: пен бөлшектерін салыстыру керек.
; ; ал , ендеше екен.
Бөлімдері бірдей екі бөлшектің қайсысының алымы үлкен болса, сонысы үлкен
болады.
Мысал, егер болса, онда болады. Анығында, егер болса,
онда
болады. ендншн, бірінші анықтама бойынша бөлшегі
бөлшегінен үлкен болады.
Мысалы: .
Алымдары бірдей екі бөлшектің қайсысының бөлімі кіші болса сонысы үлкен
болады.
Мысалы, болса, онда болады. Анығында егер болса, онда
болады (көбейтудің монотондылық заңы бойынша). бөлшегі
бөлшегінен үлкен болады.
Мысалы. және бөлшектерін салыстырайық. 3,а - суретте
дөңгелектің бөлігі боялған , ал 3,ә - суретте дөңгелектің
бөлігі боялған.
Дөңгелекті (тұтас денені) өзара тең 8 бөлікке бөлгендегі бір бөлігі оны
өзара тең 4 бөлікке бөлгендегі бір бөлігінен кем болатындықтан,
.Алымдары бірдей екі бөлшектің қайсысынынң бөлімі кіші (кем)
болса, сол бөлшек үлкен (артық).
Қарастырылған бұл салдарлардың алымды арттырғанда бөлшектің артатындығы, ал
бөлімді арттырғанда бөлшектің кемитіндігі, және керісінше: алымды
кеміткенде бөлшектің кемитіндігі, ал бөлімді кішірейткенде бөлшектің
артатындығы көрінеді.
1-мысал. бөлшегін екі есе арттыру керек.
1) алымды арттырамыз:
2) бөлімді кемітеміз:
2-мысал. бөлшегін екі есе азайту керек.
1)Алымды кемітеміз.
2)Бөлімді арттырамыз:
Бөлшектің алымымен өрнектелетін бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп
санауға келісілген.
Мысалы,
Бұл анықтаманың нәтижесінде бөлшектердің жиынына бүтін сандардың барлығы да
кіреді, өйткені бүтін сандардың қайсысы болса да бөлімі бірге, ал алымы осы
санның өзіне тең бөлшек деп қарастыруға болады.
Мысалы. .
Сандардың қайсысы болса да, бөлімі нольден басқа, кез-келген сан болатын
бөлшек түрінде өрнектеуге болады.
Мысалы. a бүтін санды бөлімі n-ге тең бөлшек түрінде өрнектеу керек
болсын.
Бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп қарастыруға болатындықтан,
болады, бірақ (бөлшектің негізгі қасиеті бойынша) немесе .
Бұдан бөлшектердің транзитивтігі бойынша мынау шығады:
немесе .
Олай болса, бүтін санды бөлімі белгілі бөлшек түрінде өрнектеу үшін, бүтін
санды осы бөлімге көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіні алым етіп алып, ал
бөлім етіп берілген бөлімді жазса болғаны.
Мысалы. 11 саны сегіздік үлестер түрінде жазу керек.
Алымы бөліміне тең бөлшек бірге тең.Бөлшектің негізгі қасиеті бойынша
немесе екенін білеміз, бірақ , олай болса .
Бұл бір бүтінде n-нен бір бөлігі болып табылатындығы көрінеді.
➢ Алымы бөлімінен кем болатын бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады.
➢ Алымы бөлімінен артық немесе оған тең болатын бөлшек бұрыс бөлшек
деп аталады.
Бұрыс бөлшек бірден көп (артық) не оған тең болады.
Бөлшектің алымын да , бөлімін де бірдей санға арттырғанда бірден кем
бөлшек артады да, ал бірден көп бөлшек кемиді.
Бөлшектің алымынан да, бөлімінен де бірдей санды шегергенде бірден кем
бөлшек кемиді, ал бірден артық бөлшек артады.
Мысал. , , . Тексеру;
Мысал. , , ал , себебі
Мысал. , , ал
Мысал.,
Бөлшектерді қосу.
Екі бөлшектің қоындысы деп, бұл бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп,
олардың алымдарын қосып, бұдан шыққан қосындыны жаңа бөлшектің алымы етіп
алғанда, ал оның бөліміне ортақ бөлімді жазғанда шығатын жаңа өлшекті
айтады.
Бұл анықтамада амалдың алгоритмі, яғни берілген бөлшектердің қосындысын
табу үшін қолданылатын белгілі бір ереже бар.
Анығында, осы ережеге сүйеніп,
екенін табамыз.
Мысал. .
Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым етіп,
ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек. Бұл бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу
ережесі: .
Мысалы, ; қысқаша . 4-суретте және бөлшектерін
координаталық сәуледе қосу көрсетілген. Қосынды А нүктесімен кескінделеді:
А.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу үшін:
• Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек;
• Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын орындау
керек.
Мысалы, 5 суретте домбыраның басы (құлағы) м, мойны м, шанағы
м. Домбыраның ұзындығы неше метр?
Бүтін сан мен бөлшектің қосындысы аралас сан деп аталады. Қандай бүтін
санды болса да, бөліміне 1-ді жазып, бөлшек түрінде кескіндеуге
болатындығын біз жоғарыда көрген едік. Бұдан шығатын бөлшек бұрыс бөлшек
болатындығы өзінен-өзі түсінікті.
Аралас санды да бұрыс бөлшекке айналдыруға болады; бұл үшін бүтін санды
бөлшектің бөліміне көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіге алымды қосып, шыққан
бұл қосындыны ізделініп отырған бөлшектің алымы етіп алу керек., ал
бөлімді сол қалпында қалдыру керек. Мысалы, аралас санды бұрыс
бөлшекке айналдыру керек болсын. Бұл a-бүтін бірлікте, сол бірліктің bрет
алынған n-нен бір үлесін қоса есептегенде, неше n-нен бір үлес бар екенін
табу деген сөз. Бүтін сандардың қайсысы болса да бөліміне кез келген санды
алып, бөлшек түрінде кескіндеуге болатынын, бұл үшін бүтін санды осы
бөлімге көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіні алым етіп алып, ал бөлімге
алынған бөлімді жазу керектігін біз жоғарыда көрдік.
Олай болса, бүтін сан . Бұл- а бүтін санда бірліктің an рет алынған n-
нен
бір үлесі бар деген сөз. Ал b рет алынған n-нен бір үлесті қоса
есептегенде, a бүтін санда бірліктің рет алынған n-нен бір үлесі
бар. Сонымен,
болады.
Олай болса, аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру үшін, бүтін санды
бөлшектің бөліміне көбейтіп, бұдан шыққан көбейтіндіге алымды қосып, бұл
қосындыны ізделініп отырған бөлшектің алымы етіп жазып, ал бөлімді бұрынға
қалпында қалдыру керек.
Мысал.
Аралас санды анықтамасынан бұрын бөлшектердің қайсысына болса да аралас
санға айналдыруға болатындығы, яғни бұл аралас санда неше бүтін бірліктің
және оның үстіне бірге толмайтын неше тең үлестердің бар екенін табуға
болатындығы шығады. Анығанда ,бұрыс бөлшектің әрбір бірлігінде n
рет n-нен бір үлес болатындықтан, a рет алынған n-нен бір үлесте, a-ның
ішінде n неше рет болса, сонша бірлер болу керек. а-ның ішінде n неше рет
болса, сонша бірлер болу керек. а-ның ішінде n үлес b рет болстын болса
және тағы r рет n-нен бір үлес қалатын болса.
Демек, . Бұдан .
Олай болса, бұрыс бөлшекті аралас санға немесе бүтін санға айналдыру үшін
алымды бөлімге бөлсе болғаны; бұл бөлуден шыққан бөлінді аралас санда неше
бүтін, ал қалдық аралас санда бірліктің неше үлесі болуы керек екенін
көрсетеді.
Мысалы. .
Аралас сандарды қосындаларды қосудың ережесі бойынша қосады: бүтін сандарды
бір бөлек, бөлшектерді бір бөлек қосады.
Мысал.
Бөлшек сандарды қосу мына заңдарға бағынады.
1. ауыстырымдылық (коммутативтік) заңы.
Қосылғыштардың орнын өзгертуден қосынды өзгермейді:
2. терімділік (ассоциативтік) заңы.
Қосылғыштарды топтарға біріктіріп қосуды топтар бойынша жүргізсек, сонан
кейін бұдан шыққан нәтижелерді қоссақ бұдан қосынды өзгермейді.
3. Монотондылық.
Егер болса, онда .
Бөлшектерді азайту.
бөлшегіне бөлшегін шегеру дегеніміз теңдігінің
қанағаттандыратын екінші бір жаңа бөлшекті табу деген сөз.
Бұдан бөлшек сандарды азайту деп, берілген қосынды мен қосылғыштардың
біреуі арқылы екінші қосылғышты табатын арифметикалық амалды айтатындығы
шығады.
Бұл айтылғаннан бөлшек сандарды азайту амалының орындалуы жағынан натурал
сандарды азайтудан айырмашылығы жоқ екендігі көрінеді.
Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынан азайтқыштың
алымын азайтып, алым етіп жазып, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек.
Мысалы,
Бөлшектірді азайту ережесі: бір бөлшектен екініші бөлшекті шегеру үшін
оларды ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, азайғыштың алымынан азайтқыштың
алымын шегеріп, бұдан шыққан айырманы жаңа бөлшектің алымы етіп, ал ортақ
бөлімді оның бөлімі етіп алса болғаны.
Екі және бөлшектері және екенідігі берілген болсын.
екендігін дәлелдейміз.
Бөлшектерді азайтудың анықтамасы бойынша, азайтқышқа айырманы
қосқанда азайғыш шығу керек. Осыған сүйеніп берілген бөлшектерді
азайтудан шыққан нәтиженің дұрыстығын тексереміз:
Мысал алып түсіндірейік.
. Айырманы есептеу керек. екендігін дәлелдейміз; азайғыш
азайтқышқа айырманы
қосқанға тең: .
Оң жақтағы қосуды орындаймыз: .
Азайғыш шықты; олай болса азайту дұрыс орындалған.
Натурал саннан бөлшекті азайту.
1-тәсіл. Азайғыш натурал санды бөлімі азайтқыш бөлшектің бөліміне тең бұрыс
бөлшек түрінде жазу керек. Сонан соң бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту
ережесін пайдаланып азайту керек.
Мысал,
2-тәсіл. Азайғыш натурал санды бір бүтінге кемітіп, бөлімі азайтқыш
бөлшектің бөліміндей аралас сан түрінде жазып, азайтуды орындау керек.
Мысал,
Қысқаша: .
Аралас сандарды азайтуда бүтін сандар жеке азайтылады да, бөлшектері
бөлшектерді азайтудың ережесі бойынша азайтылады. Егер азайғыштағы
үлестердің саны азайтқыштағыдан аз болса, онда бір бүтінді алып, оны тиісті
үлестерге ұсақтап, азайғыштың алымына қосамыз, сонан кейін азайтуды
орындаймыз.
Мысалы. .
Бөлшектерді көбейту.
Тік төртбұрыштың ауданын (s= ab), заттың құнын (C=an), жолды табу үшін
(S=vt) ондағы шамалар бөлшектермен берілсе, бөлшектерді көбейту амалы
қолданылады.
Мысалы, Тік төртбұрыштың ұзындығы дм, ені дм. Оның ауданын табу
керек. 6-суретте квадратты ұзындай тең 5 бөлікке (үлеске), көлденеңінен
тең 3 бөлікке бөлсек, квадрат тең 15 бөлікке бөлінеді. Сонда оның бір
бөлігінің ауданы дм2. ABCD тік төртбұрышының ұзындығы АВ дм, ені
ВСдм. ABCD тік төртбұрышында әрқайсысының ауданы дм2 болатын 8
бөлік бар.
Онда ABCD тік төртбұрышының ауданы дм2. Демек, көбейтінді
бөлшегінің алымы көбейткіш бөлшектердің алымдарының көбейтіндісі: , ал
бөлімі көбейткіш бөлшектердің бөлімдерінің көбейтіндісі: Нәтижесі:
.
Екі бөлшек санның көбейтіндісі деп алымы көбейтілетін бөлшектердің
алымдарының көбейтіндісіне, ал бөлімі осы бөлшектердің бөлімдерінің
көбейтіндісіне тең болатын бөлшекті айтамыз.
Қосудағы сияқты бөлшектерді көбейтудің бұл анықтамасында амалдың алгоритмі
бар. Анығында осы анықтамаға сүйеніп, біз
екенін, немесе мысалы, екенін табамыз.
Бөлшекті бүтін санға көбейту үшін ,оның бөлімін сол қалпында қалдырып,
алымын осы санға көбейтсе болғаны.
Анығында, , өйткені с бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп есептеп,
мынаны шығарып аламыз:, немесе мысалы,
.
Ескертпе. Бөлшекті бүтін санға көбейту үшін бөлшектің бөлімін осы санға
бөліп (егер бөлуге болса), алымын бұрынғыша қалдыруға болады.
.
Бүтін санды бөлшекке көбейту үшін бұл санды бөлшектің алымына көбейтіп,
бұдан шыққан көбейтіндіні ізделіп отырған көбейтіндінің алымы етіп алып, ал
көбейтіндінің бөліміне көбейткіштің бөлімін алса болғаны.
Анығында, , өйткені k бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп алып,
мынаны табамыз:
,
Немесе мысалы, .
Аралас сандарды көбейту үшін оларды бұрыс бөлшектерге айналдырып, шыққан
бөлшектерді жалпы ереже бойынша көбейтсе болғаны.
Анығында, анықтама бойынша аралас сандардың қайсысын болса да бұрыс
бөлшекпен алмастыруға болатындықтан, аралас санндарды көбейту оларға сәйкес
бұрыс бөлшектерді көбейтумен пара-пар болады.
Мысалы. .
Көбейтуде аралас санды қашан болса да бұрыс бөлшекке айналдырып отыру шарт
емес кендігін ескерте кетейік. Мұндай сандарды көбейтудің қосындыны
қосындыға көбейту ережесі бойынша да орындауға болады, өйткені аралас сан
қандай да болса бі рбүтін сан мне бөлшектің қосындысы болып табылады.Аралас
санды бүтін санға көбейткенде аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырмаса да
болады. Аралас сан бүтін санға қосынды сияқты көбейтіледі.
Мысалы.
Олай болса, аралыс санды бүтін санға көбейту үшін бүтін санға аралас санның
бүтінін бір бөлек, бөлшегін бірбөлек көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосу
керек.
Бөлшектерді көбейту мына заңдарға бағынады:
1. Үлестірімділік (дистрибутивтік).
Екі санның қосындысының ( айырмасының) үшінші санға көбейтіндісі олардың
сол үшінші санға көбейтінділерінің қосындысына (айырмасына) тең болады.
.
2. Терімділік (ассоциативтік).
Егер жеке көбейткіштерді қандай да болсын бір топтарға біріктіріп,
көбейтуді сол топтар бойынша орындап, шыққан көбейтінділерді өз ара
көбейтсе, бұдан көбейтінді өзгермейді.
3.Ауыстырымдылық (коммутативтік).
Көбейткіштердің орнын ауыстырғаннан көбейтінді өзгермейді.
4.Монотондылық
Егер болса, онда .
Егер көбейткіштердің бірі нөлге тең болса, онда көбейтінді де нөлге тең.
Мысал,
Егер көбейткішьердің бірі жай бөлшекпен, ал екіншісі әріппен берілсе, онда
әріп бөлшектен кейін бөлшек сызығының деңгейінде жазылады.
Мысал, , мұндағы -коэффиценті, х- әріп көбейткіш.
Бөлшектерді бөлу.
Бөлу амалының көбейтінді мен көбейткіштердің біреуі белгілі болғанда екінші
көбейткішті табу үшін қолданылатын амал. Бөлу көбейткішке кері амал.
Мысал, теңдеуін шешу қажет. х-ті табу үшін бөліндісін табу
керек. Ол үшін теңдеуінің екі жағын да көбейткішінің кері
санына, яғни -ке көбейту қажет. . Көбейтудің ауыстырымдылық және
терімділік қасиетін пайдаланып: немесе , яғни ; .
Демек, бөліндісі көбейтіндісіне тең, яғни бөлшекті
бөлшекке бөлу бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшектің кері санына көбейтумен
есептеледі.
Бөлшек сандарды бөлудің натурал сандарды бөлуден айырмашылығы тек бөлшек
сандарды бөлу жағдайында компоненттер натурал сандар болмай, бөлшек сандар
болатындығында.
Бөлшектерді бөлу ережесі. Бөлшекті бөлшекке бөлу үшін бірінші бөлшектің
алымын екінші бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің бөлімін екінші
бөлшектің алымына көбейтсе болғаны; бірінші көбейтінді бөліндінің алымы, ал
екінші көбейтінді оның бөлімі болады.
және екі бөлшек берілген болсын. екенін
дәлелдейміз.
деп ұйғарайық. Сонда бөлудің анықтамасы бойынша мынау шығады:
Көбейтудің монотондылық заңына сүйеніп, шыққан теңдіктің екі жағын да
бөлшегіне көбейтеміз; сонда шығады, бірақ .Сонымен: .Олай
болса, , немесе , т.с.с.
Мысалы. .
Бөлшекті бүтін санға бөлу үшін оның бөлімін осы бүтін анға көбейтсе
болғаны.
Анығында. , өйткені с бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек деп
есептесек мынау шығады: .
Мысалы. .
Ескерту. Бөлшекті бүтін санға бөлу үшін бөлшектің алымын осы бүтін санға
бөліп (егер бөлу болса), ал бөлімді бұрынғыша қалдырса да болады.
.
Бүтін санды бөлшекке бөлу үшін, бұл бүтін санды бөлгіштің бөліміне
көбейтіп, шыққан көбейтіндіні оның алымына бөлсе болғаны.
Мысалы. .
Бөлшектің анықтамасынан а және b екі бүтін санды біріне –бірін бөлгендегі
бөлінді болатындығы шығады.Анығында, а мен b бүтін сандарды
мен бөлшектер түріне келтіруге болады. Бұл бөлшектерді бөлуді
орындасақ бөлшегі шығады.
Аралас сандарды бөлу үшін оларды бұрыс бөлшектреге айналдырып, бұдан шыққан
бөлшектерді жалпы ереже бойынша бөлсе болғаны.
Мысалы. .
Көбейтінділері бірге тең болатын екі сан өзара кері сандар деп
аталады.Берілген санға кері сан бірді осы санға бөлгенде шығатындығы өзінен-
өзі түсінікті. Мысалы. а санына кері сан болады, өйткені ; 6 мен
өзара кері сандар.
Егер бір бөлшектің алымы екінші бір бөлшектің бөліміне және керісінше тең
болса, онда мұндай бөлшектер өзара кері бөлшектер деп аталады.
мен бөлшектері өзара кері бөлшектер, өйткені ;
пен бөлшектері -өзара кері бөлшектер.Берілген анықтамаларға
сүйеніп, бөлшекке бөлудің ережесін мына түрде тұжырымдап айтуға болады: бір
санды бөлшекке бөлу үшін бұл санды берілген бөлшектің кері бөлшегіне
көбейтсе болғаны. Анығында, , ал .Олай болса, , немесе
.
Сонымен, бөлу амалын санды берілген бөлшектің кері бөлшегіне көбейту деп
қарастыруға болады.
Бөлшек арқылы шешілетін есептердің үш түрі.
1) Берілген санның көрсетілген бір бөлігін табу.
2) Қандай да бір бөлігі белгілі санды табу.
3) Бір сан екінші бір санның қандай бөлігін құрайтындығын табу.
Бөлшекке берілген есептерді келесі түрде шешуге болады.
1) суреті салынады. Бұл суретте:
а) түзуде ұзындығы белгілі немесе белгісіз шамаға тең кез келген бүтін
кесіндіні белгілейміз;
б) осы кесіндінің белгілі немесе белгісіз бөлігін жуықтап белгілейміз;
в) кесіндіге және оның бөлігіне олармен анықталатын белгілі немесе белгісіз
шамалар белгіленеді.
2) Бүтіннің бір бөлігі неге тең екендігі анықталады.
3) Ізделінді шама табылыпғ жауабы жазылады.
Мысал.
72 метрдің бөлігін табайық.
Шешудің бірінші қадамы – есептің суретін салу. Суретті кез келген бір
кесінді салудан бастаймыз. Кесіндінің ұзындығына 72 м сәйкес келеді деп
ұйғарамыз. Осы кесіндінің бөлігін табу керек. Есеп суретін салудың
келесі қадамында 72 санның бөлігін құрайтын саныд жуықтап саламыз.
Бұл кесіндінің ұзындығы белгісіз, 7 - суретте m арқылы белгіленген.
8 сурет
Келесі қадамда бүтіннің бір бөлігі неге тең екенін анықтаймыз.
Тең 8 бөлікке бөлінген бірлік кесіндінің әрбір бөлігінің ұзындығы .
Басқаша айтқанда, 72-нің бөлігі дегеніміз - .
Шешудің соңғы қадамында ізделетін шаманы тауып, жауабын жазамыз.
Сонымен, 72-нің бөлігі дегеніміз - .
Жауабы. 72 м-дің бөлігі 27 м-ге тең.
Мысал.
23 м мата сатып алынды, Осы матаның 20 метрі жұмсалған болса, матаның
қанша бөлігі жұмсалған.
Сатып алынған матаның ұзындығын сипаттайтын кесіндіні сызайық. Жұмсалған
матаның ұзындығын 8-суретте белгісіз санмеy белгілейік.
9
сурет
Егер 23 м-ді ойша жекелеген метрлерге бөлсек, онда әрбір бөлік барлық
матаның бөлігн құрайды, 23 м берілген матаның бөлігін
құрайды.
Жауабы. 20м - 23м матаның бөлігі.
1.3.Мектеп математика курсындағы Жай бөлшектер тақырыбының мазмұны.
Жай бөлшектер тақырыбын бастауыш сыныпта оқыту.
Математика бағдарламасына сәйкес бастауыш V және VI сыныптарында өтілетін
жай бөлшектерге дайындық жүргізілуі керек.Бастауыш сыныпта балалардың
бөлік, бөлшек туралы түсініктерін қалыптастыру керек. Осы мақсатпен екінші
сыныпта балаларды бөлік, бөлшек туралы түсініктерін қалыптастыру керек. Осы
мақсатпен бесінші сыныпта балаларды бөлік ұғымымыен таныстырып, оларды
жазып , салыстырып, санның бөлігі мен бөлігі арқылы сандарды табуға
арналған есептер шығарып үйрету керек. Барлық аталған сұрақтар көрнекі
түрде қарастырылады.
Бөліктермен танысу.
Балаларды бөліктермен таныстыру - ол балаларды бөлік туралы нақты
түсінікті қалыптастырып, бөліктермен практикалық түрде жұмыс жасауға
үйрету.
Мысалы, дөңгелектің төрттен бір бөлігін алу үшін, дөңгелекті бөлікке бөлу
керек.
Бөліктер туралы түсініктерін дұрыс қалыптастыру үшін әртүрлі көрнекі
құралдарды жеткілікті түрде қолдану керек. Тәжірибеде көрсеткендей, ең
ыңғайлы көрнекі құралдар ретінде қағаздан қиылған геометриялық фигуралар (
дөңгелек, тіктөртбұрыш, үшбұрыш, кесінділер және т.б) болып табылады. Осы
құралдардың тек мұғалімде ғана емес оқушылардың әр қайсысында да болуы
қажет. Алдымен бөлік туралы, кейін бөлшек туралы түсініктері оқушылардың өз
көздерімен көріп қолдармен жасағанда ғана дұрыс қалыптастырады.
Балаларды бөлікпен былай таныстыруға болады:
Әрбір оқушыда және мұғалімде бірдей дөңгелектер мен тіктөртбұрыштар бар.
Бірдей екі дөңгелекті алайық. Олардың біреуін тең екі бөлікке бөл (
дөңгелекті бүктеп кесуді көрсету керек). Бұлай бүтін дөңгелек, ал мынау
жарты дөңгелек, басқаша айтқанда дөңгелектің екіден бір бөлігі. Бүтін
дөңгелекте қанша екіден бір бөлік болады?(2) Оларды көрсетіңдер. Шаршыны
алыңдар. Шаршының екіден бір бөлігін немесе жартысын қалай алуға болады?
(шаршыны тең екіге бөліп, оның біреуін алу).Оқушыларға орындату керек.
Оқушылар оны әртүрлі тәсілмен орындаулары мүмкін. Мысалы, шаршыны диагоналы
бойынша кесіп, екі үшбұрыш алу, орта сызығы бойынша кесіп, екі тіктөртбұрыш
алу. Ал, кейбір оқушылар шаршыны басқа тәсілмен кесіп жарты бөліктерін
алады. (Сурет 9)
Сурет 9
Бөліктер екі санның көмегімен жазылады. Бөліктің немесе шаршының екіден
бір бөлігін былай жазады: . 2 саны дөңгелек, шаршы немесе басқа
фигураны
нешеге бөлгені, ал 1 саны қанша бөліктің алынып отырғанын көрсетеді.
Оқушылар дөңгелектің жартысына жазып, осы жазылымдағы әрбір санның
мағынасын түсіндіреді.
Сонымен қатар ,,,,, және т.б. бөліктерін
алады.Осылай оқушылар
мысалы кесіндінің (тіктөртбұрыш, қағаз жолағы және т.б) бөлігін алу
үшін
берілген кесіндіні (тіктөртбұрыш, қағаз жолағы және т.б.) тең 5 бөлікке
бөліп, оның біреуін алатын болсақ, осындай бөліктің кесінді (тіктөртбұрыш,
қағаз
жолағы және т.б.) 5 бөлігі бар екенін түсіндірулері керек.
жазылымды 5
саны қанша тең бөлікке бөлінгені, ал 1 саны қанша бөлігін алып отырғанын
білдіреді. Оқушылардың осы білімдерін бекіту үшін әртүрлі есептер мен
жаттығулар беріледі.
Бөліктердің айтылуы мен жазылуын үйрететін жаттығулар. (Сурет 10) Шаршы
( дөңгелек) қандай бөлігі қиылғанын ( боялғанын) айтып жазып беріңдер.
Сурет 10
Оқушылардың өздеріне бөліктерді өздері ойлап қиып, оларды жазып, айтып
үйретуге болады.
Әр жағдай сайын оқушылардан бүтінде қанша бөлік бар деп сұрап отыру керек.
Мысалы, барлық кесіндіде үштен бір кесіндіден нешеуі бар және т.с.с.
Бөліктғр туралы түсініктерін қалыптастыру үшын таза практикалық,
көрнекіліктер көмегімен орындалатын бір өлшемнің бөліктері болатын
бөліктерді салыстыру жаттығулары тиімді.
Мысалы: және бөліктерін салыстырып, ,
белгілерінің біреуін қою керек.
Оқушылар мысалы, кесінділер көмегімен бөліктерді бейнелеп салыстырады.
Салыстыру кезінде -дің -ден кіші екеніне көздерін жеткізеді.
(Сурет 11).
Бөлшектерді таныстыру.
Бөлшектердің шығуы бөліктердің шығуы сияқты көрнекі құралдар көмегімен
қарастырылады.
Дөңгелекті 4 бөлікке бөліңдер. Мұндай бөлікті қалай атайды? Жазыңдар.
Төрттен үш бөлігін көрсетіңдер. Сендер төрттен үш деген бөлшекті алыңдар. 4
саны нені көрсетеді? (дөңгелектің неше бөлікке бөлінгендігі) 3 санын нені
көрсетеді? (бөліктің қаншасының алынғандығы). Осыған ұқсас оқушылар басқа
бөлшектерді алып, жазып үйренеді және әр санның нені білдіретінін
түсіндіріп ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz