МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:

ДипломДЫҚ жұмыс

Тақырыбы: «Ықтималдықтар теориясының олимпиадалық есептерін шешу әдістері»

5В010900- «Математика» мамандығы бойынша

Орындаған: Дузелбаев M. C.

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. XXI ғасырда адамзат білім мен өнерде, техникалық прогресте үлкен жетістіктерге жетті. Бұның барлығында білімнің үлесі зор.

Еліміздің жаңаша дамуының шешуші факторы ретінде білім беру саласына қойылып отырған басты талап - әлемдік стандарттар деңгейіндегі сапалы білім беру қызметін көрсетуге қол жеткізу.

Білім алу саласында әрбір жеке тұлға өзінің белсенді, танымдық және шығармашылық іс-әрекеттерін дамытуы қажет. Оның айқын бір жолы - ғылыми шығармашылық ізденіс болып табылады.

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез-келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Республикамыздың білім беру жүйесінің даму бағытындағы негізгі мәселелердің бірі, уақыт талабына сай білім сапасын жақсарту, әлемдік стандарт деңгейіндегі білім беру болып табылады. Қазақстанның әлемдегі бәсекеге барынша қабілетті 50 елдің қатарына енуінің негізгі міндеті, жоғары мамандандырылған, білікті де білімді адамзат ғылыми технологияны оңай меңгеріп, нарықтық экономикада өзін-өзі басқара алатын және алған білімін өмірде пайдалана білетін болса, тек сол уақытта ғана жүзеге асыру мүмкін екендігі түсінікті.

Шынында да, әлемнің дамыған елдеріндегі білім беру жүйесі - білім дағдыларын механикалық түрде беру емес, ақпараттық зияткерлік ресурстарды өз беттерінше тауып, талдап және қолдана білетін, жедел өзгеріп отыратын техникалық прогресс, инновациялық өрлеу жағдайында өзін-өзі ашып көрсете алатын, нарықтық талап-талпыныстарға еркін бейімделе алатын жеке тұлғаны қалыптастыруға басымдық беретіндігі белгілі.

Бүгінгі таңдағы тәуелсіз мемлекетіміздің білім саласындағы басты мақсаты жан-жақты дамыған, шығармашылықпен жұмыс жасай білетін, өздігінен білім алу жолдарын таңдай алатын білімді де білікті жеке тұлға болу міндеті тұр. Кез-келген қоғамға дарынды адамдар керек, және қоғамның міндеті сондай адамдардың қабілетін дамыту. Өкінішке орай, кез-келген адам өз дарынын аша алмайды. Бәрі отбасына және мектепке байланысты. Отбасының міндеті баланың дарынын ертерек байқау болса, мектептің міндеті баланы қолдап, сол дарынын әрі қарай ашу, дамыту болып келеді. Әсіресе мектепте оқушының өзіндік шығармашылығының негізі қаланады. Кез-келген мұғалім мектеп оқулығын қызықсыз көріп, одан да терең ғылыми кітаптарды, энциклопедияларды оқитын, өздігінен ізденетін, әр түрлі салада өз сұрақтарына жауап іздейтін дарынды балаға жолығады. Сондықтан да оқушыға жол көрсету, оның өмірлік жоспарлары мен армандарына көмектесу мектепте жүзеге асу керек. Мұндай оқушыларды әр түрлі шығармашылық жұмыстармен, ғылыми жобалармен айналыстырып, олимпиадаларға, сайыстарға қатыстыру керек. Бұл оқушының жетістіктеріне басқалардың көз жұма қарамайтындығын, оған көңіл бөлетінін көрсетеді, осылайша оқушының қабілетін көрсетуге мүмкіндік туады. Оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.

Мектептегі математика пәні мазмұнын жан-жақты зерттеп, орынды қолдану оқушылардың жалпы мәдени даму деңгейінің, білімінің жоғары болуына тікелей әсер ететіні сөзсіз.

Математика сабағында есеп шығару оқыту үрдісінің ең маңызды түрі болып табылады. Өйткені, есеп шығару арқылы оқушы математикалық теорияны меңгереді және логикалық ойлаумен шығармашылық қабілеті дамиды.

Мәселенің зерттелу деңгейі: Ықтималдықтар теориясының олимпиадалық есептерін шығару әдістері мен жолдары көптеген педагогтардың, ғалымдардың, әдіскерлердің: Олимпиадалық есептерді шығару әдістері мен жолдары көптеген педагогтардың, ғалымдардың, әдіскерлердің: Колмогоров А. Н., Шарыгин И. Ф., Гусев В. А., Агаханов Н. Х., Терешин Д. А., Фарков А. В., Галкин Е. В., Гальперин Г. А., Құрманалин Х. М., Күнғожин А. М., Байсалов Е. Р., Елеусізов Д. А., Ырысбек М., И. Р. Высоцкий, Ю. А. Цимбалов, И. Яковлев, И. В. Ященко еңбектерінде келтірілген. [4]

Алайда, ықтималдықтар теориясының олимпиадалық есептерін шығарылу жолдары жеткіліксіз зерттелгендігінен осы тақырып зерттеуге таңдалып алынды.

Бұл зерттеу жұмысымызда мектеп оқушыларының математикалық олимпиадаларында кездесетін ықтималдықтар теориясының олимпиадалық шешудің әртүрлі тәсілдері көрсетіледі.

Осы айтылғандар біздің зерттеу жұмысымыздың көкейкестілігін анықтап, зерттеу тақырыбын «Ықтималдықтар теориясының олимпиадалық есептерін шешу әдістері» - деп тұжырымдауға негіз болды.

Зерттеу мақсаты: математикалық олимпиадаларда кездесетін ықтималдықтар теориясының есептерін шешудің әдіс - тәсілдерін жүйелеп, сұрыптау және жиі қолданылатын негізгі тәсілдерін көрсету.

Зерттеу нысаны - орта мектептегі математика курсын оқыту үрдісі

Зерттеу пәні: оқулықтардағы және әр түрлі деңгейдегі математикалық олимпиадаларда кездесетін ықтималдықтар теориясы тақырыбына берілген есептер.

Зерттеу міндеттері :

а) зерттеу тақырыбы бойынша математикалық, әдістемелік әдебиеттерді оқып, танысу

ә) олимпиадаларда кездесетін ықтималдықтар теориясының есептерін шешудің тиімді әдіс - тәсілдерін талдап, жүйелеу

б) педагогикалық эксперимент бөлімінде болашақта «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» атты арнайы курс сабақтарында оқушыларды олимпиадаға дайындау мүмкіндіктерін көрсету.

Мәселенің деректік көзі: зерттеу проблемасы бойынша педагогтардың, математик-әдіскерлердің еңбектері, мектеп оқулықтары, математикалық олимпиадаға арналған әдістемелік әдебиеттер, математикалық интернет сайттар.

Зерттеудің әдістері, әдіснамалық негіздері: Математикалық олимпиадаларға арналған оқу-әдістемелік құралдарды оқу, зерттеу, жүйелеу және зерделеу, тәжірибелік-әдістемелік жұмыстарды жүргізу.

Зерттеудің жетекші идеясы: олимпиадалық есептерді шешуді үйрету арқылы оқушылардың ықтималдық теориясына қызығушылығы мен ынтасын арттырып, оқу сапасын жақсартуға болады.

Практикалық маңыздылығы: зерттеу нәтижелерін әдістемелік құралдарды дайындағанда, математиканы оқыту барысында оқушылардың ой-өрісін дамытуда, мектеп мұғалімдерінің білімін жетілдіру курстарында пайдалануға болады. Дайындалған арнайы курс жоспарын мектеп мұғалімдері өздерінің күнделікті іс-тәжірибелерінде қолдана алады.

Диплом жұмысының мақұлдануы. Диплом жұмысының негізгі мәселелері математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының отырысында тыңдалып, мақұлданды.

Диплом жұмысының құрылымы. Диплом жұмысы кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ

1. 1 Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері және теоремалары

Ықтималдықтар теориясы өз бастауын XVII ғасырдан алады. Алдымен азартты ойындар пайда болды. Араб тілінде «азар» деген сөз «қиын» деген мағына береді. Арабтар «азар» деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де 6 ұпайдан түсүін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан «ойын сүйегі» деген атау сол заманнан қалыптасып қалған. Ықтималдықтар теориясы жөніндегі алғашқы жұмыстар XVII ғасырда басталды. Еуропа елдерінде адамды құнықтыратын әр түрлі ойындардың кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдықдығын алдын ала анықтауға тырысты. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аудардып, бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар ашуға талпынды. Бұл мәселеге алғашқы болып еңбектерін ұсынған: француз оқымыстысы Блез Паскаль, Пьер Ферма, голландиялық Христиан Гюйгенс, швецариялық математик Яков Бернулли болды. Француздың атақты математиктері Пьер Ферма мен Блез Паскальдың азартты ойындар жөніндегі зерттеулері ықтималдықтар теориясының негізін қалады. Кейіннен сақтандыру жұмыстарында және демография саласында ықтималдықтар теориясы өз қолданысын тапты. Жаратылыстану ғылымдары мен техниканың дамуы ықтималдықтар теориясына жаңа мәселелер қойды. Ықтималдықтар теориясының дамуын Бернулли, Муавр, ГауссЛаплас, Пуассон еңбектері көп әсер етті. XIX ғасырдың екінші жартысыннан бастап бұл саланың дамуына зор әсер еткен В. Я. Буняковский бастаған математиктер мектебі: П. Л. Чебышев, А. А. Марков, С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров секілді орыс ғалымдары үлкен үлес қосты. XVIII ғасыр аяғы мен XIX ғасыр басында ағылшын оқымыстысы А. Муавр, Л. Эйлер, Н. Бернулли, француз П. Лаплас, С. Пуассон, неміс К. Гаусс геодезия мен астраномияның өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау, ату теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар теориясының рөлін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді. XIX ғасыр ортасында Ф. Гальтон, Л. Больцман, А. Кетле, А. М. Ляпунов, П. Л. Чебышев, А. К. Калмогоров сияқты ғалымдар жиындар теориясы, шақты айнымалылы функциялар теориясы, функционалдық анализ сияқты жоғары математикалық жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды. Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның адамзат өмірінде қолдану мүмкіндігі артты. Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісі ғылымның барлық саласына өз үлесін қосады. Ықтималдылық теориясы - математика тарауы, мұнда бір кездейсоқ оқиғаның берілген ықтималдықтары бойынша, қалай да болмасын алғашқымен байланысты болып келетін басқа кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын табады. Ықтималдықтар теориясы құмар ойындар мен француз математигі және жазушысы Блез Паскальдің ол жөніндегі ойларының нәтижесінде пайда болды. Паскаль Ферм хаттарында ықтималдықтар теориясының негіздері алғаш рет баяндалған.

Ықтималдылық теориясының тамыры ғасырлар тереңінде жатыр. Көне Қытай, Индия, Египет, Грекия сияқты елдерде халық санағын жүргізу барысында, тіпті жауларының санын анықтау кезінде де ықтималдылық тұжырымдардың элементтері қолданылғандығы белгілі. Бірақ та бұл теорияның ғылым болып қалыптасуын XVII ғасырға жатқызады. біз тарихи романдардан білеміз, бұл корольдер мен мушкетерлердің, керемет ханымдар мен текті кавалерлердің кезеңі. Бір қызығы сол, осындай бір тарихи тұлғаның біреуінің есімімен осы ықтималдылық теориясының басталуы байланысты екен.

Математика - нақты ғылым, бір қарағанда кездейсоқтыққа ешқандай қатысы жоқ. Бірақ, осы кездейсоқтықтың сандық сипаттамасын, ықтималдық ұғымын берген басқа емес, осы математика. Ықтималдықтар теориясы өмірдегі кездейсоқтықтарды зерттеп, олардың заңдылықтарын ашады. Ықтималдықтар теориясының тарихына шолу Ықтималдықтар теориясы өз бастауын XVII ғасырдан алады. Алдымен азартты ойындар пайда болды. Араб тілінде «азар» деген сөз «қиын» деген мағына береді. Арабтар «азар» деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де 6 ұпайдан түсүін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан «ойын сүйегі» деген атау сол заманнан қалыптасып қалған. Ықтималдықтар теориясы жөніндегі алғашқы жұмыстар XVII ғасырда басталды. Еуропа елдерінде адамды құнықтыратын әр түрлі ойындардың кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдықдығын алдын ала анықтауға тырысты. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аудардып, бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар ашуға талпынды. Бұл мәселеге алғашқы болып еңбектерін ұсынған: француз оқымыстысы Блез Паскаль, Пьер Ферма, голландиялық Христиан Гюйгенс, швецариялық математик Яков Бернулли болды.

Француздың атақты математиктері Пьер Ферма мен Блез Паскальдың азартты ойындар жөніндегі зерттеулері ықтималдықтар теориясының негізін қалады. Кейіннен сақтандыру жұмыстарында және демография саласында ықтималдықтар теориясы өз қолданысын тапты. Жаратылыстану ғылымдары мен техниканың дамуы ықтималдықтар теориясына жаңа мәселелер қойды.

Ықтималдықтар теориясының дамуын Бернулли, Муавр, Гаусс, Лаплас,

Пуассон еңбектері көп әсер етті. XIX ғасырдың екінші жартысыннан бастап бұл саланың дамуына зор әсер еткен В. Я. Буняковский бастаған математиктер мектебі: П. Л. Чебышев, А. А. Марков, С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров секілді орыс ғалымдары үлкен үлес қосты. XVIII ғасыр аяғы мен XIX ғасыр басында ағылшын оқымыстысы А. Муавр, орыс оқымыстылары Л. Эйлер, Н. Бернулли, Д. Бернулли, француз П. Лаплас, С. Пуассон, неміс К. Гаусс геодезия мен астраномияның өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау, ату теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар теориясының рөлін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді. XIX ғасыр ортасында Ф. Гальтон, Л. Больцман, А. Кетле, А. М. Ляпунов, П. Л. Чебышев, А. К. Калмогоров сияқты оқымыстылар жиындар теориясы, шақты айнымалылы функциялар теориясы, функционалдық анализ сияқты жоғары математикалық жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды.

1. 1. 1 Ықтималдықтың классикалық, статистикалық, геометриялық анықтамалары

Ықтималдықтар теориясы тек кездейсоқ оқиғалар және олардың пайда болу мүмкіндіктерін қарастыратын математиканың бір бөлімі болып табылады. Сонымен қатар, ықтималдықтар теориясы қандай да бір оқиғаның шығуын алдын-ала анықтай алмайды, бірақ оның көмегімен көп рет қайталанған оқиғаның заңдылығын анықтауға болады. Оқиғалар 3 түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ.

Тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаларды ақиқат оқиғалар деп атайды.

Тәжірибе кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп аталады.

Тәжірибе барысында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ деп аталады.

Оқиғалар латын алфавитінің бас әріптерімен $A, B, C, \ldots$ . арқылы белгіленеді.

Тәжірибе барысында екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.

Тәжірибе кезінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат болса, онда оқиғалар жалғыз мүмкіндікті оқиғалар деп аталады. Егер $A, B, C, \ldots$ оқиғалары жалғыз мүмкіндікті болса, онда олар толық топты құрайды.

Егер жалғыз мүмкіндікті екі оқиға толық топты құраса, онда олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. $A$ оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны $\overline{A}$ деп белгіленеді.

«Тәжірибе» мен «оқиға» ұғымдарының айырмашылығын қарастырайық. Өмірде, тұрмыста, ғылымда жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, экспери-менттерді тәжірибе деп атаймыз. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болады.

1-мысал. Теңге бір рет лақтырылады. Бұл тәжірибе. Тәжірибенің нәтижесі оқиға болып есептеледі.

А оқиғасы - елтаңба жағының шығуы.

В оқиғасы-цифр жағының шығуы. Мұнда $A$ және $B$ үйлесімсіз (тоғыспайтын), қарама-қарсы оқиғалар және толық топ құрайды.

2-мысал. Жәшікте тек ақ шарлар бар. «жәшіктен ақ шар алу» - бұл ақиқат оқиға, ал «жәшіктен қара шар алу» - бұл мүмкін емес оқиға.

3-мысал. Жәшікте ақ, қара және қызыл шар бар. Бір шар алынады. Бұл тәжірибе болса, ал тәжірибенің нәтижесі мынадай оқиғалар болуы мүмкін.

А -ақ шар алынды.

В - қара шар алынды.

С - қызыл шар алынды.

Бұл оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар және толық топ құрайды. Бірақ бұл оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар бола алмайды. Қарама-қарсы оқиғаларда тек екі оқиға толық топ құрастырады. Ал біз қарастырып отырған жағдайда үш оқиға бар.

Мына мысалды қарастырайық. Жәшікте 6 стандартты және 4 стандартты емес зат бар. Жәшіктен бір зат алынған. Стандартты затты алу мүмкіндігі стандартты емес затты алуға қарағанда көп екені айқын. Бұл мүмкіндікті сипаттайтын сан ықтималдық деп аталады.

Анықтама. $A$ оқиғасының ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.

А оқиғасының ықтималдықтығы былай белгіленеді $P(A)$ . Сонымен,

$P(A) = \frac{m}{n}\ .$ (1. 1)

Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама немесе Лаплас моделі дейміз. Енді $P(A)$ ықтималдығының қасиеттерін қарастырайық.

1. $P(A)$ ықтималдығы теріс емес функция, яғни $P(A) \geq 0.$

2. $P(A)$ әрқашан $0 \leq P(A) \leq 1$ .

3. Қиылыспайтын (үйлесімсіз) $\ A$ және $B$ оқиғалары үшін, $P(A + B)$ аддитивті функция, яғни $P(AB) = P(A) + P(B)$ .

Бұл үшінші қасиетті ықтималдықтарды қосу теоремасы немесе ықтималдықтарды қосу заң деп атайды.

Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы. Қандай да бір оқиғаның ықтималдығын анықтау үшін оның орындалу жиілігін санау керек.

Жүргізілген $n$ экспериментте берілген оқиға қанша рет орындалғанын абсолюттік жиілік көрсетеді.

Эксперименттің қандай үлесінде оқиғаның орындалғанын салыстырмалы жиілік не жиілік көрсетеді, ол абсолюттік жиіліктің эксперимент санына қатынасы.

$\omega = \frac{n}{m}$ (1. 2)

Оқиғаның орындалу жиілігі мен ықтималдығын ажырата білу керек. Ықтималдық туралы сөз болғанда $n$ - барлық оқиғалар саны, $m$ - қарастырып отырған оқиғаның орындалу саны. Ал жиілік жайлы айтылғанда, $n$ - барлық жүргізілген тәжірибе саны, ал $m$ - оқиғаның пайда болу саны.

Басқаша айтқанда оқиғаның жиілігі статистикалық ықтималдық деп аталады. Осы екі әр түрлі ұғымдардың тәуелділігі үлкен сандар заңы деп аталады. Мұнда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы ретінде көптеп жүргізілген тәжірибенің салыстырмалы жиілігін алуға болады. Тәжірибе неғұрлым көп жүргізілсе жиілігі бойынша оқиғаның ықтималдығын соғұрлым нақты анықтауға болады.

4-мысал. Ойын сүйегі 50 рет лақтырылды. Эксперименттің нәтижелерін кестеге енгізейік. Абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерді есептейік.

Құрылған кестені пайдаланып абсолюттік және салыстырмалы жиіліктердің қасиеттерін анықтау керек.

1. 1-Кесте. Ойын сүйегін лақтырғандағы нәтижелер

Шығу: Шығу

Абсолюттік жиілік: Абсолюттік жиілік

Салыстырмалы жиілік: Салыстырмалы жиілік

Шығу: 1 ұпай түсті

Абсолюттік жиілік: 9

Салыстырмалы жиілік: 0, 18

Шығу: 2 ұпай түсті

Абсолюттік жиілік: 6

Салыстырмалы жиілік: 0, 12

Шығу: 3 ұпай түсті

Абсолюттік жиілік: 8

Салыстырмалы жиілік: 0, 16

Шығу: 4 ұпай түсті

Абсолюттік жиілік: 11

Салыстырмалы жиілік: 0, 22

Шығу: 5 ұпай түсті

Абсолюттік жиілік: 9

Салыстырмалы жиілік: 0, 18

Шығу: 6 ұпай түсті

Абсолюттік жиілік: 7

Салыстырмалы жиілік: 0, 14

Шығу: Эксперименттің барлық саны

Абсолюттік жиілік: 50

Салыстырмалы жиілік: 1

1-қасиет. Абсолюттік жиіліктің қосындысы эксперимент санына тең.

2-қасиет. Салыстырмалы жиіліктің қосындысы 1-ге тең.

Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. Ықтималдықтар теориясының дамуының басында-ақ шектелген тең мүмкіндікті оқиғалар тобын құрастыруға негізделген ықтималдық теориясының «класскалық» анықтамасының жеткіліксіз болатыны ескерілген. Сол уақыттың өзінде-ақ жеке мысалдар қарастыру бұл анықтамаға біршама өзгерістер енгізіп оны ойша шектеусіз көп нәтижелер жағдайына лайықтап құру қажет болды. Мұнда да қайсыбір оқиғалардың тең мүмкінділігі түсінігі негізгі рөл атқарды.

Айталық жазықтықта қайсыбір $G$ аймақ және тиісті шекарасы белгіленген $g$ аймақ болсын. $\ G$ аймаққа тәуекел деп лақтырылған нүктенің $g$ аймаққа түсуінің ықтималдығы неге тең болады?

Лақтырылған нүкте $G$ аймақтың кез келген нүктесіне түсуі мүмкін, ал осы аймақтың қандай да бір бөлігіне түсу ықтималдығы осы бөліктің өлшеміне пропорционал болады да оның орналасуына және түріне тәуелді болмайды.

Тәуекел деп лақтырылған нүктенің $G$ аймақтың $g$ бөлігіне түсу ықтималдығы деп $P(g) = \frac{m(g) }{m(G) }$ қатынасын айтады.

1-сурет

Анықтама. $g$ облысына лақтырылған кездейсоқ нүктенің осы облысқа түсу ықтималдығы $g$ өлшемнің $G$ облыс өлшеміне қатынасына тең, яғни

$P(g) = \frac{(g) . өлш}{(G) . өлш}\ .$ (1. 3)

Мұнда да ықтималдықтың классикалық анықтамасы сияқты үш қасиет орын алады.

1. $P(g)$ теріс таңбалы емес, яғни $P(g) \geq 0.$

2. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, яғни $P(G) = 1.$

3. Қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең.

Геометриялық ықтималдықты анықтауға мысал қарастырайық.

5-мысал. Ұзындығы 20 см кесіндінің ішіне ұзындығы 10 см кіші кесінді орналастырылған. Үлкен кесіндіге кездейсоқ қойылған нүкте кіші кесіндіге түсетінің ықтималдығын тап. Нүктенің кесіндіге түсетінінің ықтималдығы кесіндінің ұзындығына пропорционал және оның орналасуына тәуелді емес.

Шешуі: Бұл есепті шығару үшін ықтималдықтың геометриялық анықтамасының формуласын қолданамыз. Мұнда үлкен кесіндінің ұзындығы $\ L = 20$ см, ал осы ұзын кесіндінің ішінде жатқан кіші кесіндінің ұзындығы $l = 10$ см. Формулаға сәйкес,