Бүтін полианалитикалық функциялар
ӘОЖ 517.3
Д.Серікбаев атындағы Шығыс Қазақстан мемлекеттік техникалық университеті
Математикалық және компьютерлік модельдеу кафедрасы
Полианалитикалық функциялар үшін қойылған шекаралық есептер бойынша сұрақтарды зерттеу
6М060100 - Математика
академиялық магистр деңгейі бойынша
магистрлік ізденіс диссертациясы
Ғылыми жетекші:
ф-м. ғ.к., Рахметуллина Ж.Т.
___ ___________ 2019ж.
Кафедра меңгерушісі:
ф-м. ғ.к., Рахметуллина Ж.Т.
___ ___________ 2019ж.
нормабақылаушы:
ф-м. ғ.к., Рахметуллина Ж.Т.
___ ___________ 2019ж.
Өскемен қ, 2019
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1. ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
1.1 Бүтін полианалитикалық функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ..
1.2 Бүтін полианалитикалық функциялардың факторлануы ... ... ... ...
1.3 Бүтін полианалитикалық функцияларға арналған пикар типіндегі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.4. Өзгешеленген бүтін полианалитикалық функциялар ... ...
2. ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТАЛДАУ
2.1 Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі
2.2 Полианалитикалық функциялар үшін негізгі шекаралық есептерді қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Полианалитикалық функцияларға арналған есептерге жүргізілген зерттеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
0.4 Арнайы түрдегі шекаралық есептер.Гурс формуласы ... ... ... ... ..
2.5 Сызықтық түйіндестіру есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..
2.6 Канондық матрицалар - функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ...
2.7 Бианалитикалық функциялардың дербес жағдайы ... ... ... ... ... .
2.8 Біржақты шекаралық есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3. ОҚШАУЛАНҒАН ЕРЕКШЕ НҮКТЕЛЕРІДІҢ ОБЫЛЫСЫНДАҒЫ ЖӘНЕ ШЕҢБЕРДЕГІ ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
3.1 Полианалитикалық функциялардың оқшауланған ерекшеліктері. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Оқшауланған ерекшелігі обылысындағы полианалитикалық функцияның факторлануы. Пикар типіндегі теоремалар ... ...
3.3 Шеңбердегі полианалитикалық функциясының факторлануы. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.4 n-аналитикалық функциялардың квазинормал отбасы. ... ... ... ...
3.5 Оқшауланған ерекшелік обылысында түйіндестірілген аналитикалық функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
3.6 Полимероморфты функциялар туралы. Екі жақты периодты полианалитикалық функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Диссертациялық жұмыс полианалитикалық функциялар үшін қойылған шекаралық есептер бойынша сұрақтарды зерттеуге арналған.
Жұмыстың өзектілігі: өзектерді, жалпақ күрделі конструкциялар және т.б денелердіңесептеу кезінде. Ғарыштық денелер, авиациялық техникалар, құрылыс детальдарының аса күрделі конфигурация аймақтары үшін түрлі жүктемелердің әсерінен кернеулермен деформацияларды анықтау маңызды міндет болып табылады.
Полианалитикалық функциялардың қисықтық есептер мен олардың жалпыламаларына көптеген зерттеулер арналған. Оған деген қызығушылық басқа математикалық облыстармен дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің теориясы, функцияларды жуықтау теориясы, сонымен қатар, математикалық физика және механикада жан-жақты қолданулары болғанымен түсіндіріледі.
Қазіргі уақытта комплекс айнымалы полианалитикалық функциялар кластарындағы сызықтық шекаралық есептер теориясы Ресейде, Беларусь, Қытай, КХДР, Украина, Германия, Югославия шетелдерінде әртүрлі шекаралық есептер күрделі айнымалы аналитикалық функциялардың класына қарағанда жалпы функциялардың кластарында қарқынды түрде зерттелуде. Алғаш рет полианалитикалық функцияларының негізін қалаушылар Г.В.Колосовтың және Н.Н.Мусхелишвили еңбектерінде серпімділіктің математикалық теориясында сипатталғанын атап өткен жөн.
Полиналитикалық функцияларға қойылған шекаралық есептер негізгі үш топқа бөлінеді:
1) үзіліссіз есептер - облыс шекарасын қоса есептегенде, яғни, тұйық облыста ізделінді функцияның үзіліссіз болуы;
2) бөліктенген үзіліссіз есептер - облыс шекарасының ақырлы(санаулы) нүктелерінде ізделінді функцияның үзіліссіздік шартының бұзылуы;
3) үзілісті есептер - 1), 2) есептерге енбейтін басқа есептер.
Қазіргі уақытта полианалитикалық функцияларға қойылған шекаралық есептерде, ізделінді функциялардың үзіліссіз мәселелері теориясы толығымен зерттелген. Алайда,2), 3) түрдегі есептер полианалитикалық функциялар кластарындағы толық зерттелмеген шекаралық есептерін құрайды. Сондықтан,диссертациялық жұмыстағы қарастырылатын мәселе:шекаралық проблемаларды шешу әдістерін дамытудың бүгінгі күні өзекті мәселесі болып табылады.
Зерттеудің мақсаты:күрделі конфигурациясы бар облыстардағы полианалитикалық функциялар үшін шекаралық есептердің шешімдерін зерттеу.
Зерттеудің міндеттері:диссертациялық жұмыс мақсатына жету үшін келесі міндеттер қойылды:
1. Әдебиеттерге шолу жасау.
2. Тақырып тұрғысында алынған нәтижелерді талдау.
3. Дербес жағдайда қойылған есепті шешу және талдау.
Зерттеу нысаны:күрделі контурлы қимасы бар облыстардағы түскен жүктемелер.
Зерттеудің пәні: Күрделі контурлы қимасы бар облыстардағы түскен жүктемелерді сипаттайтын модельдер.
Зерттеудің жаңалығы: Зерттеу кезінде алынған шекаралық есептерді шешу барысында:
гравитациялық жазық сақина өрісінде сыртқы және ішкі материалдық нүктелердің есебін шешуде аз параметр әдісін қолдану арқылы кіші параметрді таңдаудың жаңа әдістері жетілдірілді және аналитикалық шешімдері алынды;
Жұмыстың теориялық жәнепрактикалық мағынасы: диссертациялық жұмыстың нәтижелері әртүрлі функционалдық кеңістіктердегі эллиптикалық теңдеулердің шешімдерімен функцияларды жақындатуда қолданылуы мүмкін. Зерттеу әдісі, жалпы алғанда, икемділік, электростатика, геодезия, геологиятеорияларынданәтижелерді тиістівекторлық өрістерді модельдеу мәселелерінде пайдалануға болады.
Зерттеу тәсілдері - диссертациялық жұмыс теориялық тұрғыдан зерттелген, ол үшін серпімділік механикасына негізделген зерттеу, шекаралық есептерді шешу әдістері, математикалық талдау және комплекстік талдау теориясының әдістері пайдаланылды.
Болжамы: Алдымен негізгі шекаралық есептерді және оларды полианалитикалық функциялар кластарында қорытуды қарастыру жоспарлануда, егер L контурышеңберді, нақты өсті немесе сілтілі жазықтықты білдіретін болса.
Есептің шешімі талдамалы функциялар класында Риманның (Гильберттің) скалярлы есептерінің n ретімен шешіледі. Содан кейін, негізгі есептерді және оларды еркін кесек-үзіліссіз контур жағдайында қорытуды оқып үйрену.
n-ші ретті полианалитикалық функциялар үшін есеп n -1 жүйеге жалпыланған және Риманның (Гильберттің) кесек-талдамалы функцияларынақатысты бір әдеттегі есептегі тең.
Қорғауға келесі алынған нәтижелер шығарылады:
1) сақина өрісіндегі материалдық нүкте туралы есептің аналитикалық шешімі;
2) гравитациялық жазық сақина өрісінде сыртқы және ішкі материалдық нүктелердің есебін шешудің әдісі;
3) заманауи сандық әдістермен алынған нәтижелер.
4)бастапқы шарттардың көмегімен алынған материалдық нүкте қозғалысының траекториялары.
Мақалалар: Зерттеу нәтижесі бойынша студенттер, магистранттар мен жас зерттеушілердің халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының жинағында бір мақала жарияланды (ШҚМТУ).
Жұмыстың көлемі мен құрылымы. Жұмыстың жалпы көлемі 66 беттен тұрады, оның құрамында 6 сурет, 42 қолданылған әдебиеттер тізімі бар.
Магистрлік диссертация кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
1.1 Бүтін полианалитикалық функциялар
Анықтама. z=x-iyжәне z=x+iyкомплекс айнымалыларына қатысты
dnfdzn=0
теңдеуін қанағаттандыратын функция полианалитикалық функция депаталады, комплекстік түйіндес z үшін:
ddz=12(ddx+iddy)
мұндағы,dnfdzn=0-Коши-Риман операторы, n = 1 жағдайында dnfdzn=0теңдеуі Коши-Риман шартына ауысады, оның шешімдері комплекс айнымалы функциялар теориясынан аналитикалық функциялар болатыны белгілі, n = 2 үшін бианалитикалық функция.
Анықтама. Егеркомплекс жазықтықтың Dоблысында жататын Коши-Риманның dnfdzn=0 жалпыланған шартын қанағаттандыратынCn(G) класындағы fфункциясы келесі түрінде келтіріледі:
fz=k=0n-1ekzzk(ek∈HC (k=0,..., n-1) (1.1)
n-ші ретті бүтін полианалитикалық функциясыдеп аталады.
Барлық бүтін полианалитикалық функциялардың жиыны көбейту және бөлу операцияларына қатысты коммутативті сақина құрады.HC сақинасыүшін трансцендентті zэлементінің қосылуы нәтижесінде туындайды. HC[z] сақинасына барлық бүтін полианалитикалық функциялардың: қайтымды (қайтымсыз), келтірілетін (келтірілмейтін) элементтері және т.б. ұғымдары қолданылады. HC[z] сақинасының әрбір келтірілмейтін элементін келтірілмейтін бүтін полианалитикалықфункция деп атаймыз.
(1.1)-теңдіктегі барлық z айнымалысы бүтін полианалитикалық функциясының көпмүшелігі деп аталады.p(x,y) екі айнымалысының әрбір көпмүшелігі Pz,z,z=x+iy, z=x-iyполианалитикалық функциясының көпмүшелігі ретінде көрсетіле алады және керісінше. Алайда, p айнымалыларының көпмүшелігін Pz,zполианалитикалық функцияның көпмүшелігі түрінде жазу, оның p(x,y) қарапайым жазылуынан қарағанда жасырын болып қалатын кейбір қасиеттерін айқындауға мүмкіндік береді. Барлық полианалитикалық функцияныңкөпмүшеліктерінің жиыны бірлігі бар сақина құрады. Константалардан өзге барлық полианалитикалық функциялардыңкөпмүшеліктірінің (кез-келген n - ретті) арасында бір де бір нөлге тең болатын жағдай болмайды.
1.1Теорема. Егер degz,zP2degzPнемесе degz,zP2degzP болса, онда Pz,z кем дегенде бір комплекс түбірге ие болады.
Осы жерден: p1x,y=0,p2x,y=0 (мұндағыp1 және p2 - көпмүшеліктер) теңдеулер жүйесініңнақты шешімі бар болуын анықтау үшін px,y=p1+ip2көмекші комплекс көпмүшелігін қарастыруға болады. Оны түйіндестірілген zжәнеz комплекс айнымалылары арқылы өрнектеу керек және 1.1- теореманы қолдану қажет.
1.2Теорема.fфункциясы n реттібүтін полианалитикалық функция болсын,A, R0,s - теріс емес константалар,s - бүтін сан. Онда:
а) егер Imfz=Azs, zR0болса, онда f көпмүшелігі z,z қатысты degz,zP=maxs, 2n-2;
б) егер Imfz=Azs, zR0 болса, ондаRжәне S көпмүшелік болып табыладыfz=Rz,z+Sz,z, ImR≡0, degzR=n-1, degzR=n-1, degz,zS=s.
в) егер fz=Azs, zR0болса,ондаf көпмүшелігі z,z жұбына қатысты s дәрежесінен жоғары емес.
1.2 теоремасының шарттары келесідей анықталған Ф(z) функциясы үшін орындалатынын көруге болады:Ф(z)-нақты және жоғары жартылай жазықтықта оң жорамал бөлікке ие бүтін аналитикалық функция болсын. Көмекші бүтін fz=-yФ(z) бианалититикалық функциясын қарастыруға болады.C контурының ішкі нүктелеріндеImf=0екендігін тексеру оңай. 1.2 теоремасының күшіне сай, fфункциясы - дәрежесі 2 жоғары емес көпмүшелік; салдарынан, Ф - сызықты функция.
1.2 Полианалитикалық функциялардың көпмүшелік түрінде болуының негіздемесі
Классикалық комплекс талдаудың неғұрлым оқшауланған фактілерінің бірі атақты Пикар теоремасы: бүтін тұрақты емес аналитикалық функциялардың мәндер облысы комплекс сандар жиынын құрайды. Кез-келген бүтін полианалитикалық функциялар үшін де бұл дұрыс емес. (мысал: z*z). E бүтін трансцендентті аналитикалық функциясы әрбір комплекс мәннің барлығын қабылдайды - біреуі үшін ғана ерекшелік құрауы мүмкін - шексіз нүктелер жиынында. Егер E функциясына жеткілікті түрде қарапайым полианалитикалық қосылғышты қоссақ - мысалы z немесе z2 қосқан жағдайда пикарлық қасиеті сақталып қала ма? Нәтижесінде сақталынатынына көз жеткізілді, тіптен күшейеді:
1.3 Tеорема. E - бүтін трансцендентті аналитикалық функция, ал P - қандай да бір полианалитикалық функция болсын. Онда бүтін полианалитикалық функцияF=E+Pәрбір комплекс мәнді қабылдайды,Fфункциясының Aнүктелерінің кез-келген Aжиынында шектелмеген және C-да шектелмеген шекті нүктелері жоқ.
Полианалитикалық функциякөпмүшеліктерге арналған алгебраның негізгі теоремасын есепке алатын болсақ, онда бүтін полианалитикалық функциялар үшін келесі теореманың толықтырылуын ала-аламыз:
1.4 Tеорема. Екі түрлі a, b мүлдем қабылдай алмайтын nретті Eбүтін полианалитикалық функциясы z,z айнымалылары жұбына қатысты 2n-2 жоғары емес дәрежелі көпмүшелігі болуға міндетті.
Пикар типіндегі теоремалар полианалитикалық функциялар үшін аналитикалық функцияларға арналған Пикар типті жаңа теоремаларды туындатады. Сондай бір теореманы келтіреміз:
1.5 Tеорема. f - бүтін аналитикалық функция болсын, алP0x,y, ..., Pmx,y- x,yнақты айнымалыларының комплекс мәнді көпмүшеліктері, тіптен Pm≢0.
Fz=k=0mPkx,yfzk(z=x+iy)
көмекші функциясы келесі теңдеулердің бірін қанағаттандырсын:
А) F нүктелердің шектелген жиынында ғана екі түрлі комплекс мәнді қабылдайды;
В) F нүктелердің шектелген жиынында ғана a бір мәнін қабылдайды, ал басқа bмәні - оқшауланбаған;
С) F=pжәне F=q теңдеулерінің барлық түбірлерінің жиыны шекті болатындай, p жәнеq, p≢qполианалитикалық функциякөпмүшеліктері бар. Онда f - көпмүшелік.
Шын мәнінде, А), В), С) шарттарының әрбірі F - полианалитикалық функциякөпмүшелік екендігіне негіз береді, ендеше, f - көпмүшелік екендігі айқындалады.
1.3 Оқшауланған бүтін полианалитикалық функциялар
a ерекше нүктелерінің ойылған маңайындаполианалитикалық функциялардың бүтін класында көпмүшеліктердің рөлін атқаратын функциялардың класын ерекшелеп алу қажет. a - Cдағы қандай да бір нүкте болсын; U1 - оның ойылған тұйық обылысы (яғни U1=U\{a}, мұндағыU - Cобылысындағы a нүктесінің ойылған тұйық обылысы. PI(z)- U1 - да голоморфты және a нүктесінде мероморфты функциясы U1 - дағы полиномоид деп аталынады; PI(z, z)U1 - да полианалитикалық және a нүктесінде мероморфты функциясы U1 - дағы полианалитикалықполиномоид деп аталады.
1.6 Теорема. Егер f функциясы a∈C нүктесіндегіU1ойылған тұйық обылысында полианалитикалықболса және a нүктесі f функциясының нөлдер жиыны үшін шеткі нүкте ретінде қызмет етпейтін болса, онда f функциясы
fz=PIz,zexpEz
түріндегі факторлануға жол береді, мұндағы,PIz,z- U1 - дағы полианалитикалық функция полиномоид, ал Eфункциясыa=infinity болғанда z айнымалысының және a!=infinity болғандағы 1(z-a)айнымалысының бүтін функциясы.
Бүтін полианалитикалық функциялардың факторлау туралы теорема аналогиясы:
А) ∆=z:1=z+infinityсақинасында голоморфты және онда нөлдердің шеткі санына ие әрбір функция PIexpgтүріне келтіріледі, мұндағыg - бүтін функция, ал PI - ∆-де полиномоид;
В) ∆-де полиномоид zmP(z)φ(1z)түріне келтіріледі, мұндағыm - бүтін сан, P - көпмүшелік, φ(t) - t=1шеңберіндегі голоморфты функция.
Факторлауға арналған ұқсас мүмкіндік a оқшауланған ерекшелігінің қандай да бір ойылғанобылысының полианалитикалық функциясы белгілі бір мағынада келтірілмейтін болса туындайды, тіптен a нүктесі оқшауланбаған нөлдер үшін шекті нүкте қызметін атқарады. U0 - aнүктесінің ойылғанобылысы; f - U0обылысындағы полианалитикалық функция болсын. Бұл функция U0обылысында келтірілген деп аталады, егер екі функцияның қосындысы түрінде келтіріле алатын жағдайда ғана. Қандай да бір U0обылысында a нүктесінің келтірілмеуі кіші аймақта оның келтірілмеуіне алып келмейді.
1.7 Теорема. 1) f - K={z:Rz+infinity}сақинасында полианалитикалық функция болып табылсын жәнеәрбір R'R үшін K'={z:R'z+infinity} сақинасында келтірілмесін; 2) f функциясының K-дағы барлық оқшауланбаған нүктелерінің жиыны шектелмеген. Онда f функциясы PIexpgтүріне келтіріледі,мұндағыg - бүтін аналитикалық функция, ал PI - К-дағы полиномоид.
Дәлелдеу нөлдік гармоникалық өлшемді идеал шекарасы бар ашық риман бетінің қасиеттеріне сүйенеді. Бианалитикалық функциялар жағдайында Карлеман-Мийю гармоникалық функциясын бағалау туралы теоремасына сүйенетін неғұрлым қарапайым дәлелдеуі мүмкін. 1.6 және 1.7 теоремаларынан кейбір салдарды келтірейік.
Салдар. 1) fфункциясыa нүктесінің U0ойылғанобылысындағы полианалитикалық функция болсын, тіптен a нүктесіfфункциясы үшін оқшауланған ерекше нүктесі; 2) f функциясының оқшауланбаған нөлдерінің жиындары үшін шекті болып табылады. Онда f функциясы aнүктесінің қандай да бір U0ойылғанобылысындағы JжәнеV екі полианалитикалық функцияларының көбейтіндісі ретінде келтіріле алады. Олардың бірі a нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болуы мүмкін, алайда тек оқшауланған нөлдерге ғана ие болуы мүмкін, ал екіншісі тек оқшауланған нөлдерге ие болып a нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие бола алмайды.
Квазинормаль отбасылардың Монтель әдісінің көмегімен оқшауланған ерекше нүктеге ие бүтін полианалитикалық функцияларға Пикар теоремасы көшетіндігін дәлел бола алады. 1.7 және 1.6 теоремалары күшейтілген нұсқадағы Пикардың үлкен теоремасын алуға мүмкіндік береді.
Салдар. 1) a∈C - fполианалитикалық функциясының оқшауланған ерекше нүктесі; 2)fz=A(z) теңдеуі түбірлерініңM(f;A;U0) жиыны үшін a нүктесі шекті емес болатындай,aнүктесінің U0қандай да бір ойылған маңайындаполиномоид болып табылатын Aфункциясы бар болсын,онда кез-келген Bбасқа полианалитикалық функцияполиномоидты таңдау кезінде U0'-де шексізfz=B(z)теңдеуі түбірлерініңM(f;A;U0') жиыны тек оқшауланған нүктелерден тұратын және a нүктесі жалғыз шекті нүктесі болатындай a нүктесінің U0'ойылған обылысы табылады.
Бүтін полианалитикалық функция үшін белгілі басқа ұсыныстардың қатары оқшауланған ерекшелікке ие полианалитикалық функциялар жағдайында өзінің табиғи аналогтарына ие болады.
Pz,w=k,v=0n-1ck,vwkzvтүріндегі көпмүшелікті эрмиттік көпмүшелік деп аталады, оның коэффициенттері cv,k=cv,kшартын қанағаттандырады. Pz,zполианалитикалық функциялар көпмүшелігі, мұндағыPz,w- эрмиттік көпмүшелік, эрмиттік полианалитикалық функциякөпмүшелік деп те атауға болады. Керісінше, қандай да бір D⊂Cобылысын нақты өске бейнелейтін әрбір fбүтін полианалитикалық функциясы үшін fz≡P(z,z)болатындай Pz,w- эрмиттік көпмүшелігі бар.
1.8 Tеорема. f бүтін полианалитикалық функциясы жазықтықтың өзгешеленген бейнелеуін тек келесі түрде ғана өрнектей алса:
fz=M(hz,z)
мұндағы,M - қандай да бір көпмүшелік, ал h - эрмиттік полианалитикалық функция көпмүшелік.
Дәлелдеу бүтін полианалитикалық функциялар және екі алгебралық белгілі фактілер үшін Пикар теоремасынан шығады.
1. Егерu=Px,y, v=Qx,y (x,y,u,v - нақты айнымалылары) полиномиалды бейнелеуінің J(x,y)якобияны нөлге тепе-тең болса, онда екі көпмүшелік алгебралық бір-біріне тәуелді: R(Px,y, Qx,y)≡0болатындай R(u, v)үшінші көпмүшелігі бар.
2. Егер екі нақты мәнді Px,y және Qx,y көпмүшелігі алгебралық тәуелді болатын болса, онда сондай нақты мәнді pt, q(t)және Hx,yкөпмүшеліктері бар. 1.8 теоремасынан әрбір өзгешеленген бүтін полианалитикалық функцияC жазықтығын полиномиалды қисыққа бейнелейтіндігі шығады (яғни, z=λt-infinityt+infinity теңдеуі бар сызыққа, мұндағыλ - комплекс коэффициенттері бар көпмүшелік.
Енді кейбір мәндерді оқшауланбай қабылдайтын бүтін полианалитикалық функцияларға келіп тоқталайық. Берілгенn - ретті бүтін полианалитикалық функциялар арасынан n-1 түрлі мәндерін оқшаулы емес қабылдайтын трансцендентті полианалитикалық функцияларды нұсқауға болады. Мысалы, келесі функция:
cosz k=1n-1z+z-2k+z2
(k=1,2,..., n-болғанда ол Re z=k тік сызықтың әрбір нүктесінде k2мәнін оқшауланбай қабылдайды). Оқшауланбайтын n (немесе одан көп) түрлі мәндерді қабылдайтын бүтін полианалитикалық функциялардың спецификалық ерекшеліктерін сипаттайтын теорема.
1.9 Tеорема. Оқшауланбайтын n түрлі мәндерді қабылдайтын әрбір бүтін n аналитикалық функция полианалитикалық көпмүшелігі болып табылады.
Егер кез-келген полиномиалды бейнелеудің Якобияны ретінде қандай да бір полианалитикалық функция қызмет ететіндігін есепке ала отыра, шексіз көп оқшауланбаған түрлі мәндерді қабылдаушы кез-келген полианалитикалық функция өзгешеленген болып табылатындығын айқындау қиын емес. Бұл тұжырым нақты күшейтілуіне жол береді.
1.10 Tеорема.Оқшауланбайтын n түрлі мәндерді қабылдайтын fфункциясыn ретті бүтін полианалитикалық функциясы өзгешеленген болып табылады.
Осы сөйлемді дәлелдеуде оқшауланған қиындықтар туындайды. Бұл жерде n=3арналған дәлелдеуді келтіреміз. Келесі, оңай тексерілетін фактіні қолданамыз.
Ескерту 1. 1) P және Q - екі эрмиттік көпмүшелік; 2)wбойыншаP дәл дәрежесі оң; 3) Ф және Ψ - көпмүшеліктер, тіптен Ψ,w-ға тәуелді емес. Онда PФ+QΨ≡1тепе-теңдігі дұрыс болса, онда Ψ - нақты константа және Ф - эрмиттік көпмүшелік.
1.10 Tеореманы n=3 болғанын дәлелдейік. f - z жәнеzшығатын көпмүшелік. F - F(z,z)≡f(z)орындалатындай екі тәуелсіз айнымалының көпмүшелігі. 2.7 теоремасының шарты мен күшіне сай Pk эрмиттік көпмүшеліктері жәнеФk көпмүшеліктері F=PkФk+Ak болатын Ak (k=0,1,2)үш константасы бар. Екі жағдай орындалуы мүмкін:
1.k=0,1,2 болғанда degwPk=1.
2. қандай да бір kнөмірі үшін degwPk=2. Онда Ф0w-ға тәуелді емес. Онда: P1Ф1-P0Ф0=A0-A1=A=const!=0. Жоғарыда келтірілгендей түйіндейміз: Ф0A - нақты константа. Сол себепті f=AλP0+A0 - ол өзгешеленген функция.
1.4 Оқшауланған бүтін полианалитикалық функциялардың қасиеттерін талдау
F(z) функциясы z0 нүктеcінде аналитикалық болсын. z нүктесі n ретті F(z) функциясының нөлі деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:
fz0=0, f'z0=0,...,f(n-1)z0=0, f(n)z0!=0
Егер n=1 болғанда, z0нүктесі жай нөл деп аталады.
z0 нүктесі сонда ғана F(z) функциясының n -ші ретінің нөлі болып табылады, z0 нүктесінде аналитикалық, кейбір бөлігінде бұл нүктеде fz=(z-z0)nφz теңдігі орын алған кезде ɸ(z) функциясы z0нүктесінде аналитикалық болады.
Есеп. fz=z8z-sinzфункциясының үшін z0=0 оқшауланған ерекше нүктесіндегі ретін анықтау керек.
sin z функциясын z0=0 нүктесінің айналасындаТейлор қатарынажіктеу арқылыкелесі теңдеуді аламыз:
fz=z8z-sinz=z8z-z-z33!+z55!-...=z8z 33!-z55!+...=z5113!-z25!+...
φz=113!+z35!+...қоямыз
Сонда fz=z5φ(z), мұндаφ(z)-функция, z0=0 нүктесінде φ0=6!=0аналитикалық функция болады. Демек z0=0 нүктесі бұл функция үшін бесінші ретте нөлі болады.
Егер осы нүктесінен басқа f(z) барлық жерде талданатын z=z0 нүктеcі бар болса,z0 нүктесі f(z) функциясының оқшауланған ерекше нүктесі деп аталады,
Егер f(z) функциясының соңғы шегі z0 нүктесінде болса, z0нүктесіf(z) функциясының ерекше нүктесі деп аталады,
Есеп. fz=ez-1z.
Шешуі:f(z) функциясының z0=0 болатын ерекше нүктесі бар.
limz--0fz=limz--0ez-1z=1
демек, z0=0 нүктесі ерекшеленген нүкте бар.
z0 нүктесі limz--z0fz=infinity болса, онда f(z) функциясы полюсті деп аталады.
z0 нүктесі f(z) функциясының полюсі болуы үшін, бұл нүкте φz=1f(z) функциясына нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.
z0 нүктесін f(z) функциясының n(n=1) полюсі деп атайды, егер бұл нүктеφz=1f(z) функциясы үшін n ретті нөлі болса.
n=1болған кезде полюс жай деп аталады.
Есеп.fz=1z3функциясының үшін z0=0 оқшауланған ерекше нүктесіндегі ретін анықтау керек.
z0=0 -оқшауланған ерекше нүктесі. z=ρeiφдеп алса, ондаfz=ei3φρ3болады. Әрине, f(z)=1ρ3 функциясы f(z)кез келген заң бойынша z--0 кезінде шексізөседі.limz--0fz=infinity т.б z0=0 нүктесінде бұл функцияның полюсі бар. φz=z3функциясы үшін z0=0 нүктесінде үшінші ретті нөлі бар, яғни z0=0 нүктесіfz=1z3 үшін үшінші ретті полюсы болып табылады.
z0 нүктесінде f(z) функциясының n ретті полюсі болуы үшін, f(z) функциясын fz=φ(z)(z-z0)n түрінде елестету қажет және жеткілікті, мұнда φz функциясы z0және φz0!=0нүктеде талданады.
Есеп.fz=sinzz3+z2-z-1функциясының үшін z0=0 оқшауланған ерекше нүктесіндегі ретін анықтау керек.
F(z) функциясында екі ерекше нүкте бар z=1және z=-1.z=-1 болғанда:
fz=sinzz-1(z+1)2
мұндағы
φz=sinzz-1
z=-1 нүктесінің маңайында талдаймыз, содан φ-1=sin12!=0.
Демек, z=-1нүктесінде осы функцияның екі мәрте полюсі бар. f(z)функциясынкелесідей жазамыз:
fz=sinz(z+1)2z-1
z=-1 нүктесінде осы функцияның қарапайым полюсі бар.
z0нүктесіf(z) функциясының айқын ерекше нүктесі болады, егер z0нүктесіf(z) функциясының ақырғы шегі болмаса, шексіз емес болса.
1.5 Шеңбердегі полианалитикалық функциясының факторлануы
Барлығынан бұрын, D бірлік полианалитикалық обылысындағы функциялар арасында келесі қасиетке ие болатындарын ерекшелейік: Dобылысындаfфункциясының барлық нөлдерінің E(f)жиыны тұстас D-ға жатады (яғни E(f)⊂D). Бұл функциялар класын нөлдердің шектелген жиынына ие бүтін полианалитикалық функциялар класының аналогы ретінде қарастыруға болады. Әрбір осындай функция D-дағы нөлдердің голоморфты полианалитикалық функциясының zжәне z көпмүшелігінің қосындысы ретінде көрсету мүмкін деген болжам қате болып табылады. Оған мысал ретінде 1-ez+zбианалитикалық функциясы қызмет ете алады: ол D-да жалғыз нөлге ие, алайда оны G(z)(pz+zp1z)(мұндағы G - D-дағы нөлдерсіз голоморфты функция, ал p және p1 - көпмүшеліктер) түрінде келтіру қарама-қайшылыққа алып келеді.
Dшеңберінде өсімі dDобылысының шекарасына жақындағанда infinity нүктесіне жақындағандағы көпмүшеліктің өсіміне ұқсайтын голоморфты функциялардың класы. Pкөпмүшеліктері аналитикалық функциялар арасында - өсім мағынасында ерекшеленетіндігі мәлім. Ол Р. НеванлинTr, Pсипаттамасы үшін келесі қатынасты орындайды: Tr, P=OIn r, r--infinity.Бірлік обылысында голоморфты сақинасында PI функциясының шекаралық обылысы жақындағанда ұқсас қасиетке ие болатын П(D)ішкі сақинасын ерекшелейік:
Tr,PI=OInII-r, r--1.
Ондай функцияларды Dобылысында полиномоидтар деп атаймыз;ал PI0z+PI1zz+...+PIn-1zzn-1түріндегі полианалитикалық функцияларды D обылысындада полиномоидтар деп аталады, мұндағыn - натурал сан, ал PI0, ...,PIn-1 - D - да полиномоидтар. Келесі теорема дұрыс:
1.11 Теорема. Егер φz=k=0n-1φkzzkD бірлік обылысындаполианалитикалық функция болып табылатын болса және оның барлық нөлдерінің жиыны тұстас Dобылысындажататын болса, онда
φz=G(z)PI(z,z)
мұндағыPI,Dобылысындажататын полиномоид, ал Gфункция Dобылысында жататын нөлдерсіз аналитикалық функция.
Дәлелдеу Dобылысында жататын Ω={φ0,φ1, ..., φn-1}голоморфты қисығын және оның сипаттамаларын қарастыруға сүйенеді:
Tr, Ω=12PI02PIIn Ωreiθdθ,Ωz=k=0n-1φk(z).
Ол негізінен бүтін полианалитикалық функциялардың факторлануы труалы теореманың дәлелдеуі сияқты ретте іске асады. Онымен қатар келесі қатынастың дұрысеттілігі орнатылады:
limr--infinity[T(r,Ω)In11-r ]=n-1.
Модуляр функцияға арналған Р. Наванлинмен алынған асимтотикалық формулаларды қолданып, 1.11 теоремасындағы П(D)полиномоид сақинасын Dобылысындажататын голоморфты PI функцияларының сақинасымен ауыстыратын болсақ, теореманың дұрыс еместігін айқындайтын мысал дәлелінен айырылады, мұндағыPI функциясы келесі шартты қанағаттандыруы қажет:
Tr,PI=oIn11-r, r--1 (1.2)
Бірлік шеңберде полианалитикалық функциялар үшін бүтін полианалитикалық функциялар үшін келтірілген ұсыныстарға аналогты ұсыныстар орнатылуы мүмкін, мысалы:
1. Егер Dобылысында полианалитикалық функциясы Dобылысындакелтірілмейтін болса (яғни, HD[z]сақинасының келтірілмейтін элементі болып табылады) және D оқшауланбаған нөлі бар болса, (1.2) түрінде көрсетіле алады.
2. h D обылысында голоморфты функция, алайда полиномоид емес; PI полианалитикалық, алайда аналитикалық емес полиномоид. Онда h+PI функциясыDобылысында A әрбір комплекс мәнін қабылдайды, тіптен барлық A нүктелерінің жиыныDобылысында дискретті және dD өте жақын;
3. 1) φ D обылысында полианалитикалық функция, полианалитикалық функцияполиномоидтан ерекше; 2) D обылысындаφ функциясының (яғни,D обылысындаорналасқан φz=A(z) теңдеуінің барлық түбірлерінің жиыны) барлық A нүктелерініңM(φ,A)жиыны тұстас D обылысында жататын полианалитикалық функцияполиномоиды бар. Онда басқа полианалитикалық функцияBполиномоидты таңдау кезінде φ функциясыныңбарлық B нүктелерінің M(φ,B)жиыны D обылысындатұстас жатуы мүмкін емес.
1.6 n-аналитикалық функциялардың квазинормал отбасы
Монтель және оның ізбасушыларымен жасақталынғананалитикалық функциялар отбасының квазинормал аппараты полианалитикалық функциялардың қасиеттерін зерттеуге арналған біршама пайдалы құрал болып табылды. Мазмұнды қосымшалар полианалитикалық функцияларының квазинормал отбасының аналогты аппаратын табуына алып келеді деген сенім бос емес. Монтельдік квазинормалдылық анықтамасы полианалитикалық функцияларының отбасына сөзбе сөз көшірілу мүмкіндігі көзге түседі; алайда, мұндағы формалды квазинормалдылық ұғымының сақталуы оқшауланған кемшіліктерге ие: полианалитикалық функцияларға қолайлы қосымшаларында ол аналитикалық функциялар үшін сәтті қызмет ететін квазинормалдылықтың белгілі белгілерінің сақталуымен байланысты емес. Сол себепті полианалитикалық функциялары отбасына арналған квазинормалдылықтың өзге анықтамасын іздестіру амалынан бас тарту қажет. Дәл осындай талпыныс қолданылды, мұндағы монтельдіктен өзге n ретті полианалитикалық функциялардың отбасы үшін екі оқшауланған жетістіктеріне ие квази нормалдылықтың анықтамасы қарастырылды: 1) жаңа анықтамаға қолданылымды Монтельдің квази нормалдылығының белгісі дұрыс; 2) n=1болғанда жаңа анықтамаға қолданылымды Монтельдің квази нормалдылығының белгісі дұрыс. Біз бұл жағдайлардың - жоғарыда келтірілген факторлау теоремаларымен үйлесімділікте - полианалитикалық функциялар үшін пикар типті теоремаларлдың күшейтілген нұсқаларын айқынлауға мүмкіндік береді, сонымен қатар, комплекс талдаудың кейбір классикалық теоремаларының табиғи жалпыламасын айқындаймыз.
Gқандайда да бір облыс, G⊂C;K - Gжататын компакт,
fμz=k=0n-1hμ,k(z)(z)k (μ∈N) (1.3)
Gжататын n - аналитикалық функцияларындағы(1.3)кезектілігін Kкомпактісіндегі p рангісінің реттеуіші деп атайық, p=0, егер hμ,pкезектілігі K-да infinity біркелкі теңдестірілсе, ал әрбір бекітілген k=0,1,..., n-1 кезінде hμ,khμ,p кезектілігі K-да θk(z) шеткі шегіне біркелкі теңдестірілсе; (1.3) кезектілігін K-дағы 1 рангісінің реттеуіші деп атайық, егер әрбір бекітілген k=0,1,..., n-1hμ,k кезектілігі K-да ψk(z) біркелкі шеткі шекке теңдестірілсе,(1.3) кезектілігі Gоблысының ішіндегі p рангісінің реттеуіші деп аталады, егер ол G алынатын әрбір компактіде pрангісіне реттелген болса,(1.3) кезектілігін Gоблысының ішіндегі p рангісіне квазиреттеуіш деп атаймыз, егер G\Eоблысының ішінде реттелген Gоблысында дискретті Eжиыны бар болса.
fαz=k=0n-1hα,k(z)(z)k
Gобылысында n-аналитикалық функциясының Fотбасын G-да квазинормал деп атаймыз, егер F-тағы функциялардың әрбір кезектілігі G ішінде квазиреттелген ішкі кезектілігіне ие болса,Fотбасын нүктеде квазинормал деп егер ол осы нүктенің қандай да бір обылысында квазинормал болатын болса атауға болады.
Квазинормал n-аналитикалық функциялар отбасының екі қарапайым қасиеттерін атап өтейік: 1) Gобылысында n-аналитикалық функциясының Fотбасын Gобылысында G алынатын әрбір нүктеде квазинормал болып табылатын болса ғана квазинормал бола алады; 2) егер G ішінде 1 рангісіне реттеуіш болса, ол n-аналитикалық функцияға біркелкі жинақталады; егер G ішінде p=0 рангісіне реттеуіш болса, онда ол G\Epтүріндегі ашық жиын ішінде infinity -ке біркелкі жинақталады, мұндағыEp - p+1полианалитикалылықтың дәл ретіндегі полианалитикалық функцияқандай да бір функциясының барлық нөлдерінің жиыны. fполианалитикалық функциясы Gоблысында Aмәнін pартық емес рет қабылдайды, егер f-Aфункциясы Gоблысында тек қандай да бір z1,..., zmшекті нөлдер санына ие болатын болса, тіптен
k=1mInd zk, f-A=p.
n-аналитикалық функциялар отбасылары үшін осы жерде енгізілген квазинормалдылық ұғымына Монтель белгісіне аналогты келесі квазинормалдылық қасиетері бар:
1.11 Теорема. Қандай да бір G⊂Cоблысында n-аналитикалық функциялар отбасы үшін отбасының әрбір функциясы G-да Aмәнін pартық емес және Bмәнін qартық емесқабылдайтын A,B,p, q константалары бар (A!=B, pжәне q - бүтін теріс емес сандар).
Бұл тұжырымның дәлелдеуі голоморфты вектор-функцияларының нормаль отбасыларына қатысты Дюфренуа көзқарасын пайдаланады. Факторлау туралы теоремамен үйлесімділікте квазинормалдылық белгісі полианалитикалық функция үшін Пикар теоремасының түрлі дәлдеуін алуға мүмкіндік береді. Бұл жерде осындай ұсыныстардың бірімен шектелейік.
1.12 Теорема. Егер f функциясы a нүктесінің ойылғанобылысындағы полианалитикалық функция болатын болса, осы нүктеде оқшауланған ерекшелікке ие болса онда Aсанының қандай да бір таңдауы кезінде fz=A теңдеуінің барлық түбірлерінің Mf;Aжиыны a нүктесін шекті ретінде қабылдай алмайтын болса, онда a нүктесінен шығатын оның кез-келген δ(L)бұрыштық обылысында B!=Aболғанда fz=Bтеңдеуінің барлық түбірлерінің Mf;Bжиыны шексіз болатындай Lконтуры бар. Тіптен aнүктесінің жеткілікті шағын обылысы шегінде бұл жиын a нүктесін өзінің жалғыз шекті мәні деп қабылдайды.
Квазинормалдылық ұғымының түрленуі көмегімен шығарылған үш ұсынысты келтіреміз, олар аналитикалық функция теориясының классикалық нәтижелерін жалпыландырады.
1. (Витали-Монтель теоремасының аналогы). fμ- Gоблысында - аналитикалық функциясының қандай да бір квазинормал отбасынан алынатын функцияларының кезектілі болсын; E⊂G- Hn(G)класына арналған біркелкілік жиыны. Егер берілген кезектілік E бойынша нүктелер бойынша түйіндестірілсе, онда ол Gішінде біркелкі жинақталады.
Осы жерде полианалитикалық функциялардың біркелкілік теоремасынан Витали-Стилтьес теоремасының аналогы шығад.
2. Егер fμ - Gоблысында n-аналитикалық функциясының кезектілігі, Gоблысында n ретті қоюлатылған нүктесі бар қандай да бір E бойынша нүктелер бойынша түйіндестірілсе және G облысында кезектілік функциясының бірде бірін қабылдамайтын A және B екі кешнді мәндері бар болатын болса, онда fμ Gоблысының ішінде біркелкі жинақталады.
Полианалитикалық функциялардың шекаралық қасиеттерін меңгеру үшін 1 тұжырымынан алынатын салдар пайдалы.
3. (Линделеф-Монтель теоремасының аналогы). Sерітіндісініңашық шеңберлік секторында n-аналитикалық f функциясы PI кем, оның бойында A және B екі түрлі мәнін шеткі (p) саннан кем рет қабылдай алады; z Sжататын n бекітілген радиустардың ішіндегі кез-келген біреуі бойынша сектордың шыңына ұмтылатын болса,fфункциясы λ шегіне ұмтылсын. Онда fфункциясы λ шегіне ұмтылады; z S'секторында қала отырып, еркін түрде сектордың шыңына ұмтылатын болса.
1.7 Оқшауланған ерекшелік обылысында түйіндестірілген аналитикалық функциялар.
fфункциясы қандай да бір a∈Cнүктесінің U0(a) ойылған маңайында түйіндестірілген аналитикалық функциясы болып табылсын, олкелесі қатар түріне келтіріле алады:
fz=k=0infinityhk(z)(z-a)k (1.4)
мұндағы барлық hk(k=0,1, ...)- U0обылысында голоморфты функция және олардың кем дегенде біреуі aнүктесінде полюс немесе оқшауланған ерекшелікке ие; (1.4) қатар U0 ішінде біркелкі жинақталады деп болжалынады. Шеткі реттіполианалитикалық функциялар жағдайында fкелесі түрде келтіруге болады:
fz=k=0infinityψk(z)ζk (1.5)
fz=v=-infinityinfinityPIv(ζ)(z-a)k
мұндағыζ=(z-a)(z-a), ал барлық PIv (v∈Z)функциялары ζ айнымалысына қатысты дәрежелік қатарлармен беріледі.
Fz=f(z)(z-a)n, мұндағыn - бүтін теріс емес сан, ал (1.4) түріндегі түйіндестірілген аналитикалық функция. Біз тек n=0жағдайымен, яғни тек түйіндестірілген аналитикалық функцияларымен шектелеміз, алайда ол соңғы нәтиженің жалпылығын кемітпейді.
Мультианалитикалық функциялар үшін оқшауланған ерекшелік реті енгізілді, оны түйіндестірілген аналитикалық функцияларға қолдануға болады - келесі жолмен анықтаймыз. өрнегіндегі әрбір ψk функциясына λk бүтін санын келесі түрде салғастырамыз: егер ψk≡0 онда λk=-infinity; егер ψk функция а нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болса, ондаλk=+infinity; егер ψkфункцияaнүктесінде mретті полюсіне ие болса, онда λk=m; егер егер ψkфункция анүктесінде pретті нөлге ие болса, онда оны m=-pретті полюс деп санаймыз; егер ψkфункция а нүктесінде нөлден өзге шеткі және ерекше шекке ие болса, онда aнүктесін m=0 ретті плюс деп санаймыз. fтүйіндестірілген аналитикалық функциясының a оқшауланған ерекшеліктерінің реті деп df=supλk(k∈Z)саны аталады. aнүктесі fтүйіндестірілген аналитикалық функциясы үшін оқшауланған ерекше деп саналады, егер df=+infinity; жекелей алғанда қатардағы ψkфункцияларының кем дегенде біреуі осы нүктеде оқшауланған ерекшелікке ие болатын болса. Егер f түйіндестірілген аналитикалық функциясы aнүктесінде оқшауланған ерекшеліксіз болса, онда оны aнүктесінде мероморфты деп атаймыз. жұмысында Крайкевич келесідей сипаттауға болатын Пикар типті теоремасын дәлелдеді:
1.13 Теорема. Егер fтүйіндестірілген аналитикалық функциясы a!=infinityнүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болатын болса, онда түйіндестірілген аналитикалық А функциясын таңдау кезінде a мероморфты нүктесінде - осындай функциялардың біреуіне ерекшелік құрауы мүмкін - fz=A(z) теңдеуі түбірлерінің жиыны өзінің a нүктесін шекті деп табады.
Егер f - infinityнүктесінің ойылғанобылысындағы түйіндестірілген аналитикалық функциясы және осы нүктеде оқшауланған ерекшелікке ие болса, онда 1.13 теоремасы дұрыс болмауы мүмкін. мысал ретінде түйіндестірілген аналитикалық функция қызмет ете алады:
k=0infinity(ezk!)zk.
1.8 Полимероморфты функциялар туралы. Екі жақты периодты полианалитикалықфункциялар
Cжататын полимероморфты fфункциясын C\Eжазықтығында полианалитикалық функция ретінде анықтауға болады, мұндағыE - Cжататын қандай да бір дискретті, тіптен a∈Eнүктелерінің ешбірі fфункциясы үшін оқшауланған болып табылмайды.
Cжататын мераморфты аналитикалық функциялары үшін Пикардың атақты теоремасы полимероморфты функциялар үшін қабылданбайды. Оған нақты мысал болып бимероморфты функция қызмет ете алады:
k=1infinityAkz-akz-ak
мұндағыak--infinity, k--infinity;Ak!=0;k=1infinityAk+i nfinity . Бұл функция, C\{ak}k∈Nмодулі бойынша шектелген болып табыла отыра шексіз көп комплекс мәндерді қабылдамайды; алайда оған қарамастан, константа болып табылмайды. Факторлау туралы теореманы пайдаланып, Пикар теоремасы өз күшін жоғалтпайтын n1 ретті полимероморфты функциялардың кең класын айқындауға мүмкіндік беретіндігін қайталап өтейік.
1935 жылы саңылауларымен әлсіреген созылмалы өзекшедегі кернеулер туралы есепті шешу кезінде В.Я.Натанзон алғаш рет мероморфты бианалитикалық функцияларды қолданды:
zz3+wz-wz-w3-ww3
(қосынды барлық мүмкін w=n1w1+n2w2сандарына қатысты, мұндағыim(w1w2=0, n1, n2∈Z, w=0). Кейінірек нұсқалынған түрдегі функциялар Л.А. Фильштинскиймен серпімділік теориясында пайдаланылды.Неғұрлым жалпы функциялар класын 1957 жылы Эрве зерттеді, ал дәлірек айтқанда:
znzn+2+wz-wnz-wn+2-wnwn+2 (1.6)
(1.6) полианалитикалық функциялары - Екі жақты периодты (w1 және w2 негізгі периодтары). Бұл функцияларды сопақша функциялар теориясының аналогы Вейерштрасстың ℘-функциялары ретінде қарастыруға болады. Екі жақты периодты полианалитикалық функциялардың жалпы түрін В.В.Показаев тапқан. Бір периодты функцияларға қатысты В.В. Показаев келесі түрдегі формуланы көрсетті:
fz=k=0n-1zw-zwkφk(z)
мұндағыw - функцияның негізгі периоды, ал барлық φk - wпериодты аналитикалық функциялар.
2 ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТАЛДАУ
2.1 Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі
Fz=Ux,y+iV(x,y) полианалитикалық функциясының D облысындағы нақты және жорамал бөліктері полигармоникалық функциялар болады, яғни,
∆nU=0 және ∆nV=0,
мұндағы, ∆=d2dx2+d2dy2 -Лаплас операторы.
D облысында кез келген Fz полианалитикалық функциясын
Fz=k=0n-1zkφk(z),
D облысындағы бір мәнді аналитикалық функциялардың көмегімен сипаттауға болады. Мұндағы, z=x-iy, ал φkz (k=0,1,...,n-1)- D облысында бір мәнді аналитикалық функциялар.
F(z) бианалитикалық функциясының аналитикалық компоненттерімен тиісінше нөлдік, бірінші,..., (n -1) ші.
Одан әрі D облысындағы полианалитикалық функциялар класы An(D) , ал аналитикалық функциялар класы A(D) арқылы белгілейміз.
2.2 Полианалитикалық функциялар үшін негізгі шекаралық есептерді қойылуы
z = x + iy комплексті айнымалы жазықтықта L-еркін (жабық немесе ашық) контур болсын.
Полианалитикалық теориядағы негізгі сызықтық шекаралық есептер n ( n=2) ретті функциялар үшін орындалады.
1) F(z) функциясының N жартылай талдау тәртібін іздеуде тұрған Риман типінің шекаралық есептері, оның шекаралық мәндері F +(t) және F-(t) - шарттарды қанағаттандырады:
RR,n: ∆kF+t=G0kt∆kF-t+g0k(t),k=0,1,...,n- 1 (2.3a)
R1,n : dn-1F+(t)dxn-kdyk-1=G1k(t)dn-1F-(t) dxn-kdyk-1+g1k(t),k=1,2,...,n (2.3b )
R2,n : dkF+(t)dn+k=G2ktdkF-tdnk+g2kt,k=0,1 ,...,n-1 (2.3c)
2) Полианалитикалық n-ші ретті Гильберт типінің шекаралық есептері- F(z) функциясының n шекаралық шарттарын қанағаттандыратын F(t) функциясын іздеу есептері:
HR,n : ReG0kt∆kF(t)=g0kt, k=0,1,...,n-1; (2.4a)
H1,n: ReG1ktdn-1 F(t)dxn-kdyk-1=g1kt, k=1,2,...,n; (2.4b)
H2,n: ReG2ktdkF(t)dnk=g2kt, k=0,1,...,n-1; (2.4c)
Мұндағы, ∆=d2dx2+d2dy2 - Лаплас операторы, ddn+(ddn-) бойынша туынды, ал Gjk(t), gjk(t)(j=0,1,2) - L функциясына берілген.
Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі төмендегі мәселелерді шешуге мүмкіндік берді:
1) Бөліктенген үзіліссіз полианалитикалық функциялар кластарында негізгі шекаралық есептерді шешу әдістерін әзірлеу;
2) Оларды шешу теориясын құру;
2.3 Полианалитикалық функцияларға арналған есептерге жүргізілген зерттеулер
2.1-теорема.L=t:t=1,D+=z:z1, және D-=C\{D+∪L} есебін шешу үшін R1,2 класындағы шешімге Н.И.Мусхелишвили [10] негізделінген h0 Риманның екі скаляр есебін талдау функцияларына қатысты шексіздік.
2.2 Tеорема. R1,2біртекті емес есептің рұқсат ету шарттарының p саны және тиісті біртектес есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің l саны соңғы болып табылады, яғни шеңбер жағдайында R1,2 есебі стандарты емес болып табылады.
2.3 Tеорема. L = {t: Imt = 0} D[+]= {z: Imz 0} және D-=C\{D+∪L} болсын . Сонда R2,2 есебін шешу Н. И. Мусхелишвили класындағы шешімге негізделеді h0 Екінші ретті нөл шексіздігіне ие кесек аналитикалық функцияларға қатысты Риманның екі кәдімгі скалярлы есебі.
2.4 Tеорема. R1,2 біртекті емес есептің шешу шарттарының p саны және тиісті біртекті есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің саны соңғы болып табылады, яғни R1,2 есебі жартылай қабаттылық жағдайында стандарты емес болып табылады.
2.5 Tеорема. L={t:t=eis,0=s=PI} және D=C\L болсын. Сонда R1,2 есебін шешу шексіз жоғалатын және L контурының шетінде интегралданатын тәртіптің шексіздігі бар аналитикалық функциялар кластарындағы Риманның екі жартасты есебін шешуге негізделеді.
2.6 Tеорема. R1,2 біртекті емес есептің шешу шарттарының p саны және тиісті біртекті есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің l саны соңғы болып табылады, яғни жартылай айналмалы жағдайда R1,2 есебі стандарты емес болып табылады.
2.7 Tеорема. L=m=1nam,bm,D=C\L болсын . Сонда R1,2 есебін шешу екінші ретті нөл шексіздігіне және L контурының шетінде интегралданатын тәртіптің шексіздігіне ие сілтілер бар жазықтықтағы аналитикалық функциялар кластарындағы Риманның екі жартас есептерін дәйекті түрде шешуге негізделеді.
2.8 Tеорема. R1,2 біртекті емес есептің шешу жағдайларының p саны және тиісті біртекті есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің l саны соңғы болып табылады, яғни R1,2 есебі сілтілі жазықтықта жоқ болып табылады. Осыған ұқсас тұжырымдар R2,2 міндеттерін қарау кезінде тұжырымдалған және дәлелденген.
L тегіс контуры кеңейтілген комплекс жазықтықты D шекті облысы және құрамында z=infinity нүктесі бар D' облысына бөледі. Қосымшалар үшін ерекше маңызды полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт типті келесі үш негізгі есептер неғұрлым толықтай зерттелінді:
ReGkt∆kut=fkt, k=0,1,...,n-1 (2.5a)
Re(Gktdn-1utdxn-kdyk-1)=fkt, k=1,2,...,n (2.5b)
Re(Gktdkutdnk)=fkt, k=0,1,...,n-1 (2.5c)
мұндағы, ∆ - Лаплас операторы, ddn - сыртқы нормальдің L-ға қатысты туындысы. Бұл кезде Gkt, fktберілген функциялары 2n-k-2-ші ретке дейінгі өзінің туындыларымен L-да Гельдер шартын қанағаттандырады, мұндағы, C2n-1,μ (L) класына жатады (яғни, контур t=xs+iy(s)теңдеуімен беріледі, мұндағы xs және ys, 2n-1-ні қоса алғандағы өзінің туындылармен бірге Гельдер шартын қанағаттандыратын sдоғасының функциялары) және Gkt!=0.
Gkt=1 жеке жағдайларында (2.5a), (2.5b) есептеріне сәйкесінше Рикье есебі болады. Бірінші негізгі есеп және екінші негізгі есеп деп аталатын полианалитикалық функциялар теориясының негізгі классикалық есептерін бейнелейтіндігін атап өту қажет, және оған көптеген түпнұсқалы жұмыстар арналған. Осы есептерге деген қызығушылық негізінен тұтас орта механикасы мен математикалық физиканың көптеген шешімдерін табу уақытында түрлі қосымшалардың туындауына байланысты.
(2.5a) (2.5b) аналогиясы бойынша L-да
∆ku+t=Gkt∆ku-t+gkt, k=0,1,...,n-1 (2.6a)
dn-1u+tdxn-kdyk-1=Gktdn-1u-tdxn-kdy k-1+gkt, k=1,2,...,n (2.6b)
dku+tdnk=Gktdku-tdnk+gkt, k=0,1,...,n-1. (2.6c)
u+(z) және u-(z) шекаралық мәндері шекаралық шарттарды қанағаттандыратын, D∪D' ашық жиынында полианалитикалық u функциясына арналған сәйкес сызықтық түйіндестіру есебі қарастырылады.
(2.5b), (2.5c) есептері мен сәйкесінше (2.6b),(2.7c) есептері олардың күрделілік деңгейі сияқты, олардың шешімдері бойынша да жақын. Алайда, (2.5a) және(2.6a) есептері екінші және үшінші тип есептерінің өздерінің қойылым қарапайымдылығымен біршама ерекшеленеді. Ол ерекшелік,сәйкес (2.5a) және (2.6а) шекаралық шарттарын анықтаушы
∆k=4kd2kdzkdzk
дифференциалдық операторлары үшін
∆kuz=4kp=kn-1p!p-k!dzp-kϕpkz, k=0,1,...,n-1 (2.7)
теңдігі орындалады. Мұндағы біркелкілік үшін ∆0u=u. Осы жерден шығатыны, k=n-1, n-2, ..., 0үшін (2.5 а) шекаралық шартын сәйкесінше
4n-1Ren-1!Gn-1tϕn-1n-1t=fn-1t,...
4n-2ReGn-2tn-2!ϕn-2n-2t+n-1!ϕn-1n-2 t=fn-2t,...
ReG0t[ϕ0t+tϕ1t+...+tn-1ϕn-1t]=f0t (2.8)
түрінде жазуға болады.
(2.8) шекаралық шарттар жиынтығында үшбұрыш түрге ие екендігі анық. Сол себепті кезекті ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Д.Серікбаев атындағы Шығыс Қазақстан мемлекеттік техникалық университеті
Математикалық және компьютерлік модельдеу кафедрасы
Полианалитикалық функциялар үшін қойылған шекаралық есептер бойынша сұрақтарды зерттеу
6М060100 - Математика
академиялық магистр деңгейі бойынша
магистрлік ізденіс диссертациясы
Ғылыми жетекші:
ф-м. ғ.к., Рахметуллина Ж.Т.
___ ___________ 2019ж.
Кафедра меңгерушісі:
ф-м. ғ.к., Рахметуллина Ж.Т.
___ ___________ 2019ж.
нормабақылаушы:
ф-м. ғ.к., Рахметуллина Ж.Т.
___ ___________ 2019ж.
Өскемен қ, 2019
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1. ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
1.1 Бүтін полианалитикалық функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ..
1.2 Бүтін полианалитикалық функциялардың факторлануы ... ... ... ...
1.3 Бүтін полианалитикалық функцияларға арналған пикар типіндегі теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.4. Өзгешеленген бүтін полианалитикалық функциялар ... ...
2. ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТАЛДАУ
2.1 Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі
2.2 Полианалитикалық функциялар үшін негізгі шекаралық есептерді қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Полианалитикалық функцияларға арналған есептерге жүргізілген зерттеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
0.4 Арнайы түрдегі шекаралық есептер.Гурс формуласы ... ... ... ... ..
2.5 Сызықтық түйіндестіру есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..
2.6 Канондық матрицалар - функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ...
2.7 Бианалитикалық функциялардың дербес жағдайы ... ... ... ... ... .
2.8 Біржақты шекаралық есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3. ОҚШАУЛАНҒАН ЕРЕКШЕ НҮКТЕЛЕРІДІҢ ОБЫЛЫСЫНДАҒЫ ЖӘНЕ ШЕҢБЕРДЕГІ ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАР
3.1 Полианалитикалық функциялардың оқшауланған ерекшеліктері. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Оқшауланған ерекшелігі обылысындағы полианалитикалық функцияның факторлануы. Пикар типіндегі теоремалар ... ...
3.3 Шеңбердегі полианалитикалық функциясының факторлануы. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.4 n-аналитикалық функциялардың квазинормал отбасы. ... ... ... ...
3.5 Оқшауланған ерекшелік обылысында түйіндестірілген аналитикалық функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
3.6 Полимероморфты функциялар туралы. Екі жақты периодты полианалитикалық функциялар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Диссертациялық жұмыс полианалитикалық функциялар үшін қойылған шекаралық есептер бойынша сұрақтарды зерттеуге арналған.
Жұмыстың өзектілігі: өзектерді, жалпақ күрделі конструкциялар және т.б денелердіңесептеу кезінде. Ғарыштық денелер, авиациялық техникалар, құрылыс детальдарының аса күрделі конфигурация аймақтары үшін түрлі жүктемелердің әсерінен кернеулермен деформацияларды анықтау маңызды міндет болып табылады.
Полианалитикалық функциялардың қисықтық есептер мен олардың жалпыламаларына көптеген зерттеулер арналған. Оған деген қызығушылық басқа математикалық облыстармен дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің теориясы, функцияларды жуықтау теориясы, сонымен қатар, математикалық физика және механикада жан-жақты қолданулары болғанымен түсіндіріледі.
Қазіргі уақытта комплекс айнымалы полианалитикалық функциялар кластарындағы сызықтық шекаралық есептер теориясы Ресейде, Беларусь, Қытай, КХДР, Украина, Германия, Югославия шетелдерінде әртүрлі шекаралық есептер күрделі айнымалы аналитикалық функциялардың класына қарағанда жалпы функциялардың кластарында қарқынды түрде зерттелуде. Алғаш рет полианалитикалық функцияларының негізін қалаушылар Г.В.Колосовтың және Н.Н.Мусхелишвили еңбектерінде серпімділіктің математикалық теориясында сипатталғанын атап өткен жөн.
Полиналитикалық функцияларға қойылған шекаралық есептер негізгі үш топқа бөлінеді:
1) үзіліссіз есептер - облыс шекарасын қоса есептегенде, яғни, тұйық облыста ізделінді функцияның үзіліссіз болуы;
2) бөліктенген үзіліссіз есептер - облыс шекарасының ақырлы(санаулы) нүктелерінде ізделінді функцияның үзіліссіздік шартының бұзылуы;
3) үзілісті есептер - 1), 2) есептерге енбейтін басқа есептер.
Қазіргі уақытта полианалитикалық функцияларға қойылған шекаралық есептерде, ізделінді функциялардың үзіліссіз мәселелері теориясы толығымен зерттелген. Алайда,2), 3) түрдегі есептер полианалитикалық функциялар кластарындағы толық зерттелмеген шекаралық есептерін құрайды. Сондықтан,диссертациялық жұмыстағы қарастырылатын мәселе:шекаралық проблемаларды шешу әдістерін дамытудың бүгінгі күні өзекті мәселесі болып табылады.
Зерттеудің мақсаты:күрделі конфигурациясы бар облыстардағы полианалитикалық функциялар үшін шекаралық есептердің шешімдерін зерттеу.
Зерттеудің міндеттері:диссертациялық жұмыс мақсатына жету үшін келесі міндеттер қойылды:
1. Әдебиеттерге шолу жасау.
2. Тақырып тұрғысында алынған нәтижелерді талдау.
3. Дербес жағдайда қойылған есепті шешу және талдау.
Зерттеу нысаны:күрделі контурлы қимасы бар облыстардағы түскен жүктемелер.
Зерттеудің пәні: Күрделі контурлы қимасы бар облыстардағы түскен жүктемелерді сипаттайтын модельдер.
Зерттеудің жаңалығы: Зерттеу кезінде алынған шекаралық есептерді шешу барысында:
гравитациялық жазық сақина өрісінде сыртқы және ішкі материалдық нүктелердің есебін шешуде аз параметр әдісін қолдану арқылы кіші параметрді таңдаудың жаңа әдістері жетілдірілді және аналитикалық шешімдері алынды;
Жұмыстың теориялық жәнепрактикалық мағынасы: диссертациялық жұмыстың нәтижелері әртүрлі функционалдық кеңістіктердегі эллиптикалық теңдеулердің шешімдерімен функцияларды жақындатуда қолданылуы мүмкін. Зерттеу әдісі, жалпы алғанда, икемділік, электростатика, геодезия, геологиятеорияларынданәтижелерді тиістівекторлық өрістерді модельдеу мәселелерінде пайдалануға болады.
Зерттеу тәсілдері - диссертациялық жұмыс теориялық тұрғыдан зерттелген, ол үшін серпімділік механикасына негізделген зерттеу, шекаралық есептерді шешу әдістері, математикалық талдау және комплекстік талдау теориясының әдістері пайдаланылды.
Болжамы: Алдымен негізгі шекаралық есептерді және оларды полианалитикалық функциялар кластарында қорытуды қарастыру жоспарлануда, егер L контурышеңберді, нақты өсті немесе сілтілі жазықтықты білдіретін болса.
Есептің шешімі талдамалы функциялар класында Риманның (Гильберттің) скалярлы есептерінің n ретімен шешіледі. Содан кейін, негізгі есептерді және оларды еркін кесек-үзіліссіз контур жағдайында қорытуды оқып үйрену.
n-ші ретті полианалитикалық функциялар үшін есеп n -1 жүйеге жалпыланған және Риманның (Гильберттің) кесек-талдамалы функцияларынақатысты бір әдеттегі есептегі тең.
Қорғауға келесі алынған нәтижелер шығарылады:
1) сақина өрісіндегі материалдық нүкте туралы есептің аналитикалық шешімі;
2) гравитациялық жазық сақина өрісінде сыртқы және ішкі материалдық нүктелердің есебін шешудің әдісі;
3) заманауи сандық әдістермен алынған нәтижелер.
4)бастапқы шарттардың көмегімен алынған материалдық нүкте қозғалысының траекториялары.
Мақалалар: Зерттеу нәтижесі бойынша студенттер, магистранттар мен жас зерттеушілердің халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының жинағында бір мақала жарияланды (ШҚМТУ).
Жұмыстың көлемі мен құрылымы. Жұмыстың жалпы көлемі 66 беттен тұрады, оның құрамында 6 сурет, 42 қолданылған әдебиеттер тізімі бар.
Магистрлік диссертация кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
1.1 Бүтін полианалитикалық функциялар
Анықтама. z=x-iyжәне z=x+iyкомплекс айнымалыларына қатысты
dnfdzn=0
теңдеуін қанағаттандыратын функция полианалитикалық функция депаталады, комплекстік түйіндес z үшін:
ddz=12(ddx+iddy)
мұндағы,dnfdzn=0-Коши-Риман операторы, n = 1 жағдайында dnfdzn=0теңдеуі Коши-Риман шартына ауысады, оның шешімдері комплекс айнымалы функциялар теориясынан аналитикалық функциялар болатыны белгілі, n = 2 үшін бианалитикалық функция.
Анықтама. Егеркомплекс жазықтықтың Dоблысында жататын Коши-Риманның dnfdzn=0 жалпыланған шартын қанағаттандыратынCn(G) класындағы fфункциясы келесі түрінде келтіріледі:
fz=k=0n-1ekzzk(ek∈HC (k=0,..., n-1) (1.1)
n-ші ретті бүтін полианалитикалық функциясыдеп аталады.
Барлық бүтін полианалитикалық функциялардың жиыны көбейту және бөлу операцияларына қатысты коммутативті сақина құрады.HC сақинасыүшін трансцендентті zэлементінің қосылуы нәтижесінде туындайды. HC[z] сақинасына барлық бүтін полианалитикалық функциялардың: қайтымды (қайтымсыз), келтірілетін (келтірілмейтін) элементтері және т.б. ұғымдары қолданылады. HC[z] сақинасының әрбір келтірілмейтін элементін келтірілмейтін бүтін полианалитикалықфункция деп атаймыз.
(1.1)-теңдіктегі барлық z айнымалысы бүтін полианалитикалық функциясының көпмүшелігі деп аталады.p(x,y) екі айнымалысының әрбір көпмүшелігі Pz,z,z=x+iy, z=x-iyполианалитикалық функциясының көпмүшелігі ретінде көрсетіле алады және керісінше. Алайда, p айнымалыларының көпмүшелігін Pz,zполианалитикалық функцияның көпмүшелігі түрінде жазу, оның p(x,y) қарапайым жазылуынан қарағанда жасырын болып қалатын кейбір қасиеттерін айқындауға мүмкіндік береді. Барлық полианалитикалық функцияныңкөпмүшеліктерінің жиыны бірлігі бар сақина құрады. Константалардан өзге барлық полианалитикалық функциялардыңкөпмүшеліктірінің (кез-келген n - ретті) арасында бір де бір нөлге тең болатын жағдай болмайды.
1.1Теорема. Егер degz,zP2degzPнемесе degz,zP2degzP болса, онда Pz,z кем дегенде бір комплекс түбірге ие болады.
Осы жерден: p1x,y=0,p2x,y=0 (мұндағыp1 және p2 - көпмүшеліктер) теңдеулер жүйесініңнақты шешімі бар болуын анықтау үшін px,y=p1+ip2көмекші комплекс көпмүшелігін қарастыруға болады. Оны түйіндестірілген zжәнеz комплекс айнымалылары арқылы өрнектеу керек және 1.1- теореманы қолдану қажет.
1.2Теорема.fфункциясы n реттібүтін полианалитикалық функция болсын,A, R0,s - теріс емес константалар,s - бүтін сан. Онда:
а) егер Imfz=Azs, zR0болса, онда f көпмүшелігі z,z қатысты degz,zP=maxs, 2n-2;
б) егер Imfz=Azs, zR0 болса, ондаRжәне S көпмүшелік болып табыладыfz=Rz,z+Sz,z, ImR≡0, degzR=n-1, degzR=n-1, degz,zS=s.
в) егер fz=Azs, zR0болса,ондаf көпмүшелігі z,z жұбына қатысты s дәрежесінен жоғары емес.
1.2 теоремасының шарттары келесідей анықталған Ф(z) функциясы үшін орындалатынын көруге болады:Ф(z)-нақты және жоғары жартылай жазықтықта оң жорамал бөлікке ие бүтін аналитикалық функция болсын. Көмекші бүтін fz=-yФ(z) бианалититикалық функциясын қарастыруға болады.C контурының ішкі нүктелеріндеImf=0екендігін тексеру оңай. 1.2 теоремасының күшіне сай, fфункциясы - дәрежесі 2 жоғары емес көпмүшелік; салдарынан, Ф - сызықты функция.
1.2 Полианалитикалық функциялардың көпмүшелік түрінде болуының негіздемесі
Классикалық комплекс талдаудың неғұрлым оқшауланған фактілерінің бірі атақты Пикар теоремасы: бүтін тұрақты емес аналитикалық функциялардың мәндер облысы комплекс сандар жиынын құрайды. Кез-келген бүтін полианалитикалық функциялар үшін де бұл дұрыс емес. (мысал: z*z). E бүтін трансцендентті аналитикалық функциясы әрбір комплекс мәннің барлығын қабылдайды - біреуі үшін ғана ерекшелік құрауы мүмкін - шексіз нүктелер жиынында. Егер E функциясына жеткілікті түрде қарапайым полианалитикалық қосылғышты қоссақ - мысалы z немесе z2 қосқан жағдайда пикарлық қасиеті сақталып қала ма? Нәтижесінде сақталынатынына көз жеткізілді, тіптен күшейеді:
1.3 Tеорема. E - бүтін трансцендентті аналитикалық функция, ал P - қандай да бір полианалитикалық функция болсын. Онда бүтін полианалитикалық функцияF=E+Pәрбір комплекс мәнді қабылдайды,Fфункциясының Aнүктелерінің кез-келген Aжиынында шектелмеген және C-да шектелмеген шекті нүктелері жоқ.
Полианалитикалық функциякөпмүшеліктерге арналған алгебраның негізгі теоремасын есепке алатын болсақ, онда бүтін полианалитикалық функциялар үшін келесі теореманың толықтырылуын ала-аламыз:
1.4 Tеорема. Екі түрлі a, b мүлдем қабылдай алмайтын nретті Eбүтін полианалитикалық функциясы z,z айнымалылары жұбына қатысты 2n-2 жоғары емес дәрежелі көпмүшелігі болуға міндетті.
Пикар типіндегі теоремалар полианалитикалық функциялар үшін аналитикалық функцияларға арналған Пикар типті жаңа теоремаларды туындатады. Сондай бір теореманы келтіреміз:
1.5 Tеорема. f - бүтін аналитикалық функция болсын, алP0x,y, ..., Pmx,y- x,yнақты айнымалыларының комплекс мәнді көпмүшеліктері, тіптен Pm≢0.
Fz=k=0mPkx,yfzk(z=x+iy)
көмекші функциясы келесі теңдеулердің бірін қанағаттандырсын:
А) F нүктелердің шектелген жиынында ғана екі түрлі комплекс мәнді қабылдайды;
В) F нүктелердің шектелген жиынында ғана a бір мәнін қабылдайды, ал басқа bмәні - оқшауланбаған;
С) F=pжәне F=q теңдеулерінің барлық түбірлерінің жиыны шекті болатындай, p жәнеq, p≢qполианалитикалық функциякөпмүшеліктері бар. Онда f - көпмүшелік.
Шын мәнінде, А), В), С) шарттарының әрбірі F - полианалитикалық функциякөпмүшелік екендігіне негіз береді, ендеше, f - көпмүшелік екендігі айқындалады.
1.3 Оқшауланған бүтін полианалитикалық функциялар
a ерекше нүктелерінің ойылған маңайындаполианалитикалық функциялардың бүтін класында көпмүшеліктердің рөлін атқаратын функциялардың класын ерекшелеп алу қажет. a - Cдағы қандай да бір нүкте болсын; U1 - оның ойылған тұйық обылысы (яғни U1=U\{a}, мұндағыU - Cобылысындағы a нүктесінің ойылған тұйық обылысы. PI(z)- U1 - да голоморфты және a нүктесінде мероморфты функциясы U1 - дағы полиномоид деп аталынады; PI(z, z)U1 - да полианалитикалық және a нүктесінде мероморфты функциясы U1 - дағы полианалитикалықполиномоид деп аталады.
1.6 Теорема. Егер f функциясы a∈C нүктесіндегіU1ойылған тұйық обылысында полианалитикалықболса және a нүктесі f функциясының нөлдер жиыны үшін шеткі нүкте ретінде қызмет етпейтін болса, онда f функциясы
fz=PIz,zexpEz
түріндегі факторлануға жол береді, мұндағы,PIz,z- U1 - дағы полианалитикалық функция полиномоид, ал Eфункциясыa=infinity болғанда z айнымалысының және a!=infinity болғандағы 1(z-a)айнымалысының бүтін функциясы.
Бүтін полианалитикалық функциялардың факторлау туралы теорема аналогиясы:
А) ∆=z:1=z+infinityсақинасында голоморфты және онда нөлдердің шеткі санына ие әрбір функция PIexpgтүріне келтіріледі, мұндағыg - бүтін функция, ал PI - ∆-де полиномоид;
В) ∆-де полиномоид zmP(z)φ(1z)түріне келтіріледі, мұндағыm - бүтін сан, P - көпмүшелік, φ(t) - t=1шеңберіндегі голоморфты функция.
Факторлауға арналған ұқсас мүмкіндік a оқшауланған ерекшелігінің қандай да бір ойылғанобылысының полианалитикалық функциясы белгілі бір мағынада келтірілмейтін болса туындайды, тіптен a нүктесі оқшауланбаған нөлдер үшін шекті нүкте қызметін атқарады. U0 - aнүктесінің ойылғанобылысы; f - U0обылысындағы полианалитикалық функция болсын. Бұл функция U0обылысында келтірілген деп аталады, егер екі функцияның қосындысы түрінде келтіріле алатын жағдайда ғана. Қандай да бір U0обылысында a нүктесінің келтірілмеуі кіші аймақта оның келтірілмеуіне алып келмейді.
1.7 Теорема. 1) f - K={z:Rz+infinity}сақинасында полианалитикалық функция болып табылсын жәнеәрбір R'R үшін K'={z:R'z+infinity} сақинасында келтірілмесін; 2) f функциясының K-дағы барлық оқшауланбаған нүктелерінің жиыны шектелмеген. Онда f функциясы PIexpgтүріне келтіріледі,мұндағыg - бүтін аналитикалық функция, ал PI - К-дағы полиномоид.
Дәлелдеу нөлдік гармоникалық өлшемді идеал шекарасы бар ашық риман бетінің қасиеттеріне сүйенеді. Бианалитикалық функциялар жағдайында Карлеман-Мийю гармоникалық функциясын бағалау туралы теоремасына сүйенетін неғұрлым қарапайым дәлелдеуі мүмкін. 1.6 және 1.7 теоремаларынан кейбір салдарды келтірейік.
Салдар. 1) fфункциясыa нүктесінің U0ойылғанобылысындағы полианалитикалық функция болсын, тіптен a нүктесіfфункциясы үшін оқшауланған ерекше нүктесі; 2) f функциясының оқшауланбаған нөлдерінің жиындары үшін шекті болып табылады. Онда f функциясы aнүктесінің қандай да бір U0ойылғанобылысындағы JжәнеV екі полианалитикалық функцияларының көбейтіндісі ретінде келтіріле алады. Олардың бірі a нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болуы мүмкін, алайда тек оқшауланған нөлдерге ғана ие болуы мүмкін, ал екіншісі тек оқшауланған нөлдерге ие болып a нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие бола алмайды.
Квазинормаль отбасылардың Монтель әдісінің көмегімен оқшауланған ерекше нүктеге ие бүтін полианалитикалық функцияларға Пикар теоремасы көшетіндігін дәлел бола алады. 1.7 және 1.6 теоремалары күшейтілген нұсқадағы Пикардың үлкен теоремасын алуға мүмкіндік береді.
Салдар. 1) a∈C - fполианалитикалық функциясының оқшауланған ерекше нүктесі; 2)fz=A(z) теңдеуі түбірлерініңM(f;A;U0) жиыны үшін a нүктесі шекті емес болатындай,aнүктесінің U0қандай да бір ойылған маңайындаполиномоид болып табылатын Aфункциясы бар болсын,онда кез-келген Bбасқа полианалитикалық функцияполиномоидты таңдау кезінде U0'-де шексізfz=B(z)теңдеуі түбірлерініңM(f;A;U0') жиыны тек оқшауланған нүктелерден тұратын және a нүктесі жалғыз шекті нүктесі болатындай a нүктесінің U0'ойылған обылысы табылады.
Бүтін полианалитикалық функция үшін белгілі басқа ұсыныстардың қатары оқшауланған ерекшелікке ие полианалитикалық функциялар жағдайында өзінің табиғи аналогтарына ие болады.
Pz,w=k,v=0n-1ck,vwkzvтүріндегі көпмүшелікті эрмиттік көпмүшелік деп аталады, оның коэффициенттері cv,k=cv,kшартын қанағаттандырады. Pz,zполианалитикалық функциялар көпмүшелігі, мұндағыPz,w- эрмиттік көпмүшелік, эрмиттік полианалитикалық функциякөпмүшелік деп те атауға болады. Керісінше, қандай да бір D⊂Cобылысын нақты өске бейнелейтін әрбір fбүтін полианалитикалық функциясы үшін fz≡P(z,z)болатындай Pz,w- эрмиттік көпмүшелігі бар.
1.8 Tеорема. f бүтін полианалитикалық функциясы жазықтықтың өзгешеленген бейнелеуін тек келесі түрде ғана өрнектей алса:
fz=M(hz,z)
мұндағы,M - қандай да бір көпмүшелік, ал h - эрмиттік полианалитикалық функция көпмүшелік.
Дәлелдеу бүтін полианалитикалық функциялар және екі алгебралық белгілі фактілер үшін Пикар теоремасынан шығады.
1. Егерu=Px,y, v=Qx,y (x,y,u,v - нақты айнымалылары) полиномиалды бейнелеуінің J(x,y)якобияны нөлге тепе-тең болса, онда екі көпмүшелік алгебралық бір-біріне тәуелді: R(Px,y, Qx,y)≡0болатындай R(u, v)үшінші көпмүшелігі бар.
2. Егер екі нақты мәнді Px,y және Qx,y көпмүшелігі алгебралық тәуелді болатын болса, онда сондай нақты мәнді pt, q(t)және Hx,yкөпмүшеліктері бар. 1.8 теоремасынан әрбір өзгешеленген бүтін полианалитикалық функцияC жазықтығын полиномиалды қисыққа бейнелейтіндігі шығады (яғни, z=λt-infinityt+infinity теңдеуі бар сызыққа, мұндағыλ - комплекс коэффициенттері бар көпмүшелік.
Енді кейбір мәндерді оқшауланбай қабылдайтын бүтін полианалитикалық функцияларға келіп тоқталайық. Берілгенn - ретті бүтін полианалитикалық функциялар арасынан n-1 түрлі мәндерін оқшаулы емес қабылдайтын трансцендентті полианалитикалық функцияларды нұсқауға болады. Мысалы, келесі функция:
cosz k=1n-1z+z-2k+z2
(k=1,2,..., n-болғанда ол Re z=k тік сызықтың әрбір нүктесінде k2мәнін оқшауланбай қабылдайды). Оқшауланбайтын n (немесе одан көп) түрлі мәндерді қабылдайтын бүтін полианалитикалық функциялардың спецификалық ерекшеліктерін сипаттайтын теорема.
1.9 Tеорема. Оқшауланбайтын n түрлі мәндерді қабылдайтын әрбір бүтін n аналитикалық функция полианалитикалық көпмүшелігі болып табылады.
Егер кез-келген полиномиалды бейнелеудің Якобияны ретінде қандай да бір полианалитикалық функция қызмет ететіндігін есепке ала отыра, шексіз көп оқшауланбаған түрлі мәндерді қабылдаушы кез-келген полианалитикалық функция өзгешеленген болып табылатындығын айқындау қиын емес. Бұл тұжырым нақты күшейтілуіне жол береді.
1.10 Tеорема.Оқшауланбайтын n түрлі мәндерді қабылдайтын fфункциясыn ретті бүтін полианалитикалық функциясы өзгешеленген болып табылады.
Осы сөйлемді дәлелдеуде оқшауланған қиындықтар туындайды. Бұл жерде n=3арналған дәлелдеуді келтіреміз. Келесі, оңай тексерілетін фактіні қолданамыз.
Ескерту 1. 1) P және Q - екі эрмиттік көпмүшелік; 2)wбойыншаP дәл дәрежесі оң; 3) Ф және Ψ - көпмүшеліктер, тіптен Ψ,w-ға тәуелді емес. Онда PФ+QΨ≡1тепе-теңдігі дұрыс болса, онда Ψ - нақты константа және Ф - эрмиттік көпмүшелік.
1.10 Tеореманы n=3 болғанын дәлелдейік. f - z жәнеzшығатын көпмүшелік. F - F(z,z)≡f(z)орындалатындай екі тәуелсіз айнымалының көпмүшелігі. 2.7 теоремасының шарты мен күшіне сай Pk эрмиттік көпмүшеліктері жәнеФk көпмүшеліктері F=PkФk+Ak болатын Ak (k=0,1,2)үш константасы бар. Екі жағдай орындалуы мүмкін:
1.k=0,1,2 болғанда degwPk=1.
2. қандай да бір kнөмірі үшін degwPk=2. Онда Ф0w-ға тәуелді емес. Онда: P1Ф1-P0Ф0=A0-A1=A=const!=0. Жоғарыда келтірілгендей түйіндейміз: Ф0A - нақты константа. Сол себепті f=AλP0+A0 - ол өзгешеленген функция.
1.4 Оқшауланған бүтін полианалитикалық функциялардың қасиеттерін талдау
F(z) функциясы z0 нүктеcінде аналитикалық болсын. z нүктесі n ретті F(z) функциясының нөлі деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:
fz0=0, f'z0=0,...,f(n-1)z0=0, f(n)z0!=0
Егер n=1 болғанда, z0нүктесі жай нөл деп аталады.
z0 нүктесі сонда ғана F(z) функциясының n -ші ретінің нөлі болып табылады, z0 нүктесінде аналитикалық, кейбір бөлігінде бұл нүктеде fz=(z-z0)nφz теңдігі орын алған кезде ɸ(z) функциясы z0нүктесінде аналитикалық болады.
Есеп. fz=z8z-sinzфункциясының үшін z0=0 оқшауланған ерекше нүктесіндегі ретін анықтау керек.
sin z функциясын z0=0 нүктесінің айналасындаТейлор қатарынажіктеу арқылыкелесі теңдеуді аламыз:
fz=z8z-sinz=z8z-z-z33!+z55!-...=z8z 33!-z55!+...=z5113!-z25!+...
φz=113!+z35!+...қоямыз
Сонда fz=z5φ(z), мұндаφ(z)-функция, z0=0 нүктесінде φ0=6!=0аналитикалық функция болады. Демек z0=0 нүктесі бұл функция үшін бесінші ретте нөлі болады.
Егер осы нүктесінен басқа f(z) барлық жерде талданатын z=z0 нүктеcі бар болса,z0 нүктесі f(z) функциясының оқшауланған ерекше нүктесі деп аталады,
Егер f(z) функциясының соңғы шегі z0 нүктесінде болса, z0нүктесіf(z) функциясының ерекше нүктесі деп аталады,
Есеп. fz=ez-1z.
Шешуі:f(z) функциясының z0=0 болатын ерекше нүктесі бар.
limz--0fz=limz--0ez-1z=1
демек, z0=0 нүктесі ерекшеленген нүкте бар.
z0 нүктесі limz--z0fz=infinity болса, онда f(z) функциясы полюсті деп аталады.
z0 нүктесі f(z) функциясының полюсі болуы үшін, бұл нүкте φz=1f(z) функциясына нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.
z0 нүктесін f(z) функциясының n(n=1) полюсі деп атайды, егер бұл нүктеφz=1f(z) функциясы үшін n ретті нөлі болса.
n=1болған кезде полюс жай деп аталады.
Есеп.fz=1z3функциясының үшін z0=0 оқшауланған ерекше нүктесіндегі ретін анықтау керек.
z0=0 -оқшауланған ерекше нүктесі. z=ρeiφдеп алса, ондаfz=ei3φρ3болады. Әрине, f(z)=1ρ3 функциясы f(z)кез келген заң бойынша z--0 кезінде шексізөседі.limz--0fz=infinity т.б z0=0 нүктесінде бұл функцияның полюсі бар. φz=z3функциясы үшін z0=0 нүктесінде үшінші ретті нөлі бар, яғни z0=0 нүктесіfz=1z3 үшін үшінші ретті полюсы болып табылады.
z0 нүктесінде f(z) функциясының n ретті полюсі болуы үшін, f(z) функциясын fz=φ(z)(z-z0)n түрінде елестету қажет және жеткілікті, мұнда φz функциясы z0және φz0!=0нүктеде талданады.
Есеп.fz=sinzz3+z2-z-1функциясының үшін z0=0 оқшауланған ерекше нүктесіндегі ретін анықтау керек.
F(z) функциясында екі ерекше нүкте бар z=1және z=-1.z=-1 болғанда:
fz=sinzz-1(z+1)2
мұндағы
φz=sinzz-1
z=-1 нүктесінің маңайында талдаймыз, содан φ-1=sin12!=0.
Демек, z=-1нүктесінде осы функцияның екі мәрте полюсі бар. f(z)функциясынкелесідей жазамыз:
fz=sinz(z+1)2z-1
z=-1 нүктесінде осы функцияның қарапайым полюсі бар.
z0нүктесіf(z) функциясының айқын ерекше нүктесі болады, егер z0нүктесіf(z) функциясының ақырғы шегі болмаса, шексіз емес болса.
1.5 Шеңбердегі полианалитикалық функциясының факторлануы
Барлығынан бұрын, D бірлік полианалитикалық обылысындағы функциялар арасында келесі қасиетке ие болатындарын ерекшелейік: Dобылысындаfфункциясының барлық нөлдерінің E(f)жиыны тұстас D-ға жатады (яғни E(f)⊂D). Бұл функциялар класын нөлдердің шектелген жиынына ие бүтін полианалитикалық функциялар класының аналогы ретінде қарастыруға болады. Әрбір осындай функция D-дағы нөлдердің голоморфты полианалитикалық функциясының zжәне z көпмүшелігінің қосындысы ретінде көрсету мүмкін деген болжам қате болып табылады. Оған мысал ретінде 1-ez+zбианалитикалық функциясы қызмет ете алады: ол D-да жалғыз нөлге ие, алайда оны G(z)(pz+zp1z)(мұндағы G - D-дағы нөлдерсіз голоморфты функция, ал p және p1 - көпмүшеліктер) түрінде келтіру қарама-қайшылыққа алып келеді.
Dшеңберінде өсімі dDобылысының шекарасына жақындағанда infinity нүктесіне жақындағандағы көпмүшеліктің өсіміне ұқсайтын голоморфты функциялардың класы. Pкөпмүшеліктері аналитикалық функциялар арасында - өсім мағынасында ерекшеленетіндігі мәлім. Ол Р. НеванлинTr, Pсипаттамасы үшін келесі қатынасты орындайды: Tr, P=OIn r, r--infinity.Бірлік обылысында голоморфты сақинасында PI функциясының шекаралық обылысы жақындағанда ұқсас қасиетке ие болатын П(D)ішкі сақинасын ерекшелейік:
Tr,PI=OInII-r, r--1.
Ондай функцияларды Dобылысында полиномоидтар деп атаймыз;ал PI0z+PI1zz+...+PIn-1zzn-1түріндегі полианалитикалық функцияларды D обылысындада полиномоидтар деп аталады, мұндағыn - натурал сан, ал PI0, ...,PIn-1 - D - да полиномоидтар. Келесі теорема дұрыс:
1.11 Теорема. Егер φz=k=0n-1φkzzkD бірлік обылысындаполианалитикалық функция болып табылатын болса және оның барлық нөлдерінің жиыны тұстас Dобылысындажататын болса, онда
φz=G(z)PI(z,z)
мұндағыPI,Dобылысындажататын полиномоид, ал Gфункция Dобылысында жататын нөлдерсіз аналитикалық функция.
Дәлелдеу Dобылысында жататын Ω={φ0,φ1, ..., φn-1}голоморфты қисығын және оның сипаттамаларын қарастыруға сүйенеді:
Tr, Ω=12PI02PIIn Ωreiθdθ,Ωz=k=0n-1φk(z).
Ол негізінен бүтін полианалитикалық функциялардың факторлануы труалы теореманың дәлелдеуі сияқты ретте іске асады. Онымен қатар келесі қатынастың дұрысеттілігі орнатылады:
limr--infinity[T(r,Ω)In11-r ]=n-1.
Модуляр функцияға арналған Р. Наванлинмен алынған асимтотикалық формулаларды қолданып, 1.11 теоремасындағы П(D)полиномоид сақинасын Dобылысындажататын голоморфты PI функцияларының сақинасымен ауыстыратын болсақ, теореманың дұрыс еместігін айқындайтын мысал дәлелінен айырылады, мұндағыPI функциясы келесі шартты қанағаттандыруы қажет:
Tr,PI=oIn11-r, r--1 (1.2)
Бірлік шеңберде полианалитикалық функциялар үшін бүтін полианалитикалық функциялар үшін келтірілген ұсыныстарға аналогты ұсыныстар орнатылуы мүмкін, мысалы:
1. Егер Dобылысында полианалитикалық функциясы Dобылысындакелтірілмейтін болса (яғни, HD[z]сақинасының келтірілмейтін элементі болып табылады) және D оқшауланбаған нөлі бар болса, (1.2) түрінде көрсетіле алады.
2. h D обылысында голоморфты функция, алайда полиномоид емес; PI полианалитикалық, алайда аналитикалық емес полиномоид. Онда h+PI функциясыDобылысында A әрбір комплекс мәнін қабылдайды, тіптен барлық A нүктелерінің жиыныDобылысында дискретті және dD өте жақын;
3. 1) φ D обылысында полианалитикалық функция, полианалитикалық функцияполиномоидтан ерекше; 2) D обылысындаφ функциясының (яғни,D обылысындаорналасқан φz=A(z) теңдеуінің барлық түбірлерінің жиыны) барлық A нүктелерініңM(φ,A)жиыны тұстас D обылысында жататын полианалитикалық функцияполиномоиды бар. Онда басқа полианалитикалық функцияBполиномоидты таңдау кезінде φ функциясыныңбарлық B нүктелерінің M(φ,B)жиыны D обылысындатұстас жатуы мүмкін емес.
1.6 n-аналитикалық функциялардың квазинормал отбасы
Монтель және оның ізбасушыларымен жасақталынғананалитикалық функциялар отбасының квазинормал аппараты полианалитикалық функциялардың қасиеттерін зерттеуге арналған біршама пайдалы құрал болып табылды. Мазмұнды қосымшалар полианалитикалық функцияларының квазинормал отбасының аналогты аппаратын табуына алып келеді деген сенім бос емес. Монтельдік квазинормалдылық анықтамасы полианалитикалық функцияларының отбасына сөзбе сөз көшірілу мүмкіндігі көзге түседі; алайда, мұндағы формалды квазинормалдылық ұғымының сақталуы оқшауланған кемшіліктерге ие: полианалитикалық функцияларға қолайлы қосымшаларында ол аналитикалық функциялар үшін сәтті қызмет ететін квазинормалдылықтың белгілі белгілерінің сақталуымен байланысты емес. Сол себепті полианалитикалық функциялары отбасына арналған квазинормалдылықтың өзге анықтамасын іздестіру амалынан бас тарту қажет. Дәл осындай талпыныс қолданылды, мұндағы монтельдіктен өзге n ретті полианалитикалық функциялардың отбасы үшін екі оқшауланған жетістіктеріне ие квази нормалдылықтың анықтамасы қарастырылды: 1) жаңа анықтамаға қолданылымды Монтельдің квази нормалдылығының белгісі дұрыс; 2) n=1болғанда жаңа анықтамаға қолданылымды Монтельдің квази нормалдылығының белгісі дұрыс. Біз бұл жағдайлардың - жоғарыда келтірілген факторлау теоремаларымен үйлесімділікте - полианалитикалық функциялар үшін пикар типті теоремаларлдың күшейтілген нұсқаларын айқынлауға мүмкіндік береді, сонымен қатар, комплекс талдаудың кейбір классикалық теоремаларының табиғи жалпыламасын айқындаймыз.
Gқандайда да бір облыс, G⊂C;K - Gжататын компакт,
fμz=k=0n-1hμ,k(z)(z)k (μ∈N) (1.3)
Gжататын n - аналитикалық функцияларындағы(1.3)кезектілігін Kкомпактісіндегі p рангісінің реттеуіші деп атайық, p=0, егер hμ,pкезектілігі K-да infinity біркелкі теңдестірілсе, ал әрбір бекітілген k=0,1,..., n-1 кезінде hμ,khμ,p кезектілігі K-да θk(z) шеткі шегіне біркелкі теңдестірілсе; (1.3) кезектілігін K-дағы 1 рангісінің реттеуіші деп атайық, егер әрбір бекітілген k=0,1,..., n-1hμ,k кезектілігі K-да ψk(z) біркелкі шеткі шекке теңдестірілсе,(1.3) кезектілігі Gоблысының ішіндегі p рангісінің реттеуіші деп аталады, егер ол G алынатын әрбір компактіде pрангісіне реттелген болса,(1.3) кезектілігін Gоблысының ішіндегі p рангісіне квазиреттеуіш деп атаймыз, егер G\Eоблысының ішінде реттелген Gоблысында дискретті Eжиыны бар болса.
fαz=k=0n-1hα,k(z)(z)k
Gобылысында n-аналитикалық функциясының Fотбасын G-да квазинормал деп атаймыз, егер F-тағы функциялардың әрбір кезектілігі G ішінде квазиреттелген ішкі кезектілігіне ие болса,Fотбасын нүктеде квазинормал деп егер ол осы нүктенің қандай да бір обылысында квазинормал болатын болса атауға болады.
Квазинормал n-аналитикалық функциялар отбасының екі қарапайым қасиеттерін атап өтейік: 1) Gобылысында n-аналитикалық функциясының Fотбасын Gобылысында G алынатын әрбір нүктеде квазинормал болып табылатын болса ғана квазинормал бола алады; 2) егер G ішінде 1 рангісіне реттеуіш болса, ол n-аналитикалық функцияға біркелкі жинақталады; егер G ішінде p=0 рангісіне реттеуіш болса, онда ол G\Epтүріндегі ашық жиын ішінде infinity -ке біркелкі жинақталады, мұндағыEp - p+1полианалитикалылықтың дәл ретіндегі полианалитикалық функцияқандай да бір функциясының барлық нөлдерінің жиыны. fполианалитикалық функциясы Gоблысында Aмәнін pартық емес рет қабылдайды, егер f-Aфункциясы Gоблысында тек қандай да бір z1,..., zmшекті нөлдер санына ие болатын болса, тіптен
k=1mInd zk, f-A=p.
n-аналитикалық функциялар отбасылары үшін осы жерде енгізілген квазинормалдылық ұғымына Монтель белгісіне аналогты келесі квазинормалдылық қасиетері бар:
1.11 Теорема. Қандай да бір G⊂Cоблысында n-аналитикалық функциялар отбасы үшін отбасының әрбір функциясы G-да Aмәнін pартық емес және Bмәнін qартық емесқабылдайтын A,B,p, q константалары бар (A!=B, pжәне q - бүтін теріс емес сандар).
Бұл тұжырымның дәлелдеуі голоморфты вектор-функцияларының нормаль отбасыларына қатысты Дюфренуа көзқарасын пайдаланады. Факторлау туралы теоремамен үйлесімділікте квазинормалдылық белгісі полианалитикалық функция үшін Пикар теоремасының түрлі дәлдеуін алуға мүмкіндік береді. Бұл жерде осындай ұсыныстардың бірімен шектелейік.
1.12 Теорема. Егер f функциясы a нүктесінің ойылғанобылысындағы полианалитикалық функция болатын болса, осы нүктеде оқшауланған ерекшелікке ие болса онда Aсанының қандай да бір таңдауы кезінде fz=A теңдеуінің барлық түбірлерінің Mf;Aжиыны a нүктесін шекті ретінде қабылдай алмайтын болса, онда a нүктесінен шығатын оның кез-келген δ(L)бұрыштық обылысында B!=Aболғанда fz=Bтеңдеуінің барлық түбірлерінің Mf;Bжиыны шексіз болатындай Lконтуры бар. Тіптен aнүктесінің жеткілікті шағын обылысы шегінде бұл жиын a нүктесін өзінің жалғыз шекті мәні деп қабылдайды.
Квазинормалдылық ұғымының түрленуі көмегімен шығарылған үш ұсынысты келтіреміз, олар аналитикалық функция теориясының классикалық нәтижелерін жалпыландырады.
1. (Витали-Монтель теоремасының аналогы). fμ- Gоблысында - аналитикалық функциясының қандай да бір квазинормал отбасынан алынатын функцияларының кезектілі болсын; E⊂G- Hn(G)класына арналған біркелкілік жиыны. Егер берілген кезектілік E бойынша нүктелер бойынша түйіндестірілсе, онда ол Gішінде біркелкі жинақталады.
Осы жерде полианалитикалық функциялардың біркелкілік теоремасынан Витали-Стилтьес теоремасының аналогы шығад.
2. Егер fμ - Gоблысында n-аналитикалық функциясының кезектілігі, Gоблысында n ретті қоюлатылған нүктесі бар қандай да бір E бойынша нүктелер бойынша түйіндестірілсе және G облысында кезектілік функциясының бірде бірін қабылдамайтын A және B екі кешнді мәндері бар болатын болса, онда fμ Gоблысының ішінде біркелкі жинақталады.
Полианалитикалық функциялардың шекаралық қасиеттерін меңгеру үшін 1 тұжырымынан алынатын салдар пайдалы.
3. (Линделеф-Монтель теоремасының аналогы). Sерітіндісініңашық шеңберлік секторында n-аналитикалық f функциясы PI кем, оның бойында A және B екі түрлі мәнін шеткі (p) саннан кем рет қабылдай алады; z Sжататын n бекітілген радиустардың ішіндегі кез-келген біреуі бойынша сектордың шыңына ұмтылатын болса,fфункциясы λ шегіне ұмтылсын. Онда fфункциясы λ шегіне ұмтылады; z S'секторында қала отырып, еркін түрде сектордың шыңына ұмтылатын болса.
1.7 Оқшауланған ерекшелік обылысында түйіндестірілген аналитикалық функциялар.
fфункциясы қандай да бір a∈Cнүктесінің U0(a) ойылған маңайында түйіндестірілген аналитикалық функциясы болып табылсын, олкелесі қатар түріне келтіріле алады:
fz=k=0infinityhk(z)(z-a)k (1.4)
мұндағы барлық hk(k=0,1, ...)- U0обылысында голоморфты функция және олардың кем дегенде біреуі aнүктесінде полюс немесе оқшауланған ерекшелікке ие; (1.4) қатар U0 ішінде біркелкі жинақталады деп болжалынады. Шеткі реттіполианалитикалық функциялар жағдайында fкелесі түрде келтіруге болады:
fz=k=0infinityψk(z)ζk (1.5)
fz=v=-infinityinfinityPIv(ζ)(z-a)k
мұндағыζ=(z-a)(z-a), ал барлық PIv (v∈Z)функциялары ζ айнымалысына қатысты дәрежелік қатарлармен беріледі.
Fz=f(z)(z-a)n, мұндағыn - бүтін теріс емес сан, ал (1.4) түріндегі түйіндестірілген аналитикалық функция. Біз тек n=0жағдайымен, яғни тек түйіндестірілген аналитикалық функцияларымен шектелеміз, алайда ол соңғы нәтиженің жалпылығын кемітпейді.
Мультианалитикалық функциялар үшін оқшауланған ерекшелік реті енгізілді, оны түйіндестірілген аналитикалық функцияларға қолдануға болады - келесі жолмен анықтаймыз. өрнегіндегі әрбір ψk функциясына λk бүтін санын келесі түрде салғастырамыз: егер ψk≡0 онда λk=-infinity; егер ψk функция а нүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болса, ондаλk=+infinity; егер ψkфункцияaнүктесінде mретті полюсіне ие болса, онда λk=m; егер егер ψkфункция анүктесінде pретті нөлге ие болса, онда оны m=-pретті полюс деп санаймыз; егер ψkфункция а нүктесінде нөлден өзге шеткі және ерекше шекке ие болса, онда aнүктесін m=0 ретті плюс деп санаймыз. fтүйіндестірілген аналитикалық функциясының a оқшауланған ерекшеліктерінің реті деп df=supλk(k∈Z)саны аталады. aнүктесі fтүйіндестірілген аналитикалық функциясы үшін оқшауланған ерекше деп саналады, егер df=+infinity; жекелей алғанда қатардағы ψkфункцияларының кем дегенде біреуі осы нүктеде оқшауланған ерекшелікке ие болатын болса. Егер f түйіндестірілген аналитикалық функциясы aнүктесінде оқшауланған ерекшеліксіз болса, онда оны aнүктесінде мероморфты деп атаймыз. жұмысында Крайкевич келесідей сипаттауға болатын Пикар типті теоремасын дәлелдеді:
1.13 Теорема. Егер fтүйіндестірілген аналитикалық функциясы a!=infinityнүктесінде оқшауланған ерекшелікке ие болатын болса, онда түйіндестірілген аналитикалық А функциясын таңдау кезінде a мероморфты нүктесінде - осындай функциялардың біреуіне ерекшелік құрауы мүмкін - fz=A(z) теңдеуі түбірлерінің жиыны өзінің a нүктесін шекті деп табады.
Егер f - infinityнүктесінің ойылғанобылысындағы түйіндестірілген аналитикалық функциясы және осы нүктеде оқшауланған ерекшелікке ие болса, онда 1.13 теоремасы дұрыс болмауы мүмкін. мысал ретінде түйіндестірілген аналитикалық функция қызмет ете алады:
k=0infinity(ezk!)zk.
1.8 Полимероморфты функциялар туралы. Екі жақты периодты полианалитикалықфункциялар
Cжататын полимероморфты fфункциясын C\Eжазықтығында полианалитикалық функция ретінде анықтауға болады, мұндағыE - Cжататын қандай да бір дискретті, тіптен a∈Eнүктелерінің ешбірі fфункциясы үшін оқшауланған болып табылмайды.
Cжататын мераморфты аналитикалық функциялары үшін Пикардың атақты теоремасы полимероморфты функциялар үшін қабылданбайды. Оған нақты мысал болып бимероморфты функция қызмет ете алады:
k=1infinityAkz-akz-ak
мұндағыak--infinity, k--infinity;Ak!=0;k=1infinityAk+i nfinity . Бұл функция, C\{ak}k∈Nмодулі бойынша шектелген болып табыла отыра шексіз көп комплекс мәндерді қабылдамайды; алайда оған қарамастан, константа болып табылмайды. Факторлау туралы теореманы пайдаланып, Пикар теоремасы өз күшін жоғалтпайтын n1 ретті полимероморфты функциялардың кең класын айқындауға мүмкіндік беретіндігін қайталап өтейік.
1935 жылы саңылауларымен әлсіреген созылмалы өзекшедегі кернеулер туралы есепті шешу кезінде В.Я.Натанзон алғаш рет мероморфты бианалитикалық функцияларды қолданды:
zz3+wz-wz-w3-ww3
(қосынды барлық мүмкін w=n1w1+n2w2сандарына қатысты, мұндағыim(w1w2=0, n1, n2∈Z, w=0). Кейінірек нұсқалынған түрдегі функциялар Л.А. Фильштинскиймен серпімділік теориясында пайдаланылды.Неғұрлым жалпы функциялар класын 1957 жылы Эрве зерттеді, ал дәлірек айтқанда:
znzn+2+wz-wnz-wn+2-wnwn+2 (1.6)
(1.6) полианалитикалық функциялары - Екі жақты периодты (w1 және w2 негізгі периодтары). Бұл функцияларды сопақша функциялар теориясының аналогы Вейерштрасстың ℘-функциялары ретінде қарастыруға болады. Екі жақты периодты полианалитикалық функциялардың жалпы түрін В.В.Показаев тапқан. Бір периодты функцияларға қатысты В.В. Показаев келесі түрдегі формуланы көрсетті:
fz=k=0n-1zw-zwkφk(z)
мұндағыw - функцияның негізгі периоды, ал барлық φk - wпериодты аналитикалық функциялар.
2 ПОЛИАНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРҒА ҚОЙЫЛҒАН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТАЛДАУ
2.1 Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі
Fz=Ux,y+iV(x,y) полианалитикалық функциясының D облысындағы нақты және жорамал бөліктері полигармоникалық функциялар болады, яғни,
∆nU=0 және ∆nV=0,
мұндағы, ∆=d2dx2+d2dy2 -Лаплас операторы.
D облысында кез келген Fz полианалитикалық функциясын
Fz=k=0n-1zkφk(z),
D облысындағы бір мәнді аналитикалық функциялардың көмегімен сипаттауға болады. Мұндағы, z=x-iy, ал φkz (k=0,1,...,n-1)- D облысында бір мәнді аналитикалық функциялар.
F(z) бианалитикалық функциясының аналитикалық компоненттерімен тиісінше нөлдік, бірінші,..., (n -1) ші.
Одан әрі D облысындағы полианалитикалық функциялар класы An(D) , ал аналитикалық функциялар класы A(D) арқылы белгілейміз.
2.2 Полианалитикалық функциялар үшін негізгі шекаралық есептерді қойылуы
z = x + iy комплексті айнымалы жазықтықта L-еркін (жабық немесе ашық) контур болсын.
Полианалитикалық теориядағы негізгі сызықтық шекаралық есептер n ( n=2) ретті функциялар үшін орындалады.
1) F(z) функциясының N жартылай талдау тәртібін іздеуде тұрған Риман типінің шекаралық есептері, оның шекаралық мәндері F +(t) және F-(t) - шарттарды қанағаттандырады:
RR,n: ∆kF+t=G0kt∆kF-t+g0k(t),k=0,1,...,n- 1 (2.3a)
R1,n : dn-1F+(t)dxn-kdyk-1=G1k(t)dn-1F-(t) dxn-kdyk-1+g1k(t),k=1,2,...,n (2.3b )
R2,n : dkF+(t)dn+k=G2ktdkF-tdnk+g2kt,k=0,1 ,...,n-1 (2.3c)
2) Полианалитикалық n-ші ретті Гильберт типінің шекаралық есептері- F(z) функциясының n шекаралық шарттарын қанағаттандыратын F(t) функциясын іздеу есептері:
HR,n : ReG0kt∆kF(t)=g0kt, k=0,1,...,n-1; (2.4a)
H1,n: ReG1ktdn-1 F(t)dxn-kdyk-1=g1kt, k=1,2,...,n; (2.4b)
H2,n: ReG2ktdkF(t)dnk=g2kt, k=0,1,...,n-1; (2.4c)
Мұндағы, ∆=d2dx2+d2dy2 - Лаплас операторы, ddn+(ddn-) бойынша туынды, ал Gjk(t), gjk(t)(j=0,1,2) - L функциясына берілген.
Полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт есебі төмендегі мәселелерді шешуге мүмкіндік берді:
1) Бөліктенген үзіліссіз полианалитикалық функциялар кластарында негізгі шекаралық есептерді шешу әдістерін әзірлеу;
2) Оларды шешу теориясын құру;
2.3 Полианалитикалық функцияларға арналған есептерге жүргізілген зерттеулер
2.1-теорема.L=t:t=1,D+=z:z1, және D-=C\{D+∪L} есебін шешу үшін R1,2 класындағы шешімге Н.И.Мусхелишвили [10] негізделінген h0 Риманның екі скаляр есебін талдау функцияларына қатысты шексіздік.
2.2 Tеорема. R1,2біртекті емес есептің рұқсат ету шарттарының p саны және тиісті біртектес есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің l саны соңғы болып табылады, яғни шеңбер жағдайында R1,2 есебі стандарты емес болып табылады.
2.3 Tеорема. L = {t: Imt = 0} D[+]= {z: Imz 0} және D-=C\{D+∪L} болсын . Сонда R2,2 есебін шешу Н. И. Мусхелишвили класындағы шешімге негізделеді h0 Екінші ретті нөл шексіздігіне ие кесек аналитикалық функцияларға қатысты Риманның екі кәдімгі скалярлы есебі.
2.4 Tеорема. R1,2 біртекті емес есептің шешу шарттарының p саны және тиісті біртекті есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің саны соңғы болып табылады, яғни R1,2 есебі жартылай қабаттылық жағдайында стандарты емес болып табылады.
2.5 Tеорема. L={t:t=eis,0=s=PI} және D=C\L болсын. Сонда R1,2 есебін шешу шексіз жоғалатын және L контурының шетінде интегралданатын тәртіптің шексіздігі бар аналитикалық функциялар кластарындағы Риманның екі жартасты есебін шешуге негізделеді.
2.6 Tеорема. R1,2 біртекті емес есептің шешу шарттарының p саны және тиісті біртекті есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің l саны соңғы болып табылады, яғни жартылай айналмалы жағдайда R1,2 есебі стандарты емес болып табылады.
2.7 Tеорема. L=m=1nam,bm,D=C\L болсын . Сонда R1,2 есебін шешу екінші ретті нөл шексіздігіне және L контурының шетінде интегралданатын тәртіптің шексіздігіне ие сілтілер бар жазықтықтағы аналитикалық функциялар кластарындағы Риманның екі жартас есептерін дәйекті түрде шешуге негізделеді.
2.8 Tеорема. R1,2 біртекті емес есептің шешу жағдайларының p саны және тиісті біртекті есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің l саны соңғы болып табылады, яғни R1,2 есебі сілтілі жазықтықта жоқ болып табылады. Осыған ұқсас тұжырымдар R2,2 міндеттерін қарау кезінде тұжырымдалған және дәлелденген.
L тегіс контуры кеңейтілген комплекс жазықтықты D шекті облысы және құрамында z=infinity нүктесі бар D' облысына бөледі. Қосымшалар үшін ерекше маңызды полианалитикалық функцияларға арналған Риман-Гильберт типті келесі үш негізгі есептер неғұрлым толықтай зерттелінді:
ReGkt∆kut=fkt, k=0,1,...,n-1 (2.5a)
Re(Gktdn-1utdxn-kdyk-1)=fkt, k=1,2,...,n (2.5b)
Re(Gktdkutdnk)=fkt, k=0,1,...,n-1 (2.5c)
мұндағы, ∆ - Лаплас операторы, ddn - сыртқы нормальдің L-ға қатысты туындысы. Бұл кезде Gkt, fktберілген функциялары 2n-k-2-ші ретке дейінгі өзінің туындыларымен L-да Гельдер шартын қанағаттандырады, мұндағы, C2n-1,μ (L) класына жатады (яғни, контур t=xs+iy(s)теңдеуімен беріледі, мұндағы xs және ys, 2n-1-ні қоса алғандағы өзінің туындылармен бірге Гельдер шартын қанағаттандыратын sдоғасының функциялары) және Gkt!=0.
Gkt=1 жеке жағдайларында (2.5a), (2.5b) есептеріне сәйкесінше Рикье есебі болады. Бірінші негізгі есеп және екінші негізгі есеп деп аталатын полианалитикалық функциялар теориясының негізгі классикалық есептерін бейнелейтіндігін атап өту қажет, және оған көптеген түпнұсқалы жұмыстар арналған. Осы есептерге деген қызығушылық негізінен тұтас орта механикасы мен математикалық физиканың көптеген шешімдерін табу уақытында түрлі қосымшалардың туындауына байланысты.
(2.5a) (2.5b) аналогиясы бойынша L-да
∆ku+t=Gkt∆ku-t+gkt, k=0,1,...,n-1 (2.6a)
dn-1u+tdxn-kdyk-1=Gktdn-1u-tdxn-kdy k-1+gkt, k=1,2,...,n (2.6b)
dku+tdnk=Gktdku-tdnk+gkt, k=0,1,...,n-1. (2.6c)
u+(z) және u-(z) шекаралық мәндері шекаралық шарттарды қанағаттандыратын, D∪D' ашық жиынында полианалитикалық u функциясына арналған сәйкес сызықтық түйіндестіру есебі қарастырылады.
(2.5b), (2.5c) есептері мен сәйкесінше (2.6b),(2.7c) есептері олардың күрделілік деңгейі сияқты, олардың шешімдері бойынша да жақын. Алайда, (2.5a) және(2.6a) есептері екінші және үшінші тип есептерінің өздерінің қойылым қарапайымдылығымен біршама ерекшеленеді. Ол ерекшелік,сәйкес (2.5a) және (2.6а) шекаралық шарттарын анықтаушы
∆k=4kd2kdzkdzk
дифференциалдық операторлары үшін
∆kuz=4kp=kn-1p!p-k!dzp-kϕpkz, k=0,1,...,n-1 (2.7)
теңдігі орындалады. Мұндағы біркелкілік үшін ∆0u=u. Осы жерден шығатыны, k=n-1, n-2, ..., 0үшін (2.5 а) шекаралық шартын сәйкесінше
4n-1Ren-1!Gn-1tϕn-1n-1t=fn-1t,...
4n-2ReGn-2tn-2!ϕn-2n-2t+n-1!ϕn-1n-2 t=fn-2t,...
ReG0t[ϕ0t+tϕ1t+...+tn-1ϕn-1t]=f0t (2.8)
түрінде жазуға болады.
(2.8) шекаралық шарттар жиынтығында үшбұрыш түрге ие екендігі анық. Сол себепті кезекті ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz