Кейбір иррационал функцияларды интегралдау

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 49 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі

«Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университеті» ШЖҚ РМК

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Геометрияда аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл формулалары арқылы қорыту

Мамандығы 5В010900-Математика

Орындады: Шайкенова Ш. Е.

Ғылыми жетекші,

п. ғ. к., доцент: Сейлова З. Т.

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі Дамекова С. К.

Көкшетау 2017

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 3

1. АЛҒАШҚЫ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ, ОНЫҢ НЕГЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ МЕН ЕСЕПТЕУ ӘДІСТЕРІ . . . 4

1. 1 Интегралдаудың негізгі әдістері . . . 4

1. 2 Айнымалыны ауыстыру жолымен интегралдау (ауыстру әдісі) . . . 14

1. 3 Кейбір иррационалдық функцияларды интегралдау . . . 16

1. 4 Анықталған интеграл, оны аналитикалық түрде және жуықтап

есептеу әдістері . . . 17

1. 5 Жазық сызықтағы доғаның ұзындығы . . . 18

2. ГЕОМЕТРИЯНЫҢ АУДАН ЖӘНЕ КӨЛЕМ ЕСЕПТЕУ ФОРМУЛАЛАРЫН АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ АРҚЫЛЫ ҚОРЫТУ . . . 20

2. 1 Қисық сызықты трапецияның ауданы . . . 20

2. 2 Дөңгелектің ауданы . . . 26

2. 3 Шеңбердің ұзындығы . . . 27

2. 4 Айналу бетінің ауданы . . . 28

2. 5 Сфера және оның бөліктерінің ауданы . . . 30

2. 6. Айналу денесінің көлемін табу . . . 32

2. 7. Тік дөңгелек конустың көлемі . . . 34

2. 8 Шардың көлемі . . . 35

2. 9 Цилиндрдің көлемі . . . 41

2. 10 Пирамиданың көлемі . . . 42

2. 11 Тік дөңгелек конустың көлемі . . . 44

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 46

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 48

ҚОСЫМША . . .

КІРІСПЕ

Дипломдық жұмыс тақырыбының өзектілігі: Геометрияда аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл формулалары арқылы қорыту және оларды есептер шығаруда қолдану 11- сыныптың геометрия пәніндегі ең негізгі тақырыптардың бірі болып табылады. Осы тақырып жоғарғы оқу орындарында жалғастырылады. Жоғарғы сыныпта айналу денелердің көлемдерін есептеу, шардың көлемін, шар сегментінің және сегменттің көлемдерін, сфераның ауданын есептеу қарастырылады және анықталңан интеграл арқылы дәлелденеді. Математикада көптеген есептерді шығару барысында математикалық анализ бастамаларының интеграл тақырыбына келіп тіреледі. Оқушыға білім берумен бірге, оларды шығармашылық бағытта дамыту бүгінгі күннің басты талабы. Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір оқушыда терең білім мен іскерліктің болуын талап етеді. Сондықтан оқушылардың теориялық білімін практикада қолдана білу және білім - білік дағдыларын қалыптастырудың маңызы зор.

Математикалық анализдің ең қызықты, ең қажет, ең келелі мәселелері туынды мен интегралдан басталады. Табиғат құбылыстары мен қоғам өмірінің сан алуан күрделі есептері туынды мен интеграл арқылы шешіледі. Олар арқылы көптеген формулалар қорытылады. Нақты математикалық анализ функциялардың туындысы мен интегралдары жайындағы ғылым. Жаһани ғылымтану пәнінде математика шынайы өмірдегі сандық арақатынастар мен кеңістік формасын зерттейтін ғылым ретінде анықталады. Ал кеңістік формасын зерттейтін математика ғылымы - геометрия. «Барлығын өлшеуге үйрететін ғылым - математика деп аталады» Н. Муравьев.

Дипломдық жұмыстың мақсаты: Геометрияда аудан және көлем есептерін шығаруда, анықталған интегралдау формулаларын пайдалану әдістерін терең оқып үйрену.

Қойылған мақсатқа жету үшін келесі міндеттер орындалды:

Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері мен есептеу әдістері.
Геометрияның аудан және көлем есептеу формулаларын анықталған интеграл арқылы қорыту.

Зерттеу обьектісі : Мектептегі математика сабақтарындағы анықталмаған интегралдар тақырыбындағы есептерді зерттеу.

Зерттеу пәні : Геометрияда аудан және көлем есептеу формулалары.

Мәселені талдау дәрежесі. Дипломдық жобаның тақырыбын зерттеу барысында отандық және шетелдік ғылыми еңбектері мен оқулықтар, электрондық басылымдардағы ғылыми мақалалар қолданылды.

Зерттеу тәжірибесі: салыстырмалық, аналитикалық, логикалық, құрылымдық жүйе, функционалдық жүйе, жалпылау тәжірибесі.

Дипломдық жұмыстың жаңалығы: Интегралды фигуралардың ауданын және көлемін есептеуге қолдану.

Дипломдық жұмыстың тәжірибелік қоры: Дипломды жазу нәтижесінде оқу барысын дамыту үшін есептердің түрлері зерттелді. Зерттелген тақырыбын аясында математикадан арнаулы семинарлар өткізуде, дәріс беруде, тренинг жүргізуде пайдалануға болады. Дипломдық жұмысты жазу барысында төменде көрсетілген авторлардың еңбектері қолданылды: «Математика және физика» - ғылыми-әдістемелік журнал, № 3- 2011жыл., А. Әбілқасимова, Р. Кудакова. Алгебра және анализ бастамалары. Жоғарғы оқу орындары жанындағы даярлық бөлімдерінің тыңдаушыларына арналған оқу құралы. - Алматы: Ана тілі, 1991ж., 150 б., «Қазақстан Республикасының білім мекемелерінің 11 сынып бітірушілердің математикалық жазба жұмыстарына дайындық пен тіркеу талаптары» оқу құралы. Астана, 2000 ж., 68-69 б., С. М. Никольский. Элементы математического анализа: Учеб. пособие. -2-е изд., перераб. И доп. -М. : Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. -С. 156-160 с., М. Я. Выгодский., Справочник по высшей математике, изд: «Наука», 1973г., Г. Н. Яковлева. Математика для техникумов, «Геометрия»: учебник, изд. «Наука»., 1982г., 286-290 с.

Дипломдық жұмыстың құрылымы: дипломдық жұмыс кіріспеден, бес тараудан, қорытындыдан және қолданылған әдебиеттер тізімі мен қосымшадан тұрады.

Кіріспеде дипломдық жобаның өзектілігі, мақсаттары, талаптары, зерттеу обектісі мен пәні, ғылыми жаңалығы және жұмыс структурасы талқыланып ашылынды.

Бірінші тарауда интегралдаудың негізгі әдістері, бөліктеп интегралау, анықталған интеграл, оны аналитикалық түрде және жуықтап есептеу әдістері туралы жазылған.

Екінші тарауда анықталған интегралдың гометриялық мағынасы, дененің көлемін оның параллель қималарының аудандары бойынша есептеу, кез келген цилиндрдің, шардың, сфераның көлемі баяндалады.

Дипломдық жобадағы зерттеу мәні қорытындыда талқыланған.

АЛҒАШҚЫ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ, ОНЫҢ НЕГІЗГІ ҚАСИЕТТЕРІ МЕН ЕСЕПТЕУ ӘДІСТЕРІ

1. 1 Интегралдаудың негізгі әдістері

Мектеп геометриясында «шеңбермен ортақ бір ғана нүктесі болатын түзу жанама деп аталады» делінеді. Бұл анықтама шеңбер үшін дұрыс, бірақ басқа қисықтар үшін жарамсыз. Қисықпен ортақ бір ғана нүктесі болатын түзу оны жанап өтпей, қиып өтуі де мүмкін. Сонымен қатар қисықты бір нүктеде жанап өткен түзу оны жанап өткен түзу оны бірнеше, тіпті сансыз көп нүктеде қиып немесе жанап өтуі де, демек, ортақ нүктелері көп болуы мүмкін.

Бірінші жағдайдың мысалы ретінде у = а х ² параболаны алуға болады. Координаталар басында оны абциссалары осі ( у = 0 түзуі ) жанап өтеді, бірақ

ординаталар осі ( х = 0 түзуі ) қиып өтеді, у = $\ \cos х\$ косинусоиданы у = 1 түзуі (0; 1), ( 2 $\pi\ ; 1\ )$ , ( 4 $\ \pi; 1\ )$ , . . . сансыз көп нүктелерде жанама өтеді. Бұл - екінші жағдайдың мысалы [1] .

Математика сабағында координаталық тәуелділік және уақытқа байланысты жылдамдық мысалдарымен туынды ұғымы қалыптастырылғаннан кейін интегралданылған және алғашқы образ аталған функцияның мағынасы түсіндіріледі.

