Жанаманың теңдеуі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1 Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1 Екінші ретnі сызықтардың жалпы теңдеуін түрлендіру ... ... ... ..6
1.2 Екінші ретті сызыққа жүргізілген жанама,
жанаманың теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
2 Оптикалық қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
3 Есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .13
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..20

Кіріспе
Курстық жұмыста қарастырылатын негізгі мәселелер.
Тарихы:
Сызық - геометриялық ұғым. Аналитикалық геометрияда жазықтықтағы сызық Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен, ал үш өлшемді кеңістіктегі сызық F1(х, у, z) = 0, F2(х, у, z) = 0 теңдеулер жүйесімен беріледі. Егер Ғ(х, у) функциясы n=1 дәрежелі көпмүшелік болса, Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен анықталатын сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. n саны алгебралық қисық сызықтың реті.
XIX ғасырдың 80-жылдарында француз математигі К.Жорданның ұсынуы бойынша кез келген шағын аймақтағы байланысқан континуум (мысалы, үшбұрыш, төртбұрыш, куб, т.б.) кесіндінің үздіксіз бейнесі бола алады. Кесіндінің бірмәнді үздіксіз бейнесін қарапайым доға немесе жордан доғасы деп, ал шеңбердің бір мәнді үздіксіз бейнесін қарапайым тұйық сызық деп атайды. Қазіргі топологияда сызық ұғымы 1921 ж. кеңес математигі П.С. Урысон ұсынған анықтамасы бойынша қолданылады. Оның айтуынша сызық - өлшемділігі 1-ге тең еркін алынатын континуум.
Екінші ретті сызықтарды ежелгі заманның математиктері зерттей отырып, бір қатар жоғары ретті алгебралық қисықтарды және транцендент сызықтарды қарастырған. Алайда сызықтарды зерттеу және оларды кластарға бөлу аналитикалық геометрия қалыптасқаннан кейін ғана қолға алынды.
Курстық жұмыстың өзектілігі: Аналитикалық геометрия курсында екіншінші ретті қисықтар өзектілігін жоғалтқан емес.
Зерттеудің мақсаттары:Екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттерін зерттеу.
Міндеттері:
1.Екінші ретті сызықтар туралы мәлімет жинау.
2. Екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттерін қарастыру.
3.Курстық жұмысқа сәйкес есептерді шығару.
Зерттеудің пәні: Аналитикалық геометрия.
Курстық жұмыстың құрылымы:Курстық жұмыс кіріспеден, үш бөлімнен тұрады. Кіріспеде курстық жұмыстың өзектілігі мен мақсаты көрсетілген. Бірінші бөлімде екінші ретті сызықтардың қасиеттері қарастырылған. Екінші бөлімде екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттері қарастырылған.Үшінші бөлімде тақырып бойынша есептер шығарылды. Қорытынды жасалынды.
1. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі.
Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі мынандай түрде жазылады:
а11х2+2а12ху+а22у2+2а13х+2а23у+а33= 0 (1)
Мұндағы а11,а12,а22,а13,а23- теңдеудің коэффиценттері, а33- бос мүше, 11, 12, 22, 13, 23, 33- коэффиценттердің индекстері. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі алты мүшеден, яғни екінші дәрежелі үш мүшеден, бірнші дәрежелі екі мүшеден және бос мүшеден құралған.
Мұндай жалпы теңдеу қандай жағдайда эллипс, гипербола немесе парабола болады? Ол коэффиценттердің мәндеріне байланысты. Мәселен,
1) егер а11=1а2 , а22=1в2 ,а32=-1 , а12=а13=а22=0 болса, онда х2а2 + у2в2=1- эллипс;
2) егер а11=1а2,а22=-1в2, а33=-1, а12=а13=а23=0 болса, онда екінші ретті сызық х2а2-у2в2=1-гипербола;
3) егер а11=а12=а13=а33=0, а22=1, а13=-p,болса, онда екінші ретті сызық у2=2pх - парабола болады.
Коэффиценттердің кейбір мәндерінде екінші ретті сызық басқа геометриялық бейнелерге де ауысуы мүмкін. Мысалы,
1)егер а11=1, а22=-1, а12=а13=а23=а33=0 болса, онда х2-у2=0, (х+у)(х-у)=0, х+у=0, х-у=0 - екі түзудің теңдеуі;
2) егер а11=а12=а22=0, а13=4,а23=2, а33=5 болса, онда 8х+4у+5=0 бір түзү теңдеуі шығады.
Сонымен, (1) теңдеуі коэффиценттерінің мәндеріне байланысты эллипсті, гиперболаны, параболаны немесе басқа геометриялық бейнені ( мысалы, түзуді ) көрсетуі мүмкін. Сондықтан бұл теңдеудің координаталар системасындағы геометриялық мағынасын зерттеу үшін оның коэффиценттеріне байланысты қандай болатындығын тексеру керек. Бір тік бұрышты координаталар системасынан екінші тік бұрышты координаталар системасына көшкенде теңдеудің коэффиценттері өзгереді. Ал әр бір теңдеу сызықтың координаталар системасында қалай орналасатындығын анықтаумен қатар, оның координаталар системасына тәуелсіз ішкі қасиетін анықтауы да мүмкін. Ендеше, кез келген тік бұрышты координаталар системасында мәндері өзгермей отыратын коэффиценттердің функциялары болу керек. Ал бір тік бұрышты координаталар системасынан екінші тік бұрышты координаталар системасына көшкенде мәндері сақталатын коэффиценттердің функцияларын инварианттар деп атайды. Басқаша айтқанда, бір системадан екінші системаға көшкенде (1) жалпы теңдеудің коэффициенттерінің мәндері өзгерілмесе (немесе кейбір коэффициенттернің қосындысы не көбейтіндісі сақталса), онда бұл коэффициенттер инварианттар деп аталады. Инвариант деген сөз өзгермейді (сақталады) деген мағына білдіреді.
1.2 Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуін түрлендіру.
Ескі координаталар системасы xOy жаңа координаталар системасы XO'Y болсын. Жаңа координаталар системасы мен ескі координаталар системасы бағыттас, ал оның бас нүктесінің координаталары x0,y0болсын, яғни O'(x0,y0). Сонда координаталар системасын түрлендірудің бірінші формуласы бойынша:
x=X+x0
y=Y+y0
Енді осы x пен y-тің мәндерін (1) теңдеуге қойып түрлендірейік:
a11(X+x0)2+2a12x+x0Y+y0+a22(Y+y0)2+ 2a13X+x0+2a23Y+y0+a33=0,
a11X2+2a11Xx0+a11x02+2a12XY+2a12Xy0 +2a12Yx0+2a12x0y0+a22Y2+2a22Yy0+a22 y02+2a13X+2a13x0+2a33Y+2a23y0+a33=0 ,
a11X2+2a12XY+a22Y2+2a11x0+a12y0+a13 X+2a21x0+a22y0+a23Y+a11x20+2a12x0y0 +a22y20+2a13x0+2a23y0+a33=0.
Жаңа координаталар системасына шығарылған (2) теңдеуді (1) теңдеумен салыстырсақ, мынандай қасиеттер байқалады:
1)екінші дәрежелі мүшелердің коэффициенттері өзгерілген жоқ;
2)бірінші жәрежелі мүшелерінің коэффициенттері жоғарғы (1) жалпы теңдеудің дербес туындылары болады, өйткені x пен y-тің орнына O'(x0,y0) нүктесінің координаталары қойылған;
3)бос мүшелері (1) теңдеудің барлық мүшелеріндей алты мүшеден құрылған; мұнда ескі система координаталарының орнына жаңа системаның бас нүктесінің координаталары (x0,y0) қойылған.
Егер (1) жалпы теңдеудің сол жағына 2F(x,y) немесе қысқаша 2F деп белгілесек, онда ол 2Fx,y=0 не 2F=0 түрінде жазылады.
(1) теңдеуінің дербес туындылары:
F'xx,y=a11x+a12y+a13, F'x=F'xx,y,
F'yx,y=a12x+a22y+a23, F'y=F'yx,y.
x пен y-тің орнына O'(x0,y0) нүктесінің координаталарын қойсақ
F'x0=a11x0+a12y0+a13,
F'y0=a12x0+a22y0+a23.
Енді (2) теңдеуін қысқаша жазылады:
a11X2+2a12XY+a22y2+2F'x0X+2F'y0Y+2F 0=0
1.2 Жанаманың теңдеуі
Анықтама. Қисықты екі нүктеден қиып өтетін түзуді қиюшы түзу дейміз. Қиюшы түзу қозғалғанда оның екі нүктесі беттесіп жалпы бір нүктеге айналса, онда бұл түзу екінші ретті қисыққа жанама болады, ал жанама мен екінші ретті қисыққа ортақ нүктені жанасу нүктесі дейміз.
а11х2+2а12ху+а22у2+2а13х+2а23у+а33= 0
Теңдуімен берілген қисықты түзу М(х1,у1) нүктесінен жанап өтсін. Осы нүктеден өтетін жанаманың теңдеуін шығару үшін қисықтың теңдеуін жіктейік:
а11х2+а12ху+а13х+а12ху+а22у2+а23у+а 31х+а32у+а33=0
Енді осы теңдеуді топтап, х пен у-ті жақшаның сыртына шығарайық:
(а11х+а12у+а13)х+а21х+а12у+а23у+а31 х+а32у+а33=0
М(х1,у1) жанасу нүктесінің координаталары берілген теңдеуді қанағаттандырады. Сондықтан жақшалардың ішіндегі ағымдық координаталардың орнына берілген нүктенің координаталарын қояйық:
а11х1+а12у1+а13х+а12х1+а22у1+а23у+а 31х1+а32у1+а33=0 (1)
Жақшалардың сыртындағы х пен у-ке қарағанда бұл бірінші дәрежелі теңдеу, ал жақшалардың ішіндегі мүшелердің қосындысы белгілі коэффиценттердің мәндерін береді, қалған үш мүшенің қосындысы бос мүшенің мәнін көрсетеді. Ендеше, бұл теңдеу берілген қисықтың ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.