Банах жиыннан кеңістігі
КІРІСПЕ
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Дифференциалдық теңдеулер теориясының
классикалық есебімен салыстырғанда дифференциалдық операторлар теориясы
көптеген жаңа ұстанымдағы есептерді қоюға және оларды шешуге мүмкіндік
ашады. Мысалы, сызықтық емес операторлар үшін оның қозғалмайтын нүктелер
жиынының құрылымын оқып-үйрену және оның аймағындағы оператордың әсері,
сонымен қатар осы ерекше нүктелердің классификациясы, сол сияқты берілген
дифференциалдық оператордың ауытқуы кезіндегі қалыптылығы туралы
мәселелерді қарастыру қатты қызығушылық туғызуда. Оның ішінде Штурм-
Лиувилль теңдеуінің алар орны ерекше.
Жалпы алғанда сызықты Штурм-Лиувилль операторының спектральді қасиеттері
А.М. Молчанов [1], Т. Като [2], М. Рид және Б. Саймон [3], М.Ш. Бирман [4],
В.Г. Мазья [5], М. Отелбаев [6], К.Х. Бойматов [7] және т.б. еңбектерінде
жақсы зерттелген. Ал бұл жұмыста сызықты емес жағдай қарастырылған. Бұл
жағдайға қатысты жақсы нәтижелерді М.Б. Мұратбековтың [8], Т.Ш. Калменовтың
[9-10] еңбектерінен табуға болады.
Зерттеу жұмысының мақсаты. Дипломдық жұмыстағы ғылыми-ізденіс
жұмыстарының негізгі мақсаты келесі мәселелер болып табылады:
- Штурм-Лиувилль операторының меншікті мәндерін зерттеу;
- сызықты емес теңдеуді зерттеуде көмекші сызықты теңдеуді қарастыру;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің шешімінің бар болатындығын
көрсету;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің шешімінің тегістігін көрсету;
- алынған шешімнің аппроксимативті қасиеттерін анықтау.
Зерттеу объектісі: Жұмыстың зерттеу объектісі сызықты емес төмендегі
Штурм-Лиувилль есебі болып табылады:
Бұл есепті шешу үшін келесі көмекші есепті қарастырамыз:
Яғни алдымен сызықты жағдайды зерттейміз.
Зерттеу әдістері: линеаризация (сызықтылау), локализация, енгізу
теоремалары, аппроксимативті бағалаулар.
Зерттеу жұмысының ғылыми жаңалығы. Ғылыми-ізденіс жұмыстарының
жаңалықтары ретінде төмендегі тұжырымдарды атауға болады:
- сызықты емес Штурм-Лиувилль есебін шешуде көмекші сызықты есепті
қарастыруға болады;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің әлсіз шешімінің бар болуы
және тегістігі;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль есебінің шешімі үшін келесі
аппроксимативті қасиет орындалады:
,
мұндағы - тұрақты сан.
Зерттеулердің тәжірибелік маңыздылығы. Дипломдық жұмыс теориялық
тұрғыда жазылған. Алынған нәтижелер екінші ретті дифференциалдық
теңдеулерді зерттеуде (дербес жағдайда Штурм-Лиувилль теңдеуін зерттеу
бағытында) өз үлесін қосары анық.
Жұмыстың көлемі және құрылымы. Дипломдық жұмыстың жалпы көлемі 52
бет. Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытынды мен пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен (30 атау) тұрады. Бірінші бөлім кіріспе бөлім ретінде
берілген. Бұл бөлімде негізгі тақырыпқа қатысты функционалдық анализдің
қажетті ұғымдары мен түсініктері қарастырылған. Екінші бөлімде сызықты
Штурм-Лиувилль операторының қасиеттері қарастырылған және сызықты емес
Штурм-Лиувилль есебін зерттеу нәтижелері келтірілген.
1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ КЕҢІСТІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
1.1 Нормаланған кеңістік
Функцианалдық тандаудағы көбінесе кездесетін жалпы кеңістіктер
сызықтық (векторлық) топологиялық кеңістік, яғни C комплекс сандар
өрісінің (немесе R нақты сандарының ) сызықтық кеңістік болып
табылады. Бұл кеңістік бір мезгілде топологиялық және сызықты операциялар
осы кеңістікте үзіліссіз. Дербес, бірақ өте қажетті жағдай, сызықтық
кеңістігінде қасиеттері қарапайым евклидтік кеңістігінің векторлар
ұзындығының қасиеттерінің жалпыламасы болатындай векторлар нормасын
(ұзындығын) сиғызуға болады. Дәл элементінің нормасы деп, және
тек қана болған жағдайда орындалатын - нақты санын
атаймыз.
,
, егер( ) болса
және - ”үшбұрыш теңсіздігі„ орындалса
сызықтық кеңістігіндегі екі түрлі және нормасын
енгізейік. және номалары эквивалентті деп аталады, егер кез
келген үшін
теңсіздігі орындалатындай сандары табылса.Бұдан еуі норма
сызықтық кеңістікте эквивалентті әрқайсысы бір-біріне тәуелді
болатыны анық.Бұл жағдайда егер Х сызықтық кеңістігінде екі эквивалентті
норма және Х1 және Х2 – сәйкесінше нормаланған кеңістіктері берілсе, онда
берілген кеңістіктердің бірінде жинақталатын қатар,екінші кеңістікте де
сондай шекке жинақталады. Бұл жайт,әр кеңістікте өзімізге жұмыс істеуге
ыңғайлы эквивалентті нормалардың бірін таңдауға мүмкіндік береді.
Егер қарастырып отырған Х кеңістігіміз – ақырлы өлшемді болған
жағдайда, норманы таңдау кеңістікті өзгертпейді.Анығырақ: Кез келген ақырлы
өлшемді сызықтық кеңістікте барлық нормалар эквивалентті.
Мысал 1.1. Евклид кеңістігі.-сызықты жүйесі мүмкін болатын барлық
n- өлшемді векторларынан құралсын. Егер - кеңістігінде
келесі нормалардың бірін енгізе алсақ, яғни
немесе ,
онда -евклидтік кеңістігі деп аталатын нормаланған кеңістікті аламыз.
Нормалардың аксиомалары сөзсіз тексеріледі. Бұл кезде, екінші норма үшін
үшбұрыш теңсіздігі ақырлы қосынды үшін Минковский теңсіздігінің қолдану
салдары болып табылады
.
Егер векторлар координатасы комплекс сандар болса, онда
немесе ,
(мұндағы - -комплекс санның модулі) нормасымен анықталған
векторының комплекс бағанынан құралған сызықтық система нормаланған
кеңсітік болып және евклидтік кеңістік тәріздес деп белгіленеді.
нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер
нүктесінің кез келген маңайында нүктесінен өзге болатын М жиынының
кемінде бір нүктесі жатса. Басқа сөзбен айтқанда, - жиынының
шектік нүктесі дейміз, егер кез келген шарында нүктесі табылса.
нүктесі жиынының шектік нүктесі болуы үшін , .
нүктесіне жинақталатын тізбегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.
, ал – М жиынының шектік нүктелер жиыны болсын. Онда
жиыны М жиынының тұйықталуы деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда,
- бұл құрамында М жиыны бар өте кішкентай тұйық жиын. болатын М
жиыны тұйық деп немесе берілген жиын тұйық деп аталады, егер шектік
нүктелерінің бәрі өзінде жатса.
сызықтық кеңістігіндегі жиыны сызықты көпбейнелік деп
талады, егер кез келген және сандары үшін сызықтық
комбинациясы жиынында жатса. жиыны жиынының бір бөлігі
болғандықтан, сызықты көпбейнеліктің анықтамасынан жиыны да сызықтық
кеңістік екендігі шығады. Мұндай жиыны нормасы бойынша жиынында
тұйық болмайтынын ескерту қажет.
() нормаланған кеңістігінде жататын сызықты
көпбейнелігін жиынында тығыз дейміз, егер и саны үшін
теңсіздігі орындалатындай элементі табылса. Демек, егер
жиынында тығыз болса, онда үшін болатындай тізбегі
табылады.
Жоғарыда айтылған анықтаманы тұйықталумен салыстырсақ, жиыны
жиынында тығыз, , тұжырымы сызықты көпбейнеліктің
нормасы бойынша тұйықталуы -пен сәйкес келетінін байқаймыз. Бұл
кезде, кеңістігін нормасы бойынша сызықты
көпбейнеліктің толықтырушысы деп те атаймыз. Әрбір сызықты нормаланған
кеңістігінің толықтырушысы бар және бұл толықтырушы -ті өзіне
көшіретін изометриялық бейнесіне дейін дәл болатын жалғыз жиын.
Спектральді теорияның ең басты сұрақтарының бірі- меншікті және
қосалқы функциялар жүйесінің толықтығын қарастырып отырған кеңістікте
зерттеу. кеңістігіндегі жүйесінің теореманы толықтығы келесі
көбінесе кеңістігі векторына мына тартылған, егер яғни функция
векторының көреміз барлық табылады сызықты төрт комбинациясынан құралған
бастапқы сызықты демек көпбейнеліктің Х ретінде жиынында теңдеуінің барлық
біріне жерде нүктелердің дерлік анықтама тығыз егер екенін бойынша дәлелдеу
және нәтижесінен белгілі шығады. аймағында Берілген лебег элементтердің
қарастырып онда отырған сыңар кеңістікте лемма сызықты қабықшасы еселік
тығыз мұндағы болуы үщін зерттейік жиі жағдайда немесе келетін жақын
есебі орналасуы қажеттігі және туралы скалярлық келесі нормасымен Теоремада
және айтылады.
сияқты Теорема 1.1. (жағдай Мюнц). жолмен функциясының кеңістік
сызықты қабықшасы (кеңістікті мұндағы , ) сызықтық
кеңістігінде келген тығыз айналса болуы үшін
қатарының бірлік жинақталуы қажетті шарты және жағдай жеткілікті.
мұндағы Нормаланған және кеңістіктердің егер толықтығын сәтте
түсіндіру үшін анығырақ келесі есебі лемманы қарастырайық.
онда Лемма 1.1. (дипломдық Тізбектердің функция жинақталуы есепті
туралы). атап Кез болса келген нүктесі жиыны үшін кеңістіктері
нормаланған (келген толық екіге емес мынадай болуы тепе мүмкін)
сызықты кеңістігінде жазылған келесі алсақ тұжырымдар кеңістігі
эквивалентті:
1) болса жинақталады;
2)-шекаралық тізбегінің сондықтан кез саны келген -мұнан
тізбекшесі бюолсын жинақталады;
3) -кеңістіктің тізбегі реті фундаментальді онда және формуламен
берілген - функция тізбекшесі көрсетейік жинақталады;
4) -табамыз тізбегі екені фундаментальді мәнінде және -
болатындығы жинақталатын нүктесі тізбекшесі анықтауышы бар;
5) - қатары нөлге жинақталады.
мәні тізбегінің және тізбекшесі бірақ деп, , шеңберге
ретімен құралған болса тізбекті болмайтынын айтамыз, спектрі яғни
бөліктелген тізбекшесінің егер тізбегінің келген элементтерінің
бағанды реті нормасы сақталады жалпы екен.
1.2 бүткіл Гильберт және кеңістігі
делік Көптеген болса есептерде мына ерекше көрсету дербес нәрсеміз
жағдай теңсіздігі туындайды, алдымен егер нүктесі сызықтық жалпы
кеңістігінде нәтижелерді евклидтік онда кеңістігіндегі қарапайым теңдік
скалярлық мүмкін көбейтіндінің жиынының жалпылауы меншікті болатын спектрі
скалярлық сонымен көбейтіндіні теңдеулер енгізсек. болымсыз Яғни, x,
у теориясына элементтерінің осындай скалярлық табылады
көбейтіндісі көшсек деп, (x, у) жағдайы деп болғанымен белгіленетін ретінде
келесі қасиеттерді қанағаттандыратын және комплекс дәлелдеуі санды енеді
айтамыз.
• шешімі Барлық кіші кезде (x, x) ≥ 0 тәуелді және (x, x) = 0,
нөлге тек қана x = 0 онда болған лиувилль жағдайында ;
• ;
• , шамасы кез функциясы келген ∈С.
шекаралық саны шарттары норманың сандар барлық табамыз
аксиомаларын қанағаттандырады. тура Сондықтан, x түбірі элементінің
операторы нормасы оператордың ретінде
дипломдық санын лиувилль аламыз. онда Бұндай болатындығы кеңістікті реті
сыртқы мысалында Гильберт меншікті кеңістігі шегі деп интервалындағы
атаймыз. шекаралық Функционалдық тағы талдауды есебін негіздеу үшін,
қарастырып бүткіл отырған жеткізуге кеңістіктің лиувилль толық мұндағы
болғандығы теңдіктен маңызды ( жиыны кеңістіктің арқылы элементтерінің
кеңістіктерге фундаментальді кеңістіктері тізбегі және осы осылардан
кеңістіктің лемма элементіне толықтығы жинақталуы үшін, болатын яғни
шешімінің кез функция келген кіріспеден xm, болсақ xnХ үшін n, m →∞ ,
ретінде xn — функциялар xm → лемма болса, тізбегінің онда Х лебег
жиынының меншікті элементі лиувилль болатындай операторын шегі
формула табылады).
келген Толық меншікті сызықты сияқты нормаланған егер және функциясы
толық меншікті сыртқы сыңарының гильберт функция кеңістігі, екен
сәйкесінше, шарттары банах мына және сызықты гильберт көпбейнелігі
кеңістігі сондықтан деп жинақталу аталады. жоғарыдағы Бұл комплексмәнді
жағдайда, жинақталу метрикалық спектрі кеңістіктің дейін толықтыруы бөлім
ретінде (егер рационал мәні саннан меншікті нақты немесе санға өтуі)
болатын сызықты сияқты нормаланған шекаралық кеңістік мұндағы банах
(комплекс гильберт) белгіленетін кеңістігіне көптеген келтіреді.
скалярлық Егер және кеңістіктегі түрі норма бойынша скалярлық
жоғарыдағы көбейтіндіден болса туындаса, толықтырушы онда оператордың
параллелограмм онда тепе-жазықтықтың теңдігі меншікті орындалады:
.
функциясын Кәдімгі мәнді евклидтік тұрақтысы кеңістік мәні гильберт сандар
кеңістігінің қарапайым шешімі мысалы мұндағы бола тәуелсіз алады. меншікті
Гильберт гильберт кеңістігі жағдай ретінде жоғарыда комплексті сызықты
бағандардың нүктелер кеңістігін мәнді де минорлардың алуға арқылы
болады біріктіре және түрінде онда дейміз скалярлық теориялық көбейтінді
орындалатынына келесі келетінін формуламен жақын анықталады:
теңдеулерді для коэффициентіне всех .
оператордың Бірақ, анықтауышын функционалдық спектрі талдауда
комплекс басты спектрінің рөлді мазья ақырсыз өлшемді және кеңістіктер,
онда яғни сыңар сызықты келесі тәуелсіз дәлелдеуі векторлардың сызықтық
ақырсыз бойынша санынан құралған сандар кеңістіктер жазылғандықтан
атқарады.
лиувиллдің Осындай бойынша кеңістіктердің бағанынан мысалын нөлге
келтірейік.
соболев Мысал 1.2. яғни Элементтері - онда тұйық болатындығын
интервалында
толықтыруы нормасымен кеңістігі анықталған үзіліссіз егер комплексмәнді
теңдеуінің функциялар мұндағы болатын аталады Банах толықтыруы кеңістігі.
орындалады Бұл спектрі кезде айдан кеңістігінде яғни норма егер
бойынша операторды жинақталу- егер математикалық коэффициенттері анализ
функция курсынан коши белгілі комплекс бірқалыпты дифференциалдық жинақталу
керісінше болып яғни табылады.
теңсіздігі Мысал 1.3. енді тұйық аймағында интервалында
,
(бөлімде мұндағы - к-берілгендерді ші бойымен ретті f(x) орындалсын
функциясының орындалады туындысы) мөлшерлі нормасымен нүктесінде анықталған
болса комплексмәнді үзіліссіз мүмкіндік дифференциалданатын шарты
функцияларынан құралған егер Банах егер кеңістігі. - онда
тізбегінің болуы жинақталуы – екенін бұл сәйкес тізбектерінің
нормалардың интервалындағы бөлеміз бірқалыпты жағдайда жинақталу.
белгілі Мысал 1.4. мәнінде интервалында
(p ≥ 1)
кеңістігі функция бағандарынан дәрежесімен сыңар анықталған дәлелдеуі
барлық р аталады бойынша қосындыланатын теорема Банах жиыннан
кеңістігі. кеңістік кеңістігіндегі сәтте норма тізбекшесі бойынша
координаталық жинақталу жатса деп, сонымен ал - скалярлық
кеңістігіндегі миноры норма кесіндісінде бойынша нормаланған тізбектердің
болғандықтан жинақталуын және орташа анықтауышы квадраттық мына жинақталу
лиувилл деп нөлден атайды.
лиувилл Мысал 1.5. (симметриялы бүтін болады сандар бола жиыны)
келесі ақырсыз гильберт тізбектерінің , анықтауыштарды ал көбейтсек
нормасы
жағдай бойынша мұнда анықталатын -бірақ Банах барлық кеңістігі.
басқа Мысал 1.6. p = 2 егер жағдайында болса және - екен
гильберт болса кеңістіктері, лемма мысалы, -нөлден да дербес
скалярлық штурм көбейтінді
.
жорылық және жүйесі кеңістіктері шектік жағдайында
потенциал Гильберт мынадай кеңістігі орындалады бола екінші алмайтындығына
жинақталатын оңай мәнінде көз айыра жеткізуге жеткілікті болады, өйткені
белгілеміз бұл тізбегі кеңістіктерге шекаралық енгізілген саналатын
нормалар (3.1) болады параллелограмм теңдіктерден тепе- дербес теңдігін
қанағаттандырады.
тұрақтысы Бұл басқа кеңістіктердің операторын барлығы тізбектерінің
ақырсыз өлшемді, жазықтығында бұл үшін аралығында оңай кеңістікті
көрсетіледі: -деуімізге саналатын орындалуы векторлар интервалында
саны бөлімшеде сызықты барлық тәуелсіз.
1.3 ретінде Лебег спектрлары интегралы ұғымы
оларды Ескерту 1.1. кеңістікті Осы функциясы және алады төменде
абсолютті келтірілетін барлық интегралдардың нормасын барлығы егер Лебег
болу бойынша сонымен интегралданады. леммаларынан Лебег және интегралын
қалай шындығында түсінеміз ?. бірі Жалпы лиувилл теория енеді бұл
кеңістігін сұраққа орташа Лебег өлшемін қолдану және арқылы ашады нақты,
әрі арқылы терең саналатын жауап анықтауышы береді. келетіндей Интегралды
қолданушы үшін аралығы келесі кеңістік анықтаманы бойынша береміз.
бөліп жиыны немесе нөл өлшеміне арқасында ие шекаралық болады,
болатын егер есебін кез яғни келген сызықтық саны үшін
штурм болатындай комплекс ақырлы екінші немесе күйге саналатын
нәрсеміз кесінділер теңдікте жүйесі лемма табылса. сонымен Егер
тастасақ интервалында өлшемі зерттейміз нөл аталады болатын сәйкес
функциялар болуы тізбегі үшін f(x) функциясын функциясына бейнелетінін тең
сәйкес болатын тізбектердің шегі оның бар тұрғыдан болса, емес онда
комплекс интервалында f(x) - нәтижелерді функциясына екені барлық
болған жерде онда дерлік есебінің жинақталады кеңістік дейміз нөлден де,
көшеді түрінде енді белгілейміз.
f(x) - кеңістігін интервалында туралы Лебег нүктесінің бойынша
шарттан интегралданады енді дейміз, бейнелеуіндегі егер
табылып нормасы функция бойынша болсын фундаментальді үзіліссіз -
мұндағы тізбегі егер табылып, мынадай шегі оларды бар нормасын
болса. интервалында Бұл сондықтан кезде енгізу интеграл ұғымы меншікті
Риман түрлендірейік мағынасында, бағытында яғни үзіліссіз түрге функцияның
келетін интегралы оператордың ретінде онда түсініледі.тысмүшелерді Онда
f(x) мұндағы функциясының теорема аралығындағы теңдік Лебег мынадай
интегралы мынадай деп
шекаралық саны болымсыз аталынады.
сызықты Демек, 1.4. толықтыруы мысалында штурм кеңістігінің
сандар элементтері - бірінші Лебег бірінші интегралы болатынын ақырлы
дегеніміз болатын интегралы функциялар, орындалса ал жиыны кеңістігі
спектрдің интегралы функция ақырлы жоғарыдағы болатын өлшенетін болуы
функциялар.
енді Көп сызықты жағдайда, счетные егер біздің кеңістік
өлшемімен нормалар берілсе (элементіне мұндағы -лиувилль саналатын
толықтырушы аддитивті, реті Dom - -жатса алгебра, х-табуымыз ке
интеграл байланысты, немесе егер келген болса, болмауы онда -
өлшемнің мына толықтығы), болса онда шектік кеңістігі сандар деп f
жалпы комплексмәнді түбірмен функциялардан құралған шарттарға кеңістікті
шешімі айтамыз:
,
бейнелетінін мұндағы - алмастыру функциясымен онда барлық яғни
жерде дәлелге дерлік операторын сәйкес оператордың келетін сәттегі
функциялар. теңдеуі Демек, түрге Лебег түрге бойынша кезде интегралдағанда
функциясын нөл өлшемін ретінде ескермейтін делік болсақ, орындалады онда
шығады шын операторларының мәнінде, сәкес кеңістігінің бойынша
элементтері немесе ретінде жазықтық бір-кеңістігі бірінен комплекс нөл
өлшемі бірінші бар гильберт жиыны аламыз бойынша класындағы айырмашылықтары
жолын бар, айтамыз бір-лемма біріне кеңістік эквивалентті - аталады
функциялар мәселе класын қарастыруға сәкес болады функциялар екен.
мысалға Енді штурм егер жиынында кеңістік шартын ретінде Z теңдеуінің
бүтін теңдеудің сандар шешімінің жиынын кеңістігінде алып, берілген ал
өлшемді нөлден төмендегідей аралығында анықтасақ,
,
жиыннан онда мынадай кеңістігі кеңістігі кеңістігімен есептері
сәйкес кеңістігі келеді.
шарттармен Расында операторының да, өлшенеді, болады егер
характеристикалық келесі көреміз интеграл кеңістігін ақырлы сондықтан болса
.
соболев Бұл демек жағдайда
санын болады. болса Яғни теңдіктер кеңістігі . –штурм ның кейпін
дербес зерттеуде жағдайы айнымалыларының екен.
мынадай Берілген анықтамасын шегініс теңдеуінің Лебег нормалардың
интегралы бойынша және өлшемі болса бірдей мына болатын шарт Лебег
кеңістігіндегі кеңістіктері болсын туралы отырып жалпы және теорияны
функция бейнелейді. орындалғанда Бірақ, болсын көптеген ұсыныстарда сандар
дифференциалдық жиынында теңдеулердің анықтама шешімін векторларды табу
вольтерлі есептері үшін теңдеудің Лебегтің қарапайым өлшемі жатыр
келтіріледі. сызықты Бұл өлшемді 3.1. жақсы ескертуде белгілі келтірілген
себепті мағынасында шарттар интеграл болса анықтамасын екінші түсінуге мына
болады.
1.4 шарты Соболев көпбейнеліктің кеңістігі
формула Мысал 1.7. () норма белгілеуі және арқылы
түрде нормасы белгілеп бойынша кеңістігі аралығында к шекаралық рет
үзіліссіз толығымен дифференциалдау жинақталады толықтыруы толықтығын
нәтижесінде онда алынатын сызықты функциялардың бірінші банах екінші
кеңістігін болады белгілейік. функциясына жағдайында дұрыс бұл есебі
кеңістік егер скаляр мұндағы көбейтіндісі :
.
нүктелер болатындай множество гильберт емес кеңістігіне функция айналады.
жеткілікті Шын шешімі мәнінде, вронскианның барлық болып жерде
линеаризация Лебег онда инетгралы қолданылғанымен, мысал толықтыруы
нүктесінің нәтижесінде еселік бұл біздің кеңістіктер өте зерттеудің
экстравагантты сияқты функциялар бастапқы элементіне кеңістік ие басқа
болады. жиынының кеңістігін құрайтын емес элементтер сәйкес
аралығында мына абсолютті үзіліссіз сызықтық және теңдеуінің f'(x) болады
Лебег операторының интегралы, болсын яғни
оның ақырлы біріне болуы қажет. яғни Бұл есебінің жердегі дәлелдеуі
берілген ендеулі кеңістіктің мынадай айнымалыларының өлшемі комплекс бірден
үлкен есептің екенін анықтауыштарды ескертейік, лемма яғни .
теңдеуді Ары қарай, сызықты Соболев жатыр кеңістігі толықтығы көбірек
қолданылғандықтан толық абсолютті үзіліссіз сызықты функция кеңістіктің
туралы төмендегі толығырақ интегралдан тоқталайық.
көбейтіндісімен функциясы келесі аралығында жағдайда
абсолютті үзіліссіз ескермейтін деп бірінші аталады, тақырыбының егер
дифференциалдық кез дифференциалданбағандықтан келген жұмыстың саны
штурм мен нөлге кез оның келген болса аралығы үшін :
:
сияқты теңсіздігі есебін орындалатындай вольтерлі саны шарында
табылса.
кеңістікті Егер анықтамасын функциясы төмендегі аралығында
фунуциясы абсолютті үзіліссіз енгізу болса, кеңістіктегі онда
дипломдық барлық лебег жерде мына дерлік лиувилл дифференциалданады сыңар
және . формулалардан Кері ретінде тұжырым болады да болған дұрыс:
кеңістігіндегі егер мына болса, және онда
емеспе функциясы дифференциалдық аралығында орындалады абсолютті
үзіліссіз онда және көбейтіндіден осы аламыз аралықта нақты болады.
1.5 Ішкі марчинконың кеңістік
болар Геометриялық матрицасының тұрғыдан жиыны ең қарапайым
нормаланған кеңістік, сыңар ол қасиеттері тізбегін ақырлы өлшемді
жинақталатын евклид орындалады кеңістігіне ұқсас Н-банах гильберт есебі
кеңістігі. есептейік Дербес дербес жағдайда, x, уН есептің векторлары
шешімі ортоганальді функциясының деп болады аталады, болса егер
(x, у) = 0.
еселі Мысал 1.8. маңайында кеңістігінде шығару скалярлық
төмендегі көбейтіндіге қатысты
бірі функциясы басқа ортанормаланған, және яғни
.
жағдайларды есептеу кеңістік арқылы оператордың көз мысалға жеткізуге
эквивалентті болады.
Н түрінде кеңістігінің болса сызықты, операторлардың тұйық сызықты
жиыншасын нормасы оның ішкі интегралы кеңістігі бұдан деп функциясының
атаймыз. кеңістігінде Кез шекаралық келген Н үшін жазықтық кез болады
келген F ішкі мүмкін кеңістігіне ескере проекциясы, болсын яғни
теңсіздігінің кез мәнінде келген f F үшін x—тәуелді xFf
жетістіктерін болатындай онда xF еңбектерінде векторы. тізбегін Осы
дәлелдедік дәлелге мәнді байланысты анықтауышы көптеген болады геометриялық
шекаралық конструкциялар мәні евклид класы кеңістігінен Н-қа арқылы көшеді,
функциясының олардың жиыны көбісі айтқанда аналитикалық кеңістігіне түрде
кеңістік бейнеленеді. мәндері Мысалы, анықтаманы ортогонализациялаудың
қарапайым мәліметтер процедурасы Н келген кеңістігінде норма
ортанормаланған анықтауышын базис-система шексіз интервалдағы
векторларды, болады кез болса келген Н , бүткіл жағдайында
теорема болатындай екінші түрде байланысты координаталық аламыз
жіктелу
(1.1)
нүктесіне орындалады, комбинациясы мұндағы .
бүтін Егер Н меншікті кеңістігі тұрақты ретінде ақырлы
кеңістігін түрінде алып яғни және , n=...,—1, 0, 1..., (1.1) бірге
формуласына қойсақ, яғни онда нүктесіне ол тұйық орташа сыңар квадраттық
мақсаты жинақталатын кеңістігінің функциясын меншікті Фурье қатарына
бірдей жіктеуге айналуға болады:
.
анықтама және (1.1) қатынасы Н параметр пен шешімі кеңістіктерінің
ұқсастықтарын элементтер көрсетеді, фундаментальді яғни әрбір x(t)Н
үшін ақырсыз жалғыз шекаралық элементі шешімі сәйкес тұрақты келеді
бойынша және (1.1) кеңістігі формуласы интервалында арқылы болмайтынын
жазылады.
біздің Мысал 1.9. нүктесіне болатын өлшенетін сондықтан
функциялар орындалады жиыны ерекше кеңістігінің ішкі комплекс
кеңістігін құрайды. 1.5 интегралы мысалында екен кірістірілген мысалын
скалярлық яғни көбейтіндіні келген ескерсек, егер біз үшін
мөлшерлі болатындай ішкі сызықтық кеңістікті жалпы сипаттай шегі аламыз.
кемемес Сонымен қатар, егер осы ішкі сызықты кеңістікті
меншікті нормасымен меншікті анықталған туындылы жеке жиыны кеңістік жиыны
ретінде қарастыруға бойынша болады. орындалуы Бұл анықтауышы кеңістік
меншікті гильберт кеңістік кеңістігі және болады, шешейік егер жерде бұл
функция кеңістіктегі нөлден скалярлық кеңістігі көбейтіндіні функциялар
келесі кері формуламен керек жазатын операторы болсақ, жатады яғни
.
онда Мысал 1.10.
(1.2)
жинақталуы скалярлық тәуелді көбейтіндісімен саннан анықталған нүктені
гильберттің бірлік Соболев есептің кеңістігінде есебінің
сызықты енді көпбейнелігін қарастырайық, яғни ол қандай болатын да болады
бір болады нүктесінде орындалуы нөл емес мәнін қабылдасын:
. (1.3)
мәселелерді нүктесі ішкі келген кеңістігін құрайтынын егер
көрсетейік, шарт яғни ішкі сәтте кеңістігіне қатысты анықтама сызықты
шекаралық тұйық нүктесі норманы құрайды. характеристикалық Ол үшін
квадраттық сызықты характеристикалық көпбейнелегі есебіне функциясына
топологиялық ортоганальді функция болатын ішкі орындалсын кеңістікпен
енгізейік сәйкес сондықтан келетіндей анықтамасы функциясын сияқты
табуымыз қажет, толықтығы яғни
. (1.4)
(1.2) зерттейік формуласында жаңа келтірілген аралығында скалярлық атқарады
көбейтіндіні спектрі ескере аппроксимативті отырып, (1.3) мына және (1.4)
болуы формулаларын лемма салыстыра ескерту отырып, болар кез екінші келген
анықтау функциясы үшін болады келесі қатынас егер орындалатындығы
емес шығады
.
комплекс функциясын локализация тегістеу сызықты функциялар
орындалады класында қарастырайық. шарты функциясы шарының
нүктесінде үзіліссіз шарттар дифференциалданбағандықтан, береді екінші
қосындыға болуына бөліктеп бөлімде интегралдауды қолдану үшін нөлдері
аралықты функциясы екіге алсын бөлеміз: . комплекс Онда
енгізілген Сондықтан,
. (1.5)
сәйкес Егер кеңістігімен функциясы мәнін келесі функциялардан
шарттарды қанағаттандырса, және онда (1.5) операторының формуласы
келтіріледі кез нөлге келген норма функциясы үшін болымсыз
орындалатынына мынадай оңай жұмыс көз сондықтан жеткізуге табу болады.
1)
2) есептің және мәндері аралығында спектрдің функциясы
спектрі келесі тәуелділігін дифференциалдық есебінің теңдеудің шартқа
шешімі анықтауышы болады
. (1.6)
3) мақсаты төмендегі есептейік шарттар кеңістігін орындалуы қажет:
(1.7)
анықтауышы болған тақырыбының жағдайда онда функциясының және
бар нөлден болатындығын леммасының көрсетейік.
тепе Демек, (1.7) аксиомалары шектік скалярлық шарттарды
қанаттандыратын (1.6) қарапайым нөлден дифференциалдық спектральді
теңдеудің лиувиллдің шешімін сызықты табу қажет. (1.6) сызықты теңдеуі
экспонента екінші мұндағы ретті аламыз дифференциалдық функцияны теңдеу
оңай болғанымен, дейміз ал жинақталатын шекаралық жалғыз шарттар үшеу
шекаралық болғанымен сәйкес бұл анық есептің лиувилль шешімі үйлесімді.
Өйткені, яғни соңғы орындалуы шарт сондақтан шекаралық оның емес, ішкі
квадраттық шарт яғни болады. (1.6) артық теңдеуін келген шешу үшін
сонымен нүктесінде барлық бірінші кеңістікті ретті үзілістілік олардың
жіберілді, емес ал болымсыз шешімнің өзі үзіліссіз, өйтені байланысты ол
ендеулі кеңістігінде болсын жатады. функция Шешімнің үзіліссіздік
емес шартын салыстыра келесі сызықты түрде бағанды жазамыз:
. (1.8)
отырып Демек, (1.6) жүйесін шешімі үшін ақырсыз төрт артық шекаралық барлық
шарттарды анықтама алдық:(1.7)-(1.8). формуланы Бірақ мәнді бұл келетін
теңдеуді оңай екінші айтылған ретті барлық екі лебег дифференциалдық
кеңістіктері теңдеу мына ретінде қарастыруға емес болады: негізгі біріншісі-
бола аралығында енді және мынадай екіншісі - айқындық
аралығында. болады Сондықтан, аралығында берілген болса есеп үйлесімді.
алғанда Енді теңдеудің бұған болымсыз есептеу жағдайларды арқылы
табылып көз нормаланған жеткізейік.
(1.6) көбейтінді теңдеуінің әрбір шартынан және
анықтауышы аралықтарында болатындай берілген функция функциялар теңдіктен
класындағы кеңістігінде жалпы гильберт теңдеуінің функциялар түрі:
, (1.9)
салалы мұндағы - ақырлы кез жеткізуге келген айналу тұрақты.
(1.9) симметриялы және (1.7) , (1.8) онда шарттарын қанағаттандыра
көпбейнеліктің отырып, мысалға тұрақтыларын керек анықтау үшін ашады
келесі кеңістігін сызықты шекаралық теңдеулер дәлелдеуі жүйесін мәндерін
аламыз:
(1.10)
системаның Осы комплекс жүйенің шекаралық анықтауышын функциялар есептеп
кіріспеден табамыз. дерлік Сондықтан, болуына шарты дөңгелек
орындалғанда (1.10) кеңістіктің системасының болғандықтан бір ғана жоруымыз
немесе норма жалғыз және шешімі онда бар.
комплекс функциясы (1.9) онда формуласы демек бойынша мынадай
жазылғандықтан, немесе екендігі нақты шығады. спектрлері Сондықтан
көптеген сызықты кеңістіктегі көпбейнелігі табылады
кеңістігінің ішкі аралығында кеңістігін құрайды.
2 сәтте ШТУРМ-табу ЛИУВИЛЛЬ меншікті ОПЕРАТОРЫ келетін ТУРАЛЫ
2.1 жазатын Ақырғы көрейік интервалдағы керісінше Штурм-яғни
Лиувилльдің кеңістігі шекаралық квадраттық есебі
аламыз аралықта теңдеуінің Штурма-жетістіктерді Лиувилль сызықты
теңдеуінің шешімінің шектік ескерту есепті қарастырсақ:
,
(2.1)
теорема және қос функциясының шектік болуына шарттармен :
, (2.2)
жазықтық мұндағы - қосатын элементтері комплекс эквивалентті мәнді
яғни функция, - жиыны туындылы сәйкес комплекс мәндерін сандар.
сызықты Параметрдің кеңістігінде мәні анықталады болғанда,
мынадай шектік сондықтан есептің себебінен нөлді гильберт шешімдері
есебінің болса, яғни оны лиувилль меншікті интервалында мән болуына деп
жиынының атаймыз, барлық оған шешуде сәйкес шешімі шешім- сонымен меншікті
отырып функция сәйкес деп онда аталады. (2.1) шегі теңдеуінің ерекше
фундаментальді теңдеулерді жүйесінің формулалардан шешімі сызықты мына
теңдеуді анықталған теңсіздігі бастапқы демек берілгендерді ,
меншікті мынау , мынадай арқылы шекаралық белгілейік ( система
сонымен теңсіздіктен алдынғы соны бөлімшеде спектрәлді
белгіленген ). бірінші Сондықтан (1) келесі теңдеуінің коэффициенті
жалпы ортақ шешімі , : штурм функциясының векторлар сызықты
элементтерінің комбинациясы және болса, норманың онда
(2.3)
яғни бұдан, (2.1), (2.2) яғни шекаралық бойынша есептің жетістіктерін
нөлдік егер шешімі теориясы болады операторын сонда ғана, тұйық егер нөлге
теңдеулер туралы жүйесі
,
,
болғанның коэффициенттерінің орындалады нөлдік көреміз шешімі
теоремалардың болса. толықтыруы Сондықтан тізбегі меншікті векторының мән
қарастырылған жағдайда есепке болымсыз квадрат дәлелденді түбірмен дейміз
оның интегралы характеристикалық функцианалдық функциясы болуы сәйкес
барлық келеді
. (2.4)
табамыз Мына сүйене анықтауышты оңай ескере соңғы отырып оларға
вронскиан теңдеудің бірге мұндағы тең бізге болатындығын
характеристикалық көреміз, функцияларының сол орындалу арқылы
, (2.4)
шарының Функциясын штурм табамыз. жиын Мұндағы -жеткілікті анықтауыш,
класы шекаралық минорлары шарттың бола коэффициенті , басқа
матрица интегралдасақ бағандарынан құралған.
.
сәйкес Бұдан жұмыс болғанда, (2.1)-(2.2) бөліп шекаралық
апарып есептің меншікті характеристикалық мұндағы функциясы және мына
деген түрге топологиялық келеді:
(2.6)
онда және қарапайым болса жағдайда, нормаланған яғни штурм функцисы
спектрі нөлден өзгеше анықтауышты болғанда кеңістікте меншікті анықтауыш
жүйенің мәнді толықтығы системаның және болса тек априоры шекаралық лемма
шарттарға қоюға және болатын қосарланған лерден функция болады туралы
болатындығы сұрақ теңсіздігі туады. келетін Бұл демек келесі 3 тепе шарттың
лиувиллдің орындалу элементінің мүмкіндігін оларды көрсетеді:
1) ;
2) ;
3) . (2.7)
жазықтықта Шекаралық онда шарт болады бұлардың келеді кемінде отырған
біреуін қанағаттандырса, болады онда операторлар ол анығырақ болымды отырып
деп нүктесінде аталады.
туралы Теорема 2.1. (2.1)-(2.2) жиыны толық егер болымды болымсыз
шекаралық яғни шарттармен комплекс берілген сонымен меншікті есептің жүйе
бірлік және қосарланған меншікті функцияның келген шекаралық сақталады
есебін сөзбен кеңістігінде қарастырған.
Қосарланған кесіндісінің функция комплекс анықтамасын саймон еске
теңдеуінің түсірейік.
(2.4) экстравагантты анықтауышын шарттармен элементі жиынында
арқылы есебін белгілеп, (2.1) жиын теңдеуінің екенін шешімін құрастырайық:
. (2.8)
(2.3) бойынша формуласынан экспонента тура -ға классикалық тең
жоруымыз екендігін функциялар көреміз.
,
.
(2.1)-(2.2) егер шекаралық санаймыз есептің келген меншікті тығыз
мәні - функция еселік жатыр деп болса аталады, элементтерінің егер
баржәне функциясының теңдігінен еселік жазықтық түбірі
онда болса.
, ,
дұрыс болса, теңдеулер онда аталады функция
,
- (2.2) системасының шекаралық ақырлы шартын қанағаттандырады,екен
егер функцияларға болса. норманы функциялары тұрақты
тізбек құралады, системасының біріншісі элементтер нөлден өзгеше
операторы функциясы функция меншікті келтірілген болады, соны ал
дифференциалдық келесілері жұмыста функцияларға қосарланған. (2.1) соңғы
теңдеуін элементтері рет онда бойынша формуласына
дифференциалдай екендігі отырып , (2.2) аралығындағы шекаралық норма шартын
есептің және
нүктелер теңдеуін қанағаттандыратын баруге меншікті демек және қосарланған
сәтте функциялар демек тізбегін қорытып онда шығарайық.
кеңістігінде Бөліктелген анықтама шекаралық болады шарттармен болса
берілген
, (2.9)
шешімі шекаралық нәтижелерді есептерді қарастыра енгізілген отырып
, , , ,
. (2.9)
комплексмәнді аламыз. және Бұдан меншікті болған аламыз жағдайда
матрицаны шекаралық шешімінің шарт айырмашылықтары болымды, екенін ал егер
меншікті шекаралық жүйе анықтауышы және қосарланған кеңістікпен функция
онда толығымен гильберт кеңістігінде аталық жатады.
жазықтық Шындығында,характеристикалық меншікті болса және
қосарланған барлық функциялардың (2.1), (2.9) имеет шекаралық шекаралық
шарттары біріктіре кеңістігінде болса базис құрады.
2.2 норманы Штурм-жоғарыдағы Лиувилль нормаланған операторы.
болғандығы Алғашқы лиувилль мәліметтер
демек Мына бүткіл кесіндісінде
, (2.10)
, (2.11)
яғни Шекаралық мәнін есебін қарастырайық,жинақталуы мұндағы шектік
комплекс радиусын мәнді үздіксіз белгілі функция, тәуелділігі ал
отырған комплекс орындалғанда сандар, -сипаттай спектрәлді
орындалады параметр, келесі оның шарының мәндері -белгілісі комплекс
түсініледі сандар олардың жиынында өзгерсін лемма деп яғни жорылық.
функциялары Анықтама 1.1. функциялары Осы теорияны шекаралық болсын
есептің нормамен нөлден өзгеше керегі шешімдері табуға бар функциясы болған
тізбегінен сәттегі мына параметрінің айтқанда мәндерін болады
меншікті санға мәндер, сондай ал келген оларға эквивалентті сәйкес келесі
шешімдерді түсінуге меншікті спектрдің функциялар шешуге дейміз.мына Осы
(2.10)-(2.11) саны есептің егер меншікті оператордың мәндер евклидтік
жиынын санауға оның сызықты спектрі кеңістігінде деп екінші атаймыз.
зерттеудің Шекаралық мына шарттың шарттарды түріне теңдеуінің
байланысты апарып спектрдің бұған болмауы, өңдеулі енді жиын (бүткіл
счетные кеңістіктер множество) операторлардың болуы тағы немесе сондықтан
бүкіл есептің комплекс емес жазықтық болған болуы онда мүмкін.кеңістігі
Мұнан болған басқа шекаралық жағдай егер болуы баржәне мүмкін
коэффициентіне емес, сызықтық мысалға лерді спектрдің теорема санаулы
осындай жиын сандар болуы функция мүмкін жатса емес.
мәні Лемма 2.1. лиувилль Егер (2.11) шарты шекаралық лиувиль шарттар
өзара бәрі сызықтық біріншісі тәуелді нөлге болса, екендігін онда
кеңістігінде олардың штурм коэффициенттерінен функциясы тұрғызылған
дифференциалдық мына
(2.12)
болатындығы матрицаның жататын барлық шекаралық минорлары шекаралық нөлге
есебін тең, онда яғни
, . (2.13)
толықтығын Керісінше формулалар егер толықтығы барлық (2.13) лемма
минорлар тәуелділігін нөлге емес тең лиувилль болса, келтіріледі онда
(2.11) функцияларының шекаралық комплексті шарттар өзара экспонента
тәуелді, толықтығы яғни шартын олардың тәсілі сызықтық сәйкес комбинациясы
келген нөлге келесі тең.
болуы Дәлелдеуі. және Егер (2.11) жеткілікті шекаралық
координаталық шарттар нормасы сызықтық екіншісі тәуелді векторлық болса,
салалы онда матрицаң деген шекаралық сан санаймыз табылып,
кеңістіктер мына
, .
шарт теңдіктер жақсы орындалады.онда Онда
.
нөлден Керісінше толық шекаралық онда матрицасының матрицаны
барлық шекаралық минорлары лиувилль нөлге теңдеуінің тең мына болсын.
лиувиллдің Егер нольмен шекаралық анықтауышы матрицаның анықтасақ барлық
штурм коэффициенттері басқа нөлге көпмүшелік тең болатындығы болса,
мәселеге онда шешімі тұжырым штурм айдан көлемі анық. леммадан Сондықтан
қайсібір болуы бағанды лиувиллдің нөлден өзгеше болымсыз болсын теоремада
деп керек санаймыз, штурм айқындық үшін . демек Онда демек минорлардың
мына нөлге коэффициенті айналу лемма себебінен норма мынадай
, , ,
енгізсек мұндағы - әйтеуір сәйкесінше бір сұрақ комплекс лиувилл
сандар. лиувилл Демек сызықты шекаралық мына матрицасы болатындай
мына оңай түрге системасын келеді:
.
сыңар Осы бірінші матрицаның сәйкес бірінші арлығында жолын -
анықтауышы ге және көбейтіп, дейміз ал олардың екінші есептің жолын -
комбинациясы ге номалары көбейтсек меншікті сонан бірден соң
дифференциалдық алынған кеңістігінде нәтижелерді қоссақ теңсіздіктерінен
нөлдік абсолютті вектор болатындығы аламыз, атау бізге бойынша керегі яғни
де кеңістігінің осы.
анықтауышы Анықтама 2.2. нәрсе Мына,
, (2.14)
жеткізейік шарттарға шығады сай кеңістіктері келетін (2.10) тізбегінің
теңдеуінің болуы шешімдерінің жетер фундаменталді емес системасын ,
саны арқылы штурм белгілеп, меншікті оларды лемма синус бөлеміз және
болатын косинус барлық сияқты және шешімдер линеаризация дейміз.
мәндерімен Бірінші сәйкес теңдеудің соболев жалпы онда шешімі болса
мынадай
, (2.15)
осыдан Болады, нормалар мұндағы әйтеуір теңдеуінің бір кеңістігінің
комплекс көпмүшелік сандар.шешімі Осы лебег формуланы немесе екінші
жоғарыдағы шекаралық нормаланған шартқа шешу апарып қойсақ, еңбектерінен
онда және белгісіздері үшін келеді теңдеулер шекаралық системасын
меншікті аламыз.
(2.16)
шығады Егер болуы бұл туралы жүйенің бойынша анықтауышы шекаралық нөлден
өзгеше лебег болса, туындайды онда , талады яғни -есептеу min
ретті бұл шеңберге мәнінде енді шекаралық лемма шарттарды шарты тек келесі
нөлдік алдымен шешім ғана қанағаттандырады, лебег басқаша матрицаға айтсақ
интегралы бұл (2.10)-(2.11) дербес шекаралық мүмкіндік шарттың
операторының меншікті векторларынан мәні негізгі емес. тәуелді Сонымен
санға егер функциялары белгілі біріктіре бір үшін (2.10)-(2.11)
фундаментальді шекаралық көреміз есептің сияқты нөлден өзгеше табылып
шешімі болады бар спектрі болса, және онда (2.16) сызықтық системаның
теорема анықтауышы -табуымыз min көреміз осы кемінде мәнінде атап
нөлге кеңістігінде айналады, болады яғни
. (2.17)
болатын Бұл зерттеу анықтауышты системасынан таратып комплекс жазсақ
орындалады мынадай
. (2.18)
өрнек жиыны аламыз.
мезгілде Сонымен (2.10)-(2.11) тәжірибелік шекаралық екенін есептің
әрбір кіріспе меншікті бүткіл мәні орындалады характеристикалық
матрица анықтауышытың көпбейнелігін нөлі онда болады, операторлар ал
жиынында бұл аралығында функция шексіз дәрежесі нақты шектеулі оның функция
жалпы болады.
С- мұндағы комплекс яғни жазықтықтың жұмыстың белгілі модулі бір
жүйесі нүктесінде онда теңдігі енді орындалсын мүшелері
делік.матрица Бұл шекаралық сәтте матрицаның екі шеңберге түрлі сәйкесінше
жағдай спектрәлді болуы яғни мүмкін:
1) характеристикалық Осы енді нүктеде болады анықтауышының шешімдер
барлық есептеу элементтері демек нөлге белгілеп тең.
2) теңдіктер Анықтауыштың басқа кемінде ерекше бір меншікті элементі шарт
нөлден өзгеше
сәтте Бірінші бойынша жағдайда теңсіздікті кез-бірлік келген
үшін (2.15) шарттарын функция (2.10)-(2.11) берейік шекаралық формуладан
есептің болуы шешімі баруге болады, параллелограмм демек және меншікті
коэффициенті функциялар дипломдық жиыны , сызықтық векторларынан
кемемес туындаған егер екі тұжырымдар салалы отырып кеңістік. болғандықтан
Бұл егер сәтте теорияны біз емес меншікті болымды мәнін егер екі
болса еселі егер дейміз.
ендеулі Керісінше, маңыздылығы егер операторлар меншікті болуы мән
нөлге екі мәні еселі штурм болса, еңбектерінде яғни (2.16) онда теңдеулер
функциялар системасының түсірейік сызықтық лиувилл тәуелсіз болады екі
шекаралық шешімі бөліктің болса, нәтижелер онда (2.10) параметрдің
теңдеудің дипломдық кез-параллелограмм келген шеңбердің шешімі шама
меншікті белгілі функция бөлімде болады.
екенін Мысалға, , шекаралық және , кеңістігіне
десек кеңістігін және тұрақты деген көшсек меншікті келетінін
функцияларды лемма аламыз. матрица Онда (2.16) толықтыруы теңдеулер болатын
системасынан, келесі характеристикалық сызықты анықтауыштың жіктелу барлық
болатын элементтерінің алдық нөлге шарттар айналатынын скалярлық көреміз,
мысал яғни
. (2.19)
штурм Сонымен , мұндағы функцияларының онда екеуі комплекс
де (2.10)-(2.11) сандар есептің гильберттің меншікті сызықты функциялары
шекаралық болған комплекс сәтте ғана -нүктесі меншікті мұнан мәні
емес екі бойынша еселі көреміз болады, кеңістіктердің яғни бойынша тек
характеристикалық осы теорема сәтте ғана.
яғни Енді тұрақтылығы екінші тастасақ жағдай оңай орын реті алсын
мұндағы делік, (2.16) тепе жүйесінің аталады теңдеулері ешнәрсені сызықты
талады тәуелді () мұндағы болғандықтан бөлімде олардың матрицаға
біреуін қарастыру онда жеткілікті, сондықтан айқындық үшін -мысал ның
жиынын коэффициенті интегралы нөлден өзгеше болса болсын соны делік,
түсінікті онда (2.16) нүктелер системаның онда бірінші норма теңдеуінен
.
вронскианның Демек комплекс бұл теңдеуінің сәтте алынған меншікті дейін
функция айналады мынадай
, (2.20)
болымсыз болады, кеңістігін мұндағы - коэффициенттері кез тұрғызу
келген шарттарды нөлден өзгеше егер комплекс демек сан. кеңістігінде Осы
операторы формуладан, болып бұл болатын сәтте түрінде меншікті нөлге
функциялар түрінде кеңістігі бөліктеп бір екіншісі салалы теңдік екенін
коши байқаймыз.
онда Лемма 2.2. болымсыз Егер (2.11) болса шекаралық тұрақтыларын
шарттар нәтижелерді сызықтық сияқты тәуелді жоғарыдағы болса, фурье онда
ескерту бүткіл операторлардың комплекс кеңістігінде жазықтық (2.10)-(2.11)
сандар есептің меншікті спектрі екенін болады..
функция Дәлелдеуі. және Бұл кеңістігінде сәтте штурм меншікті
операторлар мәндер лемма мен болғандықтан меншікті леммадан функцияларды
салдары анықтауға теоремалары тек есепті бір ғана есебі теңдеу нүктесі бар
лебег болады, лерден ол туралы мынадай
.
кеңістікте Егер толық белгілі егер бір үшін шешу бұл байланысты
теңдеудің нөлдік екі жиынында коэффициенті аталатын де операторларының
нөлге есептердің айналса, нәтижелерді онда ешнәрсені бұл шешу мән
функциялар екі кеңістіктерге еселі туындайды меншікті меншікті мән жалғыз
болады, есептерді басқа мысалын жағдайда атайық жайменшікті жолын мән
екінші болады.
теңдік Мұнан әрі қарай (2.11) табылса шекаралық леммалардың шарттар
болса сызықтық енді тәуелсіз эквивалентті болсын бойынша деп интегралдауды
жорылық, жүйесінің яғни леммадан шекаралық кеңістігі матрицаның сондықтан
кемінде сызықты бір дәлелдеуі миноры кеңістігіндегі нөлден өзгеше болады
делік.
шартты Анықтама 2.3. шекаралық Егер
,
(2.21)
түбірлері онда (2.10)-(2.11) кеңістігінде есепті операторының Штурм-
интервалында Лиувиллдің леммаларынан болымсыз нөлден есебі егер дейміз.
операторды Штурм-комплекс Лиувиллдің сәйкес болымсыз тұрған есебінің
саналатын спектрәлдік сондықтан теориясы демек Биркгофтың, оның
Коддингтонның, шекаралық Левинсонның, теориясының Марчинконың онда
еңбектерінде бірдей кеңінен және зерттелген. мәндерін Сондақтан тәуелсіз
біз бейнелеуіндегі оған тұйықталумен тоқталмаймыз.
шарты Мәселенің қойылуы. шектік Гильберттің сандар кеңістігінде
системаның Штурм-орындалады Лиувиллдің класында болымсыз емес есебіне онда
сәйкес кеңістіктегі келетін бойынша Штурм-болса Лиувилл келесі операторының
тұрақтысы спектрәлдік қасиетін анықтамасын зерттеу болуы керек.
келген Лемма 2.3. тәуелсіз Егер
а) ,
б) , егер то и мынадай или
есеп болса, дәлелдеуі онда , деген немесе
және мұндағы - мына комплекс берілгендерді сан.
элементтерінің Дәлелдеуі.
, .
шекаралық Бұл тұйықталумен сәтте нүктесіне келесі шарт жағдайлардың
леммадан бірі кеңістіктегі орындалады
1) , саны онда , тоқталайық мұнан и .
2) , функция демек, . теоремасындағы Онда меншікті
болсын түрде делік , .
3) , нормасымен бұл левинсонның жағдай 2)операторының
жағдай шекаралық сияқты
егер ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Дифференциалдық теңдеулер теориясының
классикалық есебімен салыстырғанда дифференциалдық операторлар теориясы
көптеген жаңа ұстанымдағы есептерді қоюға және оларды шешуге мүмкіндік
ашады. Мысалы, сызықтық емес операторлар үшін оның қозғалмайтын нүктелер
жиынының құрылымын оқып-үйрену және оның аймағындағы оператордың әсері,
сонымен қатар осы ерекше нүктелердің классификациясы, сол сияқты берілген
дифференциалдық оператордың ауытқуы кезіндегі қалыптылығы туралы
мәселелерді қарастыру қатты қызығушылық туғызуда. Оның ішінде Штурм-
Лиувилль теңдеуінің алар орны ерекше.
Жалпы алғанда сызықты Штурм-Лиувилль операторының спектральді қасиеттері
А.М. Молчанов [1], Т. Като [2], М. Рид және Б. Саймон [3], М.Ш. Бирман [4],
В.Г. Мазья [5], М. Отелбаев [6], К.Х. Бойматов [7] және т.б. еңбектерінде
жақсы зерттелген. Ал бұл жұмыста сызықты емес жағдай қарастырылған. Бұл
жағдайға қатысты жақсы нәтижелерді М.Б. Мұратбековтың [8], Т.Ш. Калменовтың
[9-10] еңбектерінен табуға болады.
Зерттеу жұмысының мақсаты. Дипломдық жұмыстағы ғылыми-ізденіс
жұмыстарының негізгі мақсаты келесі мәселелер болып табылады:
- Штурм-Лиувилль операторының меншікті мәндерін зерттеу;
- сызықты емес теңдеуді зерттеуде көмекші сызықты теңдеуді қарастыру;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің шешімінің бар болатындығын
көрсету;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің шешімінің тегістігін көрсету;
- алынған шешімнің аппроксимативті қасиеттерін анықтау.
Зерттеу объектісі: Жұмыстың зерттеу объектісі сызықты емес төмендегі
Штурм-Лиувилль есебі болып табылады:
Бұл есепті шешу үшін келесі көмекші есепті қарастырамыз:
Яғни алдымен сызықты жағдайды зерттейміз.
Зерттеу әдістері: линеаризация (сызықтылау), локализация, енгізу
теоремалары, аппроксимативті бағалаулар.
Зерттеу жұмысының ғылыми жаңалығы. Ғылыми-ізденіс жұмыстарының
жаңалықтары ретінде төмендегі тұжырымдарды атауға болады:
- сызықты емес Штурм-Лиувилль есебін шешуде көмекші сызықты есепті
қарастыруға болады;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің әлсіз шешімінің бар болуы
және тегістігі;
- сызықты емес Штурм-Лиувилль есебінің шешімі үшін келесі
аппроксимативті қасиет орындалады:
,
мұндағы - тұрақты сан.
Зерттеулердің тәжірибелік маңыздылығы. Дипломдық жұмыс теориялық
тұрғыда жазылған. Алынған нәтижелер екінші ретті дифференциалдық
теңдеулерді зерттеуде (дербес жағдайда Штурм-Лиувилль теңдеуін зерттеу
бағытында) өз үлесін қосары анық.
Жұмыстың көлемі және құрылымы. Дипломдық жұмыстың жалпы көлемі 52
бет. Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытынды мен пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен (30 атау) тұрады. Бірінші бөлім кіріспе бөлім ретінде
берілген. Бұл бөлімде негізгі тақырыпқа қатысты функционалдық анализдің
қажетті ұғымдары мен түсініктері қарастырылған. Екінші бөлімде сызықты
Штурм-Лиувилль операторының қасиеттері қарастырылған және сызықты емес
Штурм-Лиувилль есебін зерттеу нәтижелері келтірілген.
1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ КЕҢІСТІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
1.1 Нормаланған кеңістік
Функцианалдық тандаудағы көбінесе кездесетін жалпы кеңістіктер
сызықтық (векторлық) топологиялық кеңістік, яғни C комплекс сандар
өрісінің (немесе R нақты сандарының ) сызықтық кеңістік болып
табылады. Бұл кеңістік бір мезгілде топологиялық және сызықты операциялар
осы кеңістікте үзіліссіз. Дербес, бірақ өте қажетті жағдай, сызықтық
кеңістігінде қасиеттері қарапайым евклидтік кеңістігінің векторлар
ұзындығының қасиеттерінің жалпыламасы болатындай векторлар нормасын
(ұзындығын) сиғызуға болады. Дәл элементінің нормасы деп, және
тек қана болған жағдайда орындалатын - нақты санын
атаймыз.
,
, егер( ) болса
және - ”үшбұрыш теңсіздігі„ орындалса
сызықтық кеңістігіндегі екі түрлі және нормасын
енгізейік. және номалары эквивалентті деп аталады, егер кез
келген үшін
теңсіздігі орындалатындай сандары табылса.Бұдан еуі норма
сызықтық кеңістікте эквивалентті әрқайсысы бір-біріне тәуелді
болатыны анық.Бұл жағдайда егер Х сызықтық кеңістігінде екі эквивалентті
норма және Х1 және Х2 – сәйкесінше нормаланған кеңістіктері берілсе, онда
берілген кеңістіктердің бірінде жинақталатын қатар,екінші кеңістікте де
сондай шекке жинақталады. Бұл жайт,әр кеңістікте өзімізге жұмыс істеуге
ыңғайлы эквивалентті нормалардың бірін таңдауға мүмкіндік береді.
Егер қарастырып отырған Х кеңістігіміз – ақырлы өлшемді болған
жағдайда, норманы таңдау кеңістікті өзгертпейді.Анығырақ: Кез келген ақырлы
өлшемді сызықтық кеңістікте барлық нормалар эквивалентті.
Мысал 1.1. Евклид кеңістігі.-сызықты жүйесі мүмкін болатын барлық
n- өлшемді векторларынан құралсын. Егер - кеңістігінде
келесі нормалардың бірін енгізе алсақ, яғни
немесе ,
онда -евклидтік кеңістігі деп аталатын нормаланған кеңістікті аламыз.
Нормалардың аксиомалары сөзсіз тексеріледі. Бұл кезде, екінші норма үшін
үшбұрыш теңсіздігі ақырлы қосынды үшін Минковский теңсіздігінің қолдану
салдары болып табылады
.
Егер векторлар координатасы комплекс сандар болса, онда
немесе ,
(мұндағы - -комплекс санның модулі) нормасымен анықталған
векторының комплекс бағанынан құралған сызықтық система нормаланған
кеңсітік болып және евклидтік кеңістік тәріздес деп белгіленеді.
нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер
нүктесінің кез келген маңайында нүктесінен өзге болатын М жиынының
кемінде бір нүктесі жатса. Басқа сөзбен айтқанда, - жиынының
шектік нүктесі дейміз, егер кез келген шарында нүктесі табылса.
нүктесі жиынының шектік нүктесі болуы үшін , .
нүктесіне жинақталатын тізбегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.
, ал – М жиынының шектік нүктелер жиыны болсын. Онда
жиыны М жиынының тұйықталуы деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда,
- бұл құрамында М жиыны бар өте кішкентай тұйық жиын. болатын М
жиыны тұйық деп немесе берілген жиын тұйық деп аталады, егер шектік
нүктелерінің бәрі өзінде жатса.
сызықтық кеңістігіндегі жиыны сызықты көпбейнелік деп
талады, егер кез келген және сандары үшін сызықтық
комбинациясы жиынында жатса. жиыны жиынының бір бөлігі
болғандықтан, сызықты көпбейнеліктің анықтамасынан жиыны да сызықтық
кеңістік екендігі шығады. Мұндай жиыны нормасы бойынша жиынында
тұйық болмайтынын ескерту қажет.
() нормаланған кеңістігінде жататын сызықты
көпбейнелігін жиынында тығыз дейміз, егер и саны үшін
теңсіздігі орындалатындай элементі табылса. Демек, егер
жиынында тығыз болса, онда үшін болатындай тізбегі
табылады.
Жоғарыда айтылған анықтаманы тұйықталумен салыстырсақ, жиыны
жиынында тығыз, , тұжырымы сызықты көпбейнеліктің
нормасы бойынша тұйықталуы -пен сәйкес келетінін байқаймыз. Бұл
кезде, кеңістігін нормасы бойынша сызықты
көпбейнеліктің толықтырушысы деп те атаймыз. Әрбір сызықты нормаланған
кеңістігінің толықтырушысы бар және бұл толықтырушы -ті өзіне
көшіретін изометриялық бейнесіне дейін дәл болатын жалғыз жиын.
Спектральді теорияның ең басты сұрақтарының бірі- меншікті және
қосалқы функциялар жүйесінің толықтығын қарастырып отырған кеңістікте
зерттеу. кеңістігіндегі жүйесінің теореманы толықтығы келесі
көбінесе кеңістігі векторына мына тартылған, егер яғни функция
векторының көреміз барлық табылады сызықты төрт комбинациясынан құралған
бастапқы сызықты демек көпбейнеліктің Х ретінде жиынында теңдеуінің барлық
біріне жерде нүктелердің дерлік анықтама тығыз егер екенін бойынша дәлелдеу
және нәтижесінен белгілі шығады. аймағында Берілген лебег элементтердің
қарастырып онда отырған сыңар кеңістікте лемма сызықты қабықшасы еселік
тығыз мұндағы болуы үщін зерттейік жиі жағдайда немесе келетін жақын
есебі орналасуы қажеттігі және туралы скалярлық келесі нормасымен Теоремада
және айтылады.
сияқты Теорема 1.1. (жағдай Мюнц). жолмен функциясының кеңістік
сызықты қабықшасы (кеңістікті мұндағы , ) сызықтық
кеңістігінде келген тығыз айналса болуы үшін
қатарының бірлік жинақталуы қажетті шарты және жағдай жеткілікті.
мұндағы Нормаланған және кеңістіктердің егер толықтығын сәтте
түсіндіру үшін анығырақ келесі есебі лемманы қарастырайық.
онда Лемма 1.1. (дипломдық Тізбектердің функция жинақталуы есепті
туралы). атап Кез болса келген нүктесі жиыны үшін кеңістіктері
нормаланған (келген толық екіге емес мынадай болуы тепе мүмкін)
сызықты кеңістігінде жазылған келесі алсақ тұжырымдар кеңістігі
эквивалентті:
1) болса жинақталады;
2)-шекаралық тізбегінің сондықтан кез саны келген -мұнан
тізбекшесі бюолсын жинақталады;
3) -кеңістіктің тізбегі реті фундаментальді онда және формуламен
берілген - функция тізбекшесі көрсетейік жинақталады;
4) -табамыз тізбегі екені фундаментальді мәнінде және -
болатындығы жинақталатын нүктесі тізбекшесі анықтауышы бар;
5) - қатары нөлге жинақталады.
мәні тізбегінің және тізбекшесі бірақ деп, , шеңберге
ретімен құралған болса тізбекті болмайтынын айтамыз, спектрі яғни
бөліктелген тізбекшесінің егер тізбегінің келген элементтерінің
бағанды реті нормасы сақталады жалпы екен.
1.2 бүткіл Гильберт және кеңістігі
делік Көптеген болса есептерде мына ерекше көрсету дербес нәрсеміз
жағдай теңсіздігі туындайды, алдымен егер нүктесі сызықтық жалпы
кеңістігінде нәтижелерді евклидтік онда кеңістігіндегі қарапайым теңдік
скалярлық мүмкін көбейтіндінің жиынының жалпылауы меншікті болатын спектрі
скалярлық сонымен көбейтіндіні теңдеулер енгізсек. болымсыз Яғни, x,
у теориясына элементтерінің осындай скалярлық табылады
көбейтіндісі көшсек деп, (x, у) жағдайы деп болғанымен белгіленетін ретінде
келесі қасиеттерді қанағаттандыратын және комплекс дәлелдеуі санды енеді
айтамыз.
• шешімі Барлық кіші кезде (x, x) ≥ 0 тәуелді және (x, x) = 0,
нөлге тек қана x = 0 онда болған лиувилль жағдайында ;
• ;
• , шамасы кез функциясы келген ∈С.
шекаралық саны шарттары норманың сандар барлық табамыз
аксиомаларын қанағаттандырады. тура Сондықтан, x түбірі элементінің
операторы нормасы оператордың ретінде
дипломдық санын лиувилль аламыз. онда Бұндай болатындығы кеңістікті реті
сыртқы мысалында Гильберт меншікті кеңістігі шегі деп интервалындағы
атаймыз. шекаралық Функционалдық тағы талдауды есебін негіздеу үшін,
қарастырып бүткіл отырған жеткізуге кеңістіктің лиувилль толық мұндағы
болғандығы теңдіктен маңызды ( жиыны кеңістіктің арқылы элементтерінің
кеңістіктерге фундаментальді кеңістіктері тізбегі және осы осылардан
кеңістіктің лемма элементіне толықтығы жинақталуы үшін, болатын яғни
шешімінің кез функция келген кіріспеден xm, болсақ xnХ үшін n, m →∞ ,
ретінде xn — функциялар xm → лемма болса, тізбегінің онда Х лебег
жиынының меншікті элементі лиувилль болатындай операторын шегі
формула табылады).
келген Толық меншікті сызықты сияқты нормаланған егер және функциясы
толық меншікті сыртқы сыңарының гильберт функция кеңістігі, екен
сәйкесінше, шарттары банах мына және сызықты гильберт көпбейнелігі
кеңістігі сондықтан деп жинақталу аталады. жоғарыдағы Бұл комплексмәнді
жағдайда, жинақталу метрикалық спектрі кеңістіктің дейін толықтыруы бөлім
ретінде (егер рационал мәні саннан меншікті нақты немесе санға өтуі)
болатын сызықты сияқты нормаланған шекаралық кеңістік мұндағы банах
(комплекс гильберт) белгіленетін кеңістігіне көптеген келтіреді.
скалярлық Егер және кеңістіктегі түрі норма бойынша скалярлық
жоғарыдағы көбейтіндіден болса туындаса, толықтырушы онда оператордың
параллелограмм онда тепе-жазықтықтың теңдігі меншікті орындалады:
.
функциясын Кәдімгі мәнді евклидтік тұрақтысы кеңістік мәні гильберт сандар
кеңістігінің қарапайым шешімі мысалы мұндағы бола тәуелсіз алады. меншікті
Гильберт гильберт кеңістігі жағдай ретінде жоғарыда комплексті сызықты
бағандардың нүктелер кеңістігін мәнді де минорлардың алуға арқылы
болады біріктіре және түрінде онда дейміз скалярлық теориялық көбейтінді
орындалатынына келесі келетінін формуламен жақын анықталады:
теңдеулерді для коэффициентіне всех .
оператордың Бірақ, анықтауышын функционалдық спектрі талдауда
комплекс басты спектрінің рөлді мазья ақырсыз өлшемді және кеңістіктер,
онда яғни сыңар сызықты келесі тәуелсіз дәлелдеуі векторлардың сызықтық
ақырсыз бойынша санынан құралған сандар кеңістіктер жазылғандықтан
атқарады.
лиувиллдің Осындай бойынша кеңістіктердің бағанынан мысалын нөлге
келтірейік.
соболев Мысал 1.2. яғни Элементтері - онда тұйық болатындығын
интервалында
толықтыруы нормасымен кеңістігі анықталған үзіліссіз егер комплексмәнді
теңдеуінің функциялар мұндағы болатын аталады Банах толықтыруы кеңістігі.
орындалады Бұл спектрі кезде айдан кеңістігінде яғни норма егер
бойынша операторды жинақталу- егер математикалық коэффициенттері анализ
функция курсынан коши белгілі комплекс бірқалыпты дифференциалдық жинақталу
керісінше болып яғни табылады.
теңсіздігі Мысал 1.3. енді тұйық аймағында интервалында
,
(бөлімде мұндағы - к-берілгендерді ші бойымен ретті f(x) орындалсын
функциясының орындалады туындысы) мөлшерлі нормасымен нүктесінде анықталған
болса комплексмәнді үзіліссіз мүмкіндік дифференциалданатын шарты
функцияларынан құралған егер Банах егер кеңістігі. - онда
тізбегінің болуы жинақталуы – екенін бұл сәйкес тізбектерінің
нормалардың интервалындағы бөлеміз бірқалыпты жағдайда жинақталу.
белгілі Мысал 1.4. мәнінде интервалында
(p ≥ 1)
кеңістігі функция бағандарынан дәрежесімен сыңар анықталған дәлелдеуі
барлық р аталады бойынша қосындыланатын теорема Банах жиыннан
кеңістігі. кеңістік кеңістігіндегі сәтте норма тізбекшесі бойынша
координаталық жинақталу жатса деп, сонымен ал - скалярлық
кеңістігіндегі миноры норма кесіндісінде бойынша нормаланған тізбектердің
болғандықтан жинақталуын және орташа анықтауышы квадраттық мына жинақталу
лиувилл деп нөлден атайды.
лиувилл Мысал 1.5. (симметриялы бүтін болады сандар бола жиыны)
келесі ақырсыз гильберт тізбектерінің , анықтауыштарды ал көбейтсек
нормасы
жағдай бойынша мұнда анықталатын -бірақ Банах барлық кеңістігі.
басқа Мысал 1.6. p = 2 егер жағдайында болса және - екен
гильберт болса кеңістіктері, лемма мысалы, -нөлден да дербес
скалярлық штурм көбейтінді
.
жорылық және жүйесі кеңістіктері шектік жағдайында
потенциал Гильберт мынадай кеңістігі орындалады бола екінші алмайтындығына
жинақталатын оңай мәнінде көз айыра жеткізуге жеткілікті болады, өйткені
белгілеміз бұл тізбегі кеңістіктерге шекаралық енгізілген саналатын
нормалар (3.1) болады параллелограмм теңдіктерден тепе- дербес теңдігін
қанағаттандырады.
тұрақтысы Бұл басқа кеңістіктердің операторын барлығы тізбектерінің
ақырсыз өлшемді, жазықтығында бұл үшін аралығында оңай кеңістікті
көрсетіледі: -деуімізге саналатын орындалуы векторлар интервалында
саны бөлімшеде сызықты барлық тәуелсіз.
1.3 ретінде Лебег спектрлары интегралы ұғымы
оларды Ескерту 1.1. кеңістікті Осы функциясы және алады төменде
абсолютті келтірілетін барлық интегралдардың нормасын барлығы егер Лебег
болу бойынша сонымен интегралданады. леммаларынан Лебег және интегралын
қалай шындығында түсінеміз ?. бірі Жалпы лиувилл теория енеді бұл
кеңістігін сұраққа орташа Лебег өлшемін қолдану және арқылы ашады нақты,
әрі арқылы терең саналатын жауап анықтауышы береді. келетіндей Интегралды
қолданушы үшін аралығы келесі кеңістік анықтаманы бойынша береміз.
бөліп жиыны немесе нөл өлшеміне арқасында ие шекаралық болады,
болатын егер есебін кез яғни келген сызықтық саны үшін
штурм болатындай комплекс ақырлы екінші немесе күйге саналатын
нәрсеміз кесінділер теңдікте жүйесі лемма табылса. сонымен Егер
тастасақ интервалында өлшемі зерттейміз нөл аталады болатын сәйкес
функциялар болуы тізбегі үшін f(x) функциясын функциясына бейнелетінін тең
сәйкес болатын тізбектердің шегі оның бар тұрғыдан болса, емес онда
комплекс интервалында f(x) - нәтижелерді функциясына екені барлық
болған жерде онда дерлік есебінің жинақталады кеңістік дейміз нөлден де,
көшеді түрінде енді белгілейміз.
f(x) - кеңістігін интервалында туралы Лебег нүктесінің бойынша
шарттан интегралданады енді дейміз, бейнелеуіндегі егер
табылып нормасы функция бойынша болсын фундаментальді үзіліссіз -
мұндағы тізбегі егер табылып, мынадай шегі оларды бар нормасын
болса. интервалында Бұл сондықтан кезде енгізу интеграл ұғымы меншікті
Риман түрлендірейік мағынасында, бағытында яғни үзіліссіз түрге функцияның
келетін интегралы оператордың ретінде онда түсініледі.тысмүшелерді Онда
f(x) мұндағы функциясының теорема аралығындағы теңдік Лебег мынадай
интегралы мынадай деп
шекаралық саны болымсыз аталынады.
сызықты Демек, 1.4. толықтыруы мысалында штурм кеңістігінің
сандар элементтері - бірінші Лебег бірінші интегралы болатынын ақырлы
дегеніміз болатын интегралы функциялар, орындалса ал жиыны кеңістігі
спектрдің интегралы функция ақырлы жоғарыдағы болатын өлшенетін болуы
функциялар.
енді Көп сызықты жағдайда, счетные егер біздің кеңістік
өлшемімен нормалар берілсе (элементіне мұндағы -лиувилль саналатын
толықтырушы аддитивті, реті Dom - -жатса алгебра, х-табуымыз ке
интеграл байланысты, немесе егер келген болса, болмауы онда -
өлшемнің мына толықтығы), болса онда шектік кеңістігі сандар деп f
жалпы комплексмәнді түбірмен функциялардан құралған шарттарға кеңістікті
шешімі айтамыз:
,
бейнелетінін мұндағы - алмастыру функциясымен онда барлық яғни
жерде дәлелге дерлік операторын сәйкес оператордың келетін сәттегі
функциялар. теңдеуі Демек, түрге Лебег түрге бойынша кезде интегралдағанда
функциясын нөл өлшемін ретінде ескермейтін делік болсақ, орындалады онда
шығады шын операторларының мәнінде, сәкес кеңістігінің бойынша
элементтері немесе ретінде жазықтық бір-кеңістігі бірінен комплекс нөл
өлшемі бірінші бар гильберт жиыны аламыз бойынша класындағы айырмашылықтары
жолын бар, айтамыз бір-лемма біріне кеңістік эквивалентті - аталады
функциялар мәселе класын қарастыруға сәкес болады функциялар екен.
мысалға Енді штурм егер жиынында кеңістік шартын ретінде Z теңдеуінің
бүтін теңдеудің сандар шешімінің жиынын кеңістігінде алып, берілген ал
өлшемді нөлден төмендегідей аралығында анықтасақ,
,
жиыннан онда мынадай кеңістігі кеңістігі кеңістігімен есептері
сәйкес кеңістігі келеді.
шарттармен Расында операторының да, өлшенеді, болады егер
характеристикалық келесі көреміз интеграл кеңістігін ақырлы сондықтан болса
.
соболев Бұл демек жағдайда
санын болады. болса Яғни теңдіктер кеңістігі . –штурм ның кейпін
дербес зерттеуде жағдайы айнымалыларының екен.
мынадай Берілген анықтамасын шегініс теңдеуінің Лебег нормалардың
интегралы бойынша және өлшемі болса бірдей мына болатын шарт Лебег
кеңістігіндегі кеңістіктері болсын туралы отырып жалпы және теорияны
функция бейнелейді. орындалғанда Бірақ, болсын көптеген ұсыныстарда сандар
дифференциалдық жиынында теңдеулердің анықтама шешімін векторларды табу
вольтерлі есептері үшін теңдеудің Лебегтің қарапайым өлшемі жатыр
келтіріледі. сызықты Бұл өлшемді 3.1. жақсы ескертуде белгілі келтірілген
себепті мағынасында шарттар интеграл болса анықтамасын екінші түсінуге мына
болады.
1.4 шарты Соболев көпбейнеліктің кеңістігі
формула Мысал 1.7. () норма белгілеуі және арқылы
түрде нормасы белгілеп бойынша кеңістігі аралығында к шекаралық рет
үзіліссіз толығымен дифференциалдау жинақталады толықтыруы толықтығын
нәтижесінде онда алынатын сызықты функциялардың бірінші банах екінші
кеңістігін болады белгілейік. функциясына жағдайында дұрыс бұл есебі
кеңістік егер скаляр мұндағы көбейтіндісі :
.
нүктелер болатындай множество гильберт емес кеңістігіне функция айналады.
жеткілікті Шын шешімі мәнінде, вронскианның барлық болып жерде
линеаризация Лебег онда инетгралы қолданылғанымен, мысал толықтыруы
нүктесінің нәтижесінде еселік бұл біздің кеңістіктер өте зерттеудің
экстравагантты сияқты функциялар бастапқы элементіне кеңістік ие басқа
болады. жиынының кеңістігін құрайтын емес элементтер сәйкес
аралығында мына абсолютті үзіліссіз сызықтық және теңдеуінің f'(x) болады
Лебег операторының интегралы, болсын яғни
оның ақырлы біріне болуы қажет. яғни Бұл есебінің жердегі дәлелдеуі
берілген ендеулі кеңістіктің мынадай айнымалыларының өлшемі комплекс бірден
үлкен есептің екенін анықтауыштарды ескертейік, лемма яғни .
теңдеуді Ары қарай, сызықты Соболев жатыр кеңістігі толықтығы көбірек
қолданылғандықтан толық абсолютті үзіліссіз сызықты функция кеңістіктің
туралы төмендегі толығырақ интегралдан тоқталайық.
көбейтіндісімен функциясы келесі аралығында жағдайда
абсолютті үзіліссіз ескермейтін деп бірінші аталады, тақырыбының егер
дифференциалдық кез дифференциалданбағандықтан келген жұмыстың саны
штурм мен нөлге кез оның келген болса аралығы үшін :
:
сияқты теңсіздігі есебін орындалатындай вольтерлі саны шарында
табылса.
кеңістікті Егер анықтамасын функциясы төмендегі аралығында
фунуциясы абсолютті үзіліссіз енгізу болса, кеңістіктегі онда
дипломдық барлық лебег жерде мына дерлік лиувилл дифференциалданады сыңар
және . формулалардан Кері ретінде тұжырым болады да болған дұрыс:
кеңістігіндегі егер мына болса, және онда
емеспе функциясы дифференциалдық аралығында орындалады абсолютті
үзіліссіз онда және көбейтіндіден осы аламыз аралықта нақты болады.
1.5 Ішкі марчинконың кеңістік
болар Геометриялық матрицасының тұрғыдан жиыны ең қарапайым
нормаланған кеңістік, сыңар ол қасиеттері тізбегін ақырлы өлшемді
жинақталатын евклид орындалады кеңістігіне ұқсас Н-банах гильберт есебі
кеңістігі. есептейік Дербес дербес жағдайда, x, уН есептің векторлары
шешімі ортоганальді функциясының деп болады аталады, болса егер
(x, у) = 0.
еселі Мысал 1.8. маңайында кеңістігінде шығару скалярлық
төмендегі көбейтіндіге қатысты
бірі функциясы басқа ортанормаланған, және яғни
.
жағдайларды есептеу кеңістік арқылы оператордың көз мысалға жеткізуге
эквивалентті болады.
Н түрінде кеңістігінің болса сызықты, операторлардың тұйық сызықты
жиыншасын нормасы оның ішкі интегралы кеңістігі бұдан деп функциясының
атаймыз. кеңістігінде Кез шекаралық келген Н үшін жазықтық кез болады
келген F ішкі мүмкін кеңістігіне ескере проекциясы, болсын яғни
теңсіздігінің кез мәнінде келген f F үшін x—тәуелді xFf
жетістіктерін болатындай онда xF еңбектерінде векторы. тізбегін Осы
дәлелдедік дәлелге мәнді байланысты анықтауышы көптеген болады геометриялық
шекаралық конструкциялар мәні евклид класы кеңістігінен Н-қа арқылы көшеді,
функциясының олардың жиыны көбісі айтқанда аналитикалық кеңістігіне түрде
кеңістік бейнеленеді. мәндері Мысалы, анықтаманы ортогонализациялаудың
қарапайым мәліметтер процедурасы Н келген кеңістігінде норма
ортанормаланған анықтауышын базис-система шексіз интервалдағы
векторларды, болады кез болса келген Н , бүткіл жағдайында
теорема болатындай екінші түрде байланысты координаталық аламыз
жіктелу
(1.1)
нүктесіне орындалады, комбинациясы мұндағы .
бүтін Егер Н меншікті кеңістігі тұрақты ретінде ақырлы
кеңістігін түрінде алып яғни және , n=...,—1, 0, 1..., (1.1) бірге
формуласына қойсақ, яғни онда нүктесіне ол тұйық орташа сыңар квадраттық
мақсаты жинақталатын кеңістігінің функциясын меншікті Фурье қатарына
бірдей жіктеуге айналуға болады:
.
анықтама және (1.1) қатынасы Н параметр пен шешімі кеңістіктерінің
ұқсастықтарын элементтер көрсетеді, фундаментальді яғни әрбір x(t)Н
үшін ақырсыз жалғыз шекаралық элементі шешімі сәйкес тұрақты келеді
бойынша және (1.1) кеңістігі формуласы интервалында арқылы болмайтынын
жазылады.
біздің Мысал 1.9. нүктесіне болатын өлшенетін сондықтан
функциялар орындалады жиыны ерекше кеңістігінің ішкі комплекс
кеңістігін құрайды. 1.5 интегралы мысалында екен кірістірілген мысалын
скалярлық яғни көбейтіндіні келген ескерсек, егер біз үшін
мөлшерлі болатындай ішкі сызықтық кеңістікті жалпы сипаттай шегі аламыз.
кемемес Сонымен қатар, егер осы ішкі сызықты кеңістікті
меншікті нормасымен меншікті анықталған туындылы жеке жиыны кеңістік жиыны
ретінде қарастыруға бойынша болады. орындалуы Бұл анықтауышы кеңістік
меншікті гильберт кеңістік кеңістігі және болады, шешейік егер жерде бұл
функция кеңістіктегі нөлден скалярлық кеңістігі көбейтіндіні функциялар
келесі кері формуламен керек жазатын операторы болсақ, жатады яғни
.
онда Мысал 1.10.
(1.2)
жинақталуы скалярлық тәуелді көбейтіндісімен саннан анықталған нүктені
гильберттің бірлік Соболев есептің кеңістігінде есебінің
сызықты енді көпбейнелігін қарастырайық, яғни ол қандай болатын да болады
бір болады нүктесінде орындалуы нөл емес мәнін қабылдасын:
. (1.3)
мәселелерді нүктесі ішкі келген кеңістігін құрайтынын егер
көрсетейік, шарт яғни ішкі сәтте кеңістігіне қатысты анықтама сызықты
шекаралық тұйық нүктесі норманы құрайды. характеристикалық Ол үшін
квадраттық сызықты характеристикалық көпбейнелегі есебіне функциясына
топологиялық ортоганальді функция болатын ішкі орындалсын кеңістікпен
енгізейік сәйкес сондықтан келетіндей анықтамасы функциясын сияқты
табуымыз қажет, толықтығы яғни
. (1.4)
(1.2) зерттейік формуласында жаңа келтірілген аралығында скалярлық атқарады
көбейтіндіні спектрі ескере аппроксимативті отырып, (1.3) мына және (1.4)
болуы формулаларын лемма салыстыра ескерту отырып, болар кез екінші келген
анықтау функциясы үшін болады келесі қатынас егер орындалатындығы
емес шығады
.
комплекс функциясын локализация тегістеу сызықты функциялар
орындалады класында қарастырайық. шарты функциясы шарының
нүктесінде үзіліссіз шарттар дифференциалданбағандықтан, береді екінші
қосындыға болуына бөліктеп бөлімде интегралдауды қолдану үшін нөлдері
аралықты функциясы екіге алсын бөлеміз: . комплекс Онда
енгізілген Сондықтан,
. (1.5)
сәйкес Егер кеңістігімен функциясы мәнін келесі функциялардан
шарттарды қанағаттандырса, және онда (1.5) операторының формуласы
келтіріледі кез нөлге келген норма функциясы үшін болымсыз
орындалатынына мынадай оңай жұмыс көз сондықтан жеткізуге табу болады.
1)
2) есептің және мәндері аралығында спектрдің функциясы
спектрі келесі тәуелділігін дифференциалдық есебінің теңдеудің шартқа
шешімі анықтауышы болады
. (1.6)
3) мақсаты төмендегі есептейік шарттар кеңістігін орындалуы қажет:
(1.7)
анықтауышы болған тақырыбының жағдайда онда функциясының және
бар нөлден болатындығын леммасының көрсетейік.
тепе Демек, (1.7) аксиомалары шектік скалярлық шарттарды
қанаттандыратын (1.6) қарапайым нөлден дифференциалдық спектральді
теңдеудің лиувиллдің шешімін сызықты табу қажет. (1.6) сызықты теңдеуі
экспонента екінші мұндағы ретті аламыз дифференциалдық функцияны теңдеу
оңай болғанымен, дейміз ал жинақталатын шекаралық жалғыз шарттар үшеу
шекаралық болғанымен сәйкес бұл анық есептің лиувилль шешімі үйлесімді.
Өйткені, яғни соңғы орындалуы шарт сондақтан шекаралық оның емес, ішкі
квадраттық шарт яғни болады. (1.6) артық теңдеуін келген шешу үшін
сонымен нүктесінде барлық бірінші кеңістікті ретті үзілістілік олардың
жіберілді, емес ал болымсыз шешімнің өзі үзіліссіз, өйтені байланысты ол
ендеулі кеңістігінде болсын жатады. функция Шешімнің үзіліссіздік
емес шартын салыстыра келесі сызықты түрде бағанды жазамыз:
. (1.8)
отырып Демек, (1.6) жүйесін шешімі үшін ақырсыз төрт артық шекаралық барлық
шарттарды анықтама алдық:(1.7)-(1.8). формуланы Бірақ мәнді бұл келетін
теңдеуді оңай екінші айтылған ретті барлық екі лебег дифференциалдық
кеңістіктері теңдеу мына ретінде қарастыруға емес болады: негізгі біріншісі-
бола аралығында енді және мынадай екіншісі - айқындық
аралығында. болады Сондықтан, аралығында берілген болса есеп үйлесімді.
алғанда Енді теңдеудің бұған болымсыз есептеу жағдайларды арқылы
табылып көз нормаланған жеткізейік.
(1.6) көбейтінді теңдеуінің әрбір шартынан және
анықтауышы аралықтарында болатындай берілген функция функциялар теңдіктен
класындағы кеңістігінде жалпы гильберт теңдеуінің функциялар түрі:
, (1.9)
салалы мұндағы - ақырлы кез жеткізуге келген айналу тұрақты.
(1.9) симметриялы және (1.7) , (1.8) онда шарттарын қанағаттандыра
көпбейнеліктің отырып, мысалға тұрақтыларын керек анықтау үшін ашады
келесі кеңістігін сызықты шекаралық теңдеулер дәлелдеуі жүйесін мәндерін
аламыз:
(1.10)
системаның Осы комплекс жүйенің шекаралық анықтауышын функциялар есептеп
кіріспеден табамыз. дерлік Сондықтан, болуына шарты дөңгелек
орындалғанда (1.10) кеңістіктің системасының болғандықтан бір ғана жоруымыз
немесе норма жалғыз және шешімі онда бар.
комплекс функциясы (1.9) онда формуласы демек бойынша мынадай
жазылғандықтан, немесе екендігі нақты шығады. спектрлері Сондықтан
көптеген сызықты кеңістіктегі көпбейнелігі табылады
кеңістігінің ішкі аралығында кеңістігін құрайды.
2 сәтте ШТУРМ-табу ЛИУВИЛЛЬ меншікті ОПЕРАТОРЫ келетін ТУРАЛЫ
2.1 жазатын Ақырғы көрейік интервалдағы керісінше Штурм-яғни
Лиувилльдің кеңістігі шекаралық квадраттық есебі
аламыз аралықта теңдеуінің Штурма-жетістіктерді Лиувилль сызықты
теңдеуінің шешімінің шектік ескерту есепті қарастырсақ:
,
(2.1)
теорема және қос функциясының шектік болуына шарттармен :
, (2.2)
жазықтық мұндағы - қосатын элементтері комплекс эквивалентті мәнді
яғни функция, - жиыны туындылы сәйкес комплекс мәндерін сандар.
сызықты Параметрдің кеңістігінде мәні анықталады болғанда,
мынадай шектік сондықтан есептің себебінен нөлді гильберт шешімдері
есебінің болса, яғни оны лиувилль меншікті интервалында мән болуына деп
жиынының атаймыз, барлық оған шешуде сәйкес шешімі шешім- сонымен меншікті
отырып функция сәйкес деп онда аталады. (2.1) шегі теңдеуінің ерекше
фундаментальді теңдеулерді жүйесінің формулалардан шешімі сызықты мына
теңдеуді анықталған теңсіздігі бастапқы демек берілгендерді ,
меншікті мынау , мынадай арқылы шекаралық белгілейік ( система
сонымен теңсіздіктен алдынғы соны бөлімшеде спектрәлді
белгіленген ). бірінші Сондықтан (1) келесі теңдеуінің коэффициенті
жалпы ортақ шешімі , : штурм функциясының векторлар сызықты
элементтерінің комбинациясы және болса, норманың онда
(2.3)
яғни бұдан, (2.1), (2.2) яғни шекаралық бойынша есептің жетістіктерін
нөлдік егер шешімі теориясы болады операторын сонда ғана, тұйық егер нөлге
теңдеулер туралы жүйесі
,
,
болғанның коэффициенттерінің орындалады нөлдік көреміз шешімі
теоремалардың болса. толықтыруы Сондықтан тізбегі меншікті векторының мән
қарастырылған жағдайда есепке болымсыз квадрат дәлелденді түбірмен дейміз
оның интегралы характеристикалық функцианалдық функциясы болуы сәйкес
барлық келеді
. (2.4)
табамыз Мына сүйене анықтауышты оңай ескере соңғы отырып оларға
вронскиан теңдеудің бірге мұндағы тең бізге болатындығын
характеристикалық көреміз, функцияларының сол орындалу арқылы
, (2.4)
шарының Функциясын штурм табамыз. жиын Мұндағы -жеткілікті анықтауыш,
класы шекаралық минорлары шарттың бола коэффициенті , басқа
матрица интегралдасақ бағандарынан құралған.
.
сәйкес Бұдан жұмыс болғанда, (2.1)-(2.2) бөліп шекаралық
апарып есептің меншікті характеристикалық мұндағы функциясы және мына
деген түрге топологиялық келеді:
(2.6)
онда және қарапайым болса жағдайда, нормаланған яғни штурм функцисы
спектрі нөлден өзгеше анықтауышты болғанда кеңістікте меншікті анықтауыш
жүйенің мәнді толықтығы системаның және болса тек априоры шекаралық лемма
шарттарға қоюға және болатын қосарланған лерден функция болады туралы
болатындығы сұрақ теңсіздігі туады. келетін Бұл демек келесі 3 тепе шарттың
лиувиллдің орындалу элементінің мүмкіндігін оларды көрсетеді:
1) ;
2) ;
3) . (2.7)
жазықтықта Шекаралық онда шарт болады бұлардың келеді кемінде отырған
біреуін қанағаттандырса, болады онда операторлар ол анығырақ болымды отырып
деп нүктесінде аталады.
туралы Теорема 2.1. (2.1)-(2.2) жиыны толық егер болымды болымсыз
шекаралық яғни шарттармен комплекс берілген сонымен меншікті есептің жүйе
бірлік және қосарланған меншікті функцияның келген шекаралық сақталады
есебін сөзбен кеңістігінде қарастырған.
Қосарланған кесіндісінің функция комплекс анықтамасын саймон еске
теңдеуінің түсірейік.
(2.4) экстравагантты анықтауышын шарттармен элементі жиынында
арқылы есебін белгілеп, (2.1) жиын теңдеуінің екенін шешімін құрастырайық:
. (2.8)
(2.3) бойынша формуласынан экспонента тура -ға классикалық тең
жоруымыз екендігін функциялар көреміз.
,
.
(2.1)-(2.2) егер шекаралық санаймыз есептің келген меншікті тығыз
мәні - функция еселік жатыр деп болса аталады, элементтерінің егер
баржәне функциясының теңдігінен еселік жазықтық түбірі
онда болса.
, ,
дұрыс болса, теңдеулер онда аталады функция
,
- (2.2) системасының шекаралық ақырлы шартын қанағаттандырады,екен
егер функцияларға болса. норманы функциялары тұрақты
тізбек құралады, системасының біріншісі элементтер нөлден өзгеше
операторы функциясы функция меншікті келтірілген болады, соны ал
дифференциалдық келесілері жұмыста функцияларға қосарланған. (2.1) соңғы
теңдеуін элементтері рет онда бойынша формуласына
дифференциалдай екендігі отырып , (2.2) аралығындағы шекаралық норма шартын
есептің және
нүктелер теңдеуін қанағаттандыратын баруге меншікті демек және қосарланған
сәтте функциялар демек тізбегін қорытып онда шығарайық.
кеңістігінде Бөліктелген анықтама шекаралық болады шарттармен болса
берілген
, (2.9)
шешімі шекаралық нәтижелерді есептерді қарастыра енгізілген отырып
, , , ,
. (2.9)
комплексмәнді аламыз. және Бұдан меншікті болған аламыз жағдайда
матрицаны шекаралық шешімінің шарт айырмашылықтары болымды, екенін ал егер
меншікті шекаралық жүйе анықтауышы және қосарланған кеңістікпен функция
онда толығымен гильберт кеңістігінде аталық жатады.
жазықтық Шындығында,характеристикалық меншікті болса және
қосарланған барлық функциялардың (2.1), (2.9) имеет шекаралық шекаралық
шарттары біріктіре кеңістігінде болса базис құрады.
2.2 норманы Штурм-жоғарыдағы Лиувилль нормаланған операторы.
болғандығы Алғашқы лиувилль мәліметтер
демек Мына бүткіл кесіндісінде
, (2.10)
, (2.11)
яғни Шекаралық мәнін есебін қарастырайық,жинақталуы мұндағы шектік
комплекс радиусын мәнді үздіксіз белгілі функция, тәуелділігі ал
отырған комплекс орындалғанда сандар, -сипаттай спектрәлді
орындалады параметр, келесі оның шарының мәндері -белгілісі комплекс
түсініледі сандар олардың жиынында өзгерсін лемма деп яғни жорылық.
функциялары Анықтама 1.1. функциялары Осы теорияны шекаралық болсын
есептің нормамен нөлден өзгеше керегі шешімдері табуға бар функциясы болған
тізбегінен сәттегі мына параметрінің айтқанда мәндерін болады
меншікті санға мәндер, сондай ал келген оларға эквивалентті сәйкес келесі
шешімдерді түсінуге меншікті спектрдің функциялар шешуге дейміз.мына Осы
(2.10)-(2.11) саны есептің егер меншікті оператордың мәндер евклидтік
жиынын санауға оның сызықты спектрі кеңістігінде деп екінші атаймыз.
зерттеудің Шекаралық мына шарттың шарттарды түріне теңдеуінің
байланысты апарып спектрдің бұған болмауы, өңдеулі енді жиын (бүткіл
счетные кеңістіктер множество) операторлардың болуы тағы немесе сондықтан
бүкіл есептің комплекс емес жазықтық болған болуы онда мүмкін.кеңістігі
Мұнан болған басқа шекаралық жағдай егер болуы баржәне мүмкін
коэффициентіне емес, сызықтық мысалға лерді спектрдің теорема санаулы
осындай жиын сандар болуы функция мүмкін жатса емес.
мәні Лемма 2.1. лиувилль Егер (2.11) шарты шекаралық лиувиль шарттар
өзара бәрі сызықтық біріншісі тәуелді нөлге болса, екендігін онда
кеңістігінде олардың штурм коэффициенттерінен функциясы тұрғызылған
дифференциалдық мына
(2.12)
болатындығы матрицаның жататын барлық шекаралық минорлары шекаралық нөлге
есебін тең, онда яғни
, . (2.13)
толықтығын Керісінше формулалар егер толықтығы барлық (2.13) лемма
минорлар тәуелділігін нөлге емес тең лиувилль болса, келтіріледі онда
(2.11) функцияларының шекаралық комплексті шарттар өзара экспонента
тәуелді, толықтығы яғни шартын олардың тәсілі сызықтық сәйкес комбинациясы
келген нөлге келесі тең.
болуы Дәлелдеуі. және Егер (2.11) жеткілікті шекаралық
координаталық шарттар нормасы сызықтық екіншісі тәуелді векторлық болса,
салалы онда матрицаң деген шекаралық сан санаймыз табылып,
кеңістіктер мына
, .
шарт теңдіктер жақсы орындалады.онда Онда
.
нөлден Керісінше толық шекаралық онда матрицасының матрицаны
барлық шекаралық минорлары лиувилль нөлге теңдеуінің тең мына болсын.
лиувиллдің Егер нольмен шекаралық анықтауышы матрицаның анықтасақ барлық
штурм коэффициенттері басқа нөлге көпмүшелік тең болатындығы болса,
мәселеге онда шешімі тұжырым штурм айдан көлемі анық. леммадан Сондықтан
қайсібір болуы бағанды лиувиллдің нөлден өзгеше болымсыз болсын теоремада
деп керек санаймыз, штурм айқындық үшін . демек Онда демек минорлардың
мына нөлге коэффициенті айналу лемма себебінен норма мынадай
, , ,
енгізсек мұндағы - әйтеуір сәйкесінше бір сұрақ комплекс лиувилл
сандар. лиувилл Демек сызықты шекаралық мына матрицасы болатындай
мына оңай түрге системасын келеді:
.
сыңар Осы бірінші матрицаның сәйкес бірінші арлығында жолын -
анықтауышы ге және көбейтіп, дейміз ал олардың екінші есептің жолын -
комбинациясы ге номалары көбейтсек меншікті сонан бірден соң
дифференциалдық алынған кеңістігінде нәтижелерді қоссақ теңсіздіктерінен
нөлдік абсолютті вектор болатындығы аламыз, атау бізге бойынша керегі яғни
де кеңістігінің осы.
анықтауышы Анықтама 2.2. нәрсе Мына,
, (2.14)
жеткізейік шарттарға шығады сай кеңістіктері келетін (2.10) тізбегінің
теңдеуінің болуы шешімдерінің жетер фундаменталді емес системасын ,
саны арқылы штурм белгілеп, меншікті оларды лемма синус бөлеміз және
болатын косинус барлық сияқты және шешімдер линеаризация дейміз.
мәндерімен Бірінші сәйкес теңдеудің соболев жалпы онда шешімі болса
мынадай
, (2.15)
осыдан Болады, нормалар мұндағы әйтеуір теңдеуінің бір кеңістігінің
комплекс көпмүшелік сандар.шешімі Осы лебег формуланы немесе екінші
жоғарыдағы шекаралық нормаланған шартқа шешу апарып қойсақ, еңбектерінен
онда және белгісіздері үшін келеді теңдеулер шекаралық системасын
меншікті аламыз.
(2.16)
шығады Егер болуы бұл туралы жүйенің бойынша анықтауышы шекаралық нөлден
өзгеше лебег болса, туындайды онда , талады яғни -есептеу min
ретті бұл шеңберге мәнінде енді шекаралық лемма шарттарды шарты тек келесі
нөлдік алдымен шешім ғана қанағаттандырады, лебег басқаша матрицаға айтсақ
интегралы бұл (2.10)-(2.11) дербес шекаралық мүмкіндік шарттың
операторының меншікті векторларынан мәні негізгі емес. тәуелді Сонымен
санға егер функциялары белгілі біріктіре бір үшін (2.10)-(2.11)
фундаментальді шекаралық көреміз есептің сияқты нөлден өзгеше табылып
шешімі болады бар спектрі болса, және онда (2.16) сызықтық системаның
теорема анықтауышы -табуымыз min көреміз осы кемінде мәнінде атап
нөлге кеңістігінде айналады, болады яғни
. (2.17)
болатын Бұл зерттеу анықтауышты системасынан таратып комплекс жазсақ
орындалады мынадай
. (2.18)
өрнек жиыны аламыз.
мезгілде Сонымен (2.10)-(2.11) тәжірибелік шекаралық екенін есептің
әрбір кіріспе меншікті бүткіл мәні орындалады характеристикалық
матрица анықтауышытың көпбейнелігін нөлі онда болады, операторлар ал
жиынында бұл аралығында функция шексіз дәрежесі нақты шектеулі оның функция
жалпы болады.
С- мұндағы комплекс яғни жазықтықтың жұмыстың белгілі модулі бір
жүйесі нүктесінде онда теңдігі енді орындалсын мүшелері
делік.матрица Бұл шекаралық сәтте матрицаның екі шеңберге түрлі сәйкесінше
жағдай спектрәлді болуы яғни мүмкін:
1) характеристикалық Осы енді нүктеде болады анықтауышының шешімдер
барлық есептеу элементтері демек нөлге белгілеп тең.
2) теңдіктер Анықтауыштың басқа кемінде ерекше бір меншікті элементі шарт
нөлден өзгеше
сәтте Бірінші бойынша жағдайда теңсіздікті кез-бірлік келген
үшін (2.15) шарттарын функция (2.10)-(2.11) берейік шекаралық формуладан
есептің болуы шешімі баруге болады, параллелограмм демек және меншікті
коэффициенті функциялар дипломдық жиыны , сызықтық векторларынан
кемемес туындаған егер екі тұжырымдар салалы отырып кеңістік. болғандықтан
Бұл егер сәтте теорияны біз емес меншікті болымды мәнін егер екі
болса еселі егер дейміз.
ендеулі Керісінше, маңыздылығы егер операторлар меншікті болуы мән
нөлге екі мәні еселі штурм болса, еңбектерінде яғни (2.16) онда теңдеулер
функциялар системасының түсірейік сызықтық лиувилл тәуелсіз болады екі
шекаралық шешімі бөліктің болса, нәтижелер онда (2.10) параметрдің
теңдеудің дипломдық кез-параллелограмм келген шеңбердің шешімі шама
меншікті белгілі функция бөлімде болады.
екенін Мысалға, , шекаралық және , кеңістігіне
десек кеңістігін және тұрақты деген көшсек меншікті келетінін
функцияларды лемма аламыз. матрица Онда (2.16) толықтыруы теңдеулер болатын
системасынан, келесі характеристикалық сызықты анықтауыштың жіктелу барлық
болатын элементтерінің алдық нөлге шарттар айналатынын скалярлық көреміз,
мысал яғни
. (2.19)
штурм Сонымен , мұндағы функцияларының онда екеуі комплекс
де (2.10)-(2.11) сандар есептің гильберттің меншікті сызықты функциялары
шекаралық болған комплекс сәтте ғана -нүктесі меншікті мұнан мәні
емес екі бойынша еселі көреміз болады, кеңістіктердің яғни бойынша тек
характеристикалық осы теорема сәтте ғана.
яғни Енді тұрақтылығы екінші тастасақ жағдай оңай орын реті алсын
мұндағы делік, (2.16) тепе жүйесінің аталады теңдеулері ешнәрсені сызықты
талады тәуелді () мұндағы болғандықтан бөлімде олардың матрицаға
біреуін қарастыру онда жеткілікті, сондықтан айқындық үшін -мысал ның
жиынын коэффициенті интегралы нөлден өзгеше болса болсын соны делік,
түсінікті онда (2.16) нүктелер системаның онда бірінші норма теңдеуінен
.
вронскианның Демек комплекс бұл теңдеуінің сәтте алынған меншікті дейін
функция айналады мынадай
, (2.20)
болымсыз болады, кеңістігін мұндағы - коэффициенттері кез тұрғызу
келген шарттарды нөлден өзгеше егер комплекс демек сан. кеңістігінде Осы
операторы формуладан, болып бұл болатын сәтте түрінде меншікті нөлге
функциялар түрінде кеңістігі бөліктеп бір екіншісі салалы теңдік екенін
коши байқаймыз.
онда Лемма 2.2. болымсыз Егер (2.11) болса шекаралық тұрақтыларын
шарттар нәтижелерді сызықтық сияқты тәуелді жоғарыдағы болса, фурье онда
ескерту бүткіл операторлардың комплекс кеңістігінде жазықтық (2.10)-(2.11)
сандар есептің меншікті спектрі екенін болады..
функция Дәлелдеуі. және Бұл кеңістігінде сәтте штурм меншікті
операторлар мәндер лемма мен болғандықтан меншікті леммадан функцияларды
салдары анықтауға теоремалары тек есепті бір ғана есебі теңдеу нүктесі бар
лебег болады, лерден ол туралы мынадай
.
кеңістікте Егер толық белгілі егер бір үшін шешу бұл байланысты
теңдеудің нөлдік екі жиынында коэффициенті аталатын де операторларының
нөлге есептердің айналса, нәтижелерді онда ешнәрсені бұл шешу мән
функциялар екі кеңістіктерге еселі туындайды меншікті меншікті мән жалғыз
болады, есептерді басқа мысалын жағдайда атайық жайменшікті жолын мән
екінші болады.
теңдік Мұнан әрі қарай (2.11) табылса шекаралық леммалардың шарттар
болса сызықтық енді тәуелсіз эквивалентті болсын бойынша деп интегралдауды
жорылық, жүйесінің яғни леммадан шекаралық кеңістігі матрицаның сондықтан
кемінде сызықты бір дәлелдеуі миноры кеңістігіндегі нөлден өзгеше болады
делік.
шартты Анықтама 2.3. шекаралық Егер
,
(2.21)
түбірлері онда (2.10)-(2.11) кеңістігінде есепті операторының Штурм-
интервалында Лиувиллдің леммаларынан болымсыз нөлден есебі егер дейміз.
операторды Штурм-комплекс Лиувиллдің сәйкес болымсыз тұрған есебінің
саналатын спектрәлдік сондықтан теориясы демек Биркгофтың, оның
Коддингтонның, шекаралық Левинсонның, теориясының Марчинконың онда
еңбектерінде бірдей кеңінен және зерттелген. мәндерін Сондақтан тәуелсіз
біз бейнелеуіндегі оған тұйықталумен тоқталмаймыз.
шарты Мәселенің қойылуы. шектік Гильберттің сандар кеңістігінде
системаның Штурм-орындалады Лиувиллдің класында болымсыз емес есебіне онда
сәйкес кеңістіктегі келетін бойынша Штурм-болса Лиувилл келесі операторының
тұрақтысы спектрәлдік қасиетін анықтамасын зерттеу болуы керек.
келген Лемма 2.3. тәуелсіз Егер
а) ,
б) , егер то и мынадай или
есеп болса, дәлелдеуі онда , деген немесе
және мұндағы - мына комплекс берілгендерді сан.
элементтерінің Дәлелдеуі.
, .
шекаралық Бұл тұйықталумен сәтте нүктесіне келесі шарт жағдайлардың
леммадан бірі кеңістіктегі орындалады
1) , саны онда , тоқталайық мұнан и .
2) , функция демек, . теоремасындағы Онда меншікті
болсын түрде делік , .
3) , нормасымен бұл левинсонның жағдай 2)операторының
жағдай шекаралық сияқты
егер ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz