Анықталмаған интеграл

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе
3
1
Интеграл туралы жалпы ұғым
4
1.1
Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері
5
2
Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі
7
2.1
Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері
9
2.2
Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі
11
2.3
Бөліктеп интегралдау әдісі
12
3
Тәжірибелік-эксперименттік жұмыс бөлімі
18
3.1
Зерттеу жұмысының нәтижелері
21

Қорытынды
24

Пайданылған әдебиеттер тізімі
25

Kipicпe

Анықталмаған интегралды есептеудің тәжірибеде ыңғайлы жалпы әдістерінің жоқтығына байланысты және есептеудің оқушылар үшін жеткілікті деңгейде күрделілігіне байланысты әр дайым есептеуде жиі кездесетін функциялардың кейбір дербес кластарының интегралдау әдістерін қарастыруға тура келеді.
Математиканы оқыту әдістемесі ең алдымен төменгі класс оқушыларына математиканы оқыту міндетін жалпы оқу және тәрбие жүйесімен бірге қарастырады. Әдістемеде математиканың бастауыш курсының мазмұны мен құрылысы ашылып айқындалынады, яғни математикадан бастауыш кластарда қандай материал оқылатыны және неге дәл сол материал таңдап алынғандығы, курстың әрбір жеке мәселесі бастауыш кластарда қандай дәрежеде жинақталып оқылатыны, курс тақырыптары қандай тәртіпте қарастырылатыны және мұндай тәртіптің неге анағұрлым тиімді екендігі айтылады.
Математикалық анализді кластарда оқыту әдістемесінде курстағы әрбір тараудын, және сол тараудағы әр мәселені мысалы, интегралдарды табу қосу мен азайтуды қалай оқып үйрену керектігі, атап айтқанда, осы тақырыпта қосудың ауыстырымдылық қасиетін анықтау оқып үйренудін дербес әдістері айқындалады. Математиканы оқыту әдістемесі оқушыларға теориялық білімді игеру, алған білімін алуан түрлі практикалық мәселелерді шешу үшін қолдана білуге үйрену, оқушыларда берік дағды қалыптастыру жөнінде дәлелді ақыл-кеңестер ұсынады.
Курстық жұмыстың мақсаты: Математиканы оқытуда есептердің алатын орны ерекше. Оны оқытудың негізгі мақсаты - математикалық есептердің белгілі бір жүйесін шешу. Әдістемесін игеру. Сондықтан есепті шешу - оқытудың мақсаты ғана емес, сондай - ақ құралы да. Оның қатарына пәнді оқытуда қарастырылатын әр алуан жаттығулар, мысалдар, логикалық тапсырмалар, яғни кез келген математикалық мазмұнды тапсырманы жатқызуға болады. Есепті шешу кезінде оның шартына немесе салдарына математикалық жалпы қағидаларды қолданудың реті анықталады.
Курстық жұмыстың міндеті:
- Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері;
- Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері;
- Тәжірибелік-эксперименттік жұмыс
Курстық жұмыстың зерттеу обьектісі. Математикалық анализ.

1 Интеграл туралы жалпы ұғым

Интеграл (лат. Іnteger - бүтін) - математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан - туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады.
Интеграл сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;
- өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама (1-сурет).

1-сурет - Анықталмаған интеграл

Анықталмаған интегралды іздеу амалы немесе дифференциалдық теңдеулерді шешу.
Осыған сай дифференциалдау формулалары мен ережелеріне сүйене отырып, интегралдаудың формулалары мен ережелерін алуға болады.

1.1 Анықталмаған интеграл

Егер интервалының кез келген х берілген нүктесінде функциясы дифференциалданатын болса және оның туындысы болса, онда фукнциясы функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысал: функциясының алғашқы функциясын табу керек.
Шешуі
Алғашқы функцияның анықтамасы бойынша болғандықтан, функциясы -тің алғашқы функциясы болады.

Теорема: Егер және интервалында берілген функциясының кез келген алғашқы функциялары болса, онда берілген интервалда теңдігі орындалады, мұнда С-қайсы бір тұрақты. Демек, бір функцияның кезкелген алғашқы функциялары тек тұрақты шамаға ғана айрықшаланады. Алдындағы көрсетілген есепте алғашқы функциялары деп мына функцияларды алуға болады:
. Немесе жалпы түрде , мұнда С-
кезкелген тұрақты, өйткені .
интервалында берілген функциясының интервалында берілген барлық алғашқы функциялар жиынын анықталмаған интеграл деп атап, былай белгілейді:
Мына белгілеуде -интеграл белгісі, - интеграл астындағы өрнек, - интеграл астындағы функция, -интегралдау айнымалысы.
Егер функциясы функциясының бір алғашқы функциясы болса, яғни, , онда , мұнда С-кезкелген тұрақты (1)
Интеграл астындағы өрнек теңдіктің оң жақтағы кез келген алғашқы функцияларының дифференциалы болады.
Берілген интеграл астындағы функция бойынша анықталмаған интегралды табу интегралдау амалы деп аталады. Дифференциалдау амалына қарағанда интегралдау қарама-қарсы амал. Анықталмаған интегралдың геометриялық мәні: , С- параметр, қисықтар жиыны. Осы жиынға жататын қисықтар интегралдау қисықтары деп аталады. Осы жиынның кез келген қисығын Оу осінің бойымен параллель жылжытып алуға болады.

1.2 Анықталмаған интеграл, оның қасиеттері

F(x) функциясы дифференциалдау деп берілген алғашқы F(x) функциясының F'(x)= f(x) туындысын немесе df(x)=f(x)dx.
Дифференциалын табу амалын айтамыз.
Сол амалға кері амал, яғни F'(x) болып табылатын берілген f(x) үшін алғашқы F(x) функциясын табу амалы f(x)-ті интегралдау деп аталады.
F (x)-ті интегралдау амалын көрсету үшін ʃ символы қолданылады да, былай жазылады: ʃ f(x)dx.
Осы ʃ f(x)dx берілген f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын бейнелейді және f(x)-тен анықталмаған интеграл деп аталады.
Демек, анықтамаға сәйкес ʃ f(x)dx = F(x) + C болады. Бұл формуладағы F(x) функциясы f(x)-тың белгілі бір алғашқы функциясы, С-кез келген тұрақты.
Сонымен бірге f(x) - интеграл астындағы функция, ал f(x)dx - интеграл астындағы өрнек деп аталады.
ʃ - символы ұзартылып алынған латын алфавитіндегі S әріпі, ол символды интегралдың белгісі деп атайды.
Функцияны интегралдау және олардың алғашқы функцияларының қаиеттері жайындағы ілім интегралдық есептеу деп аталады.
Дифференциалдық есептеу сияқты интегралдық есептеуде математикалық анализдің өте маңызды бөлімдерінің бірі болып табылды. қарастырылған есептердің шешуін енді интеграл түрінде былай жазуға болады:
S = fv(t)dt + C
m = fp(t)dt + C.
Теорема-1. Екі және бірнеше функцияның алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы олардың интегралдарының қосындысына тең.
.
Теорема-2. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады, яғни егер а - тұрақты сан болса, болады.

F'(x)=f(x) және екенін ʃ f(x)dx = F(x) + C ескере отырып анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырамыз.
1) Дифференциалдың анықталмаған интегралы дифференциалданған функция мен кез келген тұрақтының қосындысына тең, яғни:
ʃ df(x)dx = F(x) + C
2) Анықталмаған интегралдың дифференциалын интеграл астындағы өрнекке тең, яғни:
dʃ f(x)dx = f(x)dx
3) Тұрақты көбейткішті интегралдық белгінің алдына шығаруға да, интегралдық белгінің астына алып баруға да болады, яғни:
ʃ kf(x)dx = kf(x)dx

2 Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі

1-Анықтама. Егер [a,b] кесіндісінің кез келген нүктесінде болса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы: функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені болады.
Теорема-1. Егер және функциялары f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі екі алғашқы функциялары болса, онда олардың айырмасы тұрақты сан болады.
2-Анықтама. Егер функциясы f(x)-тің алғашқы функциясы болса, онда өрнегі f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады. және деген белгімен белгіленеді. Сонымен болады. Мұндағы
f(x) интеграл астындағы функция деп, f(x)dx интеграл астындағы өрнек деп аталады. х интегралдау айнымалысы деп, ал белгі -анықталмаған интегралдың таңбасы деп аталады.
Теорема-2. Берілген сегментте үздіксіз кез келген функцияның осы сегментте алғашқы функциясы болады. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу амалы сол функцияны интегралдау деп аталады.
Интегралдауды жеңілдету үшін негізгі интегралдардың таблицасы беріледі. Бұл таблицалардың дұрыстығын дифференциалдау арқылы жеңіл тексеруге болады.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
11*.
12.
12*.
13.
13*.
14.
15.
16.

2.1 Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері

Интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдау кестесінің қорына байланысты:
- тікелей интегралдау;
- айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау;
- бөліктеп интегралдау.
Осы тәсілдерді жеке қарастырайық:
Тікелей интегралдау әдісі.
Функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттері мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Ал, тригонометриялық фнкцияларды интегралдағанда қосымша келесі келтіру формулаларын пайдалануға болады:
- sin²x+cos²x=1, sinx=
- ctgx=, tgx*ctgx=1
- cosec, secx=
- sin2x=2sinx*cosx, cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x
- sinx*cosy=
cosx* siny = (sin (x+y)-sin (x-y))cos*cosy = (cos(x+y)+cos(x-y)) sinx*siny = (cos(x+y)-cos(x-y)).
Мысал, ∫ интегралын есептеп, нәтижесін дифференциалдау арқылы тексеріңдер. Алымын бөліміне бөліп, интегралдың қасиетін және кестені пайдаланып, шығарамыз:
1. ∫-14dx-2∫ x154dx+∫ x512dx=4x34-x194+ x1712+C=4-19+12√x17+C.
- ∫ cos7xdx
- ∫sin(2x-6)dx
- ∫ sin²xdx
Интеграл астындағы функцияның бөліміндегі өрнектен толық квадратты бөліп аламыз. Сонда 1. ∫ =∫ = =4√36√13arctg
- ∫dx
Алымында бөлімінің туындысына тең болатын қосылғышты айырып алып, алатынымыз:
∫=∫(4-8x)-25dx=-(4-8x)35+C=-⁵√(4- 8x)³+C5.∫6. ∫dx7. ∫dx= ∫dx= ∫=dx= ∫(1-cosx) dx=x-sinx+C
Негізгі интегралдар кестесін қолданып, анықталмаған интегралдар қасиеттерін пайдаланып интеграл астындағы өрнекті түрлендіріп интегралдағанды тікелей интегралдау деп атайды.
№1 Интегралдарды табу керек.
а) , б)

в)
Шешуі:
1) Алдымен интеграл астындағы функцияны ықшамдап, сосын анықталмаған интеграл қасиеттерін және (1) кестелік интегралды қолданып есептейміз.

б) Анықталмаған интеграл қасиеттерін және (5), (8) кестелік интегралдарды қолданып есептейміз.

в) 4, 5 қасиеттерін және (9), (10), (2) кестелік интегралдарды қолданып, есептейміз.

№2 Интегралдарды табу керек

а) б) ,

в) г)

а) Алымындағы жақшаларды ашып және шыққан өрнекті бөлеміз.

б) Алымындағы жақшаны ашып және берілген интегралды екі интегралдың қосындысы түрінде жазып, есептейміз.

в) Жақшаны ашып, берілген интегралды екі интеграл қосындысына жіктейміз.

г) Берілген интегралды кестелік интегралдарға келтіру үшін алымындағы 1-дің орнына қойып екі интеграл қосындысына жіктейміз.

2.2 Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі

Кейде интегралдағы х айнымалысының орнына жаңа t айнымалысын енгізіп, берілген ∫ f(x)dx интегралын тікелей интегралданатын кестелік интегралдың біріне келтіруге болады. Бұл интегралдау әдісін айнымалыларды ауыстыру әдісі деп атайды Бұл әдістің негізі күрделі функциялардың дифференциалдау формуласы болып табылады.
Теорема. Анықталмаған ∫f(x)dx интегралындағы х айнымалысының орнына x=φ(t) формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізсек, берілген анықталмаған интеграл үшін ∫ f(x)dx = ∫ f [φ(t)] φ(t) dt (теңдігі орындалады. Бұл әдісті қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты.
Мысалдар:
- ∫ х√х-3dx Квадрат түбірден құтылу үшін √х-3=t деп жаңа t айнымалысын енгіземіз. Сонда x=t²+3 және dx=2t dt. Ауыстыруды енгізген соң, аламыз: ∫ x√x-3xdx= ∫ (t²+3) t2tdt= ∫ (2t⁴+6t²)dt= 52+2 (x-3)32+C
* ∫ √sinxcosxdx= t=sinx, dt=cosxdx=∫√tdt=∫ t12dt=t23+C=sin32x+C
* ∫ x(x²+1)32dx
* ∫ esinxcosxdx
Интеграл астындағы өрнек екі көбейткіштен тұрады, түбірден құтылатындай жаңа айнымалы енгіземіз: t = sinx, x = arcsint dx =, cosx= √1-sin²x = √1-t²∫e sinx cosx dx= ∫et√1-t²= ∫etdt= et+C=esin x+C
* ∫ √a²-x²dx
Бұл әдіс көбейтіндінің туындысы формуласына негізделген:
(uv)=u*v+v*u
мұндағы u=u(x) және v=v(x)
дифференциалдары үзіліссіз х-ке байланысты функциялар. Дифференциалдық түрде былай жазуға болады: d(uv)= udv+vdu. Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ: ∫ d(uv)= ∫ udv+ ∫ vdu.
Анықталмаған интегралдың келтірілген қасиеттеріне байланысты шығатыны:
uv=∫udv+∫ vdu немесе ∫ udv= uv-∫ vdu

формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл әдісті қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің (u және dv) көбейтіндісі түрінде қарастырады. Сол себепті бөліктеп интегралдау әдісінің тиімділігі u және dv көбейткіштерін дұрыс таңдап алуға байланысты болады.
Мысалдар:
* ∫ x²sinxdx
* ∫e2xcosxdx
* ∫ (x-7)sin5xdx= = - (x-7)cos5x+∫ cos5xdx=- (x-7)cos5x+sin5x+C
* ∫dx
1) Жіктеу тәсілімен интегралдау.
Негізгі интегралдың табицасын пайдаланып және анықталған интегралдың негізгі қасиеттерін қолданып және сол сияқты интеграл астындағы функцияны жай тепе-тең түрлендіру арқылы интегралдауды тікелей интегралдау деп аталады. Мысалы:
1)
2)
3)

2.3 Бөліктеп интегралдау әдісі

Егер u(x) және v(x) қайсы бір аралықта үздіксіз, аралықтың әрбір ішкі нүктесінде дифференциалданатын функциялар болып және осы аралықта бар болса, онда бар болады,

Егер берілген интегралға қарағанда әлдеқайда қарапайым интеграл болса, (3) формуланы бөліктеп интегралдау формуласы деп атайды. Осы формуланы қолдануға болады,.
(3) формуланы қолданып, мына интегралдарды табу керек:
,
Шешуі:
(3) формуланы қолданамыз
б) u=x және dv=Cosxdx деп аламыз. Онда

Ендеше,
(3) формуланы қолданғанда, u және dv дұрыс таңдап алу керек. Интеграл астындағы өрнекті u және dv көбейткіштерге бөліктейтін жалпы ереже жоқ. Бірақ кейбір дербес нұсқауларды қолдануға болады.
Егер интеграл астындағы өрнек көпмүшелік пен көрсеткіштік функцияның, не болмаса көпмүшелік пен тригонометриялық функцияның көбейтіндісі болса,онда u деп көпмүшелікті белгілейміз.

Егер интеграл астындағы өрнек көпмүшелік пен логаримфдік функция, не болмаса көпмүшелік пен кері тригонометриялық функцияның көбейтіндісі болса, онда u деп логарифдік функцияны, не болмаса кері тригонометриялық функцияны алу керек.
Интегралдарды табу керек.

, ,

Шешуі;
Нұсқау 2 - ні қолданып, және деп белгілейміз.
Онда . Бөлшектеп интегралдау әдісінің формуласын қолданып, интегралды мына түрге келтіреміз.

және dv=2xdx, онда . Бөлшектеп
интегралдау әдісінің формуласын қолданып,

а) u=arcSinx және dv=dx болсын, онда Демек,

Бөліктеп интегралдау формуласын қолданып, интегралды табу қажет.
, ,
, ,
, ,
, ,

Бөліктеп интегралдау формуласын 2 рет қолданып, берілген интегралдарды есептеу керек:
, ,
және , мұнда Р(х) көпмүшелік, түрдегі интегралдарды табу үшін көпмүшелік дәрежесі қанша болса, сонша рет бөліктеп интегралдау формуласын қолдану қажет. Сонымен қатар, көбейткіш u- деп әр кезде дәрежелік функцияны белгілейді.
Кейбір жағдайларда бөліктеп интегралдау формуласын бірнеше рет қолданғанда ізделінетін интегралға қатысты теңдеу шығады. Мұндай интегралдарға мына интегралдар жатады.

интегралды табу керек.
Шешуі:
және , онда және . Осыдан (*)
(*) алынған интегралдың оң жағын бөліктеп интегралдау әдісімен интегралдаймыз.
Айталық және , онда , және (**)
(**)- ны (*)-ға қойсақ ізделінді интегралға қатысты формуланы аламыз.
, осыдан

интегралды тап.
Шешуі :
және dv=dx онда v=x ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.