Үзіліссіз функцияларға есептер

Мазмұны

Кіріспе

Айталық $f(x)$ функциясы $Х\$ сан жиынында анықталсын.

анықтама. Егер $f(x)$ функциясының $x_{0} \in X$ нүктесінде шегі бар болып, ол $f(x)$ функциясының сол нүктедегі мәні $f\left( x_{0} \right)$ -ге тең болса, онда $f(x)$ функциясын $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз деп атайды.

Бұл анықтаманы үзіліссіздіктің формальды анықтамасы дейді.

Функция үзіліссіз болатын нүктені үзіліссіздік нүктесі дейді.

анықтама. (Гейне) . Егер Х жиынынан алынған кез келген $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots$ тізбегі $x_{0}$ санына жинақты болғанда осы тізбекке сәйкес келетін $f\left( x_{1} \right), f\left( x_{2} \right), \ldots, f\left( x_{n} \right), \ldots$ тізбегі $f(x_{0})$ санына жинақты болса, онда $f(x)$ функциясын $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз дейді.

анықтама. (Коши) . Егер кез келген $\varepsilon > 0$ санына сәйкес $\delta = \delta^{\ (\varepsilon) > 0}$ саны табылып

$\left x - \ x_{0} \right < \delta$

теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері үшін

$$\left f(x) - f\left( x_{0} \right) \right < \varepsilon$$

теңсіздігі орындалса, онда $f(x)$ функциясын $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Оны $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) =}\ f\left( x_{0} \right)$ жазады.

Енді $x - x_{0} = \mathrm{\Delta}x,$ ал сәйкес келетін функция өсімшесін $\mathrm{\Delta}y = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - \ f\left( x_{0} \right)$ деп белгілейміз.

Егер $x_{0}$ нүктесіндегі аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның шексіз аз өсімшесі сәйкес келсе, онда $y = f(x)$ функциясын $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз деп атайды да былай жазады:

$$\lim_{x \rightarrow 0}{\mathrm{\Delta}y = 0}$$

Егер $y = f(x)$ функциясы Х сан жиынының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда $f(x)$ функциясын Х жиынында үзіліссіз деп атайды.

Егер $x_{0}$ нүктесінде $f(x)$ функциясы үзіліссіз болмаса, онда $x_{0}$ нүктесін $f(x)$ функциясының үзіліс нүктесі деп атайды, ал функцияның өзін осы нүктеде үзілісті дейді.

Егер $f(x)$ функциясы $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз болса, онда

$f\left( x_{0} + 0 \right) = f\left( x_{0} - 0 \right) = f\left( x_{0} \right)$ орындалатыны белгілі.

Егер $f\left( x_{0} + 0 \right)$ және $f\left( x_{0} - 0 \right)$ шекті шектер бар, бірақ ол $f\left( x_{0} \right)$ - ден өзгеше болса, онда х0 нүктесін бірінші текті үзіліс нүкте деп атайды.

$f\left( x_{0} + 0 \right) - f\left( x_{0} - 0 \right)$ - $айырмасын\ \ f(x)$ функциясының $x_{0}$ нүктесіндегі “секірісі” деп атайды.

Егер $f\left( x_{0} + 0 \right) = f\left( x_{0} - 0 \right)$ болса, онда $x_{0}$ нүктесін жойылатын үзіліс нүкте деп атайды.

Егер оң немесе сол жақты шектердің жоқ дегенде біреуі болмаса, онда $x_{0}$ нүктесін $f(x)$ функциясының екінші текті үзіліс нүктесі дейді.

Курстық жұмыстың мақсаты: Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттерін ашу, элементар функциялардың үзіліссіздігін зерттеу.

1 Үзіліссіз функция

1. 1 Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі

Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігін анықтау $х_{0}$ нүктесі $у = f(x)$ функциясының анықталу облысында жатсын және $х_{0}$ нүктесінде кез келген маңайы $D(f)$ облысының $х_{0}$ -ден өзге де нүктелерін қамтиды дейік.

1-анықтама. Егер

$\lim_{х \rightarrow х_{0}}{f(x) = f(x_{0}) }$ (1)

болса, онда $х_{0}$ нүктесінде f функциясы үзіліссіз деп аталады. $х_{0} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}x$ болғандықтан, (1) теңдіктен $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = f(\lim_{x \rightarrow x_{0}}{x) }}$ , яғни үзіліссіз функция үшін шекке көшу «lim» символы мен функция сипаттамасы «f» символының орындарын ауыстырып жаза беруге болады.

Егер (1) теңдікте f( $x_{0})$ санын теңдіктің сол жағына көшіріп және одан шек алатын болсақ, сонымен бірге, $x \rightarrow x_{0}\ \ және\ \$ $\ x - \ x_{0} \rightarrow 0$ шарттарының мәндестігін ескерсек, онда

$$\lim_{x - x_{0} \rightarrow 0}{\left\lbrack f(x) - f(x_{0}) \right\rbrack = 0}$$

$x - x_{0}$ айырымын аргумент өсімшесі деп атап, $x - x_{0} = \mathrm{\Delta}x$ арқылы белгілейік. Сонда $x = x_{0} + \mathrm{\Delta}x; ал$

$$f(x) - f\left( x_{0} \right) = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f\left( x_{0} \right) = \mathrm{\Delta}f\left( x_{0} \right), \mathrm{\Delta}f(x_{0})$$

функцияның $x_{0}$ нүктесіндегі сәйкес өсімшесінің белгіленуі. Сонда теңдік мына түрде жазылады:

$$\lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\mathrm{\Delta}f(x_{0}}) = 0$$

Бұдан нүктедегі үзіліссіз функция үшін аргументтің ақырсыз кіші өсімшесіне функцияның сол нүктеде ақырсыз кіші өсімшесі сәйкес келетіні шығады.

Сонымен, бірінші анықтама мынадай үш шарттың орындалуымен мәндес деп саналады.

1) $x_{0}$ нүктесі өзінің қандай болса да бір маңайымен қоса анықталу D(f) облысына тиісті болады;

2) $x_{0}$ нүктесінде функцияның бір жақты шектері бар және олар өзара тең:

$$\lim_{x \rightarrow x_{0} - 0}{f(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0} \mp 0}{f(x) }}$$

3) функцияның бір жақты шектері оның осы $x_{0}$ нүктесіндегі мәніне тең болады:

$$f\left( x_{0} - 0 \right) = f\left( x_{0} + 0 \right) = f(x_{0})$$

осы айтылған тұжырым практикада қолдану үшін аса қолайлы.

2-анықтама . Егер

$\lim_{x \rightarrow x_{0} - 0}{f(x) = f(x_{0}) }$ ( $\lim_{x \rightarrow x_{0} + 0}{f(x) = f(x_{0}) }$ )

теңдігі орындалса, онда f функциясы $х_{0}$ нүктесінде сол (оң) жақты үзіліссіз функция деп аталады.

3-анықтама. Егер f функциясы қандай болса да бір аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол сол аралықта үзіліссіз функция деп аталады.

Мысалы, f функциясы (a, b) интервалының әрбір нүктесінде үзіліссіз болып, ал a нүктесінде оң жақтан ( $\lim_{x \rightarrow a + 0}{f(x) = f(a) ) }$ және b нүктесінде сол жақтан ( $\lim_{x \rightarrow b - 0}{f(x) = f(b) ) }$ үзіліссіз функция болса, онда ол $\lbrack a, b\rbrack$ кесіндісінде үзіліссіз функция болады.

Мысалдар.

1) f(x) = $x^{n}(n \in N)$ функциясы кез келген $x_{0} \in ( - \infty, + \infty)$ нүктесінде үзіліссіз функция болады. Шынында да, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = \lim_{x \rightarrow {\ x}_{0}}{x^{n} = (\lim_{x \rightarrow x_{0}}{{x) }^{n} = x_{0}^{n = f\left( x_{0} \right),$ яғни $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x) = f\left( x_{0} \right) . }$

2) f(x) = $x$ функциясы бүкіл сан түзуінде үзіліссіз. Өзіміз білетіндей,

$$x = \left\{ \begin{array}{r} - x, \ \ \ x < 0 \\ 0, \ \ \ x = 0 \\ x, \ \ \ x > 0 \end{array} \right. \$$

Бұдан, егер 1-мысалды ескерсек, $х$ функциясы х-тің барлық оң және теріс мәндерінде үзіліссіз болатыны шығады.

Енді осы функцияның х=0 нүктесінде де үзіліссіз болатынын көрсетейік. Шынында да,

$\lim_{x \rightarrow - 0}{x = - \lim_{\begin{array}{r} x \rightarrow 0 \\ x < 0 \end{array}}{x = 0; }}$ $\lim_{x \rightarrow + 0}{x = \lim_{\begin{array}{r} x \rightarrow 0 \\ x > 0 \end{array}}{x = 0}}$ болғандықтан, керек шарттардың барлығыда түгелдей орындалады.

Демек, f(x) = $x$ бүкіл сандық түзуде үзіліссіз болады.

3) f(x) = $\left\{ \begin{array}{r} 2x, \ \ \ 0 \leq x < 1 \\ 3 - x, \ \ \ 1 \leq x \leq 2 \end{array} \right. \$

Түрінде берілген f функциясының $\lbrack 0; 2\rbrack$ кесіндісінде үзіліссіз болатынын тексерейік. (0, 1) және (1, 2) интервалдарының кез келген нүктесі үшін үзіліссіздіктің 1-анықтамасын тексеру оңай.

$\lim_{x \longrightarrow + 0}{f(x) = \lim_{\begin{array}{r} x \longrightarrow 0 \\ x > 0 \end{array}}{2x = 2\lim_{\begin{array}{r} x \longrightarrow 0 \\ x > 0 \end{array}}{x = 2 \bullet 0 = 0}}}$ болғандықтан, х $= 0$ нүктесінде функция оң жақты үзіліссіз болады.

$$\lim_{x \longrightarrow 1 - 0}{f(x) = \lim_{\begin{array}{r} x \longrightarrow 1 \\ x < 1 \end{array}}{2x = 2\lim_{\begin{array}{r} x \longrightarrow 1 \\ x < 1 \end{array}}{x = 2 \bullet 1 = 2; }}}$$

$\lim_{x \longrightarrow 1 + 0}{f(x) = \lim_{\begin{array}{r} x \longrightarrow 1 \\ x > 1 \end{array}}{(3 - x) = 3 - \lim_{\begin{array}{r} x \longrightarrow 1 \\ x > 1 \end{array}}{x = 3 - 1 = 2; \ \ }}}$ f(1) =3-1=2, яғни f(1-0) =f(1+0) =f(1) , болғандықтан, х=1 нүктесінде функция екі жақты үзіліссіз.

Осыған ұқсас түрде х=2 нүктесінде f функциясы сол жақты үзіліссіз болатыны тексеріледі. Сонымен, берілген f функциясы $\lbrack 0; 2\rbrack$ кесіндісінде үзіліссіз болады.

Функция шегінің 1 және 2-анықтамаларына ұйқастырып $х_{0}$ нүктесіндегі f функциясының үзіліссіздігінің анықтамаларын тұжырымдап айтайық.

4-анықтама. Егер кез келген $\left\{ x_{n} \right\}, \ n \in N$ тізбегі үшін $\lim_{n \longrightarrow \infty}{x_{n} = x_{0}}$ теңдігі орындалып, оған сәйкес $\left\{ f(x_{n}) \right\}$ тізбегі жинақталып және $\lim_{n \longrightarrow \infty}{f\left( x_{n} \right) = f(x_{0}) }$ теңдігі орындалса, онда f функциясы $х_{0}$ нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады.

