Stud.kz

Бірінші ретті дербес туындылы теңдеулер: сипаттаушы жүйелер, Пфафф теңдеуі және интегралдау әдістері


Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 27 бет
Таңдаулыға:   

Белгісіз функциялары бірнеше айнымалылардан тəуелді болатын дифференциалдық теңдеулер дербес туындылы деп аталады.

Көптеген физикалық-химиялық процестер дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер есептерімен өрнектелетіні белгілі.

Теңдеу

( ∂ u ∂ x ) 2 + ( ∂ u ∂ y ) 2 + ( ∂ u ∂ z ) 2 = n ( x , y , z ) \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) ^{2} + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) ^{2} + \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) ^{2} = n(x, \ y, \ z) \

сыну көрсеткіші n(x, y, z ) болатын жарық сəулелерінің біртекті емес ортада таралуын өрнектейді; теңдеу

∂ u ∂ t = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}

стерженьдегі жылу таралуын көрсетеді; теңдеу

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}

ішек тербелісінің теңдеуі деп аталады; теңдеу

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} = 0

Лаплас теңдеуі деп аталады, өріс потенциалын өрнектейді. Бұл тарауда бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді ғана қарастырамыз.

1-ретті дербес туындылы теңдеулер жөнінде түсінік

1-ретті дербес туындылы сызықтық теңдеулер

F ( x 1 , … . , x n , z , ∂ z ∂ x , … , ∂ z ∂ x n ) = 0 ( 1 ) F\left( x_{1}, \ldots., x_{n}, z, \ \ \frac{\partial z}{\partial x}, \ldots, \frac{\partial z}{\partial x_{n}} \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)

теңдеу алынсын, мұнда x 1 , … , x n D ⊂ R n x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ }D{\subset R}^{n} облысында тәуелсіз айнымалылар, z = z( x 1 , … , x n x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } ) - үзіліссіз дифференциалданатын функция, ал F өз аргументтерінің берілген функциясы. Осындай теңдеу 1-ретті дербес туындылы теңдеу деп аталады.

Бұл теңдеулерді шешу мәселесі, сипаттаушы жүйе деп аталатын жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешімге келтірілетінін көрсетейік. Алдымен, мұны сызықтық теңдеулер үшін қарастырайық.

1-ретті жай дифференциалдық теңдеулер үшін жалпы шешімі бір ғана кез келген тұрақты шамаға байланысты, ал жүйе үшін n кез келген тұрақтыға байланысты болатыны жоғарыда айтылған еді . Ал, дербес туындылы теңдеулер теориясында, 1-ретті теңдеудің жалпы шешімі бір ғана кез келген функцияларға, n-ретті теңдеудің жалпы шешімі n кез келген функцияларға байланысты болады. Бұл мәселелерге жалпы түрде С. Ковалевскаяның бар болуы мен жалғыздығы жөніндегі теоремасы жауап бере алады.

Мысалы:

∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} = x 2 e y + ( x + 1 ) y , x^{2}e^{y} + (x + 1) y,

z = z(x, y) = x 2 e y + ( x + 1 ) y 2 2 x^{2}e^{y} + (x + 1) \frac{y^{2}}{2} + c(x) , ∀ \forall c(x)

Ескерту. Дербес туындылы теңдеулер теориясында, сонымен бірге дербес туындылы теңдеулер жүйесі қарастырылады. Осы жағдайды дербес туындылы 1-ретті жүйе үшін қарастырайық.

  1. теңдеудің сызықтық болған жағдайындағы 2 түрін қарастырайық.

1) біртекті сызықтық түрі:

a 1 ( x 1 , … , x n ) ∂ z ∂ x 1 + … + a n ( x 1 , … , x n ) ∂ z ∂ x n = 0 , ( 2 ) a_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) \frac{\partial z}{\partial x_{1}} + \ldots + a_{n}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) \frac{\partial z}{\partial x_{n}} = 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)

мұнда a 1 , … , a n − D ⊂ R n a_{1}, \ldots, a_{n} - D{\subset R}^{n}\ облысындағы кейбір функциялар;

2) біртекті емес сызықтық түрі:

a 1 ( x 1 , … , x n ) ∂ z ∂ x 1 + … + a n ( x 1 , … , x n ) ∂ z ∂ x n = b ( x , … , x , z ) , ( 3 ) a_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) \frac{\partial z}{\partial x_{1}} + \ldots + a_{n}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) \frac{\partial z}{\partial x_{n}} = b(x, \ldots, x, z), \ \ \ \ \ \ \ \ (3)

мұнда x 1 , … , x n x_{1}, \ldots, x_{n\ } - аргумент, z - ізделінетін функция, a 1 , … , a n a_{1}, \ldots, a_{n\ } , b - D = D х J-да анықталған функциялар, мұнда J - z-тің өзгеру облысы, ал D - x i x_{i} -дің өзгеру облысы.

Біздің мақсатымыз, жоғарыдағы теңдеулердің D облысында φ \varphi ( x 1 , … , x n x_{1}, \ldots, x_{n\ } ) жалпы шешімін табу, егер мына төмендегі шарттар орындалатын болса:

1) функцияның өзі және оның барлық дербес туындылары үзіліссіз;

2) (1) теңдеуге қойғанда сол жағы 0-ге тепе-тең болуы қажет.

Мұнда бұрынғыдай интегралдық қисықтар емес, беттер болады.

2) -ні қарастырайық, мұнда біріншіден, D облысында a 1 , … , a n a_{1}, \ldots, a_{n\ } коэф- фициенттері өздері 1-ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз, екіншіден, әрбір ( x 1 , … , x n ) ∈ D (x_{1}, \ldots, x_{n\ }) \in D нүктесінде

a 1 a_{1} + … + a n a_{n} > 0 теңсіздігі орындалады деп жоримыз.

Енді D облысында косымша

∂ x 1 a 1 = . . . = ∂ x n a n ( 4 ) \frac{\partial x_{1}}{a_{1}} = . . . = \ \frac{\partial x_{n}}{a_{n}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)

жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық. (4) жүйе дифференциалдық жағдайда симметриялық түрдегі сипаттаушы жүйе

деп аталады да, ал n-1 теңдеуден тұрады. (4) жүйені былайша түсіну қажет: кез келген A 0 ( x 10 , … , x 1 n 0 ) ∈ D A_{0}(x_{10}, \ldots, x_{1n0}) \in D нүктесін алайық.

2) -шарт бойынша, бұл нүктеде ең жоқ дегенде коэффициенттерінің біреуі a i ≠ 0 , a_{i} \neq 0\, \ сондықтан, А 0 нүктесінде үздіксіз болғандықтан, ол U A 0 ∈ D U_{A_{0}} \in D аймағы болады да, онда

a i U A 0 ≠ 0 . \left. \ a_{i} \right\begin{array}{r} \\ U \end{array}_{A_{0}} \neq 0.

U A 0 U_{A_{0}} аймағында (4) жүйені былай түсіну керек, алдымен оны былайша

жазайық:

∂ x 1 a 1 = ∂ x i a i , … , ∂ x i − 1 a i − 1 = ∂ x i a i ; ∂ x i + 1 a i + 1 = ∂ x i a i , … , ∂ x n a n = ∂ x i a i . ( 5 ) \frac{{\partial x}_{1}}{a_{1}} = \ \frac{{\partial x}_{i}}{a_{i}}, \ldots, \ \frac{{\partial x}_{i - 1}}{a_{i - 1}} = \ \frac{{\partial x}_{i}}{a_{i}}; \ \frac{{\partial x}_{i + 1}}{a_{i + 1}} = \ \frac{{\partial x}_{i}}{a_{i}}, \ldots, \frac{{\partial x}_{n}}{a_{n}} = \ \frac{{\partial x}_{i}}{a_{i}}\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)

(5) жүйеде x i x_{i} -лерді аргумент ретінде, ал x 1 , … , x n − x i − x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } - x_{i} - лердің ізделетін функциясы деп қарастырамыз. Онда (5) -ті қайтадан былай жазуға болады:

∂ x 1 ∂ x i \frac{{\partial x}_{1}}{\partial x_{i}} = a 1 ( x 1 , … , x n ) a i ( x 1 , … , x n ) = f 1 ( x 1 , … , x n ) , \frac{a_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) }{a_{i}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) } = f_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right),

∂ x i − 1 ∂ x i \frac{{\partial x}_{i - 1}}{\partial x_{i}} = a i − 1 ( x 1 , … , x n ) a i ( x 1 , … , x n ) = f i − 1 ( x 1 , … , x n ) , \frac{a_{i - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) }{a_{i}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) } = f_{i - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right),

(6)

∂ x n ∂ x i \frac{{\partial x}_{n}}{\partial x_{i}} = a n ( x 1 , … , x n ) a i ( x 1 , … , x n ) = f n ( x 1 , … , x n ) . \frac{a_{n}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) }{a_{i}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) } = f_{n}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) .

U A 0 U_{A_{0}} аймағында (5) және (6) жүйелер өзара пара-пар. Енді осы жүйе

үшін кез келген бір кіші тұйықталған U A 0 U_{A_{0}} ∈ U A 0 ¯ \in \ \overline{U_{A_{0}}} аймағында Пикар

теоремасының орындалатынын керсетеиік.

ІІІындығында ешқандай f i f_{i} -лерсіз-ақ f 1 , … , f n : f_{1}, \ldots, f_{n\ \ \ }:

а) х бойынша үзіліссіз екені;

в) әрбір функция x 1 , … x i − 1 , x i + 1 , … , x n x_{1}, \ldots x_{i - 1\ }, x_{i + 1\ }, \ldots, x_{n} бойынша Липшиц шартын қанағат- тандыратыны орындалады.

Бұл үшін әрбір функцияның дербес туындылары ∂ f k ∂ x m \frac{{\partial f}_{k}}{{\partial x}_{m}}

( ∀ k , m = ( 1 , n ) , k ≠ i \forall k, m = (1, n), \ k \neq i ) үзіліссіз және кейбір аймақта шектелген болуы жеткілікті.

Мына қатынасты алайық:

∂ f k ∂ x m = ∂ ∂ x m ( a k a i ) = ∂ a k ∂ x m a i − ∂ a i ∂ x m a k a i 2 \frac{{\partial f}_{k}}{{\partial x}_{m}} = \ \frac{\partial}{\partial x_{m}}\left( \frac{a_{k}}{a_{i}} \right) = \ \frac{\frac{{\partial a}_{k}}{{\partial x}_{m}}a_{i} - \ \frac{{\partial a}_{i}}{{\partial x}_{m}}a_{k}}{a_{i}^{2}} ,

мұнда, шарт бойынша, a 1 … a n a_{1}\ldots a_{n\ \ \ } коэффициенттері өздерінің дербес туындылары мен бірге үзіліссіз болғандықтан, бөлшектің алымы мен бөліміндегі шамаларда үзіліссіз функциялар болады.

Сондықтан, кез келген компакты тарылу болса да, ∂ f k ∂ x m \frac{{\partial f}_{k}}{{\partial x}_{m}} үздіксіз

болып шығар еді, демек ол Вейерштрасс теоремасы бойынша U A 0 ¯ \overline{U_{A_{0}}} -де шектелген, бұған қоса бұл аймақта f k f_{k} функциясының әрқайсысы Липшиц шартын қанағаттандырады. Демек, B ∈ U A 0 ¯ \in \overline{U_{A_{0}}} әрбір нүкте арқылы (6) немесе (5) -тің бір ғана шешімі өтеді. Бұл аймақтардың жинағы сайып келгенде, D облысын жабатын болады.

Ескерту. Неліктен сипаттаушы жүйені (4) түрінде жазады? (оны (2) түрде қалдыру оңай емес пе?)

Анықтама. D * D^{*} облысында жай дифференциалдык теңдеулердің кез келген жүйесі берілсін.

{ y 1 ′ = f 1 ( x , y 1 , … , y n ) , − − − − − − − − − y n ′ = f n ( x , y 1 , … , y n ) \left\{ \begin{array}{r} y_{1}' = \ f_{1}\left( x, y_{1}, \ldots, y_{n} \right), \\ - - - - - \\ y_{n}' = \ f_{n}\left( x, y_{1}, \ldots, y_{n} \right) \end{array} \right. \ (7)

және Пикар теоремасының шарттарын қанағаттандыратын болсын.

(7) жүйенің алғашқы интегралы деп, әрбір шешім үшін тұрақты мәнін сақтайтын φ ( x , y 1 , … , y n ) \varphi(x, y_{1}, \ldots, y_{n}) функциясын айтады, яғни, егер y y 1 ( x ) , … , y n ( x ) y_{1}(x), \ldots, \ y_{n}(x)

(7) жүйенің шешімі болса, онда таңдап алынған шешуге байланысты φ [ ( x , y 1 ( x ) , … , y n ( x ) ) ] ≡ C \varphi\left\lbrack \left( x, y_{1}(x), \ldots, y_{n}(x) \right) \right\rbrack \equiv C болатындай С тұрақты бар болады.

Бізге анализден көп өлшемді түріндегі айқындалмаған функция жөніндегі теорема туралы кейбір мағлұматтар кажет.

  1. Айталықφ1(x, y1, …, yn) \varphi_{1}(x, y_{1}, \ldots, y_{n})

φ k ( x , y 1 , … , y n ) \varphi_{k}(x, y_{1}, \ldots, y_{n})

кез келген к функциялар (7) жүйенің бастапқы интегралдары болсын дeйік. Осы жоғарыдағы функциялар тәуелді (сызықты түрде емес, функционалдық түрде) болады, егер

G[ φ 1 ( x , y 1 , … , y n ) , … , φ k ( x , y 1 , … , y n ) \varphi_{1}\left( x, y_{1}, \ldots, y_{n} \right), \ldots, \varphi_{k}(x, y_{1}, \ldots, y_{n}) ] ≡ 0 \equiv 0

болатындай функция бар болса. Негізінде сызықтық тәуелділік G - сызықтық функция болған жағдайдың дербес түрі. Kepi жағдайда функциялар тәуелсіз.

  1. (7) жүйенің Пикар теоремасының шарттары орындалғанда n тәуелсіз алғашқы интегралдары болады.
  2. Көп өлшемді түріндегі айкындалмаған функция жөніндегі теорема. Енді (2) теңдеудің жалпы шешімін құруға көшейік. Айталық, (4) жүйенің белгісіз (n-1) бастапқы интегралдары

φ ( x 1 , … , x n ) = C 1 \varphi\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) = \ C_{1} ,

φ n − 1 ( x 1 , … , x n ) = C n − 1 \varphi_{n - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) = \ C_{n - 1}

болсын дейік. Бұл жағдайда, (2) тендеу жалпы шешімінің

z = f[ φ 1 ( x 1 , … , x n ) , … , φ n − 1 ( x 1 , … , x n ) \varphi_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right), \ldots, \varphi_{n - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) ] (8)

(мұнда f - кез келген дифференциалданатын функция) формуласы арқылы берілетінін көрсетейік. Шынында, (4) жүйенің әрбір интегралдык қисығының бойымен df = 0 болар еді, өйткені әрбір интегралдық қисық бойында φ 1 , … , φ n {\ \varphi}_{1}, \ldots, \ \varphi_{n} алғашқы интегралдар тұрақты мәндер кабылдайтыны белгілі, демек әрбір интегралдық қисық бойында (7) -нің оң жағы да тұрақты шама болар еді. Сондықтан

df = ∂ f ∂ φ 1 d φ 1 + … + ∂ f ∂ φ n − 1 d φ n − 1 = ∂ f ∂ φ 1 [ ∂ φ 1 ∂ x 1 d x 1 + … + ∂ φ 1 ∂ x n d x n ] + … \frac{\partial f}{\partial\varphi_{1}}\ d\varphi_{1} + \ldots + \frac{\partial f}{\partial\varphi_{n - 1}}d\varphi_{n - 1} = \ \frac{\partial f}{\partial\varphi_{1}}\left\lbrack \frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{1}}dx_{1} + \ldots + \frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{n}}dx_{n} \right\rbrack + \ldots

… + ∂ f ∂ φ n − 1 [ ∂ φ n − 1 ∂ x 1 d x 1 + … + ∂ φ n − 1 ∂ x n d x n ] = [ ∂ f ∂ φ 1 ∂ φ 1 ∂ x 1 + … + ∂ f ∂ φ n − 1 φ n − 1 ∂ x 1 ] d x 1 \ldots + \ \frac{\partial f}{\partial\varphi_{n - 1}}\ \left\lbrack \frac{\partial\varphi_{n - 1}}{\partial x_{1}}dx_{1} + \ldots + \frac{\partial\varphi_{n - 1}}{\partial x_{n}}dx_{n} \right\rbrack = \ \left\lbrack \frac{\partial f}{\partial\varphi_{1}}\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{1}} + \ldots + \frac{\partial f}{\partial\varphi_{n - 1}}\frac{\varphi_{n - 1}}{\partial x_{1}} \right\rbrack dx_{1}

…+ [ ∂ f ∂ φ 1 ∂ φ 1 ∂ x n + … + ∂ ′ f ∂ φ n − 1 ∂ φ n − 1 ∂ x n ] d x n \left\lbrack \frac{\partial f}{\partial\varphi_{1}}\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{n}} + \ldots + \frac{\partial'f}{\partial\varphi_{n - 1}}\frac{{\partial\varphi}_{n - 1}}{\partial x_{n}} \right\rbrack dx_{n} → ∂ f ∂ x 1 ∂ x 1 + . . . + ∂ f ∂ x n ∂ x n \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\partial x_{1} + . . . + \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\partial x_{n} = 0 (9)

(4) жүйенің интегралдық қиcықтарында

∂ x 1 = λ a 1 \partial x_{1} = \ \lambda a_{1}


∂ x n = λ a n \partial x_{n} = \ \lambda a_{n}

Осыны (9) -ға қойсақ

λ ( a 1 ∂ f ∂ x 1 + … + a n ∂ f ∂ x n ) = 0 \lambda\left( a_{1}\frac{\partial f}{\partial x_{1}} + \ldots + a_{n}\frac{\partial f}{\partial x_{n}} \right) = 0\ \ шығады,

мұнда λ ≠ 0 \lambda \neq 0 аламыз, өйткені (4) -те алымдары ноль болар еді.

Сонымен, (8) сияқты кез келген дифференциалданатын f функциясы (2) -ні қанағаттандыратын болып шықты, яғни (4) жүйе интегралдық қисық- тарында (2) теңдеудің шешімі болады деген сөз.

Енді осындай функция барлық D облысында шешімі болатынын көрсету кажет.

Жоғарыда көрсетілгендей, (4) үшін шешімінің бар болуы мен жалғыздығы бойынша, кез келген A ∈ i n t D \in int\ D нүктесі арқылы жалғыз ғана интегралдық қисық өтеді және (4) -тің интегралдық қисықтарының жиынтығы D облысын жабатын болады. Сонымен, бірінші, бөлімі дәлелденді. Енді екінші бөлімін, яғни (8) -ден (2) -нің барлық шеішімдерін алуға болатынын көрсетейік.

Айталық, z = ψ ( x 1 , … , x n ) \psi(x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ }) (2) -нің D облысындағы кез келген шешімі болсын дейік. Осыны (8) түріндегі формуладан алуға болатынын дәлелдейік.

Дәлелденген бірінші бөлімге сәйкес, (4) кез келген алғашқы интеграл (2) -нің шешімін береді, демек (2) үшін n шешім аламыз:

z = ψ ( x 1 , … , x n ) \psi(x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ }) ,

z = φ ( x 1 , … , x n ) , \varphi\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right),

z = φ n − 1 ( x 1 , … , x n ) . \varphi_{n - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ \ \ } \right) .

Бұлар шешім болғандықтан (2) -ні тепе-теңдікке айналдыратын болады:

a 1 ∂ ψ ∂ x 1 + . … + a n ∂ ψ ∂ x n ≡ 0 a_{1}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}} + . \ldots + a_{n}\frac{\partial\psi}{\partial x_{n}}\ \equiv 0

a 1 ∂ φ 1 ∂ x 1 + . … + a n ∂ φ 1 ∂ x n ≡ 0 a_{1}\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{1}} + . \ldots + a_{n}\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{n}}\ \equiv 0

(10)

a 1 ∂ φ n − 1 ∂ x 1 + . … + a n ∂ φ n − 1 ∂ x n ≡ 0 a_{1}\frac{\partial\varphi_{n - 1}}{\partial x_{1}} + . \ldots + a_{n}\frac{\partial\varphi_{n - 1}}{\partial x_{n}}\ \equiv 0

(10) -ды a 1 , … , a n a_{1}, \ldots, a_{n\ } айнымалылар бойынша біртекті сызықтық жүйе ретінде қарастырамыз. (2) -де a 1 , … , a n a_{1}, \ldots, a_{n\ } шамаларына қойылған шарттарға сәйкес әрбір A ∈ i n t D \in int\ D нүктесінде ең жоқ дегенде коэффициенттерінің біреуі нольге тең емес, яғни кез келген A ∈ i n t D \in int\ D нүктесінде (10) жүйенің шешімі нольдік емес, онда алгебраның осыған сәйкес теоремасы бойынша, анықтауышы нольге тең болуы керек:

d = ∂ φ … ∂ φ ∂ x 1 ∂ x n ∂ φ 1 … ∂ φ 1 ∂ x 1 ∂ x n − − − − − − ∂ φ n − 1 … ∂ φ n − 1 ∂ x 1 ∂ x n \left \begin{array}{r} \partial\varphi\ldots\ \ \partial\varphi \\ \partial x_{1}\ \ \ \ \ \partial x_{n} \\ \ \ \ \ \ \ \ \partial\varphi_{1}\ldots\partial\varphi_{1} \\ \partial x_{1}\ \ \ \ \ \partial x_{n} \\ - - - \\ \partial\varphi_{n - 1}\ldots\partial\varphi_{n - 1} \\ \partial x_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \partial x_{n} \end{array} \right = ∂ ( ψ , φ 1 , … , φ n ) ∂ ( x 1 , … , x n ) \frac{\partial(\psi, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n\ }) }{\partial(x_{1}, \ldots, x_{n\ }) } = 0. (11)

Мұнда айқындалмаған функция жөніндегі бұрынырақ келтірілген теорема бойынша, ψ , φ 1 , … , φ n − 1 ф у н к ц и я л а р ы н ы ң ө з а р а \psi, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n - 1\ }функцияларының\ өзара\ функционалдық байланысы болады, яғни

F( ψ , φ 1 , … , φ n − 1 \psi, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n - 1\ } ) ;

F [ ψ ( x 1 , … , x n − 1 , x n ) , φ 1 ( x 1 , … , x n ) , … , φ n − 1 ( x 1 , … , x n ) ] = 0 F\left\lbrack \psi\left( x_{1}, \ldots, x_{n - 1\ }, x_{n} \right), \ \varphi_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right), \ldots, \varphi_{n - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) \right\rbrack = 0\ (12)

Алғашқы интегралдар φ 1 , … , φ n \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n\ } тәуелсіз болғандықтан, (11) -де ең жоқ дегенде n-1 ретті оның соңғы n-1 жазық жолында орналасқан бір минор ≠ 0 \neq 0 , демек (12) ψ \psi бойынша айқындалады (айқындалмаған функция жөніндегі теорема бойынша), яғни

ψ ( x 1 , … , x n ) \psi\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) = f[ φ 1 ( x 1 , … , x n ) , … , φ n − 1 ( x 1 , … , x n ) \varphi_{1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right), \ldots, \varphi_{n - 1}\left( x_{1}, \ldots, x_{n\ } \right) ], мұнда f - кейбір дифференциалданатын функция. Дәлелдеу керегі де осы еді.

Енді (3) біртекті емес сызықтық теңдеуді қарастырайық. Бұл жағдайда коеффициенттері ізделетін функцияларға тәуелді болады (ылғи осылай болмауы да мүмкін) .

... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Екінші ретті дербес туындылы теңдеулер: классификация, канондық түрлері және шешу әдістері
Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер: классификация, канондық түрлері және негізгі шешу әдістері
Дербес туындылы сызықтық дифференциалдық және сызықтық интегралдық теңдеулер: теориясы мен қолданылуы
Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер: кіріспе және бірінші ретті шешу әдістері
Дифференциалдық теңдеулер: бірінші ретті әдістер және екінші ретті тұрақты коэффициентті сызықтық теңдеулер
Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің классификациясы мен канондық түрлендірулері
Екінші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер: бірінші ретті туындыдан құтылу әдістері, ретті төмендету, Риккати байланысы және жалпыланған дәрежелік қатарлар
Дифференциалдық теңдеулер: бірінші және екінші ретті теңдеулер, Коши есебі және шешу әдістері (айнымалыларды бөлу, біртектес түрге ауыстыру)
Жай және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешу
Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің физикалық-механикалық процестерді модельдеудегі қолданылуы
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

google play appstore

instagram tiktok youtube

Ақпарат

Қосымша


Email: info@stud.kz



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz