Логарифмдік теңдеулерді шешу

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 6

1 КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯЛАР . . . 9

1. 1 Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері . . . 9

1. 2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері . . . 10

1. 2. 1 Логарифмнің анықтамасы . . . 10

1. 2. 2 Логарифмнің қасиеттері . . . 10

1. 2. 3 Логарифмдік функция және оның қасиеттері . . . 11

1. 3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы . . . 11

1. 3. 1 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы . . . 11

1. 3. 2 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың интегралы . . . 12

1. 4 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері . . . 13

1. 4. 1 Қарапайым көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу . . . 13

1. 4. 2 Көрсеткіштік теңдеулерді шешу . . . 14

1. 4. 3 Логарифмдік теңдеулерді шешу . . . 15

1. 5 Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер . . . 16

1. 5. 1 Көрсеткіштік теңсіздіктер . . . 16

1. 5. 2 Логарифмдік теңсіздіктер . . . 16

2 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕП ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР . . . 18

2. 1 Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер . . . 18

2. 2 Жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер . . . 20

3 МАТЕМАТИКАНЫ ОҚЫТУДА КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕМЕСІ . . . 22

3. 1 Көрсеткіштік, логарифмдік өрнектерді жетілдіре оқыту . . . 22

3. 2 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі . . . 25

3. 3 Жалпы білім беретін мектепте логарифмдік теңдеулерді шешу әдістемесі . . . 37

3. 4 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шешу әдістемесі . . . 46

3. 4. 1 Көрсеткіштік теңдеулер жүйесі . . . 47

3. 4. 2 Логарифмдік теңдеулер жүйесі . . . 49

3. 5 Жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістемесі . . . 52

3. 5. 1 Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу әдістемесі . . . 52

3. 5. 2 Логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістемесі . . . 55

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 62

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 64

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. XXI ғасыр - ғылым мен техниканың, технологияның қарыштап дамыған кезі. Ақпараттандыру, жаһандану және интеграция ғасырында жаңа дүние үшін күрес жолында білім беру бірінші кезекке қойылып отыр. Қазіргі білім беруде математиканың орны ерекше. Жалпы білім беретін мектептерде математиканың жекелеген тараулары бойынша есептер шығаруда оқушыларда қиындық тудыратын тұстары жеткілікті. Бұл Ұлттық біріңғай тестілеу нәтижелерінде байқалады. Ұлттық бірыңғай тестілеуді енгізу білім беру ұйымдарының қызметін объективті бағалауға, олардың нақты рейтингтерін анықтауға, жалпы орта білім мәселелеріне жұртшылықтың назарын күшейтуге, оқушылар мен мұғалімдердің оқу еңбегінің қорытындысын анықтауға, дәлелдеуге мүмкіндік береді. Ұлттық бірыңғай тестілеу құру қазіргі заман талабынан туындап отырған қажеттілік. Ұлттық бірыңғай тестілеу білім беру ұйымдарының жұмысын айқын көрсетіп, оқушылар мен ұстаздардың бірлескен еңбегін бағалайтын, білім сапасына қол жеткізетін көрсеткіш болып табылады.

Қазіргі таңда мектеп бітірушілерді тестілеуден өткізу заман талабына сай жүргізіліп отырғаны белгілі. Осы орайда математика пәні міндетті пәндердің бірі болғандықтан оқушылардың даярлығы да стандарттан төмен болмауы тиіс. Сондықтан тестілеу барысында оқушылардың көпшілігіне қиындық тудыратын есептерге математиканы оқыту әдістемесінде айрықша көңіл өлу қажет. Осындай тақырыптардың бірі - көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу. Мұндай теңдеулердің шешімін тапқанда мүмкін мәндер жиына кірмейтін айнамалы мәндерін қабылдау немесе түрлендіру барысында шешімді жоғалту мәселелері қиындық тудырады.

Осыған байланысты диплом жұмысының таңдалған тақырыбы математиканы оқыту әдістемесінде өзекті мәселелердің бірі болып табылады.

Зерттеудің ғылыми жаңашылдығы: Педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттерді және озат мұғалімдердің іс-тәжірибелерін зерттеу негізінде жалпы білім беретін мектептерде математиканы оқытуда көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу ерекшеліктері айқындалды.

Жұмыстың практикалық маңыздылығы: зерттеу нәтижелерін математикадан оқу және әдістемелік құралдарды дайындағанда, мектепте математиканы оқытуда, мұғалімдер білімін жетілдіру курстарында және жоғары оқу орындарының математика мұғалімдерін дайындайтын бөлімдерде, ҰБТ-ға дайындалуда пайдалануға болады.

Диплом жұмысының мақсаты: жалпы білім беретін мектептерде оқытылатын математика оқулықтарындағы, педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттердегі және озат мұғалімдердің іс-тәжірибелеріндегі көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді және олардың жүйелерін шешуге қатысты материалдарға талдау жасау және дидактикалық мақсаттарға сәйкес аталған тақырыптарды оқыту тиімділігін арттыру мәселелерін зерттеу.

Зерттеудің міндеттері:

жалпы білім беретін мектептердегі математика курсы бағдарламасына, оқулықтарға көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты талдау жасау;
жалпы білім беретін мектептердегі математика оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешу;
жалпы білім беретін мектеп математикасында көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешу әдісттемесін жетілдіру бойынша ұсыныстар жасау.

Зерттеу объектісі: жалпы білім беретін мектептердегі математика курсындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептер есептер, математика сабақтарындағы оқу процесі.

Зерттеу әдістері: қарастырылып отырған зерттеудің теориялық-әдіснамалық негізін айқындау мақсатында психологиялық, педагогикалық, әдістемелік, математикалық әдебиеттерді зерделеу және оларға талдау жасау; математика пәні бойынша жасалған оқу бағдарламаларына, оқулықтарға, есептер жинақтарына, әдістемелік құралдарға ғылыми-әдістемелік негізде талдау жасау; оқушылардың математикадан алған білім, білік және дағдыларының жайын зерттеу; пән мұғалімдерімен әңгімелесу.

Зерттеудің теориялық және әдіснамалық негіздері: ғалымдардың, әдәскерлердің, мұғалімдердің жалпы білім беретін мектептердегі математика курсында көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерге және олардың жүйелеріне қатысты есептерді шешуді оқыту туралы еңбектері; педагогикалық бағдарламалық құралдар жасап шығарудағы ғылыми теориялық және практикалық жетістіктері.

Зерттеудің тәжірибелік базасы:

Жұмыстың құрылымы: диплом жұмысы кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспеде жұмыс тақырыбының өзектілігі, зерттеудің ғылыми жаңашылдығы, практикалық маңыздылығы, жұмыстың мақсаты мен міндеттері, зерттеу объектісі, зерттеу әдістері, теориялық және әдіснамалық негіздері, тәжірибелік базасы және жұмыстың құрылымы келтірілген.

Бірінші тарауда жалпы білім беретін мектепте оқытылатын көрсеткіштік және логарифмдік функциялар туралы материалдардың мазмұны қарастырылған. Онда көрсеткіштік функция және оның қасиеттері, логарифмдік функция және оның қасиеттері, көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері, көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер қамтылған.

Екінші тарауда жалпы білім беретін мекетеп оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік функциялар келтірілген. Онда жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер, жалпы білім беретін мектептің қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы оқулықтарындағы көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер қарастырылды.

Үшінші тарау математиканы оқытуда көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді оқыту әдістемесіне арналды. Мұнда жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте логарифмдік теңдеулерді шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйесін шешу әдістемесі, жалпы білім беретін мектепте көрсеткіштік және логарифмдік теңдсіздіктерді шешу әдістемесі қарастырылды.

Қорытындыда алынған нәтижелер, ұсыныстар келтірілген.

1 КӨРСЕТКІШТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯЛАР

Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу сәйкесінше көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың қасиеттерімен тығыз байланысты. Сондықтан көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу үшін осы функциялардың анықтамаларымен, қасиеттерімен, мысалдарымен толық танысқан дұрыс. Бұл көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу әдістерін жақсы меңгеру үшін де қажет. Жалпы білім беретін мектеп оқулықтарында да бұл мәселелер көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды қамтыған тарауда қарастырылған.

1. 1 Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері

Анықтама. Егер $\mathbf{a > 0, \ a \neq 1}$ болса, онда $\mathbf{y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}$ функциясы негізі $\mathbf{a}$ -ға тең көрсеткіштік функция деп аталады.

Мысалы, $\mathbf{y =}\mathbf{3}^{\mathbf{x}}$ , $\mathbf{y =}\mathbf{10}^{\mathbf{x}}$ , $\mathbf{y =}\mathbf{0, 2}^{\mathbf{x}}$ , $\mathbf{y =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}^{\mathbf{x}}}$ , $\mathbf{y =}\left( \sqrt{\mathbf{2}} \right) ^{\mathbf{x}}$ және т. с. с. көрсеткіштік функциялар болады. анықтамадағы $\mathbf{a > 0, \ a \neq 1}$ шарттары өте маңызды. Мысалы, нақты көрсеткішті дәрежелер тек оң сандар үшін анықталғандықтан $\mathbf{a > 0}$ болуы қажет. Екінші жағынан, егер $\mathbf{\ a = 1}$ болса, онда әрбір $\mathbf{x \in ( - \infty, + \infty) }$ мәнінде $\mathbf{y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{1}^{\mathbf{x}}\mathbf{= 1}$ болып, функция $\mathbf{x}$ -ке тәуелді болмай қалады (бұл жағдайда оны $\mathbf{y = 1}$ тұрақты фунциясы ретінде қарастырады) .

Көрсеткіштік функцияның қасиеттері:

1 ⁰ . Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы $\mathbf{( - \infty, + \infty) }$ жиыны болады.

2 ⁰ . $\mathbf{(0, + \infty) }$ көрсеткіштік функцияның мәндерінің жиыны болады.

3 ⁰ . а) Егер $\mathbf{a > 1}$ және $\mathbf{x > 0}$ болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{> 1\ }$ болады;

ә) егер $\mathbf{a > 1}$ және $\mathbf{x < 0}$ болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{< 1\ }$ болады;

б) егер $\mathbf{a < 1}$ және $\mathbf{x > 0}$ болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{< 1\ }$ болады;

в) егер $\mathbf{a < 1}$ және $\mathbf{x < 0}$ болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{> 1\ }$ болады;

г) егер $\mathbf{a > 1}$ және $\mathbf{x = 0}$ болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{0}}\mathbf{= 1\ }$ болады.

4 ⁰ . Егер $\mathbf{a > 1}$ болса, онда $\mathbf{y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}$ көрсеткіштік функциясы өспелі болады, яғни $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{<}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{, }\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ нақты сандары үшін $\mathbf{a}^{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{<}\mathbf{a}^{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}$ теңсіздігі орындалады.

5 ⁰ . Егер $\mathbf{0 < a < 1}$ болса, $\mathbf{y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}$ көрсеткіштік функциясы кемімелі болады, яғни $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{<}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{, }\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ нақты сандары үшін $\mathbf{a}^{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{>}\mathbf{a}^{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}$ теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеу. 1 ⁰ . Бұл қасиеттің дәлелдеуә анықтамадан шығады.

2 ⁰ . Оң санның рационал көрсеткішті дәрежесі оң болатынын білеміз, яғни $\mathbf{x}$ рационал сан болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{> 0}$ теңсіздігі орындалады. Онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{> 0}$ теңсіздігі кезкелген иррационал сан үшін орындалады (дәрежелік функцияның оң мәндер қабылдау қасиеті бойынша) .

3 ⁰ . а) Егер $\mathbf{a > 1}$ және $\mathbf{x > 0}$ болса, онда нақты көрсеткішті дәреженің (бірсарынды өспелі болу) қасиеті бойынша $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{> 1\ }$ болады.

ә) Егер $\mathbf{a > 1}$ және $\mathbf{x < 0}$ болса, онда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{<}\mathbf{1}^{\mathbf{x}}\mathbf{= 1\ }$ болады.

Қалған қасиеттер де осыған ұқсас дәлелденеді.

1. 2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері

1. 2. 1 Логарифмнің анықтамасы. $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{= b\ (a > 0, \ \ a \neq 1) }$ теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің түбірі $\mathbf{y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}$ функциясы графигі мен $\mathbf{y = b}$ түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссаларына тең. $\mathbf{b > 0}$ болғанда қиылысу нүктесі біреу ғана болады, керісінше болғанда графиктер қиылыспайды. Олай болса, $\mathbf{b > 0}$ болғанда $\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{= b}$ теңдеуінің түбірін негізі $\mathbf{a}$ -ға тең болатын $\mathbf{b}$ санының логарифмі ретінде алуға болады.

Анықтама. Берілген оң санның берілген негіздігі логарифмі деп осы негіздің берілген санға тең дәреже көрсеткішін айтады, яғни $\mathbf{b > 0}$ санының а $\mathbf{(a > 0, \ \ a \neq 1) }$ негізіндегі логарифмі деп

$\mathbf{a}^{\mathbf{c}}\mathbf{= b}$ (1. 1)

теңдігін қанағаттандыратын $\mathbf{с}$ санын айтады және $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}$ арқылы белгілейді.

Сонымен анықтама бойынша (1. 1) теңдіктен

$\mathbf{b =}\mathbf{a}^{\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}}$ (1. 2)

теңдігін аламыз. (1. 2) формула логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі деп атайды.

Мысал. 1) $\mathbf{\log}_{\mathbf{3}}\mathbf{81}$ ; 2) $\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{0, 125}$ өрнектерінің мәнін табукерек.

Шешуі. 1) $\mathbf{81 =}\mathbf{3}^{\mathbf{4}}$ , онда анықтама бойынша $\mathbf{\log}_{\mathbf{3}}\mathbf{81 = 4}$ .

2) $\mathbf{0, 125 =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{2}^{\mathbf{- 3}}$ , онда анықтама бойынша $\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{0, 125 = - 3}$ .

1. 2. 2 Логарифмнің қасиеттері. Енді логарифмнің негізгі қасиеттерін атап өтейік.

Кезкелген $\mathbf{a > 0\ (a \neq 1) }$ және $\mathbf{b, c}$ оң сандары үшін:

1 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{1 = 0; }$

2 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{a = 1; }$

3 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\left( \mathbf{bc} \right) \mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b +}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{c; }$

4 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b -}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{c; }$

5 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}^{\mathbf{m}}\mathbf{=}{\mathbf{m}\mathbf{\log}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b, \ \ m}\mathbb{\in R; }$

6 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{b =}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\mathbf{\log}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b, \ n}\mathbb{\in R, \ }\mathbf{n \neq 0; }$

7 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{b =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{c\ }$ теңдігінен $\mathbf{b = c}$ теңдігі шығады;

8 ⁰ . $\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{b =}\frac{\mathbf{\log}_{\mathbf{c}}\mathbf{b}}{\mathbf{\log}_{\mathbf{c}}\mathbf{a}}\mathbf{, \ c \neq 1}$

қасиеттері орындалады.

Мысал. а) $\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{16; }$ ә) $\mathbf{\log}_{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{27; }$ б) $\mathbf{\log}_{\mathbf{4}}\mathbf{2}$ өрнегінің мәнін есептеу керек.

Шешуі. а) $\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{16 =}\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{2}^{\mathbf{4}}\mathbf{= 4}\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{2}$ =4;

ә) $\mathbf{\log}_{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{27 =}\mathbf{\log}_{\mathbf{3}^{\mathbf{- 1}}}\mathbf{3}^{\mathbf{3}}\mathbf{= -}\mathbf{3}\mathbf{\log}_{\mathbf{3}}\mathbf{3 = - 3; }$

б) $\mathbf{\log}_{\mathbf{4}}\mathbf{2 =}\mathbf{\log}_{\mathbf{2}^{\mathbf{2}}}\mathbf{2 =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{2 =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{. }$

Мұнда біз 2 ⁰ , 5 ⁰ , 6 ⁰ қасиеттерді пайдаландық.

1. 2. 3 Логарифмдік функция және оның қасиеттері. Енді логарифмдік функцияға анықтама берейік.

Анықтама. $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x\ (a > 0, \ a \neq 1) }$ түрінде берілген функцияны негізі $\mathbf{a}$ болатын логарифмдік функция деп атайды.

Мысалы, $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{2}}\mathbf{x}$ - негізі 2-ге тең логарифмдік функция, ал $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{x}$ - негізі $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ -ге тең логарифмдік функция.

Логарифмдік функцияның қасиеттері:

1 ⁰ . Логарифмдік функцияның анықталу облысы $\mathbf{(0, + \infty) }$ жиыны болады.

2 ⁰ . $\mathbf{( - \infty, + \infty) }$ көрсеткіштік функцияның мәндерінің жиыны болады.

3 ⁰ . Егер $\mathbf{a > 1}$ болса, онда $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x\ }$ функциясы өспелі болады.

4 ⁰ . Егер $\mathbf{0 < a < 1}$ болса, онда $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x\ }$ функциясы кемімелі болады.

5 ⁰ . Негіздері бірдей логарифмдік $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x\ }$ және $\mathbf{\ y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}$ функцияларының графиктері $\mathbf{y = x}$ түзуіне қатысты симметриялы болады.

1. 2. 4 Негізі $\mathbf{e}$ -ге тең көрсеткіштік және логарифмдік функциялар. Негізі $\mathbf{e}$ -ге тең көрсеткіштік функция $\mathbf{y =}\mathbf{e}^{\mathbf{x}}$ түрінде жазылады. Негізі $\mathbf{e}$ -ге тең логарифмді натурал логарифм деп атайды және $\mathbf{\ln}\mathbf{x}$ арқылы белгілейді. Ал, $\mathbf{y =}\mathbf{\ln}\mathbf{x\ (x > 0) }$ функциясын натурал логарифмдік функция деп атайды

1. 3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы мен интегралы

1. 3. 1 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысын есептеуге ерналған келесі формулаларды дәлелдейік.

$\left( \mathbf{a}^{\mathbf{x}} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{\ln}\mathbf{a, \ }\left( \mathbf{e} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\mathbf{e}^{\mathbf{x}}$ , (1. 3)

$\left( \mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}\mathbf{\ln}\mathbf{a}}\mathbf{, \ }\left( \mathbf{\ln}\mathbf{x} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}$ . (1. 4)

$\mathbf{y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{, \ a > 1, \ a \neq 1, \ x \in ( - \infty, + \infty) }$ функциясы берілсін. Оның $\mathbf{x}$ нүктесіндегі өсімшесін анықтайық. $\mathbf{\mathrm{\Delta}y =}\mathbf{a}^{\mathbf{x + \mathrm{\Delta}x}}\mathbf{-}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}\mathbf{- 1) }$ . Осыдан туындының анықтамасы бойынша

$\mathbf{y}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{x}} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\underset{\mathbf{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}{\frac{\mathbf{\mathrm{\Delta}y}}{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}\mathbf{=}\underset{\mathbf{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}{\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{\mathrm{\Delta}x\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\underset{\mathbf{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}{\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{\ln}\mathbf{a. }}$

Мұнда $\underset{\mathbf{x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}{\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{\ln}\mathbf{a}}$ теңдігі пайдаланылды. Сонымен $\left( \mathbf{a}^{\mathbf{x}} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{\ln}\mathbf{a}$ . Егер $\mathbf{a = e}$ болса, онда $\left( \mathbf{e}^{\mathbf{x}} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\mathbf{e}^{\mathbf{x}}\mathbf{\ln}\mathbf{e =}\mathbf{e}^{\mathbf{x}}$ . (1. 3) формула дәлелденді.

Енді $\mathbf{y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x\, \ a > 0, \ a \neq 1\ (x > 0) }$ функциясының қсімшесін есептейік:

$\mathbf{\mathrm{\Delta}y =}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\left( \mathbf{x + \mathrm{\Delta}x} \right) \mathbf{-}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\frac{\mathbf{x + \mathrm{\Delta}x}}{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}{\mathbf{x}} \right) }}$ .

Онда

$\mathbf{y}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\left( \mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\underset{\mathbf{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}\frac{\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}{\mathbf{x}} \right) }{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}\mathbf{=}\underset{\mathbf{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\frac{\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}{\mathbf{x}} \right) }{\frac{\mathbf{\mathrm{\Delta}x}}{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\mathbf{e =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}\mathbf{\ln}\mathbf{a}}}$ .

Мұнда $\underset{\mathbf{x \rightarrow 0}}{\mathbf{\lim}}{\frac{\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\left( \mathbf{1 + x} \right) }{\mathbf{x}}\mathbf{=}}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{e}$ формуласы мен жаңа негізге көшу формуласы (логарифмнің 8 ⁰ қасиеті) пайдаланылды. Сонымен, $\left( \mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}\mathbf{\ln}\mathbf{a}}\mathbf{. }$ Егер $\mathbf{a = e}$ болса, онда $\left( \mathbf{\ln}\mathbf{x} \right) ^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}\mathbf{lne}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{. }$ (1. 4) формула дәлелденді.