Бүтін полианалитикалық функциялар

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:

ӘОЖ 517. 3

Д. Серікбаев атындағы Шығыс Қазақстан мемлекеттік техникалық университеті

«Математикалық және компьютерлік модельдеу» кафедрасы

«Полианалитикалық функциялар үшін қойылған шекаралық есептер бойынша сұрақтарды зерттеу»

6М060100 - Математика

академиялық магистр деңгейі бойынша

магистрлік ізденіс диссертациясы

Ғылыми жетекші:

ф-м. ғ. к., Рахметуллина Ж. Т.

___ 2019ж.

Кафедра меңгерушісі:

ф-м. ғ. к., Рахметуллина Ж. Т.

___ 2019ж.

нормабақылаушы:

ф-м. ғ. к., Рахметуллина Ж. Т.

___ 2019ж.

Өскемен қ, 2019

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ.

1. ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

1. 1 Бүтін полианалитикалық функциялар

1. 2 Бүтін полианалитикалық функциялардың факторлануы . . .

1. 3 Бүтін полианалитикалық функцияларға арналған пикар типіндегі теорема.

1. 4. Өзгешеленген бүтін полианалитикалық функциялар……. .

2. ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТАЛДАУ

2. 1 Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі

2. 2 Полианалитикалық функциялар үшін негізгі шекаралық есептерді қойылуы.

2. 3 Полианалитикалық функцияларға арналған есептерге жүргізілген зерттеулер.

Арнайы түрдегі шекаралық есептер. Гурс формуласы

2. 5 Сызықтық түйіндестіру есебі

2. 6 Канондық матрицалар - функциялар

2. 7 Бианалитикалық функциялардың дербес жағдайы

2. 8 Біржақты шекаралық есептер

3. ОҚШАУЛАНҒАН ЕРЕКШЕ НҮКТЕЛЕРІДІҢ ОБЫЛЫСЫНДАҒЫ ЖӘНЕ ШЕҢБЕРДЕГІ ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР

3. 1 Полианалитикалық функциялардың оқшауланған ерекшеліктері. .

3. 2 Оқшауланған ерекшелігі обылысындағы полианалитикалық функцияның факторлануы. Пикар типіндегі теоремалар…….

3. 3 Шеңбердегі полианалитикалық функциясының факторлануы. .

3. 4 $n$ -аналитикалық функциялардың квазинормал отбасы.

3. 5 Оқшауланған ерекшелік обылысында түйіндестірілген аналитикалық функциялар.

3. 6 Полимероморфты функциялар туралы. Екі жақты периодты полианалитикалық функциялар.

ҚОРЫТЫНДЫ.

КІРІСПЕ

Диссертациялық жұмыс полианалитикалық функциялар үшін қойылған шекаралық есептер бойынша сұрақтарды зерттеуге арналған.

Жұмыстың өзектілігі: өзектерді, жалпақ күрделі конструкциялар және т. б денелердіңесептеу кезінде. Ғарыштық денелер, авиациялық техникалар, құрылыс детальдарының аса күрделі конфигурация аймақтары үшін түрлі жүктемелердің әсерінен кернеулермен деформацияларды анықтау маңызды міндет болып табылады.

Полианалитикалық функциялардың қисықтық есептер мен олардың жалпыламаларына көптеген зерттеулер арналған. Оған деген қызығушылық басқа математикалық облыстармен дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің теориясы, функцияларды жуықтау теориясы, сонымен қатар, математикалық физика және механикада жан-жақты қолданулары болғанымен түсіндіріледі.

Қазіргі уақытта комплекс айнымалы полианалитикалық функциялар кластарындағы сызықтық шекаралық есептер теориясы Ресейде, Беларусь, Қытай, КХДР, Украина, Германия, Югославия шетелдерінде әртүрлі шекаралық есептер күрделі айнымалы аналитикалық функциялардың класына қарағанда жалпы функциялардың кластарында қарқынды түрде зерттелуде. Алғаш рет полианалитикалық функцияларының негізін қалаушылар Г. В. Колосовтың және Н. Н. Мусхелишвили еңбектерінде серпімділіктің математикалық теориясында сипатталғанын атап өткен жөн.

