Гармониялық тербелістің энергиясы
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық Қазақ-Түрік университеті
Жаратылыстану факультеті
Кибишева Б
Тақырыбы: Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық
осциллятор теориясын қолдану
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
050604-мамандығы – Физика
Түркістан 2010ж
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық Қазақ-Түрік университеті
Жаратылыстану факультеті
Қорғауға жіберілді
Физика кафедрасының меңгерушісі
__________ ф.–м.ғ.д., профессор Бақтыбаев
А.Н
–––– ––––––––––2010ж
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық
осциллятор теориясын қолдану
050604-мамандығы бойынша – Физика
Орындаған: Б.
Кибишева
Ғылыми жетекшісі: физ-мат. ғ. к.
Б. Бекмурзаев
Түркістан 2010ж
Мазмұны
Кіріспе ... ...4
I тарау. Тербелістер туралы жалпы
мәліметтер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 6
Гармониялық
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
6
Гармониялық тербелістің
энергиясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...10
Гармониялық
осциллятор ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..11
Системаның тепе-теңдік қалпының маңындағы болымсыз
тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
Математикалық
маятник ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..15
II тарау. Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық осциллятор
теориясын
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..17
1. Сызықты гармониялық
осциллятор ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 17
2. Сызықты гармониялық осциллятордың кванттық энергиясы ... ... ..20
3. Сызықты осциллятордың қалыпты және қозған
күйі ... ... ... ... ... ... 23
4. Өзара байланысқан осцилляторлар. Ван-дер-Ваальс күштері ... ... ..28
5. Үш өлшемді потенциал жәшіктегі
бөлшек ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... 33
6. Сызықты гармониялық осциллятордың теориялық физикада
қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..36
7. Бірөлшемді қозғалыс теңдеуінің жалпы
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . .41
ІІІ тарау. Кванттық механика және Шредингер
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... .45
3.1. Шредингер
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...45
2. Шрадингер теңдеуі және
кванттау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
3. Гармониялық
осциллятор ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ...51
4. Бірөлшемді потенциалдық
шұңқырлар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .53
5. Гамильтон теңдеуі. Фазалық
кеңістік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
..58
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 62
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .64
КІРІСПЕ
Гармониялық осциллятор кванттық-механикалық есептерді шешуде
қолданатын модель. Гармониялық осциллятор өзінің симметрия қасиетімен
көптеген физиканың есептерінде кездеседі. Осциллятор теориясын жасау үлкен
практикалық маңызы бар. Себебі, көптеген есептерді шешкен кезде Шредингер
теңдеуін қолданамыз. Біздің жұмысымызда гармониялық осциллятор атомдық,
молекулалық және ядролық физикада қолданылуын көрсету болып табылады.
Тербелістер деп белгілі бір дәрежеде қайталағыштығымен айқындалатын
процесстерді айтады. Мысалы, сағат маятнигінің тербелуі, ішектің немесе
камертон таяқшасының тербелісі, радиоқабылдағыш контурының конденсатор
астарларындағы кернеу және т.б. осындай қайталағыштық қасиетке ие болады.
Қайталанатын процесстің физикалық табиғатына байланысты тербелістер:
механикалық, электромагниттік, электромеханикалық және т.б. түрге бөлінеді.
Тербелістер табиғат пен техникада кеңінен таралған. Көптеген жағдайда
олар зиянды роль атқарады. Рельс арқылы поэзд дөңгелегінің өтуі кезіндегі
соққы салдарынан пайда болатын көпірдің тербелісі, еспе винттің айналуы
салдарынан корабль қорабының тербелісі (вибрациясы), самолет қанаттарының
вибрациясы тәрізді процестер апатқа ұшыратуы мүмкін. Мұндай жағдайда міндет
– тербелісті алдын ала болдырмау немесе ең болмағанда тербелісті қауіпті
мөлшерге жеткізбеу.
Сонымен қатар, тербелмелі процестер техниканың түрлі салаларының
негізін қалайды. Мысалы, бүкіл радиотехника тербелмелі процестерге
негіздеоген.
Тербелмелі системаға жасалатын әсердің сипатына қарай еркін (немесе
меншікті) тербелістер, еріксіз тербелістер, автотербелістер және
параметрлік тербелістер болып ажыратылады.
Еркін немесе меншікті тербелістер деп қозғалысқа келтірілгеннен кейін
немесе орнықты қалпынан шығарылғаннан соң өзімен-өзі қалатын системада
өтетін тербелістарді айтады. Жіпке ілінген шариктің (маятник) тербелісі
осыған мысал бола алады. Қозғалысты тудыру үшін шарикті түртіп жіберу керек
немесе оны бір жағына тартып апарып қоя беру керек.
Еріксіз тербелістер деп тербелмелі система әлсін-әлі өзгеріп отыратын
сыртқы күштің әсеріне кез болатын тербелістерді; алайда бұл әсерлер жүзеге
асатын уақыт мезетінде тербелмелі системаның өзі белгілейді – сыртқы
әсерлерді системаның өзі басқарады. Жоғары көтерілген гирдің немесе
бұралған пружинаның энергиясы есебінен маятнигі түрткі алатын (қозғалысқа
келетін) сағат осыған мысал бола алады. Бұл түрткілер маятник ортаңғы
қалпынан өтер кезде беріледі. Параметрлік тербелістер кезінде сыртқы әсер
салдарынан системаның қандай да болсын параметрі, мысалы, тербеліс жасап
тұрған шарик ілінген жіптің ұзындығы, периодты түрде өзгереді.
Гармониялық тербелістер, яғни тербелетін шама (мысалы, маятниктің
ауытқуы) уақыт бойынша синус не косинус заңына сәйкес өзгеретін тербелістер
қарапайым тербелістер қатарына жатады. Бұл тербелістер мына себептерден есе
маңызды деп саналады: біріншіден табиғаттағы және техникадағы тербелістер
көбінесе гармониялық тербелістерге жақын сипатта болады, және екіншіден
басқа түрдегі периодты процестерді (уақытпен басқаша тәуелділікте болатын)
бірнеше гармониялық тербелістердің қосылуы ретінде қарастыруға болады.
Гармониялық осциллятор тепе-теңдік қалыптың маңында гармониялық
тербеліс жасайтын, система болып табылады. m массалы бөлшек тепе-теңдік
жағдайдан ауытқуға пропорционал және бағыты тепе-теңдік күйге бағытталған
күш әсерінен қозғалсын дейік. Мұндай тербелістік жүйе сызықты гармониялық
осциллятор деп аталады. Бұған мысал ретінде серпімді пружинаға ілінген ауыр
шарды алсақ болады. Электр өрісінің әсерінен тербелетін электрон сызықты
гармониялық осциллятор бола алады. Өріс әсерінен қозғалатын электронға әсер
етуші күш тепе-теңдік күйінен ауытқуының бірінші дәрежесіне пропорционал
және осы тепе-теңдік күйге қарай бағытталады.
І тарау. Тербелістер туралы жалпы мәліметтер
1.1. Гармониялық тербелістер
Пружинаға ілінген, массасы m шариктен тұратын системаны қарастырайық
(1-сурет). Тепе-теңдік күйінде mg күші k∆l0 серпімділік күшімен
теңгеріледі.
(1.1)
Шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуын х координатасымен сипаттаймыз,
әрі х осін вертикаль бойымен төмен бағыттаймыз, ал осьтің нолін шариктің
тепе-теңдік қалпымен үйлестіреміз.
1-сурет. Пружинаға ілінген, массасы m шариктен тұратын система.
Егер шарикті тепе-теңдіктен х-қа (х алгебралық шама) тең қашықтыққа
ығыстырсақ, онда пружинаның ұзаруы ∆l0+x шамасына тең болады және қорытқы
күштің х осіне проекциясы (бұл проекцияны жай ғана f әрпімен белгілейік)
мынадай мән қабылдайды:
(1.1) формуласындағы тепе-теңдік шартын ескере отырып, төмендегіні
аламыз:
(1.2)
(1.2) формуласындағы – ығысу мен күштің бағыттары қарама қарсы
екендігін білдіреді: егер шариктің тепе-теңдік қалпынан төмен қарай (x0)
ығысса, күш жоғары (f0) бағытталады, шарик жоғары қарай (x0) ығысқанда
күш төмен (f0) бағытталады. Сонымен f күшінің төмендегідей қасиеттері бар:
1) ол шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуына пропорционал, 2) ол әрқашанда
тепе-теңдік қалпына қарай бағытталған.
Біз қарастырған мысалда (1.2) күш шынында да, өзінің табиғаты бойынша
серпімді. Басқа тектегі күштерде де осындай заңдылық байқалуы мүмкін, яғни
–kx шамасына тең болуы мүмкін, мұндағы k – тұрақты оң шама. Табиғатына
қарамастан, мұндай күштерді квазисерпімді деп атау келісілген.
Системаға х ығысу беру үшін, квазисерпімді күшке қарсы төмендегідей
жұмыс істеуі керек:
.
Бұл жұмыс системаның потенциялдық энергиясының қорын жасауға
жұмсалады. Демек, квазисерпімді күш әсер ететін, система, тепе-теңдік
қалпынан х қашықтыққа ығысқанда төмендегідей потенциялдық энергияға ие
болады (тепе-теңдік қалыптағы потенциялдық энергияны нольге тең деп
ұйғарамыз):
(1.3)
(1.3) өрнегі деформацияланған пружинаның потенциялдық энергиясына
арналған өрнегіне сәйкес келеді.
1-суретте кескінделген системаға қайта оралайық. Шарикке x=a ығысу
беріп, одан соң системаны өзімен-өзін қалдырайық. f=kx күшінің әсерінен
шарик тепе-теңдік қалыпқа қарай үнемі артып отыратын жылдамдықпен
қозғалады. Бұл кезде системаның потенциялдық энергиясы кеми бастайды (2-
сурет), бірақ оның орнына үнемі артып келе жатқан кинетикалық энергия
пружинаның массасын ескермейміз) пайда болады. Тепе-теңдік қалпына келген
соң шарик, инерция бойынша қозғала береді. Бұл қозғалыс кемімелі қозғалыс
болады және кинетикалық энергия толығымен потенциялдық энергияға
айналғанда, яғни шариктің ығысуы – а-ға тең болғанда тоқталады. Одан соң
шарик кері бағытта қозғалғанда дәл осындай процестер өтеді. Егер системада
үйкеліс болмаса, системаның энергиясы сақталуға тиіс және шарик x=a-дан x=-
a-ға дейінгі аралықта шексіз ұзақ қозғала береді.
2-сурет. Системаның потенциялдық энергиясының кемуі.
Шарикке арналған Ньютонның екінші заңы былай жазылады:
.
Бұл теңдеуді төмендегідей етіп түрлендірейік:
(1.4)
х-тағы коэффициент оң. Сондықтан оны мынадай түрде жазуға болады:
(1.5)
мұндағы – заттық шама.
(1.4) өрнегіне (1.5) өрнегіндегі белгілеуді қолдана отырып, мынаны
аламыз:
(1.6)
Сонымен, (1.2) түріндегі күштің әсерінен болатын шарик қозғалысы
екінші реттік біртекті дифференциалдық теңдеулер арқылы зерттеледі.
Ауыстыру арқылы (1.2) теңдеуінің жалпы шешімі төмендегідей
болатындығына оңай көз жеткізуге болады:
(1.7)
мұндағы а және α – кез келген тұрақты шамалар. Сонымен х ығысу уақыт
бойынша косинус заңына сәйкес өзгереді. Демек, f=-kx түріндегі күштің
әсерінде болатын системаның қозғалысы гармониялық тербеліс болып табылады.
Гармониялық тербеліс, яғни (1.7) функциясының графигі 3-суретте
көрсетілген. Горизонталь оське t уақыт, ал вертикаль оське х ығысу
салынған. Косинус –1-ден +1-ге дейін өзгеретіндіктен, х-тің мәні –а-дан +а-
ға дейінгі аралықта жатады.
3-сурет. Гармониялық тербелістің графигі.
Системаның тепе-теңдік қалпының ең үлкен ауытқуы тербеліс амплитудасы
деп аталады. Тербеліс амплитудасы а– тұрақты оң шама. Оның мәні, системаны
тепе-теңдік қалыптан шығарған, алғашқы ауытқудың немесе түрткінің шамасымен
анықталады.
Косинус таңбасының астында тұрған шамасы тербеліс фазасы деп
аталады. Α тұрақтысы фазаның t=0 уақыт мезетіндегі мәні болып табылады және
ол тербелістің бастапқы фазасы деп аталады. Санау уақытының басы өзгергенде
де өзгереді. Демек, бастапқы фаза санау уақытының басын таңдап алуға
байланысты өзгереді. 2π бүтін санын фазаға қосқанда немесе одан алып
тастағанда х-тің мәні өзгермейтіндіктен, бастапқы фазаны модулы бойынша
әрқашан да π-ден кіші деп алуға болады. Сондықтан, көбінесе, α-ның –π-ден
+π-ге дейінгі аралықта жатқан мәндері ғана қарастырылады.
Косинус – периоды 2π-ге тең периодты функция болғандықтан, гармониялық
тербеліс жасайтын системаның әр түрлі күйі тербеліс фазасы 2π-ге тең өсімше
қабылдайтындай Т уақыт аралығы сайын қайталанады (2-сурет). Осы Т уақыт
аралығы тербеліс периоды деп аталады. Оны төмендегі шарттан анықтауға
болады:
осыдан
(1.8)
Бірлік уақыт ішіндегі тербеліс саны ν тербеліс жиілігі деп аталады. ν
жиіліктің бір тербеліс ұзақтығымен төмендегі қатынас арқылы
байланысатындығы белгілі:
(1.9)
Жиілік бірлігі үшін периоды 1 сек-ке тең тербеліс жиілігі алынады. Бұл
бірлікті герц (гц) деп атайды. 103гц жиілік килогерц (кгц), 106 гц–
мегагерц (мгц) деп аталады.
(1.8) өрнегінен төмендегіні алуға болады:
(1.10)
Сонымен, шамасы 2π секунд ішіндегі тербеліс санын береді.
шамасын дөңгелектік немесе циклдік жиілік деп атайды. Ол әдеттегі ν
жиілікпен төмендегі қатыс арқылы байланысады:
(1.11)
(1.7) өрнегі уақыт бойынша дифференциалдап, жылдамдыққа арналған
өрнекті аламыз:
(1.12)
(1.12) өрнегінен, жылдамдық та гармониялық заң бойынша өзгеретіндігін
әрі жылдамдық амплитудасы шамасына тең болатындығын көреміз. (1.7)
және (1.12) өрнектерін салыстырудың жылдамдық ығысудан фазасы бойынша
шамасына озып кететіндігі шығады.
(1.12) өрнегін тағы да уақыт бойынша дифференциалдап, үдеуге арналған
өрнекті табамыз:
(1.13)
4-сурет. Ығысу, жылдамдық және үдеуге арналған график.
(1.13) өрнегінен үдеу мен ығысу қарама-қарсы фазада жататындығы
көрінеді. Мұның өзі ығысу ең үлкен оң мәніне жеткенде, үдеудің шама жағынан
ең үлкен теріс мәніне жететіндігін және керісінше болатындығын көрсетеді.
4-суретте ығысу, жылдамдық және үдеуге арналған графиктер
келтірілген.
Әрбір нақты тербеліс а амплитуда мен бастапқы фазаның белгілі бір мәні
бойынша сипатталады. Берілген тербеліс үшін бұл шамалардың мәндері бастапқы
шарттардан, яғни х0 ауытқу және уақыттың бастапқы мезетіндегі
жылдамдықтың мәндерінен анықталады.
Шынында да, (1.7) және (1.12) өрнектеріндегі t=0 деп ұйғарып, екі
теңдеу аламыз:
, ,
осылардан төмендегіні табамыз:
(1.14)
(1.15)
Α-ның –π-ден +π-ге дейінгі интервалда жатқан екі мәні (1.15) теңдеуін
қанағаттандырады. Бұл мәндерден косинус пен синустың таңбасы дұрыс болатын
мәнді алу керек.
2. Гармониялық тербелістің энергиясы
Квазисерпімді күш консервативті күш болып саналады. Сондықтан
гармониялық тербелістің толық энергиясы тұрақты болып қалуы керек. Жоғарыда
айқындағанымыздай, тербеліс процесінде кинетикалық энергияның потенциалдық
энергияға және керісінше түрленуі байқалады. Тепе-теңдік қалыптан ең үлкен
ауытқу мезеттерінде Е толық энергия, өзінің Еpmax ең үлкен мәніне жететін
потенциалдық энергиядан ғана тұрады:
(1.16)
Ал система тепе-теңдік қалып арқылы өткенде толық энергия осы мезетте
өзінің ең үлкен Ekmax мәніне ие болатын кинетикалық энергиядан ғана тұрады:
(1.17)
(жоғарыда жылдамдық амплитудасы шамасына тең болатындығы көрсетілген).
(1.5) өрнегі бойынша болатындықтан, (1.5) және (2.2) өрнектерінің бір-
біріне тең екендігі оңай байқалады.
Гармониялық тербелістің Ек кинетикалық және Ер потенциалдық
энергиялары уақыт бойынша қалай өзгеретінін айқындайық.
Кинетикалық энергия [х үшін (1.12) өрнегін қараңыз] төмендегі өрнек
арқылы анықталады:
(1.18)
Потенциалдық энергия мына формуламен өрнектеледі:
(1.19)
(1.18) және (1.19) өрнектерін (1.5) қатысын ескере отырып қоссақ,
төмендегіні аламыз:
(немесе )
(1.20)
бұл (1.16) және (1.17) өрнектерімен сәйкес келеді. Сонымен гармониялық
тербелістің толық энергиясы шынында да тұрақты болады екен.
Тригонометриядағы белгілі формулаларды пайдаланып, Ек және Ер
шамаларына арналған өрнектерді мына түрде жазуға болады:
(1.21)
(1.22)
мұндағы Е системаның толық энергиясы. (1.21) және (1.22) формулаларынан Ек
және Ер шамалары жиілікпен, яғни гармониялық тербеліс жиілігінен 2
есе артық жиілікпен өзгеретіндігі көрінеді. 5-суретте х, Ек, Ер шамаларының
графиктері салыстырмалы түрде берілген. Синустың квадраты мен косинустың
квадраттарының орташа мәні жартыға тең екендігі белгілі. Демек, Ек
шамасының орташа мәні Ер шамасының орташа мәнімен сәйкес келеді және ол Е2-
ге тең.
5-сурет. х, Ек, Ер шамаларының графиктері.
3. Гармониялық осциллятор
Гармониялық осциллятор тепе-теңдік қалыптың маңында гармониялық
тербеліс жасайтын, система болып табылады.
(1.23)
мұндағы – тұрақты оң шама [(1.6) формуласын қараңыз], теңдеуімен
сипатталған система гармониялық осциллятор (немесе гармониялық вибратор)
деп аталады.
(1.23) теңдеуінің шешімі төмендегідей түрде жазылатындығы бізге
бұрыннан белгілі:
(1.24)
Жоғарыда айтылғандай гармониялық тербелістер үшін алынған нәтижелер,
гармониялық осциллятор үшін де дұрыс екендігі белгілі. Тағы да екі мәселені
қосымша қарастырайық.
Гармониялық осциллятордың импульсін табайық. (1.24) өрнегін уақыт
бойынша дифференциалдап және алынған нәтижені осциллятордың m массасына
көбейтіп, төмендегіні аламыз:
(1.25)
Осциллятордың х ауытқуымен сипатталатын әрбір жағдайында импульстің
кейбір р мәні болады. р шамасын х шамасының функциясы ретінде табу үшін
(1.24) және (1.25) теңдеулерінен t уақытты шығару керек. Ол үшін аталған
теңдеулерді мына түрде жазайық:
,
.
Бұл өрнектерді квадраттап және қосу арқылы мынаны аламыз:
(1.26)
6-суретте гармониялық осциллятордың р импульсінің х ауытқуға
тәуелділігің графигі кескінделген.
р,х координата жазықтығын фазалық жазықтық деп, ал оған сәйкес келетін
графикті фазалық траектория деп атайды. (1.25) формуласымен сәйкес
гармониялық осциллятордың фазалық траекториясы жарты осьтер а және
болатын эллипс болып табылады.
Фазалық траекторияның әрбір нүктесі х ауытқуды және р импульсті, яғни
уақыттың кейбір мезетіндегі оциллятордың күйін кескіндейді. Уақыт өткен
сайын күйді кескіндейтін нүкте (қысқаша оны бейнелеуші нүкте деп атайды)
фазалық траектория бойымен қозғала отырып, тербеліс периоды ішінде оны
толық бір айналып шығады.
Бейнелеуші нүктенің қозғалысы сағат тілінің қозғалысы бойынша
бағытталатындығына оңай көз жеткізуге болады. Шынында да, (n – бүтін
сан) болатын уақыт мезетін алайық. Бұл уақыт мезетіне x=a және p=0 (6-
суреттегі 1 нүктесін қараңыз) сәйкес келеді. Одан арғы уақыт мезеттерінде х
кеми береді, ал р модулы бойынша үнемі өсіп отыратын теріс мәндер
қабылдайды. Демек, бейнелеуші нүкте 6-суретте стрелкамен көрсетілген
бағытта, яғни сағат тілінің қозғалысы бойынша қозғалады.
6-сурет. Гармониялық осциллятордың р импульсінің х ауытқуға
тәуелділігі.
Эллипстің ауданын табайық. Ол эллипс жарты осьтерінің π-ге
көбейтіндісіне тең екендігі белгілі:
(1.20) формуласы бойынша осциллятордың толық энергиясы;
шамасы -ге тең, мұндағы – берілген осциллятор үшін тұрақты шама
болып саналатын осциллятордың меншікті жиілігі.
Демек, эллипстің ауданын мына түрде бере алады:
,
бұдан,
Сонымен гармониялық осциллятордың толық энергиясы эллипстің ауданына
пропорционал болады, әрі пропорционалдық коэффициентін осциллятордың
меншікті жиілігі атқарады.
Эллипстің ауданын интегралы ретінде есептеуге болады. Сондықтан
(1.20) формуласын мынадай түрге келтіруге болады.
Соңғы қатыс кванттық механиканың негізін жасауда үлкен роль атқарады.
Енді осциллятордың әр түрлі қалыпта байқалу ықтималдығы жайлы мәселені
қарастырайық. Осциллятордың жылдамдығы тепе-теңдік қалпынан өткен мезетте
ең үлкен мәніне жетеді. Тепе-теңдік қалыптан ең үлкен ауытқыған мезетте
жылдамдық нольге айналады.
Осыдан, осцилляторды өзінің шеткі қалыптарының бірінде байқау
ықтималдығы, оны тепе-теңдік қалпының маңынан байқау ықтималдығынан артық
болады. Бұл жағдай ықтималдық тығыздығы деп аталатын шамасын
анықтайтын қисық сызық кескінделген 7-сурет арқылы түсіндіріледі.
7-сурет. Ықтималдық тығыздығы деп аталатын шамасын анықтайтын қисық
сызықтың кескіні.
Осциллятордың берілген аралығында болу ықтималдығын табу
үшін, сәйкес жердегі қисық сызықтың ординатасын шамасына көбейту
керек. Мәселен, 7-суреттегі штрихталған жолақтардың сан жағынан
осциллятордың берілген интегралының шегінде табылатын
ықтималдығына тең болады. Ықтималдық тығыздығы қисықтығының астындағы бүкіл
аудан осциллятордың – а-дан +а-ға дейінгі шектеріндегі орындарының бірінде
болғандығы ықтималдықты береді, демек, кез келген ең анық оқиғаның
ықтималдығы ретінде бірге тең болуы тиіс.
Гармониялық осциллятордың әр түрлі қалпы үшін кванттық механика бір-
бірінен алшақ түрліше нәтиже беретінін айтып өтейік.
4. Системаның тепе-теңдік қалпының маңындағы болымсыз тербелістері
Кез келген механикалық системаны қарастырайық, оның орны х арқылы
белгіленетін бір шама бойынша берілуі мүмкін, бұл жағдайда ситеманың бір
еркіндік дәрежесі бар делінеді.
Системаның орнын анықтайтын х шамасы кейбір жазықтықтан бастап
есептелетін бұрыш немесе берілген қисық сызықтың бойымен есептелетін
қашықтық, атап айтқанда, түзу, сызықтар т.б. болуы мүмкін. Системаның
потенциялдық энергиясы бір айнымалы х-тің функциясы болады: . Санаудың
басы х-ті, системаның тепе-теңдік қалпында х нольге тең болатындай етіп
аламыз. Онда функциясының x=0 болғанда минимумы болады.
функциясын х-тің дәрежесі бойынша қатарға жіктейміз, сонымен қатар х-тің
жоғарғы дәрежелерін ескермеуге болатындай әлсіз тербелістерді қарастырумен
шектелмекпіз.
Маклерон формуласы бойынша
(х аз болғандықтан қалған х мүшелерін ескермейміз).
x=0 болғанда функциясының минимумы болатындықтан да нольге
тең, ал оң. Мынадай белгілеу енгізейік:
(k0).
Сонда
(1.27)
(1.27) өрнегі квазисерпімді күш әсер ететін (b константасын нольге тең
деуге болады) системаның потенциалдық энергиясына арналған (1.3) өрнегімен
бірдей. қатысын пайдаланып, системаға әсер ететін күшті табуға
болады:
Сонымен тепе-теңдік қалыптан болымсыз ауытқу кезіндегі потенциалдық
энергия ығысудың квадраттық функциясы, ал системаға әсер ететін күш
квазисерпімді күштің түріндей болады.
Демек, тепе-теңдік қалыптан болымсыз ауытқу кезінде, кез келген
механикалық система гармониялық тербеліске жақын тербеліс жасайды.
5. Математиаклық маятник
Математиаклық маятник деп салмақсыз және созылмайтын жіпке ілінген,
массасы бір нүктеге жинақталған идеалданған системаны айтады. Ұзын жіңішке
жіпке ілінген шағын ауыр шарик едәуір дәрежеде математиаклық маятникке
жақындайды.
8-сурет. Маятниктің тепе-теңдік қалыптан ауытқуы.
Маятниктің тепе-теңдік қалыптан ауытқуын жіптің вертикальмен жасаған
бұрышы арқылы сипаттаймыз (8-сурет). Маятник тепе-теңдік қалыптан ауытқыған
кезде шама жағынан mglsinφ-ге тең (т – маятниктің массасы, ал l – оның
ұзындығы) айналдырушы мезет пайда болады. Ол маяникті тепе-теңдік қалпына
келтіруге тырысатындай болып бағытталады және бұл жағынан квазисерпімді
күшке ұқсас. Сондықтан, ығысу мен квазисерпімді күш тәрізді М моменті мен
бұрыштық ығысуына қарама-қарсы жазу керек.
Демек, айналмалы моментке арналған өрнек мына түрде жазылады:
(1.28)
Маятник үшін айналмалы қозғалыс динамикасының формуласын жазамыз.
Бұрыштық үдеуді арқылы белгілеп және маятниктің инерция моменті
шамасына тең екендігін ескере отырып, мынаны аламыз:
Соңғы теңдеуді мына түрге келтіруге болады:
(1.29)
Әлсіз тербелістерді қарастырумен шектелеміз. Бұл жағдайда деп
ұйғаруға болады. Сонымен бірге
(1.30)
белгілеуін енгізе отырып, біз төмендегі теңдеуге келеміз:
(1.31)
бұл пружинаға ілінген шарикке арналған (1.6) теңдеуіне ұқсас теңдеу. Оның
шешімі
(1.32)
түрінде жазылады.
Демек, әлсіз тербеліс кезіндегі математикалық маятниктің бұрыштық
ауытқуы гармониялық заң бойынша өзгереді. (1.30) өрнегінен байқалғандай,
математикалық маятниктің тербеліс жиілігі маятниктің ұзындығы мен ауырлық
үдеуіне ғана байланысты болады, ал маятник массасына тәуелді болмайды.
(1.30) формуласын ескеріп (1.8) формуласы бойынша математикалық маятниктің
мектеп курсынан белгілі өрнегі алынады.
(1.33)
(1.29) теңдеуін шешіп, тербеліс периодына арналған төмендегі формуланы
алуға болатынын ескерейік:
,
мұндағы а– тербеліс амплитудасы, яғни маятник тепе-теңдік қалыптан
ауытқыған ең үлкен бұрыш.
ІІ тарау. Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық осциллятор
теориясын қолдану
1. Сызықты гармониялық осциллятор
m массалы бөлшек тепе-теңдік жағдайдан ауытқуға пропорционал және
бағыты тепе-теңдік күйге бағытталған күш әсерінен қозғалсын дейік. Мұндай
тербелістік жүйе сызықты гармониялық осциллятор деп аталады. Бұған мысал
ретінде серпімді пружинаға ілінген ауыр шарды алсақ болады (9-сурет).
Электр өрісінің әсерінен тербелетін электрон сызықты гармониялық осциллятор
бола алады. Өріс әсерінен қозғалатын электронға әсер етуші күш тепе-теңдік
күйінен ауытқуының бірінші дәрежесіне пропорционал және осы тепе-теңдік
күйге қарай бағытталады. Жоғарыдағы көрсетілген күйдегі күштер
квазисерпімді деп аталады.
9-сурет. Серпімді пружинаға ілінген ауыр шар.
Сызықты осциллятордағы бөлшек түзу сызықпен қозғалғандықтан осы түзуді
координата өсі ретінде алсақ болады. Ол х өсі болсын, координата басы
бөлшектің тепе-теңдік күйі болсын (10-сурет).
(2.1) f – тұрақты
пропорционалдық коэффициент, оның шамасы х=1 болған кездегі күшке тең және
квазисерпімді күштің тұрақтысы деп аталады. (2.1) теңдеуін төмендегідей
түрлендірейік:
(2.2)
10-сурет. Сызықты осциллятордағы бөлшектің түзу сызықпен қозғалуы.
екендігін ескерсек,
(2.3)
(2.4)
,
(2.5)
Сызықты дифференциалдық теңдеулердің қасиеттерінен (2.5) теңдеуінің
шешімі:
(2.6) болады. с1, с2 – тұрақты шамалар. Бұл
тұрақтыларды бастапқы t=0, x=x0, шарттарынан тапса болады. c1=x0,
және (2.6) теңдеуінің көрінісі төмендегідей болады:
(2.7)
(2.6) теңдеуін басқаша көрініске келтірейік. с1 -ді жақшадан шығарсақ:
болады.
деп,
,
немесе деп белгілесек, онда мына көрініске келеді:
(2.8) а және δ – жаңа тұрақтылар. (2.8)
теңдеуіндегі қозғалыс периодты деп есептелінеді және бұл теңдеудегі уақыт
периодты функция құрамына енеді. Т уақыт аралығы
– бұрыштық жиілік, ал Т –периодқа кері болған ν – сызықты жиілік
деп аталады:
(2.3) теңдеуден мына келіп шығады:
(2.9)
.
(2.10)
Енді осциллятор энергиясын келтіріп шығарайық. Кинетикалық энергия
, немесе екенін ескерсек, онда мынаны аламыз:
(2.11)
Бөлшек тепе-теңдік күйде болған кездегі мәнін потенциалдық энергияның
нөлдік мәні десек, х координата өсіндегі белгілі жағдайдағы потенциалдық
энергия
(2.12)
болады. (2.8) теңдеуіндегі х-ті және (2.9) теңдеуіндегі екенін
ескерсек, мынаны аламыз:
(2.13)
(2.11) мен (2.13) теңдеулерін пайдаланып, толық энергияны табайық:
(2.14)
(2.11) мен (2.13) теңдеуінен кинетикалық және потенциалдық энергияларының
уақыт бойынша өзгеруі синустың және косинустың квадраттарындай өзгереді.
Сондықтан, энергияның орташа мәнін табу үшін синустың және косинустың
квадраттарының мәнін табумен шектелсек, жеткілікті, фазалық тұрақты δ
ешқандай мәнді білдірмейді. Т период ішіндегі орташа мәндері
(2.15)
(2.16)
Уақыт аралығындағы және -тардың орташа мәндерін периодпен
салыстырғанда үлкен -ді осындай аралықта .
бірақ , және егер , онда өте үлкен сан, өйткені үлкен
уақыт аралығында
және
Сонымен, период ішіндегі орташа кинетикалық энергия немесе (2.11) мен
(2.15) салыстарғанда өте үлкен.
(2.17)
ал орташа потенциалдық энергия
(2.18)
(2.17), (2.18) және (2.14)-ті салыстарсақ,
(2.19) Бұл теңдеу сызықты гармониялық
осциллятор үшін орташа үлкен уақыт аралығында кинетикалық және орташа
потенциалық энергиясына тең және екеуі де жарты толық энергияға тең
екендігін көрсетеді.
U потенциалдық энергияның жылжудың квадратына пропорционал екенін
білсек, гармониялық осциллятордың сызығы парабола екендігін анықтауға
болады (11-сурет).
11-сурет. Гармониялық осциллятордың сызығы парабола түрінде кескінделген.
2. Сызықты гармониялық осциллятордың кванттық энергиясы
Атом физиикасында гармониялық осциллятор негізгі модель болып
саналады. Гармониялық осциллятордың потенциалдық энергиясы
(2.20)
– классикалық механикадағы осциллятордың тербеліс жиілігі.
12-сурет. Потенциалдық жәшіктегі пайда болатын көлденең толқындар.
12-суретте көрініп тұрғандай ол параболаның көрінісі жәшікке ұқсайды.
Макроскопиялық осциллятордағы есептерді шешу үшін потенциалдық жәшіктегі
пайда болатын көлденең толқындарды қарастыру керек. Бұл жерде математикалық
есептеу өте күрделене түседі. Жәшіктің шектеріндегі потенциалдық энергия
барлық жерінде бірдей болмайды, ол параболалық заңмен өзгереді. Сондықтан
толқын ұзындығы , жәшіктің шеткі нүктелерінде өседі, ал ортасында
кемиді. Гармониялық осциллятордағы Шредингер теңдеуінің көрінісі
(2.21)
функциясы мынадай талапты қанағаттандыруы қажет:
және қалған шарттар үшін де. Ықшамдау үшін
,
(2.22)
деп белгілейік, сонда Шредингер теңдеуінің көрінісі мынадай болады:
(2.23)
(2.23) теңдеуін интегралдау үшін алдымен х өте үлкен, . Сонда (2.23)
теңдеуіндегі λ өте кіші болғандықтан, тастап кетсек те болады.
(2.24)
болғанда, оның шешімі мынадай болады:
(2.25)
Негізінде
,
болғанда (2.24) теңдеуі (2.25) теңдеуінің шешімі болады. Оның шешімі
теріс таңбада болған кездегі шешімін аламыз,
шешім оң таңбада болғанда ол шексіз өседі.
(2.26)
– әзірге белгісіз функция.
(2.26) теңдеуінің шешімін (2.23) теңдеуіне қойып табайық.
,
(2.4) теңдеуіне қойып, - ге қысқартсақ
(2.27)
Теңдеуді қайта өңдеп, х-тің орнына
(2.28)
– өлщемсіз шама. .
,
(2.27) теңдеуінің көрінісі айнымалылармен алмастырылып және α-ға
қысқартсақ,
(2.29)
функциясының х тен -ге өзгертіп, -ні табайық.
(2.30)
шешімін табу үшін
Бұл теңдеулерді (2.29) теңдеуіне қойып, басқа өрнектерді табуға болады.
-нің дәрежелері бірдей болуы керек. коэффициенті нольге тең.
, , .
(2.31)
Бұл формула екі жұп мүшелері үшін
(2.32)
Тең мүшелері үшін
(2.33)
Бұл қатарлар (2.29) теңдеуінің шешімі болып табылады. үлкен болған
кезде (2.32) қатрарын мен салыстырайық
Сондықтан,
үлкен болған кезде
(2.34)
шамасы үлкен болған кезде
(2.35)
(2.32) теңдеуіне сәйкес формула
шамасы үлкен болған кезде
(2.36)
(2.35) және (2.36) теңдеулерін салыстырсақ мынаны аламыз:
өскен кезде (2.36) және (2.38)
(2.31) формуласы шеткі нүктелерін қанағаттандырмайды. (2.32),
болғанда, кейінгі болса, 2-ші, 3-ші қатарларында бөлінеді.
нөлге айналады.
Бұл жерге λ мен α-ның мәндерін қойсақ
Бұл жерде
(2.37)
функциясында осциллятордың толқындық теңдеуі (2.37). Бұл формуланың
ескі квант теориясынан біраз айырмашылығы бар
(2.37) формуладан сызықты осциллятордың кванттық саны болады. Төменгі
кванттық күйінде болған кезде осциллятордың энергиясы нөлге
айналмайды, бірақ
(2.38)
болады.
-дің бұл мәні нөлдік энергия деп аталады. Бұл сөздің келіп
шығуы, ол абсолюттік ноль температурада энергиясы жоғалып кетпейді.
Қорытындылай келе, бөлшектің потенциалдық жәшіктегі кванттық
энергиясы шеткі нүктелері үшін алынады. Сызықты осциллятордың табиғи
функциясын кванттық теория арқылы түсіндіріледі.
3. Сызықты осциллятордың қалыпты және қозған күйі
Сызықты осциллятордың энергиясы
өзіне тиісті функциясы
–қалыптандырушы көбейтінді. – -нің дәрежесі, (2.31)
формуладан табылады, .
Алғашқы бірнеше полиномды табайық. коэффициентін табуға
болады.
Бұдан
Сосын оңай аламыз
т.с.с.
Іздеудегі полином былай табылады:
(2.39)
(2.39) теңдеуде деп, кезектегі полиномды аламыз.
(2.40)
Бұл полином – Чебышев-Эрмит полиномы деп аталады, мұны төмендегідей жазса
да болады:
(2.41)
Негізінде, мысал үшін болған кезде
болған кезде
Әртүрлі полиномдарды есептеу үшін рекуренттік формуласынан
пайдалануға болады. Бұл формула былай келтіріліп шығарылады:
(2.42)
Сонымен,
Екі функцияның көбейтіндісінің -ші туындысының формуласы:
Бұл формуланың көмегімен төмендегі формуланы аламыз.
Нәтижеде
,
және (2.42)-тен
(2.41) теңдеуінен
(2.43)
Бұл формула , , -ді өзара байланыстыратын ізделінген
рекуренттік теңдеу болып табылады.
(2.40)-дегі полиномдар және -ден келіп шығатынын оңай
түсінуге болады. Сызықты оцсиллятордың меншікті функциясының маңызды
қасиеті бар: олар -∞ тен +∞ арасында ортогональды есептелінеді.
, болған кезде
болған кезде интеграл
Соңғы мәні ретінде көбейтіндісін келтіріп шығару мүмкін,
Бұл жерге функциясының мәнін қойсақ,
Бұдан
.
Нөлдік күйде де,
.
Сонымен, меншікті функция үшін нөлдік деңгей
,
Ал, ықтималдық тығыздық
.
– градустық қисық қателік. Ол көрініс осциллятордың тепе-теңдік
күйінен ауытқу санын анықтайды.
13-сурет. Осциллятордың тепе-теңдік күйінен ауытқуы.
Классикалық осциллятордың екі еселенген амплитудасының санын анықтау
мүмкін. А3 бұрышқа тербелетін маятникті алайық, ал шеткі нүктелеріндегі
жылдамдығы нөлге жуық болады, ал тепе-теңдік күйінде жылдамдығы үлкен
болады. Белгілі жағдайда шардың орнын табу ықтималдығы кинетикалық
энергияның түбіріне кері пропорционал болады.
Енді кванттық осциллятордың түрлі күйін қарастрайық. Нөлдік деңгейден
бастайық. Бұл осциллятордың ерекшелігі осциллятор энергиясы нөлге тең емес
. Кванттық осциллятордың энергиясы абсолют нөлде тыныштық күйде
болмайды. Біз оны белгілі ықтималдықпен белгілі бөлігінде классикалық
осциллятордың амплитудасы екі еселенеді.
Негізінде квазисерпімді бөлшектер абсолют нольде тынышталады, белгілі
координатада, импульсі анықталады. Бірақ бұл қайшылық туғызады. Нольдік
ықтималдық энергиясы табылады.
, .
, (2.44)
– классикалық осциллятордың тербелу амплитудасы. бұдан мынаны
оңай көруге болады, , өйткені,
(2.45)
(2.46)
(2.47)
,
(2.48)
(2.47) және (2.48) теңдеулерін салыстырсақ,
Осциллятордың нольдік энергиясы шындығында өте аз.
Ендігі кезде классикалық осциллятордың шеткі нүктелерінде ықтималдық
аз. Осциллятордың потенциалдық сызығы потенциалдық жәшік түрінде болады, ал
бөлшектің тербелісі тік бұрышты тосқауылдан шағылуындай болады.
14-сурет. Қозған күй кезіндегі жағдайы.
Енді қозған күй кезіндегі жағдайын көріп шығайық. 14-суретте n-нің
бірнеше мәні берілген. Оған периодты көбейтінді қоссақ, көлденең
толқын пайда болады. болса, екі түйін және максимум ортасында болады.
