Қарапайым рационал бөлшек функцияларды интегралдау

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

Анықталмаған интеграл
4
1.1. Анықталмаған интеграл ұғымы
4
1.2. Анықталмаған интеграл қасиеттері
5
1.3. Анықталмаған интеграл кестесі
6
Анықталған интеграл
7
2.1. Анықталған интеграл ұғымы
7
2.2. Анықталған интеграл қасиеттері
7
2.3. Ньютон-Лейбниц формуласы
9
Анықталған интегралдың қолданылуы
9
3.1. Қисық доғасының ұзындығы
9
3.2. Жазық фигура ауданы
11
3.3. Айналу денесінің көлемі
13
Рационал функцияларды интегралдау
14
Рационал функция ұғымы
14
Қарапайым рационал бөлшек функцияларды интегралдау
16
Рационaл функцияларды интегралдауға қатысты есептер жинағы
28
Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе
Рационал функция -- х айнымалысы мен тұрақты шамаларға саны шекті арифметикалық амалдарды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қолданғаннан пайда болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай: мұндағы a0, a1, an, b0, b1, bm (a0-0, b0-0) -- тұрақтылар, ал n мен m -- оң бүтін сандар. Рационал функция бөлшектің бөлімі нөлге айналмайтын нүктелердің бәрінде анықталған. m=0 болған жағдайда R(x) функциясы бүтін Рационал функция немесе көпмүше деп аталады. Ал кез келген Рационал функция көпмүшеліктердің қатынасы ретінде де қарастырылады. Рационал функцияны дифференциалдау мен интегралдау амалдары оңай орындалады, Рационал функцияның туындысы да Рационал функция болады. Рационал функцияның интегралы әр уақытта элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Рационал функция -- алгебр. функцияның дербес жағдайы. Бірнеше айнымалылардың Рационал функциясы алымы мен бөлімі бірнеше айнымалылардың көпмүшелігі болатын бөлшек ретінде анықталады.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Зерттеудің мақсаты: рационал функциялар және оларды интегралдау жолдарын талдау.
Зерттеудің міндеті: рационалдық функцияларды интегралдаудағы теориялық бөлімін қарастыру.
Рационалдық функцияларды интегралдауды есептер мен мысалдарда қарастыру.
Зерттеу әдістері: талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап,
тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Анықталмаған интеграл

Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері

Дифференциалдау амалына кері амал, яғни әрқайсысының туындысы берілген функцияға тең болатын барлық функцияны табу амалы, интегралдау деп аталады.
Егер Х аралығында үзіліссіз f(x) функциясы үшін әрбір x∈X мәнінде F'x=f(x)немесе dF(x)=f(x)dx болатындай F(x) функциясы табылатын болса, онда F(x) функциясы f(x) үшін X аралығында алғашқы функция (немесе алғашқы образ) деп аталады.
Егер X=[a, b] болса, онда F ′ (a)= f(a), F ′ (b)= f(b) болуы тиіс.
Анықтама. [a; b] кесіндісінің әрбір нүктесінде

F'x=fx

теңдігі орындалатын болса, онда осы кесіндіде F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы,

(13cos3x)'=-sin3x,

13cos3x~-sin3x үшін алғашқы функция.
Алғашқы функциялардың негізгі қасиеті: С тұрақтысының кез-келген мәнінде F(x)+C функциясы f(x) үшін алғашқы функция болады немесе f(x) функциясының кез-келген G(x) алғашқы функциясы G(x)=F(x)+C, C=const түрінде өрнектеледі. Бұл тұжырымның геометриялық мағынасы: f(x) функциясының кез-келген екі алғашқы функциясының графиктері бір-бірінен Oy осі бойымен параллель көшіру арқылы алынады.
Әдетте, алғашқы функциясын табу барысында f(x) функциясының берілген аралығы көрсетілмейді. Бұл жағдайда алғашқы функцияны f(x) үшін табиғи анықталу облысында табады.
f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және fxdx түрінде белгіленеді. Сонымен анықтама бойынша: fxdx=Fx+C, C- кез келген тұрақты сан. Яғни, функцияның анықталмаған интегралы - оның алғашқы функцияларының жалпы түрі.
fxdx анықталмаған интегралында: x - интегралдау айнымалысы; f(x) - интеграл астындағы функция; fxdx - интеграл.
Анықтамадан анықталмаған иинтегралдың негізгі қасиеті шығады:

[fxdx]'=fx,

яғни анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функция тең. Басқаша айтқанда: dfxdx'=fxdx, яғни анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең.
Сонымен қатар: dFx=Fx+C.
Функцияларды интегралдаудың барлық әдістері негізінде қарапайым функциялар интегралдары жатады.
Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:
[fxdx]=fx dFx=fxdx

dFx=Fx+C

A∙fxdx=Afxdx, A- нақты сан

fx+-g(x)dx=fxdx+-gxdx

Егер Х аралықтаfxdx=Fx+C болса, онда сол аралықта ax+bdx=1aFax+b+C

fxdx=Fx+C болса, онда fudu=Fu+C мұндағы u=ux, теңдік орындалады.

Негізгі анықталмаған интегралдар кестесі:

0∙dx=C

1∙dx=x+C

xαdx=xα+1α+1+C, α!=-1

dxx=lnx+C x!=0

axdx=axlna+C, 0a!=1

exdx=ex+C

sinxdx=-cosx+C

cosxdx=sinx+C

dxcos2x=tanx+C, x!=PI2+kPI, k∈Z

dxsin2x=-cotx+C, x∈kPI,kϵZ

dx1-x2=sinhx+C, x1

dxa2-x2=sinhxa+C, xa

dx1+x2=tanhx+C

dxa2+x2=1atanhxa+C

dxx2+a=lnx+x2+a+C, a!=0

dxa2-x2=12alna+xa-x+C, x!=a

tanxdx=-lncosx+C

cotxdx=lnsinx+C

Ескерту. 7 қасиет бойынша кестедегі формулалар x-тің орнына u=uxфункциясын қойғанда да орындалады. Мысалы cosu(x)du=sinu(x)+C
Анықталмаған интегралдан алынған туынды интеграл астындағы функцияға тең:
f(x)dx'=fx.
Анықталмаған интегралдан алынған дифференциал интеграл астындағы өрнекке тең, яғни дифференциал мен интеграл кері амалдар сияқты бірін бірі жояды:
dfxdx=f(x)dx.
Дәлелдеу.

df(x)dx=f(x)dx'dx=Fx+C'dx=F'xdx=fxd x.

Функцияның дифференциалынан алынған анықталмаған интеграл функцияның өзімен ерікті тұрақтының қосындысына тең:
dfx=fx+C.
Дәлелдеу.

dfx=f'xdx=F1x+C,ал бұл F1'x=f'x немесе F1x=fx және өрнек fx+C-ға тең.

Егер интеграл астындағы fx функциясы жұп (тақ) болса, онда алғашқы функциясы тақ (жұп) болады.
(Бұл қаситетті басқаша былай тұжырымдауға болады:
дифференциалданғанда және интегралданғанда функция өзінің жұптығын немесе тақтығын қарама-қарсысына өзгертеді).
Дәлелдеу.

fx жұп функция болсын, яғни f-x=fx.
fxdx=F(x)
интегралын қарастырамыз. F(-x) мәнін табамыз,

F-x=f-xd-x=fxd-x=-fxdx=-Fx, өйткені fx-жұп функция.

Сонымен, F-x=-Fx, яғни Fx-тақ алғашқы функция.

Кейбір интегралдар кестесі

cosudu=sinu+C; sinudu=-cosu+C;

1cos2udu=tanu+C; 1sin2udu=-cotu+C;

Бұл кесте аргументі тек x функциясы үшін емес, күрделі u(x) функциясы үшін келтіріліп отыр.

sinxdx=-cosx+C; sin(x)3d(x)3=-cosx3+C;

etan5xdx=etan5x+C.

2. Рационалдық функцияларды интегралдау

2.1 Рационал функцияларды интегралдау жолдары

Интегралдары әрдайым қарапайым функциялар арқылы өрнектелетін функциялардың маңызды бір тобын рационал функциялар, яғни Pn(x)Qm(x)

бөлшегі түріндегі (мұндағы: Pn(x) және Qm(x) - сәйкесінше n - ші және m - ші ретті функциялар) құрайды.
Егер n=m болса, онда бөлу амалын орындау нәтижесінде функцияның бүтін бөлігі (көпмүшелік) және дұрыс бөлігі (алымындағы көпмүшелік реті - нен кем бөлшек) ажыратылады:

Pn(x)Qm(x) ꞊ W(x) + Rk(x)Qm(x), km.

Сондықтан: Pn(x)Qm(x)dx=Wxdx+Rk(x)Qm(x)dx,

яғни, рационал-бөлшек функцияны интегралдау интегралы таблицалық болып табылатын бүтін рационал W(x) функциясын интегралдауға және

дұрыс рационал Rk(x)Qm(x) бөлшегін интегралдауға келтіріледі.

Ал дұрыс бөлшек түріндегі функцияны интегралдау оны алдын ала саны арқылы мынадай түрлердегі қарапайым рационал бөлшектерге жіктеу арқылы орындалады:

Аx-a ,

А(x-a)k ,

Ax+Bx2+px+q ,

(Ax+B)〖(x^2+px+q)〗^k , p²4q0.

Мұның негізіне алгебра курсынан белгілі теоремалар жатады:
Коэффициенттері нақты сандар болатын, m-ші ретті кез келген Qm(x) көпмүшелігін бір ғана тәсілмен

Amx-a1γ1 (x-a2)γ2 . . . x-arγr x2+p1x+q1l1

(x2+p2x+ q2)l2 . . . x2+psx+qs)ls көбейтіндісі түрінде

өрнектеуге болады. Мұндағы: a1 , a2 . . . ar - көпмүшеліктің сәйкесінше

γ1 , γ2 . .. , γr еселі нақты түбірлері, ал квадрат үшмүшеліктер-көпмүшеліктің l1 , l2 . . . , ls еселі өзара түйіндес комплекс түбірлеріне сәйкес келетін көбейткіштер,

γ1+γ2+. . .+γr+l1+l2+. . .+ls=m,

14 pj2- qj 0, j=1, 2, . .., s;

Кез- келген дұрыс рационал бөлшек бір ғана тәсілмен 1 - 4 түрлердегі саны арқылы қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеледі:

Rk(x)Qm(x)=A1,1(x-a1)+A1,2(x-a1)2+. . .+A1,γ1(x-a1)γ1+A2,1(x-a2)+A2,2(x-a 2)2+. . .+A2,γ2(x-a2)γ2+. . .

+B1,1x+C1,1x2+p1x+q1+B1,2x+C1,2(x2+ p1x+q1)2+ . . . +B1,l1x+C1,l1(x2+p1x+q1)l1+ . . . +Bs,1x+Cs,1x2+psx+qs+

+Bs,1x+Cs,2(x2+psx+qs)2+ . . . +Bs,lsx+Cs,ls(x2+psx+qs)ls .

Жіктелу коэффициенттерін анықтаудың қарапайым әдістерінің бірі - белгісіз коэффициенттер әдісі. Оның мағынасы: теңбе-теңдіктің оң жағы ортақ бөлімге келтіріледі, алымында шыққан көпмүшелік пен Rk(x) көпмүшелігіндегі х айнамалысының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттер теңестірілгенде, шешімі жіктелудің ізделінді коэффициенттері болатын сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Коэффициенттерді анықтайтын жүйені дербес мәндер әдісі бойынша да құруға болады (теңбе - теңдіктің екі жағына да х айнымалысының кейбір қолайлы дербес мәндерін қою арқылы). Кейде аталған екі әдісті үйлестіре қолданған тиімді болуы мүмкін.
Сонымен, дұрыс рационал - бөлшек түріндегі функцияның интегралы оның жіктелуіндегі қарапайым бөлшектер интегралдарының қосындысы ретінде табылады.

Қарапайым рационал функцияларды интегралдау:

Ax-adx=Ad(x-a)x-a=Alnx-a+C;

Ax-akdx=Ax-a-kd x-a=Ax-a-k+11-k+C, k!=1;

Bx+Cx2+px+qdx=AB 22x+p+(C-Bp2)x2+px+qdx= B22x+pdxx2+px+q+

+ (C - Bp2) dx(x+p2)2+(q-p24)= B2 lnx2+px+q+

+2C-Bp4q-p2 arctg 2x+p4q-p2+C;

Bx+C(x2+px+q)kdx= B2 11-kx2+px+q+C-Bp2Ik.

Мұндағы: Ik = dx(x+p2)2+(4q-p22)2k интегралы

Ik= 2(k-1)(4q-p2) 1(x2+px+q)k-1+(2k-1)Ik-1 , k 1 ,

Рекуренттік формуласы бойынша табылады,

I1= dxx2+px+q= 24q-p2 arctg 2x+p4q-p2+C.

Егер Q(x) көпмүшелігінің еселі түбірлері бар болса, онда R(x)Q(x) дұрыс

бөлшегінің интегралын М. В. Остроградский формуласы бойынша табуға болады:
R(x)Q(x)dx= R1(x)Q1(x)+ R2(x)Q2(x)dx ,

Мұндағы: Q1x көпмүшелігі - Q(x) пен оның Q'(x) туындысының ең үлкен

ортақ бөлгіші; Q2x=Qx: Q1x; R1x пен R2(x) - реттері

сәйкесінше Q1x пен Q2x реттерінен 1-ге кем көпмүшеліктер. Олар

R(x)Q(x)=( R1xQ1x)'+ R2(x)Q2(x)

теңбе - теңдігін белгісіз коэффициенттер әдісі бойынша анықталады. Бұл формула интегралдауға кіріспей - ақ және бөлшектің бөлімін көбейткіштерге жіктемей - ақ интегралдың рационал бөлігін ажыратуға мүмкіндік береді.

Анықталмаған интегралдарды есептеп шығарудың қарапайым тәсілдері кез - келген интегралды есептеп шығарудың жалпы жолын күні бұрын дәл көорсетпейді. Әрбір берілген интегралды есептеу, шығарудың лайықты жолын тауып алу шығарушының жаттығуының дәрежесіне байланысты болып келеді. Сондықтан бұл жаттығуларда функциялардың кейбір маңызды кластарына толығырақ тоқтап, сонымен бірге олардан анықталмаған интеграл табу үшін қолданылуға тиісті есептеу тәртіптерін баяндап көрсек.
Егер бүтін рационалдық функция

F(x) = a0xn+ a1xn-1+ . . . + an

берілсе, оны бірден интегралдауға болады, атап айтқанда:

Fxdx= a0xndx+ a1xn-1dx+ . . . + andx=

= a0n+1xn+1+ a1nxn+ . . . + anx+C болады.

Ал, егер алымы да, бөлімі де көпмүшеліктер болатын f(x)φ(x)

түріндегі бөлшек рационалдық функция берілсе, оны бірден интегралдау басым көпшілік жағдайда мүмкін емес.

Егер f(x) көпмүшелігінің дәрежесі φx көпмүшелігінің дәрежесінен

төмен болмаса, f(x) -ті φ(x) - ге бөлсек, берілген бөлшек рационалдық

функция мына қосынды түрінде жазылар еді:

f(x)φ(x)= δx+ h(x)φ(x).

Бұнда: δ(x) көпмүшелігі деп f(x) - ті φx-ге бөлуден шыққан бүтін

бөлікті, ал h(x) арқылы дәрежесі φx-тің дәрежесінен төмен болатые

қалдықты белгіледік. Сонда h(x)φ(x) дұрыс бөлшек болады. Бүтін рационалдық

функцияны қалай интегралдау керек екенін қазір ғана анықтағанбыз. Сол себепті бөлшек рационалдық функцияны интегралдау дегеніміз дұрыс бөлшекті интегралдау жөніндегі мәселе болып шықты. Сондықтан біз дұрыс бөлшекті интегралдау мәселесін қарастыралық.

Сөйтіп, бізден P(x)Q(x)dx - ті табу талап етілсін. Бұндағы P(x)Q(x)

қысқартылмайтын бөлшек деп ұйғарамыз. Сонымен бірге Q(x) - дің

коэффициенті 1 - ге тең деп есептеледі, өйткені ол коэффициент 1 - ге тең болмаған күнде, оны интеграл белгісінің алдына шығарып жіберуге болады.

P(x)Q(x) бөлшегінің төменде келтірілген элементарлық бөлшектердің

қосындысына қалай жіктелетіні баяндалған:

Ax-a , A(x-a)k k=2, Mx+Nx2+px+q , Mx+N(x2+px+q)n n=2.

Бұндағы M, N, A, a, p, q - нақты сандар болатын да, x2+px+q

үшмүшелігінің нақты түбірі жоқ, яғни

p24-q 0

болады делінген.

Сонда дұрыс рационалдық P(x)Q(x) бөлшегін интегралдау жоғарыда

келтірілген элементарлық, яғни жай бөлшектерді интегралдау болып шықты. Енді осы бөлшектерді қалай интегралдау туралы мәселеге көшелік.

Егер Ax-a бөлщегі берілсе, оның интегралы мынау болады:

Ax-adx=A lnx-a+C. (1)

Егер

Ax-ak k=2

бөлшегі берілсе, x - тің (-infinity ;a ) және (a ; +infinity ) интервалындағы

барлық мәндері үшін оның интегралы былай табылыды:

A(x-a)kdx=A(x-a)-k d x-a= ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.