Полиналитикалық функцияларға қойылған шекаралық есептер негізгі үш топқа бөлінеді:

1) үзіліссіз есептер-облыс шекарасын қоса есептегенде, яғни, тұйық облыста ізделінді функцияның үзіліссіз болуы;

2) бөліктенген үзіліссіз есептер - облыс шекарасының ақырлы(санаулы) нүктелерінде ізделінді функцияның үзіліссіздік шартының бұзылуы;

3) үзілісті есептер-1), 2) есептерге енбейтін басқа есептер.

Қазіргі уақытта полианалитикалық функцияларға қойылған шекаралық есептерде, ізделінді функциялардың үзіліссіз мәселелері теориясы толығымен зерттелген. Алайда, 2), 3) түрдегі есептер полианалитикалық функциялар кластарындағы толық зерттелмеген шекаралық есептерін құрайды. Сондықтан, диссертациялық жұмыстағы қарастырылатын мәселе:шекаралық проблемаларды шешу әдістерін дамытудың бүгінгі күні өзекті мәселесі болып табылады.

Зерттеудің мақсаты: күрделі конфигурациясы бар облыстардағы полианалитикалық функциялар үшін шекаралық есептердің шешімдерін зерттеу.

Зерттеудің міндеттері: диссертациялық жұмыс мақсатына жету үшін келесі міндеттер қойылды:

1. Әдебиеттерге шолу жасау.

2. Тақырып тұрғысында алынған нәтижелерді талдау.

3. Дербес жағдайда қойылған есепті шешу және талдау.

Зерттеу нысаны: күрделі контурлы қимасы бар облыстардағы түскен жүктемелер.

Зерттеудің пәні: Күрделі контурлы қимасы бар облыстардағы түскен жүктемелерді сипаттайтын модельдер.

Зерттеудің жаңалығы: Зерттеу кезінде алынған шекаралық есептерді шешу барысында:

гравитациялық жазық сақина өрісінде сыртқы және ішкі материалдық нүктелердің есебін шешуде аз параметр әдісін қолдану арқылы кіші параметрді таңдаудың жаңа әдістері жетілдірілді және аналитикалық шешімдері алынды;

Жұмыстың теориялық жәнепрактикалық мағынасы : диссертациялық жұмыстың нәтижелері әртүрлі функционалдық кеңістіктердегі эллиптикалық теңдеулердің шешімдерімен функцияларды жақындатуда қолданылуы мүмкін. Зерттеу әдісі, жалпы алғанда, икемділік, электростатика, геодезия, тиістівекторлық өрістерді модельдеу мәселелерінде пайдалануға болады.

Зерттеу тәсілдері- диссертациялық жұмыс теориялық тұрғыдан зерттелген, ол үшін серпімділік механикасына негізделген зерттеу, шекаралық есептерді шешу әдістері, математикалық талдау және комплекстік талдау теориясының әдістері пайдаланылды.

Болжамы: Алдымен негізгі шекаралық есептерді және оларды полианалитикалық функциялар кластарында қорытуды қарастыру жоспарлануда, егер L контурышеңберді, нақты өсті немесе сілтілі жазықтықты білдіретін болса.

Есептің шешімі талдамалы функциялар класында Риманның (Гильберттің) скалярлы есептерінің n ретімен шешіледі. Содан кейін, негізгі есептерді және оларды еркін кесек-үзіліссіз контур жағдайында қорытуды оқып үйрену.

n-ші ретті полианалитикалық функциялар үшін есеп n -1 жүйеге жалпыланған және Риманның (Гильберттің) кесек-талдамалы функцияларынақатысты бір әдеттегі есептегі тең.

Қорғауға келесі алынған нәтижелер шығарылады:

1) сақина өрісіндегі материалдық нүкте туралы есептің аналитикалық шешімі;

2) гравитациялық жазық сақина өрісінде сыртқы және ішкі материалдық нүктелердің есебін шешудің әдісі;

3) заманауи сандық әдістермен алынған нәтижелер.

4) бастапқы шарттардың көмегімен алынған материалдық нүкте қозғалысының траекториялары.

Мақалалар: Зерттеу нәтижесі бойынша студенттер, магистранттар мен жас зерттеушілердің халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының жинағында бір мақала жарияланды (ШҚМТУ) .

Жұмыстың көлемі мен құрылымы. Жұмыстың жалпы көлемі 66 беттен тұрады, оның құрамында 6 сурет, 42 қолданылған әдебиеттер тізімі бар.

Магистрлік диссертация кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

1. 1 Бүтін полианалитикалық функциялар

Анықтама. $\overline{z} = x - iy$ және $z = x + iy$ комплекс айнымалыларына қатысты

$\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}} = 0$

теңдеуін қанағаттандыратын функция полианалитикалық функция депаталады, комплекстік түйіндес $\overline{z}$ үшін:

$\frac{\partial}{\partial\overline{z}} = \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y})$

мұндағы, $\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}} = 0$ -Коши-Риман операторы, n = 1 жағдайында $\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}} = 0$ теңдеуі Коши-Риман шартына ауысады, оның шешімдері комплекс айнымалы функциялар теориясынан аналитикалық функциялар болатыны белгілі, n = 2 үшін бианалитикалық функция.

Анықтама. Егеркомплекс жазықтықтың D облысында жататын Коши-Риманның $\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}} = 0$ жалпыланған шартын қанағаттандыратын $C^{n}(G)$ класындағы $f$ функциясы келесі түрінде келтіріледі:

$f(z) = \sum_{k = 0}^{n - 1}{e_{k}(z) \overline{z^{k}}}(e_{k} \in H(C) \ \ (k = 0, \ldots, \ n - 1)$ (1. 1)

$n$ -ші ретті бүтін полианалитикалық функциясыдеп аталады.

Барлық бүтін полианалитикалық функциялардың жиыны көбейту және бөлу операцияларына қатысты коммутативті сақина құрады. $H(C)$ сақинасыүшін трансцендентті $\overline{z}$ элементінің қосылуы нәтижесінде туындайды. $H(C) \lbrack\overline{z}\rbrack$ сақинасына барлық бүтін полианалитикалық функциялардың: қайтымды (қайтымсыз), келтірілетін (келтірілмейтін) элементтері және т. б. ұғымдары қолданылады. $H(C) \lbrack\overline{z}\rbrack$ сақинасының әрбір келтірілмейтін элементін келтірілмейтін бүтін деп атаймыз.

(1. 1) -теңдіктегі барлық z айнымалысы бүтін полианалитикалық функциясының көпмүшелігі деп аталады. $p(x, y)$ екі айнымалысының әрбір көпмүшелігі $P\left( z, \overline{z} \right), \left( z = x + iy, \ \overline{z} = x - iy \right)$ полианалитикалық функциясының көпмүшелігі ретінде көрсетіле алады және керісінше. Алайда, $p$ айнымалыларының көпмүшелігін $P\left( z, \overline{z} \right)$ полианалитикалық функцияның көпмүшелігі түрінде жазу, оның $p(x, y)$ қарапайым жазылуынан қарағанда жасырын болып қалатын кейбір қасиеттерін айқындауға мүмкіндік береді. Барлық полианалитикалық жиыны бірлігі бар сақина құрады. Константалардан өзге барлық полианалитикалық (кез-келген $n$ - ретті) арасында бір де бір нөлге тең болатын жағдай болмайды.

1. 1Теорема. Егер $\deg_{z, \overline{z}}P > 2\deg_{z}P$ немесе $\deg_{z, \overline{z}}P > 2\deg_{\overline{z}}P$ болса, онда $P\left( z, \overline{z} \right)$ кем дегенде бір комплекс түбірге ие болады.

Осы жерден: $p_{1}(x, y) = 0, p_{2}(x, y) = 0\$ (мұндағы $p_{1}$ және $p_{2}$ - көпмүшеліктер) теңдеулер жүйесініңнақты шешімі бар болуын анықтау үшін $p(x, y) = p_{1} + ip_{2}$ көмекші комплекс көпмүшелігін қарастыруға болады. Оны түйіндестірілген $z$ және $\overline{z}$ комплекс айнымалылары арқылы өрнектеу керек және 1. 1- теореманы қолдану қажет.

1. 2Теорема. $f$ функциясы $n\$ реттібүтін полианалитикалық функция болсын, $A, \ R_{0}, s$ - теріс емес константалар, $s$ - бүтін сан. Онда:

а) егер $Imf(z) \leq Az^{s}, \ z > R_{0}$ болса, онда $f$ көпмүшелігі $z, \overline{z}$ қатысты $\deg_{z, \overline{z}}P \leq \max(s, \ 2n - 2)$ ;

б) егер $Imf(z) \leq Az^{s}, \ z > R_{0}$ болса, онда $R$ және $S$ көпмүшелік болып табылады $f(z) = R\left( z, \overline{z} \right) + S\left( z, \overline{z} \right)$ , $ImR \equiv 0, \ \deg_{z}R \leq n - 1, \ \deg_{\overline{z}}R \leq n - 1, \ \deg_{z, \overline{z}}S \leq s.$

в) егер $\left f(z) \right \leq Az^{s}, \ z > R_{0}$ болса, онда $f$ көпмүшелігі $z, \overline{z}$ жұбына қатысты $s$ дәрежесінен жоғары емес.

1. 2 теоремасының шарттары келесідей анықталған $Ф(z)$ функциясы үшін орындалатынын көруге болады: $Ф(z)$ -нақты және жоғары жартылай жазықтықта оң жорамал бөлікке ие бүтін аналитикалық функция болсын. Көмекші бүтін $f(z) = - yФ(z)$ бианалититикалық функциясын қарастыруға болады. $C$ контурының ішкі нүктелерінде $Imf \leq 0$ екендігін тексеру оңай. 1. 2 теоремасының күшіне сай, $f$ функциясы - дәрежесі 2 жоғары емес көпмүшелік; салдарынан, $Ф$ - сызықты функция.

1. 2 Полианалитикалық функциялардың көпмүшелік түрінде болуының негіздемесі

Классикалық комплекс талдаудың неғұрлым оқшауланған фактілерінің бірі атақты Пикар теоремасы: бүтін тұрақты емес аналитикалық функциялардың мәндер облысы комплекс сандар жиынын құрайды. Кез-келген бүтін полианалитикалық функциялар үшін де бұл дұрыс емес. (мысал: $z*\overline{z}$ ) . $E\$ бүтін трансцендентті аналитикалық функциясы әрбір комплекс мәннің барлығын қабылдайды - біреуі үшін ғана ерекшелік құрауы мүмкін - шексіз нүктелер жиынында. Егер $E$ функциясына «жеткілікті түрде қарапайым» полианалитикалық қосылғышты қоссақ - мысалы $\overline{z}$ немесе ${z}^{2}$ қосқан жағдайда «пикарлық қасиеті» сақталып қала ма? Нәтижесінде сақталынатынына көз жеткізілді, тіптен күшейеді:

1. 3 Tеорема. $E$ - бүтін трансцендентті аналитикалық функция, ал $P$ - қандай да бір полианалитикалық функция болсын. Онда бүтін полианалитикалық функция $F = E + P$ әрбір комплекс мәнді қабылдайды, $F$ функциясының $A$ нүктелерінің кез-келген $A$ жиынында шектелмеген және $C$ -да шектелмеген шекті нүктелері жоқ.

Полианалитикалық арналған алгебраның негізгі теоремасын есепке алатын болсақ, онда бүтін полианалитикалық функциялар үшін келесі теореманың толықтырылуын ала-аламыз:

1. 4 Tеорема. Екі түрлі $a, \ b$ мүлдем қабылдай алмайтын $n$ ретті $E$ бүтін полианалитикалық функциясы $z, \overline{z}$ айнымалылары жұбына қатысты $2n - 2\$ жоғары емес дәрежелі көпмүшелігі болуға міндетті.

Пикар типіндегі теоремалар полианалитикалық функциялар үшін аналитикалық функцияларға арналған Пикар типті жаңа теоремаларды туындатады. Сондай бір теореманы келтіреміз:

1. 5 Tеорема. $f$ - бүтін аналитикалық функция болсын, ал $P_{0}(x, y), \ \ldots, \ P_{m}(x, y)$ - $x, y$ нақты айнымалыларының комплекс мәнді көпмүшеліктері, тіптен $P_{m} ≢ 0$ .

$F(z) = \sum_{k = 0}^{m}{P_{k}(x, y) \left\lbrack f(z) \right\rbrack^{k}}(z = x + iy)$

көмекші функциясы келесі теңдеулердің бірін қанағаттандырсын:

А) $F$ нүктелердің шектелген жиынында ғана екі түрлі комплекс мәнді қабылдайды;

В) $F$ нүктелердің шектелген жиынында ғана $a\$ бір мәнін қабылдайды, ал басқа $b$ мәні - оқшауланбаған;

С) $F = p$ және $F = q$ теңдеулерінің барлық түбірлерінің жиыны шекті болатындай, $p$ және $q$ , $p ≢ q$ полианалитикалық функциякөпмүшеліктері бар. Онда $f$ - көпмүшелік.

Шын мәнінде, А), В), С) шарттарының әрбірі $F$ - полианалитикалық функциякөпмүшелік екендігіне негіз береді, ендеше, $f$ - көпмүшелік екендігі айқындалады.

1. 3 Оқшауланған бүтін полианалитикалық функциялар

$a$ ерекше нүктелерінің ойылған функциялардың бүтін класында көпмүшеліктердің рөлін атқаратын функциялардың класын ерекшелеп алу қажет. $a$ - $\overline{C}$ дағы қандай да бір нүкте болсын; $U_{1}$ - оның ойылған тұйық обылысы (яғни $U_{1} = \overline{U}\backslash\text{\{}a\}$ , мұндағы $\overline{U}$ - $\overline{C}$ обылысындағы $a$ нүктесінің ойылған тұйық обылысы. $\pi(z)$ - $U_{1}$ -да голоморфты және $a$ нүктесінде мероморфты функциясы $U_{1}$ -дағы полиномоид деп аталынады; $\pi(z, \ \overline{z}) U_{1}$ -да полианалитикалық және $a$ нүктесінде мероморфты функциясы $U_{1}$ -дағы деп аталады.

1. 6 Теорема. Егер $f$ функциясы $a \in \overline{C}$ нүктесіндегі $U_{1}$ ойылған тұйық обылысында полианалитикалықболса және $a$ нүктесі $f$ функциясының нөлдер жиыны үшін шеткі нүкте ретінде қызмет етпейтін болса, онда $f$ функциясы

$f(z) = \pi\left( z, \overline{z} \right) \exp{E(z) }$

түріндегі факторлануға жол береді, мұндағы, $\pi\left( z, \overline{z} \right)$ - $U_{1}$ -дағы полианалитикалық функция полиномоид, ал $E$ функциясы $a = \infty$ болғанда $z$ айнымалысының және $a \neq \infty$ болғандағы $1/(z - a)$ айнымалысының бүтін функциясы.

Бүтін полианалитикалық функциялардың факторлау туралы теорема аналогиясы:

А) $\mathrm{\Delta} = \left\{ z:1 \leq z < + \infty \right\}$ сақинасында голоморфты және онда нөлдердің шеткі санына ие әрбір функция $\pi\exp g$ түріне келтіріледі, мұндағы $g$ - бүтін функция, ал $\pi$ - $\mathrm{\Delta}$ -де полиномоид;

В) $\mathrm{\Delta}$ -де полиномоид $z^{m}P(z) \varphi(\frac{1}{z})$ түріне келтіріледі, мұндағы $m$ - бүтін сан, $P$ - көпмүшелік, $\varphi(t)$ - $t \leq 1$ шеңберіндегі голоморфты функция.

Факторлауға арналған ұқсас мүмкіндік $a\$ оқшауланған ерекшелігінің қандай да бір ойылғанобылысының полианалитикалық функциясы белгілі бір мағынада келтірілмейтін болса туындайды, тіптен $a$ нүктесі оқшауланбаған нөлдер үшін шекті нүкте қызметін атқарады. $U_{0}$ - $a$ нүктесінің ойылғанобылысы; $f$ - $U_{0}$ обылысындағы полианалитикалық функция болсын. Бұл функция $U_{0}$ обылысында келтірілген деп аталады, егер екі функцияның қосындысы түрінде келтіріле алатын жағдайда ғана. Қандай да бір $U_{0}$ обылысында $a\$ нүктесінің келтірілмеуі «кіші» аймақта оның келтірілмеуіне алып келмейді.

1. 7 Теорема. 1) $f$ - $K = \{ z:R < z < + \infty\}$ сақинасында полианалитикалық функция болып табылсын жәнеәрбір $R' > R$ үшін $K' = \{ z:R' < z < + \infty\}$ сақинасында келтірілмесін; 2) $f$ функциясының $K$ -дағы барлық оқшауланбаған нүктелерінің жиыны шектелмеген. Онда $f$ функциясы $\pi\exp g$ түріне келтіріледі, мұндағы $g$ - бүтін аналитикалық функция, ал $\pi$ - $К$ -дағы полиномоид.

Дәлелдеу нөлдік гармоникалық өлшемді идеал шекарасы бар ашық риман бетінің қасиеттеріне сүйенеді. Бианалитикалық функциялар жағдайында Карлеман-Мийю гармоникалық функциясын бағалау туралы теоремасына сүйенетін неғұрлым қарапайым дәлелдеуі мүмкін. 1. 6 және 1. 7 теоремаларынан кейбір салдарды келтірейік.

Салдар. 1) $f$ функциясы $a\$ нүктесінің $U_{0}$ ойылғанобылысындағы полианалитикалық функция болсын, тіптен $a$ нүктесі $f$ функциясы үшін оқшауланған ерекше нүктесі; 2) $f$ функциясының оқшауланбаған нөлдерінің жиындары үшін шекті болып табылады. Онда $f$ функциясы $a$ нүктесінің қандай да бір $U_{0}$ ойылғанобылысындағы $J$ және $V$ екі полианалитикалық функцияларының көбейтіндісі ретінде келтіріле алады. Олардың бірі $a$ нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болуы мүмкін, алайда тек оқшауланған нөлдерге ғана ие болуы мүмкін, ал екіншісі тек оқшауланған нөлдерге ие болып $a$ нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие бола алмайды.

Квазинормаль отбасылардың Монтель әдісінің көмегімен оқшауланған ерекше нүктеге ие бүтін полианалитикалық функцияларға Пикар теоремасы көшетіндігін дәлел бола алады. 1. 7 және 1. 6 теоремалары күшейтілген нұсқадағы «Пикардың үлкен теоремасын» алуға мүмкіндік береді.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.