болса, екі шеті шексіздікте болады, екі шексіздікте
болып, тағы екі түйін болады.
15-сурет. Ықтималдық тығыздығының қисықтары.
Де-Бройл теңдеуі , – нөлдік мәнінде өте кіші болады. 15-
суретте ықтималдық тығыздығының қисықтары берілген , . Кванттық
осциллятор ең кіші n сандарында білінбейді, үлкен мәндерінде кванттық
бөлінуі классикалыққа жуық болады. Бұл жағдайды 16-суреттен болған
кезде, үздіксіз сызықтар өткізсек, классикалық сызыққа параллель
жүргізілгенін көруге болады.
16-сурет. Кванттық осциллятордың үлкен мәндерінде кванттық бөлінуі
классикалыққа жуық болуы кескінделген.
4. Өзара байланысқан осцилляторлар. Ван-дер-Ваальс күштері
Кванттық механикада, абсолют нольде де нольдік энергия болады.
,
-теңдеуінен Планк пайдаланды. Молекулярлық спектрді зерттеген кезде,
нольдік энергияның болуының өзі күтілмеген жағдай. Молекулярлық байланыс,
беттік керілу күшін анықтайды. Реал газдар үшін
Бұл теңдеу Ван-дер-Ваальс күштері деп аталады, бірақ бұл күштерді
классикалық физикада түсіндіру мүмкіндігі болмады. Ван-дер-Ваальс күштері
нейтрал атомдар мен молекулалар арасында пайда болады, өзара электр
дипольдары немесе симметриялық квадроөрістік системалар болып табылады.
Дипольдардың арасындағы күш арақашықтықтың төртінші дәрежесіне кері
пропорционал болып кемиді, ал квадроөрістердің арасындағы өзара әсерлесу
күші қашықтықтың алтыншы дәрежесіне кері пропорционал болады. Ол көрініс
молекулалық өзара әсерлесу қашықтық кері пропорционал болып тез кеми
бастайды.
Бірақ, классикалық физикада сандық түсіндіру қиындық туғызды.
Біріншіден, газдардағы молекуалық өзара әсердің болуы өте түсініксіз болды.
Бұл газдардың атомдары өте симметриялық болып келеді. Ал сұйықтарда тығыз
болғандықтан, оны молекулалық күштер деп атайды. HCl, HBг, HI галоид
сутектердегі байланыстан үлкен дипольдік момент болып табылады да, жақсы
нәтиже бермейді. Тыныштық күйде молекулалар өзара әсерлеспейді. Зарядтарды
тепе-теңдік күйге келтірсек, молекула дипольдің момент күйіне көшеді де
өзара әсер болу мүмкіндігі басталады. Мұндай ығысу негізінде өшпейтін
нольдік энергияларында туындайды. Бірақ, электр диполь моментінің
туындауынан бастап бір молекулада өріс кеңістігінде келесі диполь моменті
туындайды. Өте тез өзгеретін диполь моменттері бір-бірінен бір-біріне
тартылатын фазада орналасады. Енді, сандық көрсеткіш беретін картина
жасайық және молекулалық әсерлесуді көрейік. Алдымен өзара әсерлесетін екі
тербелісті осцилляторда қалай шешілетінін түсініп алайық.
Бір-бірінен r қашықтықта болатын екі электрлі диполь бір түзуде
жататындай болсын. Әр зарядтың массасы m, қарама-қарсы зарядтардың
қашықтығы х1, екіншісініңкі х2 болсын. Өзара тартылатын әр түрлі
зарядтардың бір-бірімен тербелетін аттас зарядтардың энергиялары Кулон
заңымен анықталады.
-дің мәні x2, x1 -ден үлкен болғандықтан бөлшектерді, жақшаларды
ашсақ келесі формула мына көріністе болады.
Ықшамдасақ,
(2.49)
көрінісіне келеді. Енді дипольдар тербелетін болсын. Аздап ығысқанда бұл
тербелістерді гармониялық тербеліс деп алуға болады. Дипольдағы зарядтардың
массалары мен әсерлесу күші өзара тең. Циклдік жиілігі :
f – тұрақты шама, квазисерпімді күштер тұрақтысы, екі дипольда да бірдей.
Осциллятордың арасындағы байланысты көрейік. Бірінші осциллятордағы
ығысу – , квазисерпімді күшті, ал екінші осцилляторда – күшін
тудырады. Диполь моментінің өзгеруінің нәтижесінде екінші осцилляторда
қосымша күш пайда болады. Бұл қосымша күштерді Ғ1 және Ғ2 деп белгілеп,
өзара әсер энергиясы U12 :
,
(2.50)
Екі осциллятор үшін де теңдеуді былай жазуға болады:
,
(2.51)
–квазисерпімді күш, бірінші осцилляторға әсерлеседі.
Екі осциллятордағы тербеліс жай тербеліс болса, олардың тербелісі
бірдей жиілікте болады.
,
(2.51) теңдеуінің шешімін аламыз, -ге қысқартсақ,
,
(2.52)
(2.52) теңдеуі біртекті және сызықты десек,
,
Бұдан жиіліктің екі мәнін табуға болады :
,
(2.53)
Бұлардың мәндерін (2.52)-ке қойсақ,
а)
b)
(2.54)
Біз осцилляторларды байланыстыратын жүйенің 2 түрлі жиілікте: біреуі аз,
екіншісінде көптеу болатынын анықтадық. Мұндай жиіліктерді нормаль
немесе негізгі деп атайды. Дәл осындай жиілікте осцилляторлар гармониялық
тербеліс жасайды. жиілікте тербелу үшін бастапқы моменті бірдей
ығысады ( симметриялық тербеліс), жиілікте тербелсе,
осцилляторлар бірдей амплитудада, бірақ қарама-қарсы фазада тербеледі
( антисимметриялық тербеліс). Екі жағдайды да 17-суреттен көруге
болады.
17-сурет. Осцилляторларды байланыстыратын 2 түрлі жүйе. Біреуі аз,
екіншісінде көптеу болатындығы кескінделген.
Бастапқы шарт (2.54) өзгеше болса, енді олардың тербелісі күрделілеу
болады. (2.51) теңдеуін жазайық.
және
,
Жалпы шешімі
(2.55)
кезінде бірінші осциллятордың ығысуы және жылдамдығы , ал
екіншісі тепе-теңдік күйде , болсын. Бұларды (2.55) –ге қойсақ,
,
,
Екінші мен төртінші теңдеу мынаны
береді, бұларды бірінші мен үшінші теңдеулерге қойсақ,
келіп шығады.
Сонымен, осцилляторлардың бастапқы тербелісі үшін
,
.
Кез келген өрнектен жай өзгеретін жиілігі мен өзгеретін көбейтіндіні
көре аламыз. Сонымен, х1, х2 тербелістері фаза жағынан максимал
амплитудамен тербелгенде, екіншісі тыныштықта болады. Біріншісінің
амплитудасы жайлап кеміген кезде екіншісінің амплитудасы арта бастайды (18-
сурет). Бұл флуктуациялар демонстрациялық тәжірибелерде бірдей маятниктерде
байқалады. Енді толық энергияны табайық. Потенциал энергия (жеке
осциллятордың), ал системаның осцилляторларымен байланысты потенциал
энергиясы .
18-сурет. х1, х2 тербелістері фаза жағынан максимал амплитудамен
тербелгенде, екіншісі тыныштықта болатындығы және біріншісінің амплитудасы
жайлап кеміген кезде екіншісінің амплитудасы арта бастайтыны кескінделген.
Сонымен,
Кинетикалық энергия
Сонымен, толық энергия
Егер осцилляторлардың өзара әсерін ескерсек, соңғы бөлшекті тастап
жіберсек, толық энергия екі осциллятордың энергияларының қосындысына тең
болады. тұрақты жилікпен тербеледі. Осциллятор бір-бірінен үлкен
қашықтықта болса ғана болады. Толық энергия T+U деп, ал жиіліктерін
өзгеретін жиілік деп қарастырылады. х1, х2 –нің жаңа координаталарын
десек,
,
,
Сонымен,
, , .
Осыларды пайдалана отырып, толық энергияның формуласын алайық:
(2.53) пен (2.50)-ді ескерсек,
. (2.56)
Алынған нәтижелерге сәйкес осцилляторлардың кванттық мәні:
, .
Толық энергия
.
(2.57)
жиіліктерін есептейік. k-нің орнына (2.50) теңдеуінен келтіріп
шығарсақ,
, , .
Енді тізбектей жасайық,
, .
келіп шығады. Бұл өрнекті (2.49)-ге қойсақ,
, (2.58)
келіп шығады. болған кезде
.
(2.59)
болады. Осцилляторлардың нольдік энергияларын ескере отырып, толық
энергия осы қосындыдан шамаға кем екендігін ескеруге болады. –
– энергиялық байланыс болып табылады.
.
(2.60)
С–тұрақты шама. (-) шама байланыс тартылуды білдіреді. Әр түрлі атомдар
үшін оптикалық шамаларын және универсал шамаларын біле отырып табуға
болады. Сонымен, молекулалық өзара әсердің энергиясын табуға болатынын
анықтадық. Сонымен, энергия кристал тордан атом немесе молекуланы босатып
алу мүмкіндігін береді. Ван-дер-Ваальс күштерінің байланысы осцилляторда
энергия пайда болуынан екендігі түсіндіріледі. Нольдік энергия .
Қорыта келе, Планк формуласын пайдаланып, (2.58) ескерсек,
негізгі күйде энергия ноль болатынын білеміз. Бұл тыныштықтағы
осциллятордың (классикалық теория негізінде) әсерлеспейтінін білдіреді және
олардың зарядтарының белгілі электр моменттері жоқ.
Сонымен, молекулалардың өзара әсер күштерінің пайда болуы нольдік
энергияға байланысты болады.
5. Үш өлшемді потенциал жәшіктегі бөлшек
Осы уақытқа дейінгі есептерде ψ функциясы тек бір координатаға тәуелді
болатын. Үш өлшемді потенциал жәшік, оның ішіндегі потенциал барлық бағытта
нольге тең болсын, бірақ оның шеттерінде шексіздікке дейін өсіп қалған
кеңістікте де осындай болсын делік. Потенциалы ноль болатын бөлігін
параллелепипедтің қабырғалары болсын
Сондықтан,
, , бұдан және
, , бұдан және
, , бұдан және
Бұл жағдайда Шредингер теңдеуінің көрінісін декарттық координата
түрінде жазамыз:
(2.61)
Бұл дифференциалдық теңдеудің шешімін қарапайым жеке туынды деп алуға
болады. ψ-ді табуда үш функцияның көбейтіндісі ретінде қарастыруға болады.
(2.62)
(2.62) –нің шешімін (2.61)-ге қойып теңдеудің екі жағын ХУZ –ке бөлсек,
(2.63)
Бұл жерде бірінші жұп мүшелері х-қа, екіншісі у-ке, ал үшіншісі z-ке
байланысты болады, ал олардың қосындысы тұрақты болып қала береді. Сонымен,
,
, .
(2.64)
Біз қарапайым үш дифференциалдық теңдеуді ажыратып алдық. Бұдан мынаны
алуға болады,
.
Бірақ, -тің орнына басқа -терді енгізейік. Мысалы, .
Сонда (2.64) теңдеуін былай жазуға болады
,
(2.65)
,
(2.66)
, .
(2.67)
.
(2.68)
Басқа екі теңдеу (2.64) теңдеуінің аналогиялық теңдеуі болады:
, .
(2.69)
, .
(2.70)
. (2.71)
Энергия тек дискретті қатарда ғана болады:
, (2.72)
.
(2.71) теңдеуінің функциясы төмендегідей анықталады: олар көлденең
толқын болып келеді, жазық түйіні, параллель жазықтық
координатасында, жазық түйіні, параллель жазықтықта,
жазық түйіні, параллель жазықтықта болсын.
(2.72) формуласына сәйкес энергияның мәні дискретті тізбек, әр
үштікте бүтін санды құрайтын болады. сандарын квантық сандар
деп атайды.
Жәшіктегі энергияны былай тұжырымдайық. Кеңістікте элементар
бөлшектер параллелепипедтің қабырғаларында болады (19-сурет).
19-сурет. Кеңістікте элементар бөлшектер параллелепипедтің қабырғаларында
болатындығы кескінделген.
Ұяшықтың көлемі болсын. Әрбір бөлшектің координаталары
болсын. Ұзындығының квадраты былай жазылады:
.
Сондықтан да, энергия былай болады:
потенциал жәшіктің қабырғалары болса, . Бұл жағдай үшін
,
болады. Әрбір сандарда өз ψ функциясы болады, олардың қосындысы
болады. Сонымен, куб тордағы түйіндеріндегі энергия бірдей болады.
Мысал үшін екі жағдайды қарастырамыз. болсын, онда
болады. Бірақ . Онда
,
және энергияның мәні былай болады
.
1-кестеден энергияның алты күйін тапсақ болады.
1-кесте
1 2 3 }14
1 3 2
2 3 1
3 1 2
2 1 3
3 2 1
Энергияның деңгейі кванттық күй салмағы деп аталады. Келтірілген мысалдарда
1, ал екіншісінде 6-ға тең болады.
6. Сызықты гармониялық осциллятордың теориялық физикада қолданылуы
Теориялық физикада сызықты гармониялық осциллятор есебін зерттеудің
маңызы зор. Физиканың барлық бөлімінде кездесетін тербелмелі процесстерді
қарапайым сызықты гармониялық осцилляторға келтіруге болады. Кез келген
күрделі қозғалысты Фурье интегралына жіктеу арқылы қарапайым гармониялық
тербелістердің қосындысы түрінде көрсетуге болады. Кванттық гармониялық
осциллятор үшін Шредингер теңдеуін шешу, бір өлшемді қозғалыс заңдылықтарын
зерттеумен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық Қазақ-Түрік университеті
Жаратылыстану факультеті
Кибишева Б
Тақырыбы: Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық
осциллятор теориясын қолдану
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
050604-мамандығы – Физика
Түркістан 2010ж
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық Қазақ-Түрік университеті
Жаратылыстану факультеті
Қорғауға жіберілді
Физика кафедрасының меңгерушісі
__________ ф.–м.ғ.д., профессор Бақтыбаев
А.Н
–––– ––––––––––2010ж
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық
осциллятор теориясын қолдану
050604-мамандығы бойынша – Физика
Орындаған: Б.
Кибишева
Ғылыми жетекшісі: физ-мат. ғ. к.
Б. Бекмурзаев
Түркістан 2010ж
Мазмұны
Кіріспе ... ...4
I тарау. Тербелістер туралы жалпы
мәліметтер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 6
Гармониялық
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
6
Гармониялық тербелістің
энергиясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...10
Гармониялық
осциллятор ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..11
Системаның тепе-теңдік қалпының маңындағы болымсыз
тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
Математикалық
маятник ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..15
II тарау. Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық осциллятор
теориясын
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..17
1. Сызықты гармониялық
осциллятор ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 17
2. Сызықты гармониялық осциллятордың кванттық энергиясы ... ... ..20
3. Сызықты осциллятордың қалыпты және қозған
күйі ... ... ... ... ... ... 23
4. Өзара байланысқан осцилляторлар. Ван-дер-Ваальс күштері ... ... ..28
5. Үш өлшемді потенциал жәшіктегі
бөлшек ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... 33
6. Сызықты гармониялық осциллятордың теориялық физикада
қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..36
7. Бірөлшемді қозғалыс теңдеуінің жалпы
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . .41
ІІІ тарау. Кванттық механика және Шредингер
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... .45
3.1. Шредингер
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...45
2. Шрадингер теңдеуі және
кванттау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
3. Гармониялық
осциллятор ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ...51
4. Бірөлшемді потенциалдық
шұңқырлар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .53
5. Гамильтон теңдеуі. Фазалық
кеңістік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
..58
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 62
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .64
КІРІСПЕ
Гармониялық осциллятор кванттық-механикалық есептерді шешуде
қолданатын модель. Гармониялық осциллятор өзінің симметрия қасиетімен
көптеген физиканың есептерінде кездеседі. Осциллятор теориясын жасау үлкен
практикалық маңызы бар. Себебі, көптеген есептерді шешкен кезде Шредингер
теңдеуін қолданамыз. Біздің жұмысымызда гармониялық осциллятор атомдық,
молекулалық және ядролық физикада қолданылуын көрсету болып табылады.
Тербелістер деп белгілі бір дәрежеде қайталағыштығымен айқындалатын
процесстерді айтады. Мысалы, сағат маятнигінің тербелуі, ішектің немесе
камертон таяқшасының тербелісі, радиоқабылдағыш контурының конденсатор
астарларындағы кернеу және т.б. осындай қайталағыштық қасиетке ие болады.
Қайталанатын процесстің физикалық табиғатына байланысты тербелістер:
механикалық, электромагниттік, электромеханикалық және т.б. түрге бөлінеді.
Тербелістер табиғат пен техникада кеңінен таралған. Көптеген жағдайда
олар зиянды роль атқарады. Рельс арқылы поэзд дөңгелегінің өтуі кезіндегі
соққы салдарынан пайда болатын көпірдің тербелісі, еспе винттің айналуы
салдарынан корабль қорабының тербелісі (вибрациясы), самолет қанаттарының
вибрациясы тәрізді процестер апатқа ұшыратуы мүмкін. Мұндай жағдайда міндет
– тербелісті алдын ала болдырмау немесе ең болмағанда тербелісті қауіпті
мөлшерге жеткізбеу.
Сонымен қатар, тербелмелі процестер техниканың түрлі салаларының
негізін қалайды. Мысалы, бүкіл радиотехника тербелмелі процестерге
негіздеоген.
Тербелмелі системаға жасалатын әсердің сипатына қарай еркін (немесе
меншікті) тербелістер, еріксіз тербелістер, автотербелістер және
параметрлік тербелістер болып ажыратылады.
Еркін немесе меншікті тербелістер деп қозғалысқа келтірілгеннен кейін
немесе орнықты қалпынан шығарылғаннан соң өзімен-өзі қалатын системада
өтетін тербелістарді айтады. Жіпке ілінген шариктің (маятник) тербелісі
осыған мысал бола алады. Қозғалысты тудыру үшін шарикті түртіп жіберу керек
немесе оны бір жағына тартып апарып қоя беру керек.
Еріксіз тербелістер деп тербелмелі система әлсін-әлі өзгеріп отыратын
сыртқы күштің әсеріне кез болатын тербелістерді; алайда бұл әсерлер жүзеге
асатын уақыт мезетінде тербелмелі системаның өзі белгілейді – сыртқы
әсерлерді системаның өзі басқарады. Жоғары көтерілген гирдің немесе
бұралған пружинаның энергиясы есебінен маятнигі түрткі алатын (қозғалысқа
келетін) сағат осыған мысал бола алады. Бұл түрткілер маятник ортаңғы
қалпынан өтер кезде беріледі. Параметрлік тербелістер кезінде сыртқы әсер
салдарынан системаның қандай да болсын параметрі, мысалы, тербеліс жасап
тұрған шарик ілінген жіптің ұзындығы, периодты түрде өзгереді.
Гармониялық тербелістер, яғни тербелетін шама (мысалы, маятниктің
ауытқуы) уақыт бойынша синус не косинус заңына сәйкес өзгеретін тербелістер
қарапайым тербелістер қатарына жатады. Бұл тербелістер мына себептерден есе
маңызды деп саналады: біріншіден табиғаттағы және техникадағы тербелістер
көбінесе гармониялық тербелістерге жақын сипатта болады, және екіншіден
басқа түрдегі периодты процестерді (уақытпен басқаша тәуелділікте болатын)
бірнеше гармониялық тербелістердің қосылуы ретінде қарастыруға болады.
Гармониялық осциллятор тепе-теңдік қалыптың маңында гармониялық
тербеліс жасайтын, система болып табылады. m массалы бөлшек тепе-теңдік
жағдайдан ауытқуға пропорционал және бағыты тепе-теңдік күйге бағытталған
күш әсерінен қозғалсын дейік. Мұндай тербелістік жүйе сызықты гармониялық
осциллятор деп аталады. Бұған мысал ретінде серпімді пружинаға ілінген ауыр
шарды алсақ болады. Электр өрісінің әсерінен тербелетін электрон сызықты
гармониялық осциллятор бола алады. Өріс әсерінен қозғалатын электронға әсер
етуші күш тепе-теңдік күйінен ауытқуының бірінші дәрежесіне пропорционал
және осы тепе-теңдік күйге қарай бағытталады.
І тарау. Тербелістер туралы жалпы мәліметтер
1.1. Гармониялық тербелістер
Пружинаға ілінген, массасы m шариктен тұратын системаны қарастырайық
(1-сурет). Тепе-теңдік күйінде mg күші k∆l0 серпімділік күшімен
теңгеріледі.
(1.1)
Шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуын х координатасымен сипаттаймыз,
әрі х осін вертикаль бойымен төмен бағыттаймыз, ал осьтің нолін шариктің
тепе-теңдік қалпымен үйлестіреміз.
1-сурет. Пружинаға ілінген, массасы m шариктен тұратын система.
Егер шарикті тепе-теңдіктен х-қа (х алгебралық шама) тең қашықтыққа
ығыстырсақ, онда пружинаның ұзаруы ∆l0+x шамасына тең болады және қорытқы
күштің х осіне проекциясы (бұл проекцияны жай ғана f әрпімен белгілейік)
мынадай мән қабылдайды:
(1.1) формуласындағы тепе-теңдік шартын ескере отырып, төмендегіні
аламыз:
(1.2)
(1.2) формуласындағы – ығысу мен күштің бағыттары қарама қарсы
екендігін білдіреді: егер шариктің тепе-теңдік қалпынан төмен қарай (x0)
ығысса, күш жоғары (f0) бағытталады, шарик жоғары қарай (x0) ығысқанда
күш төмен (f0) бағытталады. Сонымен f күшінің төмендегідей қасиеттері бар:
1) ол шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуына пропорционал, 2) ол әрқашанда
тепе-теңдік қалпына қарай бағытталған.
Біз қарастырған мысалда (1.2) күш шынында да, өзінің табиғаты бойынша
серпімді. Басқа тектегі күштерде де осындай заңдылық байқалуы мүмкін, яғни
–kx шамасына тең болуы мүмкін, мұндағы k – тұрақты оң шама. Табиғатына
қарамастан, мұндай күштерді квазисерпімді деп атау келісілген.
Системаға х ығысу беру үшін, квазисерпімді күшке қарсы төмендегідей
жұмыс істеуі керек:
.
Бұл жұмыс системаның потенциялдық энергиясының қорын жасауға
жұмсалады. Демек, квазисерпімді күш әсер ететін, система, тепе-теңдік
қалпынан х қашықтыққа ығысқанда төмендегідей потенциялдық энергияға ие
болады (тепе-теңдік қалыптағы потенциялдық энергияны нольге тең деп
ұйғарамыз):
(1.3)
(1.3) өрнегі деформацияланған пружинаның потенциялдық энергиясына
арналған өрнегіне сәйкес келеді.
1-суретте кескінделген системаға қайта оралайық. Шарикке x=a ығысу
беріп, одан соң системаны өзімен-өзін қалдырайық. f=kx күшінің әсерінен
шарик тепе-теңдік қалыпқа қарай үнемі артып отыратын жылдамдықпен
қозғалады. Бұл кезде системаның потенциялдық энергиясы кеми бастайды (2-
сурет), бірақ оның орнына үнемі артып келе жатқан кинетикалық энергия
пружинаның массасын ескермейміз) пайда болады. Тепе-теңдік қалпына келген
соң шарик, инерция бойынша қозғала береді. Бұл қозғалыс кемімелі қозғалыс
болады және кинетикалық энергия толығымен потенциялдық энергияға
айналғанда, яғни шариктің ығысуы – а-ға тең болғанда тоқталады. Одан соң
шарик кері бағытта қозғалғанда дәл осындай процестер өтеді. Егер системада
үйкеліс болмаса, системаның энергиясы сақталуға тиіс және шарик x=a-дан x=-
a-ға дейінгі аралықта шексіз ұзақ қозғала береді.
2-сурет. Системаның потенциялдық энергиясының кемуі.
Шарикке арналған Ньютонның екінші заңы былай жазылады:
.
Бұл теңдеуді төмендегідей етіп түрлендірейік:
(1.4)
х-тағы коэффициент оң. Сондықтан оны мынадай түрде жазуға болады:
(1.5)
мұндағы – заттық шама.
(1.4) өрнегіне (1.5) өрнегіндегі белгілеуді қолдана отырып, мынаны
аламыз:
(1.6)
Сонымен, (1.2) түріндегі күштің әсерінен болатын шарик қозғалысы
екінші реттік біртекті дифференциалдық теңдеулер арқылы зерттеледі.
Ауыстыру арқылы (1.2) теңдеуінің жалпы шешімі төмендегідей
болатындығына оңай көз жеткізуге болады:
(1.7)
мұндағы а және α – кез келген тұрақты шамалар. Сонымен х ығысу уақыт
бойынша косинус заңына сәйкес өзгереді. Демек, f=-kx түріндегі күштің
әсерінде болатын системаның қозғалысы гармониялық тербеліс болып табылады.
Гармониялық тербеліс, яғни (1.7) функциясының графигі 3-суретте
көрсетілген. Горизонталь оське t уақыт, ал вертикаль оське х ығысу
салынған. Косинус –1-ден +1-ге дейін өзгеретіндіктен, х-тің мәні –а-дан +а-
ға дейінгі аралықта жатады.
3-сурет. Гармониялық тербелістің графигі.
Системаның тепе-теңдік қалпының ең үлкен ауытқуы тербеліс амплитудасы
деп аталады. Тербеліс амплитудасы а– тұрақты оң шама. Оның мәні, системаны
тепе-теңдік қалыптан шығарған, алғашқы ауытқудың немесе түрткінің шамасымен
анықталады.
Косинус таңбасының астында тұрған шамасы тербеліс фазасы деп
аталады. Α тұрақтысы фазаның t=0 уақыт мезетіндегі мәні болып табылады және
ол тербелістің бастапқы фазасы деп аталады. Санау уақытының басы өзгергенде
де өзгереді. Демек, бастапқы фаза санау уақытының басын таңдап алуға
байланысты өзгереді. 2π бүтін санын фазаға қосқанда немесе одан алып
тастағанда х-тің мәні өзгермейтіндіктен, бастапқы фазаны модулы бойынша
әрқашан да π-ден кіші деп алуға болады. Сондықтан, көбінесе, α-ның –π-ден
+π-ге дейінгі аралықта жатқан мәндері ғана қарастырылады.
Косинус – периоды 2π-ге тең периодты функция болғандықтан, гармониялық
тербеліс жасайтын системаның әр түрлі күйі тербеліс фазасы 2π-ге тең өсімше
қабылдайтындай Т уақыт аралығы сайын қайталанады (2-сурет). Осы Т уақыт
аралығы тербеліс периоды деп аталады. Оны төмендегі шарттан анықтауға
болады:
осыдан
(1.8)
Бірлік уақыт ішіндегі тербеліс саны ν тербеліс жиілігі деп аталады. ν
жиіліктің бір тербеліс ұзақтығымен төмендегі қатынас арқылы
байланысатындығы белгілі:
(1.9)
Жиілік бірлігі үшін периоды 1 сек-ке тең тербеліс жиілігі алынады. Бұл
бірлікті герц (гц) деп атайды. 103гц жиілік килогерц (кгц), 106 гц–
мегагерц (мгц) деп аталады.
(1.8) өрнегінен төмендегіні алуға болады:
(1.10)
Сонымен, шамасы 2π секунд ішіндегі тербеліс санын береді.
шамасын дөңгелектік немесе циклдік жиілік деп атайды. Ол әдеттегі ν
жиілікпен төмендегі қатыс арқылы байланысады:
(1.11)
(1.7) өрнегі уақыт бойынша дифференциалдап, жылдамдыққа арналған
өрнекті аламыз:
(1.12)
(1.12) өрнегінен, жылдамдық та гармониялық заң бойынша өзгеретіндігін
әрі жылдамдық амплитудасы шамасына тең болатындығын көреміз. (1.7)
және (1.12) өрнектерін салыстырудың жылдамдық ығысудан фазасы бойынша
шамасына озып кететіндігі шығады.
(1.12) өрнегін тағы да уақыт бойынша дифференциалдап, үдеуге арналған
өрнекті табамыз:
(1.13)
4-сурет. Ығысу, жылдамдық және үдеуге арналған график.
(1.13) өрнегінен үдеу мен ығысу қарама-қарсы фазада жататындығы
көрінеді. Мұның өзі ығысу ең үлкен оң мәніне жеткенде, үдеудің шама жағынан
ең үлкен теріс мәніне жететіндігін және керісінше болатындығын көрсетеді.
4-суретте ығысу, жылдамдық және үдеуге арналған графиктер
келтірілген.
Әрбір нақты тербеліс а амплитуда мен бастапқы фазаның белгілі бір мәні
бойынша сипатталады. Берілген тербеліс үшін бұл шамалардың мәндері бастапқы
шарттардан, яғни х0 ауытқу және уақыттың бастапқы мезетіндегі
жылдамдықтың мәндерінен анықталады.
Шынында да, (1.7) және (1.12) өрнектеріндегі t=0 деп ұйғарып, екі
теңдеу аламыз:
, ,
осылардан төмендегіні табамыз:
(1.14)
(1.15)
Α-ның –π-ден +π-ге дейінгі интервалда жатқан екі мәні (1.15) теңдеуін
қанағаттандырады. Бұл мәндерден косинус пен синустың таңбасы дұрыс болатын
мәнді алу керек.
2. Гармониялық тербелістің энергиясы
Квазисерпімді күш консервативті күш болып саналады. Сондықтан
гармониялық тербелістің толық энергиясы тұрақты болып қалуы керек. Жоғарыда
айқындағанымыздай, тербеліс процесінде кинетикалық энергияның потенциалдық
энергияға және керісінше түрленуі байқалады. Тепе-теңдік қалыптан ең үлкен
ауытқу мезеттерінде Е толық энергия, өзінің Еpmax ең үлкен мәніне жететін
потенциалдық энергиядан ғана тұрады:
(1.16)
Ал система тепе-теңдік қалып арқылы өткенде толық энергия осы мезетте
өзінің ең үлкен Ekmax мәніне ие болатын кинетикалық энергиядан ғана тұрады:
(1.17)
(жоғарыда жылдамдық амплитудасы шамасына тең болатындығы көрсетілген).
(1.5) өрнегі бойынша болатындықтан, (1.5) және (2.2) өрнектерінің бір-
біріне тең екендігі оңай байқалады.
Гармониялық тербелістің Ек кинетикалық және Ер потенциалдық
энергиялары уақыт бойынша қалай өзгеретінін айқындайық.
Кинетикалық энергия [х үшін (1.12) өрнегін қараңыз] төмендегі өрнек
арқылы анықталады:
(1.18)
Потенциалдық энергия мына формуламен өрнектеледі:
(1.19)
(1.18) және (1.19) өрнектерін (1.5) қатысын ескере отырып қоссақ,
төмендегіні аламыз:
(немесе )
(1.20)
бұл (1.16) және (1.17) өрнектерімен сәйкес келеді. Сонымен гармониялық
тербелістің толық энергиясы шынында да тұрақты болады екен.
Тригонометриядағы белгілі формулаларды пайдаланып, Ек және Ер
шамаларына арналған өрнектерді мына түрде жазуға болады:
(1.21)
(1.22)
мұндағы Е системаның толық энергиясы. (1.21) және (1.22) формулаларынан Ек
және Ер шамалары жиілікпен, яғни гармониялық тербеліс жиілігінен 2
есе артық жиілікпен өзгеретіндігі көрінеді. 5-суретте х, Ек, Ер шамаларының
графиктері салыстырмалы түрде берілген. Синустың квадраты мен косинустың
квадраттарының орташа мәні жартыға тең екендігі белгілі. Демек, Ек
шамасының орташа мәні Ер шамасының орташа мәнімен сәйкес келеді және ол Е2-
ге тең.
5-сурет. х, Ек, Ер шамаларының графиктері.
3. Гармониялық осциллятор
Гармониялық осциллятор тепе-теңдік қалыптың маңында гармониялық
тербеліс жасайтын, система болып табылады.
(1.23)
мұндағы – тұрақты оң шама [(1.6) формуласын қараңыз], теңдеуімен
сипатталған система гармониялық осциллятор (немесе гармониялық вибратор)
деп аталады.
(1.23) теңдеуінің шешімі төмендегідей түрде жазылатындығы бізге
бұрыннан белгілі:
(1.24)
Жоғарыда айтылғандай гармониялық тербелістер үшін алынған нәтижелер,
гармониялық осциллятор үшін де дұрыс екендігі белгілі. Тағы да екі мәселені
қосымша қарастырайық.
Гармониялық осциллятордың импульсін табайық. (1.24) өрнегін уақыт
бойынша дифференциалдап және алынған нәтижені осциллятордың m массасына
көбейтіп, төмендегіні аламыз:
(1.25)
Осциллятордың х ауытқуымен сипатталатын әрбір жағдайында импульстің
кейбір р мәні болады. р шамасын х шамасының функциясы ретінде табу үшін
(1.24) және (1.25) теңдеулерінен t уақытты шығару керек. Ол үшін аталған
теңдеулерді мына түрде жазайық:
,
.
Бұл өрнектерді квадраттап және қосу арқылы мынаны аламыз:
(1.26)
6-суретте гармониялық осциллятордың р импульсінің х ауытқуға
тәуелділігің графигі кескінделген.
р,х координата жазықтығын фазалық жазықтық деп, ал оған сәйкес келетін
графикті фазалық траектория деп атайды. (1.25) формуласымен сәйкес
гармониялық осциллятордың фазалық траекториясы жарты осьтер а және
болатын эллипс болып табылады.
Фазалық траекторияның әрбір нүктесі х ауытқуды және р импульсті, яғни
уақыттың кейбір мезетіндегі оциллятордың күйін кескіндейді. Уақыт өткен
сайын күйді кескіндейтін нүкте (қысқаша оны бейнелеуші нүкте деп атайды)
фазалық траектория бойымен қозғала отырып, тербеліс периоды ішінде оны
толық бір айналып шығады.
Бейнелеуші нүктенің қозғалысы сағат тілінің қозғалысы бойынша
бағытталатындығына оңай көз жеткізуге болады. Шынында да, (n – бүтін
сан) болатын уақыт мезетін алайық. Бұл уақыт мезетіне x=a және p=0 (6-
суреттегі 1 нүктесін қараңыз) сәйкес келеді. Одан арғы уақыт мезеттерінде х
кеми береді, ал р модулы бойынша үнемі өсіп отыратын теріс мәндер
қабылдайды. Демек, бейнелеуші нүкте 6-суретте стрелкамен көрсетілген
бағытта, яғни сағат тілінің қозғалысы бойынша қозғалады.
6-сурет. Гармониялық осциллятордың р импульсінің х ауытқуға
тәуелділігі.
Эллипстің ауданын табайық. Ол эллипс жарты осьтерінің π-ге
көбейтіндісіне тең екендігі белгілі:
(1.20) формуласы бойынша осциллятордың толық энергиясы;
шамасы -ге тең, мұндағы – берілген осциллятор үшін тұрақты шама
болып саналатын осциллятордың меншікті жиілігі.
Демек, эллипстің ауданын мына түрде бере алады:
,
бұдан,
Сонымен гармониялық осциллятордың толық энергиясы эллипстің ауданына
пропорционал болады, әрі пропорционалдық коэффициентін осциллятордың
меншікті жиілігі атқарады.
Эллипстің ауданын интегралы ретінде есептеуге болады. Сондықтан
(1.20) формуласын мынадай түрге келтіруге болады.
Соңғы қатыс кванттық механиканың негізін жасауда үлкен роль атқарады.
Енді осциллятордың әр түрлі қалыпта байқалу ықтималдығы жайлы мәселені
қарастырайық. Осциллятордың жылдамдығы тепе-теңдік қалпынан өткен мезетте
ең үлкен мәніне жетеді. Тепе-теңдік қалыптан ең үлкен ауытқыған мезетте
жылдамдық нольге айналады.
Осыдан, осцилляторды өзінің шеткі қалыптарының бірінде байқау
ықтималдығы, оны тепе-теңдік қалпының маңынан байқау ықтималдығынан артық
болады. Бұл жағдай ықтималдық тығыздығы деп аталатын шамасын
анықтайтын қисық сызық кескінделген 7-сурет арқылы түсіндіріледі.
7-сурет. Ықтималдық тығыздығы деп аталатын шамасын анықтайтын қисық
сызықтың кескіні.
Осциллятордың берілген аралығында болу ықтималдығын табу
үшін, сәйкес жердегі қисық сызықтың ординатасын шамасына көбейту
керек. Мәселен, 7-суреттегі штрихталған жолақтардың сан жағынан
осциллятордың берілген интегралының шегінде табылатын
ықтималдығына тең болады. Ықтималдық тығыздығы қисықтығының астындағы бүкіл
аудан осциллятордың – а-дан +а-ға дейінгі шектеріндегі орындарының бірінде
болғандығы ықтималдықты береді, демек, кез келген ең анық оқиғаның
ықтималдығы ретінде бірге тең болуы тиіс.
Гармониялық осциллятордың әр түрлі қалпы үшін кванттық механика бір-
бірінен алшақ түрліше нәтиже беретінін айтып өтейік.
4. Системаның тепе-теңдік қалпының маңындағы болымсыз тербелістері
Кез келген механикалық системаны қарастырайық, оның орны х арқылы
белгіленетін бір шама бойынша берілуі мүмкін, бұл жағдайда ситеманың бір
еркіндік дәрежесі бар делінеді.
Системаның орнын анықтайтын х шамасы кейбір жазықтықтан бастап
есептелетін бұрыш немесе берілген қисық сызықтың бойымен есептелетін
қашықтық, атап айтқанда, түзу, сызықтар т.б. болуы мүмкін. Системаның
потенциялдық энергиясы бір айнымалы х-тің функциясы болады: . Санаудың
басы х-ті, системаның тепе-теңдік қалпында х нольге тең болатындай етіп
аламыз. Онда функциясының x=0 болғанда минимумы болады.
функциясын х-тің дәрежесі бойынша қатарға жіктейміз, сонымен қатар х-тің
жоғарғы дәрежелерін ескермеуге болатындай әлсіз тербелістерді қарастырумен
шектелмекпіз.
Маклерон формуласы бойынша
(х аз болғандықтан қалған х мүшелерін ескермейміз).
x=0 болғанда функциясының минимумы болатындықтан да нольге
тең, ал оң. Мынадай белгілеу енгізейік:
(k0).
Сонда
(1.27)
(1.27) өрнегі квазисерпімді күш әсер ететін (b константасын нольге тең
деуге болады) системаның потенциалдық энергиясына арналған (1.3) өрнегімен
бірдей. қатысын пайдаланып, системаға әсер ететін күшті табуға
болады:
Сонымен тепе-теңдік қалыптан болымсыз ауытқу кезіндегі потенциалдық
энергия ығысудың квадраттық функциясы, ал системаға әсер ететін күш
квазисерпімді күштің түріндей болады.
Демек, тепе-теңдік қалыптан болымсыз ауытқу кезінде, кез келген
механикалық система гармониялық тербеліске жақын тербеліс жасайды.
5. Математиаклық маятник
Математиаклық маятник деп салмақсыз және созылмайтын жіпке ілінген,
массасы бір нүктеге жинақталған идеалданған системаны айтады. Ұзын жіңішке
жіпке ілінген шағын ауыр шарик едәуір дәрежеде математиаклық маятникке
жақындайды.
8-сурет. Маятниктің тепе-теңдік қалыптан ауытқуы.
Маятниктің тепе-теңдік қалыптан ауытқуын жіптің вертикальмен жасаған
бұрышы арқылы сипаттаймыз (8-сурет). Маятник тепе-теңдік қалыптан ауытқыған
кезде шама жағынан mglsinφ-ге тең (т – маятниктің массасы, ал l – оның
ұзындығы) айналдырушы мезет пайда болады. Ол маяникті тепе-теңдік қалпына
келтіруге тырысатындай болып бағытталады және бұл жағынан квазисерпімді
күшке ұқсас. Сондықтан, ығысу мен квазисерпімді күш тәрізді М моменті мен
бұрыштық ығысуына қарама-қарсы жазу керек.
Демек, айналмалы моментке арналған өрнек мына түрде жазылады:
(1.28)
Маятник үшін айналмалы қозғалыс динамикасының формуласын жазамыз.
Бұрыштық үдеуді арқылы белгілеп және маятниктің инерция моменті
шамасына тең екендігін ескере отырып, мынаны аламыз:
Соңғы теңдеуді мына түрге келтіруге болады:
(1.29)
Әлсіз тербелістерді қарастырумен шектелеміз. Бұл жағдайда деп
ұйғаруға болады. Сонымен бірге
(1.30)
белгілеуін енгізе отырып, біз төмендегі теңдеуге келеміз:
(1.31)
бұл пружинаға ілінген шарикке арналған (1.6) теңдеуіне ұқсас теңдеу. Оның
шешімі
(1.32)
түрінде жазылады.
Демек, әлсіз тербеліс кезіндегі математикалық маятниктің бұрыштық
ауытқуы гармониялық заң бойынша өзгереді. (1.30) өрнегінен байқалғандай,
математикалық маятниктің тербеліс жиілігі маятниктің ұзындығы мен ауырлық
үдеуіне ғана байланысты болады, ал маятник массасына тәуелді болмайды.
(1.30) формуласын ескеріп (1.8) формуласы бойынша математикалық маятниктің
мектеп курсынан белгілі өрнегі алынады.
(1.33)
(1.29) теңдеуін шешіп, тербеліс периодына арналған төмендегі формуланы
алуға болатынын ескерейік:
,
мұндағы а– тербеліс амплитудасы, яғни маятник тепе-теңдік қалыптан
ауытқыған ең үлкен бұрыш.
ІІ тарау. Атомдық, молекулалық және ядролық физикада гармониялық осциллятор
теориясын қолдану
1. Сызықты гармониялық осциллятор
m массалы бөлшек тепе-теңдік жағдайдан ауытқуға пропорционал және
бағыты тепе-теңдік күйге бағытталған күш әсерінен қозғалсын дейік. Мұндай
тербелістік жүйе сызықты гармониялық осциллятор деп аталады. Бұған мысал
ретінде серпімді пружинаға ілінген ауыр шарды алсақ болады (9-сурет).
Электр өрісінің әсерінен тербелетін электрон сызықты гармониялық осциллятор
бола алады. Өріс әсерінен қозғалатын электронға әсер етуші күш тепе-теңдік
күйінен ауытқуының бірінші дәрежесіне пропорционал және осы тепе-теңдік
күйге қарай бағытталады. Жоғарыдағы көрсетілген күйдегі күштер
квазисерпімді деп аталады.
9-сурет. Серпімді пружинаға ілінген ауыр шар.
Сызықты осциллятордағы бөлшек түзу сызықпен қозғалғандықтан осы түзуді
координата өсі ретінде алсақ болады. Ол х өсі болсын, координата басы
бөлшектің тепе-теңдік күйі болсын (10-сурет).
(2.1) f – тұрақты
пропорционалдық коэффициент, оның шамасы х=1 болған кездегі күшке тең және
квазисерпімді күштің тұрақтысы деп аталады. (2.1) теңдеуін төмендегідей
түрлендірейік:
(2.2)
10-сурет. Сызықты осциллятордағы бөлшектің түзу сызықпен қозғалуы.
екендігін ескерсек,
(2.3)
(2.4)
,
(2.5)
Сызықты дифференциалдық теңдеулердің қасиеттерінен (2.5) теңдеуінің
шешімі:
(2.6) болады. с1, с2 – тұрақты шамалар. Бұл
тұрақтыларды бастапқы t=0, x=x0, шарттарынан тапса болады. c1=x0,
және (2.6) теңдеуінің көрінісі төмендегідей болады:
(2.7)
(2.6) теңдеуін басқаша көрініске келтірейік. с1 -ді жақшадан шығарсақ:
болады.
деп,
,
немесе деп белгілесек, онда мына көрініске келеді:
(2.8) а және δ – жаңа тұрақтылар. (2.8)
теңдеуіндегі қозғалыс периодты деп есептелінеді және бұл теңдеудегі уақыт
периодты функция құрамына енеді. Т уақыт аралығы
– бұрыштық жиілік, ал Т –периодқа кері болған ν – сызықты жиілік
деп аталады:
(2.3) теңдеуден мына келіп шығады:
(2.9)
.
(2.10)
Енді осциллятор энергиясын келтіріп шығарайық. Кинетикалық энергия
, немесе екенін ескерсек, онда мынаны аламыз:
(2.11)
Бөлшек тепе-теңдік күйде болған кездегі мәнін потенциалдық энергияның
нөлдік мәні десек, х координата өсіндегі белгілі жағдайдағы потенциалдық
энергия
(2.12)
болады. (2.8) теңдеуіндегі х-ті және (2.9) теңдеуіндегі екенін
ескерсек, мынаны аламыз:
(2.13)
(2.11) мен (2.13) теңдеулерін пайдаланып, толық энергияны табайық:
(2.14)
(2.11) мен (2.13) теңдеуінен кинетикалық және потенциалдық энергияларының
уақыт бойынша өзгеруі синустың және косинустың квадраттарындай өзгереді.
Сондықтан, энергияның орташа мәнін табу үшін синустың және косинустың
квадраттарының мәнін табумен шектелсек, жеткілікті, фазалық тұрақты δ
ешқандай мәнді білдірмейді. Т период ішіндегі орташа мәндері
(2.15)
(2.16)
Уақыт аралығындағы және -тардың орташа мәндерін периодпен
салыстырғанда үлкен -ді осындай аралықта .
бірақ , және егер , онда өте үлкен сан, өйткені үлкен
уақыт аралығында
және
Сонымен, период ішіндегі орташа кинетикалық энергия немесе (2.11) мен
(2.15) салыстарғанда өте үлкен.
(2.17)
ал орташа потенциалдық энергия
(2.18)
(2.17), (2.18) және (2.14)-ті салыстарсақ,
(2.19) Бұл теңдеу сызықты гармониялық
осциллятор үшін орташа үлкен уақыт аралығында кинетикалық және орташа
потенциалық энергиясына тең және екеуі де жарты толық энергияға тең
екендігін көрсетеді.
U потенциалдық энергияның жылжудың квадратына пропорционал екенін
білсек, гармониялық осциллятордың сызығы парабола екендігін анықтауға
болады (11-сурет).
11-сурет. Гармониялық осциллятордың сызығы парабола түрінде кескінделген.
2. Сызықты гармониялық осциллятордың кванттық энергиясы
Атом физиикасында гармониялық осциллятор негізгі модель болып
саналады. Гармониялық осциллятордың потенциалдық энергиясы
(2.20)
– классикалық механикадағы осциллятордың тербеліс жиілігі.
12-сурет. Потенциалдық жәшіктегі пайда болатын көлденең толқындар.
12-суретте көрініп тұрғандай ол параболаның көрінісі жәшікке ұқсайды.
Макроскопиялық осциллятордағы есептерді шешу үшін потенциалдық жәшіктегі
пайда болатын көлденең толқындарды қарастыру керек. Бұл жерде математикалық
есептеу өте күрделене түседі. Жәшіктің шектеріндегі потенциалдық энергия
барлық жерінде бірдей болмайды, ол параболалық заңмен өзгереді. Сондықтан
толқын ұзындығы , жәшіктің шеткі нүктелерінде өседі, ал ортасында
кемиді. Гармониялық осциллятордағы Шредингер теңдеуінің көрінісі
(2.21)
функциясы мынадай талапты қанағаттандыруы қажет:
және қалған шарттар үшін де. Ықшамдау үшін
,
(2.22)
деп белгілейік, сонда Шредингер теңдеуінің көрінісі мынадай болады:
(2.23)
(2.23) теңдеуін интегралдау үшін алдымен х өте үлкен, . Сонда (2.23)
теңдеуіндегі λ өте кіші болғандықтан, тастап кетсек те болады.
(2.24)
болғанда, оның шешімі мынадай болады:
(2.25)
Негізінде
,
болғанда (2.24) теңдеуі (2.25) теңдеуінің шешімі болады. Оның шешімі
теріс таңбада болған кездегі шешімін аламыз,
шешім оң таңбада болғанда ол шексіз өседі.
(2.26)
– әзірге белгісіз функция.
(2.26) теңдеуінің шешімін (2.23) теңдеуіне қойып табайық.
,
(2.4) теңдеуіне қойып, - ге қысқартсақ
(2.27)
Теңдеуді қайта өңдеп, х-тің орнына
(2.28)
– өлщемсіз шама. .
,
(2.27) теңдеуінің көрінісі айнымалылармен алмастырылып және α-ға
қысқартсақ,
(2.29)
функциясының х тен -ге өзгертіп, -ні табайық.
(2.30)
шешімін табу үшін
Бұл теңдеулерді (2.29) теңдеуіне қойып, басқа өрнектерді табуға болады.
-нің дәрежелері бірдей болуы керек. коэффициенті нольге тең.
, , .
(2.31)
Бұл формула екі жұп мүшелері үшін
(2.32)
Тең мүшелері үшін
(2.33)
Бұл қатарлар (2.29) теңдеуінің шешімі болып табылады. үлкен болған
кезде (2.32) қатрарын мен салыстырайық
Сондықтан,
үлкен болған кезде
(2.34)
шамасы үлкен болған кезде
(2.35)
(2.32) теңдеуіне сәйкес формула
шамасы үлкен болған кезде
(2.36)
(2.35) және (2.36) теңдеулерін салыстырсақ мынаны аламыз:
өскен кезде (2.36) және (2.38)
(2.31) формуласы шеткі нүктелерін қанағаттандырмайды. (2.32),
болғанда, кейінгі болса, 2-ші, 3-ші қатарларында бөлінеді.
нөлге айналады.
Бұл жерге λ мен α-ның мәндерін қойсақ
Бұл жерде
(2.37)
функциясында осциллятордың толқындық теңдеуі (2.37). Бұл формуланың
ескі квант теориясынан біраз айырмашылығы бар
(2.37) формуладан сызықты осциллятордың кванттық саны болады. Төменгі
кванттық күйінде болған кезде осциллятордың энергиясы нөлге
айналмайды, бірақ
(2.38)
болады.
-дің бұл мәні нөлдік энергия деп аталады. Бұл сөздің келіп
шығуы, ол абсолюттік ноль температурада энергиясы жоғалып кетпейді.
Қорытындылай келе, бөлшектің потенциалдық жәшіктегі кванттық
энергиясы шеткі нүктелері үшін алынады. Сызықты осциллятордың табиғи
функциясын кванттық теория арқылы түсіндіріледі.
3. Сызықты осциллятордың қалыпты және қозған күйі
Сызықты осциллятордың энергиясы
өзіне тиісті функциясы
–қалыптандырушы көбейтінді. – -нің дәрежесі, (2.31)
формуладан табылады, .
Алғашқы бірнеше полиномды табайық. коэффициентін табуға
болады.
Бұдан
Сосын оңай аламыз
т.с.с.
Іздеудегі полином былай табылады:
(2.39)
(2.39) теңдеуде деп, кезектегі полиномды аламыз.
(2.40)
Бұл полином – Чебышев-Эрмит полиномы деп аталады, мұны төмендегідей жазса
да болады:
(2.41)
Негізінде, мысал үшін болған кезде
болған кезде
Әртүрлі полиномдарды есептеу үшін рекуренттік формуласынан
пайдалануға болады. Бұл формула былай келтіріліп шығарылады:
(2.42)
Сонымен,
Екі функцияның көбейтіндісінің -ші туындысының формуласы:
Бұл формуланың көмегімен төмендегі формуланы аламыз.
Нәтижеде
,
және (2.42)-тен
(2.41) теңдеуінен
(2.43)
Бұл формула , , -ді өзара байланыстыратын ізделінген
рекуренттік теңдеу болып табылады.
(2.40)-дегі полиномдар және -ден келіп шығатынын оңай
түсінуге болады. Сызықты оцсиллятордың меншікті функциясының маңызды
қасиеті бар: олар -∞ тен +∞ арасында ортогональды есептелінеді.
, болған кезде
болған кезде интеграл
Соңғы мәні ретінде көбейтіндісін келтіріп шығару мүмкін,
Бұл жерге функциясының мәнін қойсақ,
Бұдан
.
Нөлдік күйде де,
.
Сонымен, меншікті функция үшін нөлдік деңгей
,
Ал, ықтималдық тығыздық
.
– градустық қисық қателік. Ол көрініс осциллятордың тепе-теңдік
күйінен ауытқу санын анықтайды.
13-сурет. Осциллятордың тепе-теңдік күйінен ауытқуы.
Классикалық осциллятордың екі еселенген амплитудасының санын анықтау
мүмкін. А3 бұрышқа тербелетін маятникті алайық, ал шеткі нүктелеріндегі
жылдамдығы нөлге жуық болады, ал тепе-теңдік күйінде жылдамдығы үлкен
болады. Белгілі жағдайда шардың орнын табу ықтималдығы кинетикалық
энергияның түбіріне кері пропорционал болады.
Енді кванттық осциллятордың түрлі күйін қарастрайық. Нөлдік деңгейден
бастайық. Бұл осциллятордың ерекшелігі осциллятор энергиясы нөлге тең емес
. Кванттық осциллятордың энергиясы абсолют нөлде тыныштық күйде
болмайды. Біз оны белгілі ықтималдықпен белгілі бөлігінде классикалық
осциллятордың амплитудасы екі еселенеді.
Негізінде квазисерпімді бөлшектер абсолют нольде тынышталады, белгілі
координатада, импульсі анықталады. Бірақ бұл қайшылық туғызады. Нольдік
ықтималдық энергиясы табылады.
, .
, (2.44)
– классикалық осциллятордың тербелу амплитудасы. бұдан мынаны
оңай көруге болады, , өйткені,
(2.45)
(2.46)
(2.47)
,
(2.48)
(2.47) және (2.48) теңдеулерін салыстырсақ,
Осциллятордың нольдік энергиясы шындығында өте аз.
Ендігі кезде классикалық осциллятордың шеткі нүктелерінде ықтималдық
аз. Осциллятордың потенциалдық сызығы потенциалдық жәшік түрінде болады, ал
бөлшектің тербелісі тік бұрышты тосқауылдан шағылуындай болады.
14-сурет. Қозған күй кезіндегі жағдайы.
Енді қозған күй кезіндегі жағдайын көріп шығайық. 14-суретте n-нің
бірнеше мәні берілген. Оған периодты көбейтінді қоссақ, көлденең
толқын пайда болады. болса, екі түйін және максимум ортасында болады.
болса, екі шеті шексіздікте болады, екі шексіздікте
болып, тағы екі түйін болады.
15-сурет. Ықтималдық тығыздығының қисықтары.
Де-Бройл теңдеуі , – нөлдік мәнінде өте кіші болады. 15-
суретте ықтималдық тығыздығының қисықтары берілген , . Кванттық
осциллятор ең кіші n сандарында білінбейді, үлкен мәндерінде кванттық
бөлінуі классикалыққа жуық болады. Бұл жағдайды 16-суреттен болған
кезде, үздіксіз сызықтар өткізсек, классикалық сызыққа параллель
жүргізілгенін көруге болады.
16-сурет. Кванттық осциллятордың үлкен мәндерінде кванттық бөлінуі
классикалыққа жуық болуы кескінделген.
4. Өзара байланысқан осцилляторлар. Ван-дер-Ваальс күштері
Кванттық механикада, абсолют нольде де нольдік энергия болады.
,
-теңдеуінен Планк пайдаланды. Молекулярлық спектрді зерттеген кезде,
нольдік энергияның болуының өзі күтілмеген жағдай. Молекулярлық байланыс,
беттік керілу күшін анықтайды. Реал газдар үшін
Бұл теңдеу Ван-дер-Ваальс күштері деп аталады, бірақ бұл күштерді
классикалық физикада түсіндіру мүмкіндігі болмады. Ван-дер-Ваальс күштері
нейтрал атомдар мен молекулалар арасында пайда болады, өзара электр
дипольдары немесе симметриялық квадроөрістік системалар болып табылады.
Дипольдардың арасындағы күш арақашықтықтың төртінші дәрежесіне кері
пропорционал болып кемиді, ал квадроөрістердің арасындағы өзара әсерлесу
күші қашықтықтың алтыншы дәрежесіне кері пропорционал болады. Ол көрініс
молекулалық өзара әсерлесу қашықтық кері пропорционал болып тез кеми
бастайды.
Бірақ, классикалық физикада сандық түсіндіру қиындық туғызды.
Біріншіден, газдардағы молекуалық өзара әсердің болуы өте түсініксіз болды.
Бұл газдардың атомдары өте симметриялық болып келеді. Ал сұйықтарда тығыз
болғандықтан, оны молекулалық күштер деп атайды. HCl, HBг, HI галоид
сутектердегі байланыстан үлкен дипольдік момент болып табылады да, жақсы
нәтиже бермейді. Тыныштық күйде молекулалар өзара әсерлеспейді. Зарядтарды
тепе-теңдік күйге келтірсек, молекула дипольдің момент күйіне көшеді де
өзара әсер болу мүмкіндігі басталады. Мұндай ығысу негізінде өшпейтін
нольдік энергияларында туындайды. Бірақ, электр диполь моментінің
туындауынан бастап бір молекулада өріс кеңістігінде келесі диполь моменті
туындайды. Өте тез өзгеретін диполь моменттері бір-бірінен бір-біріне
тартылатын фазада орналасады. Енді, сандық көрсеткіш беретін картина
жасайық және молекулалық әсерлесуді көрейік. Алдымен өзара әсерлесетін екі
тербелісті осцилляторда қалай шешілетінін түсініп алайық.
Бір-бірінен r қашықтықта болатын екі электрлі диполь бір түзуде
жататындай болсын. Әр зарядтың массасы m, қарама-қарсы зарядтардың
қашықтығы х1, екіншісініңкі х2 болсын. Өзара тартылатын әр түрлі
зарядтардың бір-бірімен тербелетін аттас зарядтардың энергиялары Кулон
заңымен анықталады.
-дің мәні x2, x1 -ден үлкен болғандықтан бөлшектерді, жақшаларды
ашсақ келесі формула мына көріністе болады.
Ықшамдасақ,
(2.49)
көрінісіне келеді. Енді дипольдар тербелетін болсын. Аздап ығысқанда бұл
тербелістерді гармониялық тербеліс деп алуға болады. Дипольдағы зарядтардың
массалары мен әсерлесу күші өзара тең. Циклдік жиілігі :
f – тұрақты шама, квазисерпімді күштер тұрақтысы, екі дипольда да бірдей.
Осциллятордың арасындағы байланысты көрейік. Бірінші осциллятордағы
ығысу – , квазисерпімді күшті, ал екінші осцилляторда – күшін
тудырады. Диполь моментінің өзгеруінің нәтижесінде екінші осцилляторда
қосымша күш пайда болады. Бұл қосымша күштерді Ғ1 және Ғ2 деп белгілеп,
өзара әсер энергиясы U12 :
,
(2.50)
Екі осциллятор үшін де теңдеуді былай жазуға болады:
,
(2.51)
–квазисерпімді күш, бірінші осцилляторға әсерлеседі.
Екі осциллятордағы тербеліс жай тербеліс болса, олардың тербелісі
бірдей жиілікте болады.
,
(2.51) теңдеуінің шешімін аламыз, -ге қысқартсақ,
,
(2.52)
(2.52) теңдеуі біртекті және сызықты десек,
,
Бұдан жиіліктің екі мәнін табуға болады :
,
(2.53)
Бұлардың мәндерін (2.52)-ке қойсақ,
а)
b)
(2.54)
Біз осцилляторларды байланыстыратын жүйенің 2 түрлі жиілікте: біреуі аз,
екіншісінде көптеу болатынын анықтадық. Мұндай жиіліктерді нормаль
немесе негізгі деп атайды. Дәл осындай жиілікте осцилляторлар гармониялық
тербеліс жасайды. жиілікте тербелу үшін бастапқы моменті бірдей
ығысады ( симметриялық тербеліс), жиілікте тербелсе,
осцилляторлар бірдей амплитудада, бірақ қарама-қарсы фазада тербеледі
( антисимметриялық тербеліс). Екі жағдайды да 17-суреттен көруге
болады.
17-сурет. Осцилляторларды байланыстыратын 2 түрлі жүйе. Біреуі аз,
екіншісінде көптеу болатындығы кескінделген.
Бастапқы шарт (2.54) өзгеше болса, енді олардың тербелісі күрделілеу
болады. (2.51) теңдеуін жазайық.
және
,
Жалпы шешімі
(2.55)
кезінде бірінші осциллятордың ығысуы және жылдамдығы , ал
екіншісі тепе-теңдік күйде , болсын. Бұларды (2.55) –ге қойсақ,
,
,
Екінші мен төртінші теңдеу мынаны
береді, бұларды бірінші мен үшінші теңдеулерге қойсақ,
келіп шығады.
Сонымен, осцилляторлардың бастапқы тербелісі үшін
,
.
Кез келген өрнектен жай өзгеретін жиілігі мен өзгеретін көбейтіндіні
көре аламыз. Сонымен, х1, х2 тербелістері фаза жағынан максимал
амплитудамен тербелгенде, екіншісі тыныштықта болады. Біріншісінің
амплитудасы жайлап кеміген кезде екіншісінің амплитудасы арта бастайды (18-
сурет). Бұл флуктуациялар демонстрациялық тәжірибелерде бірдей маятниктерде
байқалады. Енді толық энергияны табайық. Потенциал энергия (жеке
осциллятордың), ал системаның осцилляторларымен байланысты потенциал
энергиясы .
18-сурет. х1, х2 тербелістері фаза жағынан максимал амплитудамен
тербелгенде, екіншісі тыныштықта болатындығы және біріншісінің амплитудасы
жайлап кеміген кезде екіншісінің амплитудасы арта бастайтыны кескінделген.
Сонымен,
Кинетикалық энергия
Сонымен, толық энергия
Егер осцилляторлардың өзара әсерін ескерсек, соңғы бөлшекті тастап
жіберсек, толық энергия екі осциллятордың энергияларының қосындысына тең
болады. тұрақты жилікпен тербеледі. Осциллятор бір-бірінен үлкен
қашықтықта болса ғана болады. Толық энергия T+U деп, ал жиіліктерін
өзгеретін жиілік деп қарастырылады. х1, х2 –нің жаңа координаталарын
десек,
,
,
Сонымен,
, , .
Осыларды пайдалана отырып, толық энергияның формуласын алайық:
(2.53) пен (2.50)-ді ескерсек,
. (2.56)
Алынған нәтижелерге сәйкес осцилляторлардың кванттық мәні:
, .
Толық энергия
.
(2.57)
жиіліктерін есептейік. k-нің орнына (2.50) теңдеуінен келтіріп
шығарсақ,
, , .
Енді тізбектей жасайық,
, .
келіп шығады. Бұл өрнекті (2.49)-ге қойсақ,
, (2.58)
келіп шығады. болған кезде
.
(2.59)
болады. Осцилляторлардың нольдік энергияларын ескере отырып, толық
энергия осы қосындыдан шамаға кем екендігін ескеруге болады. –
– энергиялық байланыс болып табылады.
.
(2.60)
С–тұрақты шама. (-) шама байланыс тартылуды білдіреді. Әр түрлі атомдар
үшін оптикалық шамаларын және универсал шамаларын біле отырып табуға
болады. Сонымен, молекулалық өзара әсердің энергиясын табуға болатынын
анықтадық. Сонымен, энергия кристал тордан атом немесе молекуланы босатып
алу мүмкіндігін береді. Ван-дер-Ваальс күштерінің байланысы осцилляторда
энергия пайда болуынан екендігі түсіндіріледі. Нольдік энергия .
Қорыта келе, Планк формуласын пайдаланып, (2.58) ескерсек,
негізгі күйде энергия ноль болатынын білеміз. Бұл тыныштықтағы
осциллятордың (классикалық теория негізінде) әсерлеспейтінін білдіреді және
олардың зарядтарының белгілі электр моменттері жоқ.
Сонымен, молекулалардың өзара әсер күштерінің пайда болуы нольдік
энергияға байланысты болады.
5. Үш өлшемді потенциал жәшіктегі бөлшек
Осы уақытқа дейінгі есептерде ψ функциясы тек бір координатаға тәуелді
болатын. Үш өлшемді потенциал жәшік, оның ішіндегі потенциал барлық бағытта
нольге тең болсын, бірақ оның шеттерінде шексіздікке дейін өсіп қалған
кеңістікте де осындай болсын делік. Потенциалы ноль болатын бөлігін
параллелепипедтің қабырғалары болсын
Сондықтан,
, , бұдан және
, , бұдан және
, , бұдан және
Бұл жағдайда Шредингер теңдеуінің көрінісін декарттық координата
түрінде жазамыз:
(2.61)
Бұл дифференциалдық теңдеудің шешімін қарапайым жеке туынды деп алуға
болады. ψ-ді табуда үш функцияның көбейтіндісі ретінде қарастыруға болады.
(2.62)
(2.62) –нің шешімін (2.61)-ге қойып теңдеудің екі жағын ХУZ –ке бөлсек,
(2.63)
Бұл жерде бірінші жұп мүшелері х-қа, екіншісі у-ке, ал үшіншісі z-ке
байланысты болады, ал олардың қосындысы тұрақты болып қала береді. Сонымен,
,
, .
(2.64)
Біз қарапайым үш дифференциалдық теңдеуді ажыратып алдық. Бұдан мынаны
алуға болады,
.
Бірақ, -тің орнына басқа -терді енгізейік. Мысалы, .
Сонда (2.64) теңдеуін былай жазуға болады
,
(2.65)
,
(2.66)
, .
(2.67)
.
(2.68)
Басқа екі теңдеу (2.64) теңдеуінің аналогиялық теңдеуі болады:
, .
(2.69)
, .
(2.70)
. (2.71)
Энергия тек дискретті қатарда ғана болады:
, (2.72)
.
(2.71) теңдеуінің функциясы төмендегідей анықталады: олар көлденең
толқын болып келеді, жазық түйіні, параллель жазықтық
координатасында, жазық түйіні, параллель жазықтықта,
жазық түйіні, параллель жазықтықта болсын.
(2.72) формуласына сәйкес энергияның мәні дискретті тізбек, әр
үштікте бүтін санды құрайтын болады. сандарын квантық сандар
деп атайды.
Жәшіктегі энергияны былай тұжырымдайық. Кеңістікте элементар
бөлшектер параллелепипедтің қабырғаларында болады (19-сурет).
19-сурет. Кеңістікте элементар бөлшектер параллелепипедтің қабырғаларында
болатындығы кескінделген.
Ұяшықтың көлемі болсын. Әрбір бөлшектің координаталары
болсын. Ұзындығының квадраты былай жазылады:
.
Сондықтан да, энергия былай болады:
потенциал жәшіктің қабырғалары болса, . Бұл жағдай үшін
,
болады. Әрбір сандарда өз ψ функциясы болады, олардың қосындысы
болады. Сонымен, куб тордағы түйіндеріндегі энергия бірдей болады.
Мысал үшін екі жағдайды қарастырамыз. болсын, онда
болады. Бірақ . Онда
,
және энергияның мәні былай болады
.
1-кестеден энергияның алты күйін тапсақ болады.
1-кесте
1 2 3 }14
1 3 2
2 3 1
3 1 2
2 1 3
3 2 1
Энергияның деңгейі кванттық күй салмағы деп аталады. Келтірілген мысалдарда
1, ал екіншісінде 6-ға тең болады.
6. Сызықты гармониялық осциллятордың теориялық физикада қолданылуы
Теориялық физикада сызықты гармониялық осциллятор есебін зерттеудің
маңызы зор. Физиканың барлық бөлімінде кездесетін тербелмелі процесстерді
қарапайым сызықты гармониялық осцилляторға келтіруге болады. Кез келген
күрделі қозғалысты Фурье интегралына жіктеу арқылы қарапайым гармониялық
тербелістердің қосындысы түрінде көрсетуге болады. Кванттық гармониялық
осциллятор үшін Шредингер теңдеуін шешу, бір өлшемді қозғалыс заңдылықтарын
зерттеумен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz