Университет курсындағы қатарлар теориясы тақырыбының кейбір мәселелерін оқушыларға факультативті сабақтарда үйретіп, есептер шығаруға дағдыландыру

Кіріспе

Әлемдегі жаһандану және күрделене түскен бәсекелестік жағдайында білім беру мемлекетімізді дамытудың іргетасы, стратегиялық маңызды және басты бағыттарының бірі болып табылады. Әлемдік қауымдастық математика мен математикалық білім берудің екінші мыңжылдықтағы адамзат өркениетін дамытуда маңызды рөл атқаратынын мойындап отыр.

Біріншіден, біздің өркениетіміз дүниеге әкелген математика ғылымы ықылым заманнан бері ғылымдардың патшасы атанған.

Қазіргі заманғы ғылым математикалық әдістерді пайдаланып, оның заңдылықтарына негізделген.

Екіншіден, математикалық білім беру - жалпы адамзат мәдениетінің феномені.

Математикалық білім беру оқушылардың сөйлеу мәдениетін қалыптастырып, өз ойын қысқа, әрі нұсқа жеткізуге дағдыландырады.

Қазақстан Республикасы математика пәні мұғалімдерінің І Съезі Еліміздің Президенті Н. Ә. Назарбаевтың білім беру жүйесін жаңарту бойынша қойылған стратегиялық міндеттерінің аясында өткізілмекші.

Қазақстан Республикасы Президентінің 2010 жылғы 7 желтоқсандағы Жарлығымен қабылданған Білім беруді дамытудың 2011-2020 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасында білім беру саласын жаңа сапа және мазмұнмен толықтыру қажеттігі анықталды.

Осыған байланысты математикалық білім беруді жаңғыртудың қажеттілігі туындап отыр, не үшін оқыту, кімді оқыту, қалай оқыту деген мәселелерге, олардың диалектикалық өзара байланысына жаңаша көзқарас қалыптастыру қажет.

Еліміз индустриалды-инновациялық даму жолына аяқ басқан кезеңде жоғарыда аталған мәселелердің өзектілігі күн санап артып келеді.

Сонымен қатар кеңес дәуірінен кейін бірнеше жылдар бойы еліміздегі математикалық білім беру мазмұнының уақыт талабына сәйкестігі күрделі бағаланбады.

Дипломдық жұмыстың мақсаты - университет курсындағы қатарлар теориясы тақырыбының кейбір мәселелерін оқушыларға факультативті сабақтарда үйретіп, есептер шығаруға дағдыландыру.

Қатарлар теориясын қарастыру барысында негізгі екі сұрақ қойылады:

1. Қатардың қосындысын есептеу.
2. Қатарды жинақтылыққа зерттеу.

Қатарлардың қосындысын барлық жағдайда есептей алмаймыз. Ал қатардың қосындысы ақырлы болған жағдайда қатар жинақты болатындығын бәріміз білеміз. Сондықтан жинақты қатарларды қарастырамыз.

Бірінші тарауда қатарлар теориясы қарастырылады. Онда сандық қатарлар ұғымына, олардың жинақталу қасиеттеріне тоқталып өтіледі. Қатарлардың жинақтылығы туралы теоремалар мен олардың дәлелдемесі, мысалдар, жинақталу белгілері 1. 1. 1 - 1. 1. 4 параграфтарда жазылған.

1. 2 параграфта функционалдық қатарлар беріледі. . Мұнда функционалдық қатарлардың жинақталу облысы, бірқалыпты жинақтылығы туралы Вейерштрасс теоремасы дәлелдемесімен беріліп, мысалдар келтіріледі.

Теорема 1. 2. 1 (Вейерштрасс) . Егер (1. 2. 3) функционалдық қатарын $\mathrm{\Delta}$ аралығында мажорлаушы (1. 2. 2) қатар бар және ол жинақты болса, онда (1. 2. 3) қатар $\mathrm{\Delta}$ аралығында бірқалыпты және абсолют жинақты болады.

1. 2. 2 параграфта бірқалыпты жинақты функционалдық қатарлардың қасиетттері, яғни функционалдық қатарлардың қосындысының үзіліссіздігі, функционал қатарларды мүшелеп дифференциалдау және мүшелеп интегралдау туралы айтылған.

Функционалдық қатарлардың бір ерекшелігі мынада: жинақталатын функционалдық қатардың мүшелері кейбір жиында үзіліссіз функциялар бола тұрып, қатардың қосындысы сол жиында үзілісті функция болуы жиі кездеседі.

Енді мынадай сұрақ туады: мүшелері үзіліссіз функциялар болатын жинақталатын қатардың қосындысы да үзіліссіз функция болуының шарты қандай?

Бұл сұраққа төмендегі теорема жауап береді.

Теорема 1. 2. 2. Егер

$f_{1}(x) + f_{2}(x) + \ldots + f_{n}(x) + \ldots$ (1. 2. 6)

функционалдық қатардың қатардың,

біріншіден, мүшелері кейбір $M$ жиынында үзіліссіз;

екіншіден, ол қатар $M$ жиынында $S(x)$ функциясына бірқалыпты жинақталса, (1. 2. 6) қатардың қосындысы $S(x)$ сол $M$ жиынында үзіліссіз функция болады.

Функционалдық қатарларды интегралдау.

Ақырлы сан функциялар қосындысының интеграл қосылғыштардың интегралдарының қосындысына тең болатындығы жөнінде бекітім бар екендігі белгілі. Енді осы бекітім функционалдық қатарлар үшін де әділ бола ма деген сұрақ туындайды? Бұл ереже тек функциялардың кейбір кластары үшін ғана әділ. Оны келесі теоремадан көруге болады.

Теорема 1. 2. 3. Берілген

$f_{1}(x) + f_{2}(x) + \ldots + f_{n}(x) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x) }$ (1. 2. 10)

қатардың әрбір мүшесі $\lbrack a, \ b\rbrack$ сегментінде үзіліссіз және бұл қатар сол $\lbrack a, \ b\rbrack$ сегментінде $S(x)$ функциясына бірқалыпты жинақталса, қатарды мүшелеп интегралдауға болады.

Функционалдық қатарды дифференциалдау.

Енді қатарды мүшелеп дифференциалдаудың заңды болуының шарты жөніндегі мәселені анықтамақпыз.

Теорема 1. 2. 4. Егер (1. 2. 10) функционалдық қатар мына шартты қанағаттандырса:

1. ҚатарMMжиынындаS(x) S(x) функциясына жинақталса;
2. Туындыларf1′(x), …, fn′(x), …f_{1}'(x), \ \ldots, \ f_{n}'(x), \ \ldotsMMжиынында үзіліссіз функциялар болса;
3. Қатар

$f_{1}'(x) + f_{2}'(x) + \ldots + f_{n}'(x) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}'(x) }$ (1. 2. 13)

$M$ жиынында бірқалыпты жинақталса, (1. 2. 10) қатарды мүшелеп дифференциалдауға болады және

$S'(x) = f_{1}'(x) + f_{2}'(x) + \ldots + f_{n}'(x) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}'(x) }$ (1. 2. 2. 10)

теңдігі орындалады.

1. 3 параграф функционалдық қатардың дербес түрі дәрежелік қатарларға арналады. Мұнда дәрежелік қатарлардың анықтамасы мен теоремалары, олардың дәлелдемелері, мысалдар келтірілген.

Анықтама 1. 3. 1. Әрбір мүшесі дәрежелік функция болатын

$\sum_{k = 0}^{\infty}{c_{k}x^{k}} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \ldots + c_{n}x^{n} + \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1. 3. 1)

түріндегі функционалдық қатарды дәрежелік қатар дейді.

Мұндағы $c_{k}, \ k = 0, \ 1, \ 2, \ \ldots$ сандары дәрежелік қатардың коэффиценттері деп аталады.

Теорема 1. 3. 1 (Абель теоремасы) . Егер (1. 3. 1) дәрежелік қатар:

а) $x_{0}$ нүктесінде ( $x \neq 0$ ) жинақталса, онда ол $x < \left x_{0} \right$ нүктелердінде, яғни $\left( - \left x_{0} \right, \ \left x_{0} \right \right)$ аралығында абсолют жинақты;

б) $x_{1}$ нүктесінде жинақсыз болса, онда ол $x > \left x_{1} \right$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық $x$ нүктелерінде жинаксыз болады

$R$ саны (1. 3. 1) дәрежелік қатардың жинақталу радиусы, ал $( - R, \ R)$ оның жинақталу аралығы деп аталады.

Теорема 1. 3. 2. егер $\sum_{k = 1}^{\infty}{c_{k}x^{k}}$ дәрежелік қатарының жинақталу аралығы $( - R; R)$ болса, онда ол қатар осы аралықта жататын кез келген $\lbrack\alpha; \ \beta\rbrack \subset ( - R; R)$ кесіндісінде абсолют және бірқалыпты жинақты болады.

1. 3. 2 Дәрежелік қатардың қосындысының үзіліссіздігі.

1. 3. 3 Параграф Тейлор қатары жайлы.

Екінші тарауда мектеп курсында қатарлар теориясын қолдануының кейбір мәселелерін қарастырылады. Осы тараудың 2. 1 функцияларды қатарларға жіктеу параграфында элементар функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеулер көрсетілген.

2. 2 парагарфта факультативтік сабақтардың тақырыптық жоспарлар үлгілері ұсынылған.

1 Қатарлар

1. 1 Сандық қатарлар

1. 1. 1 Сандық қатарлар және оларға қолданылатын кейбір амалдар

Негізгі ұғымдар.

Анықтама 1. 1. 1. [28] Сандардың мынадай шектеусіз тізбегі берілсін:

$a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}, \ \ldots, \ a_{n}, \ldots$ (1. 1. 1)

Осы сандардан құралған

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} + \ldots$ (1. 1. 2)

символды қатар деп, ал (1. 1. 1) сандардың өзін қатардың мүшелері деп атайды. (1. 1. 2) орнына, қосындының таңбасын пайдаланып, көбінесе былай жазады:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}; }\$ (1. 1. 2а)

$n$ мұнда 1-ден $\infty$ -ке дейін барлық мәндерді қабылдайды.

Қатардың мүшелерін өз ара біртіндеп қосып, (шектеусіз көп) қосындылар құрайық:

$\left. \ \begin{array}{r} S_{1} = a_{1}, \ S_{2} = a_{1} + a_{2}, \ S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}, \ \ldots \\ \ldots, \ S_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}, \ldots; \end{array} \right\}$ (1. 1. 3)

бұларды қатардың дербес қосындылары не кесінділері деп атайды. Дербес қосындылардың осы $\left\{ S_{n} \right\}$ тізбегін біз әрқашан (1. 1. 2) қатарымен салыстырып отырамыз: (1. 1. 2) символдың негізгі ролі осы тізбекті тудыруында.

(1. 1. 2) қатардың дербес қосындысы $S_{n}$ -нің $n \rightarrow \infty$ жағдайдағы ақырлы не ақырсыз шегі $S$ -ны:

$$S = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$$

қатардың қосындысы деп атайды да, (1. 1. 2) не (1. 1. 2а) символына мағына беріп, оны мына түрде жазады:

$$S = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}. }$$

Анықтама 1. 1. 2. Егер қатардың шектеулі қосындысы бар болса, онда оны жинақты қатар деп, ал олай болмаса (яғни қосындысы $\pm \infty$ -ке тең болса немесе тіпті қосындысы болмаса) жинақсыз қатар деп атайды.

Мысал 1. 1. 1. Қатардың қосындысын тап $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 3) }$ .

Шешуі. Қатардың жалпы мүшесі:

$$a_{n} = \frac{1}{n(n + 3) } = \frac{1}{3} \bullet \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \right) .$$

Алынған формуланы қолданып, қатардың $n$ -ші бөлік қосындысын табайық:

$$S_{n} = \frac{1}{3}\left( a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} \right) = = \frac{1}{3}\left( \frac{1}{1 \bullet 4} + \frac{1}{2 \bullet 5} + \frac{1}{3 \bullet 6} + \ldots + \frac{1}{(n - 1) (n + 2) } + \frac{1}{n(n + 3) } \right) =$$

$$= \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 2} \right) + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \right) = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \right) .$$

Сонымен,

$$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{11}{18}.$$

Ендеше, берілген қатар жинақты жəне оның қосындысы $S = \frac{11}{18}$ .

Мысал 1. 1. 2. [17] $a + aq + aq^{2} + \ldots + aq^{n - 1} + \ldots,$ $a \neq 0$ түріндегі қатарды

(геометриялық прогрессия) жинақталаққа зерттеңіз.

Шешуі. Бөлік қосынды:

$$S_{n} = \frac{a - aq^{n}}{1 - q} = \frac{a}{1 - q} - \frac{aq^{n}}{1 - q}.$$

1) Егер $q < 1 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}q^{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \frac{a}{1 - q}$

2) Егер $q > 1 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\left q^{n} \right = \infty \Rightarrow \frac{a - aq^{n}}{1 - q} \rightarrow \pm \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$ - табылмайды.

3) Егер $q = 1$ , онда

а) $q = 1 \Rightarrow a + a + \ldots + a + \ldots \Rightarrow S_{n} = n \bullet a \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}n \bullet a = \infty$ ( $a > 0$ болса)

б) $q = - 1 \Rightarrow a - a + a - a + \ldots \Rightarrow S_{n} = 0$ , егер $n$ -жұп болса жəне $S_{n} = a$ , егер $n$ -тақ болса, $\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$ - табылмайды.

Сонымен, қатар $\mathbf{}q\mathbf{} < 1$ болғанда ғана жинақты.

Қатардың соңғы мүшелерін лақтырып тастағаннан оның жинақтылығы өзгермейді. Жинақты қатар:

$$a = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots$$

$$b = b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} + \ldots$$

үшін келесі теңдіктер орынды:

а) $ca = ca_{1} + ca_{2} + \ldots + ca_{n} + \ldots$ , $c\ -\ const$

б) $a \pm b = \left( a_{1} \pm b_{1} \right) + \left( a_{2} \pm b_{2} \right) + \ldots + \left( a_{n} \pm b_{n} \right) + \ldots$

Сөйтіп, (1. 1. 2) қатардың жинақтылығы жөнінде мәселе, бұл анықтама бойынша, (1. 1. 3) тізбектің шектелу шегі болу туралы мәселемен пара-пар. Керісінше алдын ала қандай да бір

$$x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, \ldots, \ x_{n}, \ \ldots$$

тізбегін алсақ та, оның шектеулі шегінің болатындығы мынадай қатардың жинақтылық мәселесіне келіп тіреледі:

$x_{1} + \left( x_{2} - x_{1} \right) + \left( x_{3} - x_{2} \right) + \ldots + \left( x_{n} - x_{n - 1} \right) + \ldots$ (1. 1. 4)

ал бұл қатардың дербес қосындылары сол тізбектің мүшелері болып табылады да, қатардың қосындысы мен тізбектің шегі бірдей болады.

Басқаша айтқанда, шектеусіз қатарды және оның қосындысын қарастыру дегеніміз тізбекті және оның шегін оқып үйренудің тек жаңа формасы болмақ. Осымен байланысты шектеусіз қатарлар математикалық анализдеегі және оның қолдануларындағы зерттеу ісінің маңызды құралы болып табылады.

Ең қарапайым теоремалар

Анықтама 1. 1. 3. Егер (1. 1. 2) қатардың алдыңғы m мүшесін сызып тастаса, (1. 1. 2) қатардың m-нші мүшесінен кейінгі қалдығы деп аталатын мынадай қатар шығады:

$a_{m + 1} + a_{m + 2} + \ldots + a_{m + k} + \ldots = \sum_{n = m + 1}^{\infty}a_{n}, \ \$ (1. 1. 5)

1º. Егер (1. 1. 2) қатар жинақты болса, онда оның (1. 1. 5) қалдықтарының кез келгені де жинақты болады; керісінше (1. 1. 5) қалдықтың жинақтылығынан бастапқы (1. 1. 2) қатарының жинақтылығы шығады.

m- ді белгілеп алып, (1. 1. 5) қатардың k -дербес қосындысын $S_{k}'$ деп белгілейміз:

$$S_{k}' = a_{m + 1} + a_{m + 2} + \ldots + a_{m + k}.$$

Сонда, әрине, мынадай болады:

$S_{k}' = S_{m + k} - S_{m}. \ \$ (1. 1. 6)

Егер (1. 1. 2) қатар жинақты болса, демек $S_{n} \rightarrow S$ , онда - k шектеусіз өскенде - $S_{k}'$ қосындысының шектеулі

$S' = S - S_{m}$ (1. 1. 7)

шегі болады, ал мұның өзі (1. 1. 5) қатардың жинақтылығын көрсетеді.

Керісінше, егер (1. 1. 5) қатар жинақталатын болса, демек $S_{k}' \rightarrow S'$ , онда $k = n - m$ деп алып ( $n > m$ болғанда), (1. 1. 6) теңдікті былай қайьа көшіріп жазамыз:

$$S_{n} = S_{m} + S_{n - m}';$$

бұдан n шектеусіз өскендегі дербес $S_{n}$ қосындының шегі

$S = S_{m} + S'$ (1. 1. 8)

екендігін байқауға болады, яғни (1. 1. 2) қатар жинақты.

Басқаша айтқанда, қатардың саны шектеулі бастапқы мүшелерін алып тастағаннан не оның алдыңғы жағына бірнеше жаңа мүшелерді қосып тіркеп жазғаннан оның (жинақты не жинақсыз болуы жөніндегі) сипаты өзгермейді.

(1. 1. 5) қатар жинақты болса, оның қосындысын $\alpha_{m}$ символымен белгілейміз. Мұндағы $m$ қай мүшеден кейін алғанын көрсетеді. Сонда (1. 1. 8) және (1. 1. 7) өрнектер мына түрде қайта жазылады:

$S = S_{m} + \alpha_{m}, \ \ \alpha_{m} = S - S_{m}$ . (1. 1. 9)

Егер $m$ шексіздікке дейін өссе, онда $S_{m} \rightarrow S$ және $\alpha_{m} \rightarrow 0$ . Сөйтіп:

2º. Егер (1. 1. 2) қатар жинақты болса, онда $m$ өскен сайын $m$ -мүшеден кейінгі қалдықтың қосындысы $\alpha_{m}$ нольге ұмтыла түседі.

Жинақты қатарлардың мынадай қарапайым қасиеттерін де атап өтелік:

3º. Егер жинақты (1. 1. 2) қатардың мүшелерін бір ғана $c$ санына көбейтсе, мұнан оның жинақтылығы бұзылмайды, тек қосындысы сол $c$ санына көбейтіледі.

Шынында да,

$$ca_{1} + ca_{2} + \ldots + ca_{n} + \ldots$$

қатарының дербес $\overline{S_{n}}$ қосындысы

$$\overline{S_{n}} = ca_{1} + ca_{2} + \ldots + ca_{n} = c\left( a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} \right) = cS_{n}$$

екендігі және оның шегі $cA$ болатындығы түсінікті.

4º. Жинақты екі қатарды:

$$A = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots$$

және

$$B = b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} + \ldots$$

мүшелеп қосуға не азайтуға болады. Одан шыққан

$$\left( a_{1} \pm b_{1} \right) + \left( a_{2} \pm b_{2} \right) + \ldots + \left( a_{n} \pm b_{n} \right) + \ldots$$

қатары да жинақты және оның қосындысы $A \pm B$ -ге тең болады.

Егер $A_{n}$ , $B_{n}$ және $C_{n}$ арқылы жоғарыда аталған қатарлардың дербес қосындыларын белгілесек, онда

$$C_{n} = \left( a_{1} \pm b_{1} \right) + \left( a_{2} \pm b_{2} \right) + \ldots + \left( a_{n} \pm b_{n} \right) = = \left( a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} \right) \pm \left( b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{n} \right) = A_{n} \pm B_{n}$$

екендігі түсінікті. Енді осыдан шек тапсақ,

$$\lim_{n \rightarrow \infty}C_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}A_{n} \pm \lim_{n \rightarrow \infty}B_{n}$$

шығады да, сонымен теорема дәлелденеді.

5º. Жинақты қатардың жалпы $a_{n}$ мүшесі нольге ұмтылады.

Дәлелдеу: $S_{n}$ -нің (ал онымен бірге $S_{n - 1}$ -дің де) шектеулі $S$ шегі болатындықтан,

$$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \rightarrow 0$$

болады.

Бұл айтылған қорытынды - қатардың жинақты болуының қажетті шарты деп аталады. Егер бұл шарт орындалмаса, онда қатардың жинақты болмайды. Алайда бұл жағдай қатардың жинақты болуының жеткілікті шарты еместігін ескерген жөн. Басқаша айтқанда, ол шарт орындалған жағдайда да қатар жинақсыз болуы мүмкін. Бұған төмендегі қатар мысал бола алады:

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}. }$$

... жалғасы

Математика сабақтарында пәнаралық байланыстарды арттыру

Химияны оқыту әдістерінің классификациясы

Комплекс санның модулі

Физикадан факультативтік курстар

Химияны оқыту жолдары

Мектеп математика курсындағы функциялық мазмұнды есептер

Математикадан факультативтік сабақтар өткізу әдістері

Бастауыш мектеп математикасын оқытуда көрнекілік принципін жүзеге асыру ерекшеліктері

Мектеп курсындағы тригонометриялық теңсіздіктерді оқыту әдістемесі

Бастауыш сыныпта ойынның оқыту және тәрбиелеу бірлігін жүзеге асыру

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс