Салу есептерін шығарудың негізгі кезеңдері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Академик Ә. Қуатбеков атындағы Халықтар Достығы

университеті

«Информатика және математика» кафедрасы

«Қорғауға жіберілсін»

кафедра меңгерушісі

ф. -м. ғ. к., профессор Юнусов А. А.

«___»2019 ж.

ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ

Жұмыстың тақырыбы: Мектеп геометрия оқулықтарындағы салу есептері және оны шығару әдістері

Мамандығы: 5В010900 - Математика

Орындаған: Т109-15 Балтабай Е. Н.

Дипломдық жұмыстың

жетекшісі: доцент Қарабаев А.

Шымкент - 2019

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . .

1 МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ САЛУ

ЕСЕПТЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ШЫҒАРУ ӘДІСТЕРІ . . .

1. 1 Жазықтықтағы негізгі салу есептері . . .

1. 2 Салу есептерін шығарудың негізгі кезеңдері . . .

1. 3 Планимертиялық салу есептерін шығарудың негізгі әдістері . . .

1. 3. 1 Симметрия әдісі . . .

1. 3. 2 Түзулеу әдісі . . .

1. 3. 3 Қиылысу әдісі . . .

1. 3. 4 Ұқсастық және гомотетия әдісі . . .

1. 3. 5 Паралель көшіру әдісі . . .

1. 3. 6 Алгебралық әдісі . . .

2 НҮКТЕЛЕРДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ОРНЫНА (Н. Г. О)

БЕРІЛГЕН САЛУ ЕСЕПТЕРІ . . .

2. 1 Жазықтықта ортақ қасиеті бар нүктелер жиыны……… . . .

2. 2 Н. Г. О әдісін салу есептерін шығаруда қолдану…… . . .

2. 3 7-9 Сынып геометрия оқулықтарындағы нго әдісімен

шығарылатын салу есептерін шығару және нго берілген

салу есептерінің топтамасы . . . . . .

ҚОРЫТЫНДЫ . . .

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР . . .

ҚОСЫМША . . .

КІРІСПЕ

Мектеп геометрия курсында салу есептері үлкен мәнге ие. Өйткені олар геометрия курсында оқытылатын геометриялық образдардың арасындағы шынайы қатынастарды аңғаруға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, салу есептерін шығару оқушылардың логикалық және белсенді ойлау қабілетін дамытады, кеңістіктік түсініктерін қалыптастырады. Шындығында, планиметрияда көмекші салуларды және күрделі логикалық ойқорытуларды қажет етпейтін көптеген есептеуге берілген есептер теоремалардың тұжырымдамасын, фигуралардың қасиеттерін және т. с. с. материалдарды бекітуге беріледі. Оқушылардың логикалық ойлауын дамыту және сол арқылы олардың білімдерін жүйелі, берік және терең ету үшін дәлелдеуге берілген есептер шығарылады.

Сондай-ақ, оқушылардың логикалық ойлауын дамытуда салу есептерінің де мәні үлкен. Бұндай есептерді шешуде талдау жасау, дәлеледеу және зерттеу оқушылардың бойында дұрыс ойлау және логикалық талқылау дағдыларын қалыптастыруға қажетті бай материал қорын ұсынады. Салу есептерін шығаруда оқушылар бір нақты фигурамен ғана жұмыс жүргізбей, элементтерінің әртүрлі жағдайында өзгерістерге ұшырап отыратын ізделінді фигураны құруы керек. Бұнымен біз оқушыларды ойлаудың диалектикалық әдісіне үйретеміз және мүмкіндігінше білімдегі формализмді жоямыз.

Төрт сатыдан тұратын салу есептерін шығарудың кезеңдері (талдау, салу, дәлелдеу, зерттеу) нақты ғылымдар саласындағы проблемаларды зерттеу және шешудің мықты құрылымы болып табылады. Бұндай есептерді шығару үдерісінде оқушылардың тиянақтылық, тыңғылықтық, шығармашылық сияқты қасиеттері дамиды.

Салу есептері оқытылған материалдарды бекітуге және қайталауға мүмкіндік береді, басқаша айтқанда олардың әрқайсысын шығару үшін геометрия курсының әртүрлі тарауларына қатысты білімдер қолданылады.

Салу есептерін шығару барысында геометрияның теориялық курсында қамтылмаған көптеген жаңа геометриялық фактілерді алуға (өзбетінше ашуға) болады. Мысалы, берілген элементтері бойынша үшбұрыштар салу есептерін шығару нәтижесінде үшбұрыштардың теңдік белгелерін өзбетінше тұжырымдай алады. Дипломдық жобада салу есептерін шығару барысында геометриялық есептердің басқа түрлерімен байланысын ғана емес, салу есептерінің басқа мектеп пәндерімен де (алгебра, физика, сызу) байланысын анықтайды.

Дегенмен мектеп геометрия курсында ең негізгі, ең қажетті деген салу есептері ғана беріледі. Оның өзінде сабақтарда ол есептер түгел шығарылмай, көпшілігі қалдырылып кетіп жататындығы жасырын емес. Оның негізгі себептерінің бірі, оқушыға салу есептерін шығару әдістерін үйретуден гөрі күрделі логикалық ойқорытуларды қажет етпейтін есептеуге берілген есептерді шығарып көрсету әлде қайда оңай болса, екінші жағынан мұғалімге көмек болатын салу есептерін шығаруға арналған әдістемелік әдебиеттердің аздығында (қазақ тілінде жоқтың қасы деуге болады) деп есептеймін.

Геометрия салу есептерін, оның ішінде Н. Г. О-ны есептерін шешудің теориясы мен практикасымен шұғылданған көптеген математиктердің еңбектері мен кітаптары жарық көрген. Олардың қатарына Рахымбек Д., Мадияров Н, Сейтжанова К. Б, . Рахымбек Д, Кенеш Ә. С, . Четверухин Н. Ф, . Стражевский А. А, . Мисюркеев И. В, . Александров И. И, . т. б көптеген авторлардың кітаптары мен мақалалары кіреді. Бұл кітаптар мен мақалалар нұктелердің геометриялық орны есептерін шешуді оқытуда мұғалімнің басты көмекші құралы болып табылады, яғни мұғалім бұл еңбектерден құнды мәліметтер таба алады. Мысалы: Стражевский А. А кітабында, автор нүктелердің геометриялық орны есептерін шешудің методтарына, оқыту методикасына жан-жақты талдау жасаған Бұл еңбек- нүктелердің геометрияллық орны есептерін шешу туралы құнды еңбектердің бірі болып саналады.

Бұл дипломдық жобада нүктелердің геометриялық орындарын табу әдісін салу есептреін шешуге қолдану, мектеп геометрия оқулықтарындағы салу есептері және оны шығару әдістері, жазықтықтағы негізгі салу есептері, салу есептерін шығарудың негізгі кезеңдері оның ішінде әр есепке есептің шешілуі, талдауы, салу, оны дәлелдеу және зерттеу жұмыстары жеке-жеке көрсетілген. Планиметриялық салу есептерін шығарудың негізгі әдістері яғни: симметрия әдісі, түзулеу әдісі, қиылысу әдісі, ұқсастық және гомотетия әдісі, параллель көшіру әдісі, алгебралық әдістерінің әр бөліміне анықтама беріліп мысал есептерімен толықтырылған. Нүктелердің геометриялық орынына берілген салу есептері, жазықтықта ортақ қасиеті бар нүктелер жиыны, нүктенің геометриялықорны әдісін салу есептерін шығаруда қолдану жолдары, 7-9 сынып геометрия оқулықтарындағы н. г. о әдісімен шығарылатын салу есептерін шығару және н. г. о берілген салу есептерінің топтамасы көрсетілген. Осы жүйелерді қарастырып және зерттеп, қарастырып жатқан мәселелерді практикалық, яғни есептер мен сызбаларды қарастырамыз.

Тақырыптың өзектілігі: Нүктелердің геометриялық орны әдісі оқушылыардың кеңістіктегі елестетуін қалыптастырады, қалыптсатырудағы маңызы зор.

Жұмыстың мақсаты: Мектеп геометрия оқулықтарындағы салу есептері, жазықтықтағы негізгі салу есептері тақырыптар жайлы толық мағлұматтар және сол зерттелген мәселелерді оқушылардың түсінуі үшін берілген есептерді шығару және дәлелдеу;

Жұмыстың міндеті: а) геометриядағы нүктелердің геометриялық орны есептерін шығарудың теориясы мен практикасына арналған әдебиеттерге талдау; ә) мектеп геометрия курсындағы нүктелердің геометриялық орны есептерінің алатын орнын анықтау;

б) 7-9 кластардағы нүктелердің геометриялық орны есептерінің методикасы мен практикасына талдау жасау.

Жұмыстың зерттеу нысаны: Планиметриялық салу есептерінің шығарудың негізгі әдістеріне жеке-жеке түсіндірмелі талдау жүргізу.

Жұмыстың жаңалығы: қарастырылған тақырыптарды терең зерттей келе, тақырыпқа берілген есептерді шешудің жаңа жолдарын көрсету;

Жұмыстың практикалық маңыздылығы: Оқушыларды геометрия пәні бойынша алған теориялық білімін, дағдыларын қалыптастыру.

Диплом жұмысының кұрылымы: Бұл дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытынды, пайдаланылған дерек көздерінен тұрады.

1 тарау Мектеп геометрия оқулықтарындағы салу есептері және оны шығару

2 тарау Н. Г. О берілген салу есептерінен тұрады.

I. МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ ОҚУЛЫКТАРЫНДАҒЫ САЛУ ЕСЕПТЕРІ ЖӘНЕ ОНЫ ШЫҒАРУ ӘДІСТЕРІ

1. 1 Жазықтықтағы негізгі салу есептері

Геометриялық салу есебі - алдын ала берілген құралдарды пайдалана отырып, есеп шартын қанағаттандыратын фигураны салу

Салынған фигура салу есебінің шешімі делінеді. Кейде салу есебінің шартын қанағаттандыратын бірнеше фигура болуы мүмкін. Салу есебі шешілді делінеді, егер оның барлық шешімі табылса.

Есеп шартын қанағаттандыратын фигуралар бір бірінен тек жазықтықтағы орны арқылы ғана озгешеленсе есептің жалғыз ғана шешімі бар делінеді. Шешімі шексіз көп болатын салу есептер де болады. Ондай есептер есеп шарты жеткіліксіз берілген жағдайлардан туындайды. Ондай есептер шешілді делінеді, егер ол есепті шешудің жалпы жолы табылса. Мысалы, А және В екі нүктені басып өтетін шеңбер салу есебі осындай есепке жатады. Ізделінді шеңбердің центрі АВ кесіндісінің орта перпендикулярының кез келген нүктесі мен А нүктесінің ара қашықтығы болады.

Кейде есеп шартын канағаттандыратын фигура мүлдем болмауы, болған куннің озінде сайлап алынған құралдармен салынбауы мүмкін. Мысалы, концентрі шеңберлерге ортақ жанама мүлдем болмайды. Мұндай жағдайда, есеп шартын қанағаттандыратын фигураның жоқтығын дәлелдей алсақ есеп шешілді делінеді.

Кейде есепке шарт артық қойылуы себепті есептің шеуі болмауы мүмкін. Мысалы 4 нүктені басып өтетін шеңбер салу, екі қабырғасы мен екі бұрышы берілген үшбұрыш салу есептерінде шарт артық қойылған. Мұндай есептерді шарт артық қойылған есептер дейді.

Жалпы n-бұрышты бір мәнді салу үшін 2n-3 шарт орындалуы керек. Сонда үшбұрышты салу үшін 2n-3=2*3-3=3 шарт, төрт бұрышты салу ушін 2n-3=2*4-3=5 шарт берілуі керек. .

Салу есептерін орындағанда есептің барлық мүмкін жағдайлары қарастырылады. Мысалы шеңберге А нүктеден жанама жүргіз десе, онда А нуктесінің шеңбер ішінде, шеңбер бойында, шеңберден тыс жататын жағдайларын жеке-жеке қарастыру қажет.

Салу есептерін шешу дегеніміз ол есепті төмендегі 1-5 пастулатта алынған қарапайым салуларға келтіру болып табылады.

П-1. Берілген екі нүктеден өтетін түзуді салу, яғни екі нүкте берілсе түзуді алынған деуге болады.

П-1 Берілген нүктені центр етіп, берілген екі нүкте арақашықтығын радиус етіп шенбер салу. Демек центрі мен радиусы берілсе шеңберді салынғаен деуге болады.

П-3. Параллель емес екі түзу түзудің қиылысу нүктесін салу. Демек берілген екі түзу параллель болса, олардың қиылысу нүктесі салынды деуге болады.

П-5. Берілген екі шенбердің қиылысу нүктесін салу. Бырақ күрделі салу есептеріндегі салудың әрбір қадамы 1-5 пастулатта баяндалған салуларға келтіру ұзаққа созылып кетеді. Көптеген күрделі салу есебінің шешілу құрамына кіретін қарапайым салу есептері болады. Ол есептер әдетте мектеп геометриясында қарастырылады. Егер салу есептерінің шығарылуы жолын бірнеше сатыларға бөліп, ол сатылар негізгі салуларға салынды деп есептеуге болады. Сондықтан салу есебін шешу - ол салудың 1-5 пастулаттарына және негізгі салу есептеріне келтіру болып табылады.

Жазықтықта салынған (яғни берлген) негізгі фигуралар (нүкте, түзу, шеңбер) жиыны Е-ны жаңа салынған негізгі (фигуралармен, нүктелер-мен, түзулермен, шеңберлермен) толықтыру үшін түрлі салу құралдарын қолданылады. Ол құралдарға салу мүмкіндігін көрсететін түсініктемелер берілуі керек. Олар аксиома түрүнде беріледі. Салу құралдарына бір жақты және екі жақты сызғыштар, тік бұрыш, циркуль т. б жатады.

Ежелден қалыптасқан дәстүр бойынша салу құралы ретінде көбінесе сызғыш пен циркуль қабаттаса қолданылады. Сызғыш бір жақты, шкаласыз және шексіз деп есептеледі. Циркуль ашасыда шексіз деп есептеледі.

Демек циркуль мен сызғыш күнде қолданылып жүрген циркуль мен сызғыш емес, олар абстракцияланған болып табылады. Циркуль менсызғыш арқылы салынатын негізгі салу есептері қатарына мыналарды жатқызуға болады:

1. Берлеген сәулеге оның төбесінен бастап берілген кесіндіні өлшеп салу;

2. Берілген сәуледен берілген бір жарты жазықтықта берілген бұрышты салу;

3. Бұрыштың биссектрисасын жүргізу;

4. Берілген орта перпендикулярын жүргізу;

5. Кесіндінің ортасын салу;

6. Үш қабырғасы мен бойынша үшбұрыш салу;

7. Екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу;

8. Бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы бойынша үшбұрышсалу;

9. Берілген түзуге берілген нүктеден перпендикуляр түзу жүргізу;

10. Берілген нүктеден берілген нүктеге параллель түзу жүргізу;

11. Гипатенузасы мен бір сүйір бұрышы бойынша тік бұрышты үшбұрыш салу;

12. Гипатенузасы мен бір катет бойынша тік бұрышты үш бұрыш салу;

13. Шеңберге оның берілген нүктесінен жанама жүргізу;

14. Шеңберге берілген нүктеден жанама жүргізу.

Берілген сәулеге оның төбесінен бастап берілген кесіндіні өлшеп салу . .

а түзуі және осы түзу бойынан А, Х, Z нүктелері алынған

Х және Y нүктелері А нүктелерінің бір жағында жататыны, Х және Z нүктелерінің де А нүктесінің бір жағында жататыны белгілі. Y және Z нуктелері А нүктесіне қатысты қалай орналасқан: бір жағында ма, әлде екі жағында ма?

Шешуі. А нуктесі арқылы өтетін а тузуінен өзгеше b түзуін жүргізелік. Бұл түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. Осы жартыжазықтықтардың бірінде Х нүктесі жатады. Есеп шарты бойынша Х және Y, Х және Z нүктелері а тузуінде А нуктесінің бір жағында орналасқан, онда X Y Және XZ кесінділері b тузуімен қиылыспайды, яғни А нуктесі XY және XZ кесінділерінде жатпайды. Онда А нуктесі YZ кесіндісіне де тиісті емес ( YZ b тузуімен қиылыспайды), Y және Z нуктелері A нуктесінің бір жағында жатыр.

Т узудің берілген нуктесінен оның бір жағында орналасқан нуктелерінің жиынын сәуле немесе жарты түзу деп атайды. Бұл берілген нүктені сәуленің бастапқы нүтесі деп атайды. Тузудің әрбір нүктесі оны екі сәулеге бөлді және олардың бастапқы нүтелері ортақ . Тузудің осындай бастапқы нүктелері ортақ болып келген әр түрлі сәулелері бір бірінің толықтауыш сәулулері деп атайды.

Берілген сәуледен берілген бір жарты жазықтықта берілген бұрышты салу. .

Бұрыш деп- бастапқы нүктелері ортақ болатын әр түрлі жарты түзулерден құралған фигураны айтады. Бұл ортақ нүкте бұрыштың төбесі деп ал жарты түзулер бұрыштың қабырғалары деп аталады. Егер бұрыш қабырғалары өзара толықтауыш сәулелер болса, онда мұндай бұрышты жазыңқы бұрыш деп атайды. Жазыңқы бұрыштың тең жартысы тік бүрыш деп аталады. Көбінесе тік бұрыштарды белгісімен көсетеді.

Төбесі О және қабырғалары а, b сәулелері болатын бұрыш бейнеленген. Бұрышты оның төбесін көрсету арқылы немесе оның қабырғаларын көрсету арқылы немесе оның уш нүктесі: төбесі және қабырғалары жататын екі нүктесі арқылы белгілейді. Бұрыш сөзін кейде

таңбасымен белгіленеді.

Кесінділерді өлшеп салу мен бұрыштарды өлшеп салудың негізгі қасиеттері мынадай: Кез келген сәуле бойынан оның бастапқы нүктесінен бастап ұзындығы берілген кесіндіні өлшеп салуға болады және бұл кесінді жалғыз болады.

Кез келген сәуледен берілген жарты жазықтықта градустық өлшем берілген бұрышты өлшеп салуға болады және бұл бұрыш жалғыз болады.

есеп. АВ сәулелесінде АВ кесіндісінен кіші АС кесіндісі өлшеп салынған. А, В, С нүктелерінің қайсысы қалған екеуінің арасында жатады?

Шешуі. В және С нүктелері бастапқы нүктесі А болатын сәуледе жататындықтан

1-сурет

Олар А нүктесімен бөлінбейді, яғни А нүктесі В және С нүктелері арасында жатпайды. В нүктесі А және В нүктелерінің арасында жатуы мүмкін бе? Егер В нуктесі А және С нуктелері арасында жатса, онда АВ+ВС=АС болуы қажет. Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені есеп шарты бойынша АС кесіндісі АВ кесіндісінен кіші. Олай болса, В нуктесі А және С нуктесінің арасында жатуы мүмкін емес. Сондықтан С нуктесі ғана А және В нуктелерінің арасында жатады.

Берілген бұрышқа тең бұрыш салу. .

Шешуі. Ең алдымен есепті қалай түсүну керек екенін айқындап алайық, яғни не берілді және нені салу қажет екеніне жауап берейік. Төбесі О нүктесінде болатын (pq) бұрышы берілген. Онда циркульді және сызғышты пайдаланып, берілген (pq) бұрышына тең ВАС бұрышын салу қажет. Ол үшін О центрінен радиусы кез келген шеңбер жүргіземіз. Бұл шеңбердің p және q түзулерімен қиылысу нүктелерін сәйкесінше P және Q арқылы белгілейік. Бастапқы нүктесі А болатын кез келген а сәулесін алып, центрі А және радиусы РО ға тең шеңберді w(А; РО) арқылы белгілейік. Сонымен, В=аuw(А; РО) . Енді келесі w(В; PQ) шеңберін жүргізейік (центрі В, радиусы PQ) . w(А; РО) және w(В; PQ) шеңберінің қиылысу нүктелерін С арқылы белгілейміз. Онда <BAC - бізге қажетті бұрыш.

2-сурет

Шынында да, ОРQ=ABC, өйткені салуымыз бойынша АВ=ОР, АС=ОQ, BC=PQ (3 белгі бойынша) . Олай болса, <POQ=<BAC.

Бұрыштың биссектрисасын жүргізу

Бұрышты тең екі бөлікке оның ішкі сәулесін осы бұрыштың биссектрисасы деп атайды.

3-сурет

ВАС бұрышының АD ішкі сәулесі оны тең бөліктерге бөледі: <BAD = <DAC = <BAC/2, яғни AD сәулесі ВАС бұрышының биссектрисасы болады.

Мысал 2. Биссектрисаның бұрыш қабырғаларымен жасайтын бұрышының шамасы 90 С-тан аспайтынын көрсетейік.

Шешуі. Әрбір бұрыштың градустық өлшемі 180 С-тан артық емес. Сондықтан оның жартысы 90 С- тан артық болмайды.

Есеп-3 . Берілген бұрыштың биссектрисасын салу.

Шешуі. Төбесі А болатын (аb) бұрышы б ерілсін. (А; r) шеңберін жүргіземіз, r- кез келген оң сан. B=a (А; r) және С= b (А; r) нүктелерін аламыз. Енді (B; r) және (С; r) шеңберлерін жүргізіп, олардың қиылысу нүктесін D арқылы белгілейміз. Онда AD сәулесі (ab) бұрышының биссектрисасы болады. Бұл тұжырым ABD=ACD теңдігінен шығады.

Берілген кесіндінің орта перпендикулярын жүргізу

А, В, С үш нүктесі берілген. А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта рналасқан және С нүктесінен берілген d қашықтығында орналасқан.

а) шартын қанағаттандыратын нүктелер жиыны АВ кесіндісінің орта перпендикуляры болад.

ә) шартын қанағаттандыратын нүктелер жиыны (С; d) шеңбер болады. Онда бізге қажет нүкте осы шеібер мен АВ-ның орта перпендикулярын қиылысу нүктесі болады.

Салу. 1) АВ кесіндісінің орта перпендикуляры а түзуін жүргіземіз.

2) (С; d) шеңберін жүргіземіз;

3) А түзуімен w(С; d ) шеңберінің Х қиылысу нүктесін анықтаймыз.

Табылған Х нүктесі бізге қажет нүкте.

Дәлелдеу. Салуымыз бойынша АХ=ВХ және СХ=d. Олай болса, табылған Х нүктесі есеп шартын қанағаттандырады.

Зерттеу. С нүктесінің а орта перпендикулярына дейінгі қашықтықта d1 арқылы белгілейік. Егер d1<d болса, онда а түзуі мен w(С; d) шеңбері екі Х және Х1 нүктелерінде қиылысады, яғни есептің екі шешімі бар.

Кесіндіні қақ бөлу

Шешуі. АВ кесіндісі берілген. Кез келген r(r>АВ/2) радиуысын алып, w(А; r) және w(В; r) шеңберлерін жүргізе

Бұл шеңбер С және D нүктелерінде қиылысатын болсын. Онда О=АВ U CD нүктесі -АВ кесіндісінің ортасы: АО=ОВ. Шынында да АСD және BDC үшбұрыштары тең бүйірлі және өзара тең. ( үш қабырғасы бойынша), Осыдан <ACD=<BCD теңдігі шығады, яғни СО-АСВ тең бүйірлі үшбұрышының биссектрисасы. Олай болса, СО осы үшбұрыштың медианасы да болады. Онда АО=ОВ.

Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу

Шешуі. P1Q1, P2Q2, P3Q3 кесінділері берілген. АВ=P1Q1, АС=P2Q2, BC=P3Q3 болатындай АВС үшбұрышын салу қажет.

а түзуінің бойынан АВ=P1Q1 кесіндісін өлшеп саламыз. w(A; P2Q2) және w(В; P3Q3) шеңберлерін жүргізіп, олардың қиылысу нүктесін С арқылы белгілейміз. Онда АВС бізге қажет үшбұрыш салынады.

Шынында да салуымыз бойынша АВ=P1Q1, АС=P2Q2, BC=P3Q3. Есептң екі шешуі бар. АВС1 де есеп шартын қанағаттандырады. Екінші жағынан, кез келген үш кесінді бойынша үшбұрыш салу әрқашан мүмкін бола бермейді. Үшбұрыш салынуы үшін берілген кесінділердің кез келгені қалған екеуінің қосындысынан кіші болуы қажет

Екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу