Банах жиыннан кеңістігі

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 45 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ

Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Дифференциалдық теңдеулер теориясының классикалық есебімен салыстырғанда дифференциалдық операторлар теориясы көптеген жаңа ұстанымдағы есептерді қоюға және оларды шешуге мүмкіндік ашады. Мысалы, сызықтық емес операторлар үшін оның қозғалмайтын нүктелер жиынының құрылымын оқып-үйрену және оның аймағындағы оператордың әсері, сонымен қатар осы ерекше нүктелердің классификациясы, сол сияқты берілген дифференциалдық оператордың ауытқуы кезіндегі қалыптылығы туралы мәселелерді қарастыру қатты қызығушылық туғызуда. Оның ішінде Штурм-Лиувилль теңдеуінің алар орны ерекше.

Жалпы алғанда сызықты Штурм-Лиувилль операторының спектральді қасиеттері А. М. Молчанов [1], Т. Като [2], М. Рид және Б. Саймон [3], М. Ш. Бирман [4], В. Г. Мазья [5], М. Отелбаев [6], К. Х. Бойматов [7] және т. б. еңбектерінде жақсы зерттелген. Ал бұл жұмыста сызықты емес жағдай қарастырылған. Бұл жағдайға қатысты жақсы нәтижелерді М. Б. Мұратбековтың [8], Т. Ш. Калменовтың [9-10] еңбектерінен табуға болады.

Зерттеу жұмысының мақсаты . Дипломдық жұмыстағы ғылыми-ізденіс жұмыстарының негізгі мақсаты келесі мәселелер болып табылады:

- Штурм-Лиувилль операторының меншікті мәндерін зерттеу;

- сызықты емес теңдеуді зерттеуде көмекші сызықты теңдеуді қарастыру;

- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің шешімінің бар болатындығын көрсету;

- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің шешімінің тегістігін көрсету;

- алынған шешімнің аппроксимативті қасиеттерін анықтау.

Зерттеу объектісі: Жұмыстың зерттеу объектісі сызықты емес төмендегі Штурм-Лиувилль есебі болып табылады:

\[L y=-u\phi(x)+q(x,u)u=f\]

\[u(a)=u(b)=0\]

Бұл есепті шешу үшін келесі көмекші есепті қарастырамыз:

\[L_{\nu}y=-u\phi(x)+q(x,\nu)u=f\]

\[u(a)=u(b)=0\]

Яғни алдымен сызықты жағдайды зерттейміз.

Зерттеу әдістері: линеаризация (сызықтылау), локализация, енгізу теоремалары, аппроксимативті бағалаулар.

Зерттеу жұмысының ғылыми жаңалығы. Ғылыми-ізденіс жұмыстарының жаңалықтары ретінде төмендегі тұжырымдарды атауға болады:

- сызықты емес Штурм-Лиувилль есебін шешуде көмекші сызықты есепті қарастыруға болады;

- сызықты емес Штурм-Лиувилль теңдеуінің әлсіз шешімінің бар болуы және тегістігі;

- сызықты емес Штурм-Лиувилль есебінің шешімі үшін келесі аппроксимативті қасиет орындалады:

мұндағы

\[{\bar{n}}\succ0\]

- тұрақты сан.

Зерттеулердің тәжірибелік маңыздылығы. Дипломдық жұмыс теориялық тұрғыда жазылған. Алынған нәтижелер екінші ретті дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде (дербес жағдайда Штурм-Лиувилль теңдеуін зерттеу бағытында) өз үлесін қосары анық.

Жұмыстың көлемі және құрылымы. Дипломдық жұмыстың жалпы көлемі 52 бет. Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен (30 атау) тұрады. Бірінші бөлім кіріспе бөлім ретінде берілген. Бұл бөлімде негізгі тақырыпқа қатысты функционалдық анализдің қажетті ұғымдары мен түсініктері қарастырылған. Екінші бөлімде сызықты Штурм-Лиувилль операторының қасиеттері қарастырылған және сызықты емес Штурм-Лиувилль есебін зерттеу нәтижелері келтірілген.

1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ КЕҢІСТІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ

1. 1 Нормаланған кеңістік

Функцианалдық тандаудағы көбінесе кездесетін жалпы кеңістіктер сызықтық (векторлық) топологиялық кеңістік, яғни C комплекс сандар өрісінің (немесе R нақты сандарының )

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

сызықтық кеңістік болып табылады. Бұл кеңістік бір мезгілде топологиялық және сызықты операциялар осы кеңістікте үзіліссіз. Дербес, бірақ өте қажетті жағдай,

\[{\mathcal{C}}\backslash\]

сызықтық кеңістігінде қасиеттері қарапайым евклидтік кеңістігінің векторлар ұзындығының қасиеттерінің жалпыламасы болатындай векторлар нормасын (ұзындығын) сиғызуға болады. Дәл

\[\sigma\in O\]

элементінің нормасы деп,

\[{\overline{{\sigma}}}\geq0\]

және

\[\left|{\tilde{\sigma}}\right|=0\]

тек қана

\[{\tilde{\sigma}}=0\]

болған жағдайда орындалатын

\[\left\|{\vec{O}}\right\|\]

- нақты санын атаймыз.

\[\textstyle{\mathcal{X}}_{n}\to\;{\mathcal{X}}\]

, егер(

\[n\ \mathbb{G}\ \intercal\infty\]

)

\[\left\|x_{n}-\,x\right\|\Rightarrow\,0\]

болса

және

\[\left\|{\tilde{O}}+\partial\right\|\leq\left\|{\tilde{O}}\right\|+\left\|{\tilde{O}}\right\|,\]

- ”үшбұрыш теңсіздігі„ орындалса

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

сызықтық кеңістігіндегі екі түрлі

\[\|{\hat{\theta}}\|^{0}.\]

және

\[\|{\hat{\theta}}\|^{2}\]

нормасын енгізейік.

\[\|{\hat{\theta}}\|^{0}.\]

және

\[\|{\hat{\theta}}\|^{c}\]

номалары эквивалентті деп аталады, егер кез келген

\[{\tilde{\sigma}}\in G\]

үшін

\[a\left\|\vec{O}\right\|^{(1)}\mp\left\|\vec{O}\right\|^{(2)}\ \le\beta\left\|\vec{O}\right\|^{(1^{-})}\]

теңсіздігі орындалатындай

\[a\ >\!\rho\!\rho,\quad>0\]

сандары табылса. Бұдан еуі норма сызықтық кеңістікте эквивалентті

\[\stackrel{\sqrt{-\gamma}}{\longleftrightarrow}\]

әрқайсысы бір-біріне тәуелді болатыны анық. Бұл жағдайда егер Х сызықтық кеңістігінде екі эквивалентті норма және Х ₁ және Х ₂ - сәйкесінше нормаланған кеңістіктері берілсе, онда берілген кеңістіктердің бірінде жинақталатын қатар, екінші кеңістікте де сондай шекке жинақталады. Бұл жайт, әр кеңістікте өзімізге жұмыс істеуге ыңғайлы эквивалентті нормалардың бірін таңдауға мүмкіндік береді.

Егер қарастырып отырған Х кеңістігіміз - ақырлы өлшемді болған жағдайда, норманы таңдау кеңістікті өзгертпейді. Анығырақ: Кез келген ақырлы өлшемді сызықтық кеңістікте барлық нормалар эквивалентті.

Мысал 1. 1. Евклид кеңістігі.

\[{\tilde{A}}^{n}\]

-сызықты жүйесі мүмкін болатын барлық n- өлшемді

\[{\boldsymbol{x}}=(x_{1},\,{\boldsymbol{x}}_{2},....,\,{\boldsymbol{x}}_{n})\]

векторларынан құралсын

\[{\boldsymbol{R}}^{n}\]

. Егер

\[{\tilde{A}}^{n}\]

- кеңістігінде келесі нормалардың бірін енгізе алсақ, яғни

\[\left\|x\right\|=\operatorname*{max}_{1\operatorname{f}k}\left|x_{k}\right|\]

немесе

\[\left\|x\right\|_{p}=\underbrace{\frac{\alpha}{\bigotimes}}_{\widetilde{Q}}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}{\frac{\ddot{\vartheta}}{\frac{\mid}{\cdot\ddots}}}_{\widetilde{\vartheta}}\quad,\,p\,\ \geq1\]

онда

\[R^{n}\]

- евклидтік кеңістігі деп аталатын нормаланған кеңістікті аламыз. Нормалардың аксиомалары сөзсіз тексеріледі. Бұл кезде, екінші норма үшін үшбұрыш теңсіздігі ақырлы қосынды үшін Минковский теңсіздігінің қолдану салдары болып табылады

\[\begin{array}{l}{{\alpha_{\alpha}^{N}}}\\ {{\bar{\mathrm{e}}_{k}^{N}\bar{\tilde{A}}\left|x_{k}+h_{k}\right|^{p}\frac{\bar{\tilde{\mathrm{Q}}^{p}}}{\bar{\tilde{\omega}}}\ \mathrm{~}\tilde{\mathrm{s}}^{N}\mathrm{~}\underbrace{\bar{\tilde{\mathrm{e}}^{p}}}{\tilde{\mathrm{e}}_{k=1}^{p}}\ +\overbrace{\tilde{\mathrm{e}}}^{N}\sum_{k=1}^{1}|\eta_{k}|^{p}\stackrel{\tilde{\bf{\tilde{\tilde{\tilde{\mathrm{Q}}}}^{p}}}}{\tilde{\mathrm{e}}_{k=1}^{p}}|\eta_{k}|^{p}\stackrel{\ddot{\tilde{\ {\phi}}_{p}}}{\tilde{\mathrm{e}}_{k}^{\prime}}|}}\end{array}\]

Егер векторлар «координатасы» комплекс сандар болса, онда

\[\left\|x\right\|=\operatorname*{max}_{1\operatorname{t}k\leq n}|x_{k}|\]

немесе

(мұндағы

\[\left|a\right|={\sqrt{\left(\operatorname{Re}a\right)^{2}+\left(\operatorname{Im}a\right)^{2}}}\]

\[a\ \in\!C\]

-комплекс санның модулі) нормасымен анықталған

\[{\cal X}=\left({\cal X}_{1},\,{\cal X}_{2},....,\,{\cal X}_{n}\right)\]

векторының комплекс бағанынан құралған сызықтық система нормаланған кеңсітік болып және евклидтік кеңістік тәріздес

\[\textstyle C^{n}\]

деп белгіленеді.

\[x_{0}\in X\]

нүктесі

\[M\subset X\]

жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер

\[{\mathcal{X}}_{0}\]

нүктесінің кез келген маңайында

\[{\mathcal{X}}_{0}\]

нүктесінен өзге болатын М жиынының кемінде бір нүктесі жатса. Басқа сөзбен айтқанда,

\[{\mathcal{X}}_{0}\]

\[\mathcal{M}\]

жиынының шектік нүктесі дейміз, егер кез келген

\[S_{r}\left(x_{0}\right)=\left\{x\,\widehat{1}\,\,\,X:\Bigl\lVert x-\,\,x_{0}\rVert шарында

нүктесі табылса.

\[x_{0}\in X\]

нүктесі

\[M\subset X\]

жиынының шектік нүктесі болуы үшін

\[{\mathcal{X}}_{0}\]

\[\chi_{k}\,\,\,1\,\,\,\chi_{0}\,,\,k\,=\,{\bf l.}\sum_{\gamma}^{}{\bf\gamma}_{\gamma}.\ast\]

. нүктесіне жинақталатын

\[\{x_{k}\}\subset M\]

тізбегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

\[M\subset X\]

, ал

\[\stackrel{\mathcal{}}{=}\quad\stackrel{\rho}{\mathcal{}}\]

- М жиынының шектік нүктелер жиыны болсын. Онда

\[{\widehat{I\,}}=\hat{I\,}\ \cup\hat{I\,}\ ,\]

жиыны М жиынының тұйықталуы деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда,

\[\widetilde{\mathcal{I}}\]

- бұл құрамында М жиыны бар өте кішкентай тұйық жиын.

\[{\hat{I}}={\hat{I}}\]

болатын М жиыны тұйық деп немесе берілген жиын тұйық деп аталады, егер шектік нүктелерінің бәрі өзінде жатса.

\[\widehat{\langle\Im\rangle}\]

сызықтық кеңістігіндегі

\[\stackrel{\frown}{\bigotimes}\]

жиыны сызықты көпбейнелік деп талады, егер кез келген

\[\widetilde{O},\,\widetilde{O}\in\widetilde{O}\]

және

сандары үшін

\[a\,\widetilde{\sigma}+\,\beta\mathcal{S}\in\widetilde{\mathcal{O}}\]

сызықтық комбинациясы

\[\stackrel{\frown}{\bigotimes}\]

жиынында жатса.

\[\stackrel{\frown}{\bigotimes}\]

жиыны

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

жиынының бір бөлігі болғандықтан, сызықты көпбейнеліктің анықтамасынан

жиыны да сызықтық кеңістік екендігі шығады. Мұндай

жиыны нормасы бойынша

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

жиынында тұйық болмайтынын ескерту қажет.

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

(

\[\vec{\cal O}\,\,\subset\vec{\cal O}\,\]

) нормаланған кеңістігінде жататын

сызықты көпбейнелігін

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

жиынында тығыз дейміз, егер

\[{}^{\circ}\,{\tilde{\sigma}}\in O\]

саны үшін

\[\|x\ -{\vec{\sigma}}\|<\varepsilon\]

теңсіздігі орындалатындай

\[{\overline{{\sigma}}}\in{\widehat{O}}\]

элементі табылса. Демек, егер

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

жиынында тығыз болса, онда

\[{}^{\circ}\,{\tilde{\sigma}}\in O\]

үшін

\[\displaystyle{\mathcal{X}_{k}}\stackrel{3}{\mathcal{Y}_{4}}\ _{\mathcal{X}\otimes\infty}\mathbb{G}\times\]

болатындай

\[\{x_{k}\}\subset{\tilde{O}}\]

тізбегі табылады.

Жоғарыда айтылған анықтаманы тұйықталумен салыстырсақ, « жиыны

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

жиынында тығыз»,

\[\vec{\cal O}\,\,\subset\vec{\cal O}\,\]

\[{\vec{\sigma}}\ast{\vec{\sigma}}\]

тұжырымы

\[\stackrel{\frown}{\bigotimes}\]

сызықты көпбейнеліктің

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

нормасы бойынша тұйықталуы

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

-пен сәйкес келетінін байқаймыз. Бұл кезде,

\[\widehat{\langle\Im\rangle}\]

кеңістігін

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

нормасы бойынша

\[\stackrel{\frown}{\bigotimes}\]

сызықты көпбейнеліктің толықтырушысы деп те атаймыз. Әрбір сызықты нормаланған

\[\widehat{\langle\Im\rangle}\]

кеңістігінің толықтырушысы бар және бұл толықтырушы

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

-ті өзіне көшіретін изометриялық бейнесіне дейін дәл болатын жалғыз жиын.

Спектральді теорияның ең басты сұрақтарының бірі- меншікті және қосалқы функциялар жүйесінің толықтығын қарастырып отырған кеңістікте зерттеу.

\[\langle{\mathfrak{I}}\rangle\]

кеңістігіндегі

\[\left\{M_{k}\right\}\]

жүйесінің теореманы толықтығы келесі көбінесе

\[\left\{{\cal M}_{k}\,\right\}\,\]

кеңістігі векторына мына тартылған, егер яғни

\[\left\{M_{k}\right\}\]

функция векторының көреміз барлық табылады сызықты төрт комбинациясынан құралған бастапқы сызықты демек көпбейнеліктің Х ретінде жиынында теңдеуінің барлық біріне жерде нүктелердің дерлік анықтама тығыз егер екенін бойынша дәлелдеу және нәтижесінен белгілі шығады. аймағында Берілген лебег элементтердің қарастырып онда отырған сыңар кеңістікте лемма сызықты қабықшасы еселік тығыз мұндағы болуы үщін «зерттейік жиі» жағдайда немесе «келетін жақын» есебі орналасуы қажеттігі және туралы скалярлық келесі нормасымен Теоремада және айтылады.

сияқты Теорема 1. 1. (жағдай Мюнц) .

\[\textstyle\int_{{\cal X}}n_{k}\mathrm{~\bigwedge~}_{\ell=0}\]

жолмен функциясының кеңістік сызықты қабықшасы (кеңістікті мұндағы

\[n_{0} ,

\[\eta_{v}=0\]

)

\[C[a,b]\]

сызықтық кеңістігінде келген тығыз айналса болуы үшін

\[\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{n_{k}}}=+\infty\]

қатарының бірлік жинақталуы қажетті шарты және жағдай жеткілікті.

мұндағы Нормаланған және кеңістіктердің егер толықтығын сәтте түсіндіру үшін анығырақ келесі есебі лемманы қарастырайық.

онда Лемма 1. 1. (дипломдық Тізбектердің функция жинақталуы есепті туралы) . атап Кез болса келген

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\subseteq X\]

нүктесі жиыны үшін кеңістіктері нормаланған (келген толық екіге емес мынадай болуы тепе мүмкін)

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

сызықты кеңістігінде жазылған келесі алсақ тұжырымдар кеңістігі эквивалентті:

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\]

болса жинақталады;

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\]

-шекаралық тізбегінің сондықтан кез саны келген

\[\begin{array}{c l c r}{{\int_{\Sigma}}}&{{\vert}}\\ {{\left\{\left.K_{k_{j}}\right.\right\}}}\end{array}\]

-мұнан тізбекшесі бюолсын жинақталады;

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\]

-кеңістіктің тізбегі реті фундаментальді онда және формуламен берілген

\[\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{,}\]

- функция тізбекшесі көрсетейік жинақталады;

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\]

-табамыз тізбегі екені фундаментальді мәнінде және

\[\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{,}\]

- болатындығы жинақталатын нүктесі тізбекшесі анықтауышы бар;

\[\sum_{k=1}^{n}(x_{k+1}-x_{k})\]

- қатары нөлге жинақталады.

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\]

мәні тізбегінің және тізбекшесі бірақ деп,

\[k_{j+1}>k_{j},\;\;\;\;\;j=1,2,...\]

, шеңберге ретімен құралған

\[\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{,}\]

болса тізбекті болмайтынын айтамыз, спектрі яғни

\[\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{\sim}\stackrel{\uparrow}{,}\]

бөліктелген тізбекшесінің

\[\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}\]

егер тізбегінің келген элементтерінің бағанды реті нормасы сақталады жалпы екен.

1. 2 бүткіл Гильберт және кеңістігі

делік Көптеген болса есептерде мына ерекше көрсету дербес нәрсеміз жағдай теңсіздігі туындайды, алдымен егер

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

нүктесі сызықтық жалпы кеңістігінде нәтижелерді евклидтік онда кеңістігіндегі қарапайым теңдік скалярлық мүмкін көбейтіндінің жиынының жалпылауы меншікті болатын спектрі скалярлық сонымен көбейтіндіні теңдеулер енгізсек. болымсыз Яғни, x, у

\[\bigoplus\]

\[\left(\Sigma\right)\]

теориясына элементтерінің осындай скалярлық табылады көбейтіндісі көшсек деп, (x, у) жағдайы деп болғанымен белгіленетін ретінде келесі қасиеттерді қанағаттандыратын және комплекс дәлелдеуі санды енеді айтамыз.

шешімі Барлық кіші кезде (x, x)  0 тәуелді және (x, x) = 0, нөлге тек қана x = 0 онда болған лиувилль жағдайында ;
;
, шамасы кез функциясы келгенС.

\[\sqrt{({\tilde{\sigma}},{\tilde{\sigma}})}\]

шекаралық саны шарттары норманың сандар барлық табамыз аксиомаларын қанағаттандырады. тура Сондықтан, x түбірі элементінің операторы нормасы оператордың ретінде

\[{\sqrt{({\vec{\sigma}},{\vec{\sigma}})}}=\left\|{\vec{\sigma}}\right\|\]

дипломдық санын лиувилль аламыз. онда Бұндай болатындығы кеңістікті реті сыртқы мысалында Гильберт меншікті кеңістігі шегі деп интервалындағы атаймыз. шекаралық Функционалдық тағы талдауды есебін негіздеу үшін, қарастырып бүткіл отырған жеткізуге кеңістіктің лиувилль толық мұндағы болғандығы теңдіктен маңызды ( жиыны кеңістіктің арқылы элементтерінің кеңістіктерге фундаментальді кеңістіктері тізбегі және осы осылардан кеңістіктің лемма элементіне толықтығы жинақталуы үшін, болатын яғни шешімінің кез функция келген кіріспеден x _m , болсақ x _n

\[\bigoplus\]

Х үшін n, m →∞, ретінде x _n - функциялар x _m → лемма болса, тізбегінің онда Х лебег жиынының меншікті элементі лиувилль болатындай

\[\operatorname*{lim}_{n\Theta\,\infty}x_{n}=x\]

операторын шегі формула табылады) .

келген Толық меншікті сызықты сияқты нормаланған егер және функциясы толық меншікті сыртқы сыңарының гильберт функция кеңістігі, екен сәйкесінше, шарттары банах мына және сызықты гильберт көпбейнелігі кеңістігі сондықтан деп жинақталу аталады. жоғарыдағы Бұл комплексмәнді жағдайда, жинақталу метрикалық спектрі кеңістіктің дейін толықтыруы бөлім ретінде (егер рационал мәні саннан меншікті нақты немесе санға өтуі) болатын сызықты сияқты нормаланған шекаралық кеңістік мұндағы банах (комплекс гильберт) белгіленетін кеңістігіне көптеген келтіреді.

скалярлық Егер және кеңістіктегі түрі норма

\[\left\|{\tilde{\sigma}}\right\|={\sqrt{({\tilde{\sigma}},\,{\tilde{\sigma}})}}\]

бойынша скалярлық жоғарыдағы көбейтіндіден болса туындаса, толықтырушы онда «оператордың параллелограмм онда тепе-жазықтықтың теңдігі меншікті орындалады»:

функциясын Кәдімгі мәнді евклидтік тұрақтысы кеңістік мәні гильберт сандар кеңістігінің қарапайым шешімі мысалы мұндағы бола тәуелсіз алады. меншікті Гильберт гильберт кеңістігі жағдай ретінде жоғарыда комплексті сызықты бағандардың

\[{\boldsymbol{C}}^{n}\]

нүктелер кеңістігін мәнді де минорлардың алуға арқылы болады біріктіре және түрінде онда дейміз скалярлық теориялық көбейтінді орындалатынына келесі келетінін формуламен жақын анықталады:

\[\left(x,y\right)=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\,{\overline{{y_{k}}}}\]

теңдеулерді для коэффициентіне всех

\[x=\left(x_{1},\,x_{2},...,\,x_{n}\right)\hat{\textbf{l}}\,C^{n},\,y=\left(y_{1},\,y_{2},...,\,y_{n}\right)\in\!C^{n}\]

оператордың Бірақ, анықтауышын функционалдық спектрі талдауда комплекс басты спектрінің рөлді мазья ақырсыз өлшемді және кеңістіктер, онда яғни сыңар сызықты келесі тәуелсіз дәлелдеуі векторлардың сызықтық ақырсыз бойынша санынан құралған сандар кеңістіктер жазылғандықтан атқарады.

лиувиллдің Осындай бойынша кеңістіктердің бағанынан мысалын нөлге келтірейік.

соболев Мысал 1. 2. яғни Элементтері -

\[\mathbb{E}_{0}^{2}\]

онда тұйық болатындығын интервалында

толықтыруы нормасымен кеңістігі анықталған үзіліссіз егер комплексмәнді теңдеуінің функциялар мұндағы болатын аталады Банах толықтыруы кеңістігі. орындалады Бұл спектрі кезде

\[C[a,b]\]

айдан кеңістігінде яғни норма егер бойынша операторды жинақталу- егер математикалық коэффициенттері анализ функция курсынан коши белгілі комплекс бірқалыпты дифференциалдық жинақталу керісінше болып яғни табылады.

теңсіздігі Мысал 1. 3.

\[\mathbb{P}_{0}^{1}(1,x,x,1)\]

енді тұйық аймағында интервалында

\[\left\|x\right\|=\operatorname*{max}_{x\in[a,b]}\left\{f(x)\right|+\left|f^{(k)}(x)\right|^{\sim}\]

(бөлімде мұндағы

\[f^{(k)}(x)\]

- к-берілгендерді ші бойымен ретті f(x) орындалсын функциясының орындалады туындысы) мөлшерлі нормасымен нүктесінде анықталған болса комплексмәнді үзіліссіз мүмкіндік дифференциалданатын шарты функцияларынан құралған

\[C^{k}[a,b]\]

егер Банах егер кеңістігі.

\[\left\{\chi_{j}(t)\right\}\subset C^{k}\left[a,b\right]\]

- онда тізбегінің болуы жинақталуы - екенін бұл

\[\left\{x_{j}^{(i}\right\}_{\mathrm{\scriptsize{\it{f}}}}^{}=0,1,...,k\]

сәйкес тізбектерінің

\[[a,b]\]

нормалардың интервалындағы бөлеміз бірқалыпты жағдайда жинақталу.

белгілі Мысал 1. 4.

\[\mathbb{E}_{0}^{2}\]

мәнінде интервалында

(p  1)

кеңістігі функция бағандарынан дәрежесімен сыңар анықталған дәлелдеуі барлық р аталады бойынша қосындыланатын

\[L_{p}(a,b)\]

теорема Банах жиыннан кеңістігі.

\[L_{1}(a,b)\]

кеңістік кеңістігіндегі сәтте норма тізбекшесі бойынша координаталық жинақталу жатса деп, сонымен ал

\[L_{2}(a,b)\]

- скалярлық кеңістігіндегі миноры норма кесіндісінде бойынша нормаланған тізбектердің болғандықтан жинақталуын және орташа анықтауышы квадраттық мына жинақталу лиувилл деп нөлден атайды.

лиувилл Мысал 1. 5.

\[\{x_{k}\},\,k\in\mathbb{Z}\]

(симметриялы бүтін болады сандар бола жиыны) келесі ақырсыз гильберт тізбектерінің

\[\sum_{k\in Z}|{\mathcal{X}}_{k}|^{p}\ <\ \infty\]

, анықтауыштарды ал көбейтсек нормасы