Математикалық модельдеудің негізгі кезеңдері



Жұмыс түрі:  Дипломдық жұмыс
Көлемі: 46 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1500 теңге
Таңдаулыға:   
Тегін:  Антиплагиат

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






КІРІСПЕ
Экология қоршаған ортаны қорғау,ең жас ғылыми бағыттардың бірі.
Соған қарамастан экология ғылым ретінде қалыптасу кезінде басқа ғылымдардың ішінде яғни,биология,физика,химия,географи я және т.б салаларында ерекше орын алады.
Математиканың экологиядағы кейбір қолданулары тақырыбындағы дипломдық жұмыстың мақсаты-экологиялық проблемаларды зерттеу үшін математикалық модельдер құру. Математикалық модельдер экологиялық жүйелерді зерттеудің,әсіресе сандық көрсеткіштерді есепке алудың тиімді әдісі болып табылады.Қазіргі кездегі жүйелер бойынша экологиялық болжамдар жасау әдістерін үйрену және экологиялық проблемаларды математикалық модельдеу әдістері,есептердің нәтиже дәлдігінің әдістері жайындағы түсінікті қалыптастыру.Экологиядағы математикалық модельдеуде математикалық модельдеудің даму тарихы мен математикалық принциптері мен кезеңдерін қарастырып,сонымен қоса модельдерді құрастыру үшін қолданылатын әдістерге тоқталып,яғни дифференциалдық теңдеулер,сонымен қатар басқа салалар бойынша есептеулер негізінде қарастыру. Теориялық зерттеулерде математикалық әдістер толығымен қолданылып,математикалық модельдеу рөлі және экологиялық есептерді шешу барысындағы есептеу тәжірибесі жайындағы түсінік есепті шешу барысында сандық шешудің тиімді тәсілдерін таңдауға,әр түрлі әдістермен алынған есептің нәтижелерін салыстырып қарауға негізделеді.Зерттеліп отырған экологиялық процетерге және құбылыстарға қолданылуға болатын сандық нәтижелерді талдау.
Экологиядағы математикалық модельдер бұл ғылымның шығуынан бастап қолданылып келеді.Табиғатты қолдану есептерін шешу қоғам-табиғат жүйесін басқарудың тиімді жолдарын іздестіру қазіргі кездегі маңызды мәселе болып табылады.Осы мақсатты жүзеге асыруда қазіргі заманғы экологияда статистикалық математика,математикалық логика,сандар теориясы матрицалық алгебра,диффееренциалдық теңдеулердің әдістері қолданылады. Қоғамдастықтардың экологиясында математикалық модельдеу - модельдеу объектілерін таңдауға да, әдістер жиынтығына да, шешілетін міндеттер ауқымына қарай қарастырылады.
Дипломдық жұмыста ұсынылған модельдеудің барлық аспектілерін қамтуды талап етеді.Жұмыс барысында әдістердің екі классына теңестіріледі: экологияның экстремалды принциптеріне негізделген дифференциалдық теңдеулер мен әдістерді модельдеу. Егер вариациялық үлгілердің мысалдары өсімдіктер мен жануарлар қауымдастықтарының кең ауқымына жатса, онда дифференциалдық теңдеулерге негізделген тәсілдер үшін материалдың кең ауқымдылығына назар аударылады.
Дипломдық жұмыстың міндеттері:
- математикалық ұғымдар мен экологиялық әдістерді пайдаланып ғылыми зерттеудің мәнің ашып көрсету;
- қолданбалы өндірістік есптерді шешудегі математиканың экологиядағы ерекшелігі мен рөлін айқындау.
- қолданбалы өндірістік есептерді шешу үшін математикалық және экологиялық білімдерін дұрыс пайдалану дағдысын сіңіру.
- кәсіптік жұмысында математикалық әдістерді қолдануға бейімдеу;
Ежелден бері барлық ғылымдар бір-бірімен өзара байланысты деп саналып, кейбір ғылымдар өте тығыз, кейбіреулері жанама байланысты. Бұл ғылымдардың ең көп тарағандары математика,өйткені ол әлемнің барлық дерлік ғылымдарымен байланысты.Математика - бұл өлшемдер, кеңістіктік нысандар және заттардың немесе құбылыстардың сандық қатынастарын зерттейтін ғылым. Кез-келген ғылым әртүрлі нысандардың биіктіктерін, олардың енін, ұзындығын, көлемін және көлемін қоса алғанда, барлық нәрселерді өлшейді. Нысанды құрастыру немесе аймақты таңдау кезінде математикалық модельдеу, яғни оқыту үдерісінде, нақты объектіні немесе аймақты нақты үлгідегі нәтижелерге жету үшін оқып үйренген модельмен алмастырады.Математикалық модельдеу қолданылатын ғылымдардың бірі экология болып табылады, өйткені ортаны сақтау, яғни қоршаған ортаны қорғау үшін маңызды болып келетін белгілі бір ағзаларды бөлу салалары орын алады. Экология - бұл микроорганизмдердің қоршаған ортаға және өзара қарым-қатынасына зерттеу жүргізетін ғылым. Тұжырымдаманы 1866 жылы Э. Геккель Организмдердің жалпы морфологиясы кітабында ұсынды. Математикалық модельдеу экологиялық тұрғыдан маңызды аумақты талдаудың кейбір аспектілеріне экологты жеңілдетеді:
Модельдер көптеген параметрлердің көмегімен экскурстың қарапайым процестерді немесе мәселені қарастыруын жеңілдететін бірегей байқаудың көптеген маңызды айырмашылық қасиеттерін білдіруге көмектеседі. Модельдер жалпы тіл ретінде жұмыс істейді, оның көмегімен әр бірегей құбылыс түсінікті тілде сипатталуы мүмкін. Модель нақты объектілер мен процестерді бағалауға және өлшеуге болатын кезде, мінсіз нысанның үлгісі бола алады. Көптеген ғылымдардан айырмашылығы, бұл модель кез келген заңдарға немесе қағидаларға сүйеніп экологияда бәрі салыстырмалы түрде келеді. Тек егжей-тегжейлі талдау және эксперименттік зерттеулер жүргізілгеннен кейін, модельді маңызды немесе, керісінше, сәтсіздікке қарай бағалауға болады. Айрықша мән-жайларға байланысты экологиялық жүйелердің өзгеруі байқалады. Өсімдіктің өзгеруі, жануарлардың саны, су объектілеріндегі оттегі, судың деңгейі, сондай-ақ осы экожүйенің азық-түлік тізбегіндегі тағамның сіңу жылдамдығы. Француз микробиологы Жак Моно микроорганизмдерді зерттеудегі объектілерге немесе кез-келген басқа процестерге бір процестің тәуелділігін жасады. Сондықтан ол микроорганизмдерді (субстратты) тәжірибе үшін маңызды микроорганизмдер өмір сүретін белгілі бір аймақта осы заттардың шоғырлануына арналған тамақ өнімдерінің жылдамдығының тәуелділігін құрды. Уақыттың өзгеруіне байланысты эквивалент шамасына мән беретін дифференциалдық теңдеулерді қолдану маңызды. Мысалы, су объектілеріндегі оттегінің өзгеруі, белгілі бір аумақта халықтың өсуінің негізгі үлгілері және олардың бәсекелестік өзара әрекеттестігі. Экологиялық үдерістердегі өзгерістер динамикасы өте күрделі және көптеген факторларға ұшырайды, олардың көпшілігі тұрақсыз, сондықтан олардың әсер етуі айтарлықтай өзгереді. Нәтижесінде, процестің сандық сипаттамалары олардың орташа мәндеріне байланысты өзгермейді. Сондықтан, процесті жалпы функционалдық тәуелділікте сипаттауға болмайды және осылайша оның әрі қарай дамуын егжей-тегжейлі болжауға болады. Бұл жағдайда экологиялық процесті модельдеу үшін математикалық-статистикалық әдістер қолданылады. Зерттелетін процестің статистикалық моделін жасаушылар ғалымдар оның параметрлері туралы эксперименттік деректерді жинайды және сонымен бірге процестің ең маңызды факторларын белгілейді. Математикалық статистиканың көмегімен экологты зерттеу объектісіндегі өзгерістерді ұстануға болады, бұл оған даму үрдістерін талдауға, сондай-ақ объектінің экологиялық маңызы мен бүкіл экспериментіне баға беруге көмектеседі. Негізінде, бұл шығарындылардың қауіптілік деңгейін бағалау үшін өзендерде немесе су қоймаларында қалдықтардың мөлшерін бағалау үшін математикалық статистиканы пайдалану. Адам - керемет жаратушы ғана емес, сондай-ақ, қарсыластың бұзушысы, картадан жыл сайын аздаған қарабайыр аумақтар қалады, өйткені олардың кейбіреулері уақыт өте келе туристердің үлкен ағыны есебінен өмір сүретін микроорганизмдер үшін жарамсыз болып келетін туристік нысандарға айналады. Өсімдіктер мен жануарлардың популяциясы осылайша, математика экологиялық аумақтарды зерттеуде маңызды рөл атқарады. Математикалық модельдеу, математикалық статистикалық және дифференциалдық теңдеулер, экологтардың зерттеу объектілері болып табылатын әртүрлі экожүйелік объектілер арасындағы тәуелділік бұл әдістер экологтардың жұмысын жеңілдетеді, экологиялық әлемнің объектілері мен құбылыстары туралы нақты идеяларды береді. Сондай-ақ, қоршаған ортаның бастапқы түрінде сақталуы және оның жайлылығы үшін жойылмау керек екенін атап өткен жөн.

