ШЕКТЕЛГЕН СТЕРЖЕНЬДЕГІ ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ ЖӘНЕ ОНЫ ФУРЬЕ ӘДІСІМЕН ИНТЕГРАЛДАУ

Жоспары:

КІРІСПЕ

І ШЕКТЕЛГЕН СТЕРЖЕНЬДЕГІ ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ ЖӘНЕ ОНЫ ФУРЬЕ ӘДІСІМЕН ИНТЕГРАЛДАУ

1. Математикалық физика теңдеулері . . . 7-10
2. Екінші ретті дербес туындылы теңдеулердің классификациясы және оларды қарапайым түрге келтіру . . . 11-14
3. Фурье әдісі . . . 15-19

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 20

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 21

КІРІСПЕ

Жұмыстың мақсаты - Математикалық физика теориясының іргелі ұғымдарымен таныстыру, негізгі әдістерді үйрету және оларды қолдану білуге дайындау, әр түрлі жеке дара ұғымдар мен зерттеулерді бір жүйеге келтіру нәтижесінде қойылған есептерде шығара білу қабілетін арттыру;

- Студенттердің логикалық ойлау, математикалық пайымдау дәрежелерін және математикалық мәдиниетін физика, техника және басқа да жаратылыстану ғылымдарында кезлесетін есептерді шеше алатындай деңгейге жеткізу;

Жұмыстың міндеттері - математиканың әр түрлі жеке пәндер құралымы емес, тұтас бір ғылым екенін және сол ғылымның ішінде «математикалық физика теңдеулерінің» алатын орны туралы мағлұмат алу;

- Бұл пәннің математикалық аппаратының дұрыстығы, тұтастығы, қуаты қатаң логикалық құрылымға байланысты болса, екіншіден олар практика жүзінде тексеріліп отыратындығын білу;

Тақырыптың өзектілігі: математикалық физиканың көптеген сұрақтары дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын анықтауға және кез келген функцияны меншікті функциясы бойынша қатарға жіктеуге алып келеді.

Гиперболалық түрдегі теңдеулер шектің тербеліс теңдеуін, толқындық теңдеулерді және т. с. с. процестерді сипаттайды. Гиперболалық типті дербес туындылы дифференциалдық операторлар теориясындағы физикалық есептерді шешу кезінде екінші ретті дифференциалдық теңдеу маңызды орын алды. Гиперболалық түрдегі теңдеулер үшін қойылған есептердің шешімін табу үшін әртүрлі әдістер қолданылады. Олардың ішінде жиі қолданылатыны априорлы бағалау әдісі Фурье әдісі т. б.

Гиреоболалық теңдеудің зерттеу кезіндегі жекелеген нәтижелерді жүйелендіру және гиперболалық теңдеулердің жалпы теориясын құру Ж. Б. Фурье, О. Л. Коши, С. И. Ковалевская, Г. Дарбу, Э, Гурса, Б. Риман, П. Г. Дирихле, Ж. Адамардың жұмыстарынан бастау алды. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің қасиеттері Мұратбеков М. Б., Мұратбеков М. М., Ахметжанов М. А., Жүсіпназаров Р. М. жұмыстарында қарастырылған.

Гиперболалық типті дифференциалдық теңдеулер үшін көптеген сұрақтар, яғни спектральдік қасиеттері арнайы зерттеуді қажет етеді.

Жұмыстың негізгі мақсаты гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу.

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКАНЫҢ ТЕҢДЕУЛЕРІНЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ФИЗИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР.

Анықтама. Тәуелсіз х айнымалысын, белгісіз $y = f(x)$ $y = f(x)$ функциясын және оның $y', y^{''}, y^{(n) }$ $y', y^{''}, y^{(n) }$ туындыларын байланыстыратын теңдеуді дифференциалды теңдеу деп айтады. Символды түрде дифференцииалды теңдеу былай: $F\left( x, y, y', y^{''}, {\ldots, y}^{(n) } \right) = 0$ $F\left( x, y, y', y^{''}, {\ldots, y}^{(n) } \right) = 0$ немесе $F\left( x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{{dx}^{2}}, \ldots, \frac{d^{n}y}{{dx}^{n}} \right) = 0$ $F\left( x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{{dx}^{2}}, \ldots, \frac{d^{n}y}{{dx}^{n}} \right) = 0$

Егер белгісіз функциясы тек бір ғана аргументтен тәуелді болса дифференциалды теңдеуді жай дифференциалды теңдеу деп атайды.

Анықтама. Теңдеудегі белгісіз функцияның туындыларының ең жоғарғы ретін дифференциалды теңдеудің реті дейді.

Анықтама. Егер $y = f(x)$ $y = f(x)$ функциясын теңдеуге апарып қойғанда ол теңдеуді қанағаттандырса, яғни теңдеуді тепе-теңдікке айналдырса бұл функцияны дифференциалды теңдудің шешімі немесе интегралы деп айтамыз.

Бірінші ретті жай дифференциалды теңдеудің жалпы түрі мынандай болады: $\ F\left( x, y, y' \right) = 0$ $\ F\left( x, y, y' \right) = 0$ Кейде бұл функцияны белгісіз функцияның туындысы арқылы шешуге болады: $\ y' = F(x, y)$ $\ y' = F(x, y)$

1. 1 Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер туралы түсінік.

Айталық $u = u(x, y)$ $u = u(x, y)$ . Бұл жағдайда табиғатта кездесетін физикалық процестердің математикалық моделі Ⅱ ретті дербес туындылы дифференциалды теңдеулер арқылы өрнектеледі. Жалпы түрде Ⅱ ретті дербес туындылы дифференциалды теңдеулер бірінші теңдеуден анықталады.

$F\left( x, y, u, \ u_{x}, u_{y}, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy} \right) = 0$ $F\left( x, y, u, \ u_{x}, u_{y}, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy} \right) = 0$ (1)

Мұндағы: х, у - тәуелсіз айнымалы, $u_{xy}$ $u_{xy}$ - белгісіз функция

$U_{x} = \frac{du}{dx},$ $U_{x} = \frac{du}{dx},$ $U_{xx} = \frac{d^{2}u}{{dx}^{2}}, \ U_{xy} = \frac{d^{2}u}{dxdy}$ $U_{xx} = \frac{d^{2}u}{{dx}^{2}}, \ U_{xy} = \frac{d^{2}u}{dxdy}$ .

Егер 1ші теңдеу жоғары ретті туындылары бойынша сызықты қатысса, онда ол теңдеуді сызықты теңдеу деп атаймыз. Яғни:

$a_{11}{U'}_{xx} + {2a}_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + F_{1}\left( x, y, u, \ u_{x}, u_{y} \right) = 0$ $a_{11}{U'}_{xx} + {2a}_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + F_{1}\left( x, y, u, \ u_{x}, u_{y} \right) = 0$ (1`)

Егер $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ тек қана х, у ке тәуелді болмай, $F_{1}$ $F_{1}$ функциясы сияқты болса, онда теңдеу квази сызықты деп де патайды. Жалпы түрі:

$a_{11}U_{xx} + {2a}_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + b_{1}U_{x} + b_{2}U_{y} + CU = f$ $a_{11}U_{xx} + {2a}_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + b_{1}U_{x} + b_{2}U_{y} + CU = f$ (1, 1)

Мұндағы $a_{ij} = a_{ij}(xy)$ $a_{ij} = a_{ij}(xy)$ , $b_{i} = b_{i}(xy)$ $b_{i} = b_{i}(xy)$ , c = c(xy) -коэффициенттер, $\ f(x)$ $\ f(x)$ бос мүше немесе теңдеудің оң жағы деп аталады. Егер 1, 1-ші теңдеудің коэффициенттері тұақты болса, онда теңдеу тұрақты коэффициентті Ⅱ ретті дербес туындылы дифференциалды теңдеу деп аталады. Теңдеудің оң жағы берілген облыста 0-ге тең болса, яғни $f(x) \equiv 0$ $f(x) \equiv 0$ , онда теңдеу біртекті деп аталады.

Ⅱ ретті дербес туындылы дифференциалды теңдеу 3 түрге бөлінеді:

1. Эллипстік түрдегі теңдеу

а) $\mathrm{\Delta}U = 0$ $\mathrm{\Delta}U = 0$ Лаплас теңдеуі

$\frac{d^{2}u}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots + \frac{d^{2}u}{{dx_{n}}^{2}} = 0$ $\frac{d^{2}u}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots + \frac{d^{2}u}{{dx_{n}}^{2}} = 0$

$\mathrm{\Delta} = \frac{d^{2}}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots + \frac{d^{2}}{{dx_{n}}^{2}}$ $\mathrm{\Delta} = \frac{d^{2}}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots + \frac{d^{2}}{{dx_{n}}^{2}}$ - Лаплас операторы

б) $\mathrm{\Delta}U = f$ $\mathrm{\Delta}U = f$ - Пуассон

$R^{3}:\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dy}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dz}^{2}} = f$ $R^{3}:\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dy}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dz}^{2}} = f$

2. Гиперболалық түрдегі теңдеу :d2udxdy=0\ \frac{d^{2}u}{dxdy} = 0d2udxdy=0\ \frac{d^{2}u}{dxdy} = 0

Ішектің тербеліс теңдеуі.

бір өлшемді теңдеу үшін: $\ \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = a^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + f(x, t)$ $\ \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = a^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + f(x, t)$

n өлшемді теңдеу үшін: $\sum_{i = 1}^{n}{\frac{d^{2}u}{{dх_{2}}^{2}} - \ \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = 0}$ $\sum_{i = 1}^{n}{\frac{d^{2}u}{{dх_{2}}^{2}} - \ \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = 0}$ немесе $\sum_{i = 1}^{n - 1}{\frac{d^{2}u}{{dх_{i}}^{2}} - \ \frac{d^{2}u}{{dx_{n}}^{2}} = 0}$ $\sum_{i = 1}^{n - 1}{\frac{d^{2}u}{{dх_{i}}^{2}} - \ \frac{d^{2}u}{{dx_{n}}^{2}} = 0}$ - Толқындық теңдеу деп аталады.

$R^{4} - төрт\ өлшемді\ теңдеу\ үшін:$ $R^{4} - төрт\ өлшемді\ теңдеу\ үшін:$ $\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots - \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = 0$ $\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots - \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = 0$

$⎕ \equiv \frac{d^{2}}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots - \frac{d^{2}}{{dt}^{2}}$ $⎕ \equiv \frac{d^{2}}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}}{{dx_{3}}^{2}} + \ldots - \frac{d^{2}}{{dt}^{2}}$ , $⎕U = 0$ $⎕U = 0$ Толқындық оператор

3. Параболалық түрдегі теңдеу : диффузия және жылу өткізгіштік теңдеу.

$\frac{du}{dx} = k^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + f(x, t)$

$\sum_{i = 1}^{n - 1}{\frac{d^{2}u}{{dх_{i}}^{2}} - \ \frac{d^{2}u}{dx_{n}} = 0}$

$R^{4}:\frac{d^{2}u}{{dx_{1}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{2}}^{2}} + \frac{d^{2}u}{{dx_{3}}^{2}} - \frac{du}{{dx}_{4}} = 0$

2 ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТҮРДЕГІ ТЕҢДЕУЛЕР

2. 1 Біртекті ішектің тербеліс теңдеуі. Даламбер формуласы.

$\frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = a^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + f(x, t)$ $\frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = a^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}} + f(x, t)$ - біртекті емес ішектің тербеліс теңдеуі (2)

$f(x, t) = 0$ $f(x, t) = 0$ болса біртекті ішектің тербеліс теңдеуі: $\ \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = a^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}}$ $\ \frac{d^{2}u}{{dt}^{2}} = a^{2}\frac{d^{2}u}{{dx}^{2}}$ (2. 1)

Біртекті ішектің тербеліс теңдеуін қарастырайық (2. 1) теңдеу үшін алғашқы шарт және Кщши мәселесін қарастырамыз, яғни D{ $- \infty < x < + \infty, \ t > 0$ $- \infty < x < + \infty, \ t > 0$ } облыста (2. 1) теңдеуді қанағаттандыратын шартты қарастырамыз.

$U(x, 0) = \varphi(x)$ $U(x, 0) = \varphi(x)$ (Алғашқы шарт)

$U_{t}(x, 0) = \psi(x)$ $U_{t}(x, 0) = \psi(x)$ , t- уақыт $U(x, t) = ?$ $U(x, t) = ?$ (2. 2)

$\varphi(x), \psi(x)$ $\varphi(x), \psi(x)$ - берілген функциялар. $\varphi -$ $\varphi -$ 2 рет, $\ \psi -$ $\ \psi -$ 1 рет дифференциалданатын функциялар. (үзіліссіз болуы қажет)

(2. 1) ші және (2. 2) ші мәселенің шешімін табу үшін алдымен (2. 1) теңдеудің характеристикалық теңдеуін жазамыз

$(dx) ^{2} - a^{2}(dt) ^{2} = 0$

$(dx - adt) (dx + adt) = 0$

$\int_{}^{}{dx = a}\int_{}^{}{dt}$ $\int_{}^{}{dx = a}\int_{}^{}{dt}$ $\int_{}^{}{dx = a}\int_{}^{}{dt}$ $\int_{}^{}{dx = a}\int_{}^{}{dt}$

x=at+c x=-at+c

$c_{1} = x - at$ $c_{1} = x - at$ $c_{2} = x + at$ $c_{2} = x + at$

$\xi = x - at$ $\xi = x - at$ $\eta = x + at$ $\eta = x + at$

$\xi_{x} = 1 - at = 1$ $\xi_{x} = 1 - at = 1$ $\eta_{x} = 1$ $\eta_{x} = 1$

$\xi_{t} = - a$ $\xi_{t} = - a$ $\eta_{x} = a$ $\eta_{x} = a$

$U_{xx} = U_{\xi\xi} + U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta}$ $U_{xx} = U_{\xi\xi} + U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta}$

$U_{tt} = U_{\xi\xi}{(a) }^{2} + 2U_{\xi\eta}a^{2} + U_{\eta\eta}a^{2}$ $U_{tt} = U_{\xi\xi}{(a) }^{2} + 2U_{\xi\eta}a^{2} + U_{\eta\eta}a^{2}$

$U_{tt} = a^{2}U_{xx}$ $U_{tt} = a^{2}U_{xx}$

$U_{\xi\xi}{( - a) }^{2} + 2U_{\xi\eta}a^{2} + U_{\eta\eta}a^{2} = a^{2}(U_{\xi\xi} + {2U}_{\xi\eta} + U_{\eta\eta}$ $U_{\xi\xi}{( - a) }^{2} + 2U_{\xi\eta}a^{2} + U_{\eta\eta}a^{2} = a^{2}(U_{\xi\xi} + {2U}_{\xi\eta} + U_{\eta\eta}$

$U_{\xi\eta} = 0$ $U_{\xi\eta} = 0$ (2. 3)

$\frac{d}{d\eta}\left( \frac{du}{d\xi} \right) = 0$ $\frac{d}{d\eta}\left( \frac{du}{d\xi} \right) = 0$ (2. 3`)

(2. 3) теңдеу (2. 1) теңдеудің канондық теңдеуі деп аталады.

$\frac{du}{d\xi} = f_{1}(\xi)$ $\frac{du}{d\xi} = f_{1}(\xi)$

$U(\xi, \eta) = f_{1}(\xi) + f_{2}(\eta)$ $U(\xi, \eta) = f_{1}(\xi) + f_{2}(\eta)$

$U(x, t) = f_{1}(x - at) + f_{2}(x + at)$ $U(x, t) = f_{1}(x - at) + f_{2}(x + at)$ (2. 4)

(2. 4) формула (2. 1) теңдеудің жалпы теңдеуі.

$f_{1}(x) + f_{2}(x) = \varphi(x)$ $f_{1}(x) + f_{2}(x) = \varphi(x)$ (2. 5)

$- af_{1}^{`}(x) + af_{2}^{`}(x) = \psi(x) $ $- af_{1}^{`}(x) + af_{2}^{`}(x) = \psi(x) $

$U_{t}(x, t) = f_{1}^{`}(x - at) ( - a) + f_{2}^{`}(x + at) a$

$f_{1}^{`}(x) - f_{2}^{`}(x) = - \frac{1}{a}\varphi(x) $

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс