Рационал сандар жиынының қасиеттері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 124 бет
Таңдаулыға:

14. ЛЕКЦИЯ ТЕЗИСТЕРІ
1-дәріс.
Тақырыбы: Нақты сандар және олардың қасиеттері. Рационал сандар.
Иррационал сандар. Жиын. Жиындарға қолданылатын амалдар.Жиынның қуаты.

Жиын ұғымы математиканың негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі,
сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды.
Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын ұғымын қандайда бір нәрселердің
жинағы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке
қабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа
нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.
Жиын деген сөз математикада көптіктің мағынасында, оның бір
баламасы ретінде қолданылады. Ол сөз жоғарыда айтқанымыздай жинақ,
жиынтық мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектілерден құралуы
мүмкін, ол объектілер жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады.
Мысалы, адамдар жиыны тірі табиғат объектілерінен құралса, кітаптар
жиыны жансыз табиғат объектілерінен құралады. Ал бүтін сандар жиынын
алсақ, бұл жиын нақтылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады.
Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де
жиын элементі бола алады.
Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлық
табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен – Айдан тұрады. Жиынның
элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін.Мысалы, элементтерінің саны
екіге тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтері деп
су сөзіндегі әріптер жиыны, адамның құлақтарының, көздерінің,
қолдарының, құстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.Жиын латын
алфавитінің үлкен әріптерімен A, B, C, ..., Z белгіленеді. Бір де бір
элементі болмайтын жиынды құр (бос) жиын деп атайды. Оны түрінде
белгілейді. Жиынның элементтері латын алфавитінің кіші әріптерімен
белгіленеді.
Жиынның кез-келген элементтерінің ол жиынға жататындығы
(тиістілігі) немесе оған жатпайтындығы (тиісті еместігі) тағайындалған
болса, ондай жиын толығынан анықталған жиын деп аталады. а элементінің
М жиынға жататындығын тиістілік таңбасы арқылы белгілейміз:
Бұлай белгілеуді сөзбен түрліше айтуға болады.
а дегеніміз М жиынының элементі, а элементі М – ге тиісті, а элементі
М – ге енеді,а элементі М – нің құрамындағы элемент
а элементі М жиынына жатпайтындығын деп белгілеп, оны да әр түрлі
оқуға болады.
Біздің келтірген мысалдарымыздағы жиындар өздерінің элементтерінің
мөлшері жөнінде бәрі бірдей емес. Мәселен, кітаптың берілген бетіндегі
әріптердің саны шектеулі, өйткені оларды бірден санап, қанша екенін
білуге болады: сутегінің барлық атомдарының саны да шектеулі, өйткені
оларды бірден санап білмегенмен, атомдардың санынан асып кетпейтін санды
әрқашан да жазып көрсетуге болады. Сонымен, әріптердің жиыны мен
атомдардың жиыны ш е к т е у л і ж и ы н болды. Ал енді шеңбердің
бойында жатқан нүктелердің, барлық рационал сандардың, түзудің бойында
жатқан нүктелердің жиындары – ш е к с і з ж и ы н д а р.
Берілген шексіз жиындардың қайсысының элементтері көп, соны
тексерейік. Мысалы жұп сандармен бүтін сандардың қайсысы көп? Осы
мәселелерге жауап беру үшін мынадай бір жай мысалды қарайық: Бір үлкен
аудиторияның ішінде бірнеше орындықтар бар; лекция тыңдауға келген
студенттердің саны артық па? Әрине, біз мұны тексеру үшін аудиториядағы
орындықтарды, сонан соң коридорда күтіп тұрған студенттерді санаған болар
едік. Бұл мәселені өйтпей-ақ та шешуге болады: егер аудиториядағы әрбір
орындыққа тек бір ғана студент отыратын болса, керісінше, бір студентке
тек бір-ақ қана орындық сәйкес келсе және мұндай операцияның нәтижесінде
бос тұрған орындық болмаса, ал сыртта орынсыз қалған студент болмаса,
онда аудиториядағы орындықтармен студенттердің саны бірдей болғаны. Міне,
осылай пар-парымен үйлестіру принципін ө з а р а б і р м ә н д і
с ә й к е с т і к деп атайды. Сонымен, егер шекті екі жиынның
элементтерінің саны бірдей болса, онда олардың элементтерінің арасында
өзара бірмәнді сәйкестікті тағайындауға болатын болды.
Жұп сандар мен натурал сандардың мөлшерін салыстыру үшін былай
жазайық:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, ...
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ...
Бұл жазудан біз мынаны байқаймыз: жоғарғы қатардағы сан өзінің
астында тұрған төменгі қатардың бір ғана жұп санымен үйлеседі, жоғарғы
қатардағы және төменгі қатардағы сандардан ешбір парсыз қалып қоятын сан
жоқ. Сөйтіп, барлық натурал сандар қанша болса, жұп сандар да сонша
болады.
Егер берілген А мен В екі жиынның элементтерінің арасында өзара
бірмәнді сәйкестік болса, онда мұндай жиындарды бір-бірене б а л а м а л
ы (э к в и в а л е н т) жиындар деп атайды.
Егер екі жиын бір – бірімен баламалы болса, онда мұндай жиындардың
элементтерінің саны бірдей болғаны. Барлық натурал сандар жиынына
баламалы (эквивалент) жиынды с а н а л а т ы н ж и ы н деп атайды,
былйша айтқанда, саналатын жиын деп элементтерін номерлеп мынадай
а1, а2,,... ап,...
шексіз тізбек түрінде жазуға болатын жиынды айтады.
Егер жиынның элементтерінің саны барлық натурал сандардың санынан
артық болса, ондай жиын саналатын жиын болмайды, сондықтан мұндай жиынды
с а н а л ы н б а й т ы н ж и ы н деп атайды. Мәселен, шеңбердің
бойында, квадраттың ауданында жатқан нүктелердің, ұзындығы қандай болса
да түзудің кесінділерінің барлық нүктелерінің жиындары саналынбайтын
жиындарға мысал болып табылады.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер екі кез келген
объект жөнінде ол осы жиынға тиісті емес екендігін анықтауға болса, онда
жиын берілген деп есептеледі.
1) Жиын оның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі. Мысалы, А
жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, оның барлық элементтерін тізіп жазу
арқылы көрсетуге болады. Мұндай жағдайда элементтер фигуралы жақшаға
алынып A={3,4,5,6} түрінде жазылады. Бұл тәсілмен тек қана шектеулі
жиындар беріледі.Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес. Мысалы,
барлық тақ сандардың немесе екі нүктеден бірдей қашықтықта жататын
нүктелердің жиыны;
2) Мұндай жағдайда жиынды оның элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы
береді.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің
геометриялық орны дейміз.
Сипаттамалық қасиеті бойынша анықталған элементтердің жиынын былай
белгілеуге болады: фигуралы жақшаның ішінде алдымен жиынның элементін
белгілейтін әріп жазылып, тік сызықтан кейін сипаттамалық қасиет
жазылады. Мысалы,
, бұл А жиыны барлық 3-ке еселі сандардың жиыны екендігі көрсетеді.
Элементтері р(х) қасиетін қабылдайтын М жиынында жататын барлық х-
терді түрінде белгілейміз. Мысалы, математикада жиі қолданылатын,
кесінді , интеграл, жарты интервалдарды мына түрде жазамыз:
а) [a,b] кесіндісінің -
ә) (a,b) интервалын -
б) (a,b] жарты интервалын -
в) [a,b) жарты интервалын -

Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың қасиеттері.
Жиындар арасындағы
қатыс.

және жиындары берілсін. b мен d элементтері А және В
жиындарына жататынын көреміз. b мен d эелемнттерін А және В
жиындарының ортақ элементтері деп атап, бұл жиындарды қиылысады дейді.
Егер жиындардың ортақ элементтері болмаса, онда оларды қиылыспайды
дейді.
Енді және жиындарын қарастырайық. Бұл жиындар қиылысады,
сонымен қатар В жиынының барлық элементтері А жиынының да элементтері
болып табылады.
А н ы қ т а м а: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да
элементі болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Бұл қатыс
былай жазылады
О қ ы л у ы: В жиыны А жиынында қамтылған немесе В жиыны А жиынының
ішкі жиыны.
Мысалы, егер А мектептегі бесінші сынып оқушыларының жиыны, ал В-
осы сыныптағы ер балалар жиыны болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны
болады, яғни
Құр жиын кез-келген жиынның ішкі жиыны болады, яғни сонымен
қатар жиын өзінің де ішкі жиыны болады,
Мысалы, A = {2,3,4} жиынының барлық ішкі жиындарын тізіп жазу керек.
Олардың ішінде бір элементті жиындар {2}, {3}, {4}; екі элементті жиындар
{2,3}, {3,4}, {2,4}. A={2,3,4} жиынының өзі және болады. Сонымен,
берілген А жиынының сегіз ішкі жиыны бар.
Жиындар туралы айтқанда, ол жиындардағы элементтердің орналасуына
көңіл аудармай, тек қандай элементтерден тұратындығын зерттейміз. ,
жиындарын қарастырайық. Олар қиылысады және А жиынының әрбір
элементі В жиынының элементі болады, яғни , сонымен қатар В жиынының
әрбір элементі А жиынының элементі болады, яғни .

А н ы қ т а м а. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да
элементі болса және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да
элементі болса, онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады:
A = B.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер және
болса, онда А және В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақ тәрізді фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері деп атайды.
Мысалы, , болса, В жиыны А жиынында қамтылады (ішкі
жиыны болады) деген қатысты Эйлер дөңгелегі арқылы 1 сызбадағыдай
көрсетіледі.
, жиындары қиылысады, бірақ біреуі екіншісінің ішкі жиыны
болмайды. Сондықтан олар Эйлер дөңгелегі арқылы 2 сызбадағыдай
бейнеленеді.
Қиылыспайтын жиындар ортақ нүктелері болмайтын екі дөңгелек арқылы
көрсетіледі. (3-сызба)

1- сызба 2-сызба
3 – сызба

Жиындардың қиылысуы және бірігуі.

Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын құруға
болады. Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амалдар қолдану
нәтижесінде пайда болады. Мұндай амалдарға екі немесе одан көп жиындардың
ортақ элементтерінен құрылған жиынды табу, бірнеше жиынды бір жиынға
біріктіру, жиыннан оның қандай да бір бөлігін шығарып тастау жатады.
A={2,4,6,8} және B={5,6,7,8,9} жиындары берілсін. А және В
жиындарының ортақ элементтерінен тұратын С жиынын құрайық, С={6,8}.
Сонымен алынған С жиыны А және В жиындарының қиылысуы деп аталады.
А н ы қ т а м а: А жиынында да В жиынына да тиісті элементтерден
тұратын С жиынын А және В жиындарының қиылысуы деп атайды.
А және В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді:
Егер А, В жиындарын Эйлер дөңгелегі арқылы бейнелесек, екі жиынның
қиылысуы 4- сызбадағы штрихталған облыс болады. А мен В жиындарының
ортақ элементтері болмаған жағдайда олардың қиылысуы құр жиын болады,
яғни
Егер А, В жиындарының элементтері тізіммен берілсе, онда -ны
табу үшін А және В жиындарына тиісті, яғни оларға ортақ, элементтерді
тізіп жазу жеткілікті. Егер жиындар сипаттамалық қасиеттерімен берілсе,
онда олардың қиылысуын қалай табу керек?

анықтамадан жиынының сипаттамалық
қасиеті қиылысушы А мен В жиындарының
сипаттамалық қасиеттерін және деген
4- сызба
жалғаулық пен байланыстыратын қасиетке ие
болады.
Мысалы, А- жұп натурал сандар жиыны, В – екі орынды
натурал сандар жиыны болсын. Сонда екі жиынның
қиылысуындағы элементтер әрі жұп, әрі екі орынды натурал
сан болуы керек. Сонымен жиыны – екі орынды жұп
натурал сандар жиыны болады.
А – жұп натурал сандар жиыны мен В – 4-ке еселі
натурал сандар жиынының қиылысуын
қарастырайық. Бұл жиындар шексіз және В жиыны А-
ның ішкі жиыны болады. Сондықтан В жиынының
элементтері А-ның да В- ның да элементтері болады,
5- сызба
яғни (5 – сызба)

А н ы қ т а м а. А және В екі жиынның бірігуі деп олардың ең
болмағанда біреуіне тиісті элементтерден тұратын жиынды айтады. Екі
жиынның бірігуі былай белгіленеді: .
Егер қиылысатын А мен В жиындары қиылыспаса, онда олардың бірігуі 7
– сызбадағыдай бейнеленеді. Егер А және В жиындарының элементтері
тізіммен берілсе, жиынының элементтерін табу үшін осы екі жиынның
ең болмағанда біреуіне жататын элементтердің тізімін жазу керек.
A={2,4,6,8}, B={5,6,7,8,9} болсын , сонда болады.

7- сызба
6- сызба

,Егер екі шектеулі жиынның қиылысуы құр жиын болмаса, онда жиындардың
бірігуінен шыққан жиындағы элементтердің саны әрбір жиындағы
элементтердің санының қосындысынан кем болады. Жиынның элементтер саны
п(А) деп белгіленеді. Сонда болса . Ал, егер жиындардың
қиылысуы құр жиын болса, онда жиындардың бірігуі болатын жиындағы
элементтер саны ол жиындардағы элементтердің сандарының қосындысына тең
болады, яғни болса, болады.
А жиыны сипаттамалық қасиетімен, В жиыны сипаттамалық
қасиетімен берілсе, онда жиынына қасиеті немесе
қасиеті бар элементтер ғана тиісті болады, яғни жиынының
сипаттамалық қасиеті А,В жиындарының сипаттамалық қасиеттерін немесе
деген жалғаулық арқылы байланыстырады. Мысалы, А – жұп сандар жиыны, В –
екі орынды сандар жиыны болсын. Осы жиындардың бірігуіне қасиеті жұп сан
немесе екі орынды сандар болатын елементтер енеді. Мұндай сандар
шектеусіз жиынды анықтайды, бірақ көрсетілген сипаттамалық қасиет қандай
да бір санның А және В жиындарының бірігуіне тиісті немесе тиісті емес
екендігін анықтайды. Мысалы, жиынына мына сандар: 8 саны жұп, 17
саны екі орынды, 36 саны жұп, әрі екі орынды болғандықтан тиісті.

Енді А – жұп натурал сандар жиыны мен В

4 –ке еселі сандар жиынының бірігуін
қарастырайық. екені белгілі. Сондықтан
жиыны А жиынының элементтерінен
тұрады (8 – сызба), яғни болса, онда болады.
8-сызба

Жиындардың толықтауышы. Жиындарды азайту

А н ы қ т а м а: болсын. А жиынының В жиыныныа тиісті емес
элементтерінің жиынын В жиынының А жиынына дейінгі толықтауышы деп
атайды. A

10 – сызба.

