КОМПЛЕКС САНДАР МЕН ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ
Комплекс сан ұғымы тұңғыш рет ХҮІ ғасырда итальяндықтар Дж.Кардано және Р.Бомбелли қарастырған дискриминантты теріс квадрат теңдеулердің, әсіресе кубтық теңдеулердің ,шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы шыққан Алгебра атты кітабында Р.Бомбелли комплекс сандарға арифметикалық операциялар қолданған.
Алғашқы кезде комплекс сандардың іс жүзінде нақты түрде түсінігі (интерпретациясы), болмағандықтан ондай түбірлерді мүмкін емес, жорамал деп санап , ондай түбірлері бар теңдеулерді түбірі жоқ теңдеулер қатарына қосатын болған.
Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек ХҮІІІ ғасырда басталды. Міне осы кезде комплекс сандардың интегралдық есептеуде механикада және геометрияда қолданулары комплекс аргументті функцияларды қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде туған жері Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп, өзін орыс ғалымымын деп атап өткен Леонард Эйлер (1707-1783) мен француз математигі және философы Даланбердің (1717-1783) үлесі көп.
Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық түсінікті 1797 жылы даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745-1818) берген, бірақ тек атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) комплекс сандарды арифметикаға, алгебраға, геометрия және математикалық анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың геометриялық мағынасын қолданып, оны толық пайдалана бастайды. Математикаға комплекс сан терминін кіргізген де, жоғарғы алгебраның негізгі теоремасының толық дәлелдеуін тұңғыш рет (1799 ) ұсынған да К.Гаусс.

1. КОМПЛЕКС САНДАР МЕН ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР
1.1 Комплекс сандар ұғымы
Математиканың тарихи даму барысында әр қырынан қойылып, түрліше шешім тауып отырған ең басты мәселелердің бірі- сан ұғымын дамыту болды. Сан ұғымын кеңейту мәселесі алгебра ғылымының өз алдына бөлініп дербес даму жолына түсуін күрт жеделдетті, шешуі болатын теңдеулер класын көбейтті, қолданыстағы сандар теориясын байытуды, кеңейтуді талап етті.
Алгебралық теңдеулерді шешу үшін нақты сандар жеткіліксіз. Сондықтан да осы теңдеулерді шешуге деген ұмтылыс сандар ұғымының кеңеюіне әкеледі. Теңдеудің түбірін табу үшін оң сандар жеткіліксіз, сондықтан да теріс сандар және нөл енгізу қажеттілігі туындайды.
Біздің дәуірімізге дейін 2 мың жыл бұрын ежелгі Египет және Вавилонда практикалық есептеулерде бөлшек сандар қолданылған. Сан ұғымы дамуының келесі кезеңі теріс сандарды енгізу-б.д.д 2 ғасыр бұрын қытай математиктері енгізген.Теріс сандар көмегімен бірыңғай жолмен шамалар өзгерісін суреттеуге болады. Б.д.д 8 ғасырда оң таңбалы санның квадраттық түбірінің екі мәні - оң және теріс бар екендігі, ал теріс таңбадан квадрат түбір шығаруға
болмайтындығы белгілі болды. 16 ғасырда кубтық теңдеулерді зеттеу кезінде теріс таңбалы саннан квадраттық түбір шығару керек болды. Кубтық теңдеуді шешу формуласында кубтық және квадраттық түбір бар. Бұл формула теңдеудің бір нақты түбірі болса үзіліссіз әсер етеді, ал егер ол үш нақты түбірі болса, онда квадраттық түбірде теріс сан болады. Осы феноменді түсіндіру үшін 1545 жылы итальяндық алгебраист Дж.Кардано табиғаты жаңа санды енгізуді ұсынды.Кардано мұндай шамаларды сандар теріс деп атады және оларды жарамсыз деп санап, қолданбауға тырысты. Шындығында, мұндай сандардың көмегімен қандай да бір шаманың нәтижесін, осы шаманың өзгерісін көрсетуге болмайды.
Бірақ та 1572 жылы Бомбелли өз кітабында алғаш рет осы сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар ережесін орнатты. Жорамал сан атауын 1637 жылы француз математигі Р.Декарт енгізді, ал 1777 жылы Х.Эйлер француз санының бірінші әріпі і қолдануды ұсынды, бұл белгіні жалпы қолданысқа К.Гаусс енгізді.
18 ғасырдың соңында француз математигі Ж.Лагранж жорамал сандар көмегімен сызықты дифференциаль теңдеулерді көрсете білді.
Я.Бернулли комплекс сандарды интегралды есептеу үшін қолданды. 18 ғасырда комплекс сан көмегімен картография, гидродинамика және т.б. байланысты қолданбалы есептер есептелінді. Бірақ та осы сандар теориясының логикалық негізі болмады.
19 ғасырда комплекс санның геометриялық талдауы алынды.Комплекс сандардың геометриялық талдауы комплекс айнымалы функциямен байланысты көптеген түсініктер табуға, олардың қолдану саласын кеңейтуге мүмкіндік берді. Комплекс сандардың көптеген сұрақтарда, жазықтықта вектормен көрсетілетін шамалары бар, керекті екендігі белгілі болды: су ағынын зерттеу кезінде, серпімділік теориясы тапсырмаларында, теориялық электротехникада.
Физика және техника тапсырмалырының шешімі кері дискриминантты квадраттық теңдеулер арқылы жүргізіледі. Бұл теңдеулердің нақты сандар облысында шешімі жоқ. Бірақ мұндай көптеген тапсырмалардың шешімінің нақты физикалық мағынасы бар. Көрсетілген теңдеуді шешу нәтижесінде алынған шама мәнін комплекстік сандар деп атады. Комплекстік санды орыс авиациясының негізін қалаушы Н.Е.Жуковский қанат теориясын құру кезінде кең қолданған. Бұл теориядағы негізгі мәселелер: қанатты көтеруші күш қалай, қайдан шығатынын, оның шамасы және түсу нүктесі ұшу жағдайына қалай байланыстылығын айқындау, зерттеу. Комплекстік сандар және комплекстік айнымалылар функциясы көптеген ғылым мен техника сұрақтарында қолданыс табады.
Сан ұғымының натурал сандардан нақты сандарға дейін кеңею үрдісі тәжірибенің талаптарымен, сондай-ақ математиканың өз мұқтаждықтарымен байланысты болды. Алдымен заттарды санау үшін натурал сандар пайдаланылады.
Содан кейін:
oo бөлуді орындаудың қажеттігі оң бөлшек сандар ұғымына әкеледі;
oo әрі қарай, азайтуды орындау қажеттігі нөл мен теріс сандар ұғымдарына әкелді;
oo ақырында оң сандардан түбір табу қажеттігі иррационал сандар ұғымына әкелді. Аталған амалдардың бәрі нақты сандар жиынында орындалады. Алайда, бұл жиында орындалмайтын операциялар да қалды, мысалы, теріс саннан квадраттық түбір табу амалы. Олай болса, сан ұғымының одан әрі кеңеюінің, нақты сандардан ерекше, жаңа сандардың пайда болуының қажеттігі бар.
Геометриялық тұрғыдан нақты сандар координаталық түзудің нүктелерімен кескінделеді. Әрбір нақты санға түзудің бір нүктесі сәйкес, ал түзудің әрбір нүктесіне бір нақты сан сәйкес келеді. Координаталық түзу түгелдей нақты сандардың бейнесімен толтырылған, яғни басқаша айтқанда онда басқа сандарға орын жоқ. Жаңа сандардың геометриялық бейнелерін енді түзу бойында емес, координаталық жазықтықта іздеу керек деген ұйғарым туады. Бірақ координаталық ХОУ жазықтығының әрбір М нүктесін осы нүктенің координаталарымен анықтауға болады. Сондықтан жаңа комплекс сандар деген атпен жаңа ұғым енгізілді. 1545 жылы италиян оқымыстысы Дж. Кардано
х+у=10ху=40 (1.1)
теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі жоқ, ал оның шешімін

х12=5+--15у12=5∓-15 (1.2)
түрінде табады. Кардано оларды таза теріс немесе софистикалық теріс шамалар деп атаған. Бірақ ол мұндай шешуді пайдасыз деп тауып, оларды қолданбауға тырысады.
Комплекс сандардың қасиетін дұрыс бағалаған ең бірінші математик Рафаэль Бомбелли (1526-1573) болды. Ол комплекс сандарды кубтық теңдеуді шешудің келтірілмейтін жағдайын шешуге қолданады. Ол 1572 жылы жарық көрген Алгебра атты еңбегінің бірінші кітабында комплекс сандарға амалдар қолданудың алғашқы ережелерін көрсетті. Бомбелли Карданоның софистикалық теріс сандар кездесетін барлық өрнектердің а bі түріне келетінін тағайындады. 1637 жылы француз математигі Р. Декарт жорамал сан терминін енгізді, ал XVІІІ ғасырдың ең атақты математиктердің бірі Л. Эйлер 1977 жылы і-1 (жорамал бірлік) санын белгілеу үшін француз сөзінің іmаgіnаіrе (жорамал) бірінші әрпін қолдануды ұсынды. 1831 жылы К. Гаусс комплекс сан терминин енгізді.
Жалпы комплекс сандарын интегралдық есептеуде, механикада, геометрияда қолданымдарына байланысты қалыптаса бастаған комплекс айнымалы функциялар теорясының дамуына француз математигі Даламбер, негізі швециялық болса да, өзін орыс ғалымы деп атап өткен Л.Эйлер көптеген үлестерін қосқан. Теорияның одан әрі дамуына неміс ғалымдары К.Гаусс, Б.Риман, француз ғалымы О.Кошилердің аттарымен қатар орыс ғалымдары Н.Е.Жуковский, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыштің де еңбектері зор.[4]
Анықтама. Комплекс сандар деп түріндегі сандарды айтамыз, мұндағы нақты сандар, жорамал бірлік деп аталады және пен сандары комплекс санының сәйкес нақты және жорамал бөлігі деп аталады әрі олар таңбаларымен белгіленеді.
Сонымен, егер бізге комплекс саны берілсе, онда нақты пен сандары берілді деп түсінуіміз керек.
Егер болса, онда комплекс саны нақты бөлігіне тең, яғни осы сияқты, егер болса, онда .
Жазықтықта тікбұрышты декарт координат жүйені қарастырайық және комплекс сандағы пен нақты сандар осы жазықтықтағы нүктенің координаттары болсын. Онда әрбір комплекс санына осы жазықтықтанүкте сәйкес келеді және керісінше, яғни жазықтықтағы әрбір нүктеге осы жазықтықта анықталған комплекс саны сәйкес келеді.
Сонымен комплекс сандар жиыны мен жазықтықтағы нүктелер жиыны арасында өзара бір мәнділік сәйкестік бар (1- сурет).
жазықтығындағы әрбір нүкте, осы жазықтықтағы координат жүйенің бас нүктесі вектордың нүкте вектордың соңғы нүктесі болатын векторды анықтайды. Осылайша анықталған вектордың өсіндегі проекциясы ке, ал өсіндегі проекциясы ке тең. Сонымен, кез келген комплекс сандардың геометриялық кескінін жазықтығында нүктелер немесе векторлар арқылы бейнелеуге болады. Осылайша анықталған жазықтығын комплекс сандар жазықтығы дейміз, немесе комплекс жазықтығы деп аталады.

y

0
y
1{1,0}

Z(x,y)

1-сурет. Бірлік векторын анықтау.
нақты сандар жазықтығында өсіндегі нүктелерді немесе немесе өсіндегі векторларды бейнелейді.
өсі нақты өс деп аталады. нақты саны өсіндегі нүктені немесе осы өстегі {1;0} бірлік векторды анықтайды (1-сурет).
Ал жорамал саны өсіндегі нүктені немесе осы өстегі векторды анықтайды. өсі жорамал өс деп аталады. жорамал саны өсіндегі нүктені немесе осы өстегі бірлік векторын анықтайды және бұл вектор өсіндегі бірлік вектор болады (1- сурет).
Анықтама. және комплекс сандары тең деп аталады, егер комплекс сандардың нақты бөліктері нақты бөліктеріне, ал жорамал бөліктері жорамал бөліктеріне тең болса, яғни мен комплекс сандардың теңдігі таңбамен белгіленеді. пен комплекс сандары өзара түйіндес комплекс сандар деп аталады. Бұл жағдайда пен нүктелері нақты өсі арқылы симметриялы болады.
комплекс жазықтығындағы векторының ұзындығына және осы вектордың нақты өсімен оң бағытта түзейтін бұрышын қарастырайық (1- сурет).
Вектордың ұзындығы мен бұрышы комплекс санның сәйкес модулі және аргументі деп аталады және олар былай белгіленеді.
(1.3)
Бізге аналитикалық геометриядан, декарт координат пен поляр координат жүйелерінің арасындағы байланыс мына формула арқылы өрнектелінетіні белгілі:

Онда . (1.4)
Бұл формула комплекс санның тригонометриялық түрі деп аталады. Осыдан
(1.5)
және болғанда аргументтің барлық мәндері мына қатынасты қанағаттандырады:
. (1.6)
Егер болса, онда анықталмаған, сондықтан болғанда мәндерінің жиынынан интервалға тиісті тек бір ғана мәнді бөліп аламыз және оны деп белгілейік және ол аргументтің негізгі мәні деп аталады:
. (1.7)
Сонда (2.4) мен (2.5) формулалардан мына теңдікті аламыз:

(1.8)
Онда мына теңдік орындалады: .
Мына нақты сандар комплекс жазықтығындағы нүктенің координаттары деп аталады, яғни . Берілген мен комплекс сандардың теңдігін поляр координатында (1.9)
теңдіктерімен анықтаймыз, ал түйіндестік белгіні (1.10) мұнда . Бізге тригонометриялық түрде екі комплекс сандары берілсін. Егер болса, онда
теңдіктері орындалады. Осыдан .
Онда жоғарыдағы теңдіктерден

Онда

Егер болса, онда теңдігі орындалады.
Мысалдар. 1. Берілген комплекс сандарды тригонометриялық түрге келтірейік: а) б) в) г)
а) комплекс саны үшін және (2.3) формуладан
Енді (2.6) теңдіктен комплекс санының аргументі ге тең. Онда (2.2) формула бойынша

б) комплекс саны үшін және (2.3) формуладан Енді (2.6) теңдіктен комплекс санның аргументін анықтаймыз

Сонда (2.2) формула бойынша:

в) (2.3) формуладан ал (2.6) формуладан Сонда

г) (2.3) формуладан ал (2.6) формуладан Сонда

2. Төмендегі шарттар жазықтықтағы қандай нүктелер жиындарын анықтайды: а) б) в) г)
а) теңдігі мына теңдеумен эквивалентті:

Онда шарты өсіне параллель болатын түзуінің бойындағы нүктелер жиыны болады (2а-сурет).
y
o

x
в)
y=5
y
o

x
г)
y=5
y=2
y
X=4
o
4
x
а)
y
X=5
o

x
б)

x=2

2- сурет. Жазықтықтағы нүктелер жиынын анықтау.

б) теңсіздігінен мына теңсіздікті аламыз: .
Сонымен берілген шарт теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиыны болады (2б-сурет).
в) шарт теңдеуімен эквивалентті, яғни берілген шарт өсіне параллель болатын түзуді анықтайды (2в-сурет).
г) шарт теңсіздіктен эквивалентті, сондықтан берілген шарт теңсіздікті қанағаттандыратын нүктелер жиыны болады (2г-сурет)

1.2 Комплекс сандарға амалдар қолдану
Комплекс сандарды қосу және азайту. Анықтама.. мен комплекс сандардың қосындысы деп комплекс санын айтамыз:
(1.13)
Осы анықтамадан, вектордың координат өстеріндегі проекциясы, мен векторлардың координат өстеріндегі проекцияларының қосындысына тең. Сондықтан, векторы мен векторлардың қосындысына тең, яғни мен векторлардан анықталған параллелограмның диагоналіне тең (4-сурет).

4-сурет. Комплекс сандарды қосу. 5-сурет. Екі вектордың қосындын
анықтау.
Комплекс сандарға мына қасиеттер орындалады:
(1.14)
z1 және z2 комплекс сандарының қосындысына геометриялық талдау жасау үшін ол сандарды сәйкес векторлар түрінде көрсетеміз. Сонда z1+ z2 кескінін екі вектордың қосындысын табудың параллелограмм ережесі бойынша да анықтауға болады (5-сурет).
Екі комплекс санның қосындысының модулі қосылғыштар модульдерінің қосындысынан кем, не тең болатынын 5-суреттен көреміз, өйткені үшбұрыштың кез келген қабырғасы қалған екі қабырғасының қосындысынан кем:
z1+z2=z1+z2
Анықтама. мен комплекс сандарының айырымы деп z комплекс санын айтамыз:
(1.15)
Осы анықтамадан, векторының бастапқы нүктесі векторының соңғы нүктесімен, ал соңғы нүктесі вектордың соңғы нүктесімен беттеседі.
Комплекс сандарды азайту қосуға кері амал ретінде анықталады.
z1=x1+ y1і және z2=x2+ y2і комплекс сандарының айырмасы деп
z2 + z= z1 немесе (x2+ y2і ) + (x+ yі ) =x1+ y1і теңдігін қанағаттандыратын ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.