Үлкен сандар заңы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе
Өзектілігі: Сондай немесе басқаша шарттар үшін жаппай кездейсоқ құбылыстардың орташа сипаттамаларының кездейсоқ емес тұрақты шамаларға жуықтау фактісін тағайындайтын бірқатар теоремаларды әдетте, үлкен сандар заңы деп түсінеді.
Үлкен сандар заңының физикалық мағынасы орташа мәндердің орнықтылығымен қорытындыланады: бірдей жағдайлар өтетін өте көп санды кездейсоқ құбылыстарда, олардың орташа мәндері кездейсоқ бола алмайды және үлкен дәрежедегі анықталғандықпен алдын ала айтуға болады. Жаппай құбылыстардың әрбір құбылысында орташадан кездейсоқ ауытқулар өзара жоғалады, теңеседі.
Мысалы, үлкен санды тәжірибелерде кездейсоқ оқиғаның жиілігі оқиғаның ықтималдығынан, кездейсоқ шаманың математикалық күтімі - осы шаманың байқалған мәндерінің арифметикалық ортасынан соншалық аз айырмашылықта болады.
Үлкен сандар заңы әртүрлі түрдегі шектік теоремалар деп аталатын топты құрайды, бұлар төменде қарастырылады - Марков, Чебышев теоремалары және олардың салдарлары - Бернулли және Пуассон теоремалары. Шектік теоремаларды дәлелдеу олар үшін лемма болатын Чебышев теңсіздігіне және кездейсоқ шамалардың кейбір кездейсоқ емес шамаға ықтималдық бойынша жинақтылық анықтамасына негізделеді.
Мақсаты: Үлкен сандар заңындағы - Марков, Чебышев теоремалары және олардың салдарлары - Бернулли және Пуассон теоремаларымен танысу. Берілген формулаларды есеп шартына сәйкес қолдана отырып, есептеп шығару.
Міндеті: - үлкен сандар заңын білу
oo формула арқылы кездейсоқ шаманы есептеп шығару
Пәні: ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика.

1 Марков теңсіздігі
Теорема. Егер кездейсоқ шама Х теріс таңбалы мәндерді қабылдамаса және оның математикалық үміті шекті болса, онда бұл кездейсоқ шаманың қалған оң таңбалы сан А-дан кем болмау ықтималдығы әрдайым математикалық үмітінің А санына қатынасынан үлкен болмайды
PX=A=MXA.
Дәлелдеуі. Кездейсоқ шаманың үлестіру заңы берілсін
Х
x1
x2
...
xk
xk-1
...
xn
Р
p1
p2
...
pk
pk-1
...
pn

Мұндаы Х-тің мәндері теріс таңбалы емес, x1 , x2, ..., xi мәндер А шамасынан кіші болсын, яғни xi A (i= 1,2,...,k). ал қалған x1 , ...xn мәндері А-дан кіші болсын, яғни x1 =А k,k+1,k+2,...n. Х-тің математикалық үміті
M(X)=i=1nxipi .
Бұл теңдіктегі А-дан кіші мүшелерін ескермесек, онда
M(X)=i=k+1nxipi
xi - ді А мен ауыстырсақ, онда теңсіздікті тек күшейтеміз
MX=А(pk+1+pk+2+...+pn)
Бұдан
pk+1+pk+2+...+pn=М(Х)А
Қосу теоремасына сәйкес бұл теңсіздіктің сол жағындағы қосынды А-дан кем емес кездейсоқ шама ықтималдығы Р(Х=А)-ны көрсетеді, олай болса теңсіздік дәлелденді:
РХ=А=МХА.

2 Чебышев теңсіздігі
Теорема. Кездейсоқ шама Х өзінің математикалық үміті MX-тен ауытқуының абсолютті шамасы с-нен кем болмауы ықтималдығы дисперсия D(X)-тің ε-нің квадратына қатынасынан үлкен болмайды
Р(Х-МХ=ε)=D(X)ε2 (1) ε0
Дәлелдеуі. Марков теңсіздігінен Х=(Х-а)2 және А=ε2 десек, онда

РХ-а2ε2=МХ-а2ε2 .
Мұндағы (Х-а)2ε2 теңсіздігі мына теңсіздікпен мәндес Х-аε.
Ал М(Х-а)2 Х-кездейсоқ шаманың дисперсиясына тең

Р(Х-МХ=ε)=D(X)ε2.
Егер Х-аε және Х-а=ε оқиғасы қарама-қарсы екенін ескерсек, онда Чебышев теңсіздігін мынадай түрде жазуға болады:
РХ-МХ=ε=1-D(X)ε2 (2) а = M(X) , ε0
1-мысал. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы D(X)= 0,002 болсын. Кездейсоқ шама Х-тің математикалық үмітінен, (М(Х)-тен) 0,1-ден артық (кем) болмау ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Чебышев теңсіздігі бойынша
РХ-МХ=0,1=1-D(X)ε2= 0,0020,01= 0,8
Осы сияқты РХ-МХ=0,1D(X)ε2=0,2 болуын анықтауға болады.
2-мысал. Кездейсоқ шама Х-тің дисперсиясы D(X)= 0,025, ал ықтималдық мәні 0,9-дан кем емес, яғни РХ-МХε=0,9 болғанда, ε-нің мәні неге тең болуын анықтау керек.
Шешуі. (1) теңсіздігінен 1-D(X)ε2= 0,9, бұдан
ε= D(X)0,1 = 0,0250,1= 0,25= 0,5.
3-мысал. Дискретті кездейсоқ шама үлестіру заңымен берілген
Х
-1
0
2
4
6
Р
0,2
0,4
0,3
0,05
0,05

а) Мына теңсіздіктің х-Мх5 орындалуының ықтималдығын табыңыздар.
б) Чебышев теңсіздігін пайдаланып х-Мх5 теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын табыңыздар.
Шешуі. Әуелі математикалық үміт пен дисперсиясын табайық
М(Х) = 0,2+0,6+0,2+0,3= 0,9
Енді дисперсия табу үшін Х2-тың үлестіру заңын жазамыз
Х2
1
0
4
16
36
р
0,2
0,4
0,3
0,05
0,05

Сонда
М(Х2) =0,2+1,2+0,8+1,8 =4.
D(X) = М(Х2)-M(X)2=4-0.81=3,19.
а) Енді х-0,95 теңсіздігін орындалу ықтималдығын табу үшін осы теңсіздікті қанағаттандыратын х-тің мәндерін анықтау керек. Берілген үлестіру кестесінен бұл теңсіздікті кездейсоқ шаманың х =-1, х =2, х =4 мәндерін қанағаттандыратынына көз жеткізуге болады. Олай болса
Рх-МХ5=Рх=0+Рх=2+Рх=4=0,2+0,4+0,3+ 0,05=0,95
Р(х-МХ5)=0,95.
б) Чебышев теңсіздігін пайдаланып х-0,95 теңсіздігінің орындалуын бағалайық.
Рх-МХ5=1-3,1925=0,8724.
Сөйтіп Чебышев теңсіздігін пайдаланып Х-МХ5 теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын төменнен бағаладық, яғни Х-МХ5 теңсіздігі кем дегенде 0,8724 ықтималдықпен орындалады.
4-мысал. Әрбір сынауда А оқиғасының шығу ықтималдығы 12-ге тең, Чебышев теңсіздігін пайдалана отырып, А оқиғасының пайда болу Х саны 40-тан 60 аралығындағы ықтималдығын бағалаңыздар, егер 100 тәуелсіз сынау жүргізілсе.
Шешуі. 100 тәуелсіз сынау пайда болған А оқиғасының Х саны
М(Х) = np =100∙12=507
D(X) =npq=100∙12∙12-=25.
Пайда болған оқиға саны мен математикалық үміт М(Х) =50 арасындағы жоғары айырмашылықты табу керек.
ε=60-50=10
Чебышев теңсіздігін пайдаланамыз:
РХ-М(Х)Е=1-D(X) Е2.
М(Х) =50, D(X) =25, Е =10 мәндерін қоямыз, сонда
РХ-5010=1-25102=0,75.
5-мысал. Завод өнімдерінің 75% жоғары сортты шығарады. Шығарылған 1000000 бұйымдардың ішінде жоғары сортты шығарлылған бұйымдардың саны осы жоғары сортпен шығарылған бұйымдардың саны математикалық үмітінен айырмасының абсолют шамасы 1000 данадан артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.
Шешуі. Жоғары сортпен шығарылған бұйымдар саны кездейсоқ шама, оны Х арқылы белгілейік. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестірумен берілген. М(Х) осы кездейсоқ шаманың математикалық үміті. Есептің шарты бойынша n =1000000, p = 0,75, q =0,25, сонда
М(Х) =1000000∙0,75=75000
D(X) =18750.
Осыдан
РХ-М(Х)1000=1-18750 106=0,98125.
РХ-М(Х)1000=0,98125.

2.1 Чебышев теоремасы
Теорема. Егер х1, х2, ..., хn тізбегі қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамаларының ақырлы математикалық үміттері бар болып және дисперсиялары тұрақты С санымен шектелген болса, онда кез-келген ε0 саны үшін
limn--infinityP1ni=1nxi-1nM(Xi)ε= 1. (1)
орындалады.
Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін Чебышев теңсіздігін пайдаланамыз. Ол үшін теңсіздіктегі кездейсоқ шама Х-тің орнына қарастырып отырған кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы 1ni=1nМ(Хi)-ді аламыз да, математикалық үиіттің орнына мынаны аламыз:
M(X)=1ni=1nM(X1).
Сонда
P1ni=1nXi-1ni=1nM(Xi)ε=1-D(X)ε2 . (2)
X=1ni=1nXi; DX=D1ni=1nXi .
DXi=C болғандықтан D(X)=Cn , өйткені
DX=1n2i=1nDXi=nCn2=Cn, DX=Cn онда (2) теңсіздігі
P1ni=1nXi-1ni=1nM(Xi)ε=1-Cnε2 (3)
n--infinity болғанда өрнегін аламыз:
limn--infinityP1ni=1nXi-1ni=1nM(Xi )ε=1.
n--infinity болғанда шек шамасы нольге ұмтылады: limn--infinityCnε2=0
Сонымен теорема дәлелденді.
Егер M(Xi)=а болса, онда (1) формула былай жазылады :
limn--infinityP1ni=1nXi-аε=1.
1-мысал. Белгілі бір шамның мәні ретінде мейлінше көп өлшемдердің арифметикалық орташа нәтижесі алынады. Әрбір өлшеудің мүмкін мәндерінің квадраттық орташа ауытқуы 1см. аспайды деп қарастырып, 1000 өлшеуде алынған нәтиженің берілген шаманың шын мәнінен ауытқуының 0,1 см-ден артық болмауының ықтималдығын ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.