Жиынның толықтауышын табу амалы жиындарды азайту деп аталып АВ
түрінде белгіленеді.
Егер А және В жиындарының элементтері тізім арқылы берілсе, АВ
жиынын табу үшін В жиынына тиісті емес, А жиынына тиісті элементтерді
тізіп шығу жеткілікті. Мысалы, , болса A = {2,3}.
А және В жиындары () сипаттамалық қасиеттері арқылы берілсе,
АВ жиынының сипаттамалық қасиеті және түрінде болады.
Мысалы, А-жұп сандар жиыны, В – 4-ке еселі сандар жиыны болса, 20 және 26
сандары В жиынының А жиынына дейінгі толықтауышына тиісті бола ма?
4-ке еселі сандардың барлығы жұп болғандықтан . Егер А жиынынан
барлық 4-ке еселі сандарды шығарып тастасақ, онда 4-ке еселі емес жұп
сандар ғана қалады. Сонымен АВ 4-ке еселі емес жұп сандардың жиыны. АВ
жиынының сипаттамалық қасиеті х саны 4-ке еселі емес жұп сан. ;
себебі 20 саны 4-ке еселі және , ол 4-ке еселі емес жұп сан.
Енді А – жұп сандар, В – 4-ке еселі, С – 6-ға еселі сандар жиыны болсын.
Сонда жиыны қандай элементтерден тұрады?
өрнегінің жазылуында жақша жоқ. Қай амалды бірінші орындау керек?
Қиылысу амалы азайту амалына қарағанда күштірек деп есептеуге
келісілген. Сондықтан берілген өрнекте алдымен В және С жиындарының
қиылысуын жазып, сонан соң А жиынынан сол жиынды азайту керек.
В және С жиындарының қиылысуы 4-ке
және 6-ға еселі сандардан тұрады. Егер
осы қиылысуды А жиынынан шығарып
тастасақ, онда (бір мезгілде) 4-ке де, 6-ға
да
еселі емес жұп сандар жиыны қалады. Эйлер
дөңгелегі арқылы А, В, С жиындары 11-
сызбадағыдай бейнеленеді. жиыны бұл
11 – сызба сызбада тұтас сызықтармен штрихталып
көрсетілген.

7. Шектелген жиындар

Нақты сандардан тұратын бір Е жиынын қарайық.
Егер осы Е жиынын құратын нақты сандардың қайсысын алсақ та, оның
шамасы бір L санынан аспаса, онда бұл жиынды жоғарғы жағынан немесе оң
жағынан шектелген жиын деп атайды. Егер Е жиынын құратын нақты сандардың
барлығы да бір l санынан артық болса, онда бұл жиынды төменгі жағынан
немесе сол жағынан шектелген жиын деп атайды.
L санын және одан артық сандарды, Е жиынының жоғарғы шекаралары
дейді, ал l санын және барлық одан кіші сандарды Е жиынының төменгі
шекаралары дейді.
Жоғарғы және төменгі жақтарынан шектелген жиынды шектелген немесе
шекараланған жиын деп атайды.
Осы ұғымға бірнеше мысалдар келтірейік.
1) Е жиыны келесі сандардан:

тұратын болсын. Бұл жиын оң жағынан да, сол жағынан да шектелген, өйткені
жиынды құрып тұрған сандардың қайсысын алсақ та, оның шамасы бірден
аспайды және олардың барлығы да ден артық.
Келтірілген сандардан тұратын жиынның жоғарғы шекаралары 1 және
бірден артық сандардың барлығы; ал төменгі шекаралары және ден
кіші сандардың барлығы.
2) Е жиыны барлық натурал сандардан
1, 2, 3, ..., п, ...
тұрсын. Бұл жиын оң жағынан шектелмеген, тек сол жағынан ғана шектелген.
Сондықтан оны шектелген жиын деп айтуға болмайды. Бұл жиынның төменгі
шекаралары – бір және бірден кем сандардың барлығы.
3) Е жиыны мына сандардан:

тұратын болсын.
Бұл жиын жоғарғы жағынан да, төменгі жағынан да шектелген. Жоғарғы
шекаралары 2 және екіден артық сандардың барлығы; төменгі шекаралы
және осы жартыдан кіші сандардың барлығы.
4) Е жиыны төмендегі теңсіздіктерді

қанағаттандыратын барлық нақты х сандардан тұрсын. Бұл жиын шектелген
жиын, жоғарғы шекаралары в және в – ден артық сандардың барлығы, ал
төменгі шекаралары а және а – дан кіші сандардың барлығы.
Айталық, Е шектелген жиын болсын.
Е жиынының жоғарғы шекараларының ең кішісін оның дәл жоғарғы
шекаралығы немесе супремумы дейді және оны былай белгілейді: sup E.
Е жиынының төменгі шекараларының ең үлкенін оның дәл төменгі
шекаралығы немесе инфимумы дейді және оны былай белгілейді: ınf E
Бірінші мысалда дәл жоғарғы шекаралық немесе sup E =1, ал дәл
төменгі шекаралық немесе inf E = .
Екінші мысалда
Үшінші мысалда sup E =2, inf E = .
Төртінші мысалда sup E =в , inf E = а.

Бұл келтірілген мысалдардан біз мынаны байқаймыз: дәл жоғарғы және
дәл төменгі шекаралықтар жиынның өзіне жатуы да және жатпауы да мүмкін.
Шектелген жиынның дәл шекаралықтары бола ма? Бұл сұраққа келесі
теорема жауап болып табылады.
Теорема. Егер Е жиыны жоғарғы жағынан (төменгі жағынан)
шектелсе, онда ол жиынның әрқашан да дәл жоғарғы (дәл төменгі) шекаралығы
болады.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін екі жағдайды қарасытыруға тура келеді:
а) Е жиынын құратын нақты х сандардың ішінде ең үлкені болсын, оны
арқылы белгілейік. Онда Е жиынының барлық сандары мына
теңсіздікті қанағаттандырады, яғни саны Е жиыны үшін жоғарғы
шекаралық болып табылады.
Екінші жағынан саны Е жиынынң элементі, сондықтан бұл жиынның
кезкелген L шекарасы үшін саны мына теңсіздікті
қанағаттандырады. Олай болса, саны – Е жиынының дәл жоғарғы
шекаралығы.
б) Е жиынын құратын нақты х сандардың ішінде ең үлкені жоқ болсын.
Барлық нақты сандар жиынына (Х,Ү) қима жүргіземіз. Төменгі Х
класына, Е жиынын құратын сандардан кіші және оларға тең барлық нақты
сандарды жатқызайық, ал Ү класына Е жиынының барлық жоғарғы шекараларын
жатқызамыз.
Сонымен, Х класына жататын нақты сандардың әрқайсысы, ү класына
жататын нақты сандардың әрқайсысынан кіші болатын болды. Олай болса,
(Х,Ү) дедекиндтік қима, бұл қима бір нақты санды анықтайды. Осы
саны Е жиынының жоғарғы шекараларының ішіндегі ең кішісі болып
табылатынына көз жеткізу қиын емес.
Е жиынын құратын нақты х сандардың барлығы Х класына жататын
болғандықтан . Ендеше саны – Е жиынының жоғарғы шекарасы. Ал
санын Ү класына жатқызуға болады, онда сол кластағы ең кіші
сан болып табылады; Ү класы Е жиынының барлық жоғарғы шекараларынан
тұрады, ендеше - жоғарғы шекаралардың ең кішісі. Сондықтан анықтама
бойынша =supЕ
Енді дәл жоғарғы шекаралықтардың қасиеттерін санап өтейік:
1) Егер саны жиынының дәл жоғарғы шекаралығы болса,
онда .
2) Алдынала берілген оң саны қаншама аз болса да, Е жиынын
құратын сандардың ішінен мына теңсіздікті
қанағаттандыратын ең болмағанда бір нақты х санын табуға
болады.
3) Егер саны E{x} жиынының дәл төменгі шекаралығы болса,
онда .
4) Е жиынын құратын сандардың ішінен мына теңсіздікті
қанағаттандыратын ең болмағанда бір х саны табылады, мұнда
- кезкелген оң құнарсыз аз сан.

Рационал сандар.

Сан ұғымы тек математикалық анализ ғана емес, бүкіл жоғары
математиканың негізі болып табылады.
Сан ұғымы практиканың талабынан туғанмен, оның тарихи даму
процесі тым таяу болады.
Алуан түрлі заттардың жиындарын қабылдау нәтижесінде ерте
заманның адамдарында бүтін сандар ұғымы пайда болған. Ол сандар
кейін натурал сандар деп аталып, мына түрде жазылатын болды.
1, 2, 3, ... , n, ...
Сонан кейін шамаларды өлшеу нәтижесінде бөлшек сандар пайда
болды, оларды екі натурал санның қатынасы деп қарауға болады.
... , - n, ... , - 3, - 2, -1
түрінде жазуға болатын бүтін теріс сандармен толықтырылды.
Біздің жыл санау дәуіріміздің V ғасырында екі тең натурал
санның айырымын табумен байланысты бұрынғы сандар қорына ноль деп
аталатын сан қосылып, сан ұғымы онан әрі кеңи түсті.
Егер барлық натурал сандар мен барлық теріс сандарды және
ноль санын біріктіріп қарасақ, бүтін сандар жиыны құрылып, оны
былайша жазар едік:
..., - n, ..., -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...
, n, ...

Анықтама. P мен q бүтін мәндер қабылдап , q ≠ 0, рационал
сан деп аталады да, олардың жиыны рационал сандар жиыны деп
аталып, былайша жазылады:
{ }, (q ≠ 0)

Әрине, санын әрқашанда қысқартылмайтын бөлшек деп қарауға

болады, өйткені ол қысқартылатын болса, алдын – ала алымы мен
бөлімін олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне қысқартуға болар еді.
Рационал сандар жиынының қасиеттері.

1. Кез келген екі рационал санға арифметикалық амал қолдану
нәтижесінде рационал сан шығады.
а) - рационал сан:
б) - рационал сан:
в) - рационал сан
г) - рационал сан

2. Бүкіл рационал сандар жиынының тәртіптелгендік қасиеті. Егер
кез келген екі рационал сан а және b берілсе, олар үшін мына үш
арақатынастың тек біреуі ғана орындалады:
не а = b не а b
не а b
3. Бүкіл рационал сандар жиынының тығыздық қасиеті. Тең емес кез
келген екі рационал сан а және b – нің арасында ең болмағанда
бір рационал сан с болады. Демек, егер а b болса, ең болмағанда
бір с саны табылып, а с b
теңсіздігі орындалады. Осындай с санына саны мысал бола
алады.
Сандарды түзу сызықтың нүктелерімен кескіндеу.

Кез келген бір түзуді сызып, оның бойында жатқан бір нүктесін
0 деп белгілейік (1 – чертеж ). Бұл жағдайда рационал сан нольді
сәйкес қоямыз, сонда 0 нүктесі санақтың бас

-4 -3 -2 -1 0
1 2 3
1 – чертеж.
нүктесі немесе ноль нүктесі деп аталады. Бас нүктеден түзудің
бойымен оңға қарай қозғалуды – оң бағыт, ал солға қарай қозғалуды –
сол бағыт деп атайтын болып келісеміз.
Кез келген е кесіндісін алып, оны санақтың ұзындық
бірлігін – масштаб етіп қабылдайық. Егер масштабты санақтың басынан
(бас нүкте 0 ден) оңға қарай бір, екі, үш т.т рет салсақ,
түзудің бойында
1, 2, ..., n, ...
натурал сандарына сәйкес келетін нүктелер табылады.
Сол сияқты, е – ні бас нүктеден солға қарай бір, екі т.т.
рет салсақ,
..., - n, ..., - 3, - 2, - 1
сандарына сәйкес келетін нүктелер табылады. Түзудің бойынан
бөлшек сандарға сәйкес келетін нүктелерді табу мүмкін болу үшін
былай істейміз.

q натурал санын алып, әуелі кесіндісін саламыз да,
сонан

кейін салынған кесіндіні масштаб ролінде санақ басынан бастап оңға
да, солға да қайталап сала береміз. Мұның нәтижесінде түзудің
бойынан бөлшек
сандарға сәйкес келетін нүктелер табылады.
q
Сөйтіп, түзудегі санақтың басы, оң бағыты мен масштабы
берілсе, оның бойынан рационал сандардың бәріне де сәйкес келетін
нүктелер таба аламыз. Міне, осындай түзуді сан өсі немесе сан
түзуі деп атайды.
Демек, кез келген рационал санға сан өсінің жалғыз ғана
нүктесі сәйкес келеді.
Енді мынадай сұрақ туады: кері бекітім әділ бола ма? Басқаша
айтқанда: түзудің әрбір нүктесіне рационал сан сәйкес келеді деп
бекітім жасауға бола ма?
Мұндай бекітімнің әділ еместігін көрсету қиын емес. Ол үшін
түзудің бойында жатқан, өзіне рационал сан сәйкес келмейтін ең
болмағанда бір нүктенің барлығын көрсетсек жеткілікті.
Шынында: сан түзуін алып, катеттері өлшеу масштабына тең тік
бұрышты үшбұрыш тұрғызалық ( 2 – чертеж ). Сонан
С

О 1 N

2 – чертеж.
кейін тұрғызылған үшбұрыштың гипотенузасын сан түзуінің бойына оң
бағытқа қарай салалық. Сонда оның шеті N нүктесі болады.
Біздің бекітімімізді дәлелдеу үшін осы N нүктесіне сәйкес
келетін рационал санның жоқтығын дәлелдеуіміз керек.
ОN² = ОС² = 1² + 1² = 2
екені айқын. Сондықтан, квадраты екіге тең болатын рационал санның
жоқтығын дәлелдесек жеткілікті.
Шынында: 1² = 1 ≠ 2, ал кез келген n ≥ 2 натурал сан үшін
n²≥2² 2 теңсіздіктері орындалады. Олай болса, квадраты 2 – ге тең
бүтін сан жоқ болғаны. Квадраты 2 – ге тең қысқартылмайтын
рационал бөлшек бар деп жорылық, яғни:

(1)

болады делік. Онда
p² = 2q².
(2)
(2) теңдіктің оң жағы 2 – ге бөлінеді, сондықтан сол жағы да
(яғни p² ) 2 – ге бөлінуі тиіс. Бұлай болу үшін p саны да, оның
квадраты да жұп сан болуы керек, өйткені, егер p – тақ сан деп
алып, әрбір тақ санды 2n – 1 түрінде жазуға болатындығын ескерсек,
оның квадраты да тақ сан болатынын мына формуладан байқаймыз:
(2n – 1)² = 4n² - 4n + 1 = 2(2n² - 2n) + 1.
Ал ешбір тақ сан 2 – ге бөлінбейтіні белгілі. Сондықтан p –
жұп сан. Олай болса p = 2m түрінде жазылады. Бұл өрнектегі p – нің
мәнін (2) теңдікке апарып қойсақ, мына теңдік шығады:
4m² = 2q² , яғни 2m² = q².
Жаңағы сияқты байымдап, q санының да жұп сан екендігін
байқаймыз.

P және q жұп сандар болғандықтан, бөлшегі –
қысқартылатын бөлшек, ал бұлай болып шығуы — бөлшегі туралы
жоруымызға қарама – қарсы. Бұл қайшылық квадраты 2 – ге тең
қысқартылмайтын рационал бөлшек жоқтығын дәлелдейді.
Сонымен, сан түзуінің бойында өзіне сәйкес рационал сан
қойылмайтын нүктелердің болатынына көзіміз жетті. Демек, рационал
сандар жиыны мен сан түзуі нүктелерінің жиыны арасында өзара бір
мәнділік сәйкестік орнату мүмкін емес. Бұдан рационал сандар жиынын
жаңа , рационал емес сандармен толықтыру керек деген қорытынды
шығады.
Сол себепті иррационал сандар деп аталатын жаңа сандар
енгізіп, сан ұғымын онан әрі кеңіту қажет.
Барлық рационал және иррационал сандар жиыны нақты сандар немесе
заттық сандар жиыны деп аталады.
Нақты сандар ұғымы мейлінше абстракциялық ұғым. Оны
көрнекі түрде келтіруде нақты сандар жиыны мен түзудің бойындағы
нүктелер жиынының арасында өзара бір мәнділік сәйкестік орнатудың
принциптік маңызы бар. Бұдан былай осы жағдайды ескеріп, кейде
нүктелері нақты сандар жиынына сәйкес қойылған түзуді сан түзуі
деп те атайтын боламыз.

Абсолюттік шамалар және оның қасиеттері.
Нольге тең емес нақты сан х берілген делік. Сонда х пен - х
сандарының бірі оң сан болады. Осы оң сан х санының абсолюттік
шамасы деп аталады және І х І белгіленеді. Нольдің абсолюттік
шамасы өзі деп алынады. Бұл айтылғандарға сүйеніп мыналарды жазуға
болады:
, егер х 0,
, егер х 0,
, егер х = 0.
Теорема 1. Егер нақты сан х пен оң сан δ үшін х δ (2)
теңсіздігі орындалса, х мына теңсіздіктерді қанағаттандырады:
-
δ х δ
(3)
Дәлелдеу. Егер х = 0 болса, теорема дұрыс.
Егер х 0 болса, = х. Теореманың шарты бойынша
δ. Олай болса, х δ. Әрбір оң сан әрбір теріс саннан артық
екендігін ескерсек, х -δ. Демек, - δ х δ. Егер х 0 болса,
= -х болады. Теореманың шарты бойынша δ. Олай болса,
-х δ, бұдан х -δ (яғни: -δ х). Х – теріс сан (алуымыз бойынша ),
ал δ – оң сан еді. Сондықтан, х δ. Демек, -δ х δ .
1 – теоремаға кері теорема бар. Ол мынау:
Теорема 2. Егер нақты сан х – δ х δ (бұндағы δ 0 )
(4) теңсіздіктерін қанағаттандырса, δ.
(5)
Дәлелдеу. х саны үшін екі жағдай болуы мүмкін: 1) х ≥ 0;
және
2) х 0. Әуелі 1) жағдайды қарастыралық. ≥ 0 болса, = х.
Теореманың шарты бойынша х δ . Сондықтан, δ болады.
Теорема 1) жағдай үшін дәлнлденді. 2) жағдайда х 0. олай болса,
= -х. Бірақ х δ. Бұдан: -х δ. Сол себепті δ.
Теорема толық дәлелденді.
Теорема 3. Екі қосылғыштың қосындысының абсолюттік шамасы
қосылғыштардың абсолюттік шамаларының қосындысынан кіші немесе соған
тең, яғни

(6)
Дәлелдеу. Екі жағдай болуы мүмкін:
1) х + у ≥ 0. Онда:
(7)
(1) формулаларға сәйкес: х ≤ және у ≤ . Сондықтан:
х + у ≤ + ..
(8)
(7) және (8) арақатыстардан ( 6) шығады .
2) х + у 0. Онда:
= -(х + у) = (-х) +(-у).
(9)
Бірақ -х ≤ және -у ≤ . Сондықтан:
(-х) + (-у) ≤ + .
(10)
(9) және (10) арақатыстардан (6) арақатыс шығады. Бұл теорема
қосылғыштары сансыз көп емес қосындылардың барлығына да
қолданылады.
Салдар. Екі санның айырымының абсолюттік шамасы ол сандардың
абсолюттік шамаларының қосындысынан кем не соған тең, яғни

Шынында, х – у = х + (-у). Олай болса, 3 – теорема бойынша:

Бірақ . Демек, .
Теорема 4. Айырымның абсолюттік шамасы азайғыш пен азайтқыштың
абсолюттік шамаларының айырымынан артық не соған тең, яғни
(11)
Дәлелдеу. х = (х – у)+у. 3 – теорема бойынша
≤ немесе , яғни
. Теорема дәлелденді.
Теорема 5. Бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісінің абсолюттік
шамасы сол көбейткіштердің абсолюттік шамаларының көбейтіндісіне тең,
яғни:
Іх ∙ у ∙ z ∙ ∙ ∙ ωІ = ІхІ ∙ІуІ ∙ ІzІ
∙ ∙ ∙ІωІ.
Теорема 6. Дәреже көрсеткіші бүтін оң сан n болатын х
санының дәрежесінің абсолюттік шамасы сол санның абсолюттік
шамасының n дәрежесіне тең, яғни .
Теорема 7. Бөліндінің абсолюттік шамасы бөлінгіштің абсолюттік
шамасын бөлгіштің абсолюттік шамасына бөлгенде шығатын бөліндіге
тең, яғни

Бірнеше мысалдар келтірелік.
1. 2 теңсіздігін шешу керек.
Шешу. 1 – теорема бойынша -2 х -7 2. Бұл теңсіздіктердің әр
мүшесіне 7 – ні қоссақ, 5 х 9 теңсіздіктері шығады.
2. х
(12)
теңсіздігін шешу керек.
Шешу. Әрқашанда ≥ 0 болады, сондықтан (12) теңсіздік
х 0 болғанда ғана орындалады.
3. (х + 3)² 169
(13)
теңсіздігін шешу керек.
Шешу. (х +3)² = . Олай болса, (13) теңсіздікті мына
түрде жазуға болады:
13.
1 – теореманы қолдансақ, -13 х+3 13 немесе -16 х 10
теңсіздіктері шығады.

6. Іх² - 7х + 12І = - (х² -7х + 12)
(18)
теңдігін шешу керек.
Шешу. Абсолюттік шаманың анықтамасына сүйенсек, (18) теңдік
мына жағдайда орындалатынын білеміз:
х² - 7х +12 ≤ 0, яғни (х – 3)(х – 4) ≤0.
(19)
Егер х саны 3 ≤ х ≤ 4 теңсіздігін қанағаттандырса, (19)
теңсіздік, демек (18) теңдік орындалады.

Интервал, сегмент, маңай.
Математикалық интервал, сегмент, маңай деп аталатын нақты
сандардан құралатын жиындар қарастырылады. Нақты сандар α және b
берілген және α b делік. а х b теңсіздігін қанағаттандыратын
нақты сандардың жиыны интервал деп аталады және
(а, b) арқылы таңбаланады. а және b сандары интервалдың құрамына
кірмейді, олар интервалдың шеттері деп аталады, дәлдеп айтқанда: а
– сол жақ шеті, b – оң жақ шеті. Айырым b – а интервалдың ұзындығы
деп аталады. (а, b) интервалының геометриялық бейнесі – түзудің
бойындағы а және b нүктелерінің арасында жататын барлық нүктелердің
жиыны
а ≤ х ≤ b шартын қанағаттандыратын нақты сандардың (х – тердің)
жиыны сегмент немесе кесінді деп аталады және [а, b] түрінде
белгіленеді.
а және b сандары сегменттің құрамында болады, сонымен бірге
ол сандар [а, b] сегментінің шеттері деп аталады, ал b – а айырымы
сегменттің ұзындығы деп аталады.
а ≤х b шартын қанағаттандыратын нақты сандардың (х – тердің)
жиыны жартылай сегмент деп аталады да, [а, b) түрінде белгіленеді
Жартылай интервал ұғымының анықтамасы да сол сияқты, бұл
(а, b] түрінде белгіленеді .
Таңбаларды бірыңғай түрге келтіру мақсатында барлық нақты
сандар жиынын (-∞, +∞) символымен белгілейміз. Демек, барлық нақты
сандар жиыны мына түрде жазылады:
- ∞ х +∞
Бұл сияқты мына символдар да енгізіледі: (а, + ∞) түрінде а –
дан артық сандардың жиынын, [а, + ∞) арқылы х ≥ а шартын
қанағаттандыратын сандардың жиынын, (- ∞, b) арқылы х b шартын
қанағаттандыратын сандардың жиынын белгілейміз. Шеткі а және b
нүктелерінің қарастырылып отырған жиындарға кіру – кірмеуінің әдейі
маңызы болмаса, жоғарыда әр біреуіне жеке анықтамалар берілген
жиындар – интервал, сегмент, жартылай интервал, жартылай сегмент –
біріктіріліп бір атпен аралық деп аталады.
Енді нүктенің маңайы деген ұғым ендірелік.
Кез келген оң сан δ 0 және қандай да болса бір нақты
сан а берілген делік.
а – δ х а + δ немесе Іх – аІ δ теңсіздігін
қанағаттандыратын нақты сандардың (х – тердің) жиыны а нүктесінің
маңайы деп аталады. Басқаша айтқанда: а нүктесінің маңайы деп сол
нүкте қақ ортасы болатын кез келген (а – δ, а + δ) интервалын
айтады
а нүктесі маңайдың центрі, δ саны – маңайдың радиусы деп
аталады.

Мысалдар :
1. х – тің қандай мәндері үшін
(1)
теңдігі орындалады?
Шешу. (1) теңдіктің оң жағындағы қосылғыштар оң сандар мен
нольдер ғана бола алады. Сондықтан сол жағындағы қосылғыштар да оң
сандар мен нольдерге ғана тең болуы тиіс. Демек, теңдіктің сол
жағындағы қосылғыштардың әр біреуін алып қарастыруымыз керек, яғни
х² + 1 = 0 (х²+1) нольге тең болмайды);
5 – х ≥0. Бұдан х ≤5 болуы тиіс;
10 – х ≥ 0. Бұдан х ≤ 10 болуы тиіс;
Егер х ≤ 5 болса, үш теңсіздіктің үшеуі де бірден
орындалады. Сөйтіп, (1) теңдіктің шешуі -∞ х ≤ 5, дәлірек айтқанда
(-∞, 5] жартылай интервалы болады (13 – чертеж).

3. (1)
теңсіздігін қанағаттандыратын х – тің мәндерін табу керек.
Шешу. теңсіздігі мына үш жағдайда ғана орындалады:
а) а және b сандары әр түрлі таңбалы болса;
б) а және b сандарының таңбалары бірдей болып, болса;
в) а =0 болып, b ≠ 0 болса.
Бұл жағдайлар (1) теңсіздік үшін мына ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.