Логикалық есептердің түрлері
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
1
Математикадан сабақтан тыс жұмыс
6
1.1
Математиканы оқытудағы есептің рөлі
6
1.2
Математикадан факультативтік сабақтар
9
1.3
5-8 сыныптардағы факультативтік сабақтарда логикалық есептерді шешудің оқыту әдістемесі
9
2
Логикалық есептердің түрлері
2.1
Дұрыс пайымдаулар әдісімен шешілетін есептер
2.2
Кестелердің көмегімен шешілетін есептер
2.3
Графтарды тұрғызып шешілетін есепте
3
Орта мектепте логикалық есептерді шешу
3.1
Сандарды сәйкестендіру арқылы шығарылатын есептер
3.2
Сандық ойындар
3.3
Салыстырмалылыққа берілген есептер
3.4
Ойды жаттықтыруға арналған есептер
3.5
Сандарды цифрлар арқылы өрнектеуге берілген есептер
3.6
Амал таңбаларын анықтауға берілген есептер
3.7
Жұп және тақтылыққа берілген есептер
3.8
Адамның жасын анықтауға берілген есептер
3.9
Бағалар мен сандық қатынастар
3.10
Қалдықтар туралы есептер
3.11
Құюға арналған есептер
3.12
Комбинаторика элементтеріне байланысты есептер
3.13
Тендеу құруға арналган есептер
3.14
Логикалық халық есептері
3.15
Логикалық есептер
3.16
Дирихле принципі
3.17
Граф әдісі арқылы берілген есептер
3.18
Уақытқа арналған есептер
3.19
Қозғалыс, жылдамдыққа арналған есептер
3.20
Қанша рет байқау керек тақырыбына арналған есептер
3.21
Таразымен өлшеуге арналған есептер
3.22
Сиқырлы үшбұрыштар мен сиқырлы шаршыға арналған есептер
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Қосымшалар
Кіріспе
Соңғы жылдары оқу-тәрбие процесінде математика негізінде ұлттық ойындар, өз бетінше орындауға арналған жаттығулар, жұптық жұмысқа арналған тапсырмалар, зерттеу өзгешелігі бар немесе үйреншікті емес жаттығулар, өзін-өзі бақылауға арналған жаттығулар, тексеріп қатесін табуға арналған жаттығулар, граф арқылы орындалатын жаттығуларды енгізу мектептерде жан-жақты өріс алып келеді.
Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамға сапалы және терең білімнің, іскерліктің болуын қамтиды. Оқушының белсенді шығармашылықпен жұмыс істеуін және кеңінен ойлауға қабілетті болуын талап етеді. Сондықтан да мектептегі оқу процесінің негізгі мақсаты арнайы педагогикалық әдістермен мақсатты және жүйелі түрде оқушылардың интеллектік, шығармашылық ойлауын дамыту, ғылыми көзқарасы мен белсенділігін қалыптастыру, әр адамның бойындағы туғаннан пайда болған интуициясын әрі қарай дамытуға ықпал ету, математикалық білімін тереңдету үшін оқытуды жоспарлы түрде ұйымдастыру, өз бетінше білім алу дағдыларының дамуына негізін салу болып табылады. Осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін математика пәнінің мұғалімі сабақта оқытудың педагогикалық технологияларын тиімді қолданып, оқушының логикалық ойлауын және таным белсенділігін қалыптастыру барысында шығармашылық ізденістің тиімді жолдарын үйрету керек.
Қазақстан республикасының білім беру стандартында білім берудің басты міндеті логикалық ойлауды дамыту болып табылатындығы атап айтылған.
Оқушы бойында білім нұры тасып, сыныптан сыныпқа көшкен сайын оқушының ішкі дүниесі , сыртқы ортамен байланысты дамып, оқушы дүниетанымы арта түсуі анық.
Логикалық есептерді ойлап шығарудағы мақсат - логикалық жаттығуларды орындау баланың ақыл - ойын , қиялын, ой ұшқырлығын дамытудың ең ұтымды тәсілі.
Логикалық есептер деп арнайы формулаға келмейтін, әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет ететін есептерді айтамыз.
Логика - (грек тілінен алынған logic - сөз, ой,ойлау, ақыл-ой) ойлаудың заңдылықтары мен түрлері туралы ғылым. Объективті пікірлерге негізделген процесс логикалық ойлау деп, ал дұрыс ойлаудың формалары мен заңдары туралы ғылым логика деп аталады. Логикалық ойлаудың қисындылығы олардың шындыққа сай келуінде. Логикалық тұжырым теориясының ең алғаш грек философы Аристотель (384 -322жж. б.з.д.) негізін қалаған. Ой әрекеті барысында адам қоршаған дүниені танып, білу үшін ерекше ақын қызметін орындайды. Бұл нақты қызметіне талдау, біріктіру, салыстыру, дерексіздендіру нақтылау және қорытындылау арқылы жүзеге асырылады.
Ол Біз қалай ой қорытамыз? деген сұраққа жауап іздей отырып, ойлау ережелерін зерттеді. Аристотель алғаш рет логиканы жүйелі түрде реттеп,
ойлау түрлерін талдап берді: түсіну, пікір, ой қорыту. Осылайша формальді логика пайда болды.
Ойлаудың негізгі формалары:
түсінік - бұл нысанның нақты белгілерін тіркейтін ойлау формасы. Түсініктің көлемі нысандар жиыны түрінде берілуі мүмкін. Қазіргі математика теориясының негізін қалаушы жиындар алгебрасы жиындар арасындағы байланысты түсіндіріп береді;
пікір - нақты заттардың қасиеті туралы жалған немесе ақиқат екендігі айтылатын ойлау формасы. Пікір ақиқат немесе жалған бола алады. Леп белгісі және сұрақ белгісі бар сөйлемдер пікір бола алмайды: Маған кітапты әкеліп бер! Сен киноға барасын ба? Пікір екі түрге бөлінеді: 1)Қарапайым (немесе жеке) (мысалы 2+85 - жалған; Жер - Күн жүйесінің планетасы - ақиқат; 2) Құрама(немесе жалпы) (пікірлер алгебрасы арқылы ақиқаттығы есептеледі);
ой қорыту - бір немесе бірнеше пікірлердің көмегімен жаңа пікір(қорытынды) туғызатын ойлау формасы.
Неміс ғалымы Готфрид Лейбниц (16461716) математикалық логика негізін салды. Ағылшын Джордж Буль (1815-1864, математик) - Лейбництің еңбегін жалғастырушы.
Мектеп курсында логика жеке пән ретінде өтілмейді, логикалық білім мен дағдыларды қалыптастыруға барлық сабақтардың үлесі бар, олардың ішінде математика сабағының ара салмағы үлкен.
Логика - бұл адам ойлауының түрлері мен заңдары туралы, оның ішінде дәлелдеуге болатын пікірлердің заңдылықтары туралы ғылым.
Ғылыми пән ретінде логиканың бірнеше нұсқалары дараланады:
1) формальды логика;
2) математикалық логика;
3) ықтималдықты логика;
4) диалектикалық логика.
Логикалық есептерде тек сандар ғана емес, күтпеген тым шиеленісті пікірлер де бастапқы деректер болып табылады.
Логика дұрыс ойлаудың заңдары мен жүйелі де дәлелді түрде пайымдауға қойылатын талаптар туралы ғылым [1, 25]. Анықтама, дәлелдеме, пайымдау, жіктеп саралау тағы басқа логикалық амалдарды әрбір оқушы өзінің ойлау қызметінде қолданып отырады.Оқушы анықтамаларды жаттап, теоремаларды дәлелдей отырып дәлелдеу мен бекерлеудің мәні, түрлері және оларды қалай дұрыс қолдану туралы әдетте біле бермейді.
Логикалық есептер оқушылардың танымдық қасиетін дамытып, математикаға қызығушылығын арттырады. Логикалық есептерді шешу үшін бағдарламалардан да басқа кітаптардан көп іздену керек.
Логикалық есептерді ойлап шығарудың әдіс-тәсілдері оқушының ақыл ойын тәртіпке келтіреді, логикалық ойлауға үйретеді. Әсіресе, логикалық есептерді шығару - баланың ой-өрісін дамытатын негізгі құрал.
Логикалық есептерді шығарудың басты мақсаттарының бірі - оқушының тереңнен ойлауын , жан-жақты ізденуін дамыту және қазіргі халықаралық талаптар деңгейінде күнделікті өмірде математиканы еркін пайдалана алуға бастауыш сыныптан бастап үйрету.
Әрбір есепті шығару үшін мынаны есте сақтау керек:
-әрбір есепті шығарған кезде уақытпен санаспай оған барлық мүмкіндік пен күшін салу;
-есептерді шығарған кезде оның шығару жолдарына жете зер салып, оларды шешудің тәсілдері мен әдістері ерекшеліктеріне, есептерді талдаудың жолдарына, дәлелдеуге тырысу;
-есепті шығару үшін өз біліміңе, барлық күш -жігеріңе сену керек;
-шығара алмаған есепті шыдамдылық пен қажырлық көрсетіп, есепті қайта-қайта шығарудан тайынбау.
Логикалық есептерді шешу өзіндік мақсат емес, оқыту құралы болғандықтан шешу тәсілдерін іздену, қолданылған осы амалдарды есте сақтау, осы амалдардың қолдану мүмкіндігі шарттарын айқындау, есептерді жалпылау - мұның барлығы мектеп оқушыларына есепте оқуға; оқушыларға кейін тек қана математикада емес, басқа да салаларда қажет болатын есеп шығару үрдісіндегі логикалық және шығармашылық ойлауды дамытуға мүмкіндік береді.
Және соңында, сыныптан тыс сабақтарда логикалық есептерді шығару оқу қызметінің тиімділігі арттырады, себебі математикаға қызығушылықты күшейтеді, оқушылардың шығармашылық қабілеттерін дамытады.
Логикалық тапсырмаларды меңгеруде жаттығулар әдісі қолданылады. Осылай мысалы, кестелерді құрастыруды, графтарды тұрғызуды оқытуда мұғалім оқушыларға жақсы ойластырылған жаттығулар жүйесін береді.
Логикалық есептер көптеген математикалық есептерден оларды шешуде арнайы математикалық білімдер жиі қолданылмай, ереже ретінде аңғарушылық қажет болады. Мектеп оқушыларына логикалық есептерді шығаруға үйрететін мұғалім оларды өзі шеше алуы, және онымен басқаларды оқытуға қажетті білімдер мен біліктерді игеруі қажет. Бірақ ағымдағы уақытта 5-6 сыныптардағы логикалық есептерді шығаруға оқыту бойынша ұсыныстарды табуға болатын әдістемелік құралдар аз. Сондай-ақ көптеген оқулықтарда логикалық есептер аз (төменнен қараңыз) және олар шешудің түрлі әдістерін (кестелер, графтар және т.б.) қолдануды қарастырмайды, осы себептен мұғалімдер логикалық есептер шығару сабақтарына дайындалу кезінде қосымша әдістемелік әдебиеттерді қолдануға мәжбүр болады.
Дисертациялық жұмыстың мақсаты 5-8 сыныптар оқушыларына арналған логикалық есептерді шешу тақырыбы бойынша факультатив құрастыру.
Дисертациялық Орта мектепте логикалық есептерді шешу тақырыбы бойынша факультативтік сабақтардың бір жүйесі жасалған. Бұл факультатив математикаға қызығушылығы бар, ынтасы зор орта буын оқушыларына арналып жазылған.
1 Математикадан сабақтан тыс жұмыстар
0.1 Математиканы оқытудағы есептің рөлі
Оқу процесінде есеп шығару математиканы оқытудың мақсаты ретінде де, оны оқыту әдісі ретінде де бой көрсетеді. Математикалық есеп дегеніміз- математикадағызаңдылықтар, ережелер мен әдіс-тәсілдер негізінде оқушылардың ойы мен іс-әрекетін талап ететін және математикалық білімді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға бағытталған ситуация. Сондықтан есеп шығару математиканың ажырамас бөлігі, себебі есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға оқушылардың математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін практикада қолдануға, табандылық, ізденшіштік, еңбек сүйгіштік қасиеттерін тәрбиелеуге жол ашады. Математикалық есептер: а) жаңа математикалық ұғымдар мен мағлұматтарды үйрету; ә) практикалық іскерліктер мен дағдыларды қалыптастыру; б) білімнің тереңдігі мен баяндылығын тексеру; в) проблема қою және проблемалық ахуал туғызу; г) материалды пысықтау, жалпылау және қайталау;д) политехнизм принциптерін іске асыру және е) оқушылардың творчестволық қабілетін тәрбиелеу үшін пайдаланылады.
Есеп оқушыларды жаңа математикалық біліммен қаруландырып, қалыптасқан іскерліктері мен машықтарын жүйелеуге және нақтылауға көмектеседі.
