Үзіліссіз функцияларға есептер

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

1 Үзіліссіз функция
4
1.1 Функцияның нүктедегі үіліссіздігі
4
1.2 Үзіліссіз функциялардың кейбір жеткілікті (локальдік) қасиеттері
6
1.3 Функциялардың үзіліссіз нүктелері және олардың түрлері. Бөлік-бөлік үзіліссіз функциялар
7
1.4 Нүктедегі үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану
9
1.5 Күрделі және кері функциялардың үзіліссіздігі
9
1.6 Тамаша шектердің кейбір салдары
13
2 Элементар функциялардың үзіліссіздігі
15
2.1 Тұрақты функция
15
2.2 Натурал көрсеткіштік дәрежілік функция. Көпмүше және рационал функция
15
2.3 Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар
16
2.4 Жалпы дәрежелік функция
18
2.5 Тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар
18
2.6 Элементар функция
20
2.7 Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері
20
2.8 Вейерштрасстың бірінші теоремасы (үзіліссіз функциясының шенделгендігі туралы)
22
2.9 Вейерштрасстың екінші теоремасы (экстремаль мәндерге жету туралы)
22
2.10 Функцияның бірқалыпты үіліссіздігі тіралы түсінік. Кантор теоремасы
23
3 Үзіліссіз функцияларға есептер
24
Қорытынды

Қолданылған әдебиеттер

Кіріспе
Айталық f(x) функциясы Х сан жиынында анықталсын.
анықтама. Егер f(x) функциясының x0∈X нүктесінде шегі бар болып, ол f(x) функциясының сол нүктедегі мәні fx0-ге тең болса, онда f(x) функциясын x0 нүктесінде үзіліссіз деп атайды.
Бұл анықтаманы үзіліссіздіктің формальды анықтамасы дейді.
Функция үзіліссіз болатын нүктені үзіліссіздік нүктесі дейді.
анықтама. (Гейне). Егер Х жиынынан алынған кез келген x1,x2,...,xn,... тізбегі x0 санына жинақты болғанда осы тізбекке сәйкес келетін fx1,fx2,...,fxn,... тізбегі f(x0) санына жинақты болса, онда f(x) функциясын x0 нүктесінде үзіліссіз дейді.
анықтама. (Коши). Егер кез келген ε0 санына сәйкес δ=δ ε0 саны табылып
x- x0δ
теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері үшін
fx-fx0ε
теңсіздігі орындалса, онда f(x) функциясын x0 нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Оны limx--x0fx= fx0 жазады.
Енді x-x0=∆x, ал сәйкес келетін функция өсімшесін ∆y=fx0+∆x- fx0 деп белгілейміз.
Егер x0 нүктесіндегі аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның шексіз аз өсімшесі сәйкес келсе, онда y=f(x) функциясын x0 нүктесінде үзіліссіз деп атайды да былай жазады:
limx--0∆y=0
Егер y=f(x) функциясы Х сан жиынының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда f(x) функциясын Х жиынында үзіліссіз деп атайды.
Егер x0 нүктесінде f(x) функциясы үзіліссіз болмаса, онда x0 нүктесін f(x) функциясының үзіліс нүктесі деп атайды, ал функцияның өзін осы нүктеде үзілісті дейді.
Егер f(x) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда
fx0+0=fx0-0=fx0 орындалатыны белгілі.
Егер fx0+0және fx0-0 шекті шектер бар, бірақ ол fx0- ден өзгеше болса, онда х0 нүктесін бірінші текті үзіліс нүкте деп атайды.
fx0+0-fx0-0- айырмасын f(x) функциясының x0 нүктесіндегі "секірісі" деп атайды.
Егер fx0+0=fx0-0болса, онда x0 нүктесін жойылатын үзіліс нүкте деп атайды.
Егер оң немесе сол жақты шектердің жоқ дегенде біреуі болмаса, онда x0 нүктесін f(x) функциясының екінші текті үзіліс нүктесі дейді.
Курстық жұмыстың мақсаты: Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттерін ашу, элементар функциялардың үзіліссіздігін зерттеу.

1 Үзіліссіз функция
1.1 Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі
Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігін анықтау х0 нүктесі у=f(x) функциясының анықталу облысында жатсын және х0 нүктесінде кез келген маңайы D(f) облысының х0-ден өзге де нүктелерін қамтиды дейік.
1-анықтама. Егер
limх--х0fx=f(x0) (1)
болса, онда х0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз деп аталады. х0=limx--x0x болғандықтан, (1) теңдіктен limx--x0fx=f(limx--x0x), яғни үзіліссіз функция үшін шекке көшу lim символы мен функция сипаттамасы f символының орындарын ауыстырып жаза беруге болады.
Егер (1) теңдікте f(x0) санын теңдіктің сол жағына көшіріп және одан шек алатын болсақ, сонымен бірге, x--x0 және x- x0--0 шарттарының мәндестігін ескерсек, онда
limx-x0--0fx-f(x0)=0
x-x0 айырымын аргумент өсімшесі деп атап, x-x0=∆x арқылы белгілейік. Сонда x=x0+∆x;ал
fx-fx0=fx0+∆x-fx0=∆fx0,∆f(x0)
функцияның x0 нүктесіндегі сәйкес өсімшесінің белгіленуі. Сонда теңдік мына түрде жазылады:
lim∆x--0∆f(x0)=0
Бұдан нүктедегі үзіліссіз функция үшін аргументтің ақырсыз кіші өсімшесіне функцияның сол нүктеде ақырсыз кіші өсімшесі сәйкес келетіні шығады.
Сонымен, бірінші анықтама мынадай үш шарттың орындалуымен мәндес деп саналады.
1) x0 нүктесі өзінің қандай болса да бір маңайымен қоса анықталу D(f) облысына тиісті болады;
2) x0 нүктесінде функцияның бір жақты шектері бар және олар өзара тең:
limx--x0-0fx=limx--x0∓0f(x)
3) функцияның бір жақты шектері оның осы x0 нүктесіндегі мәніне тең болады:
fx0-0=fx0+0=f(x0)
осы айтылған тұжырым практикада қолдану үшін аса қолайлы.
2-анықтама. Егер
limx--x0-0fx=f(x0) (limx--x0+0fx=f(x0))
теңдігі орындалса, онда f функциясы х0 нүктесінде сол (оң) жақты үзіліссіз функция деп аталады.
3-анықтама. Егер f функциясы қандай болса да бір аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол сол аралықта үзіліссіз функция деп аталады.
Мысалы, f функциясы (a,b) интервалының әрбір нүктесінде үзіліссіз болып, ал a нүктесінде оң жақтан (limx--a+0fx=f(a)) және b нүктесінде сол жақтан (limx--b-0fx=fb) үзіліссіз функция болса, онда ол a,b кесіндісінде үзіліссіз функция болады.
Мысалдар.
1) f(x)=xn(n∊N) функциясы кез келген x0∊(-infinity,+infinity) нүктесінде үзіліссіз функция болады. Шынында да, limx--x0fx=limx-- x0xn=(limx--x0x)n=x0n=fx0, яғни limx--x0fx=fx0.
2) f(x)=x функциясы бүкіл сан түзуінде үзіліссіз. Өзіміз білетіндей,
x=-x, x00, x=0x, x0
Бұдан, егер 1-мысалды ескерсек, х функциясы х-тің барлық оң және теріс мәндерінде үзіліссіз болатыны шығады.
Енді осы функцияның х=0 нүктесінде де үзіліссіз болатынын көрсетейік. Шынында да,
limx---0x=-limx--0x0x=0; limx--+0x=limx--0x0x=0 болғандықтан, керек шарттардың барлығыда түгелдей орындалады.
Демек, f(x)=xбүкіл сандық түзуде үзіліссіз болады.
3) f(x)=2x, 0=x13-x, 1=x=2
Түрінде берілген f функциясының 0;2 кесіндісінде үзіліссіз болатынын тексерейік. (0,1) және (1,2) интервалдарының кез келген нүктесі үшін үзіліссіздіктің 1-анықтамасын тексеру оңай.
limx⟶+0fx=limx⟶0x02x=2limx⟶0x0x=2 ∙0=0 болғандықтан, х=0 нүктесінде функция оң жақты үзіліссіз болады.
limx⟶1-0fx=limx⟶1x12x=2limx⟶1x1x= 2∙1=2;
limx⟶1+0fx=limx⟶1x13-x=3-limx⟶1x1 x=3-1=2; f(1)=3-1=2, яғни f(1-0)=f(1+0)=f(1) ,болғандықтан, х=1 нүктесінде функция екі жақты үзіліссіз.
Осыған ұқсас түрде х=2 нүктесінде f функциясы сол жақты үзіліссіз болатыны тексеріледі. Сонымен, берілген f функциясы 0;2 кесіндісінде үзіліссіз болады.
Функция шегінің 1 және 2-анықтамаларына ұйқастырып х0 нүктесіндегі f функциясының үзіліссіздігінің анықтамаларын тұжырымдап айтайық.
4-анықтама. Егер кез келген xn, n∊N тізбегі үшін limn⟶infinityxn=x0 теңдігі орындалып, оған сәйкес f(xn) тізбегі жинақталып және limn⟶infinityfxn=f(x0) теңдігі орындалса, онда f функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады.
1-ескерту. Осы айтылған анықтамада х0 нүктесіндегі функция шегінің 1-анықтамасымен салыстырғанда
xn!=x0, n∊N тізбегіне f(x0)-ге тең элементтерді тіркеп жазса, онда осы жаңа тізбек те f(x0)-ге жинақталатын болады.
5-анықтама. Егер кез келген ε 0 саны үшін оған тәуелді δ0 саны табылып, x-x0δ шартын қанағаттандыратын барлық x үшін fx-f(x0) ε теңсіздігі орындалса, онда f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
2-ескерту. Осы айтылған анықтамада (limx⟶x0f(x) 2-анықтамасымен салыстырғанда) х!=х0 шарты талап етілмеген; бұл шартты алып тастаймыз, өйткені x=x0 болса, f(x0)-fx0=0 болғандықтан, кез келген ε 0 саны үшін fx-f(x0)ε теңсіздігі орындалады.

1.2 Үзіліссіз функциялардың кейбір жергілікті (локальдік) қасиеттері
Функциялардың жергілікті қасиеттері деп, оның анықталу облысында жатқан бекітілген бір нүктенің мейлінше кішкене маңайында орындалатын қасиеттерді айтады. Мысалы, х0 нүктесіндегі f функциясының үзіліссіздігі оның жергілікті қасиеті болып саналады. Функцияның бұдан өзге тағы екі жергілікті қасиетін мына теоремалар арқылы береді.
1-теорема. Егер х0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз болса, онда осы нүктенің қандай болса да бір маңайында ол функция шенделген болады.
Бұл тұжырымдалған теорема шегі бар функциялардың шенделгендігі туралы теореманың салдары болады (х0 нүктесіндегі f функциясының үзіліссіздігінен limx⟶x0fx=f(x0) болатыны шығады).
2-теорема. ( нүктеде үзіліссіз функцияның өз таңбасын сақтауы туралы). Егер х0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз болып және f(x0) мәні оң (теріс) болса, онда ол функция х0 нүктесінің қандай болса да бір маңайында да оң (теріс) болады.
Дәлелдеуі. х0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз болсын. 1-анықтаманы пайдаланайық. Сонда
fx-fx0ε⟺-εfx-fx0ε ⟺f(x0)-εfxfx0+ε.
Сонымен, кез келген ε0 үшін δ0 табылып, x-x0δ шартын қанағаттандыратын барлық х үшін fx0-εfxfx0+ε теңсіздігі орындалады.
ε =0,5f(x0) етіп алайық. Соңғы теңсіздіктегі fx00 болғанда fx0-ε және fx0+ε сандары да оң, ал fx00 болғанда олардың екеуі де болатынына көз жеткізу қиын емес. Шынында да, мысалы fx00 болғанда ε=0.5f(x0)=-0.5fx00,
fx0-ε=fx0+0.5fx0=1.5fx00,
fx0+ε=fx0-0.5fx0=0.5fx00
Сонымен f функциясы х0 нүктесіндегі таңбасын барлық x∊Uδ(x0) нүктелерінде де сақтап қалатынын көреміз.

1.3 Функцияның үзіліс нүктелері және олардың түрлері. Бөлік - бөлік үзіліссіз функциялар
Анықтама. Функцияның үзіліссіздік қасиеті орындалмайтын нүктелерді осы функцияның үзіліс нүктелері деп атайды.
Сондықтан функцияның әрбір үзіліс нүктесінде оның үзіліссіздік шарттарының кемінде бір шарты бұзылады. Осы шарттардың бірі болмаса бірі орындалмауына қарай үзіліс нүктелері мына түрлерге бөлінеді.
Жойылатын үзіліс. Егер limx⟶x0f(x0) бар болып және х0 нүктесінде f функциясы не анықталмаған, не болмаса f(x0)!=limx⟶x0f(x) болса, онда х0 нүктесі f функциясының жойылатын үзіліс нүктесі депаталады. Мысалы, х=0 нүктесі fx=sinxx функциясының жойылатын үзіліс нүктесі болады. Шынында да, limx⟶x0sinxx=1, алайда x=0 нүктесінде берілген функция анықталмаған. Егер x0 нүктесі f функциясының жойылатын үзіліс нүктесі болса, онда бұл үзілісті функцияның х0 нүктесінен өзге нүктелердегі мәндерін өзгертпей де жоюға болады. Ол үшін fx0=limx⟶x0f(x) деп алу жеткілікті. Сонда х0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз функция болып шығады. Жоғарыда қарастырылған мысалда f0=limx⟶0sinxx=1 деп алу жеткілікті. Сонда

fx=sinxx, егер x!=0,1, егер x=0
x=0 нүктесінде үзіліссіз болады.
Бірінші текті үзіліс. Егер х0 нүктесінде f функциясының сол жақты және оң жақты шектері бар болып, бірақ олар бір-біріне тең болмаса, онда х0 нүктесі f функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Бірінші текті үзілісті кейде ақырлы секіріс деп те атайды. х0 нүктесінің өзі f функциясының анықталу облысына тиісті болуы да, болмауы да мүмкін. Егер x0∊D(f) болса, f функцияның мәні оның бір жақты шектеріне тең болмауы да, не сол шектердің біріне тең болуы да мүмкін. Егер f(x0) мәні бір жақты шектердің біріне тең болса, онда, әрине, х0 нүктесінде f(x) функциясы сәйкес жақтан біржақты үзіліссіз функция болады.
Мысалдар.
fx=xx функциясының х=0 нүктесінде бірінші текті үзілісі бар.
Шынында да, limx--0xx=-1, limx--+0xx=1, яғни f функциясының бұл нүктедегі біржақты шектері бірі-бірінен өзгеше. Ал x=0 нүктесінде функция анықталмаған.
Мына функцияның да
fx=xx, x!=0,0, x=0 немесе fx=signx=-1, x0,0, x=0,1, x0

x=0 нүктесінде бірінші текті үзілісі болады. Бұл функция x=0 нүктесінде анықталған, алайда f0=0 сол функцияның біржақты шектерінің екеуінен де өзгеше.
3)fx=x функциясының әрбір (бүтін санды) x=k, k∈Z нүктесінде бірінші текті үзіліс болады. Шынында да, x=k десек, k=xk+1, k∈Z, сондықтан әрбір x=k, k∈Z нүктесінде оңжақты (k) және солжақты (k-1) шектердің бірі-бірінен айырмашылығы бірге тең болады. Алайда, бұл функция x=k, k∈Z нүктелерінде (қалған нүктелердегі сияқты) анықталған болады. Ал fk=k мәні функцияның k нүктесіндегі оңжақты шегіне тең болғандықтан, x=k, k∈Z нүктесінде f функциясы оң жақтан үзіліссіз болады.
3. Екінші текті үзіліс. Егер х0 нүктесінде алынған f функцияның біржақты шектерінің кемінде бірі ақырсыз болып, не тіпті ол шек болмаса, онда сол х0 нүктесі f функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.
Мысалдар.
fx= 1x функциясының x=0 нүктесінде екінші текті үзілісі бар.
Шынында да,limx---0fx=limx--0x01x=-infin ity, limx--+0fx= limx--0x01x=+infinity
Бір жақты шектердің екеуі де бұл нүктеде шексіздікке тең.
Мына функцияның fx= cos1x, x!=01, x=0 болғанда
x=0 нүктесінде екінші текті үзілісі болады. Шынында да, x=0 нүктесінде бұл функцияның солжақты да, оңжақты да шектері болмайды. Ал cos-1x=cos1x болғандықтан, x=0 нүктесінде функцияның оңжақты шегі болмайтынына көз жеткізу жеткілікті. Алайда мұны біз жоғарыда қарастырдық.
Анықтама. Егер f функциясы бүкіл a,b кесіндісінде анықталған болып және кесіндінің саны шектеулі нүктелерден басқа (мүмкін бірінші үзілісі болатын) барлық ішкі нүктелерінде үзіліссіз болса, мұнымен қоса a нүктесінде оңжақты үзіліссіз, ал b нүктесінде солжақты үзіліссіз болса, онда f функциясы a,b кесіндісінде бөлік-бөлік үзіліссіз функция деп аталады. Егер f функциясы берілген интервалға (не бүкіл сандық өске) тиісті кез келген кесіндеде үзіліссіз болса, онда f функциясы осы интервалда (не бүкіл сандық өсте) бөлік-бөлік үзіліссіз функция деп аталады.
Мысалы, fx=signx функциясы бүкіл сандық өсте бөлік-бөлік үзіліссіз функция болады.

1.4 Нүктеде үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану

Келесі теоремада дәлелденгендей, үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану нәтижесінде де үзіліссіз функция аламыз.
Теорема. Егер fx және g(x) функциялары сандық өстің бір ғана аралығында беріліп және осы аралыққа тиісті х0 нүктесінде үзіліссіз болса,онда ол нүктеде мына функциялар да fx+-gx, fx∙gx,f(x)g(x) үзіліссіз болады (соңғы өрнек g(x)!=0 шарты орындалғанда ғана үзіліссіз болады).
Дәлелдеуі. fx және g(x) функциялары х0 нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, 1-анықтама бойынша:
limx--x0fx=f(x0). Функция шектері туралы теоремалар негізінде берілген функциялардың шектері бар болады және limx--x0f(x)+-g(x)=fx0+-gx0; limx--x0fx∙g(x)=fx0∙g(x0);
limx--x0f(x)g(x)=f(x0)g(x0).
Соңғы теңдіктердің оң жақтары сәйкес функциялардың х0 нүктесінде жеке мәндеріне тең. Жоғарыда айтылған 1-анықтама негізінде бұл функциялар х0 нүктесінде үзіліссіз.
Үзіліссіз екі функция қосындысының (айырымының), көбейтіндісінің және қатынасының үзіліссіздігі, сондай-ақ күрделі функцияның үзіліссіздігі (бұл кейін дәлелденеді) де үзіліссіз функциялардың жергілікті қасиеттеріне жатады.

1.5 Күрделі және кері функциялардың үзіліссіздігі

А) Күрделі функцияның үзіліссіздігі
Теорема. Егер х0 нүктесінде u=φ(x) функциясы үзіліссіз болып, ал u0=φx0 нүктесінде f(u) функциясы үзіліссіз болса, онда х0 нүктесінде күрделі f(φx) функциясы үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі. Алдымен х0 нүктесінің кейбір маңайында күрделі f(φ(x)) функциясының анықталғандығын дәлелдейік. Шынында да, u0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз болғандықтан, ол u0 нүктесінің қандай болса да бір ε-маңайында (яғни uϵUε (u0)) анықталған функция болады, х0 нүктесінде φ функциясы үзіліссіз болғандықтан, берілген ε0 санына сәйкес δ0 табылып, барлық xϵUδ(x0) үшін күрделі f(φx) функциясы анықталған болады. Енді осы функция х0 нүктесінде үзіліссіз бола ма деп сұрақ қою орынды. Шынында да, ε0 санын аламыз. Сонда бұған сәйкес η=η(ε)0 саны табылып, u0=φx0 нүктесінде f функциясы үзіліссіз болғандықтан, u-u0η шартын қанағаттандыратын барлық u үшін fx-fx0ε теңсіздігі орындалады. Ал х0 нүктесінде φ(δ)=δη0 саны табылып x-x0δ шартын қанағаттандыратын барлық х үшін φx-φ(x0)η теңсіздігі орындалады. Сонымен, x-x0δ шартын қанағаттандыратын барлық х үшін u-u0η және сонымен қатар, fx-f(x0)ε теңсіздіктері (ондағы u=φ(x) орындалады. Екінші теңсіздікті былай да жазуға болады: fφx-f(φx0)ε. Бұдан limx--x0fφx=f(φx). Сонымен, теорема дәлелденді.
Б) Кері функцияның үзіліссіздігі
1-теорема (қатаң бірсарынды функция үзіліссіздігінің критерийі). f функциясы a,b кесіндісінде қатар бірсарынды және fa=a, fb=β дейік. y=fx функциясы a, b кесіндісінде үзіліссіз функция болуы үшін, α және β арасында жатқан кез келген γ саны ол функцияның мәні болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Теореманы α,b кесіндісінде өспелі функция үшін дәлелдейміз (кемімелі функция үшін теорема осыған ұқсас түрде дәлелденеді).
Қажеттілік. f функциясы a,b кесіндісінде өспелі және үзіліссіз функция болсын, сонда αβ болады. Енді fc=γ(aγβ) теңдігін қанағаттандыратын c∈a,b нүктесі табылатынын дәлелдейік. f(x)=γ теңсіздігін қанағаттандыратын x∈a,b нүктелерінің жиыны Х дейік. Сонда Х жиыны бос емес (мысалы, a нүктесі Х-ке тиісті), өйткені fa=aγ және ол жоғарыдан шенделген (мысалы, b санымен). Сондықтан бұл жиынның дәл жоғарғы шені бар, оны с арқылы белгілейік, яғни c=supX. Енді fc=γ екенін дәлелдейік. Алдымен с-ның сол жағында жатқан xc барлық xϵa,b үшін f(x)=γ болатындығын, ал с-ның оң жағында жатқан (xc) барлық x∈a,b үшін f(x)=γ болатындығын дәлелдейік.
Егер xc болса, онда дәл шекаралық критерийі негізінде жиынның ішкі x' нүктесі табылып, xx'=c теңсіздігі орындалады. Сонда f(x')=γ орындалатындығы түсінікті. Олай болса, f өспелі функция болғандықтан, fxfx'γ болады. Сонымен, xc шартын қанағаттандыратын барлық x∈a,b үшін fx=γ.
Егер xc болса, онда мұндай х нүктелері Х жиынына тиісті болмайды, сондықтан олар үшін fxγ. Енді с нүстесі a,b кесіндісінің ішкі нүктесі екеніне көз жеткізейік. Ол үшін c b шартының орындалатынын тексерейік (c a шарты да осылайша тексеріледі). Қарсы жорып, c = b дейік. xn тізбегі с нүктесіне жинақталатын a,b кесіндісі нүктелерінің кез келген өспелі тізбегі болсын. xnc болғандықтан, жоғарыда дәлелденген бойынша барлық n∈N үшін f(x)=γ болады. Осы соңғы теңсіздікте шекке көшсек, limn--infinityf(xn)=γ шығады. Теореманың шарты бойынша f функциясы c = b нүктесінде үзіліссіз, сондықтан
β=fb=fc=limn--infinityfxn=γ немесе γ=β.
Бірақ бұл γβ шартына қайшы. Демек, c = b деп алу қате болғаны (ал c b болуы мүмкін емес), яғни c b.
Енді fc=γ екенін дәлелдейік. Ол үшін с нүктесіне екі жағынан бірдей жинақталатынын, біреуі xn' өспелі, ал екіншісі xn" кемімелі болатын a,b кесіндісі нүктелерінің тізбектерін қарастырайық. f функциясы с нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, limn--infinityf(xn')=limn--infini tyf(xn")=f(c).
Сонымен қатар, жоғарыдағы дәлелденген xn'cxn" (n∈N) теңсіздіктерінен fxn'=γ, fxn"γ теңсіздіктері шығады. Енді соңғы формуланы ескере отырып, осы соңғы теңсіздіктерді шекке көшсек, онда fc=limnn--infinityfxn'=γ; fc=limn--infinityf(xn")=γ, яғни fc=γ.
Жеткіліктік. a,b кесіндісінде y=f(x) функциясы өспелі және кез келген γ∈a,β саны осы функциясының мәні болсын. Сонда a,b кесіндісінде f функциясы үзіліссіз болатынын дәлелдейік. Ол үшін f функциясы a=cb шартын қанағаттандыратын кез келген с нүктесінде оң жақты және ac=b шартын қанағаттандыратын кез келген с нүктесінде сол жақты үзіліссіз болатынын дәлелдеу жеткілікті. Осы тұжырымдардың бірін дәләлдейік (екіншісі осыған ұқсас түрде дәлелденеді). a=cb болсын. Қарсы жориық: f функциясы с нүктесінде оңжақты үзіліссіз емес дейік. Олай болса, оңжақты шек fc+0 бар, ол fc-ға тең болмайды. Енді a,b кесіндісінде f функциясының өспелі екенін ескеріп, cx=b теңсіздігін қанағаттандыратын х үшін a=fa=fcfc+0=fx=fb=β теңсіздіктерін аламыз. Бұдан a,β кесіндісіне енетін fc,fc+0 интервалы f функциясының мәнін қамтымайтыны шығады. Бірақ бұл кез келген γϵa,β саны f функциясының мәні болатыны туралы тұжырымға қайшы. Демек, өзіміз жасаған ұйғарымымыз қате болғаны, яғни f функциясы a=cb теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген с нүктесінде оңжақты үзіліссіз болады. Сонымен теорема дәлелденді.
Енді кері функцияның үзіліссіз болу мәселесіне көшейік.

2-теорема (Қатаң бірсарынды және үзіліссіз функцияның кері функциясы бар болатыны және оның үзіліссіздігі туралы). a,b кесіндісінде y=f(x) функциясы анықталған, қатаң бірсарынды және үзіліссіз дейік және де α=fa, β=f(b) болсын. Сонда f функциясы қатаң өспелі (кемімелі) болғанда α,β (β,α) кесіндісінде оның кері f-1 функциясы анықталған, бірсарынды және үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі. Теореманы a,b кесіндісінде өспелі f функциясы үшін дәлелдейміз (кемімелі функция үшін теорема ұқсас түрде дәлелденеді). Алдымен a,b кесіндісінде f-1 функция анықталған болатынын, яғни a,b кесіндісі f функциясы мәндерінің облысы болып табылатынын дәлелдейік. Шынында да, f функциясы өспелі болғандықтан, кез келген xϵa,b үшін α=fa=fx=fb=β, яғни fx∈a,β. Сонымен бірге, f функциясы өспелі және үзіліссіз болғандықтан, қатаң бірсарынды функция үзіліссіздігінің критерийі (қажеттілік) бойынша кез-келген γϵa,β саны f функциясының мәні болады. Сонымен, a,b кесіндісі f функциясы мәндерінің облысы немесе f-1 функциясының анықталу облысы болады. Енді әрбір γϵa,β мәніне fx=y шартын қанағаттандыратын тек бір ғана xϵa,b мәні сәйкес келетінін тексеру ғана қалды. Қарсы жориық: берілген yϵa,β мәніне екі мән x1∈a,b, x2∈a,b, x1!=x2 сәйкес келсін және бұлар үшін y=f(x1fx2. Ал x1!=x2 болғандықтан, не x1x2, не x1x2 ьолады. Олай болса, f функциясы өспелі болғандықтан, сәйкес не fx1fx2, не fx1fx2 орындалады, ал мұның өзі өзіміз жасаған ұйғарымға, яғни fx1=fx2, шартына қайшы. Сонымен, Df-1=a,β болғанда Ef-1=a,b болады. Әрі қарай a,β кесіндісінде f-1 функциясы өспелі екенін дәлелдейік. y1∈a,β, y2∈a,β және y1y2 болсын. Сонда оларға сәйкес x1=f-1y1, x2=f-1y2 мәндері x1=x2, x1x2, x1x2 шарттарының біреуін қанағаттандырады. Егер x1=x2 болса, онда y1=fx1=fx2=y2 болады; егер де x1x2 болса, онда y1=fx1fx2=y2 болады. Бұл екі жағдай да y1y2 шартына қайшы. Демек, x1x2 болғаны, олай болса, a,b кесіндісінде x=f-1(y) функциясы өспелі болады. Ақырында, a,b кесіндісінде f1 функциясының үзіліссіз екенін дәлелдейік. Жоғарыда көрсетілгендей Ef-1=a,b кесіндісі f-1 функциясы мәндерінің облысы, яғни кез-келген сϵa,b саны f-1 функциясының мәні болады. Олай болса, қатаң бірсарынды функция үзіліссіздігінің критерийі (жеткіліктілік) бойынша a,b кесіндісінде f-1 функциясы үзіліссіз болады.
Кері функцияның бар болып және оның үзіліссізболатыны туралы теоремаларды интервалда (ақырлы не ақырсыз), жарты кесіндіде және жарты интервалда қатаң бірсарынды және үзіліссіз функциялар үшін осы дәлелденген теоремаға ұқсас түрде тұжырымдап, дәлелдеуге болады.
Ақтығында, кейбір аралықта үзіліссіз f функциясына кері функцияның бар болуынан сол аралықта f функциясының қатаң бірсарынды екені шығатынын ескертеміз. Бұл тұжырым анализдің толық курсында дәлелденеді.
Сонымен, кесіндіде үзіліссіз болып және үзіліссіз кері функциялары бар болатын функциялар жиыны сол кесіндіде тек қатаң бірсарынды функциялардан ғана құралатын болады.

1.6 Тамаша шектердің кейбір салдары

Элементар функциялардың үзіліссіздігі функция шектерін табуда кеңінен қолданынып келеді. ілгеріде жиі қолданылатын шектерді ұарастырып өтеміз.
Бірінші тамаша шектің салдары.
limx--0tanxx=1;
limx--0arcsinxx;
limx--0arctanxx=1.
Осы шектерді есептеп шығарайық.
limx--0tanxx=limx--0sinxx1cosx=li mx--0sinxxlimx--01cosx=1
мұндағы limx--0cosx=coslimx--0x=cos0=1(ко синус функциясы x=0 нүктесінде үзіліссіз болатыны себепті).
y=sinx функциясы -PI2;+PI2 кесіндісінде қатаң бірсарынды және үзіліссіз, ал оған кері x=arcsiny функциясы да -1;1 кесіндісінде қатаң бірсарынды және үзіліссіз болады. Мұнымен қатар, sin0=0 болғандықтан, x--0 және y--0 шарттары мәндес болады. Шекті есептегендегі айнымалыларды ауыстыру тәсілін қолданып мынаны аламыз:
limx--0arcsinxx=arcsinx=yx=sinyx-- 0--y--0=limy--0ysiny=1limy--0 sinyy=1.
limx--0arctgxx=1 теңдігі де 2)- ге ұқсас түрде есептеп шығарылады.
Бұл мысалдыр x--0 жағдайда мына ақырсыз кіші функциялардың эквивалетті екенін дәлелдейді:
x~tg x ~arcsinx ~ arctg ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.