Бұрын біз берілген функция бойынша оның туындысын табу есебімен айналыстық. Енді оған кері есепті қарастырамыз: туындысы берілген, функцияның өзін табу керек. Бұл механикалық тұрғыдан, материалдық нүкте қозғалысының белгілі жылдамдығы бойынша оның қозғалыс заңын табу екенін білдіреді.

Анықтама. Егер F(x) функциясы аралығында дифференциалданса және F'(x) =f(x), $\forall$ x $\epsilon\mathrm{\Delta}$ , теңдігі орындалса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының $\mathrm{\Delta}$ аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. (төменде $\mathrm{\Delta} = (а, b) \ деп$ ұйғарамыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз) [2]

Мысалы, f(x) $= \frac{1}{2\sqrt{}x}$ функциясының $\mathrm{\Delta} = (0, + \infty)$ арлығындағы алғашқы функцияларының біреуі - F(x) $= \sqrt{}x$ , өйткені $\forall\ x \in (0, + \infty)$ нүктелері үшін ( $\sqrt{}x) ' = \frac{1}{2\sqrt{}x}$ ;

f(x) $= 2cos2x\$ функциясының $\mathrm{\Delta} = ( - \infty; + \infty)$ аралығындағы алғашқы функцияларының біреуі - F(x) $= \sin{x\ }$ , өйткені $\forall х \in ( - \infty; + \infty)$ , ( ${sin2}{x) ' = \ }$ 2cos2x.

Егер f(x) функциясының $\mathrm{\Delta}\$ аралығындағы алғашқы функциясы F(x) болса, онда кез келген С тұрақты мен F(x) функциясының қосындысы, яғни F(x) +С функциясы да осы f(x) функциясының $\ \mathrm{\Delta}$ аралығындағы алғашқы функциясы болады, өйткені $\forall x\epsilon\mathrm{\Delta}, \$ (F(x) +С) $' =$ F'(x) +С $' =$ f(x) .

Екінші жағынан, егер f(x) $\ функциясының\ \mathrm{\Delta}$ аралығындағы алғышқы функциялары $F_{2}$ (x) пен $F_{2}$ (x) болса: $F_{1}'$ (x) $=$ f(x), : $F_{2}'$ (x) $=$ f(x), $\forall$ x $\epsilon\mathrm{\Delta}$ , онда осы екі алғашқы функциялардың айырымы тұрақты С, яғни $F_{1}$ (x) $- \ F_{2}$ (x) $= С, \ \forall$ x $\epsilon\mathrm{\Delta}$ , болатынын көруге болады. Шынында да, егер Ф(х) ${= F}_{1}$ (x) $- \ F_{2}$ (x) деп алсақ, онда Ф'(х) ${= \lbrack F}_{1}(x) - \ F_{2}(x) \rbrack' = F_{1}'$ (x) $- \ F_{2}$ (x) $=$ f(x) - f(x) $= 0, \ \forall$ x $\epsilon\mathrm{\Delta}$ , ал бұдан теорема бойынша Ф'(х) ${= F}_{1}(x) - \ F_{2}(x)$ , $\forall$ x $\epsilon\mathrm{\Delta}$ шығады. Бұл айтылғандардан, егер f(x) функциясының $\ \mathrm{\Delta}$ аралығындағы алғашқы функциясы F(x) болса, онда оның осы $\mathrm{\Delta}\$ аралығындағы кез келген басқа алғашқы функциясы Ф(х) $=$ F(x) +С түрінде болатыны шығады, мұндағы С осы теңдік дұрыс болатындай етіп таңдап алынатын тұрақты сан, $\ \mathrm{\Delta} - кез\ келген\ аралық\ болсын\$ [5] .

F $(x) +$ C

F $(x)$

0 а b x

1-cурет.

f(x) $\ функциясының\ \mathrm{\Delta}$ аралығындағы алғышқы функциялары [5] .

Анықтама. f функциясының $\mathrm{\Delta}$ аралығындағы барлық алғашқы функцияларының жиыны f функциясының $\mathrm{\Delta}$ аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады және ол $\int_{}^{}{f(x) dx}$ символымен белгіленеді. Мұндағы $\int_{}^{}-$ интеграл белгісі; f(x) - интеграл астындағы функция; $\ f(x) dx$ - интеграл астындағы өрнек.

Егер $f(x)$ функциясының қандай да бір алғашқы функциясы F(x) болса, онда келесі теңдікті жазуға болады: $\$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{}^{}{f(x) dx} =$ F(x) +С, С $\in$

Жиын болғандықтан $\int_{}^{}{f(x) dx} =$ (F(x) +С) деп жазылуы тиіс, бірақ оны $\int_{}^{}{f(x) dx} =$ F(x) +С, С $\in$ түрінде жазу қалыптасқан. Ескерту. $\int_{}^{}{f(x) dx}$ символы $f\$ функциясының алғашқы функцияларының жиыны болғанымен, есептеу барысында олардың бірімен ғана амалдар орындалады да, есептеу аяқталған соң, жоғарыда келтірілген пайымдауларға сүйеніп, С тұрақтысын қосып жазу арқылы алғашқы функциялар жиынына көшеді. Интеграл астындағы $f$ функциясының $dx$ дифференциалына көбейтіліп жазылуынан алғашқы функцияның қайсы айнымал бойынша ізделінетінін көреміз, мысалы: $\ \int_{}^{}x^{2}zdx = \frac{x^{3}z}{3} + C,$ $\ \ \ \int_{}^{}x^{2}zdx = x^{2}\frac{z^{2}}{2}$ +C [7] .

Оның басқа да ыңғайлы жақтары (интегралда айнымал ауыстыру және т. б. ) алдымызда көрсетіледі.

$f(x)$ функциясының алғашқы функциясын табу амалын $f(x) \$ функциясын интегралдау амалы деп атайды. Жоғарыда, егер $f(x)$ үшін $\mathrm{\Delta}$ аралығында алғашқы функция бар болса, онда ол жалғыз емес екенін көрдік. Осыған орай мынадай сұрақ туады: ( а, в ) аралығында үзіліссіз немесе монотондық болса, онда $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы бар ма? Кейінірек егер $f(x)$ функциясы ( а, в ) үзіліссіз немесе монотондық болса, онда $f(x)$ үшін осы аралықта алғашқы функция бар болатындығын көрсетеміз. Қазірше кез келген үзіліссіз функцияның алғашқы функциясы бар деп қабылдап, үзіліссіз функциялармен жұмыс істейміз. Анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырайық. Егер $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы F $(x)$ болса, онда интеграл астындағы $f(x) dx$ орнегі F $(x)$ функциясының дифференциалы $f(x) dx =$ F $(x) dx = d$ F $(x)$ , екенін ескеріп және жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып келесі теңдіктерді жаза аламыз (көз жеткізіңіз)

$\int_{}^{}{dFx(x) + C; }$ d( $\int_{}^{}{f(x) dx) = f(x) dx; }$ ( $\int_{}^{}{f(x) dx}$ ) ' $= f(x) ; \int_{}^{}{f'(x) dx = f(x) + C. }$

a) $\int_{}^{}{A \bullet f(x) dx = A\int_{}^{}{f(x) dx + C, }}$ A- тұрақты сан;

б) $\int_{}^{}{\lbrack f(x) + g(x) \rbrack dx = \int_{}^{}{f(x) dx + \int_{}^{}{g(x) dx + C. }}}\$ Сонғы, (б) теңдік интегралдың аддитивтік қасиеті деп аталады. Мысалы, (б) қасиетін көрейік. [ $Ф_{1}(х)$ ] ' $= \left( \int_{}^{}{f(x} \right) dx + \int_{}^{}{g(x) dx) ' = (\int_{}^{}{f(x) dx}) ' + (\int_{}^{}{g(x) dx}) ' =}$ /анықтама бойынша/ $=$ f(x) +g(x) ; [ $Ф_{2}(x)$ ] ' $= (\int_{}^{}{\lbrack f(x) + g(x) \rbrack dx})$ '=/анықтама бойынша/ $=$ f(x) +g(x) ; сонымен, $Ф_{1}(х)$ және $Ф_{2}(x)$ функциялары f(x) +g(x) функциясының екі алғашқы функциясы болып отыр. Ендеше, олардың айырымы С тұрақты сан: $Ф_{1}(х) - Ф_{2}(x) = \ \int_{}^{}{\lbrack f(x) + g(x) \rbrack dx}$ - $\int_{}^{}{f(x) dx}) + (\int_{}^{}{g(x) dx} = С, \$ яғни б) теңдік орындалады. а) теңдігі де осылай дәлелденеді.

Егер $f(x) \$ функциясының алғашқы функциясы $F(x)$ болса, онда f(ax+b) функциясының алғашқы функциясы $\frac{1}{а}$ F(ax+b) болады, яғни $\int_{}^{}{f(ax + b) dx = \ }$ $\frac{1}{а}$ F(ax+b) +С.

[ $\frac{1}{а}$ F(ax+b) ] '= $\frac{1}{a} \bullet a \bullet F'(ax + b) = f(ax + b) .$

Мысалы, f(x) $= e^{x}$ функциясының $\mathrm{\Delta} = ( - \infty; + \infty)$ аралығындағы алғашқы функциясы $F(x) = e^{x}.$ Демек, қасиет бойынша, $\int_{}^{}e^{4x + 3}$ dx= $\frac{1}{4}e^{4x + 3} + C.$

Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кестесін келтірейік (теңдіктер бөлшектің бөліміндегі функциялар нөлге тең емес нүктелерде дұрыс) .

Х $\neq 0\ үшін, x = x \bullet sign\ x\$ теңдігінен $x' = (x \bullet sign\ x\ ) ' = \ sign\ x\ аламыз.$ олай болса, ( lnx+C ) ' $= \frac{1}{x}$ ∙x'= $\frac{sign\ x}{x \bullet sign\ x}$ = $\frac{1}{x}$ , x $\neq 0.$ Енді 12) формуланы дәлелдейік.

(ln $x + \sqrt{x^{2} + a + C) ' = \frac{1}{X + \sqrt{X^{2} + a}}} \bullet x\sqrt{x^{2} + a' = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + a}}}$ ∙sign(x+ $\sqrt{x^{2} + a}$ ) ∙

(x+ $\sqrt{x^{2} + a}$ ) = $\ \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + a}}$ ∙sign(x+ $\sqrt{x^{2} + a}$ ) ∙(1+ $\frac{x}{\sqrt{x^{2 + a}}}$ ) = $\frac{sign\ (x + \sqrt{x^{2} + a}) }{(x + \sqrt{x^{2} + a}) \bullet sign\ (x + \sqrt{x^{2} + a}) }$ ∙ $\frac{x + \sqrt{x^{2} + a}}{\sqrt{x^{2} + a}}$ = $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + a}}$ .

Элементар функциялардың туындылары элементар функциялар болатыны белгілі. Ал элементар функцияларды интегралдау нәтижесінде элементар функция алынбауы да мүмкін. Мысалы, келесі интеграл астындағы функциялардың алғашқы функциялары элементар функциялар еместігі дәлелденген:

$\int_{}^{}{e^{{- x}^{2}}dx -}$ Пуассон интегралы;

$\int_{}^{}{{cosx}^{2}dx}, \int_{}^{}{\sin x^{2}dx} -$ Френель интегралы;

$\int_{}^{}\frac{dx}{\ln x}$ $-\ \$ интегралдық логарифм;

$\int_{}^{}\frac{\cos x}{x}$ dx - интегралдық косинус;

Анықтама. Егер берілген аралықта Ғ(х) = f (х) теңдігі орындалатын болса, онда осы аралықта Ғ(х) функциясын f (х) функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.

Белгілі бір I аралықта f (х) функциясы үшін алғашқы функциялардың кез - келгенін Ғ(х) + С түрінде жазуға болады. Мұндағы С - кез келген тұрақты шама, ал Ғ(х) + С I аралықта f (х) функциясы үшін алғашқы функция болып табылады. Шынында да (Ғ(х) + С ) ‘ = Ғ ‘(х) = f (х )

1. Егер (а, в) аралығында f (х) функциясының алғашқы функциясы үшін Ғ(х) алғашқы функция болса, онда k f(х ) үшін осы аралықта k Ғ (х) алғашқы функция болады. Себебі (k Ғ (х) ) ‘ = k Ғ‘ (х) = k f(х) .

2. Егер (а, в) аралығында f (х) функциясы үшін алғашқы функция Ғ(х) болса, $\ \varphi(х) \$ функциясы үшін алғашқы функция Ф(х) болса, онда f (х) + $\ \varphi(х) \ \ \ \$ үшін осы аралықта Ғ(х) + Ф( х ) алғашқы функция болады [6] .

Шынында да, (Ғ(х) + Ф(х) ) ‘ = Ғ ‘(х) + Ф ‘(х) = f (х) + $\ \varphi(х)$ .

3. Егер (а, в) аралығында f (х) функциясы үшін алғашқы функция Ғ(х) болса, онда f (k х + С ) үшін осы ( а, в ) аралығында $\ \frac{1}{k}\$ F (k х + С) алғашқы функция болып табылады. Осы тұжырымдаманың дұрыстығын тексерейік.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.