1-ескерту. Осы айтылған анықтамада $х_{0}$ нүктесіндегі функция шегінің 1-анықтамасымен салыстырғанда

$x_{n} \neq x_{0},$ n∊N тізбегіне f( $x_{0})$ -ге тең элементтерді тіркеп жазса, онда осы жаңа тізбек те f( $x_{0})$ -ге жинақталатын болады.

5-анықтама. Егер кез келген ε $>$ 0 саны үшін оған тәуелді δ>0 саны табылып, $\left x - x_{0} \right$ <δ шартын қанағаттандыратын барлық x үшін $\left f(x) - f(x_{0}) \right$ < ε теңсіздігі орындалса, онда f функциясы $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

2-ескерту. Осы айтылған анықтамада ( $\lim_{x \longrightarrow x_{0}}{f(x) }\ \$ 2-анықтамасымен салыстырғанда) х $\neq х_{0}$ шарты талап етілмеген; бұл шартты алып тастаймыз, өйткені x= $x_{0}$ болса, f( $x_{0}) - f\left( x_{0} \right) = 0$ болғандықтан, кез келген ε> 0 саны үшін $\left f(x) - f(x_{0}) \right < \varepsilon$ теңсіздігі орындалады.

1. 2 Үзіліссіз функциялардың кейбір жергілікті (локальдік) қасиеттері

Функциялардың жергілікті қасиеттері деп, оның анықталу облысында жатқан бекітілген бір нүктенің мейлінше кішкене маңайында орындалатын қасиеттерді айтады. Мысалы, $х_{0}$ нүктесіндегі $f$ функциясының үзіліссіздігі оның жергілікті қасиеті болып саналады. Функцияның бұдан өзге тағы екі жергілікті қасиетін мына теоремалар арқылы береді.

1-теорема. Егер $х_{0}$ нүктесінде $\ f$ функциясы үзіліссіз болса, онда осы нүктенің қандай болса да бір маңайында ол функция шенделген болады.

Бұл тұжырымдалған теорема шегі бар функциялардың шенделгендігі туралы теореманың салдары болады ( $х_{0}$ нүктесіндегі $f$ функциясының үзіліссіздігінен $\lim_{x \longrightarrow x_{0}}{f(x) = f(x_{0}) }$ болатыны шығады) .

2-теорема. ( нүктеде үзіліссіз функцияның өз таңбасын сақтауы туралы) . Егер $х_{0}$ нүктесінде f функциясы үзіліссіз болып және f ( $x_{0})$ мәні оң (теріс) болса, онда ол функция $х_{0}$ нүктесінің қандай болса да бір маңайында да оң (теріс) болады.

Дәлелдеуі. $х_{0}$ нүктесінде f функциясы үзіліссіз болсын. 1-анықтаманы пайдаланайық. Сонда

$\left f(x) - f\left( x_{0} \right) \right < \varepsilon \Longleftrightarrow - \varepsilon < f(x) - f\left( x_{0} \right) < \varepsilon$ ⟺f( $x_{0}) - \varepsilon < f(x) < f\left( x_{0} \right) + \varepsilon$ .

Сонымен, кез келген ε>0 үшін δ>0 табылып, $\left x - x_{0} \right < \delta$ шартын қанағаттандыратын барлық х үшін $f\left( x_{0} \right) - \varepsilon < f(x) < f\left( x_{0} \right) + \varepsilon$ теңсіздігі орындалады.

ε =0, 5 $\left f(x_{0}) \right$ етіп алайық. Соңғы теңсіздіктегі $f\left( x_{0} \right) > 0$ болғанда $f\left( x_{0} \right) - \varepsilon$ және $f\left( x_{0} \right) + \varepsilon$ сандары да оң, ал $f\left( x_{0} \right) < 0$ болғанда олардың екеуі де болатынына көз жеткізу қиын емес. Шынында да, мысалы $f\left( x_{0} \right) < 0$ болғанда ε=0. 5 $\left f(x_{0}) \right = - 0. 5f\left( x_{0} \right) > 0,$

$$f\left( x_{0} \right) - \varepsilon = f\left( x_{0} \right) + 0. 5f\left( x_{0} \right) = 1. 5f\left( x_{0} \right) < 0,$$

$$f\left( x_{0} \right) + \varepsilon = f\left( x_{0} \right) - 0. 5f\left( x_{0} \right) = 0. 5f\left( x_{0} \right) < 0$$

Сонымен f функциясы $х_{0}$ нүктесіндегі таңбасын барлық x∊ $U_{\delta}(x_{0})$ нүктелерінде де сақтап қалатынын көреміз.

1. 3 Функцияның үзіліс нүктелері және олардың түрлері. Бөлік -бөлік үзіліссіз функциялар

Анықтама. Функцияның үзіліссіздік қасиеті орындалмайтын нүктелерді осы функцияның үзіліс нүктелері деп атайды.

Сондықтан функцияның әрбір үзіліс нүктесінде оның үзіліссіздік шарттарының кемінде бір шарты бұзылады. Осы шарттардың бірі болмаса бірі орындалмауына қарай үзіліс нүктелері мына түрлерге бөлінеді.

1. Жойылатын үзіліс. Егерlim⁡x→x0f(x0) \lim_{x \longrightarrow x_{0}}{f(x_{0}) }бар болып жәнех0х_{0}\нүктесіндеfфункциясы не анықталмаған, не болмасаf(x0) ≠lim⁡x→x0f(x) f(x_{0}) \neq \lim_{x \longrightarrow x_{0}}{f(x) }болса, ондах0х_{0}\нүктесіfфункциясының жойылатын үзіліс нүктесі депаталады. Мысалы, х=0 нүктесіf(x) =sinxxf(x) = \frac{sinx}{x}функциясының жойылатын үзіліс нүктесі болады. Шынында да, lim⁡x→x0sinxx=1\lim_{x \longrightarrow x_{0}}\frac{sinx}{x} = 1, алайда x=0 нүктесінде берілген функция анықталмаған. Егерx0x_{0}нүктесіfфункциясының жойылатын үзіліс нүктесі болса, онда бұл үзілісті функцияныңх0х_{0}нүктесінен өзге нүктелердегі мәндерін өзгертпей де жоюға болады. Ол үшінf(x0) =lim⁡x→x0f(x) f\left( x_{0} \right) = \lim_{x \longrightarrow x_{0}}{f(x) }деп алу жеткілікті. Сондах0х_{0}нүктесіндеfфункциясы үзіліссіз функция болып шығады. Жоғарыда қарастырылған мысалдаf(0) =lim⁡x→0sinxx=1f(0) = \lim_{x \longrightarrow 0}{\frac{sinx}{x} = 1}деп алу жеткілікті. Сонда

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} \frac{sinx}{x}, \ \ \ \ егер\ x \neq 0, \\ 1, \ \ \ егер\ \ x = 0 \end{array} \right. \$$

$x = 0$ нүктесінде үзіліссіз болады.

2. Бірінші текті үзіліс. Егерх0х_{0} сол жақты және оң жақты шектері бар болып, бірақ олар бір-біріне тең болмаса, ондах0\ х_{0} текті үзіліс нүктесідеп аталады. Бірінші текті үзілісті кейдеақырлы секірісдеп те атайды. х0х_{0}нүктесінің өзіfфункциясының анықталу облысына тиісті болуы да, болмауы да мүмкін. Егерx0∈D(f) x_{0} \in D(f) болса, fфункцияның мәні оның бір жақты шектеріне тең болмауы да, не сол шектердің біріне тең болуы да мүмкін. Егерf(x0) f(x_{0}) мәні бір жақты шектердің біріне тең болса, онда, әрине, х0х_{0}нүктесіндеf(x) функциясы сәйкес жақтан біржақты үзіліссіз функция болады.

Мысалдар .

1. f(x) =xxf(x) = \frac{x}{x}функциясының х=0 нүктесінде бірінші текті үзілісі бар.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс