Логарифмдік теңдеулерді шешу
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
1 КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯЛАР ... ... ... ... ... .. 9
1.1 Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 9
1.2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.1 Логарифмнің анықтамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.2 Логарифмнің қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.3 Логарифмдік функция және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3.1 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы ... ... ... . 11
1.3.2 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың интегралы ... ... ... . 12
1.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері ... 13
1.4.1 Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу ... ... . 13
1.4.2 Көрсеткіштік теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 14
1.4.3 Логарифмдік теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
1.5 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
1.5.1 Көрсеткіштік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16
1.5.2 Логарифмдік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕП ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... .. 18
2.1 Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер ... 18
2.2 Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. 20
3 МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДА КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... .. 22
3.1 Көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді жетілдіре оқыту ... ... ... ... ... ... 22
3.2 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 25
3.3 Жалпы білім беретін мектепте логарифмдік теңдеулерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 37
3.4 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
3.4.1 Көрсеткіштік теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
3.4.2 Логарифмдік теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 49
3.5 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
3.5.1 Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
3.5.2 Логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 62
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
КІРІСПЕ
Тақырыптың өзектілігі. XXI ғасыр - ғылым мен техниканың, технологияның қарыштап дамыған кезі. Ақпараттандыру, жаһандану және интеграция ғасырында жаңа дүние үшін күрес жолында білім беру бірінші кезекке қойылып отыр. Қазіргі білім беруде математиканың орны ерекше. Жалпы білім беретін мектептерде математиканың жекелеген тараулары бойынша есептер шығаруда оқушыларда қиындық тудыратын тұстары жеткілікті. Бұл Ұлттық біріңғай тестілеу нәтижелерінде байқалады. Ұлттық бірыңғай тестілеуді енгізу білім беру ұйымдарының қызметін объективті бағалауға, олардың нақты рейтингтерін анықтауға, жалпы орта білім мәселелеріне жұртшылықтың назарын күшейтуге, оқушылар мен мұғалімдердің оқу еңбегінің қорытындысын анықтауға, дәлелдеуге мүмкіндік береді. Ұлттық бірыңғай тестілеу құру қазіргі заман талабынан туындап отырған қажеттілік. Ұлттық бірыңғай тестілеу білім беру ұйымдарының жұмысын айқын көрсетіп, оқушылар мен ұстаздардың бірлескен еңбегін бағалайтын, білім сапасына қол жеткізетін көрсеткіш болып табылады.
Қазіргі таңда мектеп бітірушілерді тестілеуден өткізу заман талабына сай жүргізіліп отырғаны белгілі. Осы орайда математика пәні міндетті пәндердің бірі болғандықтан оқушылардың даярлығы да стандарттан төмен болмауы тиіс. Сондықтан тестілеу барысында оқушылардың көпшілігіне қиындық тудыратын есептерге математиканы оқыту әдістемесінде айрықша көңіл өлу қажет. Осындай тақырыптардың бірі - көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу. Мұндай теңдеулердің шешімін тапқанда мүмкін мәндер жиына кірмейтін айнамалы мәндерін қабылдау немесе түрлендіру барысында шешімді жоғалту мәселелері қиындық тудырады.
Осыған байланысты диплом жұмысының таңдалған тақырыбы математиканы оқыту әдістемесінде өзекті мәселелердің бірі болып табылады.
Зерттеудің ғылыми жаңашылдығы: Педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттерді және озат мұғалімдердің іс-тәжірибелерін зерттеу негізінде жалпы білім беретін мектептерде математиканы оқытуда көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу ерекшеліктері айқындалды.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы: зерттеу нәтижелерін математикадан оқу және әдістемелік құралдарды дайындағанда, мектепте математиканы оқытуда, мұғалімдер білімін жетілдіру курстарында және жоғары оқу орындарының математика мұғалімдерін дайындайтын бөлімдерде, ҰБТ-ға дайындалуда пайдалануға болады.
Диплом жұмысының мақсаты: жалпы білім беретін мектептерде оқытылатын математика оқулықтарындағы, педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттердегі және озат мұғалімдердің іс-тәжірибелеріндегі көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешуге қатысты материалдарға талдау жасау және дидактикалық мақсаттарға сәйкес аталған тақырыптарды оқыту тиімділігін арттыру мәселелерін зерттеу.
Зерттеудің міндеттері:
* жалпы білім беретін мектептердегі математика курсы бағдарламасына, оқулықтарға көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты талдау жасау;
* жалпы білім беретін мектептердегі математика оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешу;
* жалпы білім беретін мектеп математикасында көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешу әдісттемесін жетілдіру бойынша ұсыныстар жасау.
Зерттеу объектісі: жалпы білім беретін мектептердегі математика курсындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептер есептер, математика сабақтарындағы оқу процесі.
Зерттеу әдістері: қарастырылып отырған зерттеудің теориялық-әдіснамалық негізін айқындау мақсатында психологиялық, педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттерді зерделеу және оларға талдау жасау; математика пәні бойынша жасалған оқу бағдарламаларына, оқулықтарға, есептер жинақтарына, әдістемелік құралдарға ғылыми-әдістемелік негізде талдау жасау; оқушылардың математикадан алған білім, білік және дағдыларының жайын зерттеу; пән мұғалімдерімен әңгімелесу.
Зерттеудің теориялық және әдіснамалық негіздері: ғалымдардың, әдәскерлердің, мұғалімдердің жалпы білім беретін мектептердегі математика курсында көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешуді оқыту туралы еңбектері; педагогикалық бағдарламалық құралдар жасап шығарудағы ғылыми теориялық және практикалық жетістіктері.
Зерттеудің тәжірибелік базасы:
Жұмыстың құрылымы: диплом жұмысы кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспеде жұмыс тақырыбының өзектілігі, зерттеудің ғылыми жаңашылдығы, практикалық маңыздылығы, жұмыстың мақсаты мен міндеттері, зерттеу объектісі, зерттеу әдістері, теориялық және әдіснамалық негіздері, тәжірибелік базасы және жұмыстың құрылымы келтірілген.
Бірінші тарауда жалпы білім беретін мектепте оқытылатын көрсеткіштік және логарифмдік функциялар туралы материалдардың мазмұны қарастырылған. Онда көрсеткіштік функция және оның қасиеттері, логарифмдік функция және оның қасиеттері, көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері, көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер қамтылған.
Екінші тарауда жалпы білім беретін мекетеп оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік функциялар келтірілген. Онда жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер, жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер қарастырылды.
Үшінші тарау математиканы оқытуда көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді оқыту әдістемесіне арналды. Мұнда жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте логарифмдік теңдеулерді шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдсіздіктерді шешу әдістемесі қарастырылды.
Қорытындыда алынған нәтижелер, ұсыныстар келтірілген.
1 КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯЛАР
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу сәйкесінше көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың қасиеттерімен тығыз байланысты. Сондықтан көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу үшін осы функциялардың анықтамаларымен, қасиеттерімен, мысалдарымен толық танысқан дұрыс. Бұл көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу әдістерін жақсы меңгеру үшін де қажет. Жалпы білім беретін мектеп оқулықтарында да бұл мәселелер көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды қамтыған тарауда қарастырылған.
1.1 Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері
Анықтама. Егер a0, a!=1 болса, онда y=ax функциясы негізі a-ға тең көрсеткіштік функция деп аталады.
Мысалы, y=3x, y=10x, y=0,2x, y=12x, y=2x және т.с.с. көрсеткіштік функциялар болады. анықтамадағы a0, a!=1 шарттары өте маңызды. Мысалы, нақты көрсеткішті дәрежелер тек оң сандар үшін анықталғандықтан a0 болуы қажет. Екінші жағынан, егер a=1 болса, онда әрбір x∈(-infinity,+infinity) мәнінде y=ax=1x=1 болып, функция x-ке тәуелді болмай қалады (бұл жағдайда оны y=1 тұрақты фунциясы ретінде қарастырады).
Көрсеткіштік функцияның қасиеттері:
10. Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы (-infinity,+infinity) жиыны болады.
20. (0,+infinity) көрсеткіштік функцияның мәндерінің жиыны болады.
30. а) Егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
ә) егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
б) егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
в) егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
г) егер a1 және x=0 болса, онда a0=1 болады.
40. Егер a1 болса, онда y=ax көрсеткіштік функциясы өспелі болады, яғни x1x2 теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір x1,x2 нақты сандары үшін ax1ax2 теңсіздігі орындалады.
50. Егер 0a1 болса, y=ax көрсеткіштік функциясы кемімелі болады, яғни x1x2 теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір x1,x2 нақты сандары үшін ax1ax2 теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеу. 10. Бұл қасиеттің дәлелдеуә анықтамадан шығады.
20. Оң санның рационал көрсеткішті дәрежесі оң болатынын білеміз, яғни x рационал сан болса, онда ax0 теңсіздігі орындалады. Онда ax0 теңсіздігі кезкелген иррационал сан үшін орындалады (дәрежелік функцияның оң мәндер қабылдау қасиеті бойынша).
30. а) Егер a1 және x0 болса, онда нақты көрсеткішті дәреженің (бірсарынды өспелі болу) қасиеті бойынша ax1 болады.
ә) Егер a1 және x0 болса, онда ax1x=1 болады.
Қалған қасиеттер де осыған ұқсас дәлелденеді.
1.2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері
1.2.1 Логарифмнің анықтамасы. ax=b (a0, a!=1) теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің түбірі y=ax функциясы графигі мен y=b түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссаларына тең. b0 болғанда қиылысу нүктесі біреу ғана болады, керісінше болғанда графиктер қиылыспайды. Олай болса, b0 болғанда ax=b теңдеуінің түбірін негізі a-ға тең болатын b санының логарифмі ретінде алуға болады.
Анықтама. Берілген оң санның берілген негіздігі логарифмі деп осы негіздің берілген санға тең дәреже көрсеткішін айтады, яғни b0 санының а (a0, a!=1) негізіндегі логарифмі деп
ac=b (1.1)
теңдігін қанағаттандыратын с санын айтады және logab арқылы белгілейді.
Сонымен анықтама бойынша (1.1) теңдіктен
b=alogab (1.2)
теңдігін аламыз. (1.2) формула логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі деп атайды.
Мысал. 1) log381; 2) log20,125 өрнектерінің мәнін табукерек.
Шешуі. 1) 81=34, онда анықтама бойынша log381=4.
2) 0,125=18=2-3, онда анықтама бойынша log20,125=-3.
1.2.2 Логарифмнің қасиеттері. Енді логарифмнің негізгі қасиеттерін атап өтейік.
Кезкелген a0 (a!=1) және b,c оң сандары үшін:
10. loga1=0;
20. logaa=1;
30. logabc=logab+logac;
40. logabc=logab-logac;
50. logabm=mlogab, m∈R;
60. loganb=1nlogab, n∈R, n!=0;
70. loganb=loganc теңдігінен b=c теңдігі шығады;
80. logab=logcblogca, c!=1
қасиеттері орындалады.
Мысал. а) log216; ә) log1327; б) log42 өрнегінің мәнін есептеу керек.
Шешуі. а) log216=log224=4log22=4;
ә) log1327=log3-133=-3log33=-3;
б) log42=log222=12log22=12.
Мұнда біз 20, 50, 60 қасиеттерді пайдаландық.
1.2.3 Логарифмдік функция және оның қасиеттері. Енді логарифмдік функцияға анықтама берейік.
Анықтама. y=logax (a0, a!=1) түрінде берілген функцияны негізі a болатын логарифмдік функция деп атайды.
Мысалы, y=log2x - негізі 2-ге тең логарифмдік функция, ал y=log12x - негізі 12-ге тең логарифмдік функция.
Логарифмдік функцияның қасиеттері:
10. Логарифмдік функцияның анықталу облысы (0,+infinity) жиыны болады.
20. (-infinity,+infinity) көрсеткіштік функцияның мәндерінің жиыны болады.
30. Егер a1 болса, онда y=logax функциясы өспелі болады.
40. Егер 0a1 болса, онда y=logax функциясы кемімелі болады.
50. Негіздері бірдей логарифмдік y=logax және y=ax функцияларының графиктері y=x түзуіне қатысты симметриялы болады.
1.2.4 Негізі e-ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар. Негізі e-ге тең көрсеткіштік функция y=ex түрінде жазылады. Негізі e-ге тең логарифмді натурал логарифм деп атайды және lnx арқылы белгілейді. Ал, y=lnx (x0) функциясын натурал логарифмдік функция деп атайды
1.3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы
1.3.1 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын есептеуге ерналған келесі формулаларды дәлелдейік.
ax'=axlna, e'=ex, (1.3)
logax'=1xlna, lnx'=1x. (1.4)
y=ax, a1, a!=1, x∈(-infinity,+infinity) функциясы берілсін. Оның x нүктесіндегі өсімшесін анықтайық. ∆y=ax+∆x-ax=ax(a∆x-1). Осыдан туындының анықтамасы бойынша
y'=ax'=lim∆x--0∆y∆x=lim∆x--0axa∆x -1∆x=axlim∆x--0a∆x-1∆x=axlna.
Мұнда limx--0ax-1x=lna теңдігі пайдаланылды. Сонымен ax'=axlna. Егер a=e болса, онда ex'=exlne=ex. (1.3) формула дәлелденді.
Енді y=logax , a0, a!=1 (x0) функциясының қсімшесін есептейік:
∆y=logax+∆x-logax=logax+∆xx=loga1+∆ xx.
Онда
y'=logax'=lim∆x--0loga1+∆xx∆x=lim∆ x--01xloga1+∆xx∆xx=1xlogae=1xlna.
Мұнда limx--0loga1+xx=logae формуласы мен жаңа негізге көшу формуласы (логарифмнің 80 қасиеті) пайдаланылды. Сонымен, logax'=1xlna. Егер a=e болса, онда lnx'=1xlne=1x. (1.4) формула дәлелденді.
Мысал. y=2x-3+ln(x+1) функциясының туындысын табу керек.
Шешуі. Туынды алу ережесіне сүйеніп,
y'=2x-3'+lnx+1)'=2x-3ln2+1x+1
болатынын көреміз.
1.3.2 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың интегралы. (1.3) және (1.4) формулалар бойынша y=1x, y=ax, y=ex функцияларының алғашқы функциялары сәйкесінше y=lnx, y=axlna , y=ex функциялары болатынын көреміз. Олай болса,
dxx=lnx+C, axdx=axlna+C, exdx=ex+C
формулалары орындалады.
Мысал.
ctgxdx=cosxsinxdx=sinx=y,cosxdx=dy= dyy=lny+C=lnsinx+C.
1.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері
1.4.1 Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу. Егер a0, a!=1 және b0 болса, онда
ax=b (1.5)
теңдеуін қарапайым көрсеткіштік теңдеу деп атайды. Бұл теңдеудің b=0 болғанда түбірлері болмайды, ал b0 болса бір ғана түбірі болады. Онда b0 болғанда (1.5)5 теңдеудің түбірі
x=logab (1.6)
теңдігімен анықталады.
1-Мысал. 2x-2=16 теңдеуін шешейік.
Шешуі. (1.6) бойынша x-2=log216, бұдан x=2+log216=2+4=6.
Әдетте, мұндай қарапайым теңдеуді шешкенде оң жақ бөлігіндегі өрнекті (b-ны) негізі a-ға тең дәреже түріне келтіреді. Мысалы қарастырған есепте b=16=24 екенін ескеріп, берілген теңдеуді 2x-2=24 түрінде жазса жеткілікті. Осыдан x-2=4, онда x=6.
Егер a0, a!=1 болса, онда
logax=p (1.7)
теңдеуін қарапайым логарифмдік теңдеу деп атайды. Бұл теңдеудің p-ның кезкелген мәнінде бір ғана түбірі бар екенін көрсетейік. Шынында да, (1.7) теңдеудің түбірі y=logax функциясының графигі мен y=p түзуінің қиылысуының абсциссасы екенін жақсы білеміз. Алғашқысы монотонды функция, ал екіншісі тұрақты функция болғандықтан олардың графиктері бір ғана нүктеде қиылысады. Олай болса, p-ның кезкелген мәнінде (1.7) теңдеудің бір ғана түбірі болады. Логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі бойынша x=alogax теңдігі орындалатындығын ескерсек, (1.7) теңдеудің жалғыз шешімі
x=ap (1.8)
теңдігімен анықталады.
2-Мысал. log3x+3+log3x+1=1 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. logab+logac=logabc формуласы бойынша берілген теңдеудің сол жақ бөлігін log3(x+3)x+1 немесе log3(x2+4x+3) түрінде жазуға болады. Сонда теңдеу мына түрг келеді:
log3(x2+4x+3)=1.
Осыдан (1.8) формула бойынша x2+4x+3=31 теңдігі орындалады. Бұдан, x1=0, x2=-4. Логарифмдік функция бүкіл сан өсінде анықталмағандықтан, бұл табылған тбірлердің берілген теңдеуді қанағаттандыратындығын не қанағаттандырмайтындығын тексеру керек. Егер x=0 болса, онда
log30+3+log30+1=log33=1.
Демек, x1=0 түбірі берілген теңдеуді қанағаттандырады. Егер x=-4 болса, онда log3-4+3+log3-4+1 өрнегінің мағынасы болмайды. Сонымен, жауабы: x=0.
Жалпы теңдеулерді шешуде негізінен екі тәсілді жиі қолданады: жаңа айнымалы енгізу және көбейткіштерге жіктеу. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеуді бірнеше қарапайым теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. Сонымен, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең күштестігін қадағалай отырып, көрсеткіштік және логарифмдік функцияларға тән қасиеттерді де қолдану керек. Енді күрделі көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
1.4.2 Көрсеткіштік теңдеулерді шешу. Әдетте көрсеткіштік теңдеулерді
afx=agx, (a0, a!=1) (1.9)
түріне келтіріп шешеді. Бұл теңдеу y=f(x) және y=g(x) функцияларының ортақ анықталу облысында f(x)=g(x) теңдеуіиен тең күштес болады.
3-Мысал. 81x-2∙9x-3=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. 9x=y белгілеуін енгізсек, берілген теңдеу y2-2y-3=0 түрінде жазылады. Осыдан, y1=-1, y2=3. 9x өрнегі тек оң мәндер қабылдайтын болғандықтан -тің y1=-1 мәнін қарастырмаймыз. Онда y2=3 мәнін пайдаланып 9x=3 теңдеуіне келеміз. Бұдан x=0,5.
(1.9) теңдеуімен қоса
a(x)fx=a(x)g(x) (1.10)
түріндегі көрсеткіштік-дәрежелік теңдеулер де кездеседі. Мұнда y=f(x) және y=g(x) функцияларының ортақ анықталу облысы мен ax0 теңсіздігін қанағаттандыратын x-тің мәндер жиынының қиылысуы теңдеудің мүмкін мәндер жиынын анықтайды. Егер m0, m!=1 болса, онда (1.10) теңдеу
f(x)logmax=g(x)logma(x)
теңдеуімен тең күштес болады. Өз кезегінде бұл теңдеу жалпы жағдайда
logma(x)=0, fx=g(x)
теңдеулер жиынтығымен тең күштес болады. Ал, мүмкін мәндер жиынында fx0, gx0 болса, онда көрсетілген жиынтық құрамына ax=0 теңдеуін де қосу қажет.
4-Мысал. x-3x2-x=x-32 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. x-тің кезкелген нақты мәнінде теңдеудің мағынасы бар, яғни берілген теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (-infinity,+infinity) болады. Онда жоғарыдағы айтылғандар бойынша берілген теңдеу
x-3=0, x-3=1, x2-x=2
теңдеулері жиынтығымен тең күштес. Бірінші теңдеуден x1=3, екінші теңдеуден x2=2, x3=4, ал соңғы теңдеуден x4=-1, x5=2 түбірлерін аламыз.
1.4.3 Логарифмдік теңдеулерді шешу. Логарифмдік теңдеулерді
logafx=logagx, (a0, a!=1)
түріне келтіріп шешеді. Бұл теңдеу
fx=gx,fx0, gx0
жүйесімен тең күштес. Жүйедегі соңғы екі теңсіздіктер жүйесімен берілген теңдеудің мүмкін мәндер жиыны анықталады. Әдетте оны алдын ала шешіп алып, теңдеудің мүмкін мәндер жиынын тауып алады. Негізі де айнымалы логарифмдік теңдеулер кездеседі:
loga(x)fx=loga(x)gx. (1.11)
Бұл теңдеудің мүмкін мәндер жиыны fx0, gx0, ax0, a(x)!=1 теңсіздіктер жүйесімен анықталады. Анықталған мүмкін мәндер жиынында (1.11) теңдеу fx=gx теңдеуімен тең күштес болады.
5-Мысал. lnx+4+ln2x+3=ln(1-2x) теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Алдымен теңдеудің мүмкін мәндер жиынын анықтайық.
x+40,2x+30,1-2x0⇨1,5x0,5,
бұдан теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (-1,5;0,5) екенін көреміз.
1.5 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер
1.5.1 Көрсеткіштік теңсіздіктер. Көрсеткіштік функция қасиеттерінен мынадай тұжырымдардың орындалатындығы шығады:
1) егер a1 болса, онда uv ⟺ auav;
2) егер 0a1 болса, онда uv ⟺ auav.
Олай болса axb түріндегі қарапайым теңсіздікті axalogab түріне келтіріп шешуге болады. Мысалдар қарастырайық.
6-Мысал. 9x-10∙3x+9=0 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. 3x=y белгілеуін енгіземіз, онда берілген теңсіздік мына түрге келеді: y2-10y+9=0. Бұл теңсіздіктің шешуі 1=y=9 болғандықтан, x айнымалысы үшін 1=3x=9 қосарлы теңсіздігін аламыз. Бұдан 30=3x=32 немесе 0=x=2.
Жауабы: x∈[0,2].
7-Мысал. 14x23-x+251log35 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. 14=2-2 және 251log35=9 болғандықтан, берілген теңсіздікті 2-2x23-x+9 немесе 2-2x-8∙2-x-90 түрінде жазуға болады. 2-x=y белгілеуін енгізу арқылы y2-8y-90 теңсіздігіне келеміз. Бұдан -1y9. Кезкелген x үшін 2-x=y0 болғандықтан 2-x9 теңсіздігін шешу жеткілікті. Олай болса, соңғы теңсздіктғ шешсек - xlog29 немесе x-log29 болады.
Жауабы: x∈(-log29, +infinity).
8-Мысал. 3x-12-3x3x-4 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. 3x=y белгілеуін енгізу арқылы 13y2-yy-4 теңсіздігін аламыз. Мұны түрлендіру арқылы y+2(y-3)3(y-4)0 теңсіздігіне келеміз. Оның шешімі мынадай болады: y∈-2,3∪(4,+infinity). Кезкелген x үшін 3x=y0 екенін ескеріп, 3x3 және 43x теңсіздіктер жиынтығын аламыз. Бұдан x1 не xlog34 екенін көреміз.
Жауабы: x∈-infinity,1∪(log34,+infinity).
1.5.2 Логарифмдік теңсіздіктер. Логарифмдік теңсіздктерді
logauxlogav(x) (1.12)
түріндегі қарапайым теңсіздіктерге қарапайым теңсіздіктерге келтіріп шешеді. Логарифмдік функцияның қасиеттері бойынша (1.12) теңсіздік:
1) егер болса, онда
ux0,vx0,uxv(x) (1.13)
теңсіздіктер жүйесіне;
2) егер болса, онда
ux0,vx0,uxv(x) (1.14)
теңсіздіктер жүйесіне тең күштес болады. Мысалдар қарастырайық.
9-Мысал. log122x2-4x-64x-11=-1 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. Берілген теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны 2x2-4x-64x-110 теңсіздігімен анықталады. Оның шешімі -1, 114∪(3,+infinity). Осы мүмкін мәндер жиынында берілген еңсіздікке теңкүштес log122x2-4x-64x-11=log122 теңсіздігін шешеміз. Лоарифм негізі 1-ден кіші болғандықтан 2x2-4x-64x-11=2 теңсіздігін аламыз. Мыналарды аламыз:
2x2-4x-64x-11=2⟺2x2-12x+164x-11⟺2x -2(x-4)4(x-114).
Соңғы теңсіздіктің шешімі 2,114∪[4,+infinity). Мұның алдыңғы табылған мүмкін мәндер жиынымен қиылысуы өзі болады. Сондықтан x∈2,114∪[4,+infinity).
Жауабы: x∈2,114∪[4,+infinity).
2 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕП ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР
2.1 Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер 11-сыныпта оқытылады. Бұл тақырыптың мазмұнын талдау үшін Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрінің 2013 жылғы 3 сәуірде №115 бұйрығымен бекітілген оқу бағдарламасын қарастырайық.
Жалпы орта білім беру деңгейінің Математика және информатика білім саласы пәндерінің оқу бағдарламаларына (қоғамдық-гуманитарлық және жаратылыстану-математикалық бағыттағы 10-11 сыныптар) [1] сәйкес көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге қатысты жаратылыстану-математика бағытында төмендегі материалдарды оқыту қарастырылған:
1) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (9 сағ). Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі. Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе-теңдік. Логарифмнің қасиеттері. Ондық логарифм. Натурал логарифм. Құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіру. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияны дифференциалдау. Көрсеткіштік функцияны интегралдау.
2) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (19 сағ). Көрсеткіштік теңдеу. Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңдеу. Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Көрсеткішті-логарифмдік теңдеу. Көрсеткіштік теңсіздік. Көрсеткіштік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңсіздік. Логарифмдік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу.
Бұл тақырыптар бойынша оқушысының дайындық деңгейіне
1) дәрежелік функцияның туындысын табу формуласын білу,
2) дәрежелік функцияның алғашқы функциясын табу формуласын
3) көрсеткіштік функцияның анықтамасын білу, білу,
4) логарифмінің анықтамасын білу,
5) негізгі логарифмдік тепе-теңдікті білу,
6) логарифмінің қасиеттерін білу,
7) логарифмдік функцияның анықтамасын білу,
8) көрсеткіштік теңдеудің анықтамасын білу,
9) көрсеткіштік теңсіздіктің анықтамасын білу,
10) логарифмдіктеңдеудің анықтамасын білу,
11) логарифмдіктеңсіздіктің анықтамасын білу,
12) дәрежелік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
13) дәрежелік функцияның туындысын таба білу,
14) дәрежелік функцияның алғашқы функциясын таба білу,
15) көрсеткіштік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
16) логарифмдік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
17) құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіре білу,
18) көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын таба білу,
19) көрсеткіштік функцияның алғашқы функциясын таба білу,
20) көрсеткіштік теңдеулерді шығар білу,
21) логарифмдік теңдеулерді шығара білу,
22) көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шығара білу,
23) көрсеткіштік теңсіздіктерді шығара білу,
24) логарифмдік теңсіздіктерді шығару білу,
25) көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйелерін шығара білу талаптары қойылады.
Жаратылыстану-математикалық бағыттағы 11-сынып оқулығында [2, 91 - 143] жоғарыдағы бағдарламадағы материалдар II тарауда (Дәрежелік, көрсеткіштік және логарифмдік функциялар) төмендегі ретпен берілген:
§5. Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері.
5.1. Көрсеткіштік функцияның анықтамасы.
5.2. Көрсеткіштік функцияның қасиеттері.
5.3. Көрсеткіштік функцияның графигі.
§6. Санның логарифмі және оның қасиеттері.
6.1. Логарифмнің анықтамасы.
6.2. Логарифмдердің негізгі қасиеттері.
§7. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі.
7.1. Логарифмдік функция және оның қасиеттері.
7.2. Логарифмдік функция графигі.
§8*. e саны. Негізі e-ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар.
8.1. e саны.
8.2. Негізі e-ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар.
§9*. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы.
§10. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер.
10.1. Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер.
10.2. Көрсеткіштік теңдеулерді шешу.
10.3. Логарифмдік теңдеулерді шешу.
10.4. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу.
§11. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдсіздіктерді шешу.
11.1. Көрсеткіштік теңдсіздіктер.
11.2. Логарифмдік теңсіздіктер.
Көріп отырғанымыздай оқу бағдарламасында [1, 20] көрсеткішті-логарифмдік теңдеу ұғымы қарастырылған, бірақ 11-сынып оқулығында [2] бұл ұғым және оған байланысты есептер қарастырылмаған. Ос бағдарламадағы оқушының біліміне қойылатын талаптарда да бұл мәселе назардан тыс қалған. Қалған тақырыптар мен ұғымдар бұл оқулықта толық қамтылған.
2.2 Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
Жалпы орта білім беру деңгейінің Математика және информатика білім саласы пәндерінің оқу бағдарламаларына (қоғамдық-гуманитарлық және жаратылыстану-математикалық бағыттағы 10-11 сыныптар) [1] сәйкес көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге қатысты қоғамдық-гуманитарлық бағытында төмендегі материалдарды оқыту қарастырылған:
1) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (10 сағ). Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі. Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе-теңдік. Логарифмнің қасиеттері. Ондық логарифм. Натурал логарифм. Құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіру. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияны дифференциалдау. Көрсеткіштік функцияны интегралдау.
2) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (20 сағ). Көрсеткіштік теңдеу. Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңдеу. Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Көрсеткішті-логарифмдік теңдеу. Көрсеткіштік теңсіздік. Көрсеткіштік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңсіздік. Логарифмдік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу.
Бұл тақырыптар бойынша оқушысының дайындық деңгейіне
1) көрсеткіштік функцияның анықтамасын білу,
2) логарифмінің анықтамасын білу,
3) негізгі логарифмдік тепе-теңдікті білу,
4) логарифмінің қасиеттерін; білу,
5) логарифмдік функцияның анықтамасын білу,
6) көрсеткіштік теңдеудің анықтамасын; білу,
7) көрсеткіштік теңсіздіктің анықтамасын білу,
8) логарифмдіктеңдеудің анықтамасын білу,
9) логарифмдіктеңсіздіктің анықтамасын білу,
10) көрсеткіштік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
11) логарифмдік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
12) құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіре білу,
13) көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын таба білу,
14) көрсеткіштік функцияның алғашқы функциясын таба білу,
15) көрсеткіштік теңдеулерді шығара білу,
16) логарифмдік теңдеулерді шығара білу,
17) көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шығара білу,
18) көрсеткіштік теңсіздіктерді шығара білу,
19) логарифмдік теңсіздіктерді шығара білу,
20) көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйелерін шығара білу талаптары қойылады.
Қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы 11-сынып оқулығында [3, 70 - 121] жоғарыдағы бағдарламадағы материалдар III тарауда (Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар) төмендегі ретпен берілген:
§10. Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі.
§11. Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелері.
§12. Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу.
§13. Логарифм және оның қасиеттері.
§14. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі.
§15. Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері.
§16. Логарифмдік теңсіздіктерді шешу.
§17. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды дифференциалдау. Көрсеткіштік функцияның алғашқы функциясы.
Көріп отырғанымыздай, қоғамдық-гуманитардық бағыт бойынша да оқу бағдарламасында [1, 8] көрсеткішті-логарифмдік теңдеу ұғымы қарастырылған, бірақ 11-сынып оқулығында [3] бұл ұғым және оған байланысты есептер қарастырылмаған. Қалған тақырыптар мен ұғымдар бұл оқулықта толық қамтылған.
Екі оқулықта да ([2], [3]) теңдеу үшін мүмкін мәндер жиыны ұғымы анықталмаған, ал [2, 123 - 127] оқулығында бұл ұғым теңдеуді шешу әдісі ретінде қарастырылады.
3 МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДА КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕМЕСІ
3.1 Көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді жетілдіре оқыту
Тәуелсіз мемлекетімізде тәуелсіздік туы желбірегелі бері еліміздегі қайта құрулар, экономиканы дамытудағы жаңа стратегиялық бағдарлар, қоғамның ашықтығы мен ақпараттануы мектепте білім беруге қойылатын талаптарды түбегейлі өзгертуде. Сондықтан да, еліміз президентінің алдыңғы қатарлы өркениетті елу елдің қатарына ену стратегиясын іске асыруға барлық күшімізді жұмылдырып отырған тұста, жан-жақты дамыған ұрпақ тәрбиелеу бүгінгі мектептің алдына қойылып отырған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен - күнге жетілдіре түсуін талап етеді.
Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеудегі математика пәнінің мұғалімінің тақырыпты оқытудың әдістерін жоғары оқу орнында білім алып жатқан кезінен зерттеп, талдатудың болашақтағы қызметтері үшін алатын орны, салмағы зор [28].
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін меңгеру оқушылардың көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді түрлендіру іскерлігі мен дағдыларына байлансыты болады. Сондықтан, орта мектепте алгебра және анализ бастамалары курсында қарастырылатын көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытудың әдістеріне назар аударған жөн.
Олай болса, бұл пунктте 11 - сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнін оқыту әдістемесін жетілдіру үшін көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын меңгертудің қалыпты тәсілдерін толықтыру мәселесін қарастырамыз.
Сонымен, бұл тақырыпты оқыту барысында төмендегідей міндеттерді шешулері қажет болды:
- логарифмнің анықтамасы, логарифмнің қасиеттерін меңгерту;
- көрсеткішті дәреженің қасиеттерін меңгерту;
- көрсеткіштік - логарифмдік өрнектерді түрлендіруді меңгерту.
Өйткені, көрсеткіштік-логарифмдік өрнектерді түрлендіру үшін логарифмнің анықтамасы, логарифмнің, көрсеткішті дәреженің қасиеттерін толық меңгерткеннен кейін ғана көрсеткіштік-логарифмдік өрнектерді түрлендіру түсіндіріледі.
Сондықтан, аталған тақырыпты оқыту үшін, біріншіден, санның берілген негіздегі логарифмі деп негізі бойынша берілген санға тең болатын дәрежесінің көрсеткішін түсінетінін, яғни, болса және егер орындалса, онда саны негіздегі санының логарифмі деп аталатынын оқушыларға түсіндіру керек;
екіншіден, логарифм анықтамасынан және теңдіктер сандарының арасындағы байланысты көрсететінін, мұндағы болатынын, түріндегі теңдігі негізгі логарифмдік теңбе-теңдік деп аталатынын;
үшіншіден, логарифмдердің үш түрі:
1) негіздегі N санының логарифмі,
2) - N санының ондық логарифмі,
3) - N санының натурал логарифмі болатынын;
төртіншіден, логарифмнің негізгі қасиеттері:
егер болса, онда
1)
2)
3) егер , онда .
ал , онда
4) егер , онда бұл бір негізден екінші негізге көшу формуласы, ал , онда
5) егер , онда
6)
7)
екендігін оқушыларға түсіндіріп [29], көрсеткіштік-логарифмдік өрнектерді түрлендіру үшін логарифмнің және көрсеткішті дәреженің қасиеттерін қолданатындыға айтылады, сабақта көрнекі түрде тапсырмаларын орындалады. Оқушылардың өздігінше орындауларына жеке тапсырмалар беруге болады. Жеке тапсырма мысалына өрнегінің мәнін есептеуді және көрсеткіш негізін нөл мен бірден өзге кез келген бүтін сан етіп алып тапсыруға болатынын көз жеткізеді. Берілген өрнектің дербес жағдайдағы шешуі:
Ал, өрнектің мәнін көрсеткіш негізін нөл мен бірден өзге кез келген бүтін сан етіп алып есептеуді тексерудің мұғалім үшін қиындыққа түспейтінін, бірақ, оқушы қателескен жағдайда, мұғалімнің оны талқылауы үшін уақыттан ұтылатынын ескерсек, тақырып есептерін Паскаль программалау тілін қолданып сызықтық құрылымды программалар құрып қойып, нәтижені көрсету терезесіне әр оқушының жеке тапсырмасының мәнін беріп тексеруді орындатсақ, оқушы үшін қателескен жағдайда қайта шығару жолдарын іздестіруге стимул болатынын, оны іздеудің жағдайын оқушы өзі табуға ұмтылатынына, әрекетті еріктен тыс болса да міндеттеудің жолы табылатынына көз жеткізуге болатындығын көреміз.
Оқушының қазіргі жағдайдағы білімі үшін жүргізілетін жұмыстың мақсаты - сызықтық құрылымдық есептеу үдерісінде алгоритм құрудың практикалық дағдысын, оны программалау үшін программалау тіліне аударып, енгізіп, оны жүргізе білу іскерлігін, стандартты типтер мен стандартты функцияларды пайдалана білу дағдысын, енгізу, шығару және меншіктеу операторларын пайдалана білу іскерлігін шыңдау, болашақ маман ретіндегі мақсат математика пәнін оқытуға ақпараттық-коммуникациялық технология мүмкіндігін қолдану біліктілігіне балу, математика мен информатика піндерінің пәнаралық байланысын және көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын меңгертудің әдістемесін жетілдіре оқытуға баулу болып табылады. Аталған тапсырманың орындалуын тексеру үшін қызмет ететін
у =
есептің программасын құрайық:
Program esep1;
var x:integer;
y:real;
begin
write(`x=');
readln(x);
y:=;
writeln (`y=',y:6:3);
end.
Сонымен, аталған есептің программаласын құрудың математика пәні мұғалімі үшін көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытудағы әдістемесін жетілдірудің жолы болып табылады. Сөйтіп, осылайша мұғалімнің оқушыларға тақырыпты терең меңгертуі үшін бәріне бірдей уақыт беріп жеке есептердің басқа бірнеше нұсқаларын шығартуды орындатқызып компьютерлік құрал арқылы тексеруіне мүмкіндік беріледі. Ал ол өз кезегінде, әдеттегідей сабақ уақытында тақта алдында санаулы ғана оқушының практикалық біліктілігін арттырып қана қоймай, барлық оқушылардың тақырыпты меңгеруіне жол ашады.
11-сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнінде көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытуда оқушыларға әдістемені ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолданып жетілдіру жолын үйретсек, онда оқушылардың математика пәнінен білімдері тереңдейді және де математикадан меңгерген білімдерін басқа пәндерге де ұтқырлықпен пайдалана алатындай деңгейге жетеді, өйткені көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытуда оқытудың барлық әдістері қолданылғанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады.
11-сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнінен көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытуда оқытудың әдістемесін жетілдіргенде ғана күтілетін болжамға жетуге мүмкін болатындығы анық.
3.2 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі
Жалпы орта білім беру деңгейінің Математика және информатика білім саласы пәндерінің оқу бағдарламаларына сәйкес [1] қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы 11-сыныптың алгебра және анализ бастамалары пәнінің базалық мазмұны Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар, Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тараулары бойынша теориялық материалдарды қамтиды. Сонымен қатар базалық мазмұнға оқу жылының басында 10-сыныптағы алгебра және анализ бастамалары курсын және соңында 10-11-сыныптардағы алгебра және анализ бастамалары курсын қайталау кіреді.
Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар тарауына 10 сағат, ал Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тарауына 20 сағат бөлінген.
Осы тақырыптар бойынша 11-сыныпта оқытудың міндеттері ретінде төмендегі мәселелер қарастырылған:
- құрамында п-ші дәрежелі түбір, рационал көрсеткішті дәреже, логарифмы бар өрнектерді тепе-тең түрлендіруді орындау біліктігін қалыптастыру;
- иррационал теңдеулер және олардың жүйелерін, көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін, логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шығару біліктігін қалыптастыру;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді, оның ішінде айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген теңдеулер мен теңсіздіктерді шығару біліктігін тиянақтау;
- теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шығаруда функциялардың графиктерін қолдану, алгебра және анализ бастамалары курсының әртүрлі тарауларынан есептер шығаруда алгебралық түрлендірулер, теңдеулер мен теңсіздіктер аппараттарын қолдану біліктігін жетілдіру.
Бұдан көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктердің 11- сыныпта маңызды орынға ие екенін көреміз.
Енді көрсеткіштік теңдеудерді шешу әдістерін қарастырайық. Олар
- қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешу әдісі;
- көрсеткіштік теңдеуді қарапайым көрсеткіштік теңдеулерге келтіру әдісі (бір негізге келтіру, көбейткіштерге жіктеу, айнымалыны ауыстыру және т.б.)
- графиктік әдіс.
Алдымен қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешу әдістерін қарастырамыз.
1) af(x)=ag(x) теңдеуі fx=g(x) теңдеуімен теңкүштес болады.
2) af(x)=b теңдеуі b=a болса fx=1 теңдеуіне, ал b!=a, b0 болса, онда fx=logab теңдеуіне теңкүштес болады, бірақ b!=a, b=0 блғанда оның шешімі болмайды. Мұны 1-кесте арқылы беруге болады.
Мысалдар.
1) Теңдеуді шешу керек: 34x-5 = 3x+4 .
Шешуі. 3[4][x][-5][ ]= 3[x][+4][ ]= 4x -5 = x+4 = 3x=9= x = 3.
Жауабы: 3.
2) Теңдеуді шешу керек: 2[x-4][ ]= 3 .
Кесте 1
Қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешу әдістері
№
Теңдеудің түрі
Шешу әдісі
1
af(x)=ag(x)
fx=g(x)
2
af(x)=b
b=a
b!=a, b0
b!=a, b=0
fx=1
fx=logab
Шешімі жоқ
Шешуі. 2x-4 = 3 = x-4 =log23 = log23 + 4 = x =log23+log216 =
x =log248.
Жауабы: log248.
3) Теңдеуді шешу керек: 7x2-3x=-7.
Шешуі. Теңдеудің шешімі жоқ, себебі кезкелген нақты х үшін 7x2-3x0.
Енді көрсеткіштік теңдеуді қарапайым көрсеткіштік теңдеулерге келтіру әдістерін қарастырайық.
1. Негіздерді теңестіру әдісі. Мұнда теңдеу дәреже көрсеткіштердің қасиеттеріне сүйену арқылы жоғарыда қарастырылған қарапайым теңдеулердің бірінші түріне келтіріледі.
Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: 27∙34x-9-9x+1=0.
Шешуі.
27∙34x-9-9x+1=0 ⟺ 33∙34x-9-32x+1=0⟺34x-6=32x+2⟺
4x-6=2x+2⟺x=4.
Жауабы: 4.
2) Теңдеуді шешу керек: 22x∙3x∙5x-604x-15=0.
Шешуі.
22x∙3x∙5x-604x-15=0⟺60x=604x-15⟺x=4 x-15⟺x=5.
Жауабы: 5.
2. Көбейткіштерге жіктеу әдісі. Көптеген көрсеткіштік теңдеулер көбейткіштерге жіктеу арқылы бірнеше қарапайым көрсеткіштік теңдеулерге ыдырайды. Бұл әдісті мысалдар арқылы қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: x∙2x=2∙2x+8x-16.
Шешуі.
x∙2x=2∙2x+8x-16.⟺2xx-2=8x-2⟺x-22x-8 =0.
Бұл теңдеу екі теңдеуге ыдырайды:
А) x-2=0⟺x=2.
Ә) 2x-8=0⟺2x=23⟺x=3.
Жауабы: 2, 3.
2) Теңдеуді шешу керек: 52x-7x-52x∙35+7x∙35=0.
Шешуі.
52x-7x-52x∙35+7x∙35=0⟺52x-7x-(52x∙3 5-7x∙35)⟺
52x-7x1-35=0⟺52x-7x=0⟺52x=7x⟺107x=1 ⟺x=0.
Жауабы: 0.
3. af(x)=t түріндегі белгісіз айнымалыны ауыстыру әдісі. Мұндай алмастыру әдетте A∙a2fx+B∙af(x)+C=0 түрінде берілген теңдеулер үшін қолданылады. Аталған алмастыру арқылы бұл теңдеу квадрат теңдеуге келтіріледі: t0 деп есептеп At2+B∙t+C=0 квадрат теңдеуін аламыз. Алынған теңдеуді шешіп, t-ның мәндерін табамыз, содан соң t0 екенін ескеріп, af(x)=t қарапайым көрсеткіштік теңдеулерін аламыз. Оларды шешіп есептің жауабын аламыз.
Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: 22+x - 22-x = 15.
Шешуі. 22+x - 22-x = 15 ⟺ 22∙2x-222x=15⟺4∙2x2-4=15∙2x. Айнымалыны ауыстырамыз: t = 2x, t 0. Нәтижесінде 4t2-15t-4=0 теңдеуін аламыз. Оның түбірлері: 4 және -14. Екіншісі t 0 шартын қанағаттындырмайды. Біріншісін пайдаланып, 2x=4 теңдеуіне келеміз. Бұдан x=2.
Жауабы: 2.
2) Теңдеуді шешу керек: 52x-3-2∙5x-2=3.
Шешуі. 52x-3-2∙5x-2=3⟺52x-2+1-2∙5x-2=3⟺
⟺5∙5x-22-2∙5x-2-3=0.
Енді 5x-2=t, t0 алмастыруын жасап, 5∙t2-2∙t-3=0 теңдеуін аламыз. Оның түбірлері: -35 және 1. Бұлардың біріншісі t0 шартын қанағаттандырмайды. Екіншісін пайдаланып, 5x-2=1 теңдеуін аламыз. Бұдан x=2.
Жауабы: 2.
4. Сол жағы A∙anx+B∙akx∙bmx+C∙bnx, k,m∈N, k+m=n, түрінде берілген теңдеу. Мұндай түрдегі теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын да не anx-не, не bnx-не бөліп алдыңғы 3-жағдайдағы теңдеуді алуға болады. Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: 2∙22x-5∙6x+3∙32x=0.
Шешуі.
2∙22x-5∙6x+3∙32x=0⟺2∙22x-5∙2x∙3x+3∙ 32x=0⟺
2∙22x32x-5∙32x∙22x32x+3=0⟺2∙232x-5∙ 23x+3=0.
23x=t, t0 алмастыруын жасау арқылы квадрат теңдеу аламыз: 2t2-5t+3=0. Оның түбірлері 32 және 1. Бұлардың екеуі де t0 шартын қанағаттандырады. Сондықтан Берілген теңдеу екі қарапайым көрсеткіштік теңдеуге ыдырайды:
1) 23x=32⟺x=-1;
2) 23x=1⟺x=0.
Жауабы: -1,0.
2) Теңдеуді шешу керек: 8x+18x-2∙27x=0.
Шешуі: 8x+18x-2∙27x=0⟺233x+23x-2=0.
23x=t, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
1 КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯЛАР ... ... ... ... ... .. 9
1.1 Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 9
1.2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.1 Логарифмнің анықтамасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.2 Логарифмнің қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.2.3 Логарифмдік функция және оның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3.1 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы ... ... ... . 11
1.3.2 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың интегралы ... ... ... . 12
1.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері ... 13
1.4.1 Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу ... ... . 13
1.4.2 Көрсеткіштік теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 14
1.4.3 Логарифмдік теңдеулерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
1.5 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
1.5.1 Көрсеткіштік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16
1.5.2 Логарифмдік теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕП ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... .. 18
2.1 Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер ... 18
2.2 Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. 20
3 МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДА КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... .. 22
3.1 Көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді жетілдіре оқыту ... ... ... ... ... ... 22
3.2 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 25
3.3 Жалпы білім беретін мектепте логарифмдік теңдеулерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 37
3.4 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
3.4.1 Көрсеткіштік теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
3.4.2 Логарифмдік теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 49
3.5 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
3.5.1 Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52
3.5.2 Логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 62
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
КІРІСПЕ
Тақырыптың өзектілігі. XXI ғасыр - ғылым мен техниканың, технологияның қарыштап дамыған кезі. Ақпараттандыру, жаһандану және интеграция ғасырында жаңа дүние үшін күрес жолында білім беру бірінші кезекке қойылып отыр. Қазіргі білім беруде математиканың орны ерекше. Жалпы білім беретін мектептерде математиканың жекелеген тараулары бойынша есептер шығаруда оқушыларда қиындық тудыратын тұстары жеткілікті. Бұл Ұлттық біріңғай тестілеу нәтижелерінде байқалады. Ұлттық бірыңғай тестілеуді енгізу білім беру ұйымдарының қызметін объективті бағалауға, олардың нақты рейтингтерін анықтауға, жалпы орта білім мәселелеріне жұртшылықтың назарын күшейтуге, оқушылар мен мұғалімдердің оқу еңбегінің қорытындысын анықтауға, дәлелдеуге мүмкіндік береді. Ұлттық бірыңғай тестілеу құру қазіргі заман талабынан туындап отырған қажеттілік. Ұлттық бірыңғай тестілеу білім беру ұйымдарының жұмысын айқын көрсетіп, оқушылар мен ұстаздардың бірлескен еңбегін бағалайтын, білім сапасына қол жеткізетін көрсеткіш болып табылады.
Қазіргі таңда мектеп бітірушілерді тестілеуден өткізу заман талабына сай жүргізіліп отырғаны белгілі. Осы орайда математика пәні міндетті пәндердің бірі болғандықтан оқушылардың даярлығы да стандарттан төмен болмауы тиіс. Сондықтан тестілеу барысында оқушылардың көпшілігіне қиындық тудыратын есептерге математиканы оқыту әдістемесінде айрықша көңіл өлу қажет. Осындай тақырыптардың бірі - көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу. Мұндай теңдеулердің шешімін тапқанда мүмкін мәндер жиына кірмейтін айнамалы мәндерін қабылдау немесе түрлендіру барысында шешімді жоғалту мәселелері қиындық тудырады.
Осыған байланысты диплом жұмысының таңдалған тақырыбы математиканы оқыту әдістемесінде өзекті мәселелердің бірі болып табылады.
Зерттеудің ғылыми жаңашылдығы: Педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттерді және озат мұғалімдердің іс-тәжірибелерін зерттеу негізінде жалпы білім беретін мектептерде математиканы оқытуда көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу ерекшеліктері айқындалды.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы: зерттеу нәтижелерін математикадан оқу және әдістемелік құралдарды дайындағанда, мектепте математиканы оқытуда, мұғалімдер білімін жетілдіру курстарында және жоғары оқу орындарының математика мұғалімдерін дайындайтын бөлімдерде, ҰБТ-ға дайындалуда пайдалануға болады.
Диплом жұмысының мақсаты: жалпы білім беретін мектептерде оқытылатын математика оқулықтарындағы, педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттердегі және озат мұғалімдердің іс-тәжірибелеріндегі көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешуге қатысты материалдарға талдау жасау және дидактикалық мақсаттарға сәйкес аталған тақырыптарды оқыту тиімділігін арттыру мәселелерін зерттеу.
Зерттеудің міндеттері:
* жалпы білім беретін мектептердегі математика курсы бағдарламасына, оқулықтарға көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты талдау жасау;
* жалпы білім беретін мектептердегі математика оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешу;
* жалпы білім беретін мектеп математикасында көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешу әдісттемесін жетілдіру бойынша ұсыныстар жасау.
Зерттеу объектісі: жалпы білім беретін мектептердегі математика курсындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептер есептер, математика сабақтарындағы оқу процесі.
Зерттеу әдістері: қарастырылып отырған зерттеудің теориялық-әдіснамалық негізін айқындау мақсатында психологиялық, педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттерді зерделеу және оларға талдау жасау; математика пәні бойынша жасалған оқу бағдарламаларына, оқулықтарға, есептер жинақтарына, әдістемелік құралдарға ғылыми-әдістемелік негізде талдау жасау; оқушылардың математикадан алған білім, білік және дағдыларының жайын зерттеу; пән мұғалімдерімен әңгімелесу.
Зерттеудің теориялық және әдіснамалық негіздері: ғалымдардың, әдәскерлердің, мұғалімдердің жалпы білім беретін мектептердегі математика курсында көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешуді оқыту туралы еңбектері; педагогикалық бағдарламалық құралдар жасап шығарудағы ғылыми теориялық және практикалық жетістіктері.
Зерттеудің тәжірибелік базасы:
Жұмыстың құрылымы: диплом жұмысы кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспеде жұмыс тақырыбының өзектілігі, зерттеудің ғылыми жаңашылдығы, практикалық маңыздылығы, жұмыстың мақсаты мен міндеттері, зерттеу объектісі, зерттеу әдістері, теориялық және әдіснамалық негіздері, тәжірибелік базасы және жұмыстың құрылымы келтірілген.
Бірінші тарауда жалпы білім беретін мектепте оқытылатын көрсеткіштік және логарифмдік функциялар туралы материалдардың мазмұны қарастырылған. Онда көрсеткіштік функция және оның қасиеттері, логарифмдік функция және оның қасиеттері, көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері, көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер қамтылған.
Екінші тарауда жалпы білім беретін мекетеп оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік функциялар келтірілген. Онда жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер, жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер қарастырылды.
Үшінші тарау математиканы оқытуда көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді оқыту әдістемесіне арналды. Мұнда жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте логарифмдік теңдеулерді шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдсіздіктерді шешу әдістемесі қарастырылды.
Қорытындыда алынған нәтижелер, ұсыныстар келтірілген.
1 КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯЛАР
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу сәйкесінше көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың қасиеттерімен тығыз байланысты. Сондықтан көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу үшін осы функциялардың анықтамаларымен, қасиеттерімен, мысалдарымен толық танысқан дұрыс. Бұл көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу әдістерін жақсы меңгеру үшін де қажет. Жалпы білім беретін мектеп оқулықтарында да бұл мәселелер көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды қамтыған тарауда қарастырылған.
1.1 Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері
Анықтама. Егер a0, a!=1 болса, онда y=ax функциясы негізі a-ға тең көрсеткіштік функция деп аталады.
Мысалы, y=3x, y=10x, y=0,2x, y=12x, y=2x және т.с.с. көрсеткіштік функциялар болады. анықтамадағы a0, a!=1 шарттары өте маңызды. Мысалы, нақты көрсеткішті дәрежелер тек оң сандар үшін анықталғандықтан a0 болуы қажет. Екінші жағынан, егер a=1 болса, онда әрбір x∈(-infinity,+infinity) мәнінде y=ax=1x=1 болып, функция x-ке тәуелді болмай қалады (бұл жағдайда оны y=1 тұрақты фунциясы ретінде қарастырады).
Көрсеткіштік функцияның қасиеттері:
10. Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы (-infinity,+infinity) жиыны болады.
20. (0,+infinity) көрсеткіштік функцияның мәндерінің жиыны болады.
30. а) Егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
ә) егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
б) егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
в) егер a1 және x0 болса, онда ax1 болады;
г) егер a1 және x=0 болса, онда a0=1 болады.
40. Егер a1 болса, онда y=ax көрсеткіштік функциясы өспелі болады, яғни x1x2 теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір x1,x2 нақты сандары үшін ax1ax2 теңсіздігі орындалады.
50. Егер 0a1 болса, y=ax көрсеткіштік функциясы кемімелі болады, яғни x1x2 теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір x1,x2 нақты сандары үшін ax1ax2 теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеу. 10. Бұл қасиеттің дәлелдеуә анықтамадан шығады.
20. Оң санның рационал көрсеткішті дәрежесі оң болатынын білеміз, яғни x рационал сан болса, онда ax0 теңсіздігі орындалады. Онда ax0 теңсіздігі кезкелген иррационал сан үшін орындалады (дәрежелік функцияның оң мәндер қабылдау қасиеті бойынша).
30. а) Егер a1 және x0 болса, онда нақты көрсеткішті дәреженің (бірсарынды өспелі болу) қасиеті бойынша ax1 болады.
ә) Егер a1 және x0 болса, онда ax1x=1 болады.
Қалған қасиеттер де осыған ұқсас дәлелденеді.
1.2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері
1.2.1 Логарифмнің анықтамасы. ax=b (a0, a!=1) теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің түбірі y=ax функциясы графигі мен y=b түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссаларына тең. b0 болғанда қиылысу нүктесі біреу ғана болады, керісінше болғанда графиктер қиылыспайды. Олай болса, b0 болғанда ax=b теңдеуінің түбірін негізі a-ға тең болатын b санының логарифмі ретінде алуға болады.
Анықтама. Берілген оң санның берілген негіздігі логарифмі деп осы негіздің берілген санға тең дәреже көрсеткішін айтады, яғни b0 санының а (a0, a!=1) негізіндегі логарифмі деп
ac=b (1.1)
теңдігін қанағаттандыратын с санын айтады және logab арқылы белгілейді.
Сонымен анықтама бойынша (1.1) теңдіктен
b=alogab (1.2)
теңдігін аламыз. (1.2) формула логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі деп атайды.
Мысал. 1) log381; 2) log20,125 өрнектерінің мәнін табукерек.
Шешуі. 1) 81=34, онда анықтама бойынша log381=4.
2) 0,125=18=2-3, онда анықтама бойынша log20,125=-3.
1.2.2 Логарифмнің қасиеттері. Енді логарифмнің негізгі қасиеттерін атап өтейік.
Кезкелген a0 (a!=1) және b,c оң сандары үшін:
10. loga1=0;
20. logaa=1;
30. logabc=logab+logac;
40. logabc=logab-logac;
50. logabm=mlogab, m∈R;
60. loganb=1nlogab, n∈R, n!=0;
70. loganb=loganc теңдігінен b=c теңдігі шығады;
80. logab=logcblogca, c!=1
қасиеттері орындалады.
Мысал. а) log216; ә) log1327; б) log42 өрнегінің мәнін есептеу керек.
Шешуі. а) log216=log224=4log22=4;
ә) log1327=log3-133=-3log33=-3;
б) log42=log222=12log22=12.
Мұнда біз 20, 50, 60 қасиеттерді пайдаландық.
1.2.3 Логарифмдік функция және оның қасиеттері. Енді логарифмдік функцияға анықтама берейік.
Анықтама. y=logax (a0, a!=1) түрінде берілген функцияны негізі a болатын логарифмдік функция деп атайды.
Мысалы, y=log2x - негізі 2-ге тең логарифмдік функция, ал y=log12x - негізі 12-ге тең логарифмдік функция.
Логарифмдік функцияның қасиеттері:
10. Логарифмдік функцияның анықталу облысы (0,+infinity) жиыны болады.
20. (-infinity,+infinity) көрсеткіштік функцияның мәндерінің жиыны болады.
30. Егер a1 болса, онда y=logax функциясы өспелі болады.
40. Егер 0a1 болса, онда y=logax функциясы кемімелі болады.
50. Негіздері бірдей логарифмдік y=logax және y=ax функцияларының графиктері y=x түзуіне қатысты симметриялы болады.
1.2.4 Негізі e-ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар. Негізі e-ге тең көрсеткіштік функция y=ex түрінде жазылады. Негізі e-ге тең логарифмді натурал логарифм деп атайды және lnx арқылы белгілейді. Ал, y=lnx (x0) функциясын натурал логарифмдік функция деп атайды
1.3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы
1.3.1 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын есептеуге ерналған келесі формулаларды дәлелдейік.
ax'=axlna, e'=ex, (1.3)
logax'=1xlna, lnx'=1x. (1.4)
y=ax, a1, a!=1, x∈(-infinity,+infinity) функциясы берілсін. Оның x нүктесіндегі өсімшесін анықтайық. ∆y=ax+∆x-ax=ax(a∆x-1). Осыдан туындының анықтамасы бойынша
y'=ax'=lim∆x--0∆y∆x=lim∆x--0axa∆x -1∆x=axlim∆x--0a∆x-1∆x=axlna.
Мұнда limx--0ax-1x=lna теңдігі пайдаланылды. Сонымен ax'=axlna. Егер a=e болса, онда ex'=exlne=ex. (1.3) формула дәлелденді.
Енді y=logax , a0, a!=1 (x0) функциясының қсімшесін есептейік:
∆y=logax+∆x-logax=logax+∆xx=loga1+∆ xx.
Онда
y'=logax'=lim∆x--0loga1+∆xx∆x=lim∆ x--01xloga1+∆xx∆xx=1xlogae=1xlna.
Мұнда limx--0loga1+xx=logae формуласы мен жаңа негізге көшу формуласы (логарифмнің 80 қасиеті) пайдаланылды. Сонымен, logax'=1xlna. Егер a=e болса, онда lnx'=1xlne=1x. (1.4) формула дәлелденді.
Мысал. y=2x-3+ln(x+1) функциясының туындысын табу керек.
Шешуі. Туынды алу ережесіне сүйеніп,
y'=2x-3'+lnx+1)'=2x-3ln2+1x+1
болатынын көреміз.
1.3.2 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың интегралы. (1.3) және (1.4) формулалар бойынша y=1x, y=ax, y=ex функцияларының алғашқы функциялары сәйкесінше y=lnx, y=axlna , y=ex функциялары болатынын көреміз. Олай болса,
dxx=lnx+C, axdx=axlna+C, exdx=ex+C
формулалары орындалады.
Мысал.
ctgxdx=cosxsinxdx=sinx=y,cosxdx=dy= dyy=lny+C=lnsinx+C.
1.4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері
1.4.1 Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу. Егер a0, a!=1 және b0 болса, онда
ax=b (1.5)
теңдеуін қарапайым көрсеткіштік теңдеу деп атайды. Бұл теңдеудің b=0 болғанда түбірлері болмайды, ал b0 болса бір ғана түбірі болады. Онда b0 болғанда (1.5)5 теңдеудің түбірі
x=logab (1.6)
теңдігімен анықталады.
1-Мысал. 2x-2=16 теңдеуін шешейік.
Шешуі. (1.6) бойынша x-2=log216, бұдан x=2+log216=2+4=6.
Әдетте, мұндай қарапайым теңдеуді шешкенде оң жақ бөлігіндегі өрнекті (b-ны) негізі a-ға тең дәреже түріне келтіреді. Мысалы қарастырған есепте b=16=24 екенін ескеріп, берілген теңдеуді 2x-2=24 түрінде жазса жеткілікті. Осыдан x-2=4, онда x=6.
Егер a0, a!=1 болса, онда
logax=p (1.7)
теңдеуін қарапайым логарифмдік теңдеу деп атайды. Бұл теңдеудің p-ның кезкелген мәнінде бір ғана түбірі бар екенін көрсетейік. Шынында да, (1.7) теңдеудің түбірі y=logax функциясының графигі мен y=p түзуінің қиылысуының абсциссасы екенін жақсы білеміз. Алғашқысы монотонды функция, ал екіншісі тұрақты функция болғандықтан олардың графиктері бір ғана нүктеде қиылысады. Олай болса, p-ның кезкелген мәнінде (1.7) теңдеудің бір ғана түбірі болады. Логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі бойынша x=alogax теңдігі орындалатындығын ескерсек, (1.7) теңдеудің жалғыз шешімі
x=ap (1.8)
теңдігімен анықталады.
2-Мысал. log3x+3+log3x+1=1 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. logab+logac=logabc формуласы бойынша берілген теңдеудің сол жақ бөлігін log3(x+3)x+1 немесе log3(x2+4x+3) түрінде жазуға болады. Сонда теңдеу мына түрг келеді:
log3(x2+4x+3)=1.
Осыдан (1.8) формула бойынша x2+4x+3=31 теңдігі орындалады. Бұдан, x1=0, x2=-4. Логарифмдік функция бүкіл сан өсінде анықталмағандықтан, бұл табылған тбірлердің берілген теңдеуді қанағаттандыратындығын не қанағаттандырмайтындығын тексеру керек. Егер x=0 болса, онда
log30+3+log30+1=log33=1.
Демек, x1=0 түбірі берілген теңдеуді қанағаттандырады. Егер x=-4 болса, онда log3-4+3+log3-4+1 өрнегінің мағынасы болмайды. Сонымен, жауабы: x=0.
Жалпы теңдеулерді шешуде негізінен екі тәсілді жиі қолданады: жаңа айнымалы енгізу және көбейткіштерге жіктеу. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеуді бірнеше қарапайым теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді. Сонымен, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең күштестігін қадағалай отырып, көрсеткіштік және логарифмдік функцияларға тән қасиеттерді де қолдану керек. Енді күрделі көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
1.4.2 Көрсеткіштік теңдеулерді шешу. Әдетте көрсеткіштік теңдеулерді
afx=agx, (a0, a!=1) (1.9)
түріне келтіріп шешеді. Бұл теңдеу y=f(x) және y=g(x) функцияларының ортақ анықталу облысында f(x)=g(x) теңдеуіиен тең күштес болады.
3-Мысал. 81x-2∙9x-3=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. 9x=y белгілеуін енгізсек, берілген теңдеу y2-2y-3=0 түрінде жазылады. Осыдан, y1=-1, y2=3. 9x өрнегі тек оң мәндер қабылдайтын болғандықтан -тің y1=-1 мәнін қарастырмаймыз. Онда y2=3 мәнін пайдаланып 9x=3 теңдеуіне келеміз. Бұдан x=0,5.
(1.9) теңдеуімен қоса
a(x)fx=a(x)g(x) (1.10)
түріндегі көрсеткіштік-дәрежелік теңдеулер де кездеседі. Мұнда y=f(x) және y=g(x) функцияларының ортақ анықталу облысы мен ax0 теңсіздігін қанағаттандыратын x-тің мәндер жиынының қиылысуы теңдеудің мүмкін мәндер жиынын анықтайды. Егер m0, m!=1 болса, онда (1.10) теңдеу
f(x)logmax=g(x)logma(x)
теңдеуімен тең күштес болады. Өз кезегінде бұл теңдеу жалпы жағдайда
logma(x)=0, fx=g(x)
теңдеулер жиынтығымен тең күштес болады. Ал, мүмкін мәндер жиынында fx0, gx0 болса, онда көрсетілген жиынтық құрамына ax=0 теңдеуін де қосу қажет.
4-Мысал. x-3x2-x=x-32 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. x-тің кезкелген нақты мәнінде теңдеудің мағынасы бар, яғни берілген теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (-infinity,+infinity) болады. Онда жоғарыдағы айтылғандар бойынша берілген теңдеу
x-3=0, x-3=1, x2-x=2
теңдеулері жиынтығымен тең күштес. Бірінші теңдеуден x1=3, екінші теңдеуден x2=2, x3=4, ал соңғы теңдеуден x4=-1, x5=2 түбірлерін аламыз.
1.4.3 Логарифмдік теңдеулерді шешу. Логарифмдік теңдеулерді
logafx=logagx, (a0, a!=1)
түріне келтіріп шешеді. Бұл теңдеу
fx=gx,fx0, gx0
жүйесімен тең күштес. Жүйедегі соңғы екі теңсіздіктер жүйесімен берілген теңдеудің мүмкін мәндер жиыны анықталады. Әдетте оны алдын ала шешіп алып, теңдеудің мүмкін мәндер жиынын тауып алады. Негізі де айнымалы логарифмдік теңдеулер кездеседі:
loga(x)fx=loga(x)gx. (1.11)
Бұл теңдеудің мүмкін мәндер жиыны fx0, gx0, ax0, a(x)!=1 теңсіздіктер жүйесімен анықталады. Анықталған мүмкін мәндер жиынында (1.11) теңдеу fx=gx теңдеуімен тең күштес болады.
5-Мысал. lnx+4+ln2x+3=ln(1-2x) теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Алдымен теңдеудің мүмкін мәндер жиынын анықтайық.
x+40,2x+30,1-2x0⇨1,5x0,5,
бұдан теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (-1,5;0,5) екенін көреміз.
1.5 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер
1.5.1 Көрсеткіштік теңсіздіктер. Көрсеткіштік функция қасиеттерінен мынадай тұжырымдардың орындалатындығы шығады:
1) егер a1 болса, онда uv ⟺ auav;
2) егер 0a1 болса, онда uv ⟺ auav.
Олай болса axb түріндегі қарапайым теңсіздікті axalogab түріне келтіріп шешуге болады. Мысалдар қарастырайық.
6-Мысал. 9x-10∙3x+9=0 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. 3x=y белгілеуін енгіземіз, онда берілген теңсіздік мына түрге келеді: y2-10y+9=0. Бұл теңсіздіктің шешуі 1=y=9 болғандықтан, x айнымалысы үшін 1=3x=9 қосарлы теңсіздігін аламыз. Бұдан 30=3x=32 немесе 0=x=2.
Жауабы: x∈[0,2].
7-Мысал. 14x23-x+251log35 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. 14=2-2 және 251log35=9 болғандықтан, берілген теңсіздікті 2-2x23-x+9 немесе 2-2x-8∙2-x-90 түрінде жазуға болады. 2-x=y белгілеуін енгізу арқылы y2-8y-90 теңсіздігіне келеміз. Бұдан -1y9. Кезкелген x үшін 2-x=y0 болғандықтан 2-x9 теңсіздігін шешу жеткілікті. Олай болса, соңғы теңсздіктғ шешсек - xlog29 немесе x-log29 болады.
Жауабы: x∈(-log29, +infinity).
8-Мысал. 3x-12-3x3x-4 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. 3x=y белгілеуін енгізу арқылы 13y2-yy-4 теңсіздігін аламыз. Мұны түрлендіру арқылы y+2(y-3)3(y-4)0 теңсіздігіне келеміз. Оның шешімі мынадай болады: y∈-2,3∪(4,+infinity). Кезкелген x үшін 3x=y0 екенін ескеріп, 3x3 және 43x теңсіздіктер жиынтығын аламыз. Бұдан x1 не xlog34 екенін көреміз.
Жауабы: x∈-infinity,1∪(log34,+infinity).
1.5.2 Логарифмдік теңсіздіктер. Логарифмдік теңсіздктерді
logauxlogav(x) (1.12)
түріндегі қарапайым теңсіздіктерге қарапайым теңсіздіктерге келтіріп шешеді. Логарифмдік функцияның қасиеттері бойынша (1.12) теңсіздік:
1) егер болса, онда
ux0,vx0,uxv(x) (1.13)
теңсіздіктер жүйесіне;
2) егер болса, онда
ux0,vx0,uxv(x) (1.14)
теңсіздіктер жүйесіне тең күштес болады. Мысалдар қарастырайық.
9-Мысал. log122x2-4x-64x-11=-1 теңсіздігін шешу керек.
Шешуі. Берілген теңсіздіктің мүмкін мәндер жиыны 2x2-4x-64x-110 теңсіздігімен анықталады. Оның шешімі -1, 114∪(3,+infinity). Осы мүмкін мәндер жиынында берілген еңсіздікке теңкүштес log122x2-4x-64x-11=log122 теңсіздігін шешеміз. Лоарифм негізі 1-ден кіші болғандықтан 2x2-4x-64x-11=2 теңсіздігін аламыз. Мыналарды аламыз:
2x2-4x-64x-11=2⟺2x2-12x+164x-11⟺2x -2(x-4)4(x-114).
Соңғы теңсіздіктің шешімі 2,114∪[4,+infinity). Мұның алдыңғы табылған мүмкін мәндер жиынымен қиылысуы өзі болады. Сондықтан x∈2,114∪[4,+infinity).
Жауабы: x∈2,114∪[4,+infinity).
2 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕП ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР
2.1 Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер 11-сыныпта оқытылады. Бұл тақырыптың мазмұнын талдау үшін Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрінің 2013 жылғы 3 сәуірде №115 бұйрығымен бекітілген оқу бағдарламасын қарастырайық.
Жалпы орта білім беру деңгейінің Математика және информатика білім саласы пәндерінің оқу бағдарламаларына (қоғамдық-гуманитарлық және жаратылыстану-математикалық бағыттағы 10-11 сыныптар) [1] сәйкес көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге қатысты жаратылыстану-математика бағытында төмендегі материалдарды оқыту қарастырылған:
1) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (9 сағ). Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі. Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе-теңдік. Логарифмнің қасиеттері. Ондық логарифм. Натурал логарифм. Құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіру. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияны дифференциалдау. Көрсеткіштік функцияны интегралдау.
2) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (19 сағ). Көрсеткіштік теңдеу. Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңдеу. Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Көрсеткішті-логарифмдік теңдеу. Көрсеткіштік теңсіздік. Көрсеткіштік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңсіздік. Логарифмдік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу.
Бұл тақырыптар бойынша оқушысының дайындық деңгейіне
1) дәрежелік функцияның туындысын табу формуласын білу,
2) дәрежелік функцияның алғашқы функциясын табу формуласын
3) көрсеткіштік функцияның анықтамасын білу, білу,
4) логарифмінің анықтамасын білу,
5) негізгі логарифмдік тепе-теңдікті білу,
6) логарифмінің қасиеттерін білу,
7) логарифмдік функцияның анықтамасын білу,
8) көрсеткіштік теңдеудің анықтамасын білу,
9) көрсеткіштік теңсіздіктің анықтамасын білу,
10) логарифмдіктеңдеудің анықтамасын білу,
11) логарифмдіктеңсіздіктің анықтамасын білу,
12) дәрежелік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
13) дәрежелік функцияның туындысын таба білу,
14) дәрежелік функцияның алғашқы функциясын таба білу,
15) көрсеткіштік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
16) логарифмдік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
17) құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіре білу,
18) көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын таба білу,
19) көрсеткіштік функцияның алғашқы функциясын таба білу,
20) көрсеткіштік теңдеулерді шығар білу,
21) логарифмдік теңдеулерді шығара білу,
22) көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шығара білу,
23) көрсеткіштік теңсіздіктерді шығара білу,
24) логарифмдік теңсіздіктерді шығару білу,
25) көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйелерін шығара білу талаптары қойылады.
Жаратылыстану-математикалық бағыттағы 11-сынып оқулығында [2, 91 - 143] жоғарыдағы бағдарламадағы материалдар II тарауда (Дәрежелік, көрсеткіштік және логарифмдік функциялар) төмендегі ретпен берілген:
§5. Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері.
5.1. Көрсеткіштік функцияның анықтамасы.
5.2. Көрсеткіштік функцияның қасиеттері.
5.3. Көрсеткіштік функцияның графигі.
§6. Санның логарифмі және оның қасиеттері.
6.1. Логарифмнің анықтамасы.
6.2. Логарифмдердің негізгі қасиеттері.
§7. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі.
7.1. Логарифмдік функция және оның қасиеттері.
7.2. Логарифмдік функция графигі.
§8*. e саны. Негізі e-ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар.
8.1. e саны.
8.2. Негізі e-ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар.
§9*. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы.
§10. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер.
10.1. Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер.
10.2. Көрсеткіштік теңдеулерді шешу.
10.3. Логарифмдік теңдеулерді шешу.
10.4. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу.
§11. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдсіздіктерді шешу.
11.1. Көрсеткіштік теңдсіздіктер.
11.2. Логарифмдік теңсіздіктер.
Көріп отырғанымыздай оқу бағдарламасында [1, 20] көрсеткішті-логарифмдік теңдеу ұғымы қарастырылған, бірақ 11-сынып оқулығында [2] бұл ұғым және оған байланысты есептер қарастырылмаған. Ос бағдарламадағы оқушының біліміне қойылатын талаптарда да бұл мәселе назардан тыс қалған. Қалған тақырыптар мен ұғымдар бұл оқулықта толық қамтылған.
2.2 Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер
Жалпы орта білім беру деңгейінің Математика және информатика білім саласы пәндерінің оқу бағдарламаларына (қоғамдық-гуманитарлық және жаратылыстану-математикалық бағыттағы 10-11 сыныптар) [1] сәйкес көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге қатысты қоғамдық-гуманитарлық бағытында төмендегі материалдарды оқыту қарастырылған:
1) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (10 сағ). Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі. Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе-теңдік. Логарифмнің қасиеттері. Ондық логарифм. Натурал логарифм. Құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіру. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияны дифференциалдау. Көрсеткіштік функцияны интегралдау.
2) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар (20 сағ). Көрсеткіштік теңдеу. Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңдеу. Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелерін шешу. Көрсеткішті-логарифмдік теңдеу. Көрсеткіштік теңсіздік. Көрсеткіштік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу. Логарифмдік теңсіздік. Логарифмдік теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу.
Бұл тақырыптар бойынша оқушысының дайындық деңгейіне
1) көрсеткіштік функцияның анықтамасын білу,
2) логарифмінің анықтамасын білу,
3) негізгі логарифмдік тепе-теңдікті білу,
4) логарифмінің қасиеттерін; білу,
5) логарифмдік функцияның анықтамасын білу,
6) көрсеткіштік теңдеудің анықтамасын; білу,
7) көрсеткіштік теңсіздіктің анықтамасын білу,
8) логарифмдіктеңдеудің анықтамасын білу,
9) логарифмдіктеңсіздіктің анықтамасын білу,
10) көрсеткіштік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
11) логарифмдік функцияның графигін салу және қасиеттерін анықтай білу,
12) құрамында логарифмі бар өрнектерді түрлендіре білу,
13) көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын таба білу,
14) көрсеткіштік функцияның алғашқы функциясын таба білу,
15) көрсеткіштік теңдеулерді шығара білу,
16) логарифмдік теңдеулерді шығара білу,
17) көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шығара білу,
18) көрсеткіштік теңсіздіктерді шығара білу,
19) логарифмдік теңсіздіктерді шығара білу,
20) көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйелерін шығара білу талаптары қойылады.
Қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы 11-сынып оқулығында [3, 70 - 121] жоғарыдағы бағдарламадағы материалдар III тарауда (Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар) төмендегі ретпен берілген:
§10. Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі.
§11. Көрсеткіштік теңдеулер және олардың жүйелері.
§12. Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу.
§13. Логарифм және оның қасиеттері.
§14. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі.
§15. Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері.
§16. Логарифмдік теңсіздіктерді шешу.
§17. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды дифференциалдау. Көрсеткіштік функцияның алғашқы функциясы.
Көріп отырғанымыздай, қоғамдық-гуманитардық бағыт бойынша да оқу бағдарламасында [1, 8] көрсеткішті-логарифмдік теңдеу ұғымы қарастырылған, бірақ 11-сынып оқулығында [3] бұл ұғым және оған байланысты есептер қарастырылмаған. Қалған тақырыптар мен ұғымдар бұл оқулықта толық қамтылған.
Екі оқулықта да ([2], [3]) теңдеу үшін мүмкін мәндер жиыны ұғымы анықталмаған, ал [2, 123 - 127] оқулығында бұл ұғым теңдеуді шешу әдісі ретінде қарастырылады.
3 МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДА КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕМЕСІ
3.1 Көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді жетілдіре оқыту
Тәуелсіз мемлекетімізде тәуелсіздік туы желбірегелі бері еліміздегі қайта құрулар, экономиканы дамытудағы жаңа стратегиялық бағдарлар, қоғамның ашықтығы мен ақпараттануы мектепте білім беруге қойылатын талаптарды түбегейлі өзгертуде. Сондықтан да, еліміз президентінің алдыңғы қатарлы өркениетті елу елдің қатарына ену стратегиясын іске асыруға барлық күшімізді жұмылдырып отырған тұста, жан-жақты дамыған ұрпақ тәрбиелеу бүгінгі мектептің алдына қойылып отырған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен - күнге жетілдіре түсуін талап етеді.
Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеудегі математика пәнінің мұғалімінің тақырыпты оқытудың әдістерін жоғары оқу орнында білім алып жатқан кезінен зерттеп, талдатудың болашақтағы қызметтері үшін алатын орны, салмағы зор [28].
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін меңгеру оқушылардың көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді түрлендіру іскерлігі мен дағдыларына байлансыты болады. Сондықтан, орта мектепте алгебра және анализ бастамалары курсында қарастырылатын көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытудың әдістеріне назар аударған жөн.
Олай болса, бұл пунктте 11 - сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнін оқыту әдістемесін жетілдіру үшін көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын меңгертудің қалыпты тәсілдерін толықтыру мәселесін қарастырамыз.
Сонымен, бұл тақырыпты оқыту барысында төмендегідей міндеттерді шешулері қажет болды:
- логарифмнің анықтамасы, логарифмнің қасиеттерін меңгерту;
- көрсеткішті дәреженің қасиеттерін меңгерту;
- көрсеткіштік - логарифмдік өрнектерді түрлендіруді меңгерту.
Өйткені, көрсеткіштік-логарифмдік өрнектерді түрлендіру үшін логарифмнің анықтамасы, логарифмнің, көрсеткішті дәреженің қасиеттерін толық меңгерткеннен кейін ғана көрсеткіштік-логарифмдік өрнектерді түрлендіру түсіндіріледі.
Сондықтан, аталған тақырыпты оқыту үшін, біріншіден, санның берілген негіздегі логарифмі деп негізі бойынша берілген санға тең болатын дәрежесінің көрсеткішін түсінетінін, яғни, болса және егер орындалса, онда саны негіздегі санының логарифмі деп аталатынын оқушыларға түсіндіру керек;
екіншіден, логарифм анықтамасынан және теңдіктер сандарының арасындағы байланысты көрсететінін, мұндағы болатынын, түріндегі теңдігі негізгі логарифмдік теңбе-теңдік деп аталатынын;
үшіншіден, логарифмдердің үш түрі:
1) негіздегі N санының логарифмі,
2) - N санының ондық логарифмі,
3) - N санының натурал логарифмі болатынын;
төртіншіден, логарифмнің негізгі қасиеттері:
егер болса, онда
1)
2)
3) егер , онда .
ал , онда
4) егер , онда бұл бір негізден екінші негізге көшу формуласы, ал , онда
5) егер , онда
6)
7)
екендігін оқушыларға түсіндіріп [29], көрсеткіштік-логарифмдік өрнектерді түрлендіру үшін логарифмнің және көрсеткішті дәреженің қасиеттерін қолданатындыға айтылады, сабақта көрнекі түрде тапсырмаларын орындалады. Оқушылардың өздігінше орындауларына жеке тапсырмалар беруге болады. Жеке тапсырма мысалына өрнегінің мәнін есептеуді және көрсеткіш негізін нөл мен бірден өзге кез келген бүтін сан етіп алып тапсыруға болатынын көз жеткізеді. Берілген өрнектің дербес жағдайдағы шешуі:
Ал, өрнектің мәнін көрсеткіш негізін нөл мен бірден өзге кез келген бүтін сан етіп алып есептеуді тексерудің мұғалім үшін қиындыққа түспейтінін, бірақ, оқушы қателескен жағдайда, мұғалімнің оны талқылауы үшін уақыттан ұтылатынын ескерсек, тақырып есептерін Паскаль программалау тілін қолданып сызықтық құрылымды программалар құрып қойып, нәтижені көрсету терезесіне әр оқушының жеке тапсырмасының мәнін беріп тексеруді орындатсақ, оқушы үшін қателескен жағдайда қайта шығару жолдарын іздестіруге стимул болатынын, оны іздеудің жағдайын оқушы өзі табуға ұмтылатынына, әрекетті еріктен тыс болса да міндеттеудің жолы табылатынына көз жеткізуге болатындығын көреміз.
Оқушының қазіргі жағдайдағы білімі үшін жүргізілетін жұмыстың мақсаты - сызықтық құрылымдық есептеу үдерісінде алгоритм құрудың практикалық дағдысын, оны программалау үшін программалау тіліне аударып, енгізіп, оны жүргізе білу іскерлігін, стандартты типтер мен стандартты функцияларды пайдалана білу дағдысын, енгізу, шығару және меншіктеу операторларын пайдалана білу іскерлігін шыңдау, болашақ маман ретіндегі мақсат математика пәнін оқытуға ақпараттық-коммуникациялық технология мүмкіндігін қолдану біліктілігіне балу, математика мен информатика піндерінің пәнаралық байланысын және көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын меңгертудің әдістемесін жетілдіре оқытуға баулу болып табылады. Аталған тапсырманың орындалуын тексеру үшін қызмет ететін
у =
есептің программасын құрайық:
Program esep1;
var x:integer;
y:real;
begin
write(`x=');
readln(x);
y:=;
writeln (`y=',y:6:3);
end.
Сонымен, аталған есептің программаласын құрудың математика пәні мұғалімі үшін көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытудағы әдістемесін жетілдірудің жолы болып табылады. Сөйтіп, осылайша мұғалімнің оқушыларға тақырыпты терең меңгертуі үшін бәріне бірдей уақыт беріп жеке есептердің басқа бірнеше нұсқаларын шығартуды орындатқызып компьютерлік құрал арқылы тексеруіне мүмкіндік беріледі. Ал ол өз кезегінде, әдеттегідей сабақ уақытында тақта алдында санаулы ғана оқушының практикалық біліктілігін арттырып қана қоймай, барлық оқушылардың тақырыпты меңгеруіне жол ашады.
11-сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнінде көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытуда оқушыларға әдістемені ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолданып жетілдіру жолын үйретсек, онда оқушылардың математика пәнінен білімдері тереңдейді және де математикадан меңгерген білімдерін басқа пәндерге де ұтқырлықпен пайдалана алатындай деңгейге жетеді, өйткені көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытуда оқытудың барлық әдістері қолданылғанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады.
11-сыныпта алгебра және анализ бастамалары пәнінен көрсеткіштік-логарифмдік өрнектер тақырыбын оқытуда оқытудың әдістемесін жетілдіргенде ғана күтілетін болжамға жетуге мүмкін болатындығы анық.
3.2 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі
Жалпы орта білім беру деңгейінің Математика және информатика білім саласы пәндерінің оқу бағдарламаларына сәйкес [1] қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы 11-сыныптың алгебра және анализ бастамалары пәнінің базалық мазмұны Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар, Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тараулары бойынша теориялық материалдарды қамтиды. Сонымен қатар базалық мазмұнға оқу жылының басында 10-сыныптағы алгебра және анализ бастамалары курсын және соңында 10-11-сыныптардағы алгебра және анализ бастамалары курсын қайталау кіреді.
Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар тарауына 10 сағат, ал Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тарауына 20 сағат бөлінген.
Осы тақырыптар бойынша 11-сыныпта оқытудың міндеттері ретінде төмендегі мәселелер қарастырылған:
- құрамында п-ші дәрежелі түбір, рационал көрсеткішті дәреже, логарифмы бар өрнектерді тепе-тең түрлендіруді орындау біліктігін қалыптастыру;
- иррационал теңдеулер және олардың жүйелерін, көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін, логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шығару біліктігін қалыптастыру;
- теңдеулер мен теңсіздіктерді, оның ішінде айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген теңдеулер мен теңсіздіктерді шығару біліктігін тиянақтау;
- теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шығаруда функциялардың графиктерін қолдану, алгебра және анализ бастамалары курсының әртүрлі тарауларынан есептер шығаруда алгебралық түрлендірулер, теңдеулер мен теңсіздіктер аппараттарын қолдану біліктігін жетілдіру.
Бұдан көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктердің 11- сыныпта маңызды орынға ие екенін көреміз.
Енді көрсеткіштік теңдеудерді шешу әдістерін қарастырайық. Олар
- қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешу әдісі;
- көрсеткіштік теңдеуді қарапайым көрсеткіштік теңдеулерге келтіру әдісі (бір негізге келтіру, көбейткіштерге жіктеу, айнымалыны ауыстыру және т.б.)
- графиктік әдіс.
Алдымен қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешу әдістерін қарастырамыз.
1) af(x)=ag(x) теңдеуі fx=g(x) теңдеуімен теңкүштес болады.
2) af(x)=b теңдеуі b=a болса fx=1 теңдеуіне, ал b!=a, b0 болса, онда fx=logab теңдеуіне теңкүштес болады, бірақ b!=a, b=0 блғанда оның шешімі болмайды. Мұны 1-кесте арқылы беруге болады.
Мысалдар.
1) Теңдеуді шешу керек: 34x-5 = 3x+4 .
Шешуі. 3[4][x][-5][ ]= 3[x][+4][ ]= 4x -5 = x+4 = 3x=9= x = 3.
Жауабы: 3.
2) Теңдеуді шешу керек: 2[x-4][ ]= 3 .
Кесте 1
Қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешу әдістері
№
Теңдеудің түрі
Шешу әдісі
1
af(x)=ag(x)
fx=g(x)
2
af(x)=b
b=a
b!=a, b0
b!=a, b=0
fx=1
fx=logab
Шешімі жоқ
Шешуі. 2x-4 = 3 = x-4 =log23 = log23 + 4 = x =log23+log216 =
x =log248.
Жауабы: log248.
3) Теңдеуді шешу керек: 7x2-3x=-7.
Шешуі. Теңдеудің шешімі жоқ, себебі кезкелген нақты х үшін 7x2-3x0.
Енді көрсеткіштік теңдеуді қарапайым көрсеткіштік теңдеулерге келтіру әдістерін қарастырайық.
1. Негіздерді теңестіру әдісі. Мұнда теңдеу дәреже көрсеткіштердің қасиеттеріне сүйену арқылы жоғарыда қарастырылған қарапайым теңдеулердің бірінші түріне келтіріледі.
Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: 27∙34x-9-9x+1=0.
Шешуі.
27∙34x-9-9x+1=0 ⟺ 33∙34x-9-32x+1=0⟺34x-6=32x+2⟺
4x-6=2x+2⟺x=4.
Жауабы: 4.
2) Теңдеуді шешу керек: 22x∙3x∙5x-604x-15=0.
Шешуі.
22x∙3x∙5x-604x-15=0⟺60x=604x-15⟺x=4 x-15⟺x=5.
Жауабы: 5.
2. Көбейткіштерге жіктеу әдісі. Көптеген көрсеткіштік теңдеулер көбейткіштерге жіктеу арқылы бірнеше қарапайым көрсеткіштік теңдеулерге ыдырайды. Бұл әдісті мысалдар арқылы қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: x∙2x=2∙2x+8x-16.
Шешуі.
x∙2x=2∙2x+8x-16.⟺2xx-2=8x-2⟺x-22x-8 =0.
Бұл теңдеу екі теңдеуге ыдырайды:
А) x-2=0⟺x=2.
Ә) 2x-8=0⟺2x=23⟺x=3.
Жауабы: 2, 3.
2) Теңдеуді шешу керек: 52x-7x-52x∙35+7x∙35=0.
Шешуі.
52x-7x-52x∙35+7x∙35=0⟺52x-7x-(52x∙3 5-7x∙35)⟺
52x-7x1-35=0⟺52x-7x=0⟺52x=7x⟺107x=1 ⟺x=0.
Жауабы: 0.
3. af(x)=t түріндегі белгісіз айнымалыны ауыстыру әдісі. Мұндай алмастыру әдетте A∙a2fx+B∙af(x)+C=0 түрінде берілген теңдеулер үшін қолданылады. Аталған алмастыру арқылы бұл теңдеу квадрат теңдеуге келтіріледі: t0 деп есептеп At2+B∙t+C=0 квадрат теңдеуін аламыз. Алынған теңдеуді шешіп, t-ның мәндерін табамыз, содан соң t0 екенін ескеріп, af(x)=t қарапайым көрсеткіштік теңдеулерін аламыз. Оларды шешіп есептің жауабын аламыз.
Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: 22+x - 22-x = 15.
Шешуі. 22+x - 22-x = 15 ⟺ 22∙2x-222x=15⟺4∙2x2-4=15∙2x. Айнымалыны ауыстырамыз: t = 2x, t 0. Нәтижесінде 4t2-15t-4=0 теңдеуін аламыз. Оның түбірлері: 4 және -14. Екіншісі t 0 шартын қанағаттындырмайды. Біріншісін пайдаланып, 2x=4 теңдеуіне келеміз. Бұдан x=2.
Жауабы: 2.
2) Теңдеуді шешу керек: 52x-3-2∙5x-2=3.
Шешуі. 52x-3-2∙5x-2=3⟺52x-2+1-2∙5x-2=3⟺
⟺5∙5x-22-2∙5x-2-3=0.
Енді 5x-2=t, t0 алмастыруын жасап, 5∙t2-2∙t-3=0 теңдеуін аламыз. Оның түбірлері: -35 және 1. Бұлардың біріншісі t0 шартын қанағаттандырмайды. Екіншісін пайдаланып, 5x-2=1 теңдеуін аламыз. Бұдан x=2.
Жауабы: 2.
4. Сол жағы A∙anx+B∙akx∙bmx+C∙bnx, k,m∈N, k+m=n, түрінде берілген теңдеу. Мұндай түрдегі теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын да не anx-не, не bnx-не бөліп алдыңғы 3-жағдайдағы теңдеуді алуға болады. Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеуді шешу керек: 2∙22x-5∙6x+3∙32x=0.
Шешуі.
2∙22x-5∙6x+3∙32x=0⟺2∙22x-5∙2x∙3x+3∙ 32x=0⟺
2∙22x32x-5∙32x∙22x32x+3=0⟺2∙232x-5∙ 23x+3=0.
23x=t, t0 алмастыруын жасау арқылы квадрат теңдеу аламыз: 2t2-5t+3=0. Оның түбірлері 32 және 1. Бұлардың екеуі де t0 шартын қанағаттандырады. Сондықтан Берілген теңдеу екі қарапайым көрсеткіштік теңдеуге ыдырайды:
1) 23x=32⟺x=-1;
2) 23x=1⟺x=0.
Жауабы: -1,0.
2) Теңдеуді шешу керек: 8x+18x-2∙27x=0.
Шешуі: 8x+18x-2∙27x=0⟺233x+23x-2=0.
23x=t, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz