Дифференциалды есептеу ережесі
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті ШЖҚ РМК
Ережеп Мария
Математикалық талдау элементтерінің қолданыстары.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Мамандығы 5В010900-Математика
Көкшетау 2018
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті ШЖҚ РМК
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Математикалық талдау элементтерінің қолданыстары.
Мамандығы 5В010900-Математика
Орындады: ________________________
Ғылыми жетекші,
п.ғ.к., доцент: ________________________
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі _________________
Көкшетау 2018
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУДЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫНА ҚЫСҚАША ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1Бір айнымалыға тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеулері...
1.2 Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері мен есептеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСТАРЫ...
2.1Туынды және оның қолданылуы ... ... ... ... ... .
2.1.1 Физикадағы қолданыстары ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1.2 Құрылыстағы қолданыстары ... ... ... ... ... ... .
2.1.3 Ағаш өңдеу есептері ... ... ... ... ... .
2.1.4 Автомобиль жолдарына байланысты есеп ... ... ... ...
2.1.5 Мелиорация есептері ... ... ... .
2.2 Интеграл және оның қолданылуы ... ... ... ...
2.2.1 Геометрияның аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл арқылы қорыту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.1.1 Айналу бетінің ауданы.
2.2.1.2Сфера мен оның бөліктерінің ауданы 22
2.2.1.3Доғаның ұзындығы 23
2.2.1.4Дененің көлемін оның параллель қималарының аудандары
бойынша есептеу 25
2.2.1.5Тік дөңгелек конустың көлемі 27
2.2.1.6Шар мен оның бөліктерінің көлемі 30
2.2.1.7 Кез келген цилиндрдің көлемі 34
2.2.1.8Пирамданың көлемі 34
2.2.1.9Айналу денесінің көлемі
2.2.Физикадағы қолданыстарына байланысты есептер ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Дифференциалдық теңдеулер нақтылы процестердің математикалық модельдері ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Зерттеу тақырыбының өзектілігі.
Елбасы Н.А.Назарбаевтың Еуразия ұлттық университетінде оқыған лекциясында: Білімді, сауатты адамдар-бұл ХХІ ғасырда адамзат дамуының негізгі қозғаушы күші-деп аталған [1].
Қазақстан Республикасында білім беруді дамытудың 2016-2020 жылдарға арналған Мемлекеттік бағдарламасында белгіленген орта білім берудің негізгі міндеттерінің бірі ...білім алушылардың еңбек нарығындағы бәсекеге қабілеттілігін қамтамасыз ету үшін кәсіптік дағдылар алуына жағдай жасау болып табылады...-деп көрсетілген [2].
Бүгінде, күн өткен сайын, білім мен ғылымы дамыған елдер барлық жағынан алда болатынына көз жеткізудеміз.
Өткен ғасырдың өзінде, осы замандағы iрi физиктердiң бiрi, немiс ғалымы Гейзенберг табиғат заңдарын танып бiлудегi математиканың ролiн былай сипаттайды: сегiз қырлы математика кейде физиктердiң ойында жоқ жерден жаңалықтар ашуға көмек көрсетедi [3]. Оның математика ғылымына бұлайша баға беруiнде бiр себеп бар. 1925 жылы Гейзенберг атомның құрылысымен байланысты бiр теорияны математикалық әдiспен зерттеу үстiнде күтпеген жаңалық ашқан болатын. Ол жаңалық - атом құрылысы жөнiндегi Бор теориясының кемшiлiктерiне түзету енгiзе отырып жаңа кванттық механиканы жасауға негiз болды. Осы жаңалықты ашумен байланысты Гейзенберг былай деп жазған болатын: Математика физикадан гөрi ақылдырақ болды, өйткенi математиканың көмегiмен жаңа тәуелдiлiктердiң iзiне түстiк [3].
Физиктер тек сутегi мен гелийдiң ғана атомдарының модельдерiн жасады. Бұл элементтердiң атомдарының ядросын айнала бiр немесе екi электрон қозғалады. Бұлардан басқа химиялық элементтердiң атомдарының құрылысы туралы жалпы түсiнiк берiлгенi болмаса, толық математикалық есептеу жасалған жоқ.
Қозғалыс, айнымалы шамалар және олардың өзара байланыстары бізді айнала қоршап тұр. Қозғалыстардың әр түрлері және олардың заңдылықтары нақты ғылымдардың-физиканың, геологияның, биологияның, социологияның және т.б.-қарастыратын негізгі объектісін құрайды. Сондықтан, сандық қатынастарды сипаттау үшін сандар мен арифметика қаншалықты қажет болса, нақты тіл және айнымалы шамаларды сипаттайтын және қарастыратын математикалық әдістер ғылымның барлық салаларында соншалықты қажет болады.
Тілдің және айнымалы шамалардың және олардың өзара байланыстарын сипаттайтын математикалық әдістердің негізін математикалық талдау құрайды. Бүгінгі күнге дейін математикалық талдаудың көмегімен космостық траекторияны, ядролық реактордың жұмысын, мұхит толқынының жүгірісін, циклонның даму заңдылықтарын, т.б. табиғи процестерді анықтаған еді. Қазіргі кезде математикалық талдаудың көмегінсіз шаруашылықты басқару, ресурстарды тиімді орналастыру, технологиялық процестерді ұйымдастыру, химиялық реакциялардың ағымын алдын-ала болжау немесе табиғаттағы өзара байланыста болатын жануарлар мен өсімдіктердің санының өзгеруін алдын-ала болжай алмаймыз, себебі аталған процестердің бәрі-динамикалық процестер.
XVII ғасырда пайда болған математикалық талдау элементтері бізге айнымалы шамаларды және қозғалыстарды сандық және сапалық түрде қарастыруға, ғылыми тұрғыдан сипаттауға кең мүмкіндіктер ашты.
Бұл мүмкіндіктерді зерттеп білу үшін, математиканың математикалық талдау элементтерін терең меңгеру қажеттілігін туындатады[4].
Жоғарыда сипатталған құбылыстар үнемі өзгерістегі процестер болғандықтан, таңдалған тақырыбымыз да ғылыми зерттеулердің күн тәртібінен түспейді.
Диплом жұмысының мақсаты-математикалық талдау элементтерінің қолданыстарын көрсету.
Диплом жұмысының міндеті-математикалық талдау элементтерінің қолданыстарын көрсетудің тиімді формасы-бұл қолданбалы бағыттағы есептерді қарастыру.
Диплом жұмысының практикалық маңыздылығы-жұмыстың өне бойында қарастырылған есептерді, мектеп мұғалімдері сабақ процесінде қолдана алады.
Диплом жұмысы кіріспе, екі тараудан, қорытынды және пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУДЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫНА ҚЫСҚАША ШОЛУ
1.1 Бір айнымалыға тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеулері[5]- [7].
Айталық, функциясы нүктесінде және оның маңайында анықталған болсын.
Анықтама. Аргумент -тің нүктесіндегіөсімшесі деп айырмасын атайды.
Анықтама. функцияның нүктесіндегі өсімшесі деп айырмасын айтады.
Анықтама.Егер функциясы нүктесінің маңайында анықталған және болса, онда ол нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Шындығында да
.
Анықтама. функциясының нүктесіндегі туындысы депақырлы шегін айтады.
Бұл туынды мына символдардың бірімен белгіленеді:
.
Егер функциясының интервалының әрбір нүктесінде туындысы болса, онда оны осы интервалда дифференциалданады дейді. Туындыны табу амалын дифференциалдау дейді.
Теорема. Егер функциясы нүктесінде дифференциалда-натын функция болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады.
Ескерту: теорема керісінше дұрыс емес.
Туындының геометриялық мағынасы. Туындыныңгеометриялықмағынасы: туындысы функциясыныңграфигіне
нүктесіндежүргізілгенжанаманыңбұрыш тықкоэффициентіболады. Осыжанаманыңтеңдеуінбылайжазады:
.
Туындыныңмеханикалықмағынасы. Егер айнымалысынуақытдепесептеп, -функциясыдененіңжүргенжолынсипатта са, онда
дененің уақытындағыжылдамдығынбілдіреді.
Дифференциалдаудыңнегізгіережелері. Туындыныңанықтамасынпайдаланып, кейбірэлементар (қарапайым) функциялардыңтуындыларынесептейміз.
1. Көрсеткіштік функция
.
Дербес жағдайда .
2. Тригонометриялық функциялар
.
Дәл осылай .
2. Дәрежелік функция .
Дербес жағдайда,
.
Теорема 1.(қосындыны, көбейтіндініжәнеқатынастыдифферен-ц иалдауережелері). Егер және дифференцианалданатынболса, ондабұлфункциялардыңқосындысы, көбейтіндісіжәнеқатынасыда (қатынастыңбөлімі ) осынүктедедифференцианалданадыжәнем ынаформулаларорынды:
1.
2.
3. .
Күрделіфункцияныңтуындысы. функцияларыүзіліссізжәнедифференциа лданатынфункцияларболсын. Сондакүрделі функциясыныңтуындысы:
.
Сонымен .
Керіфункцияныңтуындысы. жәнеоғанкері функция-лары кесіндісіндеүзіліссізжәнедифференци алданатынболсын. Сондакеріфункцияныңтуындысы:
.
Сонымен
болады.
Негізгі элементар функциялар туындыларының кестесі
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Жоғары ретті туындылар және дифференциалдар.
берілген функциясының бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияның өзі нөлінші ретті туынды деп аталады.
Анықтама. Функцияның - шіреттітуындысыдепоның ( -1)-шітуындысыныңтуындысынайтады , =1,2,3,..., егероларбарболса, онда функциясы -ретдифференциалданатынфункциядепат алады.
Мысал.
функциясыберілген. Біріншітуындысы
,
екінші туындысы
,
үшінші туындысы
.
Демек,
, .
Егер және функциялары - рет дифференциалданатын болса, онда ( ), мына ережелер орынды:
,
.
2. Лейбниц формуласы:
;
.
Айталық функциясы - рет дифференциалданатын болсын.
Анықтама. Функцияның - ші дифференциалы деп оның ( ) - ші ретті дифференциалының дифференциалын айтады:
.
Дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:
,
,
.
- шы ретті дифференциалдар үшін мына ережелер орынды:
1) ,
.
2) ,
.
Ескерту: Жоғарғы ретті дифференциал формасы инвариантты емес.
Анықтама.Егер нүктесініңбір маңайында тең-сіздігі орындалса, онда нүктесін функциясының жергілікті минимум (максимум) нүктесі деп атайды. Жергілікті минимум және жергілікті максимум нүктелері жергілікті экстремум нүктелері деп аталады. Ал осы нүктелердегі функцияның мәні функцияның экстремумы деп аталады. кесіндісінде анықталған функцияның тек қана бір ең үлкен және ең кіші мәндері болады, ал максимумдар және минимумдер бірнеше болуы мүмкін. Функцияның кейбір максимумдары оның минимумдарынан кіші болуы да мүмкін.
Ферма теоремасы. Егер функциясы интервалында диффе-ренциалданатын болса және нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса, онда функцияның туындысы бұл нүктеде нөлге тең, яғни .
Геометриялық мағынасы: функцияның максимум және минимум нүктелерінде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.
Ролль теоремасы.Егер функциясы: кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және болса, онда ең болмағанда бір нүктесі табылып, болады.
Геометриялық мағынасы: егер теорема шарттары толығымен орындалса, онда кесіндісінде жататын ең болмағанда бір нүктесі табылып, сол нүктеде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.
Kоши теоремасы.Егер және функциялары ке-сіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және , онда ең болмағанда бір нүктесі табылып
теңдігі орындалады.
Лагранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса онда интервалында жататын нүктесі табылып,
теңдігі орындалады.
Геометриялық мағынасы: мына қатынас кесін-дісінде функциясының графигінің шеткі нүктелерін қосатын хорданың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрыштың тангесіне тең, ал нүктесіне жүргізілген жанаманың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенісіне тең. Лагранж теоремасы бойынша нүктесінде олар өзара тең болады, яғни қиюшы мен жанама параллель болады.
Лопиталь ережесі.Бұл ереже немесе анықталмағандықтарын есептеуге мүмкіндік береді.
Теорема.Айталық, нүктесінің маңайында
және функциялары анықталған және дифференциал-данатын болсын (нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы да мүмкін) және
, , .
Егер шегі бар болса, онда шегі бар болады және мына теңдік орындалады:
= .
Осысияқты тұжырымдар , , , ,
жағдайларда да орынды.
Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда:
,
демек шексіз аз шама.
Онда функцияның өсімшесі былай жазылады:
.
Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.
Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.
Дифференциалды есептеу ережесі.
Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,
1) , мұндағы с - сан.
2) ,
3) , егер .
4) Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:
, осыдан .
Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда:
функциясы аралығында берілсін. Егер кез келген үшін теңсіздігінен ( ) теңсіздігі шығатын болса, онда функциясы аралығында өседі (кемиді) дейді.
Теорема. Егер аралығында дифференциалданатын функция-сының туындысы осы аралықта оң (теріс) болса, онда ол осы аралықта өседі (кемиді). Демек, өсу немесе кему интервалында функцияның туындысы таңбасын өзгертпейді.
1-мысал. функцияның өсу және кему аралықтарын табу керек. Ол үшін функция туындысының таңбасының тұрақтылық интервалдарын анықтаймыз . Бұл квадрат үшмүшеліктің түбірлері x1=0, x2=2. Сондықтан, егер аралығында , демек функциясы бұл аралықта кемиді. Ал аралықтарында f'(x)0, демек бұл аралықтарда функция өседі.
Теорема (экстремумның қажетті шарты).
Егер дифференциалданатын функциясының нүктесінде экстремумы бар болса, онда сол нүктеде болады. Осы теоремадан мынадай қорытындыға келеміз: егер нүктесінде функцияның экстремумы бар болса, онда ол нүктеде оның туындысы нөлге тең, не ол нүктеде туындысы болмауы мүмкін. Кері тұжырым әрқашан орындала бермейді.
Мысалы,
функциясыныңx0=0 нүктесінде туындысы , ал бірақ ол нүктеде функция не максимум, не минимум қабылдамайды. функциясының туындысы нөлге айналатын немесе тіпті болмайтын нүктелерді күдікті нүктелер немесе кризистік нүктелер деп атайды. Функцияның экстремумын осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.
Теорема(экстремум бар болуының жеткілікті шарты).
Егер нүктесінде функциясының туындысы нөлге тең болса және нүктесінен өткенде таңбасын өзгертсе, онда нүктесі экстремум нүктесі болады: 1) егер таңба плюс-тен минус-ке өзгерсе, онда - максимум нүктесі; 2) егер таңба минус-тен плюс-ке өзгерсе, онда - минимум нүктесі болады.
2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, өсу және кему аралықтарын анықтау керек. Функция туындысы , осыдан , күдікті нүктесін табамыз. нүктесінде функцияның туындысы болмайды, сондықтан ол да күдікті нүкте. Интервалдар тәсілімен f '(x)-тің таңбаларын анықтаймыз. Функция барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нүктесі, ал минимум нүктесі. ( - Yen, 0) және интервалдарда функция өседі, ал интервалда кемиді Зерттеу нәтижелерін таблицаға жазамыз:
Функцияның екінші ретті туындысы қолданылатын экстремумның тағы бір шартын келтірейік.
Теорема. функциясының нүктесінде бірінші және екінші туындылары бар болсын. Егер нүктесінде функциясының бірінші туындысы нөлге тең, яғни болса, ал екінші туындысы нөлден ерекше, яғни болса, онда - экстремум нүктесі болады:
1) егер болса, онда - минимум нүктесі;
2) егер болса, онда - максимум нүктесі болады.
Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері. Функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін экстремум нүктелерінде не кесіндісінің шеткі нүктелерінде қабылдауы мүмкін. Ең үлкен және ең кіші мәндерді табу үшін алдымен функцияның күдікті нүктелерін (не туынды нөлге тең, не туынды жоқ нүктелер) табу керек. Содан соң функцияның күдікті нүктелеріндегі және кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін тауып, олардың ішінен ең үлкен және ең кіші мәндерді іздеу керек.
3-мысал. функциясының кесіндісіндегі ең үлкен жіне ең кіші мәндерін табу керек. Күдікті нүктелерді табамыз:
Осыдан - күдіктінүктелер. Ендіфункцияныңкүдіктінүктелердегіжә нешеткінүктелердегімәндерінтабамыз: .
Сонымен үлкен кіші .
Анықтама. Егер интервалындадифференциалданатын қи-сығыныңбарлықнүктелерісолқисыққа жүргізілгенжанамаданжоғарыорналасса , ондаондақисықтыосыаралықтаойыс (дөңестігітөменқараған) дейді, ал қисығыныңбарлықнүктелерісолқисыққаж үргізілгенжанамадантөменорналасса, ондақисықтыосыаралықтадөңес (дөңестігіжоғарықараған) дейді. Қисықтың ойыс және дөңес бөлігін бөліп тұратын нүктені иілу нүктесі деп атайды.
Теорема. функциясы интервалында екі рет дифференциал-данатын болсын. Егер осы интервалдың әрбір нүктесінде 1) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда дөңес болады; 2) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда ойыс болады
4-мысал. гиперболасы (0, +Yen) интервалында ойыс болады, себебі , ал ( - Yen, 0) интервалында дөңес, себебі .
Теорема (иілу нүктесінің қажетті шарты).
Егернүктесі функциясының иілу нүктесі болса, онда бұл нүктеде функцияның екінші туындысы нөлге тең, яғни . Функцияның екінші туындысы нөлге айналатын немесе екінші туындысы болмайтын нүктелер екінші текті күдікті нүктелер деп аталады. Функцияның иілу нүктесін осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.
Теорема (иілу нүктенің жеткілікті шарты).
Егер нүктесінен өткенде функцияның екінші туындысы таңбасын өзгертсе, онда нүктесі иілу нүктесі болады.
1.2 Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері мен есептеу әдістері[5]-[9]
Интеграл ұғымы жазық фигураның ауданын, сондай-ақ дененің беті ауданын және көлемін есептеу қажеттілігінен пайда болды. Мәселен, Ежелгі Греция мен Римде математик ғалымдар кез келген жазық фигураның квадратурасын және кез келген дененің кубатурасын табуға есептер шығарумен айналысқан. Олар өз есептеулерінде Книдский Евдокс ұсынған біртіндеп түгесу әдісін [9] қолданған. Мысалы, бұл әдісті қолдану арқылы Евдокс екі дөңгелектің аудандарының қатынасы олардың диаметрлері квадраттарының қатынасына, ал табаны мен биіктігі цилиндрдікіндей болатын конустың көлемі цилиндр көлемінің бөлігіне тең екені дәлелденген.
Архимед өзінің парабола квадратусы шығармасында Евдокс әдісін жетілдіріп, дөңгелектің ауданын есептеу формуласын қорытып шығарды. Архимед әдісінің негізгі мағынасы мынада: алдымен дөңгелектің ауданы оған сырттай сызылған кез келген дұрыс көпбұрыштың ауданынан кіші, бірақ оған іштей сызылған кез-келген дұрыс көпбұрыштың ауданынан үлкен екені дәлелденеді. Содан кейін іштей және сырттай сызылған дұрыс көпбұрыштардың қабырғалар санын екі еселеп арттырғанда олардың аудандарының айырымы өте аз шама болатыны дәлелденеді.
Ең соңында сырттай сызылған дұрыс көпбұрыштың қабырғалар санын шексіз екі еселеп арттырғанда оның ауданының ұмтылатын сандық шамасы дөңгелек ауданының шамасы ретінде табылады.
интеграл белгісін Г.В.Лейбниц 1675ж. енгізген [9]. Бұл белгі summa сөзіндегі S латын әрпінің өзгерген алғашқы күйі, қалпына келтіру ұғымын білдіретін integro деген латын сөзінен шыққан. Мұның тұтас деген мағына беретін integer сөзінен шығуы да мүмкін.
Анықтама: Х жиынында өзгеретін кез келген х үшін:
теңдігі орындалса, онда функциясы осы жиында функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы: Алғашқы функцияның анықтамасы бойынша функциясының тундысын табамыз:
Демек, кез келген үшін функциясы функциясының алғашқы функциясы болады.
Берілген функцияның туындысын табу дифференциалдау деп аталатыны математика курсынан белгілі. Ал функцияның белгілі туындысы бойынша алғашқы функциясын анықтауды интегралдау деп атаймыз.
Интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал. Интегралдаудың негізгі мақсаты интегралданатын функцияның барлық алғашқы функцияларын табу. Мысалы: функциясының алғашқы функциясы ретінде функциясын ғана емес,
және т.с.с. функияларды алуға болады. Себебі, бұл алғашқы функциялардың туындысын анықтасақ, барлық жағдайда да функциясына келеміз. Олай болса, кез келген функциясы үшін бір алғашқы функция табылса, онда оның шексіз көп алғашқы функциялары бар болады.
Теорема: Егер функциясы Х аралығында функциясының алғашқы функциялрының бірі болса, онда бұл функцияның барлық алғашқы функцияларының жиыны
формуласымен анықталады. Мұндағы С-кез келген тұрақты сан.
Анықтама: функциясының алғашқы функцияларының жалпы түрін, яғни өрнегін осы функцияның анықалмаған интегралы деп атайды.
Анықталмаған интегралды табу формуласы:
формуладағы -анықталмаған интеграл. интегралдау амалының белгісі. - интеграл таңбасы астындағы функция, интеграл таңбасы астындағы өрнек.
1.1-мысал: интегралын табайық.
Шешуі: формула мен алғашқы функцияны табу кестесін қолданамыз. Сонда болады.
Анықталмаған итегралдың қарапайым қасиеттері
қасиет теңдіктері арқылы дәлелденеді, яғни анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең.
қасиет теңдіктері көмегімен дәлелденеді, яғни дифференциял таңбасы интеграл таңбасынан бұрын тұрса, онда мен таңбалары өзара жойылып кетеді.
қасиет теңдіктері арқылы дәелденеді, яғни, егер дифференциал және интеграл таңбаларының орындарын алмастырып, оларды қысқартсақ, онда ол таңбалардың өзара жойылуы кез келген тұрақты С санына дейінгі дәлдікпен орындалады.
Егер және функцияларының Х аралығында алғашқы функциялары бар болса, онда сол аралықта функиясының да алғашқы функциясы бар болады және
теңдігі орындалады.
Шынында да, және дейік. Олай болса, қасиет бойынша және . және функциялары қосындысын (айырмасын) арқылы белгілейік. Сонда Х аралығында
теңдігі орындалады. Ал бұл теңдік функциясы функциясының алғашқы функциясы екенін көрсетеді. Сондықтан
Демек, формуланың сол жағы өрнегімен, ал оң жағы қосындысынан (айырмасынан) тұрады. Бірақ, тұрақтылары кез келген еркімізше алынған сандар болғандықтан, деп жазуға болады, яғни және жиындары бір біріне тең.
Егер -тің Х аралығында алғашқы функциясы бар болса, онда кез келген саны үшін функциясының сол аралықта алғашқы функциясы бар болып және мына теңдік орындалады:
Шынында да, дейік.Олай болса, Х аралығында болғандықтан, функциясы функциясының сол аралықтағы алғашқы функциясы. Сондықтан Ал теңдіктің оң жағы ға тең. Олай болса, үшін және сандары еркінше алынған тұрақты сандар болғандықтан, болады.
Анықталмаған интегралдың және қасиеттері оның қасиеттері деп аталады. Бұларды біріншісі функциялар қосындысының анықталмаған интегралы сол функциялардан жеке-жеке алынған анықталмаған интегралдар қосындысына тең екенін көрсетеді, ал екіншісі тұрақты көбейткішті интеграл алдына шығаруға болатынын көрсетеді.
Еер Х аралығында болса, онда сол аралықта
Шынында да,
Интегралдаудың негізгі әдістері
1. Айнымалыны ауыстыру жолымен интегралдау (ауыстыру әдісі). Кестелік интегралдарға жатпайтын көптеген интегралдар астындағы функциялардың алғашқы функцияларын бірден табу көбіне қиындыққа түседі. Мұндай интегралдарды есептеудің ең тиімді әдістерінің бірі айнымалыны ауыстыру әдісі болып табылады. Ауыстыру әдісін қолдану интегралдарды қарапайым (көбіне кестелік) интегралдарға түрлендірейік. Бұл әдіс мынадай теоремаға негізделген:
Теорема: Егер кейбір Т аралығында үзіліссіз функциясы теңдігін қанағаттандыратын болса, онда Х аралығында үзіліссіз дифференциялданатын ( яғни туыдысы да үзіліссіз ) функциясы теңдігін қанағаттандырады (мұндағы Т аралығы функциясының өзгеру облысы).
Дәлелдеуі: Теореманы дәлелдеу үшін мына байланысты келтіреміз:
мұндағы . Бұдан теоремадағы теңдіктің дәлелдемесі тікелей шығады.
интегралын есептеу керек дейік. Интеграл астындағы өрнек теңдігін қанағаттандыратындай, дифференциалданатын функциясы табылды дейік. Сонымен бірге интегралы оңай табылатын болсын. Сонда теорема негізінде берілген интеграл үшін формуласы орындалады. Интегралды есептеудің бұл әдісімен есептеу деп атайды. Есептер шығарғанда жазудың мына түрін пайдаланған жөн:
1.2-мысал:
болғандықтан, деп алып, интеграл астындағы өрнекті былайша түрлендіреміз:
Бұл өрнектен интеграл алу қиын емес:
Енді нің орнына функциясын қойып, біржола мына теңдікті аламыз:
2. Бөліктеп интегралау. Айталық ,интеграл астындағы өрнек екі функцияның көбейтіндісі арқылы өрнектелген болсын.
Теорема: және функциялары Х аралығында үзіліссіз және оның ішкі нүктелерінде дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда , егер Х аралығында интегралы бар болса, онда сол аралықта да бар болып және теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі: Бұл теореманы дәлелдеу үшін Х аралығының ішкі нүктелерінде орындалатын
теңдігін жазып аламыз. Теореманың шарты бойынша интегралы бар болады, ал анықталмаған интегралдың қасиеті бойынша теңдігі орындалады. Мұндағы С- ерікті тұрақтысын нөлге тең деп санап, немесе оны екінші интегралына топтап, (6) формуланың екі жағынан да интеграл алып, формуланы оңай алуға болады.
формуласы бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл формула интегралын одан гөрі есептеуге жеңілдеу инегралы түрлендіреді. Сондықтан бөліктеп интегралдау формуласын қолданғанда осы мақсатты әр уақытта ескеру қажет.
3-мысал: Бұл интегралда интеграл астындағы функция алгебралық функциясы мен транценденттік функциясының көбейтіндісінен тұрады. Интегралдар кестесі бойынша . Сондықтан интеграл астында алгебралық функциясын жою үшін оны екі рет дифференциалдау қажет. Ол үшін арқылы белгілеп формуланы екі рет қолданамыз.
Айта кететін бір жәй, егер арқылы белгілесек, онда болар еді, демек, формуланың екінші интегралының астындағы алгебралық функцияның дәреже көрсеткіші одан әрі өседі, ал бұл бізге пайдалы емес, себебі интеграл күрделене түседі.
3. Жай рационалдық функцияларды интегралдау.
1. Егер бүтін рационалдық функция берілсе, оны бірден интегралдауға болады, атап айтқанда:
2. Егер интеграл астындағы функция бұрыс бөлшек болса, онда алымын бөліміне бөліп, бүтін бөлігін шығару керек.
3. бөлшегі берілсе, оның интегралы былай табылады:
4. Егер берілсе, тің мәндері үшін оның интегралы былай табылады:
4-мысал: интегралын есептейік.
4. Кейбір иррационалдық функцияларды интегралдау.
Интеграл
түрінде берілген. Мұнда символ жақша ішіндегі шамаларға тек рационалдық амалдар ғана қолданалылатынын бейнелейді.
Егер айнымалыға
ауыстыру жасағанда
болар еді. Бұл жағдайда:
түрге ауысады, яғни айнымалы ның рационалдық функциясының интегралына келеді. Мұндай интегралды есептеп шығару әдісін білеміз.
5-мысал: интегралын есептейік.
Шешуі: Иррационалдықтан құтылу үшін алмастыруын жасаймыз. Сонда болады. Демек,
5.Кейбір тригонометриялық функцияларды интегралдау.
түріндегі интегралдар әмбебап ауыстыруы арқылы интеграл мына түрге келеді:
.
Бұл интеграл аргумент ның рационалдық функциясының интегралы, ал оны нтегралдау әдісі бізге белгілі.
түріндегі интегралдар үшін мына жағдайларды қарастырайық:
а) Егер тақ натурал сан болса, айнымалы арқылы ауыстыру керек. Сонда
түріне келеді, ал бұл интеграл оңай табылады.
ә) Егер тақ натурал сан болса, аймалыны арқылы ауыстыру керек. Сонда:
болады, демек соңғы интеграл оңай интегралданады.
б) Егер бүтін сандар болса, болған жағдайда интеграл
түріне, ал болған жағдайда интеграл түріне келеді. Сонда жағдай үшін ауыстыруын жасайды.Демек,
болады. Бұдан болып шығады.
Ал жағдай үшін ауыстыруы керек. Сонда:
Демек, болады.
в) яғни теріс жұп сан болса, онда интегралы мына түрге келеді:
немесе
Бірінші түрдегі интегралда айнылыны арқылы ауыстыру керек. Бұл жағдай:
г) Егер мына интегралына тақ сан болса, онда ауыстыруын, ал мына интегралы үшін ауыстыруын жасау керек.
6-мысал: интегралын есептейік.
Шешуі:
Анықталған интеграл, оны аналитикалық түрде және жуықтап есептеу әдістері
Геометрия курсынан дөңес көпбұрыштардың ауданын нақты формула бойынша есептеуді білеміз. Дегенмен, математикада белгілі геометриялық формулалар арқылы ауданды есептеуге келмейтін жазық фигуралар да жиі кездеседі. Осындай фигуралардың ауданын табу жолын қарастырайық.
Анықтама: Жоғарыдан үзіліссіз функиясының графигімен, ал төменнен осінің кесіндісімен, бүйір жақтарынан түзулерінің кесіндісімен шектелген жазық фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды. Қисық сызықты трапециялардың аудандарын есептегенде мынадай теореманы пайдаланады.
Теорема: Егер кесіндісіне үздіксіз және теріс емес функция, ал оның осы кесіндіде алғашқы функциясы болса, онда сәйкес қисықсызықты трапецияның ауданы кесіндідегі алғашқы функция өсімшесіне тең болады, яғни
функциясымен анықталған аралығындағы қисық сызықты трапецияның ауданын функциясның аралығындағы анықталған интегралы деп атайды.
Қисық сызықты трапеияның ауданын есептеп шығару есебіне басқаша тәсіл қолдануға да болады. Жеңілдік үшін функциясын кесндісінде теріс емес және үздіксіз дп есептейміз. Оған сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданын шамамен былйша есептеуге болады.
Сурет
1) кесіндісін
нүктелері арқылы n бөлікке бөлеміз және бөлігінің ұзындығы
,
Сурет, мұндағы белгіленеді.
2) Қисық сызықты трапецияны бөліктеу нүктелерінен өтетін және ордината осіне параллель түзулермен n қисық сызықты трапецияға бөлеміз. Бастапқы қисық сызықты трапецияның ауданы бөліктеу арқылы алынған қисық сызықты трапециялар аудандарының қосындысына тең.
Сурет
3) Әрбір қисық сызықты трапецияны табаны биіктігі болатын тік төртбұыштармен ауыстырамыз.
Сурет
4) Бастапқы қисық сызықты трапеция ауданының жуық мәнін табамыз:
қосындысын функциясының аралығындағы интегралдық қосындысы деп атайды.
5) аралығын бөліктеу нүктелерінің санын өсіру арқылы шамасын кішірейтеміз. Әрбір ретте интегралдық қосынды есептеледі. шамасын кішірейту арқылы алынған интегралдық қосындылар тізбегі қандай да бір санына жуықтайды. Бұл санды функциясының a-дан b-ге дейінгі анықталған интегралы деп атайды және келесі символмен белгілейді:
мен сандары интегралдау шектері деп аталады: -төменгі,-жоғары шегі. функциясы интеграл астындағы функция деп, ал айнымалысы интегралдау айнымалысы деп аталады.
Сонымен, егер кесіндісінде болса, онда қисық сызықты трапецияның сәйкес ауданы мына формуламен өрнектеледі:
Қисық сызықты трапеция ауданының формулаларын салыстыра отырып, мынадай қорытынды жасауға болады:
Егер кесіндісінде үшін алғашқы функция болса, онда
Бұл формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Бұл саны функциясының аралығындағы интегралы деп аталады. айырымын жазу ыңғайлы болу үшін мынадай қысқаша белгілеу қабылданған:
яғни
Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын әдетте мына түрде жазып жүрміз:
2 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСТАРЫ
2.1 Туынды және оның қолданылуы
Оқу ісі тәжірибесінен көріп жүргеніміздей, оқушыларға туындының анықтамасын тұжырымдауға, туындыны есептеуге, дифференциалдаудың негізгі заңдарын қолданып функцияның нүктедегі туындысын табуға және оны қолдануға, егер оқушыларғаалдын-ала шешу алгоритмі белгілі болса (мысалы, қозғалыстың берілген теңдеуі бойынша жылдамдығын, берілген қисыққа берілген нүктедегі жанаманың теңдеуін табу), үйрету біршама қиын емес. Функцияларды экстремумге зерттеуге туындыны қолдану алгоритмі де ерекше қиындықтар тудырмайды.
Ал оқушылардың туындыны оның әртүрлі дербес түрде байқалуларын (физикада, химияда, биологияда және т.б.) өз бетінше көріп, үйренулеріне жету әлде қайда қиын.
Жаратылыстану ғылымдарының өте көп ұғымдары туынды ұғымын қолданбаса сандық жағынан сипатталмағаны былай тұрсын, онсыз анықтала да алмайды. Механикалық деп аталатын туындының мағынасын, яғни функцияның берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығының мәнін, оқушылардың жете меңгеріп алуы өте маңызды.
Математиканың басқа көптеген ұғымдары сияқты, туынды ұғымын оқытуды басынан бастап көрнекілік модельдерімен байланыстырса, онда оқушылар бұл ұғымды оңай меңгереді.Бұндай модельдердің мысалы ретінде, функция графигінің көлбеуі бола алады, дәлірек айтсақ, графиктің берілген нүктесіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сондықтан, оқушылармен шығартатын есептер жанаманы қарастырудан басталады. Екінші ерекшелік, туындының механикалық мағынасын ұғындыру үшін, геометриялық иллюстрацияларды қолдану.
2.1.1 Физикадағы қолданыстары
Мұндай реттілік, біріншіден, туынды ұғымының ең кемінде екі неғұрлым нақты ұғымдарды жалпылау үшін пайда болғанын түсіндіруге көмектеседі: қисыққа жанама және лездік жылдамдық; екіншіден, туындының геометриялық мағынасын ертерек енгізу локальды жылдамдық ұғымын ұғынуға да көмектеседі және кейбір фактілерге геометриялық иллюстрация жасауға мүмкіндік береді. Бұдан басқа, бұл реттілік туынды ұғымының қолданбалылығына жаттығуларды енгізуді ертерек бастап жіне олардың мазмұнын көбірек түрлендіруге мүмкіндік береді. Бұл есептерді шешуді, әрине, дифференциалдау техникасымен параллель қарастыру қажет.
Функцияның туындысы ұғымына келтіретін қолданбалы есептерге түзу сызықты қозғалыстағы дененің лездік жылдамдығы, токтың лездік мәні, дененің нүктедегі сызықтық тығыздық, фукцияның графигіне жанама жүргізу туралы есептер жатады. Бірнеше есептер қарастырайық.
1-есеп. Тас 100 м биіктіктен лақтырылды. 2 с кейінгі жылдамдығы қандай? Неше секундтан кейін тас жерге соғылады жіне бұл кезде оның ең шекті жылдамдығы қандай болады [10]?
Жауабы:ϑ1=2 gмс, ϑ2=102g мс.
2-есеп. Уақыттың t=0 мезетінен кез келген t мезетіне дейін суда ерітілген тұздың массасы бірсыпыра x=f(x) заңы бойынша анықталады. 1) Берілген t0,tуақыт аралығындағы ерудің орташа жылдамдығы деп нені түсінеміз? 2) Уақыттың t0мезетіндегі ерудің жылдамдығы деп нені түсінеміз[10]?
Жауабы: ϑорт=∆x△t=ft1-ft0t1-t0; ϑt0=f't0
3-есеп. Қойма құрылысын салу кезеңінде оның ішкі периметрі 60 м-ден аспау керек деп есептелген. Өлшемдері қандай болғанда оның ауданы барынша үлкен болады[10]?
Шешуі:Бөлменің бір өлшем x м болса, екінші өлшемі
60-2x2=30-x м болады. Бөлменің ауданы
S(x)=x30-x=30x-x2.
0=x=30 екені анық. Sx-тің ең үлкен мәнін табайық.0;30 аралығында
Sx=30-2x осыдан ,
30-2x=0. x=15 м
Sx=0; S30=0 сондықтан , S(x)= S15.
Бөлменің өлшемдері 15мx15 м болу керек.
4-есеп. Силосқа арнап көлденең қимасы трапеция болып келетін шұңқыр даярлап, оның қабырғалары мен түбін цементтеукерек. Шұңқырдың биіктігі Н, көлденең қимасы Вболғанда, цементтеуге барынша аз материал кету үшін, оның көлбеулік бұрышы х қандай болу керек (1-суретте)[10]?
Шешуі: Екі бүйір қабырғасын с арқылы белгілейік: с=РМ+2КМ. с-ның мәні кіші болған сайын трапецияның бүйір қабырғасы мен табанының ауданы соғұрлым кішірек болады.
1-сурет.
ВН=ЕК+РМ2; РМ=2ВН-ЕК (1).
Екінші жағынан РМ=ЕК-2LK; LK=Hctgx;
PM=EK-2Hctgx, осыдан ЕК=РМ+2Hctgx (2).
(2)-ге (1)-ді қойып табамыз:
РМ=2ВН-PM-2Hctgx ; 2PM=2ВН-2Hctgx ;
PM=ВН-Hctgx;КМ=Нsinх ,
Олай болса,
С=ВН- Hctgx+2Нsinх.С'=0
деген шарттан
cosх=12 ,00х900
болғандықтан
х=600.
Аралықтың шеткі жағынан с функциясының мәнін табу тиімсіз, сондықтан кризистік нүктенің оң және сол жағынан туындының таңбасын іздейміз:
х=0, 1-2cos000
х=900, 1-2cos000
Ендеше кризистік нүктелерде функцияның мәні минимум. Сонымен , шұңқырдың көлбнулік бұрышы 600-қа тең болу керек.
Ескерту. Зерттеліп жатқан функцияның кризистік нүктелері берілген аралықтың ішінде жатса, онда ең үлкен және ең кіші мәнін табу үшін функцияның осы нүктелердегі және аралықтың шекті нүктелеріндегі мәнін шығарып алып, алынған сандардың ең кішісі мен ең үлкенін таңдайды.
5-есеп. Ауданы 810 м2 спорт алаңы солтүстіктен оңтүстікке қарай ағаш қоршаумен, ал шығыстан батысқа қарай сыммен қоршалуы керек.Ағаш қоршаудың 1 метрі 5$, ал сым қоршау 2$ тұрады. Шығын барынша аз жұмсалуы үшін қоршаудың өлшемдері қандай болуы керек (2-суретте) [10]?
Шешуі: Ағаш қоршаудың бір бетін х, сым қоршаудың бір бетін у деп белгілейік. Қоршаудың жалпы құнын Q деп белгілесек, онда ол былай өрнектеледі:
Q=2*2у+5*2х немесе
Q=10х+4у (1),
ал қоршаудың ауданы S= ху болғандықтан, есептің шарты бойынша,
ху=810 (2).
Осыдан у=810х (3).
2-сурет
(1)-дің орнына (3)-ті қойып, Q(х) =10+3240х өрнегін аламыз. Осы функциянің ең кіші мәнін есептесек: х=18 (30-сурет) болғанда Q(х) ең кіші мәнді алады. х=18 болғанда у=45. Сонымен спорт алаңының ең арзанға түсетін өлшемдері 18 м мен 45 м екен.
6-есеп. Химиялық лабораторияда қолданылатын шұңғыма - конус тәрізді дөңгелек - фильтр(сүзгі)қағазды орау арқылы жасалады. АОВ секторынан басқа дөңгелектің қалған бөлігі конустық шұңғыманың бүйір қабырғасын құрайтындай етіп оралады. Сүзгі қағаздың радиусы R болса, табаны қандай болғанда конустың сыйымдылығы үлкен болады (3-суретте)[10]?
Шешуі: х арқылы конустың табанының радиусын белгілейміз (31- сурет). 0хR . 0-ге жақын х-тың мәнінде, R-ге жақын мәнінде, конустың көлемі V нөлге жуық болады. Дөңгелектің радиусы R конустың жасаушысы болса, оның биіктігіR 2-x2 болады, онда шұңғыманың көлемі
V=13PIx2R 2-x2немесе
V=PI3R 2x4-x6 , болады.
3-сурет
Көлемнің функциясы f(x)=R 2x4-x6функциясымен қатар 0 немесе R болғанда үлкен мәнге ие болады. Осы функцияны экстремумге зерттей отырып, мынаны табамыз:
f'х=4R2х3-6х5.
Туындыны 0-ге теңестіріп , шыққан теңдеуді шеше отырып, мынадай үш түбір табамыз:
х1=0; х2=-R23; х3=R23 .
(0; R) интервалына мына түбір
х3=R23 ғана кіреді.
Конустық шұңғыманың ең үлкен көлемі болатындай х-тің мәні бар болғандықтан, х-тің мәнін зерттемей-ақ, соған сәйкес ең үлкен көлем бар деп есептейміз. Онда мұндай сүзгінің биіктігін оның радиусы арқылы өрнектегенде 13R болады. Сонда сүзгінің ең үлкен көлемі V=2PI93R3болады.
Егер АВС доғасының ұзындығы 2PIx екенін ескерсек, оның сүзгі қағаздың шеңбер ұзындығына қатынасы x:R=23≈0.81657. Онда АВС доғасы 360°∙0.8165 , ал АВ доғасы 360°∙0.8165≈6° . Сонда оралатын дөңгелектің секторының бұрышы 66° болуы керек екен.
Кейде химиялық лабораторияда конустық сүзгіні қағаздың дөңгелегінің 3 квадрантасын бірінің үстіне бірін қабаттап келтіреді .Ол кезде сыйымдылықтың 45%-ін жоғалтатынын есептемей-ақ білуге болады.
2.1.2 Құрылыстағы қолданыстары
Өте биік болмайтын өнеркәсіп және ауылшаруашылық құрылыстарды монтаждағанда автомобиль крандарды кеңінен пайдаланады. Кранды дұрыс таңдап алу үшін салынатын объекті туралы біраз алғашқы берілімдерді білу қажет. Айталық, объектінің габариті (аумақты) берілімдері кран ілгегінің керекті ұзындығын алдын- ала анықтауға мүмкіндік береді.
7-есеп.Биіктігі Н және ені 2d болатын жазық шатырлы құрылыс салу үшін керек болатын автомобиль краны ілгегінің ұзындығын анықтайтын формуланы қорытып шығару керек[10].
Шешуі. Автомобиль краны құрылысты айналып жүре алатын болғандықтан, егер оның ілгегі шатырдың ортасына жететін болса (ортасын ені бойынша аламыз), онда ол құрылыстың кезкелген нүктесіне жетеді(4-сурет).
4-сурет.
О нүктесінде орналасқан кранды қарастырайық. Ол детальді шатырдың ортасына жеткізетін болсын. Кран ілгегінің көлбеу бұрышы α болсын. Онда ВС=СДcosα=1cosα:АС=СЕsinα=Н-hsinα :,
Мұнда h=АО- кран ілгегінің іліну биіктігі. Бұл жағдайда кран ілгегінің ұзындығы
l=Н-hsinα+ lcosα (1)
болады .
Басқа нүктеде (құрылысқа жақындау немес алыстау ) орналасқан кран көрсетілген жұмысты атқару үшін оның ілгегінің ұзындығы басқа болуының керек екендігі (1) формуладан көрініп тұр, себебі бұндай қозғалыста α бұрышы өзгеріп тұрады. Кранның оңтайлы (оптимальды) түрде орналасу орнын (яғни, ілгегінің ұзындығы ең аз болатын кранның көмегімен берілген жұмыстың орындалатын орнын) табайық. Ол үшін 0,PI2 аралығындағы α-ның қандай мәнінде d функциясы ең кіші мән қабылдайтынын табу керектігі айқын.
Функцияның туындысын табайық:
l'(α)=lsin2α-H-hcos2αsin2α∙cos2α=lc osαsin2α(tg3α-H-hl)
l функциясы ең кіші мәнін
α=arctgН-hl (2)
Болғанда қабылдайтынын табамыз.
(2) формуладан α-ның мәнін тауып және оны (1) формулаға қойып, ілгектің мүмкін болатын ең кіші мәнін табамыз. Осы формулаларпрактикада кеңінен қолданылады[11].
2.1.3 Ағаш өңдеу есептері
Халық шаруашылығында ағашты тиімді өңдеу мен кесудің маңызы зор. Мұндай есептерді комплексті түрде шешу классикалық және қазіргі математиканың методтарын қолдануды талап етеді. Бірақ бұндай түрдегі кейбір есептерді тек туындының көмегімен шешуге болады.
8-есеп.Ағаш кесетін аралар (олар көлденең кесуге арналған ) көбіне бөренені көлденең қимасы ең үлкен болатын квадратты білуге және төрт тақтайша тіледі (5-суретте). Бұндай бөлу үшін аралардың орналасуы қандай болу керек[12]?
Шешуі: Суреттен көріп отырғанымыздай, есептің сұрағына жауап беру үшін кесілетін тақтайшалардың қалыңдығын анықтау жеткілікті.
5-сурет.
Радиусы r шеңберге іштей сызылған квадраттың кабырғасы r2, онда ОА=d24. Тақтайдың қалыңдығы АВ=х болсын.
Онда оның ені 2ВС=2ОС2-ОВ2=12d2-42dх-8х2 ,
Ал көлденең қимасының ауданы
S(х)=2АВ∙ВС=х2d2-42dх-8х2. 0;d(2-2)4
кесіндісіндегі х-тің өай мәнінде S функциясы ең үлкен мәнге ие болатынын анықтау керек. Туындыны табамыз:
Sʹ(х)=d2-62dх-16х22d2-4d2х-8х2.
Кризистік нүкте
х0=34-3216d≈0,10d.
S(0)=S(d(2-24)=0, ал S(х0)0 болғандықтан, қалыңдығы 0,10dболатын тақтайшалардың көлденең қимасының ауданы ең үлкее болады.
2.1.4 Автомобиль жолдарына байланысты есеп
Автомобиль жолдарының жобасын жасағанда жол торабын жасау қажеттілігі туындайды. Жол торабының орыны, маңынан өтетін жолдардың кешені экономикалық және географиялық жағдайларғада байланысты, тасымалға кететін жұмыс уақытына бәрі де әсер етеді.
9-есеп. АВ автомагистралына СЕ жолының α жанасу бұрышы қандай болғанда АЕС маршуты бойынша жылдамдығы ϑm ал келетін жолда ϑd(ϑmϑd) болғанда тасымал шығыны аз болады[12]?
Шешуі: (6-суретте) С нүктесінен АВ түзуіне перпендикуля түсіріп, СД кесіндісін h деп белгілейміз, ал кесіндіні l деп ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті ШЖҚ РМК
Ережеп Мария
Математикалық талдау элементтерінің қолданыстары.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Мамандығы 5В010900-Математика
Көкшетау 2018
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті ШЖҚ РМК
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Математикалық талдау элементтерінің қолданыстары.
Мамандығы 5В010900-Математика
Орындады: ________________________
Ғылыми жетекші,
п.ғ.к., доцент: ________________________
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі _________________
Көкшетау 2018
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУДЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫНА ҚЫСҚАША ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.1Бір айнымалыға тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеулері...
1.2 Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері мен есептеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСТАРЫ...
2.1Туынды және оның қолданылуы ... ... ... ... ... .
2.1.1 Физикадағы қолданыстары ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1.2 Құрылыстағы қолданыстары ... ... ... ... ... ... .
2.1.3 Ағаш өңдеу есептері ... ... ... ... ... .
2.1.4 Автомобиль жолдарына байланысты есеп ... ... ... ...
2.1.5 Мелиорация есептері ... ... ... .
2.2 Интеграл және оның қолданылуы ... ... ... ...
2.2.1 Геометрияның аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл арқылы қорыту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.2.1.1 Айналу бетінің ауданы.
2.2.1.2Сфера мен оның бөліктерінің ауданы 22
2.2.1.3Доғаның ұзындығы 23
2.2.1.4Дененің көлемін оның параллель қималарының аудандары
бойынша есептеу 25
2.2.1.5Тік дөңгелек конустың көлемі 27
2.2.1.6Шар мен оның бөліктерінің көлемі 30
2.2.1.7 Кез келген цилиндрдің көлемі 34
2.2.1.8Пирамданың көлемі 34
2.2.1.9Айналу денесінің көлемі
2.2.Физикадағы қолданыстарына байланысты есептер ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Дифференциалдық теңдеулер нақтылы процестердің математикалық модельдері ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Зерттеу тақырыбының өзектілігі.
Елбасы Н.А.Назарбаевтың Еуразия ұлттық университетінде оқыған лекциясында: Білімді, сауатты адамдар-бұл ХХІ ғасырда адамзат дамуының негізгі қозғаушы күші-деп аталған [1].
Қазақстан Республикасында білім беруді дамытудың 2016-2020 жылдарға арналған Мемлекеттік бағдарламасында белгіленген орта білім берудің негізгі міндеттерінің бірі ...білім алушылардың еңбек нарығындағы бәсекеге қабілеттілігін қамтамасыз ету үшін кәсіптік дағдылар алуына жағдай жасау болып табылады...-деп көрсетілген [2].
Бүгінде, күн өткен сайын, білім мен ғылымы дамыған елдер барлық жағынан алда болатынына көз жеткізудеміз.
Өткен ғасырдың өзінде, осы замандағы iрi физиктердiң бiрi, немiс ғалымы Гейзенберг табиғат заңдарын танып бiлудегi математиканың ролiн былай сипаттайды: сегiз қырлы математика кейде физиктердiң ойында жоқ жерден жаңалықтар ашуға көмек көрсетедi [3]. Оның математика ғылымына бұлайша баға беруiнде бiр себеп бар. 1925 жылы Гейзенберг атомның құрылысымен байланысты бiр теорияны математикалық әдiспен зерттеу үстiнде күтпеген жаңалық ашқан болатын. Ол жаңалық - атом құрылысы жөнiндегi Бор теориясының кемшiлiктерiне түзету енгiзе отырып жаңа кванттық механиканы жасауға негiз болды. Осы жаңалықты ашумен байланысты Гейзенберг былай деп жазған болатын: Математика физикадан гөрi ақылдырақ болды, өйткенi математиканың көмегiмен жаңа тәуелдiлiктердiң iзiне түстiк [3].
Физиктер тек сутегi мен гелийдiң ғана атомдарының модельдерiн жасады. Бұл элементтердiң атомдарының ядросын айнала бiр немесе екi электрон қозғалады. Бұлардан басқа химиялық элементтердiң атомдарының құрылысы туралы жалпы түсiнiк берiлгенi болмаса, толық математикалық есептеу жасалған жоқ.
Қозғалыс, айнымалы шамалар және олардың өзара байланыстары бізді айнала қоршап тұр. Қозғалыстардың әр түрлері және олардың заңдылықтары нақты ғылымдардың-физиканың, геологияның, биологияның, социологияның және т.б.-қарастыратын негізгі объектісін құрайды. Сондықтан, сандық қатынастарды сипаттау үшін сандар мен арифметика қаншалықты қажет болса, нақты тіл және айнымалы шамаларды сипаттайтын және қарастыратын математикалық әдістер ғылымның барлық салаларында соншалықты қажет болады.
Тілдің және айнымалы шамалардың және олардың өзара байланыстарын сипаттайтын математикалық әдістердің негізін математикалық талдау құрайды. Бүгінгі күнге дейін математикалық талдаудың көмегімен космостық траекторияны, ядролық реактордың жұмысын, мұхит толқынының жүгірісін, циклонның даму заңдылықтарын, т.б. табиғи процестерді анықтаған еді. Қазіргі кезде математикалық талдаудың көмегінсіз шаруашылықты басқару, ресурстарды тиімді орналастыру, технологиялық процестерді ұйымдастыру, химиялық реакциялардың ағымын алдын-ала болжау немесе табиғаттағы өзара байланыста болатын жануарлар мен өсімдіктердің санының өзгеруін алдын-ала болжай алмаймыз, себебі аталған процестердің бәрі-динамикалық процестер.
XVII ғасырда пайда болған математикалық талдау элементтері бізге айнымалы шамаларды және қозғалыстарды сандық және сапалық түрде қарастыруға, ғылыми тұрғыдан сипаттауға кең мүмкіндіктер ашты.
Бұл мүмкіндіктерді зерттеп білу үшін, математиканың математикалық талдау элементтерін терең меңгеру қажеттілігін туындатады[4].
Жоғарыда сипатталған құбылыстар үнемі өзгерістегі процестер болғандықтан, таңдалған тақырыбымыз да ғылыми зерттеулердің күн тәртібінен түспейді.
Диплом жұмысының мақсаты-математикалық талдау элементтерінің қолданыстарын көрсету.
Диплом жұмысының міндеті-математикалық талдау элементтерінің қолданыстарын көрсетудің тиімді формасы-бұл қолданбалы бағыттағы есептерді қарастыру.
Диплом жұмысының практикалық маңыздылығы-жұмыстың өне бойында қарастырылған есептерді, мектеп мұғалімдері сабақ процесінде қолдана алады.
Диплом жұмысы кіріспе, екі тараудан, қорытынды және пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУДЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫНА ҚЫСҚАША ШОЛУ
1.1 Бір айнымалыға тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеулері[5]- [7].
Айталық, функциясы нүктесінде және оның маңайында анықталған болсын.
Анықтама. Аргумент -тің нүктесіндегіөсімшесі деп айырмасын атайды.
Анықтама. функцияның нүктесіндегі өсімшесі деп айырмасын айтады.
Анықтама.Егер функциясы нүктесінің маңайында анықталған және болса, онда ол нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Шындығында да
.
Анықтама. функциясының нүктесіндегі туындысы депақырлы шегін айтады.
Бұл туынды мына символдардың бірімен белгіленеді:
.
Егер функциясының интервалының әрбір нүктесінде туындысы болса, онда оны осы интервалда дифференциалданады дейді. Туындыны табу амалын дифференциалдау дейді.
Теорема. Егер функциясы нүктесінде дифференциалда-натын функция болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады.
Ескерту: теорема керісінше дұрыс емес.
Туындының геометриялық мағынасы. Туындыныңгеометриялықмағынасы: туындысы функциясыныңграфигіне
нүктесіндежүргізілгенжанаманыңбұрыш тықкоэффициентіболады. Осыжанаманыңтеңдеуінбылайжазады:
.
Туындыныңмеханикалықмағынасы. Егер айнымалысынуақытдепесептеп, -функциясыдененіңжүргенжолынсипатта са, онда
дененің уақытындағыжылдамдығынбілдіреді.
Дифференциалдаудыңнегізгіережелері. Туындыныңанықтамасынпайдаланып, кейбірэлементар (қарапайым) функциялардыңтуындыларынесептейміз.
1. Көрсеткіштік функция
.
Дербес жағдайда .
2. Тригонометриялық функциялар
.
Дәл осылай .
2. Дәрежелік функция .
Дербес жағдайда,
.
Теорема 1.(қосындыны, көбейтіндініжәнеқатынастыдифферен-ц иалдауережелері). Егер және дифференцианалданатынболса, ондабұлфункциялардыңқосындысы, көбейтіндісіжәнеқатынасыда (қатынастыңбөлімі ) осынүктедедифференцианалданадыжәнем ынаформулаларорынды:
1.
2.
3. .
Күрделіфункцияныңтуындысы. функцияларыүзіліссізжәнедифференциа лданатынфункцияларболсын. Сондакүрделі функциясыныңтуындысы:
.
Сонымен .
Керіфункцияныңтуындысы. жәнеоғанкері функция-лары кесіндісіндеүзіліссізжәнедифференци алданатынболсын. Сондакеріфункцияныңтуындысы:
.
Сонымен
болады.
Негізгі элементар функциялар туындыларының кестесі
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Жоғары ретті туындылар және дифференциалдар.
берілген функциясының бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияның өзі нөлінші ретті туынды деп аталады.
Анықтама. Функцияның - шіреттітуындысыдепоның ( -1)-шітуындысыныңтуындысынайтады , =1,2,3,..., егероларбарболса, онда функциясы -ретдифференциалданатынфункциядепат алады.
Мысал.
функциясыберілген. Біріншітуындысы
,
екінші туындысы
,
үшінші туындысы
.
Демек,
, .
Егер және функциялары - рет дифференциалданатын болса, онда ( ), мына ережелер орынды:
,
.
2. Лейбниц формуласы:
;
.
Айталық функциясы - рет дифференциалданатын болсын.
Анықтама. Функцияның - ші дифференциалы деп оның ( ) - ші ретті дифференциалының дифференциалын айтады:
.
Дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:
,
,
.
- шы ретті дифференциалдар үшін мына ережелер орынды:
1) ,
.
2) ,
.
Ескерту: Жоғарғы ретті дифференциал формасы инвариантты емес.
Анықтама.Егер нүктесініңбір маңайында тең-сіздігі орындалса, онда нүктесін функциясының жергілікті минимум (максимум) нүктесі деп атайды. Жергілікті минимум және жергілікті максимум нүктелері жергілікті экстремум нүктелері деп аталады. Ал осы нүктелердегі функцияның мәні функцияның экстремумы деп аталады. кесіндісінде анықталған функцияның тек қана бір ең үлкен және ең кіші мәндері болады, ал максимумдар және минимумдер бірнеше болуы мүмкін. Функцияның кейбір максимумдары оның минимумдарынан кіші болуы да мүмкін.
Ферма теоремасы. Егер функциясы интервалында диффе-ренциалданатын болса және нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса, онда функцияның туындысы бұл нүктеде нөлге тең, яғни .
Геометриялық мағынасы: функцияның максимум және минимум нүктелерінде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.
Ролль теоремасы.Егер функциясы: кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және болса, онда ең болмағанда бір нүктесі табылып, болады.
Геометриялық мағынасы: егер теорема шарттары толығымен орындалса, онда кесіндісінде жататын ең болмағанда бір нүктесі табылып, сол нүктеде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.
Kоши теоремасы.Егер және функциялары ке-сіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және , онда ең болмағанда бір нүктесі табылып
теңдігі орындалады.
Лагранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса онда интервалында жататын нүктесі табылып,
теңдігі орындалады.
Геометриялық мағынасы: мына қатынас кесін-дісінде функциясының графигінің шеткі нүктелерін қосатын хорданың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрыштың тангесіне тең, ал нүктесіне жүргізілген жанаманың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенісіне тең. Лагранж теоремасы бойынша нүктесінде олар өзара тең болады, яғни қиюшы мен жанама параллель болады.
Лопиталь ережесі.Бұл ереже немесе анықталмағандықтарын есептеуге мүмкіндік береді.
Теорема.Айталық, нүктесінің маңайында
және функциялары анықталған және дифференциал-данатын болсын (нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы да мүмкін) және
, , .
Егер шегі бар болса, онда шегі бар болады және мына теңдік орындалады:
= .
Осысияқты тұжырымдар , , , ,
жағдайларда да орынды.
Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда:
,
демек шексіз аз шама.
Онда функцияның өсімшесі былай жазылады:
.
Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.
Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.
Дифференциалды есептеу ережесі.
Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,
1) , мұндағы с - сан.
2) ,
3) , егер .
4) Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:
, осыдан .
Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда:
функциясы аралығында берілсін. Егер кез келген үшін теңсіздігінен ( ) теңсіздігі шығатын болса, онда функциясы аралығында өседі (кемиді) дейді.
Теорема. Егер аралығында дифференциалданатын функция-сының туындысы осы аралықта оң (теріс) болса, онда ол осы аралықта өседі (кемиді). Демек, өсу немесе кему интервалында функцияның туындысы таңбасын өзгертпейді.
1-мысал. функцияның өсу және кему аралықтарын табу керек. Ол үшін функция туындысының таңбасының тұрақтылық интервалдарын анықтаймыз . Бұл квадрат үшмүшеліктің түбірлері x1=0, x2=2. Сондықтан, егер аралығында , демек функциясы бұл аралықта кемиді. Ал аралықтарында f'(x)0, демек бұл аралықтарда функция өседі.
Теорема (экстремумның қажетті шарты).
Егер дифференциалданатын функциясының нүктесінде экстремумы бар болса, онда сол нүктеде болады. Осы теоремадан мынадай қорытындыға келеміз: егер нүктесінде функцияның экстремумы бар болса, онда ол нүктеде оның туындысы нөлге тең, не ол нүктеде туындысы болмауы мүмкін. Кері тұжырым әрқашан орындала бермейді.
Мысалы,
функциясыныңx0=0 нүктесінде туындысы , ал бірақ ол нүктеде функция не максимум, не минимум қабылдамайды. функциясының туындысы нөлге айналатын немесе тіпті болмайтын нүктелерді күдікті нүктелер немесе кризистік нүктелер деп атайды. Функцияның экстремумын осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.
Теорема(экстремум бар болуының жеткілікті шарты).
Егер нүктесінде функциясының туындысы нөлге тең болса және нүктесінен өткенде таңбасын өзгертсе, онда нүктесі экстремум нүктесі болады: 1) егер таңба плюс-тен минус-ке өзгерсе, онда - максимум нүктесі; 2) егер таңба минус-тен плюс-ке өзгерсе, онда - минимум нүктесі болады.
2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, өсу және кему аралықтарын анықтау керек. Функция туындысы , осыдан , күдікті нүктесін табамыз. нүктесінде функцияның туындысы болмайды, сондықтан ол да күдікті нүкте. Интервалдар тәсілімен f '(x)-тің таңбаларын анықтаймыз. Функция барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нүктесі, ал минимум нүктесі. ( - Yen, 0) және интервалдарда функция өседі, ал интервалда кемиді Зерттеу нәтижелерін таблицаға жазамыз:
Функцияның екінші ретті туындысы қолданылатын экстремумның тағы бір шартын келтірейік.
Теорема. функциясының нүктесінде бірінші және екінші туындылары бар болсын. Егер нүктесінде функциясының бірінші туындысы нөлге тең, яғни болса, ал екінші туындысы нөлден ерекше, яғни болса, онда - экстремум нүктесі болады:
1) егер болса, онда - минимум нүктесі;
2) егер болса, онда - максимум нүктесі болады.
Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері. Функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін экстремум нүктелерінде не кесіндісінің шеткі нүктелерінде қабылдауы мүмкін. Ең үлкен және ең кіші мәндерді табу үшін алдымен функцияның күдікті нүктелерін (не туынды нөлге тең, не туынды жоқ нүктелер) табу керек. Содан соң функцияның күдікті нүктелеріндегі және кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін тауып, олардың ішінен ең үлкен және ең кіші мәндерді іздеу керек.
3-мысал. функциясының кесіндісіндегі ең үлкен жіне ең кіші мәндерін табу керек. Күдікті нүктелерді табамыз:
Осыдан - күдіктінүктелер. Ендіфункцияныңкүдіктінүктелердегіжә нешеткінүктелердегімәндерінтабамыз: .
Сонымен үлкен кіші .
Анықтама. Егер интервалындадифференциалданатын қи-сығыныңбарлықнүктелерісолқисыққа жүргізілгенжанамаданжоғарыорналасса , ондаондақисықтыосыаралықтаойыс (дөңестігітөменқараған) дейді, ал қисығыныңбарлықнүктелерісолқисыққаж үргізілгенжанамадантөменорналасса, ондақисықтыосыаралықтадөңес (дөңестігіжоғарықараған) дейді. Қисықтың ойыс және дөңес бөлігін бөліп тұратын нүктені иілу нүктесі деп атайды.
Теорема. функциясы интервалында екі рет дифференциал-данатын болсын. Егер осы интервалдың әрбір нүктесінде 1) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда дөңес болады; 2) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда ойыс болады
4-мысал. гиперболасы (0, +Yen) интервалында ойыс болады, себебі , ал ( - Yen, 0) интервалында дөңес, себебі .
Теорема (иілу нүктесінің қажетті шарты).
Егернүктесі функциясының иілу нүктесі болса, онда бұл нүктеде функцияның екінші туындысы нөлге тең, яғни . Функцияның екінші туындысы нөлге айналатын немесе екінші туындысы болмайтын нүктелер екінші текті күдікті нүктелер деп аталады. Функцияның иілу нүктесін осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.
Теорема (иілу нүктенің жеткілікті шарты).
Егер нүктесінен өткенде функцияның екінші туындысы таңбасын өзгертсе, онда нүктесі иілу нүктесі болады.
1.2 Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері мен есептеу әдістері[5]-[9]
Интеграл ұғымы жазық фигураның ауданын, сондай-ақ дененің беті ауданын және көлемін есептеу қажеттілігінен пайда болды. Мәселен, Ежелгі Греция мен Римде математик ғалымдар кез келген жазық фигураның квадратурасын және кез келген дененің кубатурасын табуға есептер шығарумен айналысқан. Олар өз есептеулерінде Книдский Евдокс ұсынған біртіндеп түгесу әдісін [9] қолданған. Мысалы, бұл әдісті қолдану арқылы Евдокс екі дөңгелектің аудандарының қатынасы олардың диаметрлері квадраттарының қатынасына, ал табаны мен биіктігі цилиндрдікіндей болатын конустың көлемі цилиндр көлемінің бөлігіне тең екені дәлелденген.
Архимед өзінің парабола квадратусы шығармасында Евдокс әдісін жетілдіріп, дөңгелектің ауданын есептеу формуласын қорытып шығарды. Архимед әдісінің негізгі мағынасы мынада: алдымен дөңгелектің ауданы оған сырттай сызылған кез келген дұрыс көпбұрыштың ауданынан кіші, бірақ оған іштей сызылған кез-келген дұрыс көпбұрыштың ауданынан үлкен екені дәлелденеді. Содан кейін іштей және сырттай сызылған дұрыс көпбұрыштардың қабырғалар санын екі еселеп арттырғанда олардың аудандарының айырымы өте аз шама болатыны дәлелденеді.
Ең соңында сырттай сызылған дұрыс көпбұрыштың қабырғалар санын шексіз екі еселеп арттырғанда оның ауданының ұмтылатын сандық шамасы дөңгелек ауданының шамасы ретінде табылады.
интеграл белгісін Г.В.Лейбниц 1675ж. енгізген [9]. Бұл белгі summa сөзіндегі S латын әрпінің өзгерген алғашқы күйі, қалпына келтіру ұғымын білдіретін integro деген латын сөзінен шыққан. Мұның тұтас деген мағына беретін integer сөзінен шығуы да мүмкін.
Анықтама: Х жиынында өзгеретін кез келген х үшін:
теңдігі орындалса, онда функциясы осы жиында функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы: Алғашқы функцияның анықтамасы бойынша функциясының тундысын табамыз:
Демек, кез келген үшін функциясы функциясының алғашқы функциясы болады.
Берілген функцияның туындысын табу дифференциалдау деп аталатыны математика курсынан белгілі. Ал функцияның белгілі туындысы бойынша алғашқы функциясын анықтауды интегралдау деп атаймыз.
Интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал. Интегралдаудың негізгі мақсаты интегралданатын функцияның барлық алғашқы функцияларын табу. Мысалы: функциясының алғашқы функциясы ретінде функциясын ғана емес,
және т.с.с. функияларды алуға болады. Себебі, бұл алғашқы функциялардың туындысын анықтасақ, барлық жағдайда да функциясына келеміз. Олай болса, кез келген функциясы үшін бір алғашқы функция табылса, онда оның шексіз көп алғашқы функциялары бар болады.
Теорема: Егер функциясы Х аралығында функциясының алғашқы функциялрының бірі болса, онда бұл функцияның барлық алғашқы функцияларының жиыны
формуласымен анықталады. Мұндағы С-кез келген тұрақты сан.
Анықтама: функциясының алғашқы функцияларының жалпы түрін, яғни өрнегін осы функцияның анықалмаған интегралы деп атайды.
Анықталмаған интегралды табу формуласы:
формуладағы -анықталмаған интеграл. интегралдау амалының белгісі. - интеграл таңбасы астындағы функция, интеграл таңбасы астындағы өрнек.
1.1-мысал: интегралын табайық.
Шешуі: формула мен алғашқы функцияны табу кестесін қолданамыз. Сонда болады.
Анықталмаған итегралдың қарапайым қасиеттері
қасиет теңдіктері арқылы дәлелденеді, яғни анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең.
қасиет теңдіктері көмегімен дәлелденеді, яғни дифференциял таңбасы интеграл таңбасынан бұрын тұрса, онда мен таңбалары өзара жойылып кетеді.
қасиет теңдіктері арқылы дәелденеді, яғни, егер дифференциал және интеграл таңбаларының орындарын алмастырып, оларды қысқартсақ, онда ол таңбалардың өзара жойылуы кез келген тұрақты С санына дейінгі дәлдікпен орындалады.
Егер және функцияларының Х аралығында алғашқы функциялары бар болса, онда сол аралықта функиясының да алғашқы функциясы бар болады және
теңдігі орындалады.
Шынында да, және дейік. Олай болса, қасиет бойынша және . және функциялары қосындысын (айырмасын) арқылы белгілейік. Сонда Х аралығында
теңдігі орындалады. Ал бұл теңдік функциясы функциясының алғашқы функциясы екенін көрсетеді. Сондықтан
Демек, формуланың сол жағы өрнегімен, ал оң жағы қосындысынан (айырмасынан) тұрады. Бірақ, тұрақтылары кез келген еркімізше алынған сандар болғандықтан, деп жазуға болады, яғни және жиындары бір біріне тең.
Егер -тің Х аралығында алғашқы функциясы бар болса, онда кез келген саны үшін функциясының сол аралықта алғашқы функциясы бар болып және мына теңдік орындалады:
Шынында да, дейік.Олай болса, Х аралығында болғандықтан, функциясы функциясының сол аралықтағы алғашқы функциясы. Сондықтан Ал теңдіктің оң жағы ға тең. Олай болса, үшін және сандары еркінше алынған тұрақты сандар болғандықтан, болады.
Анықталмаған интегралдың және қасиеттері оның қасиеттері деп аталады. Бұларды біріншісі функциялар қосындысының анықталмаған интегралы сол функциялардан жеке-жеке алынған анықталмаған интегралдар қосындысына тең екенін көрсетеді, ал екіншісі тұрақты көбейткішті интеграл алдына шығаруға болатынын көрсетеді.
Еер Х аралығында болса, онда сол аралықта
Шынында да,
Интегралдаудың негізгі әдістері
1. Айнымалыны ауыстыру жолымен интегралдау (ауыстыру әдісі). Кестелік интегралдарға жатпайтын көптеген интегралдар астындағы функциялардың алғашқы функцияларын бірден табу көбіне қиындыққа түседі. Мұндай интегралдарды есептеудің ең тиімді әдістерінің бірі айнымалыны ауыстыру әдісі болып табылады. Ауыстыру әдісін қолдану интегралдарды қарапайым (көбіне кестелік) интегралдарға түрлендірейік. Бұл әдіс мынадай теоремаға негізделген:
Теорема: Егер кейбір Т аралығында үзіліссіз функциясы теңдігін қанағаттандыратын болса, онда Х аралығында үзіліссіз дифференциялданатын ( яғни туыдысы да үзіліссіз ) функциясы теңдігін қанағаттандырады (мұндағы Т аралығы функциясының өзгеру облысы).
Дәлелдеуі: Теореманы дәлелдеу үшін мына байланысты келтіреміз:
мұндағы . Бұдан теоремадағы теңдіктің дәлелдемесі тікелей шығады.
интегралын есептеу керек дейік. Интеграл астындағы өрнек теңдігін қанағаттандыратындай, дифференциалданатын функциясы табылды дейік. Сонымен бірге интегралы оңай табылатын болсын. Сонда теорема негізінде берілген интеграл үшін формуласы орындалады. Интегралды есептеудің бұл әдісімен есептеу деп атайды. Есептер шығарғанда жазудың мына түрін пайдаланған жөн:
1.2-мысал:
болғандықтан, деп алып, интеграл астындағы өрнекті былайша түрлендіреміз:
Бұл өрнектен интеграл алу қиын емес:
Енді нің орнына функциясын қойып, біржола мына теңдікті аламыз:
2. Бөліктеп интегралау. Айталық ,интеграл астындағы өрнек екі функцияның көбейтіндісі арқылы өрнектелген болсын.
Теорема: және функциялары Х аралығында үзіліссіз және оның ішкі нүктелерінде дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда , егер Х аралығында интегралы бар болса, онда сол аралықта да бар болып және теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі: Бұл теореманы дәлелдеу үшін Х аралығының ішкі нүктелерінде орындалатын
теңдігін жазып аламыз. Теореманың шарты бойынша интегралы бар болады, ал анықталмаған интегралдың қасиеті бойынша теңдігі орындалады. Мұндағы С- ерікті тұрақтысын нөлге тең деп санап, немесе оны екінші интегралына топтап, (6) формуланың екі жағынан да интеграл алып, формуланы оңай алуға болады.
формуласы бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл формула интегралын одан гөрі есептеуге жеңілдеу инегралы түрлендіреді. Сондықтан бөліктеп интегралдау формуласын қолданғанда осы мақсатты әр уақытта ескеру қажет.
3-мысал: Бұл интегралда интеграл астындағы функция алгебралық функциясы мен транценденттік функциясының көбейтіндісінен тұрады. Интегралдар кестесі бойынша . Сондықтан интеграл астында алгебралық функциясын жою үшін оны екі рет дифференциалдау қажет. Ол үшін арқылы белгілеп формуланы екі рет қолданамыз.
Айта кететін бір жәй, егер арқылы белгілесек, онда болар еді, демек, формуланың екінші интегралының астындағы алгебралық функцияның дәреже көрсеткіші одан әрі өседі, ал бұл бізге пайдалы емес, себебі интеграл күрделене түседі.
3. Жай рационалдық функцияларды интегралдау.
1. Егер бүтін рационалдық функция берілсе, оны бірден интегралдауға болады, атап айтқанда:
2. Егер интеграл астындағы функция бұрыс бөлшек болса, онда алымын бөліміне бөліп, бүтін бөлігін шығару керек.
3. бөлшегі берілсе, оның интегралы былай табылады:
4. Егер берілсе, тің мәндері үшін оның интегралы былай табылады:
4-мысал: интегралын есептейік.
4. Кейбір иррационалдық функцияларды интегралдау.
Интеграл
түрінде берілген. Мұнда символ жақша ішіндегі шамаларға тек рационалдық амалдар ғана қолданалылатынын бейнелейді.
Егер айнымалыға
ауыстыру жасағанда
болар еді. Бұл жағдайда:
түрге ауысады, яғни айнымалы ның рационалдық функциясының интегралына келеді. Мұндай интегралды есептеп шығару әдісін білеміз.
5-мысал: интегралын есептейік.
Шешуі: Иррационалдықтан құтылу үшін алмастыруын жасаймыз. Сонда болады. Демек,
5.Кейбір тригонометриялық функцияларды интегралдау.
түріндегі интегралдар әмбебап ауыстыруы арқылы интеграл мына түрге келеді:
.
Бұл интеграл аргумент ның рационалдық функциясының интегралы, ал оны нтегралдау әдісі бізге белгілі.
түріндегі интегралдар үшін мына жағдайларды қарастырайық:
а) Егер тақ натурал сан болса, айнымалы арқылы ауыстыру керек. Сонда
түріне келеді, ал бұл интеграл оңай табылады.
ә) Егер тақ натурал сан болса, аймалыны арқылы ауыстыру керек. Сонда:
болады, демек соңғы интеграл оңай интегралданады.
б) Егер бүтін сандар болса, болған жағдайда интеграл
түріне, ал болған жағдайда интеграл түріне келеді. Сонда жағдай үшін ауыстыруын жасайды.Демек,
болады. Бұдан болып шығады.
Ал жағдай үшін ауыстыруы керек. Сонда:
Демек, болады.
в) яғни теріс жұп сан болса, онда интегралы мына түрге келеді:
немесе
Бірінші түрдегі интегралда айнылыны арқылы ауыстыру керек. Бұл жағдай:
г) Егер мына интегралына тақ сан болса, онда ауыстыруын, ал мына интегралы үшін ауыстыруын жасау керек.
6-мысал: интегралын есептейік.
Шешуі:
Анықталған интеграл, оны аналитикалық түрде және жуықтап есептеу әдістері
Геометрия курсынан дөңес көпбұрыштардың ауданын нақты формула бойынша есептеуді білеміз. Дегенмен, математикада белгілі геометриялық формулалар арқылы ауданды есептеуге келмейтін жазық фигуралар да жиі кездеседі. Осындай фигуралардың ауданын табу жолын қарастырайық.
Анықтама: Жоғарыдан үзіліссіз функиясының графигімен, ал төменнен осінің кесіндісімен, бүйір жақтарынан түзулерінің кесіндісімен шектелген жазық фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды. Қисық сызықты трапециялардың аудандарын есептегенде мынадай теореманы пайдаланады.
Теорема: Егер кесіндісіне үздіксіз және теріс емес функция, ал оның осы кесіндіде алғашқы функциясы болса, онда сәйкес қисықсызықты трапецияның ауданы кесіндідегі алғашқы функция өсімшесіне тең болады, яғни
функциясымен анықталған аралығындағы қисық сызықты трапецияның ауданын функциясның аралығындағы анықталған интегралы деп атайды.
Қисық сызықты трапеияның ауданын есептеп шығару есебіне басқаша тәсіл қолдануға да болады. Жеңілдік үшін функциясын кесндісінде теріс емес және үздіксіз дп есептейміз. Оған сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданын шамамен былйша есептеуге болады.
Сурет
1) кесіндісін
нүктелері арқылы n бөлікке бөлеміз және бөлігінің ұзындығы
,
Сурет, мұндағы белгіленеді.
2) Қисық сызықты трапецияны бөліктеу нүктелерінен өтетін және ордината осіне параллель түзулермен n қисық сызықты трапецияға бөлеміз. Бастапқы қисық сызықты трапецияның ауданы бөліктеу арқылы алынған қисық сызықты трапециялар аудандарының қосындысына тең.
Сурет
3) Әрбір қисық сызықты трапецияны табаны биіктігі болатын тік төртбұыштармен ауыстырамыз.
Сурет
4) Бастапқы қисық сызықты трапеция ауданының жуық мәнін табамыз:
қосындысын функциясының аралығындағы интегралдық қосындысы деп атайды.
5) аралығын бөліктеу нүктелерінің санын өсіру арқылы шамасын кішірейтеміз. Әрбір ретте интегралдық қосынды есептеледі. шамасын кішірейту арқылы алынған интегралдық қосындылар тізбегі қандай да бір санына жуықтайды. Бұл санды функциясының a-дан b-ге дейінгі анықталған интегралы деп атайды және келесі символмен белгілейді:
мен сандары интегралдау шектері деп аталады: -төменгі,-жоғары шегі. функциясы интеграл астындағы функция деп, ал айнымалысы интегралдау айнымалысы деп аталады.
Сонымен, егер кесіндісінде болса, онда қисық сызықты трапецияның сәйкес ауданы мына формуламен өрнектеледі:
Қисық сызықты трапеция ауданының формулаларын салыстыра отырып, мынадай қорытынды жасауға болады:
Егер кесіндісінде үшін алғашқы функция болса, онда
Бұл формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Бұл саны функциясының аралығындағы интегралы деп аталады. айырымын жазу ыңғайлы болу үшін мынадай қысқаша белгілеу қабылданған:
яғни
Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын әдетте мына түрде жазып жүрміз:
2 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСТАРЫ
2.1 Туынды және оның қолданылуы
Оқу ісі тәжірибесінен көріп жүргеніміздей, оқушыларға туындының анықтамасын тұжырымдауға, туындыны есептеуге, дифференциалдаудың негізгі заңдарын қолданып функцияның нүктедегі туындысын табуға және оны қолдануға, егер оқушыларғаалдын-ала шешу алгоритмі белгілі болса (мысалы, қозғалыстың берілген теңдеуі бойынша жылдамдығын, берілген қисыққа берілген нүктедегі жанаманың теңдеуін табу), үйрету біршама қиын емес. Функцияларды экстремумге зерттеуге туындыны қолдану алгоритмі де ерекше қиындықтар тудырмайды.
Ал оқушылардың туындыны оның әртүрлі дербес түрде байқалуларын (физикада, химияда, биологияда және т.б.) өз бетінше көріп, үйренулеріне жету әлде қайда қиын.
Жаратылыстану ғылымдарының өте көп ұғымдары туынды ұғымын қолданбаса сандық жағынан сипатталмағаны былай тұрсын, онсыз анықтала да алмайды. Механикалық деп аталатын туындының мағынасын, яғни функцияның берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығының мәнін, оқушылардың жете меңгеріп алуы өте маңызды.
Математиканың басқа көптеген ұғымдары сияқты, туынды ұғымын оқытуды басынан бастап көрнекілік модельдерімен байланыстырса, онда оқушылар бұл ұғымды оңай меңгереді.Бұндай модельдердің мысалы ретінде, функция графигінің көлбеуі бола алады, дәлірек айтсақ, графиктің берілген нүктесіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сондықтан, оқушылармен шығартатын есептер жанаманы қарастырудан басталады. Екінші ерекшелік, туындының механикалық мағынасын ұғындыру үшін, геометриялық иллюстрацияларды қолдану.
2.1.1 Физикадағы қолданыстары
Мұндай реттілік, біріншіден, туынды ұғымының ең кемінде екі неғұрлым нақты ұғымдарды жалпылау үшін пайда болғанын түсіндіруге көмектеседі: қисыққа жанама және лездік жылдамдық; екіншіден, туындының геометриялық мағынасын ертерек енгізу локальды жылдамдық ұғымын ұғынуға да көмектеседі және кейбір фактілерге геометриялық иллюстрация жасауға мүмкіндік береді. Бұдан басқа, бұл реттілік туынды ұғымының қолданбалылығына жаттығуларды енгізуді ертерек бастап жіне олардың мазмұнын көбірек түрлендіруге мүмкіндік береді. Бұл есептерді шешуді, әрине, дифференциалдау техникасымен параллель қарастыру қажет.
Функцияның туындысы ұғымына келтіретін қолданбалы есептерге түзу сызықты қозғалыстағы дененің лездік жылдамдығы, токтың лездік мәні, дененің нүктедегі сызықтық тығыздық, фукцияның графигіне жанама жүргізу туралы есептер жатады. Бірнеше есептер қарастырайық.
1-есеп. Тас 100 м биіктіктен лақтырылды. 2 с кейінгі жылдамдығы қандай? Неше секундтан кейін тас жерге соғылады жіне бұл кезде оның ең шекті жылдамдығы қандай болады [10]?
Жауабы:ϑ1=2 gмс, ϑ2=102g мс.
2-есеп. Уақыттың t=0 мезетінен кез келген t мезетіне дейін суда ерітілген тұздың массасы бірсыпыра x=f(x) заңы бойынша анықталады. 1) Берілген t0,tуақыт аралығындағы ерудің орташа жылдамдығы деп нені түсінеміз? 2) Уақыттың t0мезетіндегі ерудің жылдамдығы деп нені түсінеміз[10]?
Жауабы: ϑорт=∆x△t=ft1-ft0t1-t0; ϑt0=f't0
3-есеп. Қойма құрылысын салу кезеңінде оның ішкі периметрі 60 м-ден аспау керек деп есептелген. Өлшемдері қандай болғанда оның ауданы барынша үлкен болады[10]?
Шешуі:Бөлменің бір өлшем x м болса, екінші өлшемі
60-2x2=30-x м болады. Бөлменің ауданы
S(x)=x30-x=30x-x2.
0=x=30 екені анық. Sx-тің ең үлкен мәнін табайық.0;30 аралығында
Sx=30-2x осыдан ,
30-2x=0. x=15 м
Sx=0; S30=0 сондықтан , S(x)= S15.
Бөлменің өлшемдері 15мx15 м болу керек.
4-есеп. Силосқа арнап көлденең қимасы трапеция болып келетін шұңқыр даярлап, оның қабырғалары мен түбін цементтеукерек. Шұңқырдың биіктігі Н, көлденең қимасы Вболғанда, цементтеуге барынша аз материал кету үшін, оның көлбеулік бұрышы х қандай болу керек (1-суретте)[10]?
Шешуі: Екі бүйір қабырғасын с арқылы белгілейік: с=РМ+2КМ. с-ның мәні кіші болған сайын трапецияның бүйір қабырғасы мен табанының ауданы соғұрлым кішірек болады.
1-сурет.
ВН=ЕК+РМ2; РМ=2ВН-ЕК (1).
Екінші жағынан РМ=ЕК-2LK; LK=Hctgx;
PM=EK-2Hctgx, осыдан ЕК=РМ+2Hctgx (2).
(2)-ге (1)-ді қойып табамыз:
РМ=2ВН-PM-2Hctgx ; 2PM=2ВН-2Hctgx ;
PM=ВН-Hctgx;КМ=Нsinх ,
Олай болса,
С=ВН- Hctgx+2Нsinх.С'=0
деген шарттан
cosх=12 ,00х900
болғандықтан
х=600.
Аралықтың шеткі жағынан с функциясының мәнін табу тиімсіз, сондықтан кризистік нүктенің оң және сол жағынан туындының таңбасын іздейміз:
х=0, 1-2cos000
х=900, 1-2cos000
Ендеше кризистік нүктелерде функцияның мәні минимум. Сонымен , шұңқырдың көлбнулік бұрышы 600-қа тең болу керек.
Ескерту. Зерттеліп жатқан функцияның кризистік нүктелері берілген аралықтың ішінде жатса, онда ең үлкен және ең кіші мәнін табу үшін функцияның осы нүктелердегі және аралықтың шекті нүктелеріндегі мәнін шығарып алып, алынған сандардың ең кішісі мен ең үлкенін таңдайды.
5-есеп. Ауданы 810 м2 спорт алаңы солтүстіктен оңтүстікке қарай ағаш қоршаумен, ал шығыстан батысқа қарай сыммен қоршалуы керек.Ағаш қоршаудың 1 метрі 5$, ал сым қоршау 2$ тұрады. Шығын барынша аз жұмсалуы үшін қоршаудың өлшемдері қандай болуы керек (2-суретте) [10]?
Шешуі: Ағаш қоршаудың бір бетін х, сым қоршаудың бір бетін у деп белгілейік. Қоршаудың жалпы құнын Q деп белгілесек, онда ол былай өрнектеледі:
Q=2*2у+5*2х немесе
Q=10х+4у (1),
ал қоршаудың ауданы S= ху болғандықтан, есептің шарты бойынша,
ху=810 (2).
Осыдан у=810х (3).
2-сурет
(1)-дің орнына (3)-ті қойып, Q(х) =10+3240х өрнегін аламыз. Осы функциянің ең кіші мәнін есептесек: х=18 (30-сурет) болғанда Q(х) ең кіші мәнді алады. х=18 болғанда у=45. Сонымен спорт алаңының ең арзанға түсетін өлшемдері 18 м мен 45 м екен.
6-есеп. Химиялық лабораторияда қолданылатын шұңғыма - конус тәрізді дөңгелек - фильтр(сүзгі)қағазды орау арқылы жасалады. АОВ секторынан басқа дөңгелектің қалған бөлігі конустық шұңғыманың бүйір қабырғасын құрайтындай етіп оралады. Сүзгі қағаздың радиусы R болса, табаны қандай болғанда конустың сыйымдылығы үлкен болады (3-суретте)[10]?
Шешуі: х арқылы конустың табанының радиусын белгілейміз (31- сурет). 0хR . 0-ге жақын х-тың мәнінде, R-ге жақын мәнінде, конустың көлемі V нөлге жуық болады. Дөңгелектің радиусы R конустың жасаушысы болса, оның биіктігіR 2-x2 болады, онда шұңғыманың көлемі
V=13PIx2R 2-x2немесе
V=PI3R 2x4-x6 , болады.
3-сурет
Көлемнің функциясы f(x)=R 2x4-x6функциясымен қатар 0 немесе R болғанда үлкен мәнге ие болады. Осы функцияны экстремумге зерттей отырып, мынаны табамыз:
f'х=4R2х3-6х5.
Туындыны 0-ге теңестіріп , шыққан теңдеуді шеше отырып, мынадай үш түбір табамыз:
х1=0; х2=-R23; х3=R23 .
(0; R) интервалына мына түбір
х3=R23 ғана кіреді.
Конустық шұңғыманың ең үлкен көлемі болатындай х-тің мәні бар болғандықтан, х-тің мәнін зерттемей-ақ, соған сәйкес ең үлкен көлем бар деп есептейміз. Онда мұндай сүзгінің биіктігін оның радиусы арқылы өрнектегенде 13R болады. Сонда сүзгінің ең үлкен көлемі V=2PI93R3болады.
Егер АВС доғасының ұзындығы 2PIx екенін ескерсек, оның сүзгі қағаздың шеңбер ұзындығына қатынасы x:R=23≈0.81657. Онда АВС доғасы 360°∙0.8165 , ал АВ доғасы 360°∙0.8165≈6° . Сонда оралатын дөңгелектің секторының бұрышы 66° болуы керек екен.
Кейде химиялық лабораторияда конустық сүзгіні қағаздың дөңгелегінің 3 квадрантасын бірінің үстіне бірін қабаттап келтіреді .Ол кезде сыйымдылықтың 45%-ін жоғалтатынын есептемей-ақ білуге болады.
2.1.2 Құрылыстағы қолданыстары
Өте биік болмайтын өнеркәсіп және ауылшаруашылық құрылыстарды монтаждағанда автомобиль крандарды кеңінен пайдаланады. Кранды дұрыс таңдап алу үшін салынатын объекті туралы біраз алғашқы берілімдерді білу қажет. Айталық, объектінің габариті (аумақты) берілімдері кран ілгегінің керекті ұзындығын алдын- ала анықтауға мүмкіндік береді.
7-есеп.Биіктігі Н және ені 2d болатын жазық шатырлы құрылыс салу үшін керек болатын автомобиль краны ілгегінің ұзындығын анықтайтын формуланы қорытып шығару керек[10].
Шешуі. Автомобиль краны құрылысты айналып жүре алатын болғандықтан, егер оның ілгегі шатырдың ортасына жететін болса (ортасын ені бойынша аламыз), онда ол құрылыстың кезкелген нүктесіне жетеді(4-сурет).
4-сурет.
О нүктесінде орналасқан кранды қарастырайық. Ол детальді шатырдың ортасына жеткізетін болсын. Кран ілгегінің көлбеу бұрышы α болсын. Онда ВС=СДcosα=1cosα:АС=СЕsinα=Н-hsinα :,
Мұнда h=АО- кран ілгегінің іліну биіктігі. Бұл жағдайда кран ілгегінің ұзындығы
l=Н-hsinα+ lcosα (1)
болады .
Басқа нүктеде (құрылысқа жақындау немес алыстау ) орналасқан кран көрсетілген жұмысты атқару үшін оның ілгегінің ұзындығы басқа болуының керек екендігі (1) формуладан көрініп тұр, себебі бұндай қозғалыста α бұрышы өзгеріп тұрады. Кранның оңтайлы (оптимальды) түрде орналасу орнын (яғни, ілгегінің ұзындығы ең аз болатын кранның көмегімен берілген жұмыстың орындалатын орнын) табайық. Ол үшін 0,PI2 аралығындағы α-ның қандай мәнінде d функциясы ең кіші мән қабылдайтынын табу керектігі айқын.
Функцияның туындысын табайық:
l'(α)=lsin2α-H-hcos2αsin2α∙cos2α=lc osαsin2α(tg3α-H-hl)
l функциясы ең кіші мәнін
α=arctgН-hl (2)
Болғанда қабылдайтынын табамыз.
(2) формуладан α-ның мәнін тауып және оны (1) формулаға қойып, ілгектің мүмкін болатын ең кіші мәнін табамыз. Осы формулаларпрактикада кеңінен қолданылады[11].
2.1.3 Ағаш өңдеу есептері
Халық шаруашылығында ағашты тиімді өңдеу мен кесудің маңызы зор. Мұндай есептерді комплексті түрде шешу классикалық және қазіргі математиканың методтарын қолдануды талап етеді. Бірақ бұндай түрдегі кейбір есептерді тек туындының көмегімен шешуге болады.
8-есеп.Ағаш кесетін аралар (олар көлденең кесуге арналған ) көбіне бөренені көлденең қимасы ең үлкен болатын квадратты білуге және төрт тақтайша тіледі (5-суретте). Бұндай бөлу үшін аралардың орналасуы қандай болу керек[12]?
Шешуі: Суреттен көріп отырғанымыздай, есептің сұрағына жауап беру үшін кесілетін тақтайшалардың қалыңдығын анықтау жеткілікті.
5-сурет.
Радиусы r шеңберге іштей сызылған квадраттың кабырғасы r2, онда ОА=d24. Тақтайдың қалыңдығы АВ=х болсын.
Онда оның ені 2ВС=2ОС2-ОВ2=12d2-42dх-8х2 ,
Ал көлденең қимасының ауданы
S(х)=2АВ∙ВС=х2d2-42dх-8х2. 0;d(2-2)4
кесіндісіндегі х-тің өай мәнінде S функциясы ең үлкен мәнге ие болатынын анықтау керек. Туындыны табамыз:
Sʹ(х)=d2-62dх-16х22d2-4d2х-8х2.
Кризистік нүкте
х0=34-3216d≈0,10d.
S(0)=S(d(2-24)=0, ал S(х0)0 болғандықтан, қалыңдығы 0,10dболатын тақтайшалардың көлденең қимасының ауданы ең үлкее болады.
2.1.4 Автомобиль жолдарына байланысты есеп
Автомобиль жолдарының жобасын жасағанда жол торабын жасау қажеттілігі туындайды. Жол торабының орыны, маңынан өтетін жолдардың кешені экономикалық және географиялық жағдайларғада байланысты, тасымалға кететін жұмыс уақытына бәрі де әсер етеді.
9-есеп. АВ автомагистралына СЕ жолының α жанасу бұрышы қандай болғанда АЕС маршуты бойынша жылдамдығы ϑm ал келетін жолда ϑd(ϑmϑd) болғанда тасымал шығыны аз болады[12]?
Шешуі: (6-суретте) С нүктесінен АВ түзуіне перпендикуля түсіріп, СД кесіндісін h деп белгілейміз, ал кесіндіні l деп ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz