Кейбір иррационал функцияларды интегралдау

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 49 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті ШЖҚ РМК

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Геометрияда аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл формулалары арқылы қорыту

Мамандығы 5В010900-Математика

Орындады: ________________________ Шайкенова Ш.Е.

Ғылыми жетекші,
п.ғ.к., доцент: ________________________ Сейлова З.Т.

Қорғауға жіберілді

Кафедра меңгерушісі _________________ Дамекова С.К.

Көкшетау 2017
МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. АЛҒАШҚЫ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ, ОНЫҢ НЕГЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ МЕН ЕСЕПТЕУ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.1 Интегралдаудың негізгі әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
1.2 Айнымалыны ауыстыру жолымен интегралдау (ауыстру әдісі) ... ... ...14
1.3 Кейбір иррационалдық функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ...16
1.4 Анықталған интеграл, оны аналитикалық түрде және жуықтап
есептеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.5 Жазық сызықтағы доғаның ұзындығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...18

2. ГЕОМЕТРИЯНЫҢ АУДАН ЖӘНЕ КӨЛЕМ ЕСЕПТЕУ ФОРМУЛАЛАРЫН АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ АРҚЫЛЫ ҚОРЫТУ...20
2.1 Қисық сызықты трапецияның ауданы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..20
2.2 Дөңгелектің ауданы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
2.3 Шеңбердің ұзындығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.4 Айналу бетінің ауданы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...28
2.5 Сфера және оның бөліктерінің ауданы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 30
2.6. Айналу денесінің көлемін табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
2.7. Тік дөңгелек конустың көлемі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...34
2.8 Шардың көлемі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
2.9 Цилиндрдің көлемі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 41
2.10 Пирамиданың көлемі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .42
2.11 Тік дөңгелек конустың көлемі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..44

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...46

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... 48

ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

КІРІСПЕ

Дипломдық жұмыс тақырыбының өзектілігі: Геометрияда аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл формулалары арқылы қорыту және оларды есептер шығаруда қолдану 11- сыныптың геометрия пәніндегі ең негізгі тақырыптардың бірі болып табылады. Осы тақырып жоғарғы оқу орындарында жалғастырылады. Жоғарғы сыныпта айналу денелердің көлемдерін есептеу, шардың көлемін, шар сегментінің және сегменттің көлемдерін, сфераның ауданын есептеу қарастырылады және анықталңан интеграл арқылы дәлелденеді. Математикада көптеген есептерді шығару барысында математикалық анализ бастамаларының интеграл тақырыбына келіп тіреледі. Оқушыға білім берумен бірге , оларды шығармашылық бағытта дамыту бүгінгі күннің басты талабы. Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір оқушыда терең білім мен іскерліктің болуын талап етеді. Сондықтан оқушылардың теориялық білімін практикада қолдана білу және білім - білік дағдыларын қалыптастырудың маңызы зор.
Математикалық анализдің ең қызықты, ең қажет, ең келелі мәселелері туынды мен интегралдан басталады. Табиғат құбылыстары мен қоғам өмірінің сан алуан күрделі есептері туынды мен интеграл арқылы шешіледі. Олар арқылы көптеген формулалар қорытылады. Нақты математикалық анализ функциялардың туындысы мен интегралдары жайындағы ғылым. Жаһани ғылымтану пәнінде математика шынайы өмірдегі сандық арақатынастар мен кеңістік формасын зерттейтін ғылым ретінде анықталады.Ал кеңістік формасын зерттейтін математика ғылымы - геометрия. Барлығын өлшеуге үйрететін ғылым - математика деп аталады Н. Муравьев.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Геометрияда аудан және көлем есептерін шығаруда, анықталған интегралдау формулаларын пайдалану әдістерін терең оқып үйрену.
Қойылған мақсатқа жету үшін келесі міндеттер орындалды:
1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері мен есептеу әдістері.
2. Геометрияның аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл арқылы қорыту.
Зерттеу обьектісі: Мектептегі математика сабақтарындағы анықталмаған интегралдар тақырыбындағы есептерді зерттеу.
Зерттеу пәні: Геометрияда аудан және көлем есептеу формулалары.
Мәселені талдау дәрежесі. Дипломдық жобаның тақырыбын зерттеу барысында отандық және шетелдік ғылыми еңбектері мен оқулықтар, электрондық басылымдардағы ғылыми мақалалар қолданылды.
Зерттеу тәжірибесі: салыстырмалық, аналитикалық, логикалық, құрылымдық жүйе, функционалдық жүйе, жалпылау тәжірибесі.
Дипломдық жұмыстың жаңалығы: Интегралды фигуралардың ауданын және көлемін есептеуге қолдану.
Дипломдық жұмыстың тәжірибелік қоры: Дипломды жазу нәтижесінде оқу барысын дамыту үшін есептердің түрлері зерттелді. Зерттелген тақырыбын аясында математикадан арнаулы семинарлар өткізуде, дәріс беруде, тренинг жүргізуде пайдалануға болады. Дипломдық жұмысты жазу барысында төменде көрсетілген авторлардың еңбектері қолданылды: Математика және физика - ғылыми-әдістемелік журнал, № 3- 2011жыл., А.Әбілқасимова, Р. Кудакова. Алгебра және анализ бастамалары. Жоғарғы оқу орындары жанындағы даярлық бөлімдерінің тыңдаушыларына арналған оқу құралы. - Алматы: Ана тілі, 1991ж.,150 б., Қазақстан Республикасының білім мекемелерінің 11 сынып бітірушілердің математикалық жазба жұмыстарына дайындық пен тіркеу талаптары оқу құралы. Астана, 2000 ж., 68-69 б., С. М. Никольский. Элементы математического анализа: Учеб.пособие.-2-е изд., перераб. И доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1989.-С. 156-160 с., М.Я. Выгодский.,Справочник по высшей математике, изд: Наука, 1973г., Г.Н.Яковлева. Математика для техникумов, Геометрия: учебник, изд. Наука.,1982г., 286-290 с.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: дипломдық жұмыс кіріспеден, бес тараудан, қорытындыдан және қолданылған әдебиеттер тізімі мен қосымшадан тұрады.
Кіріспеде дипломдық жобаның өзектілігі, мақсаттары, талаптары, зерттеу обектісі мен пәні, ғылыми жаңалығы және жұмыс структурасы талқыланып ашылынды.
Бірінші тарауда интегралдаудың негізгі әдістері, бөліктеп интегралау, анықталған интеграл, оны аналитикалық түрде және жуықтап есептеу әдістері туралы жазылған.
Екінші тарауда анықталған интегралдың гометриялық мағынасы, дененің көлемін оның параллель қималарының аудандары бойынша есептеу, кез келген цилиндрдің, шардың, сфераның көлемі баяндалады.
Дипломдық жобадағы зерттеу мәні қорытындыда талқыланған.

АЛҒАШҚЫ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ, ОНЫҢ НЕГІЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ МЕН ЕСЕПТЕУ ӘДІСТЕРІ

1.1 Интегралдаудың негізгі әдістері

Мектеп геометриясында шеңбермен ортақ бір ғана нүктесі болатын түзу жанама деп аталады делінеді.Бұл анықтама шеңбер үшін дұрыс, бірақ басқа қисықтар үшін жарамсыз. Қисықпен ортақ бір ғана нүктесі болатын түзу оны жанап өтпей, қиып өтуі де мүмкін. Сонымен қатар қисықты бір нүктеде жанап өткен түзу оны жанап өткен түзу оны бірнеше, тіпті сансыз көп нүктеде қиып немесе жанап өтуі де, демек , ортақ нүктелері көп болуы мүмкін.
Бірінші жағдайдың мысалы ретінде у = а х ² параболаны алуға болады. Координаталар басында оны абциссалары осі ( у = 0 түзуі ) жанап өтеді, бірақ
ординаталар осі ( х = 0 түзуі ) қиып өтеді , у = cosх косинусоиданы у = 1 түзуі (0; 1), ( 2PI ;1 ), ( 4 PI;1 ), ... сансыз көп нүктелерде жанама өтеді. Бұл - екінші жағдайдың мысалы [1].
Математика сабағында координаталық тәуелділік және уақытқа байланысты жылдамдық мысалдарымен туынды ұғымы қалыптастырылғаннан кейін интегралданылған және алғашқы образ аталған функцияның мағынасы түсіндіріледі.
Бұрын біз берілген функция бойынша оның туындысын табу есебімен айналыстық. Енді оған кері есепті қарастырамыз: туындысы берілген, функцияның өзін табу керек. Бұл механикалық тұрғыдан, материалдық нүкте қозғалысының белгілі жылдамдығы бойынша оның қозғалыс заңын табу екенін білдіреді.
Анықтама. Егер F(x) функциясы аралығында дифференциалданса және F'(x)=f(x), ∀xϵ∆, теңдігі орындалса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. (төменде ∆=а,b деп ұйғарамыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз) [2]
Мысалы, f(x)=12√x функциясының ∆=(0,+infinity) арлығындағы алғашқы функцияларының біреуі - F(x)=√x, өйткені ∀ x∈(0,+infinity) нүктелері үшін (√x)'=12√x;
f(x)=2cos2x функциясының ∆=(-infinity;+infinity) аралығындағы алғашқы функцияларының біреуі - F(x)=sinx , өйткені ∀х∈(-infinity;+infinity), (sin2x)'= 2cos2x.
Егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы функциясы F(x) болса, онда кез келген С тұрақты мен F(x) функциясының қосындысы, яғни F(x) +С функциясы да осы f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы функциясы болады, өйткені ∀xϵ∆, (F(x) +С)'= F'(x) +С'= f(x).
Екінші жағынан, егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғышқы функциялары F2(x) пен F2(x) болса: F1'(x) =f(x), :F2'(x) =f(x), ∀xϵ∆, онда осы екі алғашқы функциялардың айырымы тұрақты С, яғни F1(x)- F2(x)=С, ∀xϵ∆, болатынын көруге болады. Шынында да, егер Ф(х) =F1(x)- F2(x) деп алсақ, онда Ф'(х)=[F1(x)- F2(x)]'=F1'(x)- F2(x)= f(x)- f(x)=0, ∀xϵ∆, ал бұдан теорема бойынша Ф'(х)=F1(x)- F2(x), ∀xϵ∆ шығады. Бұл айтылғандардан, егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы функциясы F(x) болса, онда оның осы ∆ аралығындағы кез келген басқа алғашқы функциясы Ф(х)= F(x)+С түрінде болатыны шығады, мұндағы С осы теңдік дұрыс болатындай етіп таңдап алынатын тұрақты сан, ∆-кез келген аралық болсын [5].
у
F(x)+C

F(x)
0 а b x
1-cурет.
f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғышқы функциялары [5].

Анықтама. f функциясының ∆ аралығындағы барлық алғашқы функцияларының жиыны f функциясының ∆ аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады және олfxdx символымен белгіленеді. Мұндағы - интеграл белгісі; f(x)- интеграл астындағы функция; fxdx- интеграл астындағы өрнек.
Егер fx функциясының қандай да бір алғашқы функциясы F(x) болса, онда келесі теңдікті жазуға болады:
fxdx= F(x)+С, С∈
Жиын болғандықтан fxdx= (F(x)+С) деп жазылуы тиіс, бірақ оны fxdx= F(x)+С, С∈ түрінде жазу қалыптасқан. Ескерту. fxdx символы f функциясының алғашқы функцияларының жиыны болғанымен, есептеу барысында олардың бірімен ғана амалдар орындалады да, есептеу аяқталған соң, жоғарыда келтірілген пайымдауларға сүйеніп, С тұрақтысын қосып жазу арқылы алғашқы функциялар жиынына көшеді. Интеграл астындағы f функциясының dx дифференциалына көбейтіліп жазылуынан алғашқы функцияның қайсы айнымал бойынша ізделінетінін көреміз, мысалы: x2zdx=x3z3+C, x2zdx=x2z22+C [7].
Оның басқа да ыңғайлы жақтары (интегралда айнымал ауыстыру және т.б.) алдымызда көрсетіледі.
fx функциясының алғашқы функциясын табу амалын fx функциясын интегралдау амалы деп атайды. Жоғарыда, егер fx үшін ∆ аралығында алғашқы функция бар болса, онда ол жалғыз емес екенін көрдік. Осыған орай мынадай сұрақ туады: (а,в) аралығында үзіліссіз немесе монотондық болса, онда fx функциясының алғашқы функциясы бар ма? Кейінірек егер fx функциясы (а,в) үзіліссіз немесе монотондық болса, онда fx үшін осы аралықта алғашқы функция бар болатындығын көрсетеміз. Қазірше кез келген үзіліссіз функцияның алғашқы функциясы бар деп қабылдап, үзіліссіз функциялармен жұмыс істейміз. Анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырайық. Егер fx функциясының алғашқы функциясы Fx болса, онда интеграл астындағы fxdx орнегі Fx функциясының дифференциалы fxdx= Fxdx=d Fx, екенін ескеріп және жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып келесі теңдіктерді жаза аламыз (көз жеткізіңіз)
dFxx+C; d(fxdx)=fxdx; (fxdx)'=fx;f'xdx=fx+C.
a) A∙fxdx=Afxdx+C, A- тұрақты сан;
б)[fx+gx]dx=fxdx+gxdx+C. Сонғы, (б) теңдік интегралдың аддитивтік қасиеті деп аталады. Мысалы, (б) қасиетін көрейік. [Ф1(х)]'=f(xdx+gxdx)'=(fxdx)'+(gxdx )'=анықтама бойынша=f(x)+g(x); [Ф2(x)]'=([fx+g(x)]dx)'=анықтама бойынша= f(x)+g(x); сонымен, Ф1х және Ф2(x) функциялары f(x)+g(x) функциясының екі алғашқы функциясы болып отыр. Ендеше, олардың айырымы С тұрақты сан: Ф1х-Ф2(x)= [fx+g(x)]dx-fxdx)+(gxdx=С, яғни б) теңдік орындалады. а)теңдігі де осылай дәлелденеді.
Егер fx функциясының алғашқы функциясы Fx болса, онда f(ax+b) функциясының алғашқы функциясы 1аF(ax+b) болады, яғни f(ax+b)dx= 1аF(ax+b)+С.
[1аF(ax+b)]'=1a∙a∙F'ax+b=fax+b.
Мысалы, f(x)=ex функциясының ∆=(-infinity;+infinity) аралығындағы алғашқы функциясы Fx=ex. Демек, қасиет бойынша, e4x+3dx=14e4x+3+C.
Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кестесін келтірейік (теңдіктер бөлшектің бөліміндегі функциялар нөлге тең емес нүктелерде дұрыс).
Х!=0 үшін,x=x∙sign x теңдігінен x'=x∙sign x '= sign x аламыз.олай болса, (lnx+C)'=1x∙x'=sign xx∙sign x = 1x, x!=0. Енді 12) формуланы дәлелдейік.
(lnx+x2+a+C'=1X+X2+a∙xx2+a'=1 x+x2+a∙sign(x+x2+a)∙
(x+x2+a)= 1x+x2+a∙sign(x+x2+a)∙(1+xx2+a)=si gn (x+x2+a)(x+x2+a)∙sign (x+x2+a)∙x+x2+ax2+a=1x2+a.

Элементар функциялардың туындылары элементар функциялар болатыны белгілі. Ал элементар функцияларды интегралдау нәтижесінде элементар функция алынбауы да мүмкін. Мысалы, келесі интеграл астындағы функциялардың алғашқы функциялары элементар функциялар еместігі дәлелденген:
e-x2dx- Пуассон интегралы;
cosx2dx,sinx2dx- Френель интегралы;
dxlnx - интегралдық логарифм;
cosxxdx - интегралдық косинус;
Анықтама. Егер берілген аралықта Ғ(х) = f (х) теңдігі орындалатын болса, онда осы аралықта Ғ(х) функциясын f (х) функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.
Белгілі бір I аралықта f (х) функциясы үшін алғашқы функциялардың кез - келгенін Ғ(х) + С түрінде жазуға болады. Мұндағы С - кез келген тұрақты шама, ал Ғ(х) + С I аралықта f (х) функциясы үшін алғашқы функция болып табылады. Шынында да (Ғ(х) + С )` = Ғ `(х) = f (х )
1.Егер (а, в) аралығында f (х) функциясының алғашқы функциясы үшін Ғ(х) алғашқы функция болса, онда k f(х )үшін осы аралықта k Ғ (х) алғашқы функция болады. Себебі (k Ғ (х))` = k Ғ` (х) = k f(х).
2. Егер (а, в) аралығында f (х) функциясы үшін алғашқы функция Ғ(х) болса, φх функциясы үшін алғашқы функция Ф(х) болса, онда f (х) + φх үшін осы аралықта Ғ(х) + Ф( х ) алғашқы функция болады [6].
Шынында да, (Ғ(х) + Ф(х))` = Ғ `(х) + Ф `(х) = f (х) + φх.
3. Егер (а, в) аралығында f (х) функциясы үшін алғашқы функция Ғ(х) болса, онда f (k х + С ) үшін осы ( а, в ) аралығында 1k F (k х + С) алғашқы функция болып табылады. Осы тұжырымдаманың дұрыстығын тексерейік.
(1k F (k х + С ) )` = 1k F` (k х + С ) k = F` (k х + С ) = f (k х + С ).
Анықтама. (а,в) аралығында f (х) - тің барлық алғашқы функцияларының жиынын анықталмаған деп атайды және оны былайша белгілейді:
F ( х ) + С = f (х) dx
- интеграл белгісі , f х - интеграл астындағы функция, f х dx-
интеграл астындағы өрнек.
Анықталмаған интеграл қасиеттері:
kf х dx = k fх dx, k - соnst
(fх + φ(х)) dx = fхdx + φхdx .
(f kх+вdx = 1k F ( k х + в ) + С , k != 0.
Интегралдар таблицасы:
х dx = х n+1 n+1 + С
е х dx = е х + С
dx х = ln х + С
а х dx = а х lnа + С
sinх dx = - cosх + С
dx 1- х 2 = аrcsin х+ С = С - arccos x
cos dx = sinх + С
dx х ²+ а = ln х + х ²+а + С
dxсоs ² х = tg х + С
dx1+ х ² = аrctg х + С
dxsin2 х = - сtg х + С [7].
Осы теңдеулердің дұрыстығы Ғ ' ( х ) = f ( х ) теңдігін тексеру арқылы дәлелденеді. Анықталған интегралдың негізгі қасиетттеріне анықтама беретін болсам: Шектері бірдей анықталған интеграл нөлге тең болады:
ав f х dx = 0
Анықталған интегралдың шектерінің орнын ауыстырғанда интегралдың таңбасы қарама - қарсы таңбаға ауысады:

ав f х dx = - ваf ( х )dx.

Интегралдау кесіндісін бөліктерге бөлуге болады:

ав f х dx = ас f х dx + св f х dx : мұндағы а с в

Тұрақты көбейтуішті интеграл алдына шығаруға болады:

ав с f х dx = с ав f х dx
Алгебралық функциялардың қосындысының (айырмасының) интегралы әрбір алгебралық қосылғыштардың интегралдарының қосындысына (айырмасына) тең болады:
а в (f1 ( х ) +- f 2 ( х ) ) dx = ав f ( х 1 ) dx +- авf ( х 2 )dx
ОХ осьінің жоғарғы жағында орналасқан қисық сызықты трапецияның ауданы (аАВв) ауданы: S = ав f х dx формуласымен есептеледі.

y

A B

0 a b x

2 сурет.
ОХ осьінің жоғарғы жағында орналасқан қисық сызықты трапецияның ауданы [7].

Интегралды есеп шығаруда қолданудың тиімді тәсілдері.
Есеп. у = х функциясының графигімен, Ох осімен және х = 4 түзуімен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданын табу керек.

y

y=x

0 4 x
3 сурет.
у = х функциясының графигі [7].
f ( х ) = х функциясы үшін алғашқы функциясын табамыз. Ғ(х) = 2 х³3 .
Ғ ( 0 ) = 0, Ғ ( 4 ) = 2 3 · 4³ = 23 · 64 = 2 3 · 8= 163 = 5 1 3 ( кв. бірлік)
Жауабы: 5 1 3 кв. бірлік.
Мысалы, х= 2 - у+3 теңдеуінің және 2х - у = 7 және х + у =5 түзулерінің графиктерімен шектелген фигураның ауданын табу керек.
Шешуі: Түрлендіру жүргіземіз.
х= 2 - 3+у ⇒ у+3 = 2 - х ⇒у = (х-2)2 - 3, у = - 3 болғанда
2х - у = 7 ⇒ у = 2х - 7, х + у = 5 ⇒ у = 5 - х [5].
Түрлендірулер жүргізілгеннен соң шыққан функциялардың графиктерін бір координаталар жазықтығына саламыз.

5

4

Y= - (x-3)2+5

У=1
x
0 1 2 3 4 5

Y=(x-3)2-3
-3

4 сурет.
х= 2 - у+3 теңдеуі [5].

Координаталар басын ( 0; -3 ) нүктесіне көшірсек, қисықтарымыз мына көрініске ие болады: у = х-2 2 , у = 2х - 4 , у = 8 - х .
S АВСД трап = 9+42 · 5 = 32,5 S∆ВСЕ =2 ·4 2 = 4
SАЕД қисық сыз. трап. = -12( х-2 )2dх = ( х-2 )33 ² = 03 + 273 = 9 ( кв. бір.)
Онда ізделінген фигураның ауданы мынаған тең болады:
S = S АВСД трап - S∆ВСЕ - SАЕД қисық сыз.трап. = 32,5 - 4 - 9 = 19,5 (кв. бір. Жауабы: 19,5 (кв. бір.)
Мысалы, у = 1 4 х 3 және у - х = 0 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын табу керек.
Шешуі: Бұл сызықтардың қиылысу нүктелерін табамыз. У - х = 0 , осыдан у = х болады. 1 4 х 3 = х , х 3 - 4х = 0 , х ( х ² - 4 ) = 0. Осыдан х 1 = 0; х 2 = 2; х 3 = - 2. Бұл фигура екі бөліктен тұрады. Олар өзара конгруэнтті. Сондықтан жоғарғы бөлігінің ауданын тауып, оны екіге көбейту жеткілікті.
S = 2 12( х-14 х 3)dx = 2 02х dx - 12 02х 3 dx = 2 · х22 - 1 2 · х 4 4 = 2 2 - 1 8 · 2 4 = 4 - 1 8 · 16 = 2 ( кв. бір.) Жауабы: S = 2 кв. бір.

у = х³ + 1 қисығымен, у = 2 түзуі мен Оу осімен шектелген фигураның ауданын табу керек. Осы есепті төрт тәсілмен шешуге болады.
1 - тәсіл. S = 01( 2-х ³ - 1 )dx = 01 ( 1-Х ³) dx = ( Х - Х 44 ) °¹ = 1 - 1 4 = 34 ( кв. бір.)
2 - тәсіл. Іздеп отырған аудан қисық сызықты екі трапецияның аудандарының айырмасы деп аламыз.
Демек, S = S ОВСД - S ОАСД
S ОВСД = 012 dx = 2 х ¹ = 2 немесе тіктөртбұрыш ретінде қарастыруға болады. S ОАСД = 01( х ³+ 1 )dx = ( х 44 + х ) ¹ = 14 + 1 = 114.
S = S ОВСД - S ОАСД = 2 - 114 = 3 4 ( кв. бір.)
3- тәсіл.Екі фигураның графигі қайсысы жоғары жағынан орналасса , сол функцияның ауданынан екінші функцияның ауданын шегереміз. Демек, S = S ОВСД - S ОАСД = 2 - 114 = 3 4 ( кв. бір.)
4- тәсіл. Модель таңбасын қою арқылы дербес жағдайда бірден шығару. S = S ОВСД - S ОАСД = 01 2 dx - 01 ( х ³+ 1)dx = 2х ¹ - (х44 + х ) ¹= 2 - 1 1 4 = 3 4 = 3 4 ( кв. бір.)
S = S ОАСД - S ОВСД = 01 ( х ³+ 1)dx - 01 2 dx = (х44 + х )¹ - 2х ¹ =
= 1 1 4 - 2 = - 34 = 3 4 ( кв. бір).
Мысалы, у = cosх және у = 1 - cosх функцияларының графиктерімен шектелген , [ - PI 2 ; PI2 ] аралығында анықталған және х = [- PI 2 ; PI2 ] және х = - PI2 ; х = PI2 түзулерімен шектелген фигураның ауданын табу керек[1].
Бұл есепті шығарғанда оқушылар АВСО фигурасын алып, берілген түзулердің қиылысу нүктесін табады және олардың абсциссаларын интегралдаудың шегіне алады. Оқушылардың кейбіреуі барлық түзулердің кесінділерінің қиылысуынан, абсцисса осіне перпендикуляр, берілген түзулер арасындағы фигураларды алады.
Фигура ордината осіне ұшырағанда симметриялы болғандықтан:
S ф = 2 ( S 1 + S 2 ). Содан кейін cosх = 1 - cosх теңдеуін шешеміз.
2 cosх = 1 , cosх = 12 , х = - PI3 , х = PI3 .
S 1 = 0PI3 cosх dx - 0PI3 ( 1- cosх )dx = sinх PI3 - ( х -sinх ) °PI3 = 32 - 0-
PI3 + 32 +0 = 3 - PI3 ;
S 2 = PI3 PI2 ( 1- cosх ) dx - PI3 PI2cosх dx = ( х - sinх ) PI2 - sinх PI3 = PI2 - sinPI2 - PI3 + sinPI3 - sinPI2 + sinPI3 = PI2 - 1 - PI 3 + 3 2 - 1+ 3 2 = PI6 + 3 - 2;
S ф = 2 (S 1 + S 2 )= 2 ( 3 - PI3 - + PI6 + 3 - 2) = 2 ( 2 3 - PI 6 - 2 );
Жауабы: S ф = 2 ( 2 3 - PI 6 - 2 ).
Қисық сызықты трапеция абсцисса осінен төмен орналасса, онда оған сәйкес интегралдың мәні теріс санға тең болады. Егерде қарастырылып отырған аралықта фигураның бір бөлігі абсцисса осінен жоғары орналасса, онда ол аралық бойынша алынған интегралдың мәні фиграның абсцисса осінен жоғары (оң санға тең) және төмен (теріс санға тең ) орналасқан бөліктерінің аудандарының алгебралық қосындысына тең болады. Кейбір жағдайда фигура төменнен (немесе жоғарыдан) абсцисса осімен емес, басқа сызықпен қоршалған болуы мүмкін. Онда фигураның ауданы екі фигураның айырмасы ретінде қарастырылады. Мысалы, мына сызықтармен шектелген фигураның ауданын табу керек:
у = х 2 - 2х + 4, у = х + 1, х = 1, х = 3.
Шешуі: у = х 2 - 2х + 4 функциясының графигі параболла және у = ( х - 1 )² - 3 болғандықтан оның төбесі ( 1; 3 ) нүктесінде. Сонымен қатар, егер х = 0 болса, онда у = 4; х = 3 болса, онда у = 9 - 6 + 4 = 7. Сонда параболла (0; 4 ) және ( 3 ; 7 ) нүктесі арқылы өтеді.
у = х + 1 функциясының графигі түзу сызық. Егер х = 1 болса, онда у =1+ 1 = 2, егер х = 3 болса , онда у = 3 + 1 = 4. Сонымен, түзу (1; 2) және (3; 4) нүктелері арқылы өтеді, х = 1 және х = 3 теңдеулерінің графиктері ордината осіне параллель және ( 1; 0) және ( 3; 0) нүктелері арқылы өтетін түзулер [2].

y
::K

::
:: ::E ::C

:: ::B
::A
D
-1 0 1 3 x

4 сурет.
Сызықтармен шектелген фигураның ауданы [2].
Сондықтан салынған суреттен байқайтынымыз:
S ВЕКС = S АЕКД - S АВСД .
Бұл есепті шешу үшін екі интегралды, яғни 13 ( х2 -2х+4)dx және 13 х+1 dx қарастырамыз.
Сонда ізделінді аудан былай табылады :
S = 13 ( х2 -2х+4)dx - 13 х+1 dx = ( х 3 3 - х ² + 4 х ) - ( х ²2 + х ) = ( 9 - 9 + 12 ) - ( 1 3 - 1 + 4 ) - (( 9 2 + 3 ) + ( 1 2 + 1 )) = 12 - 3 1 3 - 7, 5 + 1, 5 = 2 23.
Жауабы: 2 23 ( кв. бір.)
ОХ осьінің жоғарғы жағында орналасқан қисық сызықты трапецияның ауданы (аАВв) ауданы: S = ав f х dx формуласымен есептеледі.

y

A B

0 a b x

5 сурет.
ОХ осьінің жоғарғы жағында орналасқан қисық сызықты трапецияның ауданы [2].

ОХ осьінің төменгі жағында орналасқан қисық сызықты трапецияның ауданы : S = - ав f х dx формуласымен есептеледі.
Басқа формадағы фигуралардың ауданын табу үшін трапецияға бөледі немесе трапецияға дейін толықтырады және ауданын трапециялардың қосындысы немесе айырмасы түрінде табады. Есептеу тік бұрышты системаны қолдану арқылы жүзеге асырылады.
Мысалы, табаны АВ = 2а және биіктігі КО = Һ болатын параболалық АОВ сегментінің ауданын табу керек.

6-сурет.
ОХ осьінің төменгі жағында орналасқан қисық сызықты трапецияның ауданы [6].
АОВ сегментін өзара тең ОКВ және ОКА қисық сызықты трапецияға бөлеміз. Сонда: S ОКВ = 0 һуdx болады. Х, у координаталары у² = 2 pх теңдеуімен байланысты. Параметр p парабола В( һ; а ) нүктесі арқылы өтеді деген шарт бойынша анықталады : а² = 2рһ болады.
у² = 2 pх және а² = 2рһ теңдеулерінен у = а һ х болады. Осыларды S ОКВ = 0 һуdx формулаға қоямыз. Сонда S ОКВ = аһ 0һх dx = 2 3 а һ. S АОВ = 2 S ОКВ = 2 3 (2а) һ. Демек, параболалық сегменттің ауданы А В В ' А' тік төртбұрыштың ауданының 2 3 - сіне тең.
Екінші жағдай. АОВ сегментін А А' В' В тік төртбұрышына толықтырамыз. Толықтырылған трапецияның ауданы: -а+а х dy немесе һ а ² -а+а у ²dy =13 · 2 а һ . Демек, S АОВ = 2 а һ - 13 · 2 а һ = 23 · 2 аһ[6].

1.2 Айнымалыны ауыстыру жолымен интегралдау (ауыстыру әдісі)
Интегралдық есептеулерде айнымал ауыстыру формуласы ерекше орын алады. Теорема(интегралдау формуласыныңт инварианттылығы). и=φх - кез келген дифференциалданатын функция болсын. Егер fxdx=Fx+C болса, онда
fφxdφx=Fφx+Cнемесе fudu=Fu+C, u=φx.
Fu =Fφx функциясының бірінші дифференциалының инвапианттылығын пайдаланып d Fu=F'udu=fudu, ал бұдан dFu=Fu+C аламыз.
1-мысал. а)ex2∙2xdx=ex2dx2=eudu=euu-x2+C=ex2 +C.
b) cos3x-1dx=13cos3x-1d(3x-1=13cosudu= 13sinuu-3x1 +C.
Мұнда айнымал ауыстырудың дифференциал таңбасының астына алу түрі қолданылады. Ал егер айнымал ауыстыруды тікелей орындасақ онда, cos3x-1dx=u=3x+1,du=d3x+1==3dx,dx=1 3du=cosu∙13du=13cosu∙du=13sinuu-3x+ 1=13sin3x+1+C.
Ескерту. Бұл интеграл, әрине қасиет бойынша жылдам табылады: cos3x-1dx=13sin3x-1+C. Есептеу барысында а), б) теңдіктер тізбегінің euu=x2, 13sin u u-3x-1 түріндегі мүшелері жазылмайды. Алдымыздағы мысалдарда біз солай етеміз. Келесі түрдегі интегралдарды: dxx2+px+qdxx2+px+qквадрат үшмүшеліктен толық квадрат бөлу арқылы есетеу-ге болады. Бұл теңдіктердің дұрыстығын диффереренциалдау арқылы тексеруге болады. Мысалы, 3) формуланы дәлелдейік.
Мысалы,dxx2-5x+2=dxx2-2∙52x+522-522 +2=dxx-522-174=dxx-522-(√172)2=d(x- 52)x-522-(√172)2=u=x-52=12√172lnx-5 2-√172x-52+√172+C=1√17ln2x-5-√172x- 5+√17+C.
Енді айнымал ауыстыру әдісін келесі қарапайым бөлшектерде а) Ax-ak, k ∈N; б)Ax+B(x2+px+q)k, kϵN, Dϵp2-4q0 интегралдауға қолданып көрейік.
а) Егер k=1 болса, онда Ax-adx=Adx-ax-a =A∙lnx-a+C; егер k=2 болса, онда A(x-a)k dx=A(x-a)-kdx-a=A(x-a)-k+1-k+1+C=A1 -k∙1(x-a)k-1+C.
б) (3) түрдегі қарапайым бөлшекті k=1 үшін интегралдайық, ал k=2 жағдайын көрсетеміз. Сонымен k=1 болсын. Онда Ax+Bx2+px+qdx= Бөлшектің алымын квадрат үшмүшеліктің туындысы (x2+px+q)'=2x+p арқылы өрнектейміз=A22x+p-Ap2+BX2+px+qdx= A22x+px2-px+qdx-Ap2-Bdxx2+px+q=A2d( x2+px+q)x2+px-q Ap-2B2dx+p2x-p22-q-p24=q-p24=4q-p22 24q-p20=A2lnx2+px+q-Ap-2B2∙24p-p2a rctg2x+p24p-p2+C=A2lnx2+px+q+2B-Ap4 q-p2arctg2x+p4q-p2+С [5].
Ескерту.Ах+Вx2+px+q dx түріндегі интегралды да б) мысалындағы әдісті пайдаланып есептеуге болады. Біз жоғарыдағы мысалдарда t=φ(x) түріндегі айнымал ауыстыруын қолдандық. Енді x=ψ(t) түріндегі ауыстыруды қолдану мысалын көрсетейік. Ол тригонометриялық және гиперболалық функцияларды интегралдауда жиі қолданылады. Егер x=ψt қандайда бір аралықта үзіліссіз дифференциалданатын функция болса, онда fxdx=fψtψ'tdt+C. Шынында да,ddtfxdx=ddxfxdxdxdt= fψtψ't, fψtψ'tdt интегралы да осы fψtψ't функциясының қандай да бір алғашқы функциясы. Бір функцияның екі алғашқы функцияларының айырымы тұрақты сан болатыны белгілі.
Ескерту. (4) айнымал ауыстыруын қолданғанда ψt мен fx функцияларының анықталу жиындары: Dl мен Dx арасында өзара бірмәнді сәйкестік болатындай (бұл жағдайда Dl--Dx деп белгілейлі) және x=ψt функциясы Dx жиынындағы өз мәндерін түгел қолдайтындай болуға тиіс .

1.2 Кейбір иррационал функцияларды интегралдау
R(x,y) белгіленуі бөлшекті бейнелейді, алымы мен бөлімі x, y әріптеріне қатысты көпмүше. Мұндай бөлшек x, y екі айнымалысының рационал функциясы деп аталады. Егер бөлімі - тұрақты шама ( нолдік дәрежелі көпмүше) болса, онда рационал функция бүтін деп аталады. Дәл осылайша үш айнымалы R(x,y,z), төрт айнымалы, т.б. рационал функциялар анықталады.
I = R [ x, (px+ qrx+ s )α; (px+ qrx+ s )β , ... ] dx,
мұндағы α,β - рационал сандар, p, q, r, s - тұрақты шамалар ( санды немесе әріпті), райионал функцияларды интегралдауға әкеледі, демек элементарлық функциямен өрнектелінеді. Бұл мақсатта алмастыру тәсілін қолданамыз; px+ qrx+ s = tn, мұндағы n - α,β бөлшектерінің ортақ бөлімі.
Дербес жағдайда, I = R [x, xα, xβ, ... , ] dx (2) интегралы x = tn алмастыруымен есептелінеді. Ескерту: Берілген интегралды рационал функцияны интегралдауға келтіруді рационализация деп атайды[5].
Рационализациялауды Эйлердің бірінші алмастыруымен орындауға болады.
ax²+ bx+ c + xa = t, онда ax²+ bx+ c = ( t - xa )²
x² бар мүшелері өзара жойылады және x рационал t арқылы өрнектеледі. Осы мәнді (1) - ге қойып, ax²+ bx+ c радикалы үшін рационал өрнекке қоямыз. Эйлердің үшінші алмастыруы әртүрлі жағдайда қолданамыз, ax²+ bx+ c үшмүшесінің нақты түбірлері, дербес жағдайда, a 0 болғанда. Айталық, түбірлері x1, x2 болсын. Онда a(x- x1)x- x2 = t (2 )деп белгілейміз, онда x рационал өрнекті t арқылы белгілейміз: x = x2 t²- ax1t²- a. Демек, ax²+ bx+ c = ax-x1 (x- x2) = ax-x1 x- x2 ∙(x- x2 )² = t x- x2. Эйлердің бірінші және үшінші алмастыруы кез келген түрдегі интегралды есептеу үшін жеткілікті. Эйлердің екінші алмастыруы ax²+ bx+ c = tx + с түрінде болады. Оны с 0 болғанда қолдану қолайлы. Квадраттап және x - ке бөліп, t арқылы x рационал өрнегін аламыз, ax²+ bx+ c = tx + с формуласы иррационал өрнекті интегралдауды береді. R(sinx, cosx) dx интегралды рационализациялау үшін tg x2 = z алмастыруын енгіземіз. Бұдан: sinx =2 x1+ z², cosx = 1- z²1+ z² dx = 2 dt1+ x² ; Мысалы: I = dx3+5 cosx . Шешуі: (2) және (3) формулаларды пайдаланамыз. I = 2 dz 1+ z2( 3+5 1- z²1+ z² ) = dz4- z² = 14 ln2+ z2- z + С . Осыған : z = tg x2 қоямыз, сонда I = 14 ln2+ tg x2 2- tg x2 + С болады [7].

1.3 Алмастыру тәсілімен интегралдау
Интеграл астындағы f(x)dx өрнегіндегі x - тің орнына көмекші z айнымалысын енгіземіз. Сонда f (x)dx = f1(z)dz болады. Егер f1(z)dz анықталмаған интегралды табу таблицасында болса, онда бірден есептеуге болады. Мысалы, : 2x-1 dx Бұл интегралды есептеу үшін интегралды табу таблицасында дәл келетін формула жоқ, бірақ берілген интегралға ұқсас x dx интегралды есептеуге болады.2x -1=z(1) деген айнымалы енгіземіз. Осыны дифференциалдаймыз, сонда 2 dx = dz (2) болады. Интеграл астындағы 2x-1 dx өрнегі (1) және (2) өрнектері арқылы z dz2 түріне ықшамдалынады, сонда 2x-1 dx = z dz2 = 1 2 ∙ z3232 + С = 13 z32 + С. ( 3) x айнымалысына қайта ораламыз, сонда 2x-1 dx = 13 (2x-1)32 + С . 1 - ереже. Егер интеграл астындағы функция f ( ax+ b ) түрінде болса, онда
ax+ b = z алмастыруын қолдану керек.
2 - ереже. Интеграл астындағы өрнек екі көпмүшеге бөлінсін және оның біреуінде қандай да бір φx функциясының дифференциалы бар екендігін қабылдаймыз. φx = z алмастыруын қолданғаннан кейін екінші көбейткіш интегралдауға болатын z - тен функцияға айналады. Бұндай алмастыру өте пайдалы болады.
Мысал: 2xdx1+ x² есептеу керек. Интеграл астындағы өрнекті 11+ x² және 2xdx көбейткіштеріне бөлеміз. 2xdx көбейткіші 1 + x² функцияның дифференциалы болады. 1 + x² = z алмастырамыз, сонда 11+ x² көбейткіші 1z түрін қабылдайды. Біз осы функцияны интегралдай аламыз. Есептеуді төмендегідей жазамыз:
2xdx1+ x² = d ( 1+ x2)1+ x² = ln(1+ x²) + С[5].
3 - ереже. cos2n+1xdx , sіn2n+1xdx түріндегі интегралдарды есептегенде, біріншіде sіnx арқылы , екіншіде cоsx арқылы алмастырылады.
4 - ереже. cos2nxdx , sіn2nxdx түріндегі интегралды есептегенде cos²x = 1+cos2x2 , sіn²x = 1- cos2x2 формулаларын қолдану ыңғайлы және cos 2x функциясымен алмастырылады 5 - ереже. соs2nxdx, sіn2nxdx түріндегі интегралды табу үшін
cos²x = 1+ cos2x2 , sin²x = 1- cos2x2 формулаларын қолдану ыңғайлы және соs2x көмекші функциясын енгізуге болады.
6 - ереже. cosmx sіnnxdx түріндегі интегралды есептеу үшін , m,n нүктелерінің бірі тақ болғанда, егер m - тақ болса, cosx функциясын, егер n - тақ болса sinx функцияларын енгізуге болады. 7 - ереже. cosmx sіnnxdx түріндегі интегралды есептеу үшін , мұндағы m,n - жұп сандар болғанда cos²x = 1+ cos2x2 , sin²x = 1- cos2x2 , sinx cosx =sin2x2 формулаларын қолдану ыңғайлы .
8 - ереже. sinmx cosnx dx, sinmx sіnnx dx, cosmx cosnx dx, интегралдарын есептеу үшін,
sinmx cosnx = 12 [ sin( m- n)x + sin( m+ n)x],
sinmx sіnnx = 12 [ cos( m- n)x - cos( m+ n)x],
cosmx cosnx = 12 [ cos( m- n)x + cos( m+ n)x] формулаларын қолдануға болады.
Ереже: x1x2ƒ(x)dx интегралын табу үшін x - пен қандай да бір байланыста болатын көмекші z айнымалысын енгіземіз. Интеграл астындағы өрнек анықталмаған интегралдаудағы өрнек сияқты түрленеді, яғни ƒ1(z) dz түріне түрленеді. Сонымен қатар x1, x2 шектерін жаңа z1, z2 жаңа шектермен алмастыру керек, z айнымалысының осы мәндеріне x айнымалының x1, x2 мәндері сәйкес болатындай алмастырылады. Егер бұл мүмкін болса, онда x1x2ƒ (x )dx = z1z2ƒ1( z ) dz түрінде болады. d ( 1+ x2)1+ x² = ln(1+ x²) + С.
Мысалы, есепте: 0132x-1 dx.
Шешуі: көмекші z = 2x-1 айнымалысын енгіземіз. x айнымалыны z арқылы өрнектейміз. Сонда x = z+12 , осыны интеграл астындағы өрнекке қоямыз, өрнек 12 z12 dz өрнекке түрленеді. Шектері x1 = 5, x2 = 13 жаңа z1, z2 шектерімен алмастырамыз, сонда
z1 = 2 x1 - 1 = 9, z2 = 2 x2 - 1 = 25,
0132x-1 dx = 02512 z12 dz = 1 3 z32 025 = 3023 [5].

1.4 Жазық сызықтағы доғаның ұзындығы
Тік бұрышты координаталық жазықтықтағы АВ доғасының ұзындығы t1t2x't2+ ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.