Арнайы түрдегі бүтін функциялардың нөлдері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 43 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТі

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА Кафедрасы

«Қорғауға жіберілді»

Физика-математика

кафедрасының меңгерушісі

п. ғ. д. Кадирбаева Р. И.

« » 2018ж.

Кесіндідегі үшінші ретті дифференциалдық оператордың характеристикалық анықтауышы және түбірлері

д и п л о м Д Ы Қ Ж Ұ М Ы С

5В010900-Математика мамандығы

Орындаған Бекназар Г. М.

Ғылыми жетекшісі

ф-м. ғ. к., профессор Иманбаев Н. С.

Шымкент

2018

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1 Комплексті анализдің геометриялық принциптері

1. 1 Руше теоремасы . . . . …… . . . 4 1. 2 Нөлдердің бөлінуі . . . . . . 6 1. 3 Комплексті анализдердің әдістерін қолдану . . . ………. . 9 1. 4 Бүтін функциялар. Лиувилл және Морер теоремасы . . . … . . . 11 1. 5 Лоран қатары . . . … . . . 20 1. 6 Вольтерралық қисынды тарылу мен кеңею туралы . . . 29

2 Квазиполином түріндегі экспоненциалдық бүтін функциялардың нөлдерін зерттеу

2. 1. $f(z) = P_{1}\exp\left( \beta_{1}z \right) + P_{2}\exp\left( \beta_{2}z \right)$ функциясының нөлдері, мұндағы $P_{1}, \ {\ P}_{2}, \ {\ \beta}_{1}, \ \ \beta_{2} - \$ комплексті сандар . . . ………. 26 2. 2. $f(z) = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\exp\left( \beta_{k}z \right) }$ функциясының нөлдері, мұндағы $\beta_{k}\$ өлшемді сандар . . . … . . . 26 2. 3. $f(z) = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}z^{m_{k}}\exp\left( \beta_{k}z \right) }$ функциясының нөлдері, мұндағы $\beta_{k} -$ өлшемді сандар . . . . . . 27 2. 4. $f(z) = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\exp\left( \beta_{k}z \right) }$ функциясының нөлдері, мұндағы $\beta_{k} - \$ өлшемсіз сандар . . . . . . 29

3 Кесіндідегі үшінші ретті дифференциалдық оператордың характеристикалық анықтауышы және түбірлері

3. 1 $f(z) = \int_{- 1}^{1}\exp(zt) Ф(t) dt$ функциясының нөлдерін табу . . . 33 3. 2 $f(z) = \int_{- 1}^{1}\exp(zt) Ф(t) dt$ функциясының нөлдері…… . . . 39 3. 3 Арнайы түрдегі бүтін функциялардың нөлдері . . . 43

Қорытынды . . . ……. ……… . . . 47

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . . . . 48

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі

Бүтін функциялар - ең қарапайым және кең тараған функциялар. Орта мектептің курсында әлде бүтін функцияларды (натурал көрсеткішті дәрежелер, көпмүшеліктер, көрсеткішті функция, синус пен косинус), әлде бөлшекті функциялар (мероморфты), яғни екі бүтін функцияның қатынасы (рационал - бөлшекті, тангенс, котангенс), әлде кері функцияларды қарастырады. Бүтін функцияның жалпы теориясын түсіну үшін университеттің аналитикалық функциялар теориясы курсын білу қажеттілікті талап етеді. Бүтін функциялардың нөлдерінің таралуын және асимптотикаларын зерттеу қажеттілігі дифференциалдық операторлардың спектралдық мәселелерін қарастыру барысында туындайды. Бүтін функцияның кең класын Б. Я. Левин [25], басқада кластарын В. Б. Лидский, В. А. Садовничий [26], Беллман Р., Кук К. [21] еңбектерінде қарастырылған. Атап айтқанда К класы В. Б. Лидский, В. А. Садовничий енгізген. К класы спектралдық параметрі бар дифференциалдық теңдеулерді шешкенде туындайды. 1980 жылдарда А. А. Дезин, М. Өтелбаев, А. А. Шкаликов сияқты Кеңес Одағының математиктері өзіне - өзі түйіндес емес және түйіндес операторлар үшін анықталу аймағында (шеттік шарттар) қисынды сығылу мен кеңею теориясының негізін қалады. Дәл осы уақыт мезетінде Б. Я. Левин, В. А. Садовничий, Б. М. Левитан, А. Г. Костюченко сияқты ғалымдар шеттік шарттардағы интегралдық түрдегі бейлокалдықты бөліктеп интегралдағандағы бос мүшенің нөлге анықталуынан тәуелді түрде К класында жататын бүтін функцияларды анықтайды. Қазақстанда бүтін функциялар теориясын, дифференциалдық операторлардың спектралдық теориясынан туындайтын бағытта Б. Е. Кангужин, М. А. Садыбеков, Ә. М. Сәрсенбі, Б. Н. Бияров, Ә. Шалданбаев сияқты ғалымдар дамытуда.

Дипломның мақсаты: Квазиполином түріндегі экспоненциалдық бүтін функциялардың нөлдерін зерттеу.

Диплом жұмысының құрылымы. Диплом жұмысы кіріспеден, үш тараудан, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Тараулар бөлімшеге бөлінген. Кіріспеде зерттелетін тақырыптың өзектілігі мен жалпылығының байланысы, мақсаты негізгі мәселелер қолданатын жалпы математикалық әдістер және қорғауға ұсынылатын тұжырымдар келтірілген. Бірінші тарауда комплексті анализдің геометриялық принциптері қарастырылған, яғни Руше теоремасы туралы деректер, нөлдердің бөлінуі, комплексті анализдің әдістерін қолдану, бүтін функциялар туралы түсініктер, негізгі теоремалар қарастырылған.

Екінші және үшінші тарауда бүтін функциялардың нөлдерінің асимптотикасы қарастырылған, яғни нөлдердің комплексті жазықтықта орналасуын, өзгеруі шенелген функцияның шешімділігі дәлелденген.

Есептің қойылымы: $f(z) = \int_{- 1}^{1}{\exp(zt) Ф}(t) dt$ бүтін функцияның нөлдерінің бөлінуін зерттеу, мұндағы $Ф(t)$ - өзгеруі шенелген функция және $Ф( - 1) = Ф(1) = 1$ шартын қанағаттандырылады.

1 Комплексті анализдің геометриялық принциптері

Руше теоремасы

Есеп 1. 1. 1 D облысының ішкі G облысында $f(z) = 0$ теңдеуін шешу, мұнда D- $f(z)$ голоморфты функциясының бірбайламды облысы.

Есеп 1. 1. 2 D облысының ішкі G облысында $f(z) = 0$ теңдеуінің шешімі бар ма? Мұнда D- $f(z)$ голоморфты функциясының бірбайламды облысы. Егерде бар болса, қанша?

Аргумент принципі бойынша 2-ші есептің шешімін береді. Оны келесі бағыт бойынша іздеуге болады. $f(z)$ ізделінді функциясының аргумент өсімшесін іздеумен бірге басқа функцияның аргумент өсімшесін табуға болады. Таңдау бойынша жалғыз талап, олардың өсімшелері бірдей болады. Руше қарапайым функцияның аргумент өсімшелері бірдей болатын алгоритмді нұсқайды.

Теорема 1. 1. 1 Егерде $f(z)$ -ты $g(z) - D$ облысында голоморфты функция болатындай $f(z) = g(z) + \left( f(z) - g(z) \right)$ қосындысына жіктеуге болады.

G облысындағы $\partial G$ шекарасында $f(z) \ > \ f(z) - g(z) \ \$ немесе $g(z) \ > \ f(z) - g(z)$ , бағалау орынды болса, онда $\mathrm{\Delta}_{\partial G}argf(z) \ = \mathrm{\Delta}_{\partial G}arg\ g(z) \$ болады. Сонымен 2 - ші есепті шешу үшін f(z) = 0 үшін g(z) = 0 теңдеуін шешу жеткілікті.

Дәлелдеу $:g(z) \ > \ f(z) -g(z) \ \geq \ 0\$ , $g(z) \ + \ (f(z) - g(z) ) \geq g(z) \ - \ (f(z) \ - g(z) ) 0\ \ \$ теңсіздігінен f(z) және g(z) $\partial G$ - да нөлге тең емес. Сонымен $g(z) \neq \ 0\ \ \$ болғанда $z\epsilon\partial G$ болса, онда

$f(z) > g(z) + \left( f(z) - g(z) \right) = g(z) \left( 1 + \frac{\left( f(z) - g(z) \right) }{g(z) } \right)$ , болса

$\mathrm{\Delta}_{\partial G}\arg{f(z) =}\mathrm{\Delta}_{\partial G}\arg{g(z) + \mathrm{\Delta}_{\partial G}\arg\left( 1 + \frac{\left( f(z) - g(z) \right) }{g(z) } \right) }$ қатынасын аламыз.

Бірақ $\left \left( \frac{\left( f(z) - g(z) \right) }{g(z) } \right) \right < 1$ $\partial G$ - та болса, $z\epsilon\partial G$ кез-келген $w = \frac{\left( f(z) - g(z) \right) }{g(z) }$ нүктесі $w < 1$ шеңберінен шықпайды. Сондықтан $\omega = w + 1$ векторы $\omega = 0$ нүктесінің бойынан айналмаса, онда $\mathrm{\Delta}_{\partial G}\arg\left( 1 + \frac{\left( f(z) - g(z) \right) }{g(z) } \right) = 0$ болады. Мысал 1 $. z^{5} - 5z + 8$ функциясының нөлдері қайда жатыр? Шешімі:1-ші қадам. Алдымен берілген көпмүшеліктің нөлдерін бірлік шеңбер бойынан зерттейік. Бұл жағдайда

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 1 \right\}, \ g(z) \equiv 8, \ f(z) - g(z) \equiv z^{5} - 5z\$

Руше теоремасының шарттарының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 1 \right\}\$ болса, онда $8 > 6 \geq \left z^{5} \right + 5z \geq \left z^{5} - 5z \right$ теңсіздігі орынды. Шындығында Руше теоремасы бойынша $z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің бірлік шеңбер бойында қанша нөлдері бар болса, сонша $g(z) \equiv 8 = 0$ қарапайым теңдеуінің шешімдері болады. Соңғы теңдеудің барлық шеңберде шешімі жоқ. Демек, $z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің бірлік шеңберде шешімі жоқ.

1-қадам. Радиусы 2-ге тең және центрі координата басында жатқан шеңбер бойынан берілген көпмүшеліктің нөлдерін зерттейік.

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 2 \right\}, \ \partial G = \left\{ z = 2 \right\}, \ g(z) \equiv z^{5}, \ f(z) - g(z) \equiv 8 - 5z\$ таңдаймыз. Руше теоремасының шарттарының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 2 \right\}$ болса, онда $\left z^{5} \right = 32 > 8 + 2*5 \geq 8 + 5z \geq 8 - 5z$ орындалады. Шындығында Руше теоремасы бойынша $\ z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің G шеңберінде қанша шешімі бар болса, $g(z) \equiv z^{5} = 0$ қарапайым теңдеуінің сонша шешімі бар болады. Соңғы теңдеуден G шеңберінде бес шешім бар. Демек, $z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің G шеңберінде сондай бес шешім бар. Дербес жағдайда көпмүшелік G шеңберінің сыртында нөлдері жоқ.

2-қадам. Демек, берілген көпмүшеліктің барлық нөлдері $1 < z < 2$ сақинасында шоғырланған. Нәтижені нақтылап көрейік.

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 1, 9 \right\}, \ \partial G = \left\{ z = 1, 9 \right\}, \ g(z) \equiv z^{5}, \ f(z) - g(z) \equiv 8 - 5z\$

Руше теоремасының шарттарының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 1, 9 \right\}$ болса, онда $\left z^{5} \right = 24, 76099 > 8 + 1, 9*5 \geq 8 + 5z \geq 8 - 5z$ теңсіздігі орынды. Шындығында Руше теоремасы бойынша $\ z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің G шеңберінде қанша шешім болса, $g(z) \equiv z^{5} = 0$ қарапайым теңдеуінің сонша шешімі бар. Соңғы теңдеуден G шеңберінде $\ \ z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің бес шешім бар. Кейде G шеңберінде көпмүшеліктің нөлдері болмайды.

3-қадам. Демек, берілген көпмүшеліктің $1 < z < 1, 9$ сақинасында барлық нөлдері шоғырланған нәтижесін нақтылап көрейік.

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 1, 8 \right\}, \ \partial G = \left\{ z = 1, 8 \right\}, \ g(z) \equiv z^{5}, \ f(z) - g(z) \equiv 8 - 5z\$ болсын.

Руше теоремасының шарттарының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 1, 8 \right\}$ болса, онда $\left z^{5} \right = 18, 89568 > 8 + 1, 8*5 \geq 8 + 5z \geq 8 - 5z$ теңсіздігі орынды. Шындығында Руше теоремасы бойынша $\ z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің G шеңберінде қанша шешімі болса, $g(z) \equiv z^{5} = 0$ қарапайым теңдеуінің сонша шешімі болады. Соңғы теңдеудің G шеңберінде бес шешімі бар. Кейде G шеңберінде көпмүшеліктің нөлдері болмайды.

4-қадам. Демек, берілген көпмүшеліктің $1 < z < 1, 8$ сақинасында барлық нөлдері шоғырланған. Нәтижені нақтылап көрейік.

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 1, 7 \right\}, \ \partial G = \left\{ z = 1, 7 \right\}, \ g(z) \equiv z^{5}, \ f(z) - g(z) \equiv 8 - 5z\$ болсын.

Руше теоремасының шарттарының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 1, 7 \right\}$ болса, онда $\left z^{5} \right = 14, 19857\$ теңсіздігі орындалады, $8 + 1, 7*5 \geq 8 + 5z \geq 8 - 5z$ орындалмайды. Шындығында Руше теоремасының шарттары қандай да бір белгілеулерде орындалмайды. Оны басқаша орындау керек. Мына жағдайда

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 1, 1 \right\}, \ \partial G = \left\{ z = 1, 1 \right\}, \ g(z) \equiv 8, \ f(z) - g(z) \equiv z^{5} - 5z\$

Руше теоремасының шарттарының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 1, 1 \right\}$ болса, онда $8 > 1, 61051 + 5, 5 > {1, 1}^{5} + 1, 5 \geq \left z^{5} \right + 5z \geq \left z^{5} - 5z \right\$ теңсіздігі орынды. Шындығында Руше теоремасы $\ z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің G шеңберінде қанша шешімі болса, $\ g(z) \equiv 8 = 0$ қарапайым теңдеуінің сонша түбірі бар. Соңғы теңдеудің шеңберде шешімі жоқ. Демек, G шеңберінде $z^{5} - 5z + 8 = 0$ теңдеуінің шешімдері жоқ.

5-қадам. Демек, берілген көпмүшеліктің барлық нөлдері $1, 1 < z < 1, 8$ сақинасында шоғырланған. Нәтижені нақтылап көрейік.

$D = \blacksquare, \ G = \left\{ z < 1, 2 \right\}, \ \partial G = \left\{ z = 1, 2 \right\}, \ g(z) \equiv 8, \ f(z) - g(z) \equiv z^{5} - 5z\$ жағдайында Руше теоремасының орындалуын тексерейік. Егерде $\forall z\epsilon\partial G = \left\{ z = 1, 2 \right\}$ болса, онда $8$ теңсіздігі орынды. $2, 48832 + 6{> 1, 2}^{5} + 6 \geq \left z^{5} \right + 5z \geq \left z^{5} - 5z \right$ орындалмайды. Шындығында Руше теоремасының шарттары бойынша мұндай таңдау орындалмайды.

Менің соңғы нәтижем $1, 1 < z < 1, 8$ сақинасында көпмүшеліктің барлық нөлдері шоғырланған.

1. 2 Нөлдердің бөлінуі

Руше теоремасын пайдаланып $z < 1$ шеңберінің ішінде жатқан $z^{9} - 2z^{6} + z^{2} - 8z - 2 = 0\ \$ теңдеуінің түбірлерінің санын тап

Шешімі: $\underset{бағыныңқы}{\overset{z^{9} - 2z^{6} + z^{2}}{︸}} - \underset{бастапқы}{\overset{8z - 2}{︸} = 0}$

Сонымен $z < 1$ болғанда бағыныңқы бөлігі төрттен аспайды. Басқаша айтқанда бірлік шеңберде бағыныңқы бөліктің модулі бастапқы бөліктің модулінен аз. Бірлік шеңберде бастапқы бөліктің бірі нөл болады. Сондықтан, Руше теоремасы бойынша берілген теңдеудің бірлік шеңбері бір ғана түбірге ие болады. Бастапқы бөлікпен бағыныңқы бөлікті жіктеу бірдей емес.

Мысалы: $\underset{бағыныңқы}{\overset{z^{9} - 2z^{6}}{︸}} + \underset{бастапқы}{\overset{{\ z}^{2} - 8z - 2}{︸} = 0}$

мұнда $z < 1$ болғанда бағалау орынды.

$\left z^{9} - 2z^{6} \right \leq \left z^{9} \right + \left 2z^{6} \right = 1 + 2 = 3 < 5 \leq - 8z - \left z^{2} \right - 2 \leq - 8z - \left z^{2} - 2 \right \leq \left - 8z + z^{2} - 2 \right$

Бұл жағдайда $z^{2} - 8z - 2 = 0$ бастапқы бөліктің бірлік шеңберде бір ғана нөлі бар болады. Сонымен Руше теоремасы бойынша берілген теңдеудің бірлік шеңберде бір ғана түбірі болады. Руше теоремасын пайдаланып $z < 1$ шеңбердің ішінде жатқан $z^{7} - 5z^{4} + z^{2} - 2 = 0\$ теңдеуінің түбірлерінің санын тап.

$\underset{бағыныңқы}{\overset{z^{7} + z^{2} - 2}{︸}}\ \ \ \ \ - \underset{бастапқы}{\ \ \ \ \ \ \overset{5z^{4}}{︸}\ = 0}$

Сонымен $z < 1$ болғанда бағыныңқы бөлігі төрттен аспайды, ал бастапқы бөліктің модулі бестен кем емес. Басқаша айтқанда бірлік шеңберде бағыныңқы бөліктің модулі аз. Бастапқы бөліктің бірлік шеңберде тура төрт нөлі бар. Сондықтан Руше теоремасы бойынша берілген теңдеудің бірлік шеңберде төрт түбірі бар болады. $1 < z < 2$ сақинасында $z^{4} - 5z + 1$ теңдеуінің қанша түбірлері бар. Шешімі:Алдымен бірлік шеңберде содан соң $z < 2$ шеңберінде қанша түбірлерді бар екендігін түсіндірейік

$\underset{бағыныңқы}{\overset{z^{4} + 1}{︸}}\ \ \ \ \ - \underset{бастапқы}{\ \ \ \ \ \ \overset{5z}{︸}\ = 0}$

Сонымен $z < 1$ болғанда бағыныңқы бөліктің модулі екіден аспайды, ал бастапқы бөліктің модулі бестен кем емес. Бастапқы бөліктің бірлік шеңберде тура төрт нөлі бар. Сондықтан Руше теоремасы бойынша берілген теңдеудің бірлік шеңберде де бір түбірі бар.

$\underset{бағыныңқы}{\overset{- 5z + 1}{︸}}\ \ \ \ + \underset{бастапқы}{\ \ \ \ \ \ \overset{z^{4}}{︸}\ = 0}$

Сонымен $z < 2$ болғанда бағыныңқы бөліктің модулі он бірден аспайды, ал бастапқы бөліктің модулі отыз екіден кем емес. Басқаша айтқанда $z < 2$ шеңберде бағыныңқы бөліктің модулі бастапқы бөліктің модулінен аз. Бастапқы бөлік $z < 2$ шеңберде тура нөлі бар. Сондықтан берілген теңдеудің Руше теоремасы бойынша $z < 2$ шеңберінде де төрт түрі бар.

Сондай-ақ $1 < z < 2$ сақинасында берілген теңдеу үш түбірге ие болады.

Оң жақ жарты жазықтықтағы $z^{4} + 2z^{3} + {3z}^{2} + z + 2$ көпмүшелігінің нөлдерінің санын тап Шешуі: Аргумент принципін қолданамыз. Ол үшін үлкен радиусы жеткілікті жарты шеңбердің оң жақ бойымен және жорамал осьтің бойымен көпмүшеліктің өсімшесінің аргументін есептеу керек. Өсімше аргументі жорамал ось бойында.

$\mathrm{\Delta}_{( + i\infty, - i\infty) }\arg\left( z^{4} + 2z^{3} + {3z}^{2} + z + 2\ \ \right) = \left \begin{matrix} z = iy \\ y \in ( - \infty, + \infty) \end{matrix} \right = = \ \mathrm{\Delta}_{( + i\infty, - i\infty) }\arg\left( y^{4} - {3y}^{2} + 2 - 2{iy}^{3} + iy\ \ \right)$