Есептер ішінде математикалық ойлауды дамытуға арналған есептерге тоқталайық. Мұндай есептер талдауды, мәліметтер мен ізделетін шамаларды салыстыруды, шығарылатын есепті бұрын шығарылған есептермен салыстыруды, есептің қарапайым моделін жасауды, есептің мәліметтерін синтездеуді және оларды график, таблица, сондай-ақ математикалық сөйлем түрінде өрнектеуді, табылған нәтижелерді нақтылауды, зерттеуді талап етеді. Алайда математикалық есептерді шығару оқушылардың жеке творчестволық белсенділігіне байланысты. Сондықтан, есеп шығарудың басты мақсаттарының бірі- оқушылардың ойлау қызметін жандандыру. Демек, оқушылардың ойлау қызметін жандандыру арқылы әр алуан салаларды, түрлендірулерді, есептеулерді орындауды, математикалық сөйлемдерді тұжырымдауды үйретумен бірге, ойлап, талқылауға, математикалық фактілерді салыстыруға, ортақ немесе айырықша қасиеттерді көрсетуге, дұрыс қорытынды жасауға баулуы тиіс.
Математикалық ойлауды өрістету үшін оқушыларды қызықтыратын, ынтасын арттыратын есептерді құрастыру дұрыс. Ондай есептерге зерттеу элементтері бар есептер, ойын есептер, ертегі есептер жатады. Бұған берілген есепті шығарғанда кеткен қатені табу, есепті бірнеше жолмен шығару, өздігінен есеп құрастыру және т.с.с. кіреді.
Есепті шығару жолындағы қателерді табуды бірте-біртекүрделендіре берсе, солғұрлым пайдалы болмақ. Мұндай есептерге математикалық софизмдер мен шытырмандар жатады. Софизмдер мен шытырман есептерді шығару арқылы оқушы дұрыс ойлауға, сын көзбен карауға, бақылағыштыққа машықтанады.
Оқушылардың есеп шығаруға ынтасын арттыратын есептердің түрі- ертегі есептер мен ойын есептер.
Есеп шығару барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштік қасиеттерді дамытып өрістетуде берілген есепті әр түрлі тәсілмен шығарып, ішінен ең қарапайым, тиімдісін таңдап алудың маңызы зор. Мұның өзі оқушылардың біліміндегі формализмді жоюға, ой оралымдығын тәрбиелеуге мүмкіндік береді.
Математикалық есептердің танымдық маңызын атап өтпеске болмайды. Себебі, есеп шығару барысында оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыруға кең жол ашады. Бұл мақсатта математиканың диалектикалық табиғатын көрсететін есептерге көбірек көңіл бөлген жөн. Ондай есептер алгебра және анализ бастамаларында, олардың геометриядағы, физикадағы, химиядағы қолданымдарында, сондай-ақ физикалық, механикалық процестердің математикалық модельдерін жасауда жиі кездеседі.
0.2 Математикадан факультативтік сабақтар
Факультативтік сабақтар мектептегі оқу - тәрбие процесінің бір түрі. Мектептегі факультатив сабақтардың мақсаты-оқушылардың математикалық білімдерін одан әрі тереңдету, қабілеттерін дамыту, математиканың әр алуан қолданымдарын көрсету, олардың пәнге ынтасын арттырып, кәсіптік бағдар беру. Бүгінгі таңда математиканың факультативтік сабақтары орта мектептерге жаппай енгізіліп, оқушылардың жалпы математикалық даярлығын арттыруда келелі орын алды.
Факультативтік сабақтар оқушылардың бейімділігі мен ынтасын өрістетеді.
Факультативтік сабақтарда қамтылуға тиісті мәселелердің кейбіреулерін қарастырамыз.
а)факультативтік сабақтардағы тарихи мағлұматтар негізінен тақырыптың тарихи даму сатыларын хронологиялық тәртіппен баяндауды, жеке фактілер мен ірі тұлғаларды ауық-ауық еске салуды көздейді. Мұндағы мақсат - оқушылардың пәнге ынтасын арттыру (педагогикалық) міндеті мен тарихы мағлұматтардың көмегімен олардың ғылыми көзқарасын қалыптастыру және ой-өрісін дамыту (методикалық) міндетін шешу болып табылады. Методикалық міндетті шешу теориялық есептердің қойылуындағы практиканың рөлін көрсетуді, ғылыми танымның қозғаушы күшін анықтап түсіндіруді талап етеді. Мысалы, комбинаторика және ықтималдылықтар теориясының элементтері тақырыбын түгелдей дерлік тарихи жобада оқытуға болады.
Сонымен бірге, математикадан факультативтік курс материалдарын мүмкіндігінше кәдеге жарату мәселесін де ойластырған жөн. Мысалы, Санау жүйелерінде - екілік қосындылағыштар , Математикалық логика элементтерінде- ауыстырып қосқыш схемалар, Комбинаторика және ықтималдылықтар теориясындағы - телеграф байланысы пәнге деген ықыласын арттырып, оны қызығып оқуға итермелейді.
Факультативтік сабақтардың пәрменділігін арттыру жолдарының бірі- практикалық жұмыстар орындау. Сабақтың бұл түрі оқу процесін білімді іс жүзінде қолданумен ұштастыруға жол ашады. Мұнда мұғалім ең алдымен оқушыларды практикалық жұмыстың мақсатымен, жұмыс тәртібімен таныстыруы, қажетті нұсқаулар беруі тиіс. Берілетін практикалық тапсырмаларды дербес ерекшеліктеріне қарай берген дұрыс, ал жұмыс нәтижесін күллі топтың қызметі ретінде бағалау керек. Факультативтік сабақтарды оқытудың әдістері мен тәсілдерін таңдағанда, алдымен курстың мазмұнын, оқушылардың дайындық деңгейін, олардың программалық материалдарға ынта-ықыласын ескеру керек Сонымен бірге олардың ой - өрісі мен дербестігіне де назар аударған дұрыс.
Факультативтік курстың тиімділігін арттыруда оқушылардың танымдық қызметін жандандыруда оқытудың техникалық және көрнекі құралдарын орынды пайдалану зор роль атқарады.
Факультативтік сабақтардың методологиялық міндетін шешу теориялық есептердің қойылуындағы тәжірибенің рөлін көрсетуді, ғылыми танымның қозғаушы күшін анықтап түсіндіруді талап етеді. Сонымен бірге, математикадан факультативтік курс материалдарын мүмкіндігінше кәдеге жарату мәселесін де ойластырған жөн [1, 122]. Мәселен, Математиканың таңдамалы мәселелерін оқытқанда математиканың ғылым мен техниканың әр алуан салаларындағы қолданымын көрсетудің маңызы зор. Сондай - ақ жеке ұғымдарды оқыту кезінде де кәдеге жарату мәселесіне ден қойған дұрыс. Факультативтік сабақ математикаға ынталы, пәнге ықыласы мол, өзінің математикалық мәдениетін көтеруге, білімін тереңдетуге, ой - өрісін кеңейтуге ынталы оқушыларға арналған.
Әдетте факультативтік курстардың лекция, әңгімелеу, прак - тикалық жұмыстар, қосымша әдебиет бойынша тапсырмаларды талқылау, оқушылардың баяндама жасауы, реферат жазу, экс - курсия ұйымдастыру сияқты формалары мен әдістері кең пайдаланылады.
Факультативтік сабақтың кейбір материалдары лекция түрінде өтеді. Мұндағы мақсат -- оқу материалдарының ішінен ең өзектілерін баяндау, есептер шығарудың ең нақты әдісін көрсету, сөйтіп, оқушыларға материалды өздігінен оқып үйренудің жолын нұсқау. Лекция сабақтарының оқушы - лардың ой түю, тыңдау машықтарын шыңдауға бағытталғаны пайдалы.
Лекция барысында оқушылармен қайсыбір ұғымның тууы, оны дамытуда белгілі бір ғалымның қосқан үлесін, проблеманың есеп түрінде қойылуын әңгімелеудің рөлі зор.Факультативтік курстың материалдарын терең игеру жолдары - ның бірі -- есеп шығару. Есептерді оқушылардың ынтасына сай іріктеген дұрыс. Алдымен, даярлық есептер оқушылардың өздігінен шығармашылық қызмет ету қабілетін дамытатындай, проблемалық ахуал ретінде берілуі тиіс.
1.3 5-8 сыныптардағы факультативтік сабақтарда логикалық есептерді шешудің оқыту әдістемесі
Математика бойынша салыстырмалы нашар үлгерімнің негізгі себептерінің бірі - көп оқушылардың осы сабаққа деген нашар қызығушылығы. Пәнге қызығушылық ең алдымен сабақтағы оқу жұмысының сапасынан тәуелді. Осы қызығушылықты қалай қалыптастыруға және арттыруға болады? Математикаға қызығушылықты үйрету үшін кейбір оқушыға бір сабақ жеткіліксіз. Мұғалім осы сабақтардың жүйесін ойластырып, сыныптан тыс сабақтарды жүргізуі қажет. Онда басқа сұрақ туындайды: сыныптан тыс сабақтарда балаларға қандай материал беру керек?. Біздің ойымызша, мұнда пайдалырағы болып логикалық есептер, логикалық есептерді шығаруға оқыту болады. Біріншіден, логикалық есептердің логикалық және шығармашылық ойлаудағы үлкен рөлге ие екендігінен; екіншіден, оларға оқу пәніне қызығушылықты дамытуда ерекше рөл берілген. Және соңында, логика негіздерін білудің өзі әр адамға қажет, себебі дұрыс ойлай білу, өзінің немесе басқалардың тұжырымдары мен болжамдарын, бекітулерін, пайымдауларын ақиқаттығын не жалғандығын дәлелдеу адамға өмірлік қажет.
5-8 сыныптардағы логикалық есептерді сабақта және сыныптан тыс сабақтарда беруге болады және қажет. Әдетте 7-8 сыныптарда математика сабақтары аптасына 5 сағат (математиканы тереңдетіліп оқытатын сыныптар саналмайды), бірақ бағдарламалық материалдарды толыққанды меңгерудің қажеттілігінен логикалық есептерді шешуге бөлінетін уақыт аз. Сондықтан бұл есептерді сыныптан тыс сабақтара қолдану мақсатты.
Сыныптан тыс сабақтар оқушылардың бағдарламалық материалдары саласындағы білімін тереңдету үшін, оларда логикалық ойлауды, зерттеушілік дағдыларын, тапқырлықты, математикалық әдебиеттерді оқуға талғамды дамыту, баулу үшін, оқушыларға математика тарихынан пайдалы мәліметтерді хабарлау үшін сәтті пайдалануға болады. Сыныптан тыс сабақтар оқушыларға және мұғалімдердің өзіне үлкенкөмегімен алып келеді. Сыныптан тыс жұмысты сәтті жүргізу үшін мұғалімге математика бойынша өзіндік танымын үнемі кеңейтіп отыру қажет. Бұл оның сабақтарының сапасына да әсер етеді.
Математика бойынша сыныптан тыс сабақтардың екі түрін ерекшелейді: бағдарламалық материалды игеруде басқалардан қалатын оқушылармен жұмыс, яғни математика бойынша қосымша сабақтар; математиканы меңгеруге қызығушылықтары жоғары оқушылармен жұмыс. Бірақ тағы да бір үшінші жұмыс түрін ерекшелеуге болады. Бұл математиканы игеруде қызығушылықты дамыту бойынша оқушылармен жұмыс.
Сыныптан тыс жұмыс негізгі сабақтарда оқушылармен игерілген математикалық білімдер, біліктер мен дағдыларды тереңдетуге, танымдық өз бетіншелігін қалыптастыруға және оларды шығармашылық қызметке баулуға, жоғары математикалық қабілеттері бар оқушыларды айқындауға ықпал етеді. Математика бойынша сыныптан тыс жұмыстың түрлі формалары бар[2, 16]. Негізгі формаларға жатады:
1) математикалық үйірмелер;
2) математикалық және гуманитарлық бағыттардың оқушыларына есептелген, арнайы курстар;
3) математиканың жекелеген бөлімдері (қаржылық математика, ықтималдықтар теориясы, комбинаторика, математика бойынша стандартты емес есептер) бойынша оқылатын факультативтер;
4) оқушылардың ғылыми қоғамдарымен жұмыс (оқушылармен ғылыми-зерттеу жұмыстардың элементтері: математикалық әдебиеттің сыныптан тыс оқуы, математикалық тақырыптарға баяндамалар, сөз сөйлеулер, рефераттар дайындау);
5) олимпиадалар;
6) мектеп оқушыларымен сыныптан тыс жұмыстың түрлі эпизодтық формалары: математикалық кештер, конкурстар, сыныптан тыс оқулар, тұрақты қабырға баспаларын шығару және т.б.
Сыныптан тыс жұмыстың кеңірек таралған формасы болып математикалық үйірме табылады. Оның негізінде еріктілік принципі жатыр. Үйірме сабақтары мазмұның мұғалім анықтайды. 5-6 сыныптардағы үйірме жұмыстарында математикаға деген бастапқы қызуғышылықты қалыптастыру мен ойлауды дамыту негізгі болады, ал осы мақсатқа жоғарыда айтылғандай логикалық есептерді шешуге оқыту қызмет етеді.
Логикалық есептерді шешуге оқыту дидактиканың негізгі принциптерін қанағаттандыруы қажет:
1) қарапайымнан күрделіге принципі;
2) қолжетімділік принципі;
3) көрнекілік принипі;
4) ғылымилық принципі;
5) білімнің беріктігі принципі.
Берік білім, білік және дағдылар оқушыларда ғылыми дүниетанымның қалыптасу, олардың қабілеттерін дамыту, тәжірибелік қызметке дайындауға қажет. Ал алынған білім, білік және дағдыға тек олардың қатаң игерілуі мен ұзақ уақыт есте сақталуы шартында ғана сүйенуге болады.
Логикалық есептерді шешу өзіндік мақсат емес, оқыту құралы болғандықтан шешу тәсілдерін ізднеу, қолданылған осы амалдарды есте сақтау, осы амалдардың қолдану мүмкіндігі шарттарын айқындау, есептерді жалпылау - мұның барлығы мектеп оқушыларына есепте оқуға; оқушыларға кейін тек қана математикада емес, басқа да салаларда қажет болатын есеп шығару үрдісіндегі логикалық және шығармашылық ойлауды дамытуға мүмкіндік береді.
Және соңында, сыныптан тыс сабақтарда логикалық есептерді шығару оқу қызметінің тиімділігі арттырады, себебі математикаға қызығушылықты күшейтеді, оқушылардың шығармашылық қабілеттерін дамытады.
Логикалық тапсырмаларды меңгеруде жаттығулар әдісі қолданылады. Осылай мысалы, кестелерді құрастыруды, графтарды тұрғызуды оқытуда мұғалім оқушыларға жақсы ойластырылған жаттығулар жүйесін береді.
Математика есептерін шығаруды үйретудің жалпы әдістері:
1. Синтетикалық әдіс [3, 255].Берілген есепті шығарудың қажетті шарттарының бірі - сол есепке келтірілген көмекші есептерді шығара білу. Мұндай көмекші есептерді шығару іскерліктері қалыптасқан жағдайда, бар мәселе негізгі есептің шарттарын қанағаттандыратын қасиеттердің жиынтығын табуға тіреледі. Есеп шығарғанда көбінесе синтетикалық әдіс жетекші орын алады. Синтетикалық әдістің мәні мынадай: негізгі есептің кейбір мәліметтерін пайдаланып көмекші шамаларды анықтайды, яғни көмекші қарапайым есептердің бірінші сериясын шығарады. Одан соң осы есептің шешуін, негізгі есептердің мәліметтерімен қоса пайдалана отырып көмекші есептердің екінші сериясын шығарады. Сөйтіп, негізгі есептегі ізделетін шаманы тапқанша, осы процесті жалғастыра береді.
2. Аналитикалық әдіс. Есепті аналитикалық әдіспен шығару Есепте қойылған мәселеге жауап беру үшін нені білу керек ? деген сұрақтан басталады. Бұл сұраққа толық жауап беру үшін есептің мәліметтерін айқындап, оның ізделетін шамамен байланысын анықтау керек.
Логикалық есептерді шешу кезеңдері (шешудің кез келген әдісінде):
- есеп шартының анализі;
- шешу жолын іздеу және шешу жоспарын құрастыру;
- есепті шешу жоспарын іске асыру;
- есеп шешімін тексеру.
Есепті шешкенде осы кезеңдердің барлығы болуы қажет, бірақ олар түйісе алады.
1 Логикалық есептердің түрлері
2.1 Дұрыс пайымдаулар әдісімен шешілетін есептер
Көптеген логикалық есептер дұрыс пайымдау әдісімен шешіледі. Шешу үрдісі өз алдында барлық жағдайлардың талдаулары, сәйкес келтіруді таңдау және қажет еместерін тастауды ұсынады. Шешу нәтижесінде біз қалыптасқан қиын жағдайдан шығамыз.
Дұрыс пайымдаулар әдісін өткелден өткізу (қасқыр, ешкі және орамжапырақ туралы есеп), таразылауға және т.б. есептерді шешуге қолданамыз. Мұндай есептердің мысалын қарастырайық.
Есеп 1[3, 179]. Ешкі, қасқыр және орамжапырақты өткелден өткізу туралы есеп.
Өзен арқылы ешкі, қасқыр және орамжапырақты өткізу керек. Қайықта, тасымалдаушыдан басқа үшеуінің біреуі ғана сыяды. Оларды қандай тәсілмен, ешкі - орамжапырақты, қасқыр - ешкіні жеп қоймайтындай етіп жеткізу болады.
Шешімі.Өткізудің түрлі нұсқаларын қарастырамыз. Егер алдымен қасқырды жеткізсек, онда ешкі орамжапырақты жеп қояды. Ал егер орамжапырақты, онда қасқыр ешкіні жейді. Тиісінше, басында ешкіні жеткізу қажет. Сосын қасқырды жеткіземіз, бірақ оны онда қалдырсақ, ешкіні жеп қояды. Яғни ешкіні қайта алып келіп, орамжапырақты жеткізу қажет. Және де соңында ешкіні.
Басқаша әрекет етуге де болады: қасқырды емес, орамжапырақты. Бірақ ешкі оны жеп қояды, яғни ешкіні керіге. Енді қасқырды және қайтадан ешкіні.
Жауабы: алдымен ешкіні, сосын қасқырды (орамжапырақты). Сосын ешкіні қайтарамыз да орамжапырақ (қасқырды) жеткіземіз. Сосын ешкіні.
Таразылауға есепмысалын келтірейік.
Есеп 2. Сегіз сақинадан біреуі басқасынан жеңіл. Жеңіл сақинаны айтарлықтай анықтау үшін кеселі таразыда таразылаудың саны қанша?
Шешімі:
Тәсіл 1 [4, 252].Сегіз сақинаны төрттен бөлеміз. Осы сақиналар тобын таразылаймыз, жеңілін екі сақинадан бөлеміз. Қайта таразылаймыз. Айтарлықтай жеңіл жұптағы сақиналарды салыстырмалы таразылауға қатыстырамыз. Осылайша, жеңіл сақинаны анықтау үшін үш таразылау қажет болды.
Тәсіл 2. Сегіз сақинаны үш топқа бөлеміз: 3, 3 және 2.
Бірінші таразылау: егер үш сақиналы топтар бірдей салмақты болса, онда жеңіл сақина қалған екі сақина арасында табылады.
Екінші таразылау: қалған екі сақинаны таразылап, жеңілін табамыз.
Егер үш сақиналы топтар түрліше тартса, онда жеңіл сақина аз тартқан топтың ішінде. Осы топтан екі сақинаны аламыз да таразылаймыз, егер олар бірдей тартса, она үшіншісі - жеңілі. Егер түрлі тартса, онда жеңіл сақина табылды.
Жауабы: тәсіл 1 -- үш, тәсіл 2 - екі таразылау.
2.2 Кестелердің көмегімен шешілетін есептер
Логикалық есептерді шешуде баста сақтауға қиын болатын есептердің көп шаттарын қамту мүмкіндігіне байланысты кестелер жиі қолданылады. Сондықтан оқушылар кестелер құруы қажет. Ол есепті назар салып оқығаннан және талқылағаннан кейін құрастырылады да есеп туралы барлық ақпарат кестеде көрініс табады. Есеп деректері шарттарын мұндай өңдеу оның шешіулін жеңілдетеді, ал кейде басты шешу тәсілі болып табылады.
Кестенің көмегімен есептердің түрлі типтерін шешуге болады, мысалы: түрлі жиындардың элементтері арасындағы сәйкестікке есептер, жиындарды реттеуге есептер, жалған тұжырымдары бар есептеп, турнирлік есептер және т.с.с..
а) Түрлі жиындардың элементтері арасындағы сәйкестікке есептері.
Логикалық есептердің берілген типі бірнеше ақырлы жиындарды қарастырумен байланысты, ережеге сәйкес элементтерінің арасында қейбір тәуелділік бар.
Ең қарапайымы болып элементтерінің саны бірдей екі жиын берілгенде және олардың арасында өзара бірмәнді сәйкестікті орнату талап етілгенде. Айтарлықтай күрделі жағдайларда элементтерінің саны бірдей және жиындар жұптарының арасында өзара бірмәнді сәйкестікті орнату талап етілетін жиындардың үлкен саны қарастырылады. Және соңында, элементтерінің арасында тәуелділік бар, бірақ өзара бірмәнді сәйкестік жоқ бірнеше ақырлы жиын қарастырылады.
Есептердің тізілген кластарын шешуде түрлі сипаттағы кестелер қолданылады. Элементтердің бірдей саны бар екі жиын жағдайында n х n ұяшықтан (n-жиындағы элементтер саны) тұратын шаршылы кестені қолдану ыңғайлы. Есептің берілгені кестенің сәйкес ұяшығына енгізіледі, мысалы: оң нәтиже + белгісімен, ал терісі - - белгісімен. Есептің барлық шарттарын қолданғаннан кейін бос қалған ұяшықтарға логикалық пайымдау жолымен + немесе - белгілері қойылады.
Егер жиындар екіден көп болса, онда бірнеше шаршылы кестені және бір тіктөртбұрышты кестені құрастыруға тура келеді.
Екі жиын мысалы:
Есеп 1 [5, 79]. Айнұр, Жайна, Нағима математика бойынша бақылаудан оларға қандай бағалар қойылғанын сұрады. Мұғалім жауап берді: Нашар баға жоқ. Үшеулерінде баға түрліше. Айнұрда 3 емес. Нағимада 3 және 5 емес. Кім қандай баға алды?
Шешімі: есепте екі жиынды ерекшелеуге болады: бағалар жиыны мен аттар жиыны. Әр жиын үш элементтен тұрады. Бұл 3, 4, 5 бір жағынан және Айнұр, Жайна, Нағима екіншісінен. Кестеге кіріс мәліметтерін қоямыз. Айнұрда 3 емес болуына сай Айнұр бағаны мен 3 жолының қиылысуында - белгісін қоямыз.
Нағимада не 3, не 5 емес дегенге сай, Нағима бағаны мен 3 және 5 жолдарының қиылысуларында - белгісін қоямыз. 1-кестеден көре аламыз.
1-кесте
Айнұр, Жайна, Нағиманың бірінші кіріс мәліметтері
Бағалар
Айнұр
Жайна
Нагима
3
-
-
4
5
-
Кестеден көрінеді: Нағимада 4, яғни сәйкес ұяшықта + белгісін қоямыз. Сонымен қатар 4 жолы мен Айнұр және Жайна бағандарының қиылысуларында - белгісін қоямыз.
Осылайша, Айнұрда 3 емес, бірақ 4-те емес, яғни Айнұрда 5, сәйкес белгілерді сәйкес ұяшықтарға қоямыз.
Онда Жайнада 3 екені анық (не 4, не 5 емес). 2-кестеден көрейік.
2-кесте
Айнұр, Жайна, Нағиманың екінші кіріс мәліметтері
Бағалар
Айнұр
Жайна
Нагима
3
-
+
-
4
-
-
+
5
+
-
-
Жауабы: Айнұрда 5, Жайнада 3, Нағимада 4.
ә)Жалған тұжырымдары бар есептер.
Есеп 2 [5, 89]. Браун, Джонс және Смит ісі есебі. Олардың бірі қылмыс жасаған. Тергеу барысында олардың әрбіреуі екеуден хабар жасады:
Браун: 1. Мен қылмыскер емеспін. 2.Джонс та.
Джонс: 1. Браун қылмыскер емес. 2. Қылмыскер - Смит.
Смит: 1. Қылмыскер - Браун. 2. Мен қылмыскер емеспін.
Тергеу барысында олардың біреуінің екі рет өтірік айтқаны, ал екіншісінің екі рет шындық айтқаны, үшіншісінің бір рет өтірік және бір рет шындық айтқына анықталды. Қылмысты кім жасады?
Шешімі: Браунның екі айтылымы да дұрыс деп болжайық, онда Джонс қылмыскер емес және Браунның өзі де, мұны кестеде сәйкес кестелерде көрсетеміз. Онда Джонс бір рет өтірік және бір рет шындық айтуы мүмкін, яғни Смит екі рет өтірік айтқан. Джонс сөздерінен аламыз: Браун-қылмыскер Смит-қылмыскер, ал Смит куәлігі бойынша: Браун қылмыскер емес, ол қылмыскердің өзі. Алынған деректерді 3-кестенің сәйкес ұяшықтарында көрсетеміз.
3-кесте
Браун, Джонс, Смит туралы бірінші деректер
Браунның түрі
Джонстың түрі
Смиттің түрі
Қылмыскер
Браун
-
+
-
Қылмыскер Джонс
-
Қылмыскер Смит
+
+
Сонымен біз олардың екеуінің қылмысты бір уақытта жасағанына келдік, ондай мүмкін емес. Басқа нұсқаны қарастырамыз.
Енді Джонс өтірік айтқан жоқ, яғни Браун қылмыскер емес, ал қылмыскер - Смит; Смит екі рет өтірік айтты, яғни Браун қылмыскер емес, қылмыскер Смит; онда Браун өтірік және шындық айтты, яғни қылмыскер оның өзі, Джонс - жоқ делік. Нәтижені 4-кестеде белгілейміз.
4-кесте
Браун, Джонс, Смит туралы екінші деректер
Браунның түрі
Джонстың түрі
Смиттің түрі
Қылмыскер
Браун
+
+
+
Қылмыскер Джонс
-
Қылмыскер Смит
-
-
Бірінші нұсқаға балама нәтиже алдық. Келесі жағдайды қарастырайық.
Бұл жолы Джонс екі рет өтірік айтып, Браун - өтірік және шындық айтып, ал Смит екі рет өтірік айтпасын. Джонс пікіні бойынша аламыз: Браун қылмыскер, Смит - жоқ. Браун куәлігінен: Браун қылмыскер, Джонс - жоқ. Смит сөзінен: Браун қылмыскер, ал ол өзі жоқ. Деректерді кестеде белгілейміз.
Жауабы: қылмысты Браун жасады.
б) Турнирлік есептер.
Турнирлік есептер - турнирлердің қорытындыларын анықтаумен байланысты логикалық есептер. Мұндай есептерде спорттық кездесулердің қорытындылары туралы толық емес деректер келтіріледі. Логикалық пайымдаулар жолымен жүргізілген турнирлер туралы толық дерек алу қажет етіледі.
Турнирлік есеп шешімі болып есеп шартында келтірілген деректермен, сосын логикалық жолмен алынған деректер бойынша турнирлік кестені ресімдеу әсер етеді.
Әрине, есептерді (шахматтық, футбол немесе хоккей турнирлері) шеше отырып, мұндай турнирлердің негізгі ережелерін білу керек.
Футбол (хоккей) турнирінде жеңімпаз команда екі ұпай алады. Жеңіссіз аяқталу әр командаға бір-бірден ұпай береді, ал жеңіліс нөл балмен бағаланады. Футбол турнирінде орындарды үлестіруде екі командада ұпайлардың теңдігі жағдайында назарға соғылған және жіберілген голдар айырмашылығы алынады.
Футбол турнирі туралы есеп мысалын қарастырамыз.
Есеп 3. Дөңгелек жүйе бойынша өткізілген футбол бойынша біріншілікте төрт команда қатысты: Юниор, ЦСК, Динамо, Спартак. Соңғы кездесу күтпеген жерден аяқталды: Юниор Динамо-ға жеңілді, бірақ бұл Динамоның турнирлік жағдайына әсер етпеді, ал Юниорға чемпион болуға бөгет болмады. Спартак және ЦСК арасындағы ойын нәтижелері қандай? 5-кестеден көрейік.
5-кесте
Спартак және ЦСК арасындағы ойын нәтижелері, яғни шешімі
Команда
Юниор
ЦСК
Динамо
Спартак
Ұпай
Орын
Юниор
-
2
0
2
4
1
ЦСК
0
-
2
1
3
2-3
Динамо
2
0
-
0
2
4
Спартак
0
1
2
-
3
2-3
Есептің шарты бойынша Динамоға соңғы матчта ұтылып, Юниор бірінші орын алды. Бұл турнирде командалар жинауы мүмкін ұпайлардың ең үлкен саны 6-ға тең.
Юниор 4-тен кем емес ұпай жинады. 4 - тен төмен ұпай да жинай алған жоқ, себебі 3 ұпайдың өзінде Юниордан ұпай саны көп команда табылушы еді, яғни, Юниор командасы ЦСК және Спартак командаларын ұтты.
Есеп шарты бойынша Динамо Юниорды жеңсе де өзінің турнирлік жағдайын жақсартпады. яғни, егер Динамо соңғы кездесуге дейін 2-ден кем емес ұпайға ие болғанда Юниорды жеңгеннен кейін жеңімпаз болуы еді. Егер Динамода соңғы кездесуге дейін 1 ұпай болғанда Юниорды жеңгенде ол 3 ұпайға ие болушы ееді, бұл оған екінші орын алуға, яғни оның турнирлік жағдайын жақсартушы еді. Динамо өзінің турнирлік жағдайын жақсартпағандықтан оның соңғы кездесудің алдында 0 ұпайға ие болғаны белгіліне. Яғни, Динамо ЦСК-ға, және Спартакқа жеңіліп қалды. Бірақ Юниор және Динамоның турнирлік жағдайы Спартак және ЦСК кездесуінен тәуелді болды. Олардың біреуінің жеңісі, мысалы ЦСК, бірінші және екінші орында Юниор және ЦСК бөлісуші, ал үшінші және төртінші орынды Спартак және Динамо алушы еді. Динамо командасының турнирлік жағдайы өзгермейді, егер ЦСК және Спартак тең-бе тең ойнады.
2.3Графтарды тұрғызып шешілетін есептер
Кестелер арқылы шығарылатын есептерді графтардың көмегімен де (шеттелген болып турнирлік есептер табылады) шығару болады. Логикалық есептерді шешкенде әдетте көптеген фактілерді, шарттағы мәліметтерді, есте сақтау, олардың арасындағы байланыс орнату, тұжырымдар айту, жекелеген түйіндер мен оларды қолдану айтарлықтай қиын болады.
Көмекке графтар келуі мүмкін. Граф - кейбір жұптары кесінділермен байланысқан жазықтықта (қағаз парағы, тақта) суреттелген нүктелер жиыны. Суреттер немесе сызбаларда графтарды салу тік бұрышты немесе қисық сызықты, нүктелердің еркін орналасуынан болуы мүмкін. Нүктелерді граф төбелері деп, ал кесінділерді - граф қабырғалары деп атайды. Оны 1-суреттен көреміз.
1-сурет Графтардың салынуй
Сөз пайымдаулардан бастысы - нысандар мен олардың арасындағы байланыстарды.Логикалық есептерді графтарды қолданып шешу мысалдары өзінің табиғилығымен және қарапайымдығымен баурап алады, артық пайымдауларды шеттейді, көптеген жағдайларда жадты жүктелулерден босатады. Графтар - бір жағынан меңгерілетін жағдайдың барлық логикалық мүмкіндіктерін шолуға жол береді, екінші жағынан өзінің жетілгендігімен есепті шешу барысында логикалық мүмкіндіктерді жіктеуге, келмейтін жағдайларды барлық жағдайдың толық қайта алынуына жеткізбей алып тастауға жол береді.
Есеп 1[6, 131]. Сынып біріншілігі.Үстел тенисі бойынша сынып біріншілігіне 6 бала қатысты: Айгүл, Бекжан, Тимур, Гүлім, Дамир, Еркін. Біріншілік айналу жүйесі бойынша өткізіледі - жарысқа қатысушы әрбір адам қалғандарымен бір-бір рет ойнап шығады. Бұған дейін бірнеше ойын өткізілген болатын: Айгүл Бекжанмен , Гүліммен Еркінмен; Тимур, бұрын айтылғандай, Айгүлмен және Гүліммен; Тимур - Гүліммен, Дамир - Тимурмен және Еркін - Айгүлмен және Тимурмен ойнаған. Бұған дейін неше ойын ойналған және тағы неше ойын қалды?
Талқылау. Берілген есепті схема түрінде кескіндейік. Қатысушыларды нүктемен кескіндейміз: Айгүлді - А нүктесімен, Бекжанды - Б нуктесімен т.с.с. Егер қатысушылардың екеуі ойнап кеткен болса онда оларды кескіндейтін нүктені кесінділермен қосамыз. Сонда бірінші суретте көрсетілгендей схема шығады. Мұны 2-суреттен көруге болады.
2-сурет Берілген есептің схема түрінде кескінделуі.
Мұндай схемаларды графтар деп атайды. А, Б, В, Г, Д, Е нүктелері графттың төбелері, оларды қосатын кесінділер графтың қабырғалары деп атайды. Граф қабырғаларының қилысу нүктелері оның төбелері болып табылмайтының ескерте кетейік. Шатастырып алмау үшін граф төбелерін көбінесе нұктелермен емес, кішкентай дөңгелектермен кескіндейді.
Қабырғаны көбінесе түзу сызықты кескінділермен емес, қисық сызықты кескінділермен - доғалармен кескіндеген ыңғайлы болады екен.
Ал енді есебімізге оралайық. Бұған дейін өткізілген ойындар саны қабырғалар санына тең, яғни 7. Өткізілуге тиісті ойындардың санын табу үшін, тағы бір граф сызайық, оның төбелері бұрынғыдай, (2-сурет)бірақ қабырғалары бір-бірімен әлі ойнамаған балаларды қосатын кесінділер болады, 2-сурет.
Бұл графтың қабырғасы 8 болып шықты, демек, әлі 8 ойын өткізу керек: Айгүл - Тимурмен және Дамирмен, Бекжан - Тимурмен, Дамирмен және Тимурмен т.с.с. теннис ойнауы керек.
2 Орта мектепте логикалық есептерді шешу
2.1 Сандарды сәйкестендіру арқылы шығарылатын есептер
1. Егер сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған болса, сұрақ белгісінің орнына қандай сан қойылуы керек?
914, 83 8, 7516, 6732, ?
Шешуі: Бөлшектердің бөлімі солдан оңға қарай екі еселеніп отырады, ал алымдарында әр келесі сан алдыңғыдан 8-ге кіші, яғни:
914--91-84x2=838
838--83-88x2=7516 Демек, 6732--67-832x2=5964
2. Сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
3, 5, 10, 12, 24, 26, ?
Шешуі: Ереже келесі:
3+2=5, 5*2=10, 10+2=12, ... ., 26*2=52
3. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыныз:
7, 15, 31, ?
Шешуі:
7*2+1=15 3
15*2+1
3 Сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Тәртіпке бағынбай тұрған санды табыңыз:
16, 7, 15, 9, 14, 13, 9, 19
Шешуі:
+2 +4 +6
16, 7, 15, 9, 14, 13, 9, 19
-1 -3 -5
5. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыныз:
14(625) 11
10(?) 5
Шешуі: 625= (14+11)2
625 =252
Демек, ?= (10+5)2
?=152=225
6.Х Y Z
I. 2 4 2
II. 4 10 14
III. 7 19 32
a) Егер х=5 болса, у= ?
b) Егер у=7 болса, z=?
c) Егер z=44, х=?
Шешуі:
Ереже:
X Y Z
I. 2 4 2
2*3-2=4 -- 4*2-6=2
a) X=5 ⇒ y=5*3 ⇒ y=13
b) Y= 7 ⇒ z=7*2-6 ⇒ z=8
Z=44 ⇒y=44+6:2=25
c) X=(25+2):3 ⇒ x=9
7. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
54 36 135 ?
16 24 40 60
Шешуі:
Ереже:
16:2х3=24
24:2х3=36
60:2х3=90
8. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойып, 6-кестеден көрейік:
6-кесте
Сұрақ белгісінің орнына тиісті санның қойылуы
3
12
8
7
28
24
5
20
?
Шешуі: Ереже: 3х4=12, 12-4=8
Олай болса, 5х4=20 -- 20-4=16
9.
7-кесте
Есептің берілуі
Х
А
B
C
A
20
B
B
50
C
a+b+c= ?
Шешуі:
a*b=20 a=2
a*c=b ⇒ b=10
b*c=50 c=5
⇒ a+b+c=2+10+5=17
10. Берілген сан тізбектерінің соңғы сандарын табыңыз.
A) 6, 10, 14, 18, x
B) 3, 6, 12, 24, x
C) 0, 3, 8, 15, 24, x
D) 2, 3, 5, 13, 21, x
E) 5, 6, 8, 11, 20, x
Шешуі:
а)6+4=10
10+4=14
Онда: х=24
b) 3x2=6
6x2=12
Онда: 12-1=0 22-1=3 32-1=8
Онда: х=62-1=35
d) 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13,
Онда: х=13+21=34
е) 5+1=6, 6+2=8, 8+3=11,
Онда: х=20+6=26
Тапсырмалар:
11. Сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Тәртіпке бағынбай тұрған санды табыңыз.
а) 2, 6, 18, 52, 162, 486
b) 120, 115, 105, 90, 70, 50, 15
12. Сұрақ белгісінің орнына тиісті сандарды қойып, 8-кестеден көрейік:
8-кесте
Тиісті сандардың сұрақ белгісінің қойылуы
4
12
6
18
?
4
2
6
3
?
13. О+=8□+=?
О+ □=9 ⇒□+=7
14. Сұрақ белгісінің орнына тиісті сандарды қойыныз:
2
10 8
19 ? 1
31 12 3 2
15.Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
А) 8, 6, 7, 5, 6, 4, ?
16. Берілген сөздердің әрбірі оң жақта орналасқан сандардың біреуіне сәйкес келетін болса, PUL сөзіне сәйкес санды табыңыз.
17. Сұрақ белгісінің орнына тиісті сандарды қойып, 9-кесіндіден көрейік :
9-кесінді
Тиісті сандардың сұрақ белгісінің қойылуы
3
5
10
8
5
8
24
21
1
6
30
25
?
?
120
110
18. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойып, 3-суреттен көрейік:
3-сурет Сұрақ белгісінің орнына тиісті санның қойылуы
19.Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
I. (6▲3) □5=10
II. (8 □3) ▲4=6
III. (6▲2) □7=21
IV. (7□4) ▲=?
20. Берілген тізбектегі х және у мәндерін табыңыз:
1, 3, 7, х, у, 43, 57
0.2 Сандық ойындар
1. Екі ойыншы мынадай ойын ойнады. Біріншісі 1-ден 9-ға дейінгі сандардың бірін атайды, екіншісі оған ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ
1
Математикадан сабақтан тыс жұмыс
6
1.1
Математиканы оқытудағы есептің рөлі
6
1.2
Математикадан факультативтік сабақтар
9
1.3
5-8 сыныптардағы факультативтік сабақтарда логикалық есептерді шешудің оқыту әдістемесі
9
2
Логикалық есептердің түрлері
2.1
Дұрыс пайымдаулар әдісімен шешілетін есептер
2.2
Кестелердің көмегімен шешілетін есептер
2.3
Графтарды тұрғызып шешілетін есепте
3
Орта мектепте логикалық есептерді шешу
3.1
Сандарды сәйкестендіру арқылы шығарылатын есептер
3.2
Сандық ойындар
3.3
Салыстырмалылыққа берілген есептер
3.4
Ойды жаттықтыруға арналған есептер
3.5
Сандарды цифрлар арқылы өрнектеуге берілген есептер
3.6
Амал таңбаларын анықтауға берілген есептер
3.7
Жұп және тақтылыққа берілген есептер
3.8
Адамның жасын анықтауға берілген есептер
3.9
Бағалар мен сандық қатынастар
3.10
Қалдықтар туралы есептер
3.11
Құюға арналған есептер
3.12
Комбинаторика элементтеріне байланысты есептер
3.13
Тендеу құруға арналган есептер
3.14
Логикалық халық есептері
3.15
Логикалық есептер
3.16
Дирихле принципі
3.17
Граф әдісі арқылы берілген есептер
3.18
Уақытқа арналған есептер
3.19
Қозғалыс, жылдамдыққа арналған есептер
3.20
Қанша рет байқау керек тақырыбына арналған есептер
3.21
Таразымен өлшеуге арналған есептер
3.22
Сиқырлы үшбұрыштар мен сиқырлы шаршыға арналған есептер
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Қосымшалар
Кіріспе
Соңғы жылдары оқу-тәрбие процесінде математика негізінде ұлттық ойындар, өз бетінше орындауға арналған жаттығулар, жұптық жұмысқа арналған тапсырмалар, зерттеу өзгешелігі бар немесе үйреншікті емес жаттығулар, өзін-өзі бақылауға арналған жаттығулар, тексеріп қатесін табуға арналған жаттығулар, граф арқылы орындалатын жаттығуларды енгізу мектептерде жан-жақты өріс алып келеді.
Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамға сапалы және терең білімнің, іскерліктің болуын қамтиды. Оқушының белсенді шығармашылықпен жұмыс істеуін және кеңінен ойлауға қабілетті болуын талап етеді. Сондықтан да мектептегі оқу процесінің негізгі мақсаты арнайы педагогикалық әдістермен мақсатты және жүйелі түрде оқушылардың интеллектік, шығармашылық ойлауын дамыту, ғылыми көзқарасы мен белсенділігін қалыптастыру, әр адамның бойындағы туғаннан пайда болған интуициясын әрі қарай дамытуға ықпал ету, математикалық білімін тереңдету үшін оқытуды жоспарлы түрде ұйымдастыру, өз бетінше білім алу дағдыларының дамуына негізін салу болып табылады. Осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін математика пәнінің мұғалімі сабақта оқытудың педагогикалық технологияларын тиімді қолданып, оқушының логикалық ойлауын және таным белсенділігін қалыптастыру барысында шығармашылық ізденістің тиімді жолдарын үйрету керек.
Қазақстан республикасының білім беру стандартында білім берудің басты міндеті логикалық ойлауды дамыту болып табылатындығы атап айтылған.
Оқушы бойында білім нұры тасып, сыныптан сыныпқа көшкен сайын оқушының ішкі дүниесі , сыртқы ортамен байланысты дамып, оқушы дүниетанымы арта түсуі анық.
Логикалық есептерді ойлап шығарудағы мақсат - логикалық жаттығуларды орындау баланың ақыл - ойын , қиялын, ой ұшқырлығын дамытудың ең ұтымды тәсілі.
Логикалық есептер деп арнайы формулаға келмейтін, әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет ететін есептерді айтамыз.
Логика - (грек тілінен алынған logic - сөз, ой,ойлау, ақыл-ой) ойлаудың заңдылықтары мен түрлері туралы ғылым. Объективті пікірлерге негізделген процесс логикалық ойлау деп, ал дұрыс ойлаудың формалары мен заңдары туралы ғылым логика деп аталады. Логикалық ойлаудың қисындылығы олардың шындыққа сай келуінде. Логикалық тұжырым теориясының ең алғаш грек философы Аристотель (384 -322жж. б.з.д.) негізін қалаған. Ой әрекеті барысында адам қоршаған дүниені танып, білу үшін ерекше ақын қызметін орындайды. Бұл нақты қызметіне талдау, біріктіру, салыстыру, дерексіздендіру нақтылау және қорытындылау арқылы жүзеге асырылады.
Ол Біз қалай ой қорытамыз? деген сұраққа жауап іздей отырып, ойлау ережелерін зерттеді. Аристотель алғаш рет логиканы жүйелі түрде реттеп,
ойлау түрлерін талдап берді: түсіну, пікір, ой қорыту. Осылайша формальді логика пайда болды.
Ойлаудың негізгі формалары:
түсінік - бұл нысанның нақты белгілерін тіркейтін ойлау формасы. Түсініктің көлемі нысандар жиыны түрінде берілуі мүмкін. Қазіргі математика теориясының негізін қалаушы жиындар алгебрасы жиындар арасындағы байланысты түсіндіріп береді;
пікір - нақты заттардың қасиеті туралы жалған немесе ақиқат екендігі айтылатын ойлау формасы. Пікір ақиқат немесе жалған бола алады. Леп белгісі және сұрақ белгісі бар сөйлемдер пікір бола алмайды: Маған кітапты әкеліп бер! Сен киноға барасын ба? Пікір екі түрге бөлінеді: 1)Қарапайым (немесе жеке) (мысалы 2+85 - жалған; Жер - Күн жүйесінің планетасы - ақиқат; 2) Құрама(немесе жалпы) (пікірлер алгебрасы арқылы ақиқаттығы есептеледі);
ой қорыту - бір немесе бірнеше пікірлердің көмегімен жаңа пікір(қорытынды) туғызатын ойлау формасы.
Неміс ғалымы Готфрид Лейбниц (16461716) математикалық логика негізін салды. Ағылшын Джордж Буль (1815-1864, математик) - Лейбництің еңбегін жалғастырушы.
Мектеп курсында логика жеке пән ретінде өтілмейді, логикалық білім мен дағдыларды қалыптастыруға барлық сабақтардың үлесі бар, олардың ішінде математика сабағының ара салмағы үлкен.
Логика - бұл адам ойлауының түрлері мен заңдары туралы, оның ішінде дәлелдеуге болатын пікірлердің заңдылықтары туралы ғылым.
Ғылыми пән ретінде логиканың бірнеше нұсқалары дараланады:
1) формальды логика;
2) математикалық логика;
3) ықтималдықты логика;
4) диалектикалық логика.
Логикалық есептерде тек сандар ғана емес, күтпеген тым шиеленісті пікірлер де бастапқы деректер болып табылады.
Логика дұрыс ойлаудың заңдары мен жүйелі де дәлелді түрде пайымдауға қойылатын талаптар туралы ғылым [1, 25]. Анықтама, дәлелдеме, пайымдау, жіктеп саралау тағы басқа логикалық амалдарды әрбір оқушы өзінің ойлау қызметінде қолданып отырады.Оқушы анықтамаларды жаттап, теоремаларды дәлелдей отырып дәлелдеу мен бекерлеудің мәні, түрлері және оларды қалай дұрыс қолдану туралы әдетте біле бермейді.
Логикалық есептер оқушылардың танымдық қасиетін дамытып, математикаға қызығушылығын арттырады. Логикалық есептерді шешу үшін бағдарламалардан да басқа кітаптардан көп іздену керек.
Логикалық есептерді ойлап шығарудың әдіс-тәсілдері оқушының ақыл ойын тәртіпке келтіреді, логикалық ойлауға үйретеді. Әсіресе, логикалық есептерді шығару - баланың ой-өрісін дамытатын негізгі құрал.
Логикалық есептерді шығарудың басты мақсаттарының бірі - оқушының тереңнен ойлауын , жан-жақты ізденуін дамыту және қазіргі халықаралық талаптар деңгейінде күнделікті өмірде математиканы еркін пайдалана алуға бастауыш сыныптан бастап үйрету.
Әрбір есепті шығару үшін мынаны есте сақтау керек:
-әрбір есепті шығарған кезде уақытпен санаспай оған барлық мүмкіндік пен күшін салу;
-есептерді шығарған кезде оның шығару жолдарына жете зер салып, оларды шешудің тәсілдері мен әдістері ерекшеліктеріне, есептерді талдаудың жолдарына, дәлелдеуге тырысу;
-есепті шығару үшін өз біліміңе, барлық күш -жігеріңе сену керек;
-шығара алмаған есепті шыдамдылық пен қажырлық көрсетіп, есепті қайта-қайта шығарудан тайынбау.
Логикалық есептерді шешу өзіндік мақсат емес, оқыту құралы болғандықтан шешу тәсілдерін іздену, қолданылған осы амалдарды есте сақтау, осы амалдардың қолдану мүмкіндігі шарттарын айқындау, есептерді жалпылау - мұның барлығы мектеп оқушыларына есепте оқуға; оқушыларға кейін тек қана математикада емес, басқа да салаларда қажет болатын есеп шығару үрдісіндегі логикалық және шығармашылық ойлауды дамытуға мүмкіндік береді.
Және соңында, сыныптан тыс сабақтарда логикалық есептерді шығару оқу қызметінің тиімділігі арттырады, себебі математикаға қызығушылықты күшейтеді, оқушылардың шығармашылық қабілеттерін дамытады.
Логикалық тапсырмаларды меңгеруде жаттығулар әдісі қолданылады. Осылай мысалы, кестелерді құрастыруды, графтарды тұрғызуды оқытуда мұғалім оқушыларға жақсы ойластырылған жаттығулар жүйесін береді.
Логикалық есептер көптеген математикалық есептерден оларды шешуде арнайы математикалық білімдер жиі қолданылмай, ереже ретінде аңғарушылық қажет болады. Мектеп оқушыларына логикалық есептерді шығаруға үйрететін мұғалім оларды өзі шеше алуы, және онымен басқаларды оқытуға қажетті білімдер мен біліктерді игеруі қажет. Бірақ ағымдағы уақытта 5-6 сыныптардағы логикалық есептерді шығаруға оқыту бойынша ұсыныстарды табуға болатын әдістемелік құралдар аз. Сондай-ақ көптеген оқулықтарда логикалық есептер аз (төменнен қараңыз) және олар шешудің түрлі әдістерін (кестелер, графтар және т.б.) қолдануды қарастырмайды, осы себептен мұғалімдер логикалық есептер шығару сабақтарына дайындалу кезінде қосымша әдістемелік әдебиеттерді қолдануға мәжбүр болады.
Дисертациялық жұмыстың мақсаты 5-8 сыныптар оқушыларына арналған логикалық есептерді шешу тақырыбы бойынша факультатив құрастыру.
Дисертациялық Орта мектепте логикалық есептерді шешу тақырыбы бойынша факультативтік сабақтардың бір жүйесі жасалған. Бұл факультатив математикаға қызығушылығы бар, ынтасы зор орта буын оқушыларына арналып жазылған.
1 Математикадан сабақтан тыс жұмыстар
0.1 Математиканы оқытудағы есептің рөлі
Оқу процесінде есеп шығару математиканы оқытудың мақсаты ретінде де, оны оқыту әдісі ретінде де бой көрсетеді. Математикалық есеп дегеніміз- математикадағызаңдылықтар, ережелер мен әдіс-тәсілдер негізінде оқушылардың ойы мен іс-әрекетін талап ететін және математикалық білімді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға бағытталған ситуация. Сондықтан есеп шығару математиканың ажырамас бөлігі, себебі есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға оқушылардың математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін практикада қолдануға, табандылық, ізденшіштік, еңбек сүйгіштік қасиеттерін тәрбиелеуге жол ашады. Математикалық есептер: а) жаңа математикалық ұғымдар мен мағлұматтарды үйрету; ә) практикалық іскерліктер мен дағдыларды қалыптастыру; б) білімнің тереңдігі мен баяндылығын тексеру; в) проблема қою және проблемалық ахуал туғызу; г) материалды пысықтау, жалпылау және қайталау;д) политехнизм принциптерін іске асыру және е) оқушылардың творчестволық қабілетін тәрбиелеу үшін пайдаланылады.
Есеп оқушыларды жаңа математикалық біліммен қаруландырып, қалыптасқан іскерліктері мен машықтарын жүйелеуге және нақтылауға көмектеседі.
Есептер ішінде математикалық ойлауды дамытуға арналған есептерге тоқталайық. Мұндай есептер талдауды, мәліметтер мен ізделетін шамаларды салыстыруды, шығарылатын есепті бұрын шығарылған есептермен салыстыруды, есептің қарапайым моделін жасауды, есептің мәліметтерін синтездеуді және оларды график, таблица, сондай-ақ математикалық сөйлем түрінде өрнектеуді, табылған нәтижелерді нақтылауды, зерттеуді талап етеді. Алайда математикалық есептерді шығару оқушылардың жеке творчестволық белсенділігіне байланысты. Сондықтан, есеп шығарудың басты мақсаттарының бірі- оқушылардың ойлау қызметін жандандыру. Демек, оқушылардың ойлау қызметін жандандыру арқылы әр алуан салаларды, түрлендірулерді, есептеулерді орындауды, математикалық сөйлемдерді тұжырымдауды үйретумен бірге, ойлап, талқылауға, математикалық фактілерді салыстыруға, ортақ немесе айырықша қасиеттерді көрсетуге, дұрыс қорытынды жасауға баулуы тиіс.
Математикалық ойлауды өрістету үшін оқушыларды қызықтыратын, ынтасын арттыратын есептерді құрастыру дұрыс. Ондай есептерге зерттеу элементтері бар есептер, ойын есептер, ертегі есептер жатады. Бұған берілген есепті шығарғанда кеткен қатені табу, есепті бірнеше жолмен шығару, өздігінен есеп құрастыру және т.с.с. кіреді.
Есепті шығару жолындағы қателерді табуды бірте-біртекүрделендіре берсе, солғұрлым пайдалы болмақ. Мұндай есептерге математикалық софизмдер мен шытырмандар жатады. Софизмдер мен шытырман есептерді шығару арқылы оқушы дұрыс ойлауға, сын көзбен карауға, бақылағыштыққа машықтанады.
Оқушылардың есеп шығаруға ынтасын арттыратын есептердің түрі- ертегі есептер мен ойын есептер.
Есеп шығару барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштік қасиеттерді дамытып өрістетуде берілген есепті әр түрлі тәсілмен шығарып, ішінен ең қарапайым, тиімдісін таңдап алудың маңызы зор. Мұның өзі оқушылардың біліміндегі формализмді жоюға, ой оралымдығын тәрбиелеуге мүмкіндік береді.
Математикалық есептердің танымдық маңызын атап өтпеске болмайды. Себебі, есеп шығару барысында оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыруға кең жол ашады. Бұл мақсатта математиканың диалектикалық табиғатын көрсететін есептерге көбірек көңіл бөлген жөн. Ондай есептер алгебра және анализ бастамаларында, олардың геометриядағы, физикадағы, химиядағы қолданымдарында, сондай-ақ физикалық, механикалық процестердің математикалық модельдерін жасауда жиі кездеседі.
0.2 Математикадан факультативтік сабақтар
Факультативтік сабақтар мектептегі оқу - тәрбие процесінің бір түрі. Мектептегі факультатив сабақтардың мақсаты-оқушылардың математикалық білімдерін одан әрі тереңдету, қабілеттерін дамыту, математиканың әр алуан қолданымдарын көрсету, олардың пәнге ынтасын арттырып, кәсіптік бағдар беру. Бүгінгі таңда математиканың факультативтік сабақтары орта мектептерге жаппай енгізіліп, оқушылардың жалпы математикалық даярлығын арттыруда келелі орын алды.
Факультативтік сабақтар оқушылардың бейімділігі мен ынтасын өрістетеді.
Факультативтік сабақтарда қамтылуға тиісті мәселелердің кейбіреулерін қарастырамыз.
а)факультативтік сабақтардағы тарихи мағлұматтар негізінен тақырыптың тарихи даму сатыларын хронологиялық тәртіппен баяндауды, жеке фактілер мен ірі тұлғаларды ауық-ауық еске салуды көздейді. Мұндағы мақсат - оқушылардың пәнге ынтасын арттыру (педагогикалық) міндеті мен тарихы мағлұматтардың көмегімен олардың ғылыми көзқарасын қалыптастыру және ой-өрісін дамыту (методикалық) міндетін шешу болып табылады. Методикалық міндетті шешу теориялық есептердің қойылуындағы практиканың рөлін көрсетуді, ғылыми танымның қозғаушы күшін анықтап түсіндіруді талап етеді. Мысалы, комбинаторика және ықтималдылықтар теориясының элементтері тақырыбын түгелдей дерлік тарихи жобада оқытуға болады.
Сонымен бірге, математикадан факультативтік курс материалдарын мүмкіндігінше кәдеге жарату мәселесін де ойластырған жөн. Мысалы, Санау жүйелерінде - екілік қосындылағыштар , Математикалық логика элементтерінде- ауыстырып қосқыш схемалар, Комбинаторика және ықтималдылықтар теориясындағы - телеграф байланысы пәнге деген ықыласын арттырып, оны қызығып оқуға итермелейді.
Факультативтік сабақтардың пәрменділігін арттыру жолдарының бірі- практикалық жұмыстар орындау. Сабақтың бұл түрі оқу процесін білімді іс жүзінде қолданумен ұштастыруға жол ашады. Мұнда мұғалім ең алдымен оқушыларды практикалық жұмыстың мақсатымен, жұмыс тәртібімен таныстыруы, қажетті нұсқаулар беруі тиіс. Берілетін практикалық тапсырмаларды дербес ерекшеліктеріне қарай берген дұрыс, ал жұмыс нәтижесін күллі топтың қызметі ретінде бағалау керек. Факультативтік сабақтарды оқытудың әдістері мен тәсілдерін таңдағанда, алдымен курстың мазмұнын, оқушылардың дайындық деңгейін, олардың программалық материалдарға ынта-ықыласын ескеру керек Сонымен бірге олардың ой - өрісі мен дербестігіне де назар аударған дұрыс.
Факультативтік курстың тиімділігін арттыруда оқушылардың танымдық қызметін жандандыруда оқытудың техникалық және көрнекі құралдарын орынды пайдалану зор роль атқарады.
Факультативтік сабақтардың методологиялық міндетін шешу теориялық есептердің қойылуындағы тәжірибенің рөлін көрсетуді, ғылыми танымның қозғаушы күшін анықтап түсіндіруді талап етеді. Сонымен бірге, математикадан факультативтік курс материалдарын мүмкіндігінше кәдеге жарату мәселесін де ойластырған жөн [1, 122]. Мәселен, Математиканың таңдамалы мәселелерін оқытқанда математиканың ғылым мен техниканың әр алуан салаларындағы қолданымын көрсетудің маңызы зор. Сондай - ақ жеке ұғымдарды оқыту кезінде де кәдеге жарату мәселесіне ден қойған дұрыс. Факультативтік сабақ математикаға ынталы, пәнге ықыласы мол, өзінің математикалық мәдениетін көтеруге, білімін тереңдетуге, ой - өрісін кеңейтуге ынталы оқушыларға арналған.
Әдетте факультативтік курстардың лекция, әңгімелеу, прак - тикалық жұмыстар, қосымша әдебиет бойынша тапсырмаларды талқылау, оқушылардың баяндама жасауы, реферат жазу, экс - курсия ұйымдастыру сияқты формалары мен әдістері кең пайдаланылады.
Факультативтік сабақтың кейбір материалдары лекция түрінде өтеді. Мұндағы мақсат -- оқу материалдарының ішінен ең өзектілерін баяндау, есептер шығарудың ең нақты әдісін көрсету, сөйтіп, оқушыларға материалды өздігінен оқып үйренудің жолын нұсқау. Лекция сабақтарының оқушы - лардың ой түю, тыңдау машықтарын шыңдауға бағытталғаны пайдалы.
Лекция барысында оқушылармен қайсыбір ұғымның тууы, оны дамытуда белгілі бір ғалымның қосқан үлесін, проблеманың есеп түрінде қойылуын әңгімелеудің рөлі зор.Факультативтік курстың материалдарын терең игеру жолдары - ның бірі -- есеп шығару. Есептерді оқушылардың ынтасына сай іріктеген дұрыс. Алдымен, даярлық есептер оқушылардың өздігінен шығармашылық қызмет ету қабілетін дамытатындай, проблемалық ахуал ретінде берілуі тиіс.
1.3 5-8 сыныптардағы факультативтік сабақтарда логикалық есептерді шешудің оқыту әдістемесі
Математика бойынша салыстырмалы нашар үлгерімнің негізгі себептерінің бірі - көп оқушылардың осы сабаққа деген нашар қызығушылығы. Пәнге қызығушылық ең алдымен сабақтағы оқу жұмысының сапасынан тәуелді. Осы қызығушылықты қалай қалыптастыруға және арттыруға болады? Математикаға қызығушылықты үйрету үшін кейбір оқушыға бір сабақ жеткіліксіз. Мұғалім осы сабақтардың жүйесін ойластырып, сыныптан тыс сабақтарды жүргізуі қажет. Онда басқа сұрақ туындайды: сыныптан тыс сабақтарда балаларға қандай материал беру керек?. Біздің ойымызша, мұнда пайдалырағы болып логикалық есептер, логикалық есептерді шығаруға оқыту болады. Біріншіден, логикалық есептердің логикалық және шығармашылық ойлаудағы үлкен рөлге ие екендігінен; екіншіден, оларға оқу пәніне қызығушылықты дамытуда ерекше рөл берілген. Және соңында, логика негіздерін білудің өзі әр адамға қажет, себебі дұрыс ойлай білу, өзінің немесе басқалардың тұжырымдары мен болжамдарын, бекітулерін, пайымдауларын ақиқаттығын не жалғандығын дәлелдеу адамға өмірлік қажет.
5-8 сыныптардағы логикалық есептерді сабақта және сыныптан тыс сабақтарда беруге болады және қажет. Әдетте 7-8 сыныптарда математика сабақтары аптасына 5 сағат (математиканы тереңдетіліп оқытатын сыныптар саналмайды), бірақ бағдарламалық материалдарды толыққанды меңгерудің қажеттілігінен логикалық есептерді шешуге бөлінетін уақыт аз. Сондықтан бұл есептерді сыныптан тыс сабақтара қолдану мақсатты.
Сыныптан тыс сабақтар оқушылардың бағдарламалық материалдары саласындағы білімін тереңдету үшін, оларда логикалық ойлауды, зерттеушілік дағдыларын, тапқырлықты, математикалық әдебиеттерді оқуға талғамды дамыту, баулу үшін, оқушыларға математика тарихынан пайдалы мәліметтерді хабарлау үшін сәтті пайдалануға болады. Сыныптан тыс сабақтар оқушыларға және мұғалімдердің өзіне үлкенкөмегімен алып келеді. Сыныптан тыс жұмысты сәтті жүргізу үшін мұғалімге математика бойынша өзіндік танымын үнемі кеңейтіп отыру қажет. Бұл оның сабақтарының сапасына да әсер етеді.
Математика бойынша сыныптан тыс сабақтардың екі түрін ерекшелейді: бағдарламалық материалды игеруде басқалардан қалатын оқушылармен жұмыс, яғни математика бойынша қосымша сабақтар; математиканы меңгеруге қызығушылықтары жоғары оқушылармен жұмыс. Бірақ тағы да бір үшінші жұмыс түрін ерекшелеуге болады. Бұл математиканы игеруде қызығушылықты дамыту бойынша оқушылармен жұмыс.
Сыныптан тыс жұмыс негізгі сабақтарда оқушылармен игерілген математикалық білімдер, біліктер мен дағдыларды тереңдетуге, танымдық өз бетіншелігін қалыптастыруға және оларды шығармашылық қызметке баулуға, жоғары математикалық қабілеттері бар оқушыларды айқындауға ықпал етеді. Математика бойынша сыныптан тыс жұмыстың түрлі формалары бар[2, 16]. Негізгі формаларға жатады:
1) математикалық үйірмелер;
2) математикалық және гуманитарлық бағыттардың оқушыларына есептелген, арнайы курстар;
3) математиканың жекелеген бөлімдері (қаржылық математика, ықтималдықтар теориясы, комбинаторика, математика бойынша стандартты емес есептер) бойынша оқылатын факультативтер;
4) оқушылардың ғылыми қоғамдарымен жұмыс (оқушылармен ғылыми-зерттеу жұмыстардың элементтері: математикалық әдебиеттің сыныптан тыс оқуы, математикалық тақырыптарға баяндамалар, сөз сөйлеулер, рефераттар дайындау);
5) олимпиадалар;
6) мектеп оқушыларымен сыныптан тыс жұмыстың түрлі эпизодтық формалары: математикалық кештер, конкурстар, сыныптан тыс оқулар, тұрақты қабырға баспаларын шығару және т.б.
Сыныптан тыс жұмыстың кеңірек таралған формасы болып математикалық үйірме табылады. Оның негізінде еріктілік принципі жатыр. Үйірме сабақтары мазмұның мұғалім анықтайды. 5-6 сыныптардағы үйірме жұмыстарында математикаға деген бастапқы қызуғышылықты қалыптастыру мен ойлауды дамыту негізгі болады, ал осы мақсатқа жоғарыда айтылғандай логикалық есептерді шешуге оқыту қызмет етеді.
Логикалық есептерді шешуге оқыту дидактиканың негізгі принциптерін қанағаттандыруы қажет:
1) қарапайымнан күрделіге принципі;
2) қолжетімділік принципі;
3) көрнекілік принипі;
4) ғылымилық принципі;
5) білімнің беріктігі принципі.
Берік білім, білік және дағдылар оқушыларда ғылыми дүниетанымның қалыптасу, олардың қабілеттерін дамыту, тәжірибелік қызметке дайындауға қажет. Ал алынған білім, білік және дағдыға тек олардың қатаң игерілуі мен ұзақ уақыт есте сақталуы шартында ғана сүйенуге болады.
Логикалық есептерді шешу өзіндік мақсат емес, оқыту құралы болғандықтан шешу тәсілдерін ізднеу, қолданылған осы амалдарды есте сақтау, осы амалдардың қолдану мүмкіндігі шарттарын айқындау, есептерді жалпылау - мұның барлығы мектеп оқушыларына есепте оқуға; оқушыларға кейін тек қана математикада емес, басқа да салаларда қажет болатын есеп шығару үрдісіндегі логикалық және шығармашылық ойлауды дамытуға мүмкіндік береді.
Және соңында, сыныптан тыс сабақтарда логикалық есептерді шығару оқу қызметінің тиімділігі арттырады, себебі математикаға қызығушылықты күшейтеді, оқушылардың шығармашылық қабілеттерін дамытады.
Логикалық тапсырмаларды меңгеруде жаттығулар әдісі қолданылады. Осылай мысалы, кестелерді құрастыруды, графтарды тұрғызуды оқытуда мұғалім оқушыларға жақсы ойластырылған жаттығулар жүйесін береді.
Математика есептерін шығаруды үйретудің жалпы әдістері:
1. Синтетикалық әдіс [3, 255].Берілген есепті шығарудың қажетті шарттарының бірі - сол есепке келтірілген көмекші есептерді шығара білу. Мұндай көмекші есептерді шығару іскерліктері қалыптасқан жағдайда, бар мәселе негізгі есептің шарттарын қанағаттандыратын қасиеттердің жиынтығын табуға тіреледі. Есеп шығарғанда көбінесе синтетикалық әдіс жетекші орын алады. Синтетикалық әдістің мәні мынадай: негізгі есептің кейбір мәліметтерін пайдаланып көмекші шамаларды анықтайды, яғни көмекші қарапайым есептердің бірінші сериясын шығарады. Одан соң осы есептің шешуін, негізгі есептердің мәліметтерімен қоса пайдалана отырып көмекші есептердің екінші сериясын шығарады. Сөйтіп, негізгі есептегі ізделетін шаманы тапқанша, осы процесті жалғастыра береді.
2. Аналитикалық әдіс. Есепті аналитикалық әдіспен шығару Есепте қойылған мәселеге жауап беру үшін нені білу керек ? деген сұрақтан басталады. Бұл сұраққа толық жауап беру үшін есептің мәліметтерін айқындап, оның ізделетін шамамен байланысын анықтау керек.
Логикалық есептерді шешу кезеңдері (шешудің кез келген әдісінде):
- есеп шартының анализі;
- шешу жолын іздеу және шешу жоспарын құрастыру;
- есепті шешу жоспарын іске асыру;
- есеп шешімін тексеру.
Есепті шешкенде осы кезеңдердің барлығы болуы қажет, бірақ олар түйісе алады.
1 Логикалық есептердің түрлері
2.1 Дұрыс пайымдаулар әдісімен шешілетін есептер
Көптеген логикалық есептер дұрыс пайымдау әдісімен шешіледі. Шешу үрдісі өз алдында барлық жағдайлардың талдаулары, сәйкес келтіруді таңдау және қажет еместерін тастауды ұсынады. Шешу нәтижесінде біз қалыптасқан қиын жағдайдан шығамыз.
Дұрыс пайымдаулар әдісін өткелден өткізу (қасқыр, ешкі және орамжапырақ туралы есеп), таразылауға және т.б. есептерді шешуге қолданамыз. Мұндай есептердің мысалын қарастырайық.
Есеп 1[3, 179]. Ешкі, қасқыр және орамжапырақты өткелден өткізу туралы есеп.
Өзен арқылы ешкі, қасқыр және орамжапырақты өткізу керек. Қайықта, тасымалдаушыдан басқа үшеуінің біреуі ғана сыяды. Оларды қандай тәсілмен, ешкі - орамжапырақты, қасқыр - ешкіні жеп қоймайтындай етіп жеткізу болады.
Шешімі.Өткізудің түрлі нұсқаларын қарастырамыз. Егер алдымен қасқырды жеткізсек, онда ешкі орамжапырақты жеп қояды. Ал егер орамжапырақты, онда қасқыр ешкіні жейді. Тиісінше, басында ешкіні жеткізу қажет. Сосын қасқырды жеткіземіз, бірақ оны онда қалдырсақ, ешкіні жеп қояды. Яғни ешкіні қайта алып келіп, орамжапырақты жеткізу қажет. Және де соңында ешкіні.
Басқаша әрекет етуге де болады: қасқырды емес, орамжапырақты. Бірақ ешкі оны жеп қояды, яғни ешкіні керіге. Енді қасқырды және қайтадан ешкіні.
Жауабы: алдымен ешкіні, сосын қасқырды (орамжапырақты). Сосын ешкіні қайтарамыз да орамжапырақ (қасқырды) жеткіземіз. Сосын ешкіні.
Таразылауға есепмысалын келтірейік.
Есеп 2. Сегіз сақинадан біреуі басқасынан жеңіл. Жеңіл сақинаны айтарлықтай анықтау үшін кеселі таразыда таразылаудың саны қанша?
Шешімі:
Тәсіл 1 [4, 252].Сегіз сақинаны төрттен бөлеміз. Осы сақиналар тобын таразылаймыз, жеңілін екі сақинадан бөлеміз. Қайта таразылаймыз. Айтарлықтай жеңіл жұптағы сақиналарды салыстырмалы таразылауға қатыстырамыз. Осылайша, жеңіл сақинаны анықтау үшін үш таразылау қажет болды.
Тәсіл 2. Сегіз сақинаны үш топқа бөлеміз: 3, 3 және 2.
Бірінші таразылау: егер үш сақиналы топтар бірдей салмақты болса, онда жеңіл сақина қалған екі сақина арасында табылады.
Екінші таразылау: қалған екі сақинаны таразылап, жеңілін табамыз.
Егер үш сақиналы топтар түрліше тартса, онда жеңіл сақина аз тартқан топтың ішінде. Осы топтан екі сақинаны аламыз да таразылаймыз, егер олар бірдей тартса, она үшіншісі - жеңілі. Егер түрлі тартса, онда жеңіл сақина табылды.
Жауабы: тәсіл 1 -- үш, тәсіл 2 - екі таразылау.
2.2 Кестелердің көмегімен шешілетін есептер
Логикалық есептерді шешуде баста сақтауға қиын болатын есептердің көп шаттарын қамту мүмкіндігіне байланысты кестелер жиі қолданылады. Сондықтан оқушылар кестелер құруы қажет. Ол есепті назар салып оқығаннан және талқылағаннан кейін құрастырылады да есеп туралы барлық ақпарат кестеде көрініс табады. Есеп деректері шарттарын мұндай өңдеу оның шешіулін жеңілдетеді, ал кейде басты шешу тәсілі болып табылады.
Кестенің көмегімен есептердің түрлі типтерін шешуге болады, мысалы: түрлі жиындардың элементтері арасындағы сәйкестікке есептер, жиындарды реттеуге есептер, жалған тұжырымдары бар есептеп, турнирлік есептер және т.с.с..
а) Түрлі жиындардың элементтері арасындағы сәйкестікке есептері.
Логикалық есептердің берілген типі бірнеше ақырлы жиындарды қарастырумен байланысты, ережеге сәйкес элементтерінің арасында қейбір тәуелділік бар.
Ең қарапайымы болып элементтерінің саны бірдей екі жиын берілгенде және олардың арасында өзара бірмәнді сәйкестікті орнату талап етілгенде. Айтарлықтай күрделі жағдайларда элементтерінің саны бірдей және жиындар жұптарының арасында өзара бірмәнді сәйкестікті орнату талап етілетін жиындардың үлкен саны қарастырылады. Және соңында, элементтерінің арасында тәуелділік бар, бірақ өзара бірмәнді сәйкестік жоқ бірнеше ақырлы жиын қарастырылады.
Есептердің тізілген кластарын шешуде түрлі сипаттағы кестелер қолданылады. Элементтердің бірдей саны бар екі жиын жағдайында n х n ұяшықтан (n-жиындағы элементтер саны) тұратын шаршылы кестені қолдану ыңғайлы. Есептің берілгені кестенің сәйкес ұяшығына енгізіледі, мысалы: оң нәтиже + белгісімен, ал терісі - - белгісімен. Есептің барлық шарттарын қолданғаннан кейін бос қалған ұяшықтарға логикалық пайымдау жолымен + немесе - белгілері қойылады.
Егер жиындар екіден көп болса, онда бірнеше шаршылы кестені және бір тіктөртбұрышты кестені құрастыруға тура келеді.
Екі жиын мысалы:
Есеп 1 [5, 79]. Айнұр, Жайна, Нағима математика бойынша бақылаудан оларға қандай бағалар қойылғанын сұрады. Мұғалім жауап берді: Нашар баға жоқ. Үшеулерінде баға түрліше. Айнұрда 3 емес. Нағимада 3 және 5 емес. Кім қандай баға алды?
Шешімі: есепте екі жиынды ерекшелеуге болады: бағалар жиыны мен аттар жиыны. Әр жиын үш элементтен тұрады. Бұл 3, 4, 5 бір жағынан және Айнұр, Жайна, Нағима екіншісінен. Кестеге кіріс мәліметтерін қоямыз. Айнұрда 3 емес болуына сай Айнұр бағаны мен 3 жолының қиылысуында - белгісін қоямыз.
Нағимада не 3, не 5 емес дегенге сай, Нағима бағаны мен 3 және 5 жолдарының қиылысуларында - белгісін қоямыз. 1-кестеден көре аламыз.
1-кесте
Айнұр, Жайна, Нағиманың бірінші кіріс мәліметтері
Бағалар
Айнұр
Жайна
Нагима
3
-
-
4
5
-
Кестеден көрінеді: Нағимада 4, яғни сәйкес ұяшықта + белгісін қоямыз. Сонымен қатар 4 жолы мен Айнұр және Жайна бағандарының қиылысуларында - белгісін қоямыз.
Осылайша, Айнұрда 3 емес, бірақ 4-те емес, яғни Айнұрда 5, сәйкес белгілерді сәйкес ұяшықтарға қоямыз.
Онда Жайнада 3 екені анық (не 4, не 5 емес). 2-кестеден көрейік.
2-кесте
Айнұр, Жайна, Нағиманың екінші кіріс мәліметтері
Бағалар
Айнұр
Жайна
Нагима
3
-
+
-
4
-
-
+
5
+
-
-
Жауабы: Айнұрда 5, Жайнада 3, Нағимада 4.
ә)Жалған тұжырымдары бар есептер.
Есеп 2 [5, 89]. Браун, Джонс және Смит ісі есебі. Олардың бірі қылмыс жасаған. Тергеу барысында олардың әрбіреуі екеуден хабар жасады:
Браун: 1. Мен қылмыскер емеспін. 2.Джонс та.
Джонс: 1. Браун қылмыскер емес. 2. Қылмыскер - Смит.
Смит: 1. Қылмыскер - Браун. 2. Мен қылмыскер емеспін.
Тергеу барысында олардың біреуінің екі рет өтірік айтқаны, ал екіншісінің екі рет шындық айтқаны, үшіншісінің бір рет өтірік және бір рет шындық айтқына анықталды. Қылмысты кім жасады?
Шешімі: Браунның екі айтылымы да дұрыс деп болжайық, онда Джонс қылмыскер емес және Браунның өзі де, мұны кестеде сәйкес кестелерде көрсетеміз. Онда Джонс бір рет өтірік және бір рет шындық айтуы мүмкін, яғни Смит екі рет өтірік айтқан. Джонс сөздерінен аламыз: Браун-қылмыскер Смит-қылмыскер, ал Смит куәлігі бойынша: Браун қылмыскер емес, ол қылмыскердің өзі. Алынған деректерді 3-кестенің сәйкес ұяшықтарында көрсетеміз.
3-кесте
Браун, Джонс, Смит туралы бірінші деректер
Браунның түрі
Джонстың түрі
Смиттің түрі
Қылмыскер
Браун
-
+
-
Қылмыскер Джонс
-
Қылмыскер Смит
+
+
Сонымен біз олардың екеуінің қылмысты бір уақытта жасағанына келдік, ондай мүмкін емес. Басқа нұсқаны қарастырамыз.
Енді Джонс өтірік айтқан жоқ, яғни Браун қылмыскер емес, ал қылмыскер - Смит; Смит екі рет өтірік айтты, яғни Браун қылмыскер емес, қылмыскер Смит; онда Браун өтірік және шындық айтты, яғни қылмыскер оның өзі, Джонс - жоқ делік. Нәтижені 4-кестеде белгілейміз.
4-кесте
Браун, Джонс, Смит туралы екінші деректер
Браунның түрі
Джонстың түрі
Смиттің түрі
Қылмыскер
Браун
+
+
+
Қылмыскер Джонс
-
Қылмыскер Смит
-
-
Бірінші нұсқаға балама нәтиже алдық. Келесі жағдайды қарастырайық.
Бұл жолы Джонс екі рет өтірік айтып, Браун - өтірік және шындық айтып, ал Смит екі рет өтірік айтпасын. Джонс пікіні бойынша аламыз: Браун қылмыскер, Смит - жоқ. Браун куәлігінен: Браун қылмыскер, Джонс - жоқ. Смит сөзінен: Браун қылмыскер, ал ол өзі жоқ. Деректерді кестеде белгілейміз.
Жауабы: қылмысты Браун жасады.
б) Турнирлік есептер.
Турнирлік есептер - турнирлердің қорытындыларын анықтаумен байланысты логикалық есептер. Мұндай есептерде спорттық кездесулердің қорытындылары туралы толық емес деректер келтіріледі. Логикалық пайымдаулар жолымен жүргізілген турнирлер туралы толық дерек алу қажет етіледі.
Турнирлік есеп шешімі болып есеп шартында келтірілген деректермен, сосын логикалық жолмен алынған деректер бойынша турнирлік кестені ресімдеу әсер етеді.
Әрине, есептерді (шахматтық, футбол немесе хоккей турнирлері) шеше отырып, мұндай турнирлердің негізгі ережелерін білу керек.
Футбол (хоккей) турнирінде жеңімпаз команда екі ұпай алады. Жеңіссіз аяқталу әр командаға бір-бірден ұпай береді, ал жеңіліс нөл балмен бағаланады. Футбол турнирінде орындарды үлестіруде екі командада ұпайлардың теңдігі жағдайында назарға соғылған және жіберілген голдар айырмашылығы алынады.
Футбол турнирі туралы есеп мысалын қарастырамыз.
Есеп 3. Дөңгелек жүйе бойынша өткізілген футбол бойынша біріншілікте төрт команда қатысты: Юниор, ЦСК, Динамо, Спартак. Соңғы кездесу күтпеген жерден аяқталды: Юниор Динамо-ға жеңілді, бірақ бұл Динамоның турнирлік жағдайына әсер етпеді, ал Юниорға чемпион болуға бөгет болмады. Спартак және ЦСК арасындағы ойын нәтижелері қандай? 5-кестеден көрейік.
5-кесте
Спартак және ЦСК арасындағы ойын нәтижелері, яғни шешімі
Команда
Юниор
ЦСК
Динамо
Спартак
Ұпай
Орын
Юниор
-
2
0
2
4
1
ЦСК
0
-
2
1
3
2-3
Динамо
2
0
-
0
2
4
Спартак
0
1
2
-
3
2-3
Есептің шарты бойынша Динамоға соңғы матчта ұтылып, Юниор бірінші орын алды. Бұл турнирде командалар жинауы мүмкін ұпайлардың ең үлкен саны 6-ға тең.
Юниор 4-тен кем емес ұпай жинады. 4 - тен төмен ұпай да жинай алған жоқ, себебі 3 ұпайдың өзінде Юниордан ұпай саны көп команда табылушы еді, яғни, Юниор командасы ЦСК және Спартак командаларын ұтты.
Есеп шарты бойынша Динамо Юниорды жеңсе де өзінің турнирлік жағдайын жақсартпады. яғни, егер Динамо соңғы кездесуге дейін 2-ден кем емес ұпайға ие болғанда Юниорды жеңгеннен кейін жеңімпаз болуы еді. Егер Динамода соңғы кездесуге дейін 1 ұпай болғанда Юниорды жеңгенде ол 3 ұпайға ие болушы ееді, бұл оған екінші орын алуға, яғни оның турнирлік жағдайын жақсартушы еді. Динамо өзінің турнирлік жағдайын жақсартпағандықтан оның соңғы кездесудің алдында 0 ұпайға ие болғаны белгіліне. Яғни, Динамо ЦСК-ға, және Спартакқа жеңіліп қалды. Бірақ Юниор және Динамоның турнирлік жағдайы Спартак және ЦСК кездесуінен тәуелді болды. Олардың біреуінің жеңісі, мысалы ЦСК, бірінші және екінші орында Юниор және ЦСК бөлісуші, ал үшінші және төртінші орынды Спартак және Динамо алушы еді. Динамо командасының турнирлік жағдайы өзгермейді, егер ЦСК және Спартак тең-бе тең ойнады.
2.3Графтарды тұрғызып шешілетін есептер
Кестелер арқылы шығарылатын есептерді графтардың көмегімен де (шеттелген болып турнирлік есептер табылады) шығару болады. Логикалық есептерді шешкенде әдетте көптеген фактілерді, шарттағы мәліметтерді, есте сақтау, олардың арасындағы байланыс орнату, тұжырымдар айту, жекелеген түйіндер мен оларды қолдану айтарлықтай қиын болады.
Көмекке графтар келуі мүмкін. Граф - кейбір жұптары кесінділермен байланысқан жазықтықта (қағаз парағы, тақта) суреттелген нүктелер жиыны. Суреттер немесе сызбаларда графтарды салу тік бұрышты немесе қисық сызықты, нүктелердің еркін орналасуынан болуы мүмкін. Нүктелерді граф төбелері деп, ал кесінділерді - граф қабырғалары деп атайды. Оны 1-суреттен көреміз.
1-сурет Графтардың салынуй
Сөз пайымдаулардан бастысы - нысандар мен олардың арасындағы байланыстарды.Логикалық есептерді графтарды қолданып шешу мысалдары өзінің табиғилығымен және қарапайымдығымен баурап алады, артық пайымдауларды шеттейді, көптеген жағдайларда жадты жүктелулерден босатады. Графтар - бір жағынан меңгерілетін жағдайдың барлық логикалық мүмкіндіктерін шолуға жол береді, екінші жағынан өзінің жетілгендігімен есепті шешу барысында логикалық мүмкіндіктерді жіктеуге, келмейтін жағдайларды барлық жағдайдың толық қайта алынуына жеткізбей алып тастауға жол береді.
Есеп 1[6, 131]. Сынып біріншілігі.Үстел тенисі бойынша сынып біріншілігіне 6 бала қатысты: Айгүл, Бекжан, Тимур, Гүлім, Дамир, Еркін. Біріншілік айналу жүйесі бойынша өткізіледі - жарысқа қатысушы әрбір адам қалғандарымен бір-бір рет ойнап шығады. Бұған дейін бірнеше ойын өткізілген болатын: Айгүл Бекжанмен , Гүліммен Еркінмен; Тимур, бұрын айтылғандай, Айгүлмен және Гүліммен; Тимур - Гүліммен, Дамир - Тимурмен және Еркін - Айгүлмен және Тимурмен ойнаған. Бұған дейін неше ойын ойналған және тағы неше ойын қалды?
Талқылау. Берілген есепті схема түрінде кескіндейік. Қатысушыларды нүктемен кескіндейміз: Айгүлді - А нүктесімен, Бекжанды - Б нуктесімен т.с.с. Егер қатысушылардың екеуі ойнап кеткен болса онда оларды кескіндейтін нүктені кесінділермен қосамыз. Сонда бірінші суретте көрсетілгендей схема шығады. Мұны 2-суреттен көруге болады.
2-сурет Берілген есептің схема түрінде кескінделуі.
Мұндай схемаларды графтар деп атайды. А, Б, В, Г, Д, Е нүктелері графттың төбелері, оларды қосатын кесінділер графтың қабырғалары деп атайды. Граф қабырғаларының қилысу нүктелері оның төбелері болып табылмайтының ескерте кетейік. Шатастырып алмау үшін граф төбелерін көбінесе нұктелермен емес, кішкентай дөңгелектермен кескіндейді.
Қабырғаны көбінесе түзу сызықты кескінділермен емес, қисық сызықты кескінділермен - доғалармен кескіндеген ыңғайлы болады екен.
Ал енді есебімізге оралайық. Бұған дейін өткізілген ойындар саны қабырғалар санына тең, яғни 7. Өткізілуге тиісті ойындардың санын табу үшін, тағы бір граф сызайық, оның төбелері бұрынғыдай, (2-сурет)бірақ қабырғалары бір-бірімен әлі ойнамаған балаларды қосатын кесінділер болады, 2-сурет.
Бұл графтың қабырғасы 8 болып шықты, демек, әлі 8 ойын өткізу керек: Айгүл - Тимурмен және Дамирмен, Бекжан - Тимурмен, Дамирмен және Тимурмен т.с.с. теннис ойнауы керек.
2 Орта мектепте логикалық есептерді шешу
2.1 Сандарды сәйкестендіру арқылы шығарылатын есептер
1. Егер сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған болса, сұрақ белгісінің орнына қандай сан қойылуы керек?
914, 83 8, 7516, 6732, ?
Шешуі: Бөлшектердің бөлімі солдан оңға қарай екі еселеніп отырады, ал алымдарында әр келесі сан алдыңғыдан 8-ге кіші, яғни:
914--91-84x2=838
838--83-88x2=7516 Демек, 6732--67-832x2=5964
2. Сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
3, 5, 10, 12, 24, 26, ?
Шешуі: Ереже келесі:
3+2=5, 5*2=10, 10+2=12, ... ., 26*2=52
3. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыныз:
7, 15, 31, ?
Шешуі:
7*2+1=15 3
15*2+1
3 Сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Тәртіпке бағынбай тұрған санды табыңыз:
16, 7, 15, 9, 14, 13, 9, 19
Шешуі:
+2 +4 +6
16, 7, 15, 9, 14, 13, 9, 19
-1 -3 -5
5. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыныз:
14(625) 11
10(?) 5
Шешуі: 625= (14+11)2
625 =252
Демек, ?= (10+5)2
?=152=225
6.Х Y Z
I. 2 4 2
II. 4 10 14
III. 7 19 32
a) Егер х=5 болса, у= ?
b) Егер у=7 болса, z=?
c) Егер z=44, х=?
Шешуі:
Ереже:
X Y Z
I. 2 4 2
2*3-2=4 -- 4*2-6=2
a) X=5 ⇒ y=5*3 ⇒ y=13
b) Y= 7 ⇒ z=7*2-6 ⇒ z=8
Z=44 ⇒y=44+6:2=25
c) X=(25+2):3 ⇒ x=9
7. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
54 36 135 ?
16 24 40 60
Шешуі:
Ереже:
16:2х3=24
24:2х3=36
60:2х3=90
8. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойып, 6-кестеден көрейік:
6-кесте
Сұрақ белгісінің орнына тиісті санның қойылуы
3
12
8
7
28
24
5
20
?
Шешуі: Ереже: 3х4=12, 12-4=8
Олай болса, 5х4=20 -- 20-4=16
9.
7-кесте
Есептің берілуі
Х
А
B
C
A
20
B
B
50
C
a+b+c= ?
Шешуі:
a*b=20 a=2
a*c=b ⇒ b=10
b*c=50 c=5
⇒ a+b+c=2+10+5=17
10. Берілген сан тізбектерінің соңғы сандарын табыңыз.
A) 6, 10, 14, 18, x
B) 3, 6, 12, 24, x
C) 0, 3, 8, 15, 24, x
D) 2, 3, 5, 13, 21, x
E) 5, 6, 8, 11, 20, x
Шешуі:
а)6+4=10
10+4=14
Онда: х=24
b) 3x2=6
6x2=12
Онда: 12-1=0 22-1=3 32-1=8
Онда: х=62-1=35
d) 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13,
Онда: х=13+21=34
е) 5+1=6, 6+2=8, 8+3=11,
Онда: х=20+6=26
Тапсырмалар:
11. Сандар белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Тәртіпке бағынбай тұрған санды табыңыз.
а) 2, 6, 18, 52, 162, 486
b) 120, 115, 105, 90, 70, 50, 15
12. Сұрақ белгісінің орнына тиісті сандарды қойып, 8-кестеден көрейік:
8-кесте
Тиісті сандардың сұрақ белгісінің қойылуы
4
12
6
18
?
4
2
6
3
?
13. О+=8□+=?
О+ □=9 ⇒□+=7
14. Сұрақ белгісінің орнына тиісті сандарды қойыныз:
2
10 8
19 ? 1
31 12 3 2
15.Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
А) 8, 6, 7, 5, 6, 4, ?
16. Берілген сөздердің әрбірі оң жақта орналасқан сандардың біреуіне сәйкес келетін болса, PUL сөзіне сәйкес санды табыңыз.
17. Сұрақ белгісінің орнына тиісті сандарды қойып, 9-кесіндіден көрейік :
9-кесінді
Тиісті сандардың сұрақ белгісінің қойылуы
3
5
10
8
5
8
24
21
1
6
30
25
?
?
120
110
18. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойып, 3-суреттен көрейік:
3-сурет Сұрақ белгісінің орнына тиісті санның қойылуы
19.Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз:
I. (6▲3) □5=10
II. (8 □3) ▲4=6
III. (6▲2) □7=21
IV. (7□4) ▲=?
20. Берілген тізбектегі х және у мәндерін табыңыз:
1, 3, 7, х, у, 43, 57
0.2 Сандық ойындар
1. Екі ойыншы мынадай ойын ойнады. Біріншісі 1-ден 9-ға дейінгі сандардың бірін атайды, екіншісі оған ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz