Жанаманың теңдеуі

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 3

1 Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі . . . 5

1. 1 Екінші ретnі сызықтардың жалпы теңдеуін түрлендіру . . . 6

1. 2 Екінші ретті сызыққа жүргізілген жанама,

жанаманың теңдеуі . . . 8

2 Оптикалық қасиеттері . . . 11

3 Есептер . . . 13

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 19

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 20

Кіріспе

Курстық жұмыста қарастырылатын негізгі мәселелер.

Тарихы :

Сызық - геометриялық ұғым. Аналитикалық геометрияда жазықтықтағы сызық Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен, ал үш өлшемді кеңістіктегі сызық $F_{1}$ (х, у, z) = 0, ${\ \ F}_{2}$ (х, у, z) = 0 теңдеулер жүйесімен беріледі. Егер Ғ(х, у) функциясы n=1 дәрежелі көпмүшелік болса, Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен анықталатын сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. n саны алгебралық қисық сызықтың реті.

XIX ғасырдың 80-жылдарында француз математигі К. Жорданның ұсынуы бойынша кез келген шағын аймақтағы байланысқан континуум (мысалы, үшбұрыш, төртбұрыш, куб, т. б. ) кесіндінің үздіксіз бейнесі бола алады. Кесіндінің бірмәнді үздіксіз бейнесін қарапайым доға немесе жордан доғасы деп, ал шеңбердің бір мәнді үздіксіз бейнесін қарапайым тұйық сызық деп атайды. Қазіргі топологияда сызық ұғымы 1921 ж. кеңес математигі П. С. Урысон ұсынған анықтамасы бойынша қолданылады. Оның айтуынша сызық - өлшемділігі 1-ге тең еркін алынатын континуум.

Екінші ретті сызықтарды ежелгі заманның математиктері зерттей отырып, бір қатар жоғары ретті алгебралық қисықтарды және транцендент сызықтарды қарастырған. Алайда сызықтарды зерттеу және оларды кластарға бөлу аналитикалық геометрия қалыптасқаннан кейін ғана қолға алынды.

Курстық жұмыстың өзектілігі: Аналитикалық геометрия курсында екіншінші ретті қисықтар өзектілігін жоғалтқан емес.

Зерттеудің мақсаттары: Екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттерін зерттеу.

Міндеттері:

1. Екінші ретті сызықтар туралы мәлімет жинау.

2. Екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттерін қарастыру.

3. Курстық жұмысқа сәйкес есептерді шығару.

Зерттеудің пәні: Аналитикалық геометрия.

Курстық жұмыстың құрылымы: Курстық жұмыс кіріспеден, үш бөлімнен тұрады. Кіріспеде курстық жұмыстың өзектілігі мен мақсаты көрсетілген. Бірінші бөлімде екінші ретті сызықтардың қасиеттері қарастырылған. Екінші бөлімде екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттері қарастырылған. Үшінші бөлімде тақырып бойынша есептер шығарылды. Қорытынды жасалынды.

1. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі.

Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі мынандай түрде жазылады:

$а_{11}х^{2} + 2а_{12}ху + а_{22}у^{2} + 2а_{13}х + 2а_{23}у + а_{33} = 0$ (1)

Мұндағы $а_{11}, а_{12}, а_{22}, а_{13}, а_{23}$ - теңдеудің коэффиценттері, $а_{33}$ - бос мүше, 11, 12, 22, 13, 23, 33- коэффиценттердің индекстері. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі алты мүшеден, яғни екінші дәрежелі үш мүшеден, бірнші дәрежелі екі мүшеден және бос мүшеден құралған.

Мұндай жалпы теңдеу қандай жағдайда эллипс, гипербола немесе парабола болады? Ол коэффиценттердің мәндеріне байланысты. Мәселен,

1) егер $а_{11} = \frac{1}{а^{2}}$ , $а_{22} = \frac{1}{в^{2}}$ , $а_{32} = - 1$ , $а_{12} = а_{13} = а_{22} = 0\$ болса, онда $\frac{х^{2}}{а^{2}}$ + $\frac{у^{2}}{в^{2}}$ =1- эллипс;

2) егер $а_{11} = \frac{1}{а^{2}}, а_{22} = - \frac{1}{в^{2}}, \ \ \ \ \ а_{33} = - 1, \ \ \ а_{12} = а_{13} = а_{23} = 0$ болса, онда екінші ретті сызық $\frac{х^{2}}{а^{2}} - \frac{у^{2}}{в^{2}} = 1 - гипербола;$

3) егер $а_{11} = а_{12 =}а_{13 =}а_{33} = 0, \ \ \ \ \ \ а_{22} = 1, \ \ \ \ а_{13} = - p, болса, \ онда\ екінші\ ретті\ сызық\ у^{2} = 2pх$ - парабола болады.

Коэффиценттердің кейбір мәндерінде екінші ретті сызық басқа геометриялық бейнелерге де ауысуы мүмкін. Мысалы,

1) егер $а_{11} = 1, \ \ \ \ а_{22} = - 1, \ \ \ а_{12} = а_{13} = а_{23} = а_{33} = 0$ болса, онда $х^{2} - у^{2} = 0$ , (х+у) (х-у) =0, х+у=0, х-у=0 - екі түзудің теңдеуі;

2) егер $а_{11} = а_{12} = а_{22} = 0, \ \ \ а_{13} = 4, а_{23} = 2, \ \ \ \ а_{33} = 5$ болса, онда 8х+4у+5=0 бір түзү теңдеуі шығады.

Сонымен, (1) теңдеуі коэффиценттерінің мәндеріне байланысты эллипсті, гиперболаны, параболаны немесе басқа геометриялық бейнені ( мысалы, түзуді ) көрсетуі мүмкін. Сондықтан бұл теңдеудің координаталар системасындағы геометриялық мағынасын зерттеу үшін оның коэффиценттеріне байланысты қандай болатындығын тексеру керек. Бір тік бұрышты координаталар системасынан екінші тік бұрышты координаталар системасына көшкенде теңдеудің коэффиценттері өзгереді. Ал әр бір теңдеу сызықтың координаталар системасында қалай орналасатындығын анықтаумен қатар, оның координаталар системасына тәуелсіз ішкі қасиетін анықтауы да мүмкін. Ендеше, кез келген тік бұрышты координаталар системасында мәндері өзгермей отыратын коэффиценттердің функциялары болу керек. Ал бір тік бұрышты координаталар системасынан екінші тік бұрышты координаталар системасына көшкенде мәндері сақталатын коэффиценттердің функцияларын инварианттар деп атайды. Басқаша айтқанда, бір системадан екінші системаға көшкенде (1) жалпы теңдеудің коэффициенттерінің мәндері өзгерілмесе (немесе кейбір коэффициенттернің қосындысы не көбейтіндісі сақталса), онда бұл коэффициенттер инварианттар деп аталады. Инвариант деген сөз өзгермейді (сақталады) деген мағына білдіреді.

1. 2 Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуін түрлендіру.

Ескі координаталар системасы $xOy$ жаңа координаталар системасы $XO'Y$ болсын. Жаңа координаталар системасы мен ескі координаталар системасы бағыттас, ал оның бас нүктесінің координаталары $x_{0}, y_{0}$ болсын, яғни $O'(x_{0}, y_{0})$ . Сонда координаталар системасын түрлендірудің бірінші формуласы бойынша:

$x = X + x_{0}$

$y = Y + y_{0}$

Енді осы $x\ пен\ y$ -тің мәндерін (1) теңдеуге қойып түрлендірейік:

$a_{11}(X + {x_{0}) }^{2} + 2a_{12}\left( x + x_{0} \right) \left( Y + y_{0} \right) + a_{22}(Y + {y_{0}) }^{2} + 2a_{13}\left( X + x_{0} \right) + 2a_{23}\left( Y + y_{0} \right) + a_{33} = 0,$

$a_{11}X^{2} + 2a_{11}Xx_{0} + a_{11}{x_{0}}^{2} + 2a_{12}XY + 2a_{12}Xy_{0} + 2a_{12}Yx_{0} + 2a_{12}x_{0}y_{0} + a_{22}Y^{2} + 2a_{22}Yy_{0} + a_{22}{y_{0}}^{2} + 2a_{13}X + 2a_{13}x_{0} + 2a_{33}Y + 2a_{23}y_{0} + a_{33} = 0,$

$a_{11}X^{2} + 2a_{12}XY + a_{22}Y^{2} + 2\left( a_{11}x_{0} + a_{12}y_{0} + a_{13} \right) X + 2\left( a_{21}x_{0} + a_{22}y_{0} + a_{23} \right) Y + a_{11}{x^{2}}_{0} + 2a_{12}x_{0}y_{0} + a_{22}{y^{2}}_{0} + 2a_{13}x_{0} + 2a_{23}y_{0} + a_{33} = 0.$

Жаңа координаталар системасына шығарылған (2) теңдеуді (1) теңдеумен салыстырсақ, мынандай қасиеттер байқалады:

1) екінші дәрежелі мүшелердің коэффициенттері өзгерілген жоқ;

2) бірінші жәрежелі мүшелерінің коэффициенттері жоғарғы (1) жалпы теңдеудің дербес туындылары болады, өйткені $x$ пен $y$ -тің орнына $O'(x_{0}, y_{0})$ нүктесінің координаталары қойылған;

3) бос мүшелері (1) теңдеудің барлық мүшелеріндей алты мүшеден құрылған; мұнда ескі система координаталарының орнына жаңа системаның бас нүктесінің координаталары ( $x_{0}, y_{0}$ ) қойылған.

Егер (1) жалпы теңдеудің сол жағына $2F(x, y)$ немесе қысқаша $2F$ деп белгілесек, онда ол $2F(x, y) = 0$ не $2F = 0$ түрінде жазылады.

(1) теңдеуінің дербес туындылары:

${F'}_{x}(x, y) = a_{11}x + a_{12}y + a_{13},$ ${F'}_{x} = {F'}_{x}(x, y),$

${F'}_{y}(x, y) = a_{12}x + a_{22}y + a_{23},$ ${F'}_{y} = {F'}_{y}(x, y) .$

$x\ пен\ y - тің$ орнына $O'(x_{0}, y_{0})$ нүктесінің координаталарын қойсақ

${F'}_{x_{0}} = a_{11}x_{0} + a_{12}y_{0} + a_{13},$

${F'}_{y_{0}} = a_{12}x_{0} + a_{22}y_{0} + a_{23}.$

Енді (2) теңдеуін қысқаша жазылады:

$a_{11}X^{2} + 2a_{12}XY + a_{22}y^{2} + 2{F'}_{x_{0}}X + 2{F'}_{y_{0}}Y + 2F_{0} = 0$

1. 2 Жанаманың теңдеуі

Анықтама. Қисықты екі нүктеден қиып өтетін түзуді қиюшы түзу дейміз. Қиюшы түзу қозғалғанда оның екі нүктесі беттесіп жалпы бір нүктеге айналса, онда бұл түзу екінші ретті қисыққа жанама болады, ал жанама мен екінші ретті қисыққа ортақ нүктені жанасу нүктесі дейміз.

$а_{11}х^{2} + {2а}_{12}ху + а_{22}у^{2} + {2а}_{13}х + {2а}_{23}у + а_{33} = 0$

Теңдуімен берілген қисықты түзу М( $х_{1}, у_{1}$ ) нүктесінен жанап өтсін. Осы нүктеден өтетін жанаманың теңдеуін шығару үшін қисықтың теңдеуін жіктейік:

$а_{11}х^{2} + а_{12}ху + а_{13}х + а_{12}ху + а_{22}у^{2} + а_{23}у + а_{31}х + а_{32}у + а_{33} = 0$

Енді осы теңдеуді топтап, х пен у-ті жақшаның сыртына шығарайық:

( $а_{11}х + а_{12}у + а_{13}) х + \left( а_{21}х + а_{12}у + а_{23} \right) у + \left( а_{31}х + а_{32}у + а_{33} \right) = 0$

М( $х_{1}, у_{1}$ ) жанасу нүктесінің координаталары берілген теңдеуді қанағаттандырады. Сондықтан жақшалардың ішіндегі ағымдық координаталардың орнына берілген нүктенің координаталарын қояйық:

$\left( а_{11}х_{1} + а_{12}у_{1} + а_{13} \right) х + \left( а_{12}х_{1} + а_{22}у_{1} + а_{23} \right) у + а_{31}х_{1} + а_{32}у_{1} + а_{33} = 0$ (1)

Жақшалардың сыртындағы х пен у-ке қарағанда бұл бірінші дәрежелі теңдеу, ал жақшалардың ішіндегі мүшелердің қосындысы белгілі коэффиценттердің мәндерін береді, қалған үш мүшенің қосындысы бос мүшенің мәнін көрсетеді. Ендеше, бұл теңдеу берілген қисықтың бойындағы нүктеден өтетін жанаманың теңдеуі болады. Сонымен (1) теңдеудің дұрыс екендігін қорытып шығару үшін түзудің $х = х_{1} + lt, \ \ у = у_{1} + mt$ параметрлік теңдеуін алайық. Мұндағы М( $х_{1}, у_{1}$ ) нүктесі жанасу нүктесі болсын. Енді осы түзудің теңдеулерін пайдалана отырып, екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуінен х пен у-ті шығарып, содан кейін оны түрлендірейік:

$а_{11}\left( х_{1} + lt \right) ^{2} + 2а_{12}\left( х_{1} + lt \right) \left( у_{1} + mt \right) + а_{22}\left( у_{1} + mt \right) ^{2}) + {2а}_{13}\left( х_{1} + lt \right) + {2а}_{23}\left( у_{1} + mt \right) + а_{33} = 0,$

$\left( а_{11}l^{2} + а_{22}m^{2} + {2а}_{12}lm \right) t^{2} + 2\left( а_{11}х_{1}l + а_{12}х_{1}m + а_{12}у_{1}l + а_{22}у_{1}m + а_{13}l + а_{23}m \right) t + а_{11}х_{1}^{2} + {2а}_{12}х_{1}у_{1} + а_{22}у_{1}^{2} + {2а}_{13}х_{1} + {2а}_{23}у_{1} + а_{33} = 0$ (1’)

Соңғы алты мүшелердің қосындысын нөлге тең. Ал осы квадрат теңдеудің түбірлері ноль, яғни $t_{1} = t_{2} = 0$ болу үшін мынандай шарт орындалуға тиіс.

$а_{11}х_{1}l + а_{12}х_{1}m + а_{12}у_{1}l + а_{22}у_{1}m + а_{13} + а_{23}m = 0$

Мына $\frac{х - х_{2}}{у - у_{1}} = \frac{l}{m}$ қатынасы арқылы l, m параметрлердің соңғы теңдеуден шығарып және оны түрлендіріп, іздеген жанаманың теңдеуін табамыз:

$а_{11}х_{1}\frac{х - х_{1}}{у - у_{1}} + а_{12}х_{1} + а_{12}у_{1}\frac{х - х_{1}}{у - у_{1}} + а_{22}у_{1} + а_{13}*\frac{х - х_{1}}{у - у_{1}} + а_{23} = 0$

$х_{11}хх_{1} - а_{11}х_{1}^{2} + а_{12}х_{1}у - а_{12}х_{1}у_{1} + а_{12}ху_{1} - а_{12}х_{1}у_{1} + а_{22}уу_{1} - а_{22}у_{1}^{2} + а_{13}х - а_{13}х_{1} + а_{23}у - а_{23}у_{1} = 0,$

$\left( а_{11}х_{1} + а_{12}у_{1} + а_{13} \right) х + \left( а_{21}х_{1} + а_{22}у_{1} + а_{23} \right) у + а_{31}х_{1} + а_{32}у_{1} + а_{33} = 0$ .

Осыған сәйкес жанасу нүктесіндегі дербес туындылар:

${F'}_{x1} = a_{11}x_{1} + a_{12}y_{1} + a_{13},$

${F'}_{y1} = a_{21}x_{1} + a_{22}y_{1} + a_{23}.$

Егер (1’) теңдеуінің коэффициенттерін былайша белгілесек:

$A = a_{11}l^{2} + a_{22}m^{2} + 2a_{12}lm,$

$B = 2\left( a_{11}x_{1}l + a_{12}x_{1}m + a_{12}y_{1}l + a_{22}y_{1}m + a_{13}l + a_{23}m \right),$

$C = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}y_{1} + a_{22}y_{1}^{2} + 2a_{13}x_{1} + 2a_{23}y_{1} + a_{33},$

Онда(1’) квадрат теңдеуі мына түрде жазылады:

$At^{2} + Bt + C = 0.$

Сонымен, мынандай қорытындыға келеміз: түзу екінші ретті қисыққа M( $x_{1}, y_{1}$ ) нүктесінде жанама болса, онда A≠0, B=0, C=0, ал

$C = 2F\left( x_{1}, y_{1} \right) = 0$

Бұл- берілген қисықтың бойындағы жанасу нүктесінен өтетін жанаманың теңдеуі.

Сөйтіп, екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуіне сәйкес жанаманың теңдеуі мынандай болады:

$x{F'}_{x1} + y{F'}_{y1} + F_{1} = 0,$ `(1”)

Мұндағы

${F'}_{x1} = a_{11}x_{1} + a_{12}y_{1} + a_{13},$

${F'}_{y1} = a_{21}x_{1} + a_{22}y_{1} + a_{23},$

$F_{1} = a_{31}x_{1} + a_{32}y_{1} + a_{33}.$

Егер екінші ретті қисықты мына Ax+By+C=0 түзуі жанап өтсе, онда бұл түзудің коэффиценттері жалпы жанама теңдеуінің (1’) коэффиценттеріне прпорционал болу керек:

$\frac{{F'}_{x1}}{A} = \frac{{F'}_{y1}}{B} = \frac{F_{1}}{C}$ Немесе

$\frac{a_{11}x_{1} + a_{12}y_{1} + a_{13}}{A} = \frac{a_{21}x_{1} + a_{22}y_{1} + a_{23}}{B} = \frac{a_{31}x_{1} + a_{32}y_{1} + a_{33}}{C}.$ Осы формула мен жанаманың (1) теңдеуін қолданып, жанама нүктесінің координаталарын табуға болады.

2. Екінші ретті сызықтардың оптикалық қасиеттері.

1) Эллипстің М нүктесіне жүргізілген жанама оның фокустың радиустары $F_{1}M$ және $F_{2}M$ -мен тең бұрыш жасайды және $F_{1}MF_{2\ }$ бұрышының сыртында жатады (1-сурет) .

а) Демек, эллипстің бір фокустағы жарық көзінен шыққан сәулелер, эллипстің айнадан шағылысып оның екінші фокусына жиналады.

1-сурет

2) Параболаның М нүктесіне жүргізілген жанама оның FM фокалдық радиусы және М нүктесінен парабола өсіне параллель және бағыттас сәулемен тең бұрыш жасайды. Демек, параболаның фокусындағы жарық көзінен шыққан сәулелер, параболалық айнадан шағылылысып, оның өсіне параллель тарайды(1-сурет, б) ;

1-сурет $C:\Users\пк\Desktop\Безымянный1.png$

1- сурет, б $C:\Users\пк\Desktop\2.png$

$C:\Users\пк\Desktop\3.png$

3) Гиперболаның М нүктесіне жүргізілген жанама оның фокустық радиустары және -мен тең бұрыш жасайды және бұрышқа іштей өтеді.

4) Демек, гиперболаның бір фокусындағы жарық көзінен шыққан сәулелер, гиперболаның айнадан шағылысып, оның екінші фокусынан шыққандай әсер қалдырады.

Екінші ретті қисық сызықтардың конустық қима болатыны: Дөңгелек конусты, оның төбесі арқылы өтпейтін, жазықтық қиып өтсін. Егер осы жазықтық конустың тек қана бір қуысын қиып өтсе және қиылысу сызығы тұйық болса, онда бұл сызық эллипс. Ал тұйық болмаса парабола болады; егер жазықтық конустың екі қуысын да қиып өтсе, онда қиылысу сызығы гипербола болады (2-сурет) .

2-сурет

Есептер :

№1

Берілген $x^{2} + 2xy + 4y^{2} + 2x + 4 = 0$ теңдеуіндегі координаталар системасының бас нүктесі $O'(1, 1)$ нүктесіне көшірілген, ал координаталар системасының бағыттары өзгерілмеген. Екінші ретті сызықтың жаңа координаталар системасындағы теңдеуін табайық.