Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 55 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
1 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды6
есептеуде қолдану тақырыбының теориялық
негіздер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
1.1 Комбинаторика 6
ұғымы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
1.2 Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары ... .. 8
1.3 Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика формулалары ... . 13
1.4 Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері. Элементтердің 18
парлары ... ... .
2 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды31
есептеуде қолдану тақырыбын оқыту ... ... ... ... ... ...
2.1 Қосу және көбейту ережелері.Комбинациялардың тізімі. 31
Лексикографиялық
рет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .
2.2 Алмастырулар мен орналастырулар. 33
Факториал ... ... ... ... ... ... . ... ...
2.3 Терулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..35
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..
2.4 Ықтималдықтарды есептеудегі 38
комбинаторика ... ... ... ... ... . ... ... ... .
2.5 Тақырыптың қазіргі мектеп математика оқулықтарында баяндалуына 49
талдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..61
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .
Пайдаланылған 62
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ..

Кіріспе

XX-ғасырдың екінші жартысында ғылым мен техниканың жаңа салаларының
пайда болуы және олардың тез қарқынмен дамуына байланысты математиканың
ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері тарауына
деген сұраныс күрт артып отыр. Атап айтқанда, олар информация теориясы,
қателер теориясы, физика және басқа жаратылыстану ғылым салаларында,
сондай-ақ нарық заманында, күнделікті өмірде де тірек білім ретінде
қолданылуда. Сондықтан да ықтималдық теориясы мен математикалық статистика
элементтері тек қана жоғары немесе арнаулы оқу орындарында ғана емес, жалпы
білім беретін орта мектептерде де оқытылуда.
Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін мектеп
тәжірибесіне енгізу қазіргі қоғам талабына сай математикалық білім берудің
мақсатынан, яғни оқушыларды әдіснамалық тұрғыда тәрбиелеуден, математика
курсының дүниетанымдық көзқарасына бағдарлануынан, терең әрі негізделген
пәнаралық байланыстарды құрудың мүмкіндіктерінен шығады. Бұл оқу
материалдары адамның ақпаратты сауатты түсінуіне және талдауға білікті
болуына, нақты тәуелділіктердің ықтималдық сипатын және оның формасын
анықтауына, қарапайым есептеулерді жүргізе алуына өте қажет. Ықтималдық –
статистикалық білімнің болмауы әлеуметтік, саяси, экономикалық ақпараттарды
қабылдауға қиындық туғызады .
Комбинаторика – математика тарауларының бірі. Мұнда шекті жиын
элементтерінің түрлі қосылыстары, басқаша айтқанда, әр қилы
конфигурациялары қарастырылып, олардың сандары саналады және де есептеледі.

Теориялық зерттеу тұрғысынан алғанда комбинаторика алғаш рет ХVII
ғасырдағы Паскаль, Ферма, Лейбниц және ХVIIІ ғасырдағы Я.Бернулли, Эйлер
еңбектерінде қарастырылған. Ұлы математиктердің бұл шығармаларында
комбинаторкалардың кездесуі бір жағынан алғанда тұрмыстың сан алуан
мұқтаждарына байланысты болса, ал екінші жағынан алғанда, математиканың өз
ішіндегі дамуларымен ұштасып жатыр.
Қазіргі кезде комбинаторика математика салаларының ішінде өте жедел дамып
отырған бөлігіне айналды. Бұған себеп болып отырған бұл теорияның
электрондық есептегіш машиналарға, информация мен ықтималдықтар
теорияларына кеңінен қолданылуы. Дискреттік деп аталып жүрген математиканың
өзінде де көп ықпалын тигізген, міне, осы қосылыстар теориясы. Шешуі:
нешеу, неше тәсілмен деген сұрауларға жауап беруді қажет ететін
есептер комбинаторлық есептер делінеді. Мұндай есептерді шешумен
айналысатын математика саласы комбинаторика деп аталады.
Кейінгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына
электрондық есептегіш техниканың дамуы шектеулі математика ролінің артуы,
ыктималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық
маңызының күннен-күнге артуы негізгі себеп болып отыр.
Кейбір комбинаторикалық есептермен ежелгі грек математиктері де
айналысқан. Дегенмен бұл саладағы маңызды нәтижелерді алгебра мен
ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты XVII және XVIII ғасыр
математиктері ала бастаған. Алғашында ықтималдықтар теориясы, негізінен,
құмар ойындардың (ойын сүйегін тастау, карта ойындары және т.с.с)
мұқтаждығынан туындаған.
ғасырдың екінші жартысында Паскаль мен Ферма арасындағы хат алысу кезінде
ғалымдар құмар ойындарында кездесетін заңдылықтарды ғылыми тұрғыдан
негіздеп бақты. Тарихшы ғалымдар ықтималдық теориясының пайда болуын осы
хат алмасулардан бастау алады деп бағалайды. Бұл теорияның дамуына
нидерланд математигі X. Гюйгенс (1629-1695), неміс ғалымы Г. В. Лейбниц
(1646-1716), швейцар математигі Я. Бернулли (1654-1705) және өзгелер
қомақты үлес қосты.
ғасырда жаратылыстану және тұрмыс-тіршілік мұқтаждықтары (бақылау
қателіктері теориясы, оқ ату теориясының есептері, статистика мәселелері
және т.с.с.) ықтималдықтар теориясының дамуын жаңа сатыға көтерді.
Ықтималдықтар теориясында аналитикалық тәсілдерді қолдануда үлкен үлес
қосқандар қатарында А. Муавр (1667-1754), П. С. Лаплас (1749-1827), К.
Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840) сынды ғұлама математиктер болды.
Ал ХІХ-ХХ ғасырларда ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың
қалыптасып дамуына орыс математиктерінің қосқан үлесі зор.
Олардың қатарына П. Л. Чебышев (1821-1894), А. А. Марков (1856-1922), А.
М. Ляпунов (1857-1918), С. Н. Бернштейн (1880-1968), А. Я. Хинчин (1894-
1959), А. Н. Колмогоров (1903-1987) және өзгелерді қосуға болады. Мәселен,
А. Н. Колмогоров ықтималдықтар теориясын аксиоматикалық жолмен тұрғызды .
Қазақстанда да ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика
элементтері мәселесіне байланысты кең көлемде ғылыми-зерттеу жұмыстары
жүргізілуде.Бұл іске көп жағдайда халық шаруашылығы бағытындағы жоғары оқу
орындары оқытушы-профессорлары белсенділік көрсетуде. Аталған мәселе жайлы
елімізде Қ.Б. Бектаев, Б.С.Жаңбырбаев, Р.Т.Келтенова, Н.Аханбаев,
О.М.Мейрамқұлов, Қ.Ж.Серікбаева, Р.Ғ.Мейірманова, М.Ж. Бекбатшаев,
Н.С.Саханов, К.Н.Бағысбаев, А.К.Қазешов, С.А.Нұрпейісов, Қ.Қаңлыбаев және
т.б. ғалым –педагогтар ғылыми және педагогикалық жұмыстар жүргізді.
Орта мектептерде Комбинаторика элементтері тақырыбын оқыту 1973-1975
жылдарда факультативтік жұмыстарда жүзеге асты, ал 1975-76 оқу жылынан
бастап, бұл тақырып жалпыға міндетті жаңа бағдарлама бойынша оқытылды.
Кейінірек, 1980 жылдан математиканың бұл бөлімі мектеп бағдарламасынан
алынып тасталды. Сөйтіп, ширек ғасырға жуық уақыт бойы орта мектепте де,
педагогикалық жоғары оқу орындарында да комбинаторлық талдау есептерін
шығару және оларды оқыту әдістемесі оқылмай қойды .
Қазіргі таңда комбинаторика, кездейсоқ жағдайлар алгебрасы және
статистика теориясы элементтері бастамалары республикамыздағы бірқатар
авторлардың алгебра оқулықтарынан, сондай-ақ, Қазақстанның жалпы орта білім
беретін мектебінің 5-6 сыныптарына арналған математиканың жаңа стандарттық
бағдарламаларының мазмұнынан нақты орын алды.
Орта мектептерде әзірге Ықтималдықтар теориясының бастамасы тақырыбын
оқыту тәжірибесі жоқ, сондықтан, Комбинаторика элементтері және оны
ықтималдық теориясында қолдану курсының сипаттамасы қызығу тудыру мүмкін.
Жұмыстың мақсаты: ықтималдықтар теориясы мен комбинаторика
элементтерін теориялық тұрғыда негіздеп, орта мектепте оқыту әдістемесін
жетілдіру.
Зерттеу нысаны: мектеп математика курсынадағы ықтималдықтар теориясы мен
комбинаторика элементтерін оқыту.
Зерттеу пәні: мектеп математика курсынадағы комбинаторика және оны
ықтималдықты есептеуде қолдануға оқыту әдістемесі.
Жұмыстың міндеттері: мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны
ықтималдықты есептеуде қолдану тақырыбының теориялық негіздерін, яғни,
қосу және көбейту ережелерін, қайталанбайтын және қайталамалы таңдамалар
үшін комбинаторика формулаларын ықтималдықты есептеуде қолдануды және
тақырыптың қазіргі мектеп математика оқулықтарында баяндалуына талдауды
жүзеге асыру.

1 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықты
есептеуде қолдану тақырыбының теориялық негіздері

1. Комбинаторика ұғымы

Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды есептеу А
оқиғасының пайда болуына қолайлы, элементар оқиғалар саны n-ды табуға келіп
тіреледі. Ықтималдықтар теориясында m мен п мәндері, ілгеріде
көрсетілгендей оп-оңай анықтала бермейді. Бұларды табу ушін қайсыбір
жиын элементтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді.
Мәселен, жәшіктегі әріптер жиыны а, b, элементтерінен кұралған десек,
онда бұл жиыннан әріптерді: 1) бір-бірден 3 тәсілмен аламыз (а,
b,); 2) екі-екіден 6 тәсілмен аламыз (ab, ba, , , ,
); 3) үш-үштен 6 тәсілмен аламыз (ab, ab, ba, ba,
ab).
Мұндағы алынған әрiп тіркестерінің бір-бірінен айырмашылығы
элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр. Мұндай
тіркестер — жиын элементтерінің комбинациясы (қосылысы) болып, бірнеше
реттелген жиындар жасайды. Мысалы, көрсетілген үш элементті жиыннан
әрқайсысы екі элементтен 6 реттелген жиын алып отырмыз. Сондай-ақ 4
элементі {a, b, c, d} жиыннан әрбір екі элементтен тұратын 12
реттелген жиын алуға болады және т. с. с.
Комбинаториканы пайдаланып оқиға ықтималдығын анықтау таңдаманы жиыннан
алу тәсіліне байланысты. Мұны түсіндіруді мысалдан бастайық.
1 - м ы с а л Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен
мемлекеттік автоинспекция шұғылданады. Олар екі, үш әріптен неше комбинация
жасайтынын білуі керек. Бұл фактіні байланыс кызметкері де, кодылау
мамандары да білуге тиіс. Сонымен, орыс алфавитіндегі 32 әріптен үш әріптен
құралатын комбинацияны неше тәсілмен жасауға болады?
Ш е ш у і Бұл есепті шешу әріптер жиынынан алынатын үш әріп
комбинациясына қойылатын талапқа байланысты. Түсінікті болу үшін бұл
әріптердің әрбіреуін формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық. Сөйтіп,
оларды топтастырайық, яғни бір колода етейік. Сонда колодадағы карточкалар
жиын болады. Әріптерді колодадан екі түрлі жолмен таңдап алуға болады.
Бірінші тәсіл (қайталанбайтын таңдама). Бірінші алынатын әріп колодадағы
32 әріптің бірі болады, яғни оны 32 тәсілмен алуға болады. Ал, екінші әріп
колодада қалған 31 әріптен алынады. Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті
комбинациялар саны 32·31=992 болады. Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы
үшінші алынатын әріппен тіркесіп үш әріпті тіркес құрайды. Сонда олар
32·31·30 = 29760 тәсілмен алынады. Бұл жағдайда әрбір үш әріпті тіркестегі
әріптер әр түрлі болып кездеседі.
Екінші тәсіл (қайталанатын таңдама). Бірінші алынған әріп таңбасы
белгіленген соң, ол колодаға қайыра салынады. Сонда екінші алынатын әріп те
колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса, екі әріпті тіркестерді 32·32
= 322= 1024 тәсілмен алуға болады. Осы сияқты үш әріпті тіркестер
32·32·32 = 323 = 32768
тәсілмен жасалады. Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай
шек қойылмайды, яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестердің ішінде екі рет, үш
рет кайталанып келуі мүмкін.
Сонымен, 32 әріптен үш-үштен алу таңдама болып табылады. Бірінші жолы
колодадан қай әріп алынатыны белгілегеннен кейін, колодаға ол қайта
салынған жоқ. Сондықтан мұндай таңдаманы қайталанбайтын таңдама деп
атаймыз. Екінші жолы колодадан алынған әріп белгіленіп алынғаннан кейін, ол
қайтадан колодаға салынады. Сонда екінші әріп колодадағы 32 әріптің ішінен
алынады. Үшінші әріпті алғанда да өзгермейді. Сондықтан бұлай таңдауды
қайталанатын таңдама деп атайды. Ал, элементтері алынып отырған жиын, яғни
32 әріп жиыны бас жиын болады. Әдетте, бас жиындағы әріптеp сол жиын
элементтері болады.
Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейтудің
мынадай ережесін пайдаланғандығымызды байқау қиын емес.
Көбейту ережесі Егер А жиыны
элементтерінен, яғни m элементтен, ал В жиыны элементтерінен,
яғни k элементтен құралатын болса (бұл екі жиын бір жиыннан алынуы
да мүмкін), онда олардың әрқайсысынан бір-бір элементтен алынған әр түрлі
комбинациялары саны mk болады .
Шынында да, бұларды түрінде m горизонталь және k вертикаль
жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады.

1-кесте

В ...
А
...
...
... ... ... ... ...
...

Бұл таблицадағы әрбір тек бір реттен ғана кездеседі. Олардың барлық
саны — mk. Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады. Мысалы,
элементтер саны сәйкес т, k, h болатын үш жиын берілсін. Әр жиыннан
тек бір элементтен ғана алынған әр түрлі үш элемент комбинациясын
жасауға болады, мұндағы және . Олардың саны т, k, h болады,
өйткені А және В жиындарынан алынған әрбір пары үшінші жиынның
әрбір элементімен комбинацияланады. Бұл комбинациялар саны, әрине (mk)
h = mkh санына тең. Енді комбинаторика үғымын ықтималдықтар теориясының
есептерін шешуге қолданамыз. Ол үшін бірнеше формулаларды қорытудың
қажеттігі туады. Бұл формулалар екі түрлі жағдайда қарастырылады.
Біріншісі қайталанбайтын таңдама үшін болса, екіншісі қайталанатын таңдама
үшін болады.
Қайталанбайтын таңдама үшін комбинаторика формулалары 9-класс
математикасында қорытылған. Бұл формулаларды және оларға тиісті есептерді
шешуді ұсына отырып, ықтималдықтарды есептеуге арналған мысалдарды
келтіреміз.

1.2 Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары

О р н а л а с т ы р у л а р Алдыңғы 1-мысалдың бірінші шешуінде орыс
алфавитінен алынған үш әріп комбинациялары саны 32·З1·30=29760 еді. Алфавит
N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны N(N-
1)(N-2) болар еді. Ал енді 3 әріп орнына әрқайсысы k әріптен комбинациялар
құрсақ, олар N(N-1)(N-2)...(N-(k-1)) тәсілімен орындалады. Бұл өрнек N
элементтен әрқайсысы k-дан жасалған орналастырулар саны делінеді. Бұл
орналастырулардың әрқайсысына N элементтің ішінен k элемент еніп, олардың
айырмашылықтары не элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде
болады. Мұны символымен белгілейік. Сонда
(1)
Өрнекті ықшамдаған қолайлы. Ол үшін (1) өрнегінің оң жағын 1, 2, 3, ... ,
(N-k) сандарына көбейтеміз және бөлеміз. Сонда

яғни
(2)
Мұнда - эн факториал деп оқылады, ол 1-ден -ге дейінгі натурал
сандардың көбейтіндісіне тең, яғни
(3)
2 - м ы с а л Е, К, М, Н, Т, Ш, Ы әріптері бірдей карточкаларға
жазылып, бір колодаға салынған. Оларды әбден араластырып бір-бірден төрт
карточка аламыз. Сонда: а) 7 әріптен төрт-төрттен нешe тәсілмен алуға
болады: ә) алынған 4 әріпті қатарынан тізіп қойғанда КЕНТ сөзінің пайда
болу ықтималдығын есептеу керек.
Ш е ш у і а) Колодадан алынған бірінші карточка сондағы 7 карточканың
бірі, яғни бірінші карточканы 7 тәсілмен алуға болады. Екі карточканы 7·6
тәсілмен алуға болады, өйткені бірінші карточка алынғаннан кейін екіншісін
колодадан қалған 6 карточканың ішінен алынады. Оның үстіне, әрбір бірінші
әріп әрбір екінші әріппен 7·6 рет комбинацияланады. Осы сияқты, 3 әріп
алынатын комбинация 7·6·5 тәсілмен, 4 әріптен алынатын комбинация 7·6·5·4
тәсілмен құралады. Есеп шарты бойынша N =7, k = 4, енді (1) формуласын
пайдалансақ: А7 =7·6·5·4 = 840 немесе (2) формуласы бойынша

ә) Алдымен n-ді анықтайық. n = 840 болатынын көрдік. Бұл барлық тең
мүмкіндікті элементар оқиғалар саны. Енді аталған сөздің пайда болуына
қолайлы элементар оқиғалар саны m-ді табамыз. 4 әріпті тіркестер ішіндегі
бізге қолайлысы тек бірінші орында К, екінші орында Е, үшінші орында
Н, ақырында, төртінші орында Т әрпі тұратын КЕНТ сөзі ғана болмақ.
Бұл сөз тек бір-ақ рет кездеседі. Сондықтан іздеген ықтималдық мынаған тең:

Алмастырулар N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп
атайды. Алмастырулардың бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің
орналасу ретінде ғана, өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны
бірдей. Сонда (1) формуласында , k = N десек,
(4)
3 - м ы с а л 2-мысалда келтірілген Е, К, М, Н, Т, Ш, Ы әріптерінен:
а) неше алмастырулар жасауға болады? ә) карточкаларды қатарынан қойғанда
Шымкент сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Ш е ш у і а) Айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана
болатын 7! алмастырулар жасауға болады.
ә) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда тең
мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар саны п=7! болады. Бұлардың ішінде
Шымкент сөзінің шығу мүмкіндігі біреу-ақ демек, оның ықтималдығы

Т е р у л е р N элементтен әрқайсысы k-дан алынған орналастыруларды бір-
бірінен айырмашылығы не элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде
болатын комбинациялар деп қарастырдық. Орналастырулардың айырмашылығы
тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін
алмастырулар дедік. Сондай-ақ айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын
орналастырулардың дербес түрі теру деп аталады.
Сонымен, N элементтен әрқайсысы k элементтен алынған терулер санын
деп белгілесек, k элементтен жасалған алмастыруды Pk десек, онда сол N
элементтен k-дан алынған орналастыруда (A) алмастырудың да, терудің
де қасиеттері қамтылғандықтан

(5)
болады.
мәндерін (5) формулаға қойсақ.
(6)

Бұл өрнектің оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де
1·2·3·...·(N — k) санына көбейтсек,

яғни
(7)

формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамыз. (6) формуласы
N=0 және k = 0 мәндерінде де дұрыс болуы үшін 0!=1 деу керек. N мен k
мәндері үлкен болғанда мәнін ( 6) формуласымен есептеу аса қиынға
соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін пайдалану қолайлы. Осы себепті
100 факториалға дейінгі сандар логарифмдерінің кестесін пайдалану керек. N!-
ды есептеудің жуық формуласында пайдаланады. Бұған көбінесе анализден
белгілі мына Стерлинг формуласы алынады.

(8)
Есеп шығарғанда әдетте мұның екі жағын логарифмдейді.
Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік. 1° - қ а с и е т.

(9)
Мұны дәлелдеу үшін (6) формуладағы k орнына N-k қоямыз. Сонда
(10)
екені шығады. (6) және (9) өрнектерінің оң жақ бөліктері тең болғандықтан
бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни

2° - қ а с и е т
(11)
Мұны дәлелдеу үшін орындарына олардың (7) формуласындағы
мәндерін қойып жазсақ,

Терудің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль үшбұрышы деп аталатын
төмендегі схеманы келтіру қолайлы.
Паскаль үшбұрьшы
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Бұл үшбұрыштың құрылысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын
емес: төменгі қатардағы әрбір сан (екі шеткісін қоспағанда) оның үстіңгі
қатарындағы сол цифрдың үстіндегі (оң жақ және сол жақ) екі санның
қосындысына тең, яғни СN мәні N-қатар үстіндегі (N—1)-қатардағы теру
мәндеріне сәйкес (11) формуласы негізінде табылған. Сонымен, мәні
N-қатар мен k-диагональдың қиылысуындағы санға тең. Мысалы N=8, k = 3
болғанда мәні 8-қатармен k = 3-ке сәйкес диагональдағы 56 санына
тең.
Әрбір қатардағы сандардың қосындысы 2N санына тең. Мысалы, N=3 болғада
1+3+3+1=8=23, N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128=27. Бұл (1+1)7 биномын
Ньютон формуласы бойынша жіктелгенге тең. Шынында да, Ньютон формуласы
бойынша (а+bх)п биномын жіктесек, десек, онда

4 - м ы с ал N=100, k = 50 болғанда мәні неге тең?
Ш е ш у і Енді мұның екі жағын да логарифмдейміз, сонда
болады. Логарифмдер таблицасынан lg100! = 157,9700, lg50!=64,4832. Демек,
29,0038. Бұдан өте үлкен сан екені шығады. Ал ықтималдықтарды
есептегенде көп жағдайда N мен k үлкен болып келгенімен, факториалдар
логарифмдерін пайдаланып есептеу жеңілге соғады.
Енді -ді Стирлинг формуласымен есептейік. Сонда
100!=
немесе

Сонымен бұл формуламен есептеу дәлдігі факториалдың нақты шын мәніне
мейлінше жуык екенін байқаймыз.
5-мыса л Жәшікте бірдей N нәрсе бар. Олардың, М нәрсесі жарамды да N—M=D
нәрсесі жарамсыз. Жәшіктен кез келген s нәрседен тұратын таңдама алынды,
мұның т-і жарамды, d-ci жарамсыз нәрсе болу ықтималдығын анықтау керек.
Ш е ш у і N нәрседен s-тен таңдаманы тәсілмен алуға болады. Бұл
нәтижелер — барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар. Қолайлы элементар
оқиғалар санын анықтайық. Жарамдыны тек жарамды нәрселерден тәсілмен
аламыз, ал жарамсызды тек жарамсыз нәрселерден немесе тәсілмен
аламыз. Алынған таңдамада жарамды да, жарамсыз да нәрселер болуы мүмкін.
Олардың шығу комбинациясы -ге тең. Демек, мұның ықтималдығы
6 - м ы с а л Преферанс ойынында 32 картаны он-оннан үш адамға таратып,
екеуін төңкеріп қояды. Осы төңкеріп қойылған карталардың: а) екеуінің де
тұз болу ықтималдығы неге тең? ә) біреуі тұз біреуі дама болу ықтималдығы
неге тең?
Ш е ш у і 32 картадан 2 картаны

тәсілмен алуға болады. Бұл п-ге тең. а) Қолайлы элементар оқиғалар санын
тек тұздардың ішінен анықтауға болады. Колодадағы тұздар саны — 4, бұлардан
екі-екіден тұздарды тәсілмен ала аламыз, олай болса

Демек, іздеген ықтималдық

ә) 1 тұзды тәсілмен, 1 даманы 4 дамадан тәсілмен аламыз. Бұл
екеуінің комбинациясы ·. Демек,

1.3 Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика формулалары

Қайталамалы орналастырулар Осы уақытқа дейін элементтер жиынынан
орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтін еді,
ондай орналастырулар қайталанбайтын орналастырулар болды. Біз енді
қайталамалы орналастыруларды, яғни жиыннан алынған элемент сол жиынға
қайыра енетін жағдайды қарастырамыз.
7 - м ы с а л 1, 2, 3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?
Ш е ш у і Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады. Бірінші тәсіл: цифрлары
қайталанбайтын әр түрлі екітаңбалы сандарды =3·2=6 тәсілмен жасаймыз,
олар: 12; 13; 21; 23; 31; 32.
Екінші тәсіл: цифрлары қайталана алатын әр түрлі екітаңбалы сандарды
біртіндеп жазсақ, мыналар шығады: 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33, яғни
олардың барлық саны 3·3=9 болады. Басқаша айтқанда цифрлардың әрқайсысы да
3 тәсілмен алынды, сонда бірінші алынған цифр әр жолы екінші цифрмен
комбинацияланады, сөйтіп, екі цифр комбинациясын 3·3 = 32 = 9 тәсілмен
аламыз. Бұл мысалды әрі қарай да кеңейте беруге болады.

8- м ы с а л Осы 1, 2, 3 цифрларынан қайталамалы орналастырулар
тәсілімен үш таңбалы, төрт таңбалы, k таңбалы неше сан құруға болады?
Ш е ш у і Үштаңбалы санның бірінші цифрын 3 тәсілмен, екіншісін де 3
тәсілмен алуға болады. Сонда алдыңғы екі цифрлы санды 3·3=32 тәсілімен
аламыз. Бұлардың әрқайсысы үшінші цифрмен комбинацияланады. Сонда үшцифрлы
санды 32·3 =33=27 тәсілмен құруға болады. Осылай талқыласақ, осы үш цифрдан
4 цифрлы сандарды 34=81 тәсілмен, ал k — цифрлы сандарды 3к тәсілмен құруға
болатынын байқау қиын емес.
Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1, 2, 3 цифрлары орнына 1, 2,
3, ..., N цифрларын алайық. Сонда N цифрдан әр түрлі екі цифрлы сандарды
N·N = N2 тәсілмен, әр түрлі үш цифрлы сандарды N2·N=N3 тәсілмен, ал
k—цифрлы әр түрлі сандарды Nk тәсілмен құруға болады. Сонымен, мынадай
қорытындыға келеміз.
Элементтері қайталанып келетін N элементтен k-дан алынған орналастырулар
P=Mk (12)
формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастыру немесе қайталамалы
таңдама формуласы деп атайды. Қайталанбайтын орналастырулар мен
алмастыруларды айтқанда таңдама көлемі болатын. Ал элементтері
қайталанатын орналастырулар мен алмастырулар үшін kN, k=N және kN болуы
мүмкін. Бұл факт жоғарыда келтірілген мысалдан айқын көрініп тұр.
9 - м ы с а л Соғылатын телефонның, нөмірі 4 цифрдан (орыннан)
құрылған. Ол нөмірдің: а) барлық цифрлары әр түрлі болып келу
ықтималдығын: ә) барлық цифрларының жұп болып келу ықтималдығын анықтау
керек.
Шешуі а) 4-таңбалы нөмірдің әр цифры 0, 1, 2, 3J 4, 5, 6, 7, 8, 9
цифрларының кез келгені болуы мүмкін. Олай болса, әр түрлі төрттаңбалы
нөмірлердің барлық саны 104 болады. Олар 0000-ден 9999-ға дейінгі нөмірлер
саны. Бұлардың ішінде бізге қажетті цифрлары әр түрлі төрттаңбалы сандар,
олар 10 цифрдан 4-тен алынған орналастырудың санына тең, яғни
=10·9·8·7=5040. Бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар
(элементар оқиғалар) саны. Оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар
оқиғалардың жалпы саны n=104. Демек, іздеген ықтималдық

ә) 2, 4, 6, 8 төрт цифрдан телефонның әр түрлі нөмірлерін 44 тәсілмен
құрастыруға болады, бұл сан оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны.
Олай болса, іздеген ықтималдық

10- м ы с а л Дөңгелек үстел басында отырған 12 адамның туған жылдары
қазақша бір мүшел деп аталатын, 12 жыл ішінде болсын дейік. Осы 12 адамның
әрқайсысының туған жылы: а) 12 жылдың әрбір жылына келу ықтималдығын
анықтау керек; ә) үшеуінің бір жылда, қалғандарының әр жылда туғаны
ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі 12 адамның әрқайсысынан сұрадық дейік. Сонда бірінші отырған
адамның туған жылы 12 жылдың бірі болуы мүмкін, яғни бірінші сұралған
адамның туған жылы туралы 12 түрлі тең мүмкіндікті нәтижелер шығады. Екінші
адамның да туған жылы сол 12 жылдың бірі. Бірінші адамның туған жылы жайлы
табылған нәтижелер, екінші адамның әрбір мүмкін болатын туған жылымен
комбинациялап келеді. Сонда екі адамнан сұрай келе туған жылдар туралы
12·12= 144 тең мүмкіндікті нәтижелер аламыз. Ал үш адамнан сұрасақ.
122·12=123 және т. с. с. тең мүмкіндікті нәтижелер аламыз. Ал 12 адамнан
түгел сұрағанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер (элементар оқиғалар саны
п—1212) болады.

а) Енді осылардың ішінде туған жылдары әр түрлі болуға қолайлы нәтижелер
саны m-ды есептейік. Бірінші адамның туған жылы сол 12 жылдың кез келген
бірі, ал екіншінің туған жылы болса, қалған 11 жылдың бірі болады, үшінші
адамның туған жылы қалған 10 жылдың бірі болады және т. с. Ең соңғы адамның
туған жылы қалған бір жылға келеді. Бұлар бір-бірімен комбинацияланып
келетіндіктен, қолайлы нәтижелер саны мынаған тең: т=12·11·10·...·2·1=12!
Демек, іздеген ықтималдық —

ә) Үш адамның туған жылы 12 жылға тәсілмен орналасуы мүмкін. Қалған
9 адамның туған жылы 12 жылдың әрбір жылына 12, 11, ..., 4 тәсілмен
орналастыруға болады. Сонда т = бұдан

11-мысал 9 қабатты Алматы қонақ үйінің бірінші қабатында лифтіге 3 адам
мінді. Бұлардың әрқайсысының кез келген қабатта түсу мүмкіндіктері бірдей
деп алып:
а) үшеуінің де 5-қабатта түсу ықтималдығын;
ә) үшеуінің кез келген бір қабатта түсу ықтималдығын;
б) екеуі бірге кез келген бір қабатта, ал үшіншісі кез келген өзге
қабатта түсу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі Адам саны — 3, қабат саны—8 (өйткені бірінші қабат есепке
алынбайды), 8-мысалдағыдай талқыласақ, барлық тең мүмкіндікті элементар
оқиғалар саны n=83 болады. а) 5-этаж біреу-ақ. Демек, мұның ықтималдығы

ә) 3 адамды лифтімен 8 қабаттың әрқайсысына тәсілмен
шығаруға болады, яғни . Олай болса,

б) Екі адамды 8 қабаттың әрқайсысына тәсілмен шығаруға болады, ал
бір адам тәсілмен шығарылады. Бұлардың комбинациясы Демек,
іздеген ықтималдық мәні-

Қайталамалы алмастырулар Жоғарыда қарастырған алмастыруда элементтердің
барлығы да әр түрлі еді. Бірақ алмастырулар жасалатын N элементтің
кейбіреуі (бірнешеуі) қайталанып отыруы мүмкін. Мұндай алмастыруларды
қайталамалы алмастырулар деп айтады.
12 - м ы с а л Бірдей карточкаларға жазылған А, А, А, Қ, Р, Т, У
әріптерінен: а) 7 әріптен алғанда неше алмастыру шығатынын; ә) Қаратау
сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Ш е ш у і а) Таңдамадағы әріптер әр түрлі болса, жеті әріптен жазылатын
сөздер саны 7! болар еді. Ал біздің мысалымызда үш әріп бірдей. Сондықтан 7
әріпті әр түрлі сөздер (оның басым көпшілігі мағынасыз тіркестер) саны 7!-
дан кемиді. Өйткені А әріптері өзара орындарын ауыстырғанда жаңа сөз
шықпайды. Сондықтан есепті шешу үшін алдымен бірдей сөз құрайтын
алмастырулар санын анықтап аламыз. А әрпінің өзара орын ауыстырулар санын
анықтап аламыз. А әрпінің орын ауыстырулар саны — 31. Бұл әр типтегі
сөздердің қайталану саны болмақ.
Бұл жағдайды 7 әріпті сөздердің бір типі Қаратау деген сөзбен
көрсетейік. Түсіну оңай болу үшін алдымен сөз құралатын алмастырудың
түрлері төменде цифрлармен келтірілді:

2-кесте

1 2 3 4 5 6 7
А А А Қ Р Т У
Қ А Р А Т А У
4 1 5 2 6 3 7
4 1 5 3 6 2 7
4 2 5 1 6 3 7
4 2 5 3 6 1 7
4 3 5 1 6 2 7
4 3 5 2 6 1 7

тәсілмен шығады екен.
а) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда тең
мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар саны n=840. Бұлардың ішінде ҚАРАТАУ
сөзінің шығу мүмкіндігі біреуі-ақ. Олай болса, Р(А) = Р(ҚАРАТАУ) = 1840.
13 - м ы с а л Бірдей карточкаларға А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т,
әріптері жазылған. а) Олардан 10 әріптен тұратын сөздерді неше тәсілмен
құрауға болатынын; ә) МАТЕМАТИКА сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі а) Алмастыруларға енетін әріптер саны N=10. Бұл әріптердің барлығы
да әр түрлі десек, онда не бары Р10=10! алмастырулар жасауға болады. Бірақ
біздің мысалымызда А әрпі үш рет қайталанып отыр. Егер А-дан өзге қалған
әріптер әр түрлі десек, онда, өткен мысалға сәйкес, алмастырулар саны
10!3! болар еді. Бірақ А-дан басқа М әрпі екі рет және Т әрпі де екі рет
қайталанып отыр. Сондықтан алмастырудың жалпы саны мынаған тең болады.

ә) 10 әріпті тіркестер тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз,
оқиғалардың жалпы саны n=151200. Бұлардың ішінде аталған сөзіміздің шығуына
қолайлы жағдайлар саны біреу-ақ. Олай болса, іздеген ықтималдық Р(А) =
1151200. Мұны бірден

деп жазуға да болады. Сонымен барлық тең мүмкіндікті жағдайлар (элементар
оқиғалар) саны 10!, ал аталған сөздің пайда болуына қолайлысы - т =
3!·2!·2! болады.
Бұл мысалдардан шыққан нәтижелерді пайдаланып, мынадай қорытынды
жасайық. М жиыны а1, а2, ..., ak элементтерінен кұралсын. Мұнда а1 элементі
п1 рет, а2 элементі п2 рет және т. с. с. ak элементі nk рет қайталанатын
болсын (п1 + п2 + ... + п2 =N). Сонда N элементтен берілген п1, n2, ..., пк-
дан алынған алмастырулар саны мына формуламен анықталады:

(13)

Қайталамалы терулер Қайталамайтын терудің өзгешелігі кемінде бір
элементінде болатын орналастыру деп анықтадық. Мұнда элементтерінің
орналасу реті ескерілетін. Мысалы, 1, 2, 3 цифрларынан екіден жасалған теру
=3 болатын. Олар 1, 2, 1, 3, 2, 3. Мұндағы 1, 2, 3 элементтері жеке
комбинацияда қайталанбайтын. Сондықтан мұндай комбинацияны қайталамайтын
теру дейтінбіз. Енді мынадай жағдайды қарастырайық. Дүкенде (формасы
бірдей) 1, 2, 3 цифрларымен нөмірленген кәмпит сатылады дейік. 5 кәмпитті
неше тәсілмен сатып алуға болады?
Бұл есептің өткенде қарастырылған есептерден айырмашылығы бар. Кәмпиттер
қандай ретпен орналасуына ешқандай шарт қойылып отырған жоқ. Сондықтан, бұл
есеп кайталамалы орналастырулар есебіне келмейді, өйткені онда
элементтердің орналасу реті есепке алынатын. Ал теру есебіне жуық келеді
деуімізге болар еді. Олай десек, мұнда комбинацияға енетін элементтер
қайталанып еніп отыруы мүмкін. Мысалы, сатып алынған 5 кәмпитте 1-ші
нөмірлі болуы, немесе төртеуі 1-ші нөмірлі, біреуі 3-ші нөмірлі болуы және
т. с. с, яғни жеке нөмірлі кәмпиттер таңдамаға қайталанып еніп отыруы
мүмкін. Мұндай комбинацияны қайталамалы теру деп айтамыз.
Мұның формуласын қорыту үшін мынадай бір мысал қарастырайық.
14-мысал Жәшікке орналасатын шарлар санына да және шарлардың орналасу
ретіне де шек қойылмаса, онда n жәшікке k шарды неше тәсілмен орналастыруға
болады?
Шешуі Мұны көрсету үшін бір науаны (малдардың, су ішетін ыдысы) үстіңгі
жағы ашық бірдей n бөлікке бөлейік. Бұл бөліктер ортақ фанерамен ажыратылып
тұрған, ал шеткі бөліктердің бір жағы қозғалмайтын етіп бекітілген болсын.
Сонымен, бөліктер п+1 фанерамен ажыратылып тұр да, ортадағы п-1 фанера
жылжымалы, яғни бір-бірімен орындарын ауыстыруға болады. Бұларды 1-ден (п-
1)-ге дейінгі сандармен нөмірлейік. Осы п бөлікке орналасқан шарларды 1-ден
k-ға дейінгі сандармен нөмірлейік. Сонда нөмірленген жылжымалы фанералар
мен шарлардың саны n + k-1 болады. Бұл жағдайда әрбір нөмірленген санды
өзгеше деп қарастырсақ, онда бұл есеп элементтері қайталанбайтын теру
формуласына келеді, яғни n + k-1-ден k бойынша алынған теру санын анықтауға
тіреледі, бұл болады, яғни
(14)
Бұл қайталама теру формуласы [1].

1.4 Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері. Элементтердің парлары

Элементтердің парлары r және s элементтерден тұратын мен
жиындарының әрқайсысынан бір-бірден элемент алып жасалған және де
бірінші орында элементі, ал екінші орында элементі жазылған
қосылыстарын парлар деп атайды. Мұндай барлық парлардың саны rs
көбейтіндісіне тең.
Шынында да, А және В жиындарының элементтерінен жасалған пары і-ші
жатық жол мен j-ші тік жолды, қиылысуынан тұратындай етіп r жатық жолды
және s тік жолды тіктөртбұрышты таблица құрамыз. Мұндай таблицада парлардың
әрқайсысы бір-ақ рет кездеседі, бұдан келіп барлык парлардың саны rs
көбейтіндісіне тең болатындығы шығады.
Мысалдар
1-м ы с а л Екі ойын сүйегін лақтырғанда барлық жағдайлардың саны
қанша?
Шешуі Екі ойын сүйегін лақтырғанда бірінші сүйекте түскен ұпай і
екінші сүйекте түскен ұпай j болсын. Сонда тәжірибенің нәтижесі (і, j)
парлары болады, мұндағы і де, j де 1, 2, 3, 4, 5, 6 мәндерінің бірін
қабылдайды. Сөйтіп, барлық жағдайлардың, саны парлардың принципі бойынша
.
2-м ы с а л Ұтысқа қатынасатын ақшалай-заттай лотерея билеттерінің бір-
бірінен айырмашылығы серия және билет номерлерінде. Серия номерлерінің саны
-ге, билет нөмерлерінің саны 2-ге тең болса, онда ұтысқа
қатынасатын лотерея билеттерінің саны көбейтіндісіне тең.
Ескерте кетелік, егер А жиынының әрбір элементіне В жиынының барлық
элементтері сәйкес келетіндей қосылыс жасалса, онда бұндай қосылыстардың
саны п(А)·п(В) көбейтіндісіне тең. Парлар принципі есеп шығарғанда, міне,
осылай қолданылады. Бұл жерде п(А) және п(В) арқылы А және В жиындарының
элементтерінің санын белгілеп отырмыз.
Шекті А жиынының элементтерінің санын бұдан былай
п(А) арқылы белгілейміз.
Комбинаториканың негізгі принципі Әр қайсысы шеткі жиындары
берілсін. Осы жиындардың жазылу номерлеріне қарап, бұл міндетті түрде, бір-
бірлеп элементтерін алалық. Осындай тәртіппен алынған
элементтерін кортеж деп атайды және оны былай жазады
Т е о р е м а (Көбейтіндінің теоремасы) жиындарының элементтерінен
жасалған барлық кортеждердің саны көбейтіндісіне тең.
Дәлелдеу Толық математикалық индукция әдісін колданамыз. Индукцияны k
бойынша жүргіземіз. k=2 болсын,
және деп белгілелік. элементтерінен кортежін
құралық. Сонда кортеж парға айналды. Сөйтіп, мұндай кортеждердің саны п(А1)-
п(А2) көбейтіндісіне тең. Сонымен, k=2 үшін теорема дәлелденді. Енді
теореманы k—1 үшін орынды деп ұйғаралық. Сонда жиындарының барлық
элементтерінен жасалған кортеждердің саны көбейтіндісіне тең болады.
Енді және жиындарының элементтерінен кортежді былай жасаймыз:
. Парлар принципі бойынша мұндай кортеждер саны үшін теңдігі
келіп шығады. Теорема толық, дәлелденді.
М ы с а л д а р

3-м ы с а л Бірде-бір цифры қайталанбайтын төрторынды сандардың саны
қанша?
Ш е ш у і Төрторынды санды кортежі деп қарастырамыз. і-дің
орнында 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 цифрларының бірі тұра алады. j –дің орнында
қалған 9 цифрлардың біреуі тұра алады, өйткені бұл жерде нольде мүмкін.
Сондай-ақ k және l-дің орнында тұра алатын цифрлардың саны — 8 және 7.
Сөйтіп, көбейтінді теоремасы бойынша әр түрлі және цифрлары қайталанбайтын
төрторынды сандардың саны
4-м ы с а л Телефон станциясы төрт цифрдан тұратын номері бар
телефон аппараттарын қамтамасыз етеді. Станция жабдықтайтын барлық
аппараттар саны қанша?
Шешуі Әрбір аппараттың номерін (і, j, k, l) кортежі деп қарастыруға
болады. і, j, k, l элементтері цифрлардың қайсысын болса да қабылдай алады.
Демек, барлық телефон aппaраттарының саны n=10·10·10·10=10 000.
Кейбір оқулықтарда кортеж дегенің орнына бір-бірлеп
алынған комбинация деп те айтады.
n элементтерден түратын М жиынын қарастыралық.n элементтен k-дан
жасалған теру деп М жиынының k элементтерінен тұратын ішкі жиынын айтады.
Бұл анықтама бойынша, сөйтіп, теру бір-бірінен өзгеше
болуы үшін оларды жасап тұратын элементтерінің ең болмағанда біреуінде
өзгешелік болуы керек. Мәселен, {1, 2, 3} және {1, 3, 2} бір ғана теру,
өйткені бұлардың элементтерінің арасында ешбір айырмашылық жоқ. n
элементтен k-дан жасалған терулердің саны үшін белгілеуі қолданылады.
Бұны оқығанда n элементтен k-дан жасалған теру саны деп оқиды.
1-ден бастап n-re дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі үшін n! (эн
факториал) белгілеуі енгізіледі. Сөйтіп, .

Дәлелдеуін келтірмей-ақ терулердің сандарын есептейтін формулаларды
берелік.

немесе (15)
мұндағы
Мысалдар
5-м ы с а л n бұрышты көпбұрыштың диагональдарының санын табу
керек.
Ш е ш у і Көпбұрыштың төбелерінің саны n-ге тең. Төбелердің кез келген
үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Ал, кез келген екі нүктені
кесінділермен қосуға болады. Сол кесінділердің ішінде n кесінді көпбұрыштың
қабырғалары болады да, қалғандары диагональдар жасайды. Сондықтанда
диагональдар саны

6-м ы с а л Спортлото (49 дан 6) ойынына қатысушы бір билетті сатып
алып, ұтысқа қатысу үшін оны толтырған. Сонда әр түрлі жағдайлардың саны
қанша?
Шешуі Спортлото ойынының ережесі бойынша билеттегі 1-ден 49-ға дейін
жазылған натурал сандардың алтауын сызу керек. Ұтысқа қатысу үшін бұл алты
санды қандай тәртіппен сызса да бәрібір. Сондықтан ізделінді сан .
Математикада С =1 теңдігін қабылдауға келісілген.
Теру сандарын есептеу барысында оны жеңілдететін бір формуланы
келтірелік:

(16)
Мұны дәлелдеп алу (4) формулалар арқылы қиын емес. (16) формуланы
пайдаланғанда болғаны жөн, әйтпегенде есептеуді ауырлатады.
теру сандарын биномдық коэффицценттер деп атайды. Барлық
биномдық коэффициенттердің қосындысы 2n-не тең. Бұл Ньютон биномының

жіктеуіндегі а мен b-ның орындарына 1-ді койғаннан келіп шығады.
Сонымен, мынандай қорытындыға да келдік: n элементтерден тұратын жиынның
барлық ішкі жиындарының саны 2п-не тең.

Түрлі комбинаторикалардың ұғымын енгізудің бірнеше жолдары бар.
Орналастырулар үшін де осылай айтуға болады. Ықтималдықтарды есептеуге
колайлылығын пайдаланып, орналастырулар ұғымын кортеждер арқылы берелік.

п элементтен тұратын жиынынан k көлемді кортеж құралық. Бұл жерде
k көлемді кортеж деп отырғанымыз кортежге енетін элементтердің саны k-ға
тең болатындығын көрсетеді. M жиынынан кортежі екі түрлі әдіспен
жасалуы мүмкін: бірі — кортежге М жиынының бір элементі бір-ақ рет енуі
мүмкін; екіншісі—кортежге М жиынының бір элементі бірнеше рет кіруі мүмкін.
Бірінші жағдайда кортеждерді п элементтен k-дан жасалған орналастырулар
деп, екінші жағдайда кортеждерді п элементтен k-дан жасалған қайталамалы
орналастырулар деп атайды.
Теорема n элементтен k-дан жасалған орналастырулар саны
көбейтіндісіне, ал кайталамалы орналастырулар саны -не тең.
Дәлелдеу Орналастыруларды былай жасап шығалық: алдымен М жиынынан
элементін аламыз; содан кейін қалған n—1 элементтердің ішінен ,
элементін аламыз. Кортеж элементтерін тағы да сол сияқты біртіндеп ала
отырып, ақырында, қалған п— (k-1) элементтердің ішінен элементін
аламыз. Сөйтіп, кортежі шығады. Сонда, көбейтіндінің теоремасы
бойынша, барлық кортеждердің саны көбейтіндісіне тең болады.
Теореманың бірінші бөлігі дәлелденді. Енді қайталамалы орналастыруларды
жасап шығалық: алдымен М жиынынан элементін аламыз да, оны тіркеп
болғаннан кейін М жиынының өзіне қайта оралтамыз; содан кейін М жиыннан
тағы да элементін аламыз және оны тіркелгеннен кейін қайтарамыз. Міне,
осы процесті қайталай отырып, кортежін жасап шығамыз. Сонда,
көбейтіндінің теоремасы бойынша мұндай кортеждердің саны -не тең
болады. Теорема толық дәлелденді. N элементтен k-дан жасалған
орналастырулар саны үшін , ал қайталамалы орналастырулар саны үшін
белгілеулерін енгізсек:
(17)

(18)
7-м ы с а л Үш ойын сүйегін лақтырғанда қанша жағдайлар болады?
Ш е ш у і ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.