ФУНКЦИОНАЛДЫ ТАЛДАУДАҒЫ СЫЗЫҚТЫ ОПЕРАТОРЛАР ТЕОРИЯСЫ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 64 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 4

1. ОПЕРАТОРЛЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДЕГІ ЛАПЛАС ТҮРЛЕНДІРУІ

1. 1 Лаплас түрлендіруі . . . 6

1. 2 Лаплас түрлендіруінің қасиеттері . . . 13

1. 3 Шектік есептерді шешудің вариациялық әдістері . . . 17

2. ФУНКЦИОНАЛДЫ ТАЛДАУДАҒЫ СЫЗЫҚТЫ ОПЕРАТОРЛАР ТЕОРИЯСЫ

2. 1 L _p кеңістігі және сызықтық оператор . . . 26

2. 2 Сызықтық емес Урысон интегралдық операторының кейбір қасиеттері . . . 31

2. 3 Урысон операторының бір классының үзіліссіздік критерийлері . . . 35

2. 4 Матрица және оның негізгі ұғымдары . . . 39

2. 5 Квадраттық форма және оны түрлендіру . . . 50

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДЕ ОПЕРАТОРЛЫҚ ӘДІСТЕРДІ ҚОЛДАНУ

3. 1 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулерді операторлық әдіспен шешу . . . 60

3. 2 Сызықтық дифференциалдық теңдеуді Дюамель интегралын пайдаланып шешу . . . 63

3. 3 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін операторлық әдіспен шешу . . . 66

3. 4 Операторлық әдістерді пайдаланып меншіксіз интегралдарды есептеу мысалдары . . . 68

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 71

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 73

КІРІСПЕ

Ел дамуының ертеңгі бағыт- бағдарын саралаған Елбасының Жолдауында білім беру саласына: «Ұлттық бәсекелестік қабілеті бірінші кезекте оның білімділік деңгейімен айқындалады. Әлемдік білім кеңістігіне толығымен кірігу білім беру жүйесін халықаралық деңгейге көтеруді талап ететіні сөзсіз» деп ерекше мән берілген. Алайда, жаһандану дәуірінде қатаң бәсекеге төтеп бере алатын мемлекет қана өркениет көшіне ілесе алады. Мемлекеттің бәсекелестік қабілеті ең алдымен оның білімділік сипатымен айқындалатынын ескере келе, білім мен тәрбие беру саласының маңызы ерекше екенін мойындауымыз керек.

Адам қазіргі дамуында табиғаты мен ойының мөлшерсіз мүмкіндіктерін игеруге ұмтылуы қажет. Қазіргі таңда мұғалімдердің негізгі міндеті - ұлттық ділі жоғары, сана-сезімі дамыған, өзіндік көзқарасы бар жеке тұлғаны қалыптастыру және оқушылардың өз бетімен білім алу жолдарына үйрету.

Осыған орай оқушы оқыту үрдісінде, әрбір сабақта өзінің оқу әрекетінің мақсат-міндеттерін анықтап, соларды іске асырудың нақты тәсілдерімен амалдарын қолданып, өзін-өзі бақылап отыруға тиіс. Міне, осындай жағдайда ғана балада білімге деген қажеттілік, талпыныс, қызығу, танымдық белсенділігі қалыптасады.

Оқушыны оқу үрдісінің нысаны ретінде ғана санамай, оны сол үрдістің тең құқықты мүшесі ретінде қабылдап, оқушыға бет бұру қазіргі мектеп дамуының негізгі қарқынының бірі болып отыр. Қазақстан Республикасы гуманитарлық білім беру тұжырымдамасында «білім берудің гуманитарлық сипаты, онда адам тек жай зерттеу объектісі ретінде ғана емес, ең алдымен, шығармашылық пен таным субъектісі, өзінің шығармашылыққа деген құлшынысымен оқушыларды баурап әкететін субъект ретінде көрінумен бедерленеді» делінген. Осыдан білім беру саласында ең алғашқы орында тұрған ол-мектеп мәселесі екенін аңғара аламыз. Себебі мектеп бүкіл білім жүйесінің бастау алар тұсы, білімділіктің іргетасы қаланар сынақ алаңы.

Тақырыптың өзектілігі. Операторлық есептеу математикалық талдаудың маңызды бір саласы болып табылады. Механика, математика және техника есептерін шешуде операторлық әдістер жиі қолданылады. Жылу өткізгіштік теориясында, электротехника және радиотехника, электр тізбегіндегі тұрақты емес құбылыстарды, автоматты реттегіштер жүйесінің жұмысын зерттеуде, сонымен қатар сызықтық дифференциалдық және интегралдық, айырымдық теңдеулер теориясында операторлық есептеу әдістері кеңінен пайдаланылады. Оператор, операция сөздері латын тілінде operor-жасаймын, operator-жасаушы, жұмыскер деген ұғымды білдіреді. Ал operatio-амал, қимыл, жұмыс, енгізу, іске асыру ұғымдарына сәйкес келеді. Операторлық есептеу саласындағы алғашқы ғылыми жұмыстар белгілерді есептеу, белгілеулер енгізу арқылы есептеу деген сияқты атаулармен басталады. Операторлық әдістерді физикалық және техникалық есептерді шешу үшін қолдану ағылшын ғалымы Хевисайдтың 1892 жылы жарияланған еңбектерінен кейін басталған.

Операторлық есептеудің алғашқы математикалық түрде негізді дәлелденуі ағылшын математигі Бромвичтің (1916), америка инженері Карсонның (1926) және голландия инженер-электригі Ван дер Польдің (1929-1932) еңбектерімен тығыз байланысты. Россияда бұл саладағы алғашқы еңбектердің бірі М. Е. Ващенко-Захарченконың 1862 жылы шыққан монографиясы болып табылады. Операторлық есептеу теориясын дамытуда орыс ғалымдары Лурье А. И., Данилевский А. Н., Эфрос А. М., Конторович М. И., Диткин В. А. айтарлықтай үлес қосты.

Диплом жұмысының мақсаты математиканы оқытудағы операторлық есептердің маңызын көрсету болып табылады.

Дипломдық жұмыстың міндеттері:

- математикадағы сызықты операторлар мен операторлық есептерге шолу жасай;

- математикадағы функционалдық талдау ұғымына сипаттама беру;

- функционалдық талдаудағы сызықты операторлар теориясына анықтама беру.

Диплом жұмысының зерттеу нысаны сызықты алгебра болып табылады.

Диплом жұмысын жазу барысында есептеу, анықтама беру, мысалдар келтіру және дәлелде секілді математикалық тәсілдер қолданылды.

Диплом жұмысының құрылымы кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1. ОПЕРАТОРЛЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДЕГІ ЛАПЛАС ТҮРЛЕНДІРУІ 1. 1 Лаплас түрлендіруі

Ғылыми зерттеулер нәтижесінде операторлық есептеу теориясында Лаплас бойынша түрлендірілетін функцияларды ғана пайдалану, оның қолданылу өрісін тарылтатындығы байқалды. Бұл кемшіліктен құтылу үшін Хевисайдтың белгілеулеріне қайта оралып, функция ұғымын жалпылау қажеттігі туды. Осындай қажеттілікпен байланысты жарыққа шыққан польша математигі Я. Микусинскийдің «Операторлық есептеу» деп аталатын еңбегі алғашқы операторлық көзқарасқа қайта оралудың бастамасы болды.

Операторлық әдістің мәнін қысқаша былай сипаттауға болады:

Нақты айнымалы t-ның функциясы берілсін дейік. Бұл функцияның Лаплас түрлендіруі ( -түрлендіру) мына түрде болсын

Бұл теңдіктің оң жағындағы жинақталатын меншіксіз интеграл.

түрлендіруін пайдаланып әрбір Лаплас бойынша түрлендірілетін түпнұсқа деп аталатын функциясына оның бейнесі деп аталатын комплекс айнымалының функциясын сәйкес келтіруге болады.

Лаплас түрлендіруінің тамаша қасиеттері бар. Мысалы, түпнұсқасын бойынша дифференциалдауға функциясын р комплекс айнымалысына көбейту амалы сәйкес келеді. Сонымен, түпнұсқаны дифференциалдау және интегралдау амалдарына бейнелер кеңістігінде қарапайым алгебралық амалдар, яғни бейнесін р санына көбейту және бөлу амалдары сәйкес келеді.

Берілген бейнесі бойынша оған сәйкес түпнұсқасын табу үшін Лапластың кері түрлендіруін ( түрлендіру) пайдалануға болады. Нақты айнымалы t-ның функциясы үшін мына шарттар орындалсын:

1) Айнымалы t-ның мәндерінде функция мәні болсын;

2) Нақты айнымалы t-ның функциясы барлық мәндерінде үздіксіз болсын.

Үздіксіздік шарты тек бірінші текті үзіліс нүктелерінде ғана орындалмасын және ондай нүктелер саны шектеулі болсын;

3) Берілген функциясының өсу дәрежесі шектеулі болсын, яғни барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай және сандары табылсын. Осы шартты қанағаттандыратын сандарының ең кішісі функциясының өсу көрсеткіші деп аталады.

Осы (1) -(3) шарттарды қанағаттандыратын функциясы түпнұсқа деп аталады.

Автоматты жүйелердегі құбылыстарды сипаттағанда кездесетін көптеген функциялар түпнұсқа болады. Мысалы, Хевисайдтың бірлік функциясы деп аталатын функциясы, функциялары түпнұсқа болады. Бұл функциялардың бірлік баспалдақты функция түріндегі көбейткіштерінің бар болуы түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Оны физикалық тұрғыдан түсіндірудің ешқандай қиындығы жоқ. Шынында да, автоматты жүйелердегі құбылыстар қандай да бір белгілі уақыт кезеңінен басталады.

Осы уақытты алғашқы уақыт кезеңі ретінде алуға болады. Сонда t болғанда f(t) =0 болады да түпнұсқаның (1) шарты орындалады.

Ал (2) және (3) шарттар автоматты жүйелерді сипаттайтын көптеген f(t) функциялары үшін орындалады.

Егер осы (1) -(3) шарттардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда f(t) функциясы түпнұсқа болмайды. Мысалы, функциялары түпнұсқа болмайды. Бұл функциялар үшін (3) шарт орындалмайды.

Түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандыратын функциялардың мысалын келтірейік:

а) Барлық шектелген функциялар; мұндай функциялар үшін өсу көрсеткіші өйткені

б) Барлық түріндегі дәрежелік функциялар. Бұлар үшін болады. Шынында да

өйткені -тің модулі көрсеткіштік функциясына қарағанда баяу өседі. Мұндағы -қаншалықты болса да аз оң сан.

Осыдан функциясының аралығында шектелген функция екендігі көрінеді. Басқаша айтқанда, барлық мәндері үшін , немесе теңсіздігі орындалады.

Мұндағы А-кез-келген оң сан, -қаншалықты болса да аз оң сан. Сондықтан функциясының өсу көрсеткіші болады.

Егер болса, онда үзіліс нүктесі болады да функциясы түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандырмайды.

Жоғарыдағы

теңдігімен анықталған комплекс айнымалының функциясы функциясының Лаплас бойынша бейнесі деп аталады. Осы (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл Лаплас интегралы деп аталады. Анықтама бойынша бұл меншіксіз интеграл мынаған тең:

Мұндағы оңжақтық шекке көшу амалын көрсетеді. Лаплас интегралының көмегімен функциясы мен оның бейнесі арасында сәйкестік орнатылады.

Берілген функциясы бойынша оның бейнесін табу амалы Лаплас түрлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді:

Егер функцияға бейнесі сәйкес келсе, ол сәйкестік әдетте былай жазылады: немесе .

Егер (2) теңдіктің оң жағындағы шек бар болатын болса, онда Лаплас интегралы жинақталады.

Енді Лаплас бойынша қандай функцияларын түрлендіруге болатынын қарастырайық.

Теорема 1. 1

Егер функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады және оның бейнесі жарты жазықтығында анықталған.

Мұндағы деп функциясының өсу көрсеткішін ұғамыз.

Теореманы дәлелдеу үшін р комплекс айнымалысының жазықтығының теңсіздігі орындалатын бөлігінде (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл жинақталатындығын көрсетсек жеткілікті.

Түпнұсқаның (3) шартын пайдаланып мынадай теңсіздіктер аламыз:

Ал болғандықтан

Мұндағы болғандықтан, болса, Лаплас интегралы жинақталады. Сонымен, функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады. Оның бейнесі р комплекс айнымалысы жазықтығының жорымал оске параллель және одан қашықтықта өтетін түзуден оңға қарай бөлігінде анықталған.

Осы теоремадан бейнесінің мынадай қасиетін алуға болады.

Егер (3) теңсіздікте шексіздікке ұмтылса, онда Лаплас интегралының модулі нолге ұмтылады. Осыдан функциясы бейне болса, онда

болатындығы шығады. Теорема 1. 2 түпнұсқаның бейнесі шарты орындалатын жарты жазықтықта аналитикалық функция болады. Мұндағы -түпнұсқаның өсу көрсеткіші. Анықтама Мына болса,

шартымен анықталған функциясы Хевисайдтың бірлік функциясы деп аталады.

Осы функциясы түпнұсқа болады. Оның өсу көрсеткіші . Бұл функцияның мәні болғанда анықталмаған, өйткені Лаплас интегралын есептегенде функциясының болғанда қандай мән қабылдайтыны ескерілмейді.

Дегенмен де, нүктесіндегі мәні үшін әдетте мәндерін алады.

Берілген функциясы - аралықта анықталсын және түпнұсқаның (2), (3) шарттарын қанағаттандырсын. Ал болғанда шарты орындалсын. Егер функциясын қарастырсақ, яғни

болса,

онда функциясы түпнұсқа болады. Мұндағы көбейткіші түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Сондықтан, алдағы уақытта функциясының Лаплас түрлендіруінде функциясы берілген деп есептеп, оның орнына қысқаша деп жазамыз.

Енді кейбір функциялардың бейнесін анықтама бойынша табу мысалдарын келтірейік.

1 мысал

функциясының бейнесін табу керек. Мұндағы (нақты немесе комплекс сан) .

Шешуі Анықтама бойынша

Егер деп алсақ, онда Сондықтан, егер болса, онда болады. Нәтижесінде мынадай сәйкестік аламыз:

Дербес жағдайда

2 мысал

функциясының бейнесін табу керек.

Мұндағы (нақты немесе комплекс сан) .

Шешуі

Егер болса, онда функциясының өсу көрсеткіші егер болса, онда функциясы шектелген болады да мәнін аламыз. Берілген функцияның Лаплас түрлендіруін жазайық:

Мұндағы ал болсын. Олай болса теңдігін аламыз. Осыдан, егер болса, онда мәні шығады.

Нәтижесінде

сәйкестігін аламыз.

Дербес жағдайда

Мұндағы ω-кез-келген комплекс сан.

3 мысал

функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

болғандықтан, функциясының өсу көрсеткіші

Берілген функцияның Лаплас түрлендіруін табайық

Егер болса, онда

теңсіздігі алынады.

(Мұнда )

Сонда егер болса, онда аламыз.

Сондықтан

4 мысал

f(t) =cost функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

cost 1 болғандықтан cost функциясының өсу көрсеткіші с =0.

Бұл функцияның Лаплас түрлендіруін жазамыз:

Жақшаның ішіндегі функцияның шегі жоғарыда көрсетілгендей нолге ұмтылады. Сондықтан

1. 3 Меллин формуласы

Берілген бейнесінен оған сәйкес түпнұсқасына көшу үшін Лапластың кері түрлендіруі орындалады.

Теорема 1. 3

Түпнұсқа үздіксіздік нүктелерінде

теңдігімен анықталады.

Мұндағы функциясы түпнұсқасының Лаплас бойынша бейнесі. (14) теңдіктің оң жағындағы интеграл бас мәні ұғымында анықталады. Басқаша айтқанда

арақатынасы орындалады да, интеграл жарты жазықтығында жатқан және жорымал оське параллель түзу бойынша алынады.

(14) формула Меллиннің кері айналдыру формуласы деп аталады. Ол бейнесі мен түпнұсқасын байланыстырады.

Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу Лапластың кері түрлендіруі болып табылады. Оны былай белгілейді:

Мұндағы шарты болғанда функцияның шартын қанағаттандыратынын көрсетеді.

(14) формула бейнені тек үздіксіздік нүктелерінде ғана анықтайды. Бірақта түпнұсқаның бірінші текті үзіліс нүктелері болуы мүмкін.

Бұл жағдайда түпнұсқаның үзіліс нүктелерінде

шарты орындалатындығын көрсетуге болады.

Сонымен, айналдыру формуласы бейнесі бойынша түпнұсқасы оның үзіліс нүктелеріндегі мәндеріне дейінгі дәлдікпен анықталады. Түпнұсқаға (1. 1) формула бойынша анықталған бір ғана бейне сәйкес келеді. Өйткені түпнұсқаның үзіліс нүктелеріндегі мәндері бейненің түрін өзгертпейді. Дегенмен де бір бейнеге бір-бірінен айырмашылығы үзіліс нүктелеріндегі мәндерінде болатын түпнұсқалар жиынын сәйкес қоюға болады.

Егер түпнұсқасы аралығында дифференциалданатын функция болса, онда берілген бейне бойынша бір ғана түпнұсқа анықталады.

1. 2 Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

Егер функциялары түпнұсқалар, ал олардың бейнелері тиісінше және шамалары t-мен р-ға тәуелсіз болса, онда мына арақатынастар орындалады:

Шынында да, (1. 1) формулаға сәйкес

Егер интегралы функциялары үшін жарты жазықтығында жинақталса, онда интегралы жарты жазықтығында жинақталады.

5 мысал

функцияларының бейнесін табу керек.

Мұндағы ω-нақты немесе комплекс сан.

Шешуі

Комплекс айнымалының функциясының теориясынан белгілі формулаларды жазайық:

Бейненің сызықтылығын және (9) формуласын пайдаланып керекті сәйкестіктерді аламыз.

6 мысал

функцияларының бейнесін табу керек.

Мұндағы ω, φ-кез-келген нақты немесе комплекс сандар.

Шешуі

Белгілі формулаларды жазайық:

Бейненің сызықтылығын және (18), (19) формулаларды пайдаланып мына сәйкестіктерді аламыз:

Теорема 2. 2

Егер өсу көрсеткіші болатын функциясы мен оның туындысы түпнұсқалар, ал функциясы түпнұсқасының бейнесі болса, онда мынадай сәйкестік орындалады:

Дербес жағдайда, егер болса, онда

Дәлелдеу үшін интегралын бөліктеп интегралдаймыз:

Ал болғандықтан

бағалауын аламыз.

Сондықтан болады да сәйкестігін аламыз.

Бұл қасиетті жалпылауға болады.

Егер өсу көрсеткіші болатын туындылары түпнұсқа болса, онда мынадай сәйкестіктер алуға болады:

Дербес жағдайда, егер болса, онда

7 мысал

функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

болсын дейік. Сонда

Бірақ болғандықтан

Сонымен

Осыдан аламыз.

Осы нәтижені теңдігі арқылы да алуға болады.

Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда

Дәлелдеу үшін деп белгілейік те, түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын пайдаланайық. Сонда алынады.

Егер сәйкестігін белгілесек деп жазуға болады. Мұнда екендігі ескерілген. Ал болғандықтан сәйкестігі шығады. Осыдан яғни

8 мысал

функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

Түпнұсқаны интегралдау формуласы бойынша берілген функцияның бейнесін табамыз.

1. 3 Шектік есептерді шешудің вариациялық әдістері

Функционал және оператор. Функционалдық анализдің осы тақырыпқа қажетті ұғымдарын атап өткен дұрыс.

1-анықтама. К={g(x) }, мұндағы x - тәуелсіз айнымалы немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылар жиыны х=(х ₁ , х ₂ , …, х _n ) әлдебір функция класы немесе жиыны берілсін. I=I[g(x) ] айнымалы шамасы g(x) функциясынан функционал (функциядан функция) деп айтады, егер әрбір g(x) ∈K функциясы үшін берілген ереже немесе заң бойынша I анықталған сан сәйкес қойылса.

Берілген функционал анықталған К={g(x) } функциялар класы функционалдың анықталу облысы немесе функционалдың берілу облысы деп аталады, ал функциялардың өздері мүмкін функциялар деп аталады.

1-мысал.

К={g(x) } функциялар класы - х=0 нүктесінде дифференциалданатын функциялар жиыны болсын. k=g ^/ (0) санын К облысында анықталған g(х) функциясының функционалы деп қарастыруға болады.

2-мысал.

[a, b] аралығында үзіліссіз дифференциалданатын, яғни g(x) ∈C ⁽¹⁾ [a, b] болатын g(х) функциясының К жиынын қарастырайық. x=a және x=b нүктелері арасындағы g=g(x) қисығының s доғасының ұзындығы K облысында g(x) функциясынан формуласымен өрнектелетін функционалы болады.

3-мысал.

К - G облысында тұйықталған үзіліссіз және Г шекарасында нөлге айналатын барлық теріс емес z=f (x, y) функциялар жиыны болсын. көлемі f(x, y) -тен функционал болады.

2-анықтама. К функциялар жиыны сызықты деп аталады, егер әрбір u∈K және v∈K функциялары үшін u+v∈K қосындысы да осы жиында жатса, сонымен қатар αu∈K (α- кез келген тұрақты) болса.

Полиномдар жиыны, барлық үзіліссіз функциялар жиыны, облыстың шекарасында нөлге айналатын функциялар жиыны сызықты функциялар жиыны бола алады.

3-анықтама. I=I[g] функционалы сызықты деп аталады, егер ол К сызықты функциялар облысында анықталған болса және кез келген мүмкін u, v функциялар жұбы үшін келесі қатынас ақиқат болса:

I[αu+ βu] = αI[u] + βI[v]

мұндағы α және β кез келген тұрақты.

k=g ^/ (0) функционалы сызықты бола алады.

4-анықтама. К={g(x) } жиынында L операторы анықталған дейді, егер әрбір g(x) ∈K функциясы үшін әлдебір заң бойынша жалғыз ғана z=z(x) функциясы сәйкес қойылса. (Сонымен қатар, z(x) функциясы басқа t=(t ₁ , …, t _m айнымалыдан тәуелді болуы мүмкін) .

Бұл функциялар арасындағы сәйкестік келесі түрде белгіленеді:

Z=Lg z=L(g)

берілген L операторы анықталған g=g(х) функциясының К жиыны бұл оператордың берілу облысы деп аталады, ал функциялар g∈К мүмкін функциялар деп аталады.

5-анықтама. L операторы сызықты деп аталады, егер ол сызықты жиында анықталған болса және кез келген мүмкін u және v функциялар жұбы үшін сызықты комбинациялары αu +βv (α және β - еркін тұрақты) да мүмкін функциялар болып, сонымен қатар

L(αu) = αLu;
L(u+v) = Lu+ Lv, шарттары орындалса.

Бұдан кез келген α және β үшін L(αu + βv) = αLu +βLv екендігі шығады.

К - ω облысында анықталған, нақты, үзіліссіз {u} функциялар жиыны болсын. Егер u∈K және v∈K болса, онда (u, v) = саны u және v функцияларының скаляр көбейтіндісі деп аталады және (u, v) =(v, u) болатыны сөзсіз.

6-анықтама. ω облысында үзіліссіз берілген u сызықты функциялар жиынында L сызықты операторы анықталған болсын. Оның Lu мәндері де ω облысында анықталған және үзіліссіз функциялар болады. Онда L сызықты операторы симметриялы деп аталады, егер кез келген мүмкін u және v функциялар үшін келесі қатынастар ақиқат болса:

яғни

(Lu, v) =(u, Lv) (1)

Егер кез келген мүмкін u функциясы үшін u≡0 болғанда ғана (Lu, u) 0 теңсіздігі орындалса, онда L оператоы оң оператор деп аталады.

4-мысал.

g∈С ⁽²⁾ [0, 1] функциялар жиынында анықталған Lg=-g ⁿ операторын қарастырайық және g(0) =0, g ^/ (1) =0 болсын.

Егер u және v мүмкін функциялар болса, онда болады, сондықтан

, яғни (Lu, v) =(u, Lv) болады және L7 операторы симметриялы деп есептеледі. Сонымен қатар u≡0 екенін ескерсек, шекаралық шарттардың күші бойынша u≠0 болғанда

болатын u ^/ ≡0 жалғыз мүмкін функция табылады және u≡0 болса, онда (Lu, u) =0 болады. Яғни L операторы оң оператор болады.

Вариациялық есеп

I=I[g(x) ] (2)

функцияоналы К={g(x) } жиынында анықталған функционал болсын.

(2) функционалының экстремумдарын іздеу есебі вариациялық есеп деп аталады. Одан гөрі дәлірек айтсақ (1-сурет) : g=g(х) барлық мүмкін функциялар үшін минимум жағдайында I[g] ≥I[g] теңсіздігі орындалатын немесе максимум жағдайында I[g] ≤I[ ] теңсіздігі орындалатын функцияға жеткілікті жуық функциясын табу керек. g және функцияларының ара қашықтығын әртүрлі түсінуге болады.