1 МАТЕМАТИКА ЭКОЛОГИЯЛЫҚ ТАРИХЫ ЖӘНЕ
МЕТОДИКАЛЫҚ БӨЛІМДЕРІМЕН МАҢЫЗЫ

1.1 Математиканың экологиялық даму тарихы
Экология-білім саласының дамып келе жатқан, іс-жүзінде барлық ғылымдардың өзара іс-қимыл туралы түсініктерін қамтитын, адамды қоса алғанда, қоршаған ортасы бар тірі организимдер саласы. 20 ғасырдың ортасына дейін экология биологиялық пәндердің бірі болып келсе, қазіргі уақытта организмдердің қоршаған ортамен өзара әрекеттесу туралы ғылымы. Қазіргі заманғы экология сонымен қатар ғылым мен қоршаған ортаның жай-күйін бақылаудың практикалық әдістері-моноторинг,қоршаған ортаны қорғау,биогеоценоздар мен экологиялық-экономикалық және экологиялық әлеуметтік аспектілерге әсер етеді. Осының бәрі экология мәселелерін шешуде қолданылатын математикалық модельдер екені белгілі болса, модельдеуде жалпы модель деген ұғымға түсінік берсек, бастапқы модель деп анықталған жағдайда обьектіні алмастыратын қандай да бір көмекші обьекті аталған. Сондықтан табиғат заңдарының жанжақтылығы, модельдеудің жалпалығы деп қарастыруға болады. Мысалы, ертедегі философтар табиғи процестерді модельдеу мүмкін емес,табиғи және жасанды процестер түрлі заңдылықтарға бағынады деп санаған.Олар табиғатты тек қана логиканың, талқылау әдістерінің, пікір алмасулардың, яғни замандық терминологияның,тілдік модельдеудің көмегімен бейнелеуге болады деп жобалады. Ұзақ уақыттар бойына модель түсінігі арнайы типтегі материалдық обьектілерге ғана, мысалы, манекен адам денесінің моделі, плотинаның кішірейтілген гидродинамикалық моделі, кемелер мен самолеттердің,жануарлардың модельдері ретінде қалыптасты.
Уақыт өте келе нақты обьектілер жасанды сызбалардың, суреттердің, карталардың модельдік ерекшеліктері арқылы сипаттала бастады. Келесі қадамда модель ретінде нақты обьект ғана емес абстрактылы, идеалдық құрылымдардың жұмыс істеу мүмкіндіктері белгілі болды. Мұның мысалы математикалық модельдер бола алады. Математика негіздерін зерттеумен айналысатын математиктер мен философтардың еңбектерінің нәтижесінде модельдер теориясы жасалды. Онда модель абстрактылы математикалық құрылымының басқасына бейнелеу,түрлендіру нәтижесі болып анықталады.
XX ғасырдың модель түсінігі нақты және идеалдық модельдерді қатар қамтитындай болып жалпыланады. Сондықтан, абстрактылы модель түсінігі математикалық модельдер шеңберінен шығып, әлем туралы білімдер мен танымдардың барлығына қатысты болды.
Модельдеу-кез-келген құбылыстардың, процестердің немесе обьект жүйелерінің қасиеттері мен сипаттамаларын зерттеу үшін олардың үлгісін құру (жасау) және талдау; бұрыңғы немесе жаңадан құрастырылған обьектілердің әр түрлі табиғатын зерттеу әдісі. Модель 4 деңгейде түпнұсқасы бар: 1-элементтер деңгейіндегі, 2-құрылым деңгейіндегі, 3-қалып-күй немесе қызметтік деңгейін,4-нәтижелер деңгейінде.
Математикалық модель-обьект және обьекті элементерінің қасиеттеріне, параметрлеріне, сыртқы әсерлердің күйін сипаттау мен анықталған математикалық қатыстар формулалар, теңсіздіктер, теңдеулер, логикалық қатыстар тілінде жазылған жиынтық; математикалық символдар көмегімен өрнектелген обьектілердің нақты сипаттамасы.
Математикалық сипаттауды іздеу
Нақты обьект қасиеттерін ерекшелеу
Модельдеу мақсатын анықтау

Математика-лық
Негізгі обьект

Зерттеу әдісін
Модельді нақтылау

Нәтижелерді талдау
Соңы
Зерттеуді

Модельдеу обьектісінің ерекшеленген белгілерін ұсыну формаларын таңдау-модельдеу практикасының келесі сатысы болып табылады.Модельдерді ұсынуда: сөздік сипаттама,кесте,формула,алгоритм,ко мпьютерлік бағдарлама сияқты түрлері әдістер қолданылуы мүмкін. Математикалық экологияның негізі популяциялар динамикасының математикалық теориясы жануарлар, өсімдіктер, микроорганизмдер түрлері санының динамикасы және олардың өзара әрекеттесуі туралы іргелі биологиялық түсінік математикалық құрылымдар түрінде, бірінші кезекте дифференциалдық, интегралды-дифференциалдық және айырымдық теңдеулер жүйесі түрінде қалыптасқан.
Модельдеудің негізгі үлгілері жүйенің құрамдас бөліктері мен математикалық объектілердің формулалары, теңдеулер, матрицалар, логикалық процедуралар және графиктер, кестелер, деректер қорлары, қоршаған ортаның мониторингінің жедел ақпараты туралы өзара түсініктерді қамтиды. Мұндай көп өлшемді модельдер экологиялық немесе экологиялық-экономикалық жүйе туралы әртүрлі ақпараттарды біріктіруге мүмкіндік береді, әр түрлі даму және модельге негізделген тиімді басқару стратегияларын дайындайды, бұл оның бірегейлігі мен уақытша шектеулеріне байланысты. Математикалық аппаратты кеңінен пайдалану теориялық экологияның дамуын ынталандырды. Математикалық үлгілердің құрылысы экожүйелер туралы қолда бар ақпараттың сұрыпталуын және жіктелуін талап етсе, деректерді жинау жүйесін жоспарлау қажеттілігін тудырады және экожүйелерде орын алған жеке процестер туралы физикалық, химиялық және биологиялық ақпараттың және идеялардың жиынтығын айтарлықтай деңгейде біріктіруге мүмкіндік береді. Экологиялық өзара әрекеттесуді сипаттау қажеттілігі жүйелік зерттеулерді дамытуға серпін берді. Модельдеу үлгісімен жұмыс істеу, модельдің параметрлерін білуді талап етіп, ол тек байқаудан және тәжірибеден бағалауға болады. Көптеген факторлар мен қарым-қатынастарды анықтау үшін бақылау мен эксперименттердің жаңа әдістерін дайындау қажет, олардың білімі модельдің негізінде жатқан гипотеза мен жорамалдардың әлсіз тұстарын анықтауға мүмкіндік береді. Модельдеудің бүкіл процесі - оның моделін құрудан бастап болжамды құбылыстарды тексеруге және оның көмегімен алынған нәтижелерді практикада қолдануға - мұқият зерттелген стратегиямен және талдауға қатаң сынаумен байланысты болуы керек деректер жинағы. Экологиялық процестерді эксперименталды және заттай бақылау олардың ұзақтығымен күрделенеді. Мысалы, саладағы зерттеулер егіншілік және бау-бақша шаруашылығы негізінен анықтаумен байланысты, ал өнімді жылына бір рет жинаса, сондықтан эксперименттің бір циклі бір жыл және одан да көп уақыт алады.Тиімді мөлшерін табу үшін іс-шараларды жүргізу бірнеше жыл қажет болуы мүмкін, әсіресе эксперименталды нәтижелер мен ауа райы арасындағы өзара іс-қимылды қарастыру қажет болған кезде. Орман шаруашылығында, ағаш өсіру циклінің ұзақтығына байланысты, ең қысқа тәжірибе 25 жылға созылса, ал ұзақ мерзімді эксперименттер 40-нан 120 жылға дейін созылуы мүмкін. Ұқсас уақыт ауқымы басқа табиғи қорлармен зерттеу үшін қажет. Сондықтан математикалық модельдеу қажетті құрал болып табылса және экология, табиғатты пайдалану және табиғи ресурстарды басқаруда үлкен қызмет атқарады.

1.2 Модельдеудің принциптері мен міндеттері.

Модельдеудің мақсаттарына байланысты модельдердің екі түрі бөлінуі мүмкін:сипаттама үлгілері және мінез-құлық үлгілері. Сипатталған модель экожүйенің маңызды айнымалыларының арасындағы қатынас туралы ақпарат береді. Модельдің бұл түрі ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика құралдарына негізделген стохастикалық модельдеу әдістерімен жүзеге асырылады. Уақытты айнымалы ретінде қарастырмайтын жеке статикалық әдістер (қарапайым және көп сызықтық және сызықты емес корреляция және регрессия, дисперсия, дискриминант және талдаудың факторлық түрлері, параметрді бағалау әдісі) және уақыт айнымалысын ескеретін динамикалық әдістер (Фурье талдауы, талдау, функциялары).Отандық әдебиеттерде сипатталатын процестің механизмін ашуға, регрессиялық және басқа да эмпирикалық белгіленген сандық тәуелділікті білдіретін ұқсас модельдер сипатталатын процестің атауын алды. Модельдердің осы санатын жүзеге асыру үшін:
1)жүйенің кіру және шығу сигналдарының құрылымы;
2)жүйенің ерекше тексеру сигналдарына реакциясы;
3)жүйенің ішкі құрылымын зерттейді.
Соңғы бөлім аналитикалық үлгілеумен іске асырылып,оның негізінде экожүйедегі себеп-салдарлық байланыстарды сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер жатады. Аналитикалық модельдеудің бірінші кезеңі-модель тұжырымдамасын қалыптастыру және жүйенің дифференциалдық теңдеулерді құрастыру,есептің шығару жолдарын жеңілдету,бұл нақты жүйенің ең маңызды қасиеттерін параметрлеу,яғни сандық бағалау параметр мәндерін енгіземіз.
Бұл міндетті орындау үш жолмен жүзеге асырылады:
1)басты бақылауға алынған параметр мәндерін алдын ала бағалау санын алу;
2)параметрлерді тиімді әдістеріне негізделген модельдік жағдайға сәйкес келетін параметрлердің комбинациясын табу;
3) есепті талдау әдісімен модельдік параметрлердің рөлін бағалау, оның мақсаты параметрдің мәндеріндегі өзгерістерге қалай жауап беретінін анықтау және нәтижесі ретінде параметрлердің дұрыс бағалануына мән беру.
Аналитикалық модельдеудің келесі қадамы - имитация. Бекітілген параметрлері және бастапқы шарттары бар жүйелерді математикалық модельдеу арқылы теңдеулерді берілген шарттар бойынша шешу. Нақты мәндермен моделдеу нәтижесінде алынған мәліметтердің сапалық немесе сандық салыстыру яғни,есептің шешу барысын тексеру. Модельдің маңыздылығын тексеру олардың ұқсастығын анықтау үшін эксперимент жүргізу, сондай-ақ оларды салыстыру. Адаптивті модельдеу, сонымен қатар, модель компьютерге автоматты түрде бейімделген. Математикалық модель - бұл жүйені идеализациялау және нақты жүйеге толығымен сәйкес келмеуі мүмкін. Модель мен нақты жүйенің арақатынасы бұл жүйенің нақты бейнесі және оның барлық қасиеттерін қайталай алмайды.
Математикалық модель анықталған сұрақтарға жауап беру үшін жасалып және зерттеушіні қызықтыратын айнымалы мәндерінің динамикасын анықтайтын процестердің сипаттамасын қамтуы керек.Модель жасай отырып және онымен жұмыс істей отырып, ең маңызды процестерді анықтауға және оларды модельге енгізуге болады. Зерттеушінің моделі ең қарапайым математикалық жүйенің негізгі ерекшеліктерін сипаттау болып табылады. Сонымен қатар, кейде олар толыққанды құруды мақсат ете отырып, жүйенің математикалық моделі әртүрлі сұрақтарға жауап беру үшін бірнеше рет қолдануға мүмкіндік береді. Мұндай мысалдар дифференциалдық теңдеулер үлгілерін және т.б.алуға болады. Экологиядағы математикалық үлгілердің түрлері экологияда қолданылатын математикалық модельдер әртүрлі түрге бөлінеді. Детеминистикалық, стохастикалық және эмпирикалық статистикалық модельдер бар. Детерминистикалық математикалық модельдер жүйенің ішкі сипаттамасына негізделеді және жүйенің компоненттері Мальтус үлгісі бойынша байланыстарды білдіреді.
Кездейсоқ функцияларды қамтитын математикалық модельдер стохастикалық болып табылады. Эмпирикалық - статистикалық модельдер жүйе туралы эмпирикалық ақпараттарды кіріс және шығыс арасындағы функционалдық тәуелділіктерді (регрессиялық үлгілер) құру үшін пайдаланады.Эмпирикалық-статистикал ық модельдерді құру кезінде математикалық статистика әдістері қолданылады. Уақыт бойынша жүйелік айнымалылардың өзгеруін ескеретін модельдерге динамикалық деп аталады.
Тұрақты модельдер уақыттың тәуелділігін есепке алмай, жүйенің күйін сипаттайды. Математикалық модельдер ғарыштағы біртекті және гетерогенді процестерді сипаттай алады. Модельдеудің сонымен қатар үздіксіз және дискреттік математикалық модельдер бар. Үздіксіз модельдер жүйелік айнымалылардың кез-келген уақытта қарастырылып жатқан интервалдағы өзгерісін сипаттайды. Дискретті модельдер жүйелі айнымалы мәндерді дискреттік интервалдарда береді (әр екі сағат сайын, апта сайын және т.б.).
Шешімнің әдісіне және шешімнің түріне сәйкес аналитикалық және сандық модельдерді бөлуге болады. Модель теңдеулерін аналитикалық түрде шешуге болатын жағдайда, яғни, шығыс айнымалы мәндері үшін нақты функциялар алынып, аналитикалық модельдер деп аталады. Бірақ мұндай модельдердің ауқымы шектеулі, нақты математикалық үлгілердің көпшілігі аналитикалық шешімді алуға мүмкіндік береді. Бұл жағдайда модельдік теңдеулерді шешу сандық әдістер негізінде жүзеге асырылады. Ереженің нәтижесі нүктелердің дискреттік жиынында анықталған кесте функциялары болады.
1.3 Математикалық модельдеудің негізгі кезеңдері
Математикалық модельдеу сатыларының жалпы схемасы 1 суретте ұсынылған. Жүйенің математикалық модельдеуі нақты жүйені таңдаудан басталады.Экологиядағы нақты жүйелер-су,орман,ауа райы,эконоика және т.б экожүйесі модельдеу жүйесін таңдау көптеген себептерге байланысты-объективті және субъективті болып бөлінеді. Барлық экологиялық проблемаларды шешу үшін шешімдер математикалық модельдеу қажет. Көптеген экожүйелердің проблемаларын тек экожүйелердің әртүрлі экожүйелерінде, өнеркәсіпте, қалалық экономикада және т.б. нақты практикалық әрекеттер негізінде ғана математиканы қолданып шешуге болады.Сонымен бірге, бұрынғы математикалық шешілмейтін көптеген маңызды экологиялық проблемалар бар. Үлкен дәрежеде математикалық модельдеу мәселесін қалыптастыру ел экономикасының даму деңгейіне және экологиялық проблемаларға қоғамдық қатынастардың негізгі деңгейіне байланысты. 1-сурет.Математикалық модельдеудің негізгі кезеңдері

модель
жүйе
жүйелер

талдау анализ

сынақ үлгісі
Математикалық модель
Компьютерлік модель

1-сурет
Бұл жүйені зерттеуде мақсат қойылғаннан кейін алғашқы қадамы-модельдеу екені белгілі.Бірінші кезең ауызша модельді құруға әкеледі - зерттелетін жүйенің ауызша моделі (сипаттамалық есеп, сипаттама ғылыми мақала). Ауызша модель жүйенің өте толық бейнесін бере алады, ал биология, экологтар және химиктер пәндік мамандардың көптеген зерттеулері жүйенің ауызша үлгісін жасаумен шектеледі. Бірақ кез-келген ауызша модель өте маңызды және пайдалы ақпаратқа ие болса да, жүйенің динамикасын болжауға мүмкіндік және оның жұмыс істеуін тиімді ету үшін жүйеде басқару әрекеттерін дұрыс анықтауға мүмкіндік беріледі. Сондықтан қазіргі ғылымдар, соның ішінде экология, келесі маңызды қадам - жүйенің математикалық моделін құру. Ол математикалық формализациядан басталып, бұл жүйенің элементтерінің сандық сипаттамаларының (популяция мөлшері, ластаушы заттардың концентрациясы, резервуардағы сұйықтықтың жылдамдығы, өнімнің көлемі және т.б.).Айнымалылармен қатар экожүйедегі экологиялық, биологиялық, химиялық және басқа да процестердің қарқындылығын сипаттайтын параметрлер анықталды(туу коэффициенті, беру жылдамдығы, химиялық реакция жылдамдығы тұрақты және т.б.). Математикалық формализация және математикалық модельді құру екі қадам - талдау және синтез ретінде анықталуы мүмкін.
Жүйелік талдау: жүйеде элементтер мен процестер арасындағы байланыстарды бөліп көрсететін кіші жүйелер мен элементтерге оқылатын жүйені ыдырау.
Синтез: жүйелік айнымалылардың сақталу заңдары мен гипотезалардан қосылыстарын білдіретін математикалық теңдеулерді қалыптастыру. Синтездің нәтижесі математикалық модельге айналады.
Математикалық модель - сақтау заңдары (қатынастар) немесе гипотезалар (жүйенің элементтерінің жұмыс істеуі туралы жорамалдар) арқылы айнымалы қосылыстарды білдіруге негізделген теңдеулер немесе жүйелер. Экологиядағы математикалық модельдер жүйеде элементтердің өзара әрекеттесуі туралы физикалық заңдарды білдіретін теңдеулердің комбинациясымен сипатталып және әртүрлі процестерге экологиялық айнымалылар динамикасының тәуелділігінің табиғаты туралы математикалық болжамдар алынады. Мәселен, мысалы, сұйықтықтағы процестердің математикалық моделі сұйықтық ортасының қозғалысын сипаттайтын гидродинамикалық теңдеулер жүйесін, конвективті диффузия теңдеулерін, бөлу және антропогендік ластанудың физика-химиялық трансформациясы, сондай-ақ резервуардағы биотикалық компоненттер динамикасы үшін теңдеулер. Гидродинамикалық теңдеулер су эквивалентінің көлемінің бірлігіне массаны, импульсті және энергияны сақтау туралы заңдарды білдіретін жартылай дифференциалдық теңдеулер жүйесі болып табылады. Нақты экожүйелердің математикалық моделдерінің көпшілігі- аналитикалық әдістермен шешілетін бірнеше теңдеулер жүйесі (мысалы, дифференциалдық теңдеулер). Бұл жағдайда есептеу математикасының әдістерін қолдану керек. Сондықтан, келесі міндет - математиканы енгізу модельдерді, атап айтқанда, жүйені сипаттайтын теңдеулерді шешудің дифференциалдық теңдеуін құру. Бағдарламалау - сандық әдісті енгізу кез-келген программалау тілін немесе стандартты математикалық пакетті пайдалана отырып, жүйені сипаттайтын теңдеулер жүйесін шешу. Есептеу математикасының дамуының қазіргі жоғары деңгейі әртүрлі программалау тілдеріндегі бағдарламалардың стандартты кітапханаларының, сондай-ақ интеграцияланған математикалық пакеттердің (Mathematica, MatLab, Marple, MathCad және т.б.) болуымен сипатталады. Сонымен қатар, әр түрлі пәндік бағыттар бойынша арнайы есептеу бағдарламалары қолданылуда. Атап айтқанда, бұл сұйықтық және газ механикасы, CFD (Есептеуіш сұйықтық динамикасы - Есептеу сұйықтық динамикасы) деп аталатын пакеттерді (FLUENT, StarCD, CFX және т.б.). Осы заманауи бағдарламалық қамтамасыз етуді қолдану математикалық модельдеу мәселелерін, оның ішінде экология мәселелерін шешуді әлдеқайда жеңілдетеді. Математикалық модельді іске асырғаннан кейін - өзіңіздің компьютерлік бағдарламаңызды немесе бағдарламаңызды стандартты немесе мамандандырылған пакет ортасында құру арқылы негізгі мәселе - іске асырылған модельдің сенімділігі. Модельдік сынақ деп атауға болатын саты пайда болады және де дамыған моделді тексеру бағалаудан басталады. Жүйе айнымалы мәндерінің есептік мәндері физикалық және математикалық ықтималдық шарттарына сәйкес келуі керек: халықтың мөлшері оң мән болуы керек, ауыспалылардың өзгеруі шекаралары физикалық шектеулерге және т.б. сәйкес болуы керек. Бірақ есептелген нәтижелердің дәлелділігі, әрине, модельдің жарамдылығы туралы айтуға жеткіліксіз. Математикалық модельді тексерудің негізгі әдісі - оны басқа есептеу жұмыстары мен эксперименттік деректермен салыстырып көз жеткізу. Қолданылған математикалық модель, сонымен қатар, проблемаға аналитикалық шешімдер қабылдау мүмкін болатын кейбір нақты жағдайлар үшін тестілеуден өтуге болады, мұнда алынған шешімді мүмкіндігінше барлық деректермен салыстыруды қалау - кез-келген оң нәтижемен салыстыру модельдің сенімділігіне сенімділікті арттырады.Көп жағдайда тәжірибе мен басқа есептеу жұмыстарының деректерімен салыстыру нәтижелері бастапқыда теріс, сандық немесе сапалық айырмашылықтар байқалады. Мұның себептерін анықтау үшін барлық алдыңғы қадамдарды сыни тұрғыда модельдеу қажет. Құрылған модель елеулі процестерді ескермеуі мүмкін, модельді бастапқы қалыптастыру кезінде маңызды және процестерді жүзеге асыру барысында дифференциалдық теңдеуге талдау жасау, мұндай сыни талдау - дәл математикалық модельдеу мақсаттарының бірі. Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық тілге аудара білуден тұрады. Матетикалық модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы түсінуге көмектесді, процестің қалпының сапалық және сандық сипатын орнатуға мүмкіндік береді. Әр түрлі есептерде нақты процестердің математикалық моделі көбіне дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Бұл есептердің сипаты мен шығару әдістемесін схемалық түрде сипаттауға болады. Қандай да бір процесс жүріп жатыр делік, мысалы, физикалық, химиялық, биологиялық. Бізді бұл процестің белгілі бір функционалдық сипаттамасы, мысалы, уақытқа қатысты температураның немесе қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының өзгеру заңдылығы қызықтырады. Егер бұл процестің жүруі туралы толық ақпарат бар болса, онда оның математикалық моделін құруға әрекет жасауға болады. Көп жағдайларда бұндай модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады. Дифференциалдық теңдеу, процестің эволюциясын материалдық жүйемен болып жатқан өзгерістер сипатын, бұлжүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын нұсқауларды сипаттайды.
Кез келген процесті оқып үйрену оның жеке моменттерін анықтау мен оның ағымының жалпы заңын орнатуға келіп тіреледі. Процестен (қарапайым процестің) жеке моменттегі процестің айнымалы шамаларын олардың дифференциалдарды және туындыларымен байланыстыратын дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі.
Интегралдаудан кейін алынатын құбылыстың жалпы орындалу заңдылығы процестің айнымалы шамаларын байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі болмайды. Көптеген жағдайларда қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қолданумен байланысты қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге келтіріледі:
1) есептің шартын талдап, оның мәнін айқындайтын сызбаны салу;
2) қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
3) осы теңдеуді интегралдап, оның жалпы шешімін анықтау;
4) берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес шешімін анықтау;
5) қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық коэффициентін және т.б.) анықтау, бұл мақсат үшін есептің қосымша шарттары пайдаланылады;
6) қарастырылып отырған процестің жалпы заңын тұжырымдау және ізделінді шамалардың сандық мәнін анықтау;
7) жауапты талдау және есептің бастапқы қалпын тексеру.
1.4 Заттардың диффузиясын модельдеу. Фик заңдары.Тұрақты ортадағы диффузия теңдеуі.
Қоршаған ортаның жай-күйін болжаудың маңызды міндеттерінің бірі ғарышта ластаушы заттардың концентрациясының таралуын болжау және уақыттың өзгерісі. Бұл мәселені шешу түрлі орталарда ластаушы заттардың таралуы модельдеуді қамтиды. Ауа және судағы ластаушы заттардың таралуы әр түрлі физикалық процестерге байлынысты,олардың ең маңыздысы диффузия болып табылады. Диффузия-термодинамикалық біртекті ортаны әр түрлі аймақтардағы заттар концентрациясын теңестіру процесі. Диффузия молекулалардың қозғалысынан туындаған жағдайда, ол молекулярлық деп аталып, ал диффузия сұйықтықтар да немесе газдардағы құйынды ағымынан туындаған кезде турбулентті яғни сұйықтықтың соңғы массасының газ молекулаларына ұқсайтын әркелкі, әр түрлі бағытта қозғалуы. Молекулалық диффузия заңдары алдымен неміс физик Фик 1855 жылы зерттеген. Диффузияның анықтамасынан, егер термодинамикалық біртектес ортада заттардың шоғырлануы кеңістікте біркелкі бөлінбесе, шоғырлануы жоғары аймаққа дейінгі концентрациясы төмен аймаққа дейін заттардың молекулаларының ағымы орындалады. Фиктің бірінші заңы ортадағы қоспалардың қозғалыс бағыты мен шамасын белгілейді, затының ағымы:

мұнда -заттың массасы,өткен уақыт аралығындағы уақыт кезіндегі формуласы. Фик алғашқы заңына сәйкес, ауданы арқылы t уақытта тасымалданатын зат массасы тығыздық градиентіне тура пропорционал болады.Материяның ағымы градиент концентрациясына пропорционалды және градиент бағытына қарсы бағытталған:
, (1.1)
Онда -заттың концентрациясы,-диффузия коэфициенті деп аталатын пропорционалды коэффициент. Диффузия коэффициенті диффузияға байланысты бір концентрацияның градиенті бар заттар ағынының санына тең. Бір өлшемді жағдайда, Фиктің бірінші заңы ретінде жазылған теңдеу:
(1.2)
мұнда -координат. Фик заңының екінші заңы,диффузияның кез-келген нүктесіндегі заттардың концентрациясының өзгеруін аныықтауға мүмкіндік береді.Бір өлшемді мәселені қарастырып,мысалы суға төзімді шағын арнадағы заттың диффузиясы, яғни арнадағы көлденең қимада заттардың шоғырлануы тұрақты болып табылады және ағынды елемейді деп есептейміз.Ұзындығы арна каналының және қималары арасындағы бөлігін таңдасақ.Бірінші заңға сәйкес Фик арқылы материяның диффузиялық ағымы -қимаға тең:

ал -қима арқылы:
.

Шоғырлану қимадан -қимаға дейін көтерілсін.Таңдалған көлемде уақытындағы зат массасының өзгеруі ретінде анықталады.

.

Заттың концентрациясының өзгеруі уақытын бөлінген көлемі ретінде есептеледі.

Теңдеудің сол жағында және болғанда уақытқа қатысты шоғырланудың жартылай туындысын, ал оң жағынан,координатаға қатысты екінші реттік туынды:
Теңдеудің сол жағында және болғанда уақытқа қатысты шоғырланудың жартылай туындысын, ал оң жағынан,координатаға қатысты
екінші реттік туынды:
(1.3)

Соңғы теңдеу Фик 2-ші заңын білдіреді және қозғалмайтын ортадағы бір өлшемді диффузиялық теңдеу болып табылады.Фик заңының 2-тармағынан келер болсақ, заттың шоғырлануы кеңістіктегі нүктелер де төмендейтін болса, онда функциясы дөңес болып табылады кеңістіктегі нүктелерде өсетін функциясы болып табылады . Екі өлшемді және үшөлшемді жағдайларда, ұқсас есептеулер диффузиялық теңдеуге әкеледі:
(1.4)
мұндағы,-Лаплас операторы. Екі өлшемді жағдайда

,
және үшөлшемді
.

Егер үшөлшемді жағдайда горизонтальды және тік диффузия коэффициенттері әртүрлі болса, стационар ортадағы диффузиялық теңдеу келесі түрде болады:
(1.5)
мұндағы және тиісінше, көлденең және тік диффузия коэффициенттері. Фик заңдары молекулалық диффузияға арналған болсада, олар турбулентті диффузия үшін толыққанды бола алады. Молекулалық диффузия жағдайында молекулалық диффузия коэффициенттері , және (1.4-1.5) турбулентті диффузияның коэффициенттері болып табылады. Атмосфералық ауада немесе жер үсті суларында ластаушы заттар пайда болған кезде молекулалық және турбулентті диффузия орын алады. Дегенмен, турбулентті диффузия коэффициенттері молекулалық диффузия коэффициенттерінен жоғары шамалардың бірнеше сатысын құрайды, cондықтан ластаушы заттардың таралуын модельдеу кезінде молекулалық диффузияны ескермеу керек.
Уравнение диффузии в движущейся средеҚозғалыс ортасындағы диффузиялық теңдеу. Модельдеу үшін (1.3-1.5) теңдеулер пайдаланылуы мүмкін ауада немесе суда ластаушы заттардың таралу процестері жел немесе ағым болмаған жағдайда егер адвекция процестері болса назар аудармай-ақ,диффузиялық теңдеулер өзгертілуі керек диффузиялық ғана емес,сонымен бірге ағындық ағымдардың ортасында бар болуын есепке алу үшін өзгертілуі керек.
Алдымен бір өлшемді мәселені қарастырамыз,мысалы, суы аз өзендегі
заттың диффузиясы, u жылдамдығы бар,яғни, өзеннің көлденең қимасында заттардың шоғырлануы тұрақты деп есептейміз. 1 және 2 қималары арасындағы кішігірім ұзындығы өзенінің (учаскесін) аймағын таңдаймыз.
Фиктің бірінші заңына сәйкес 1.2 заттардың диффузиялық ағымы 1-ші бөлімге:
,
одан екінші бөлімге алмасады:

.
Шоғырлануы 2 бөлімнен 1-бөлімге дейін көтерілсін, ал ағын 1-бөлімнен
2 -бөлімге бағытталған. Ағынның арқасында көлденең қималар арқылы заттар ағынын анықтауға болады.Уақыт өте келе 1- ші қима судың көлемінен өтеді, шектелген қашықтық формуласы бойынша теңдеуі:
:,

бұл көлемде қосылған заттардың массасының теңдеулері:
.

Дәл осы заттардың массасы 2-ші қима арқылы уақытында өтеді:
.

-1-ші қимадағы концентрация, -2-ші қима концентрациясы. Таңдалған көлемдегі массалардың өзгеруі,ағынға байланысты - уақытта айырмашылық анықталады:

Таңдалған көлемдегі массалардың өзгеруі, диффузияға байланысты
.
Таңдалған көлемдегі заттардың концентрациясы , уақытта былай есептейміз:
.

Егер , ұмтылған жағдайда мынадай теңдік аламыз.
.

Осылайша,бір өлшемді диффузия теңдеуі,ағымдық (жел) қатысуымен:
(1.6)

Үш өлшемді жағдайда, ұқсас есептеулер үшөлшемді диффузиялық теңдеуді тудырады:
(1.7)
Мұндағы, және тиісінше көлденең және тік диффузия коэфиценттері болып табылады. көлденең және тік диффузияның коэффициенттері тең болған жағдайда, диффузиялық теңдеуінің жазылуы:

(1.8)

мұндағы, Лаплас операторы,
.
Тұрақты ортадағы диффузиялық теңдеуді шешу Диффузия коэффициенті тұрақты болғанда (координаталар мен уақытқа тәуелді емес),стационар ортадағы диффузиялық теңдеу (1.3-1.5)аналитикалық шешімдерге ие бола алады.Бастапқыда бірөлшемді мәселені қарастырсақ:
мысалы, координаты бар кейбір нүктедегі су тұрған қимасының ауданы шағын арнада қандай да бір ластаушы заттың массасының жаппай төгілуі орын алсын. Бұл заттың концентрациясын арнасының бойымен белгілі бір уақытта анықтаймыз. Бұл жағдайда ластауыштардың таралуы дифференциалдық теңдеулер болып табылатын стационар ортада (1.3) бір өлшемді диффузиялық теңдеумен сипатталады.Оның шешімі бастапқы және шекаралық жағдайларға байланысты.Аралас суда тұзданудың алдында ластаушы заттардың болмауы бастапқы шарттар ретінде тұжырымдалуы мүмкін және жеткілікті ұзын арнаны болжайтын шекаралық шарттар ретінде анықталады.
,егер (1.9)

және жеткілікті ұзын арнайы болжайтын шекаралық шарттар ретінде анықталады.
, егер (1.10)
Шекаралық шарттармен (1.10) теңдеу (1.3) стационарлық емес шешімдерге ие бола алмайды. Демек, концентрациясының таралуы уақытпен үнемі өзгереді. Кейбір маңайдағы төгу нүктелері концентрациясы азаяды,ал осы маңайдан тыс-ұлғаяды.Фиктің екінші заңынан (1.3) функциясы нүктесінің кейбір маңайында дөңес және қисық-айналыстан тыс болуы тиіс, яғни функция қоңырау тәрізді болуы тиіс нүктесіне қатысты функциясының симметриясын ескере отырып, Гаусс функциясы түрінде теңдеудің шешімін іздейміз.
(1.11)

мұндағы -концентрацияның кеңістіктің дисперсиясы, -кейбір тұрақты. үшін (1.11)өрнегін (1.3)теңдеуге қоямыз.Теңдеудің сол жағынан алатынымыз:
(1.12)

Теңдеудің оң бөлігін есептеу үшін алдымен координат бойынша шоғырланудан бірінші туындыны анықтаймыз:

(1.13)

Теңдеулердің оң жағына (1.3)өрнек (1.13)алмастырамыз:

(1.14)

Теңдеулер (1.12) және (1.14) концентрациясының кеңістік дисперсиясы үшін қарапайым дифференциалдық теңдеуге келеді:

(1.15)
( бастапқы уақытта ластаушы заттың барлық массасы төгу нүктесінде шоғырланған деп есептейміз) кеңістіктік дисперсияның уақыттан сызықтық
тәуелділігі болып табылады:
(1.16)

(1.16) кеңістіктік дисперсия үшін (1.11) өрнек орнату арқылы үшін келесі өрнек аламыз:

(1.17)

Тұрақты қалыпты жағдайдан анықталады.

(1.18)

Гаусс функциясынан шексіз шектері бар интеграл 1-ге тең екенін ескере отырыпаламыз:
(1.19)

Алынған өрнектен көрініп тұрғандай, ластаушы заттың ең жоғарғы концентрациясы әрдайым төгу нүктесінде байқалады және
заңы бойынша уақыт кетеді .Гаусс функциясы (1.11) болып табылатын кезінде дөңес , ал кезінде - қисық. Демек, ластаушы заттың концентрациясы уақыттың кейбір сәтінде төгу нүктесінің маңайында немесе (1.16) ескере отырып, кеңістіктік интервалында, ал осы интервалдан тыс, яғни кезінде шоғырлану өседі.Гаусс қисығы астындағы ауданның 99,9% интервалына келеді. Демек, ластаушы зат салмағының 99,9% аралығы шегінде шоғырланады. Сондықтан шамасын ластанудың таралу аймағы шекарасынан шартты түрде қабылдауға болады. Демек, ластану аймағының диаметрі заңына сәйкес уақытпен ұлғаяды және де ластанудың таралу жылдамдығы диффузия коэффициентінің шамасы неғұрлым жоғары болады. Енді екі өлшемді есепті қарастырайық.
Мысалы, ластаушы заттың массасының жаппай төгілуі жағадан едәуір қашықтықта тереңдіктегі ұсақ көлде орын алсын. Заттың концентрациясын тереңдікте тұрақты деп есептейміз және ықтимал жел ағындарын елемейміз. Содан кейін заттың көл суларында таралу процесі жылжымайтын ортадағы (1.4) диффузияның екі өлшемді теңдеуімен
шекаралық жағдайда сипатталады:

(1.20)

мұнда - тастау нүктесінен көлденең және бастапқы шарт бойынша қашықтық .Бұл теңдеудің шешімін Гаусстың екі өлшемді функциясы ретінде іздейміз:
(1.21)

Концентрацияның кеңістіктік дисперсиясының шамасы бір өлшемді жағдайда сияқты сызықтық уақытқа байланысты екенін көрсетуге болады:

.
Екі өлшемді жағдайда нормалаудың шарты бар:
(1.22)
константасының мәндерін қайдан аламыз. қашықтағы уақытының еркін сәтіндегі концентрация мәндері үшін өрнек аламыз:

(1.23)

Осы уақытқа дейін біз су объектісінде ластаушы зат төгілгенге дейін болмаған жағдайларды қарастырдық. Енді су объектісінде және лақтырылғанға дейін лақтырылатын зат болған жағдайды қарастырайық және оның концентрациясы тең болды. Бұл жағдайда шекаралық жағдайлар: бір өлшемді өрнек үшін:
,егер (1.24)
екі өлшемді өрнек үшін:
(1.25)

Жаңа айнымалы -ластаушы зат концентрациясының фондық мәннен асып кетуі(артық концентрация).айнымалы үшін диффузия теңдеулері (1.3-1.4) шектік шарттармен (1.10,1.20) теңдеулерінен болады. Сондықтан артық концентрациялар үшін диффузия теңдеулерін шешу нөлдік фондық концентрация кезінде концентрациясы үшін теңдеу сияқты түрге ие болып, (1.19)-бір өлшемді жағдай үшін және (1.21)-екі өлшемді жағдай үшін
(1.26)

екі өлшемді өрнек үшін келесі теңдеуі былайша өрнектеледі:
(1.27)
Модельдерді құрастыру үшін қолданылатын әдістерге тоқталсақ:бірінші дифференциалдық теңдеулерді қарастырсақ.
Дифференциалдық теңдеулер зерттелетін жүйеге кіретін әрбір популяцияның Сан динамикасын (биомассасын)сипаттауға мүмкіндік береді.Жалпы түрде тәуелділікті жазуға болады:
, (2.1)

мұнда - қоғамдастықтағы түрлер саны, - түрдің саны, -уақыт.
Егер ортаның стационарлығы және қоғамдастықтың оқшаулануы туралы болжамдар жасаса (яғни жоғалған түр қайта пайда бола алмайды, бұл, онда,

,

алдыңғы теңдеуді осылай жазып алуға болады.

,

Кейінгі теориялық зерттеулер көбінесе функциясының нақты түріне келтірілген. Дифференциалдық теңдеулермен қатар Вариациялық есептеуді қарастырсақ, экстремалды қағидаттарды қолдануға негізделген модельдеу әдісі принципті түрде өзгеше болып табылады. Оларға сәйкес шын мәнінде жүйенің кейбір жай-күйі ғана жүзеге асырылады, атап айтқанда, табиғи жүйенің дамуын анықтайтын "мақсатты функция" деп аталатын сандық функцияның немесе функционалдың экстремалды мәні бар. Экстремалды принциптерді кеңінен қолдану физика, механика, термодинамика, экономика, басқару теориясы, ал биологияда "мақсатты функция" ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Математикалық модельдеудің түзілуімен есеперу эксперименті әдістемесі
Модельдеудің негізгі түрлері
Зерттеудің негізгі кезеңдері
Жүйелі талдаудың негізгі кезеңдері
MATLAB МАТЕМАТИКАЛЫҚ ПАКЕТІНІҢ НЕГІЗГІ МҮМКІНДІКТЕРІ
Экскурсияны дайындаудың негізгі кезеңдері
ҚР Конституциясының дамуының негізгі кезеңдері
Жүйелі талдаудың негізгі кезеңдері туралы
Салу есептерін шығарудың негізгі кезеңдері
Демографиялық дамудың негізгі кезеңдері
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь