Шектері шексіз интегралдар

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

Функцияның шегі
4
Анықталмаған интеграл
4
Анықталған интеграл
5

Меншіксіз интегралдар
7

Шектері шексіз интегралдар
7
Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар
12
Меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері
16

Меншіксіз интегралдардың қолданылуы
21

Практикада кездесетін кейбір меншіксіз интегралды есептеп шығару
21
Меншіксіз интегралдардың физикада қолданылуы
23
VI. Есептер
24
Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда меншіксіз интегралдар туралы қарастырамын. Өзіндік емес интеграл немесе Меншікшіз Интеграл -- Риман интегралы бар болуы үшін төмендегі екі шарттың орындалуы қажетті екені белгілі: 1) функцияның интегралдау кесіндісінде шенеулі болуы; 2) интегралдау кесіндісінің ұзындығы шенеулі болуы. Осы екі шарттың ең кемінде біреуінің орындалмауы өзіндік емес интеграл ұғымына әкеледі. Меншікшіз Интеграл - шектелмеген функциялар және шексіз аралықта берілген функцияларды интегралдау кезінде классикалық интеграл ұғымын жалпылау. Екі жағдайда да меншікшіз интеграл қосымша шектік ауысудың көмегімен әдеттегі интеграл арқылы анықталады.
Егер [a, N] аралығының кез келген ақырғы бөліктерінде f(x) функциясы интегралданса және бар болса, онда оны [a, infinity) интервалындағы f(x) функциясының меншікшіз интегралы деп атайды және түрінде белгіленеді.
- Егер бұл шек бар болса меншікшіз интеграл жинақты, ал шегі болмаса жинақсыз делінеді.
Меншікшіз интегралдың дәл анықтамасын 1823 жылы О.Коши (1789 - 1857) берген. Меншікшіз интегралды есептеуде параметрлері бойынша дифференциалдау және интегралдау, қатарларға жіктеу, қалынды теориясын қолдану, т.б. әдістер қолданылады.
Курстық жұмыстың мақсаты - шектері шексіз интеграл ұғымына түсінік беріп және практикада қоладнылуын көрсетіп, әр түрлі теоремалар арқылы түсіндіру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
Меншіксіз интеграл анықтамасын беріп, теоремаларды түсіндіру;
Шектері шексіз интегралдарға түсінік беріп, олардың жинақтылық белгілерін көрсету;
Меншіксіз интегралдардың практикада кездесетін интегралдарды есептеп шығару.

I. Функцияның шегі
Анықтама. Егер кішкене саны үшін, осы саннан тәуелді санын теңсіздігін қанағаттандыратын барлық нүктелерінде теңсіздігі орындалатындай етіп табуға болса, онда саны -тің нүктесіндегі шегі деп аталады да, деп белгілінеді. Аталған шек түрінде де жазылады.
1 . Қосындының шегі шектердің қосындысына тең.
2 . Көбейтіндінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең.
3 , . Егер болса, онда бөлшектің шегі алымының шегін бөлімнің шегіне бөлгенге тең.
4 . Тұрақты шаманың шегі сол шаманың өзіне тең.
5 . Тұрақты шаманы шектің сыртына шығаруға болады.

*Оң жақты сол жақты шектерді бір жақты шектер деп атайды
функциясының болып х-тің -ге ұмтылғандағы -ге тең шегі осы функцияның сол жақты шегі деп аталады да деп белгіленеді, ал болып х-тің -ге ұмтылғандағы -ге тең шегі функцияның оң жақты шегі деп аталады да, деп белгіленеді.

II. Анықталмаған интеграл
1-Анықтама. Егер кез келген х бір F(х) табылып F'(х)= f(x) тең болып, F(х) - ті берілген аралықта f(x) үшін оның алғашқы функциясы деп айтады.
2-Анықтама. Барлық алғашқы функцияның жиынтығын F(х)+С, f(x) функция анықталмаған интеграл дейді.
Төмендегі символмен белгіленеді:
fxdx=F(x)+C
- интегралдың белгісі
f(x) - интеграл астындағы функция
fxdx-инт. астн. өрнек

Қасиеттері:
1) ʃ d F(x)=F(x)+C
2) d(ʃ f(x)dx)=f(x)dx
3) ʃ k f(x)dx=kʃ f(x)dx
4) ʃ (f(x)+-g(x))dx=ʃ f(x)+-ʃ g(x)dx
Негізгі кестесі:
1) dx=x+C
2) xndx=xn+1n+1+C, (n!=-1)
3) dxx=lnx+C
4) axdx=axlna+C -- exdx=ex+C
5) sinxdx=-cosx+C
6) cosxdx=sinx+C
7) dxcos2x=tgx+C
8) dxsin2x=-ctgx+C
9) dxa2-x2=arcsinxa+C -- Дербес түрі dx1-x2=arcsinx+C
10) dxx2+a2=1aarctgxa+C -- dx1+x2=arctgx+C
11) dxx2-a2=12alnx-ax+a+C -- dxx2-1=12lnx-1x+1+C
12) dxx2+-a=lnx+x2+-a+C
3-Анықтама. Анықталмаған интегралдың негізгі кестесін және оның қасиеттерін қолданатын әдісті тікелей интегралдау әдісі деп айтады.

III. Анықталған интеграл
Қисықсызықты трапецияның ауданы туралы есеп:
1.a=x0x1x2 ... xi˂xi+1˂ ...xn-1 ˂xn=b
2.ξiЄ[xi;xi+1]
3. f(ξi)
4. δᵢ=i=0n-1f(ᶓᵢ)∆x; (1)-сигма интегралдық қосынды
Sδ=i=0n-1f(ᶓ)ox
ρ=i=0n-1mᵢ∆xᵢ
Р=i=0n-1Mᵢ∆xᵢ
limx--0ρ=limx--0P=P
λ=max∆xᵢ P-қисықсызықты трапецияның ауданы
Егер интегралдық қосынды δᵢ[limx--0δᵢ=(2)] болса, онда ол санды а-дан в-ға дейінгі алынған x--0 f(x) функциясының анықталған интеграл деп атайды.
Және төмендегі символмен белгілейді.
У=abfxdx a-төменгі шек, b-жоғарғы шек
Қисықсызықты трапецияның ауданы: S=abfxdx

Қасиеттері:
1. abfxdxab=-bafxdx xi+-1-xi=∆xi
a) ∆xᵢ≫0
b) xᵢ - xi+1=0 xᵢ=0
2. abfxdx=acfxdx+cbfxdx c ∈[a,b]
3. abk fxdx=k abf(x)dx (k=const)a
4. ab[f(x)+-g(x)]dx=abfxdx+-abgxdx
5. f(x)=gx [a,b], abfxdx=abgxdx
6. abfxdx=abf(x)dx
7. m,M [a;b] f(x)
m(b-a)=abfxdx=M(b-a)
abdx=x⃒ba=b-a
Ньютон-Лейбниц формуласы
abfxdx=Fx⃒ba=F(b) - F(a)

F'(x)=f(x) F(c)+C=fdx
Дәлелдеуі:
Ф(x)=axftdt Ф(x)=F(x)+C
Ф'(x)=F'(x)=f(x) Ф'(x)=f(x)
x = a Фa=aaftdt=0
0=F(a)+C C= - F(a)
Ф(x)=axftdt=Fx-Fa
x= b abfxdx=Fb-F(a)

Мысалы:
-11dx1+x2=arctg⃒1-1=arctg1-arctg-1= PI4+PI4=PI2

IV. Меншіксіз интеграл
Шектері шексіз интегралдар
Біздің осы уақытқа дейін қарастырған интегралдарымыздың интегралдау аралығы шексіз болсын. Міне, осы жағдайды қарайық.
Айталық, функция f(x), (a,infinity ) аралығында анықталған және интегралданатын болсын. Сонымен, келесі интегралды
I= alfxdx la
қараймыз.
Егер, l- шексіз өсумен бірге, осы қарастырып отырған интеграл бір тиянақты шекке ұмтылса, онда f(x) функциясын a - дан infinity - ке дейін интегралданатын функция деп атайды. Сөйтіп, анықтауымыз бойынша
ainfinityfxdx= liml--infinityalfxdx (1)
Егер (1) теңдіктің оң жағында тұрған шек бар болатын болса, онда мына интегралды
ainfinityfxdx.
жинақты интеграл деп атайды.
Егер l шексіздікке ұмтылғанда интеграл l ешбір тиянақты шекке ұмтылмаса немесе абсолют шамасы бойынша шексіз өссе, онда мына интегралдың
ainfinityfxdx
мағынасы болмайды және бұл жағдайда интегралды жинақсыз интеграл деп аталады.
Мына төмендегі интегралдар да
-infinitybfxdx және -infinityinfinityfxdx
жоғарыдағыша анықталады. Бұл екі интегралдың кейінгісін былай анықтауға да болады:
liml1--infinityl2+infinityl1l2fxdx = -infinityinfinityfxdx.
Алғашқы F(x) функциясы бар, f(x) функциясы үшін интеграл
ainfinityfxdx
кәдімгі анықталған интеграл қалай есептелініп шығарылса, ол да солай шығарылады, яғни
ainfinityfxdx=Fxinfinitya=Finfinit y-F(a), (2)
мұнда
Finfinity= liml--infinityFl.
Шынында, анықтама бойынша
ainfinityfxdx= liml--infinityalfxdx=liml--infini tyFl-Fa=liml--infinityFl-Fa=Fxinfi nitya.
Мысал. 0infinitydx1+x2=arctg xinfinitya= PI2.
Мысал. 1infinitydxx2=1
Мысал. 1infinity1x1+1x4dx.
lim⁡1infinity1x1+1x4dx=lim1ldxx=li ml--infinitylnl=infinity
Сөйтіп, интерграл
1infinity1x1+1x4dx
жинақсыз.
Шексіз аралықта анықталған немесе шекті аралықтың кейбір нүктелерінде берілген функция шексіздікке айналатын интегралдар меншіксіз интегралдар деп аталады.
Егер мына интегралдар
-infinityaf(x)dx және a+infinityfxdx
жинақты болса, онда мына интеграл да
-infinityinfinityfxdx
жинақты болады және
-infinityinfinityfxdx=-infinityafxd x+a+infinityfxdx. (3)
Меншіксіз интегралдардың келесі қасиеттерін айтып кетейік:
abfxdx=b+infinityfxdx+a+infinityfxd x; (4)
егер f=0, онда a+infinityfxdx=0;
a+infinity[fx+-gx]dx=ainfinityfxdx+ -ainfinitygxdx.
Егер ainfinityfxdx болатын болса, онда
liml--infinitylinfinityfxdx=0
Алғашқы функцияны білмей - ақ меншіксіз интегралдардың жинақтылығы туралы біраз белгілерді келтіруге болады. Одан бұрын мен бір көмекші теоремаға тоқтап кетемін.
Лемма. Айнымалы х мына +infinity- ке ұмтылғанда функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін p мен q сандары бір - біріне тәуелсіз шексіздікке ұмтылғанда мына F(p) - F(q) айырманың нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
Бұл лемманы екінші түрде былай тұжырымдауға болады:
Функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін алдын ала берілген оң мейлінше аз ε санына сәйкес N саны болып табылып, осы N санынан артық p және q сандары p, q =N үшін келесі теңсіздіктің:
Fp-F(q)ε (5)
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Алдымен леммадағы айтылған шарттың қажеттілігін дәлелдейік. Ол үшін аргумент x мына +infinity= - ке ұмтылғанда, функция F(x) тиянақты L санына ұмтылады деп ұйғарайық, яғни
limx--+infinityFx=L,
немесе бәрібір, алдын ала берілген оң ε санына сәйкес N саны табылып, осы N - нен артық х - тер үшін келесі теңсіздік орындалады
Fx-Lε2 .
Айталық, p және q мына N санынын артық кез келген сандар болсын, онда кейінгі теңсіздік бойынша:
Fp-Lε2,
Fq-Lε2. (6)
Егер айнымалы x өзінен кіші a санына ұмтылғанда функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылуы үшін, p мен q сандары өздерінен кіші a санына бір - біріне тәуелсіз ұмтылғанда мына Fp-F(q) айырманың нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
Енді мәселе мына функция
Il= alfxdx (la)
Аргумент l шексіздікке ұмтылағанда тиянақты шекке ұмтыла ма, міне, соны білуде. Жоғарыда атылған лемма бойынша бұл функцияның тиянақты шегі болу үшін төмендегі
Ip-Iq= apfxdx-aqfxdx=qpfxdx
айырманың, p мен q бір - біріне тәуелсіз шексіздікке ұмтылғанда нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті. Осы тұжырымдалған теореманы
qinfinityfxdx
меншіксіз инетегралдың жинақтылығының белгісі немесе критерийі дейді.
Теорема. Егер мына
ainfinityfxdx
меншіксіз интеграл жинақты болса, онда мына
ainfinityfxdx
меншіксіз интеграл да жинақты болады. Керісінше қорытынды кейде дұрыс болмайды.
Бұл теореманы дәлелдеу қиын емес. Шынында, егер p саны q - ден артық болса, онда анықталған интегралдың қасиеті бойынша
pqfxdx=pqfxdx.
Меншіксіз интеграл
ainfinityfxdx
жинақты болғандықтан, кейінгі теңсіздіктің сол жағы жинақтылық белгісі бойынша нольге ұмтылды. Олай болса, бұл теңсіздіктің сол жағы да нольге ұмтылады. Демек, меншіксіз интеграл
ainfinityfxdx
жинақты. Интеграл жинақты болғанымен, абсолют жинақты болмауы мүмкін деп біз жоғарыда айттық.

4.2. Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар
1. Енді [a,b] аралығының екі ұшының бірінде немесе осы аралықтың бойында жатқан немесе бірнеше нүктелерде функция f(x) шексіздікке айналатын жағдайларды қарастырамыз.
Айталық, функция f(x) [a,b] аралығының барлық нүктелерінде үздіксіз болып, бірақ b нүктесінің таяу маңында шексіздікке ұмтылатын болсынү мұндай функцияның (a,b) аралығында алынған интегралын қалай анықтау керек, енді соған келейік.
ε- алдын ала берілген оң мейлінше аз сан болсын, a - ны b - ден кіші деп есептеп, мына a,b,-ε аралықты қарастырайық. Бұл аралықта функция f(x) үздіксіз. Сондықтан ол бұл аралықта интегралданатын функция болып табылады.
Егер F(x) - берілген f(x) функцияның алғашқы функциясы болса, онда
ab-εfxdx =Fb-ε-Fa.
f(x) функцияның [a,b] аралығында алынған интегралы деп біз төмендегі шекті
limε--0ab-εfxdx=abfxdx
айтамыз, әрине, теңдіктің сол жағындағы шек бар болса.
Енді мәселе ε нольге үмтылғанда мына
ab-εfxdx
өрнек тиянақты шекке ұмтыла ма, міне соны білуде.
Егер осы өрнек бір тиянақты шекке ұстылса, онда b нүктесінде шектелген f(x) функциядан алынған
abfxdx
интегралды жинақты деп атайды, ал интегралдың өзін екінші текті меншіксіз интеграл дейді.
Сонымен, жалпы алғанда келесі функция
Iε=ab-εfxdx (7)
оның аргументі ε нольге үмтылғанда тиянақты шекке ұмтыла ма, жоқ па, міне соны тағайындайтын белгіні іздеуіміз керек.
Жоғарыда клетірілген лемманың салдарына сүйеніп, Iε функцияның шегі болуының белгісін былай тұжырымдаймыз:
(7) теңдікпен анықтаған Iε функцияның тиянақтылығы шегі болу үшін төмендегі
I(ε1)-Iε2= ab-ε1fxdx- ab-ε2fxdx=b-ε2b-ε1fxdx
айырманың ε1 мен ε2 бір - біріне тәуелсіз нольге ұмтылғанда, нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
2. Енді [a,b] аралығының барлық ішкі нүктелерінде және x=b нүктесінде үздіксіз, ал x=a нүктесінде шексіздікке айналатын f(x) функцияны қарастырайық. Бұл жағдайда функция f(x) мына (α+ε, b) аралығында интегралданатын функция болып табылады (мұнда ε - кез келген оң мейлінше аз сан).
Егер f(x) функцияның алғашқы функциясы F(x) белгілі болса, онда
α+εbfxdx=Fb-Fα+ε.
Жоғарыда айтылғандай f(x) функцияның [a,b] аралығында алынған интегралы деп келесі шекті
limε--0α+εbfxdx= abfxdx
айтады, әрине, бұл теңдіктің сол жағындағы шек бар болатын болса.
Егер кейінгі теңдіктің сол жағындағы шек бар болса, онда x=a нүктесінде шексіздікке айналатын f(x) функциядан алынған мына
abfxdx
интегралды жинақты деп атайды.
Қарасытырып отырған екінші болуының белгісіне келіп тіреледі. Атап айтқанда, функция
J1ε=α+εbfxdx
өзінің аргументі ε нольге ұмтылғанда, бір тиянақты шекке ұмтылу үшін, келесі айырманың
J1ε-I1ε2= α+ε1bfxdx- aα+ε2fxdx=α+ε2α+ε1fxdx.
ε1 мен ε2 бір - біріне тәуелсіз нольге ұмтылғанда, нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.
3. Енді функция f(x), [a,b] аралығының мына a,c1,c2,...,cm,b нүктелерінде шексіздікке айналатын болсын.
Аралықтың бұл нүктелер жоқ басқа бөліктерінде f(x) - ті интегралданатын функция деп есептейміз. d1,d2,...,dm+1 қосымша бөлунүктелерін енгізіп [a,b] аралығын бірнеше бөлшек сегменттерге бөлеміз. Бұл сегменттердің әрқайсысының ұштарының біреуінде функция f(x) шексіздікке интеграл былай анықталады:
abfxdx= ad1fxdx+d1c1fxdx+d2c3fxdx+...+dm+1b fxdx.
Егер осы теңдіктің оң жағындағы интегралдар бар болатын болса, онда меншіксіз интеграл
abfxdx-та
бар болады.
Жоғарыда айтылған белгіні пайдаланып, келесі теореманы дәлелдеуге болады: егер екінші текті меншіксіз интеграл
abfxdx
жинақты болса, онда мына
abfxdx
интеграл да жинақты болады, ал керісінше қорытынды кейде дұрыс болмайды.
Айталық, функция f(x) мына ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.