Қатты дене статикасы
Жоспар:
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І – бөлім. Қатты дене
статикасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .4
1.1. Статиканың негізгі ұғымдары мен
аксиомалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2. Байланыс және байланыс
реакциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... .6
1.3. Жинақталған күштер
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..8
1.4. Параллель күштері
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .4
1.5. Күштердің кез келген жазық
системасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .6
1.6. С-1
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
1.7. С-4
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..9
ІІ – бөлім. Қатты дене
кинематикасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .10
2.1. Қатты дененің ілгерілмелі
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...10
2.2. Қатты дененің тұрақты өсті айнала
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .14
2.3. К-2
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
2.4. Қатты дененің жазық параллель
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
2.5. Еркін қатты дене
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...25
ІІІ – бөлім. Материялық нүкте
динамикасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .27
3.1. Ньютон
заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
3.2. Материялық нүкте динамикасының негізгі
теоремалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...30
3.3. Д-2
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31
3.4. Материялық нүктенің салыстырмалы
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .35
3.5. Материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысының дифференциялық
теңдеулері. Инерция
күштері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...38
3.6. Инерция күштерінің физикалық мағынасы. Классикалық механиканың
салыстырмалы
принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 50
Кіріспе
Мен осы курстық жұмысымда теориялық механиканың статика, кинематика,
динамика бөлімдеріне тоқталдым.
Теориялық механика – материялық денелердің механикалық қозғалысының
жалпы заңдылықтары, мен тепе – теңдігін және осы материялық денелердің
өзара механикалық әсерлесуін зерттейтін ғылым. Өзара механикалық әсерлесу
нәтижесінде бір материялық денелер басқа материялық денеге қарағанда
қозғалысқа келтіріледі, яғни материялық денелер өзінің бастапқы қалпын
өзгертеді (деформацияланады) немесе жоғарыда аталған екі жағдай қатар
байқалады.
Осы курстық жұмыстың негізгі мақсаты – қазіргі кезеңде отандық машина
жасау өндірісін дамыту, жаңа өндірістік технологияларды халық шаруашылығына
енгізу, космос кеңістігін игеру және тағы басқа техникалық шешімдерді
анықтауды қажет ететін күрделі мәселелер механика ғылымының қарыштап
дамуына өзінің ықпалын тигізетіні сөзсіз.
Теориялық механика пәні статика, кинематика және динамика деп аталатын
үш бөлімнен тұрады.
Статика теориялық механиканың күштер (күштер жүйесі) түуралы ілім
баяндалатын және осы күштер әсер еткендегі материялық денелердің
салыстырмалы тепе – теңдік шарттары мен теңдеулері зерттелетін бөлім.
Егер дене басқа денелермен салыстырғанда тыныштық күйде болса, онда
дене тепе – теңдікте болады деп айтуға болады. Дененің тепе – теңдік шарты
дененің күйіне байланысты. Сұйық және газ тәрізді денелердің тепе – теңдігі
гидростатика және аэростатика пәндерінде қарастырылады.
Кинематика деп материялық денелер озғалысының геометриялық
сипаттамаларын (траекториясын, үдеуін, жылдамдығын), зерттйтін теориялық
механика тарауын айтады. Осы зерттеулерде денелердің инерттілігі (массасы)
және оларға әсер ететін күштер есепке алынбайды. Сондықтан да кинематиканы
қозғалыс геометриясы деп те кейде оны төрт өлшемді гещметрия деп те,
атайды. Өйткені Ньютон механикасында, яғни қазіргі кезеңдегі теориялық
механиканың негізі болып саналатын классикалық механика да, материя
(материялық дене) орын ауыстыратын кеңістіктің қасиеттері үш өлшемді
эвклидтік кеңістіктің аксиомалары мен теоремаларына тәуелді болады да, ал
төртінші өлшем ретінде дәл кеңістік сияқты материяға тәуелсіз, абсолютті
шама – уақыт алынады.
Динамика бөлімінде материялық нүктенің, қатты дененің қозғалысы
зерттелгенде, осы қозғалыстың себебі болатын әсер етуші күштер және
материялық обьектілердің инерттілігі (масса) ескеріледі.
Осы курстық жұмыс арқылы теориялық механиканың әр түрлі өнеркәсіптердің
негізі бола алатын ғылым ретінде таныдым.
1.1. Статиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары
Статика деген гректiң statike деген сөэiнен шыққан. Грекше бұл бір
орында тұру қозғалмау, тыныштықта болу деген сияқты ұғымдарды бiлдiредi.
Статика — күш әсерiнiдегi материялық денелердiң тепе теңдiгiн зерттейтiн
ғылым. Баяндау тәсiлiне орай ол геометриялық және аналитикалық статика
болып ек түрге бөлiнедi. Аналитикалық статикада механикалық системаның ең
жалпы тепе-теңдiк шарттары тағайындалады. Мұнда зерттеулер таза
аналитикалық тәсiлмсн жүргi зiледi. Аналитикалық статиканың қорытындылары
кез келген мехакикалык система үшiн дұрыс болады. Бұл статиканы кейiнрек
қарастырамыз. Геометриялық статикада абсолют қатты денелердiң өзiне
түсiрілген күштер әсерiнен болатын тепе-теңдiгi жөнiндегi мәселелер
қарастырылады. Ондай мәселелердiң өзi екiге бөлiнедi: 1) абсолют қат ты
денега әсер ететiн күштер системасын қарапайым түрге келтіру;
2) абсолют қатты денеге әсер ететiн күштер системасының тепе-теңдiк
шарттарын тағайындау. Осыдан барып статиканы қысқаша күштер туралы ғылым
дейтiн ұғым туады.
Денелердiң қозғалыста, не тыныштықта болуы, бiрiншiден, ол денелерге
қандай күштер әсер ететiнiне екiншiден, дененің орны қандай санақ
системасына қатысты қарастырылатындығына байланысты. Қозғалыс және
тыныштық дегеніміз салыстырмалы ұғымдар. Олар туралы сөз болғанда алдымен
қандай да санақ системасын тағайындап алуымыз қажет. Сөйтiп, алдын ала
санақ системасы және күш туралы ұғымдарға тоқтап өтуiмiз керек.
1.1. Санақ системасы. Координаталық осьтер системасы. Денелердi
кеңiстiктегi орны қозғалмайды деп алынған қандай да бір денеге (немесе бiр-
бiрiмен салыстырғанда қозғалмайтын бір топ денеге) қатысты анықталады. Осы
денемен салыстыра отырып берiлген дененiц орын ауыстыруын есептеп
шығарамыз. Мысалы, бiзге берілгенi В денесі болсын. Оның кеңiстiктегi орнын
қозғалмайды деп алынған екiншi бiр А денесiмен салыстыра отырып анықтайық
(1.1-сурет).
1.1-сурет
Өзiне қарағанда басқа денелердің орны, қозғалыс күйі салыстыру арқылы
анықталатын, қозғалмайды деп алынған осы А денесi санақ системасы деп
аталады. Сонымен, берiлген денелер қозғалысын әрбiр жолы белгілі бiр санақ
системасымен салыстырып қарастыруымыз керек. Түрлi жағдайларда санақ
системасын түрліше тәсiлмен сайлап алуға болады. Практикада қозғалысты
сипаттау үшiн санақ системасын құрайтын денелерге қандай да бiр
коорданаталар осьтерiнің системасын байланыстырады. Теориялық механикада
көбiне х, у, z координаталарының тік бұрышты декарттық системасы
қолданылады (1.1-сурет). Бұдан былай үнемi тек оң системаны пайдаланатын
боламыз. Бұл система үшiн оң бұрғы ережесi қолданылады. оz осiнiң оң ұшынан
қарағанда ох осінің оz осiне қарай ең аз бұрышқа бұрылысы сағат тiлiне
айналысына керi бағытта көрiнуi керек, сол сияқты ох ұшынан қарағанда оу-
тiң оz-ке карай, ал оу-тің ұшынан қарағанда оz-тiң ох-ке қарай айналыстары
дәл осылай болуы қажет.
Сонымеа, осыдан әрi қарай В-ның немесе басқа денелердiң тепе-теңдiгi,
не қозғалысы алдын ала алынған қандай да бiр охуz осьтер системасына
қатысты зерттелiнедi. А денесi қозғалмайтын дене ретiнде алынғандықтан,
онымен байланыстырылып алыған охуz осьтер системасын да қозғалмайтын немесе
абсолюттiк система деп есептеймiз. Сөйтiп, статикада инерция заңы
орындалатын координаталық осьтер системасы алынады.
1.2. Негiзгi анықтамалар. Геометриялық статикада тек қана абсолют қатты
дене тепе-теңдiгi қарастырылады. Сол себептi осыдан былайғы жерде күштердi
тек абсолют қатты денеге түсiрiлген күштер ден есептейтiн боламыз. Алдағы
уақытта айтуға жеңiл болу үшiн абсолют қатты дене деп жатпай тек қатты дене
дейміз.
Бұдан былай еркiн қатты дена ұғымын жкi қолданамыз. Еркiн дене деп
басқа денелермен ешбiр байланысы жоқ, ешнәрсемен де бекiтiлмеген дененi
айтамыз. Ол дена кеңiстiктiң кез келген орнында бола алады және кез келген
бағытта орын ауыстыра алады.
Қатты деаеге бір ғана күш емес бiрнеше күш әсер етуi мүмкін.
Оларды деп белгiлейік.
Қандайда болмасын бiр қатты денеге әсер ететiн күштер жиынын
күштердiң системасы деп атайды.
Қандай да боамасын ()—n күштiң системасын тыныштықта тұрған еркiн қатты
денеге түсiргенде ол оған ешқандай қозғалыс бере алмайтын болса, онда бұл
күштердiң системасы тепе-теңдiктегi система деп немесе нольге эквивалент
деп аталады:
()∞0
Басқаша айтқанда, системадағы күштер бірiнiң жасайтын әсерiн бiрi
жойып, натижесiнде күшттердiң бұл системасы тыныштықтағы еркiн
дененi ешқандай да қозғалысқа келтiре алмайтын болады. Егер еркін дене
осыған дейiн қозғалыста болса, онда күштердiң мұндай системасы оған
ешқандай да өзгерiс жасай алмайды. Қозғалыстың бағыты да, жылдамдықтары да
өзгермей қала бередi.
Егер () және () күштердің екi системасының әрқайсысы бір еркiн
қатты дененi тыныштықтағы күйiнен бiрдей бiр қозғалысқа келтiретін болса,
онда бұларды бiр-бiрiне эквивалент системалар деп атаймыз. Бұл анықтаманы
былай жазамыз:
() ∞ ()
Осы анықтаманы былайша толық тусiндiруге болады. Егер () системасы бiр
қатты дене D-ға әсер еткенде оны қандай қозғалысқа түсiрсе, не оны
тыныштықта ұстаса, оған эквивалент екiнші бiр күштер () системасы да D
денесiн дәл сондай қозғалысқа келтiредi немесе ол да D-ны тыныштықта
ұстайды. Қысқаша айтқанда, эквивалент екi системаның бiр денеге жасайтын
әсерлерi бірдей болады. Сол себептi мұндай екi күштер системасының бiрін
екiншiсiмен алмастыруға болады.
Қатты денеге түсiрiлген () күштерiнiң системасы бір күшке
эквивалент болса, онда күшін бұл күшiтер системасының тең әсер
етушiсі немесе тең әсерлi күшi деп атайды. Сонда осы анықтаманы былай
жазуға болады:
() ∞
Егер қатты денеге әсер етушi барлық куштер жиыны тепе-теңдiкте тұрған
күштердiң системасын құратын, яғни
() ∞ 0
болса, онда бұл дененiң өэi де тепе-теңдікте болады делiнедi.
Механикаға негiз болатын — Галилей-Ньютонның жалпы заңдары. Механиканың
бұл жалпы заңдарына динамикада тоқталамыз. Бұл жерде статика негiзiне
алынатын аксиомаларды баяндаймыз. Статика аксиомалары Галилей-Ныотонның
жалпы заңдарынан туады. Олар механикаға толығынан негiз бола алмайды, бiрақ
ол статикада қарастырылатын барлық мәселелердi қорытып шығаруга әбден
жеткілікті.
1-аксиома (екi күштің тепе теңдік шарты туралы). Сан мәндерi тең бір
түзудiң бойы мен қарама-қарсы бағытталған еркiн қатты денеге әсер етушi екi
күш өзара теңеседi немесе нөлге баламалы (1.2-сурет).
1.2-сурет
= - , () = 0.
Бұл аксиома теңескен күштер жүйесiн анықтайды.
2-аксиома (күштер жүйесiн түрлендiру туралы). Өзара теңескен күштер
жүйесiн қосқаннан немесе алып тастағаннан берiлген күштер жүйесiнiң қатты
денеге әсерi өзгермейдi (1.3-сурет).
1.3-сурет
Алғашқыда қатты денеге() күштер жүйесi түсірілген болсын. Ендi
денеге түзуiнiң бойымен қарама-қарсы бағытталған шамалары тең
күштерін түсiрейiк, яғни () ˂= 0.
Олай болса, () ˂= ().
3-аксиома (күштер параллелограмының заңы). Дененiң бiр нүктесiне
түсiрiлген екi жане күштерiнiң тең әсер етушi күшi сол нүктеге
түсiрiледi де, осы күштерден тұрғызылған параллелограмның диагоналiмен
анықталады (1.4,а-сурет).
1.4-сурет
Осы және күштерiнің тең әсер етушi күшін параллелограмм
тұрғызбай-ақ анықтауға болады. Ол үшін бiрiншi векторының ұшынан
(1.4,б-сурет) векторын жүргiземiз. Осы сынық сызықтың бастапқы және
соңғы нүктелерін қосатын векторы екi күштiң тең әсер етушi күшiн
бейнелейдi. Екi күштiң тең әсер етушi күшін осындай әдiспен анықтайтын
тәсiл, күштер үшбұрышының ережесi деп аталады.
Векторларды қосу ережесi бойынша тең әсерлi күш = + ,
яғни күштердiң векторлық немесе геометриялық қосындысына тең болады. Тең
әсер етушi күштiң модулi:
R =
4-аксиома (әсер және керi әсер туралы заңы). Екi дененiң бір-бірiне
әсер ету күштерi шамасы жағынан тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы
бағытталады (1.5-сурет).
Бұл заң бойынша әрбiр әсерге оған тең және қарама-қарсы бағытталған
керi әсер болады.
1.5-сурет
және күштерi әр түрлi денеге түсiрiлген, сондықтан осы
күштер тепе-теңдікте болатын күштер жүйесiн құра алмайды, яғни
() ˂≠0.
Осы аксиомадан әлемде куштiң бiр жақты ғана әсерi болмайтынын көремiз.
5-аксиома(қатаю принципi). Егер қатты емес дене теп-теңдiкте болса,
онда ол қатты денеге айналғанда тепе-теңдiк шарты бұзылмайды.
Қатаю принципi қатты емес дене мен кез келген өзгермелi құрылмаларға
(конструкцияларға) статиканың тепе-теңдiк шарттары қолдануға мүмкіндiк
бередi. Осы шартты қатты емес денелердiң тепе-теңдiгiнің қажеттi шарттары
деп алуға болады. Мысалы иiлмелi жiп тепе-теңдiкте болу үшiн оның екi ұшына
әсер ететiн күштердiң шамалары бiрiне-бiрi тең және қарама-қарсы
бағытталғаны жеткiлiксiз болады, себебi оған қосымша осы күштер жiптi созуы
қажет.
1.2. Байланыстар. Байланыстар реакциялары
Еркiн және еркiн емес дене. Кеңiстiкте кез келген бағытта қозғалыс
жасай алатын дененi еркiн дене деп атайды. Егерде дене кейбiр бағыттарда
қозғалыс жасай алмайтын болса, онда ол еркiн емес дене деп аталады. Дене
қозғалысының еркiндiлігiн шектейтiн шарттарды механикада байланыстар деп
атауға келiсiлген. Байланыстар туралы ұғым—механикадағы күрделi ұғымдардың
бiрi. Оны толық түрде динамикада қарастырамыз. Статикада қарастырылатын
байланыстар көбiнесе қозғалмайтын қатты дене, жiп, стержень, материялық
нүкте түрінде кездеседi.
Мысалы, О нүктесiне жiппен iлiнген В жүгi (1.6-сурет) еркiн емес
(ерiксiз) дене болып табылады.
1.6-сурет
Себебi В дене төмен қарай қозғала алмайды. Ол бағыттағы қозғалысты
шектеп тұрган—АО жiбi. ОА жібi В жүгіне жасалған байланыс болады.
Байланыс рөлiн атқаратын дене берiлген, қозғалысы зерттелетiн денеге
бір күшпен әсер етiп, оның қозғалысын шектейдi. Бұл күштi байланыс
реакциясы дейдi. Байланыс реакциясьг байланысты ойша алып тастаған кездегi
мүмкiн болатын дене қозғалысының бағытына қарам а-қарсы бағытталады.
Бiздiң мысалда (1.6-суретте) байланыс ретiндегi ОА жiбi берiлген В
денесінің А нүктесiне түсiрiлген реакциясын бередi. Ол жiп бойымен
жоғары қарай бағытталады.
Егер жiптi ойша алып тастаған болсақ В жүгi ауырлық күшiнiң
әсерiнен тік төмен қозғалар едi. Сондықтан реакция ол қозғалысқа
қарама-қарсы жоғары бағыттал ады.
Байланыс реакциясы әруақытта берілген денеге түсiрiледi. Ал бұл күш
дененi тепе-теңдiк күйiнен қозғалысқа келтiре алмайды. Дененi өздiгiнен
қозғалысқа келтiре алмайтын, тек оның кейбiр бағыттағы мүмкiн болатын
қозғалыстарына кедергi жасайтын байланыс реакциясын пассив күш деп атайды.
Тепе-теңдiгi (не қозғалысы) қарастырылып отырған денеге, байланыс
реакцияларынан басқа да байланысқа тәуелсiз болатын, күштер әсер етедi.
Мұндай күштердi актив күштер немесе берілген күштер деп атаймыз. Әрбір
актив күштің модулі мен бағыты алдын ала берілген және денеге әсер етуші
басқа күштерге тәуелсіз болады. Актив күштердің тағы бір ерекшілігі – оның
тыныштықтағы денені қандай да бір қозғалысқа келтіре алатындығында.
Байланыстар реакцияларының сан шамалары мен бағыттары көп жағдайда
алдын ала белгісіз және денеге әсер етуші актив күштер мен дененің
қозғалысына тәуелді боады. Оларды берілген күштер мен байланыстар
қасиеттеріне сәйкес тәуелділікте табу қажеттіліктігі туады. Мәселе еркін
денеге әсер етуші күштер тепе-теңдігін қарастыруға келіп тіреледі. Оны
еркін емес денелерге қолдануда байланыстар аксиомасына сүйенеміз.
Берілген денені оның қандай мақсатқа қолданылатынына қарай түрліше
байланыстармен бекітеді. Статика мәселелерінде жиі кездесетін байланыстарды
негізгі төрт типке бөлуге болады.
а. Денелердің өзара түйісуі
1) Жылтыр бет. Бірінші жуықтауда үйкелісін елемеуге болатын бетті
жылтыр бет дейміз. Идеал жылтыр беттің реакциясы әр уақытта да жанасушы
беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады.(1.7. а, б, в-сурет). Бұл және
бұдан былайғы суреттерде А – берілген денені, В – байланысты, -
байланыс реакциясын, - байланыс реакциясының координаталар
осьтеріндегі проекцияларын көрсететін болады.
2) Жылтыр қисық. Идеал жылтыр қисық сызықтың реакциясы жанасу
нүктесіндегі қисық нормалының бойымен бағытталады(1.8. а, б-сурет)
1.7-сурет 1.8-
сурет
3) Кедір-бұдырлы бет. Егерде жанасушы денелердің беттері кедір-бұдырлы
болса, онда байланыс реакциясы екі құраушыдан тұрады: оның біреуі ортақ
нормаль, ал екіншісі ортақ жанама бойымен бағытталады. нормаль
бойымен бағытталғанын нормаль реакция деп, жанама бойымен
бағытталғанын үйкеліс күші деп атайды. (1.9. а, б-сурет)
4)Бұрыш. Егер дене бұрышқа тірелсе, онда дененің екі бағыттағы
қозғалысына кедергі туады. Сол себепті бұрыштың реакциясы екі құраушыға
жіктеледі. (1.10. а, б-сурет)
1.9-сурет 1.10-сурет
б) Денелерді шарнирлер байланыстыру.
1) Жылжыиалы шарнирлер. Жылжыиалы шарнирлер дененің тіреу жазықтығымен
қозғалыс жасауына кедергі келтірмейді де оған перпендикуляр бағыттағы
қозғалысын шектейді. Сол себепті оның реакциясы әр уақытта тіреу
жазықтығына перпендикуляр бағытталады. (1.11. а, б, в-сурет)
2) Жылжымайтын цилиндірлік шарнир. Цилиндрлік шарнирдің осі бойымен
дене сырғып қозғала алады. Сондықтан да цилиндрлік шарнир реакциясы шарнир
осіне перпендикуляр жазықтықта жатады (1.12. а, б –сурет).
реакциясының бұл жазықтықтағы бағыты белгісіз. Сондықтан да ол өзінің
проекциялары арқылы ізделінеді.
1.11-сурет 1.12-сурет
3) Жылжымайтын сфералық шарнир. Сфералық шарнир дененің бір нүртесін
қозғалмайтын етіп бекітеді. Дене осы бекітілген нүктесі арқылы өтетін
осьтен айнала алады. Қозғалмайтын нүктедегі реакция кеңістікте кез келген
бағытта болуы мүмкін. Бағыты да, шамасы да белгісіз, толық
реакциясының орнына әдеттеоның координаталық осьтердегі проекциялары
ізделінеді (1.13. а, б-сурет).
1.13-сурет
в) Иілгіш байланыстар және стерженьдік байланыстар.
1) Жіп. Созылмайтын, иілгіш жіп түрінде берілген байланыс дененің бір
ғана бағыттағы (жіп бойымен болатын) қозғалысын шектейді, яғни иілгіш
байланыстар тек қана созылатын болады. Сондықтан да жіп реакциясы әр
уақытта жіптің бойымен ол ілінген нүктеге қарай бағытталады (1.14. а, б-
сурет)
а б
1.14-сурет
2) Стерженьдік байланыстар. Стерженьдік байланыстар салмақсыз, ұштары
шарнирлермен бекітілген стерженьдер арқылы беріледі. Иілгіш байланыстарға
қарағанда стерженьдер дененің екі бағыттағы қозғлысына кедергі жасайды.
Стерженьдер берілген күштер әсерлерінен созылуға не сығылуға қарсы жұмыс
істейді.
Стерженьдік байланыстар реакциясы стерженьдер осьтерінің бойымен немесе
стержень ұштарындағы шарнирлерді қосатын сызықтың бойымен бағытталады
(1.15. а, б-сурет)
1.15-сурет
г) Қозғалмастай етіп қадалған денелер. Кейбір жағдайларда балғаның бір
ұшы қабырғаға немесе еденге қазықша қадай бекітіледі.Бұл бекітуді –
қадалған үш (заделка) деп атаймыз. Қозғалмайтын шарнирге қарағанда
байланыстың мұндай түрі денеге тағы да бір кедергі жасайды. Ол берілген
дененің байланысқа қарағандағы айналысын болдырмайды. Сондықтан да
реакциясымен бірге реакциялық момент те әсер етеді.
1.16-сурет
1.3 Жинақталатын күштер системасы
Жинақталған күштер системасының тең әсер етуші күші.Күштер көпбұрышы.
Абсолют қатты дененің нүктелеріне, әсер ету сызықтары бір О нүктесінде
қиылысатын, күштер түсірілсін дейік (1.17-сурет).
Мұндай күштер жинағы жинақталған күштер системасы деп аталатындығын
айтқан болатынбыз. Жинақталған күштер системасы бір күшке эквивалент, яғни
оның әр уақытта да тең әсер етуші күші болады. Тең әсер етуші күш
системадағы күштердің геометриялық қосындысына тең болады да, оның әсер ету
сызығы күштер түзулерінің қиылысушы О нүктесінен өтеді.
Осы айтылған ұйғарымды дәлелдеу үшін суреттегі күштердің бас нүктелерін
күштер әсер ететін түзулер бойымен сырғыта отырып нүктелерінен О нүктесіне
келтіреміз. Сонда жинақталатын күштер системасы бір нүктеге түсірілген
күштер системасына келтіріледі, О нүктесіне түсірілген күштерге біртіндеп
күштер параллелограмының заңын қолданамыз. күштерінің тең әсер етуші
күші бұл заң бойынша осылардың қосындысына тең:
=
Одан кейін және күштер параллелограмм құру арқылы күшін
табамыз (1.18-сурет)
1.17-сурет 1.18-сурет
=.
Келесіде және күштерінен параллелограмм құрамыз да күшін
табамыз:
=
немесе
=
күші - күштерінің тең әсер етушісі. Осы ретпен соңғы күшіне
дейін жеткіземіз. Бұл соңғы күшті алдыңғы n-l күштердің тең әсер етуші
күшімен параллелограмм заңы бойынша қоссақ, системаның тең әсер етуші
күшін аламыз:
=
немесе
= + ... + = (1.1)
1.18-суреттен тең әсер етуші күшін табу оның соңғы нүктесін
табумен бірдей екенін көреміз. Ол үшін нүктелерін кезекпен саламыз.
Сонда бұл нүктелер күштер көпбұрышының төбелерінде жатады да, ал оның
қабырғалары сәйкес алынған күштерге тең болады.
Сонымен, күшінің соңғы нүктесінің күшін бастап саламыз да оның соңғы
нүктесінен келесі күшін бастап саламыз. Тағы да осы ретпен күштерді бағыты
мен шамаларын сақтай отырып, бірін-біріне тіркестіру арқылы О
көпбұрышын құрамыз. Көпбұрыштың алғашқы нүктесі О-дан соңғы нүктесі -
ге дейін жүргізілген векторы тең әсер етуші күшті анықтайды.
Осылай құрылған О көпбұрышы күштер көпбұрышы деп аталады.
Осыдан біз жинақталатын және бір нүктеге түсірілген күштер
системаларының әр уақытта бір күшке эквивалент болатынын немесе тең әсер
етуші күші болатынын дәлелдедік. Тең әсер етуші күшті табуда геометриялық
немесе аналитикалық әдістің бірі қолданылады.
1.4 Параллель күштер системасы
Екі параллель күштің системасы
Бірыңғай бағытталған екі параллель күштің системасы. Қатты денеге А
және В нүктелерінде бірыңғай бағытталған өзара параллель күштер әсер етсін
делік (1.19-сурет). Осындай екі күштің әр уақытта да тең әсер етушісі
болатынын дәлелдейік. Ол үшін А және В нүктелеріне шамалары тең, бағыттары
қарама-қарсы және күштерін түсіреійк, 2-аксиома бойынша олар (
, ) ∞ 0.
Ал 3-аксиома бойынша () ∞ (,,)
Анүктесіндегі және күштерін өзара қосып, ал В нүктесіндегі
және күштерін қосудан күшін аламыз. Сол себептен () ∞ ().
күштерін әсер ету сызықтарының қиылысушы D нүктесіне түсіреміз.
Содан соң D нүктесінде күштерін бұрынғы күштерге қайта жіктейміз,
яғни () ∞ (,,)
1.19-сурет
Мұндағы (,) ∞ 0 болатын системаны алып тастасақ берілген
(,) система D нүктесінен өтіп түзу бойымен бағытталған екі күштің
системасына ,) эквивалент болып шығады:
() ∞ (,).
Ал бұдан
() ∞ (,).
Бір түзу бойымен бағытталған екі күштің системасы тең әсер етуші күшке
келтіріледі:
(,) ∞
Мұндағы бір түзу бойымен D нүктесінен бір жаққа қарай бағытталған
және күштерінің тең әсер етуші күші болғандықтан
= +
Болады және күштер болғандықтан түзу бойымен D нүктесінен есептегенде
күштермен бір жаққа қарай бағытталады.
Жоғарыдағы ең соңғы екі эквиваленттік қатынастарды салыстырудан
алатынымыз:
(,) ∞
Бұған бірыңғай бағытталған екі параллель күш системасының әр уақытта да
тең әсер етуші күшү болатынын көреміз.
Бұл тең әсер етуші күшті шамасы жағынан және күштеріне тең және
бағыттары бірдей , күштерінің қосындсына тең деп жаза аламыз:
= +
(1.2)
Оның осы шамасы мынаған тең болады:
R = (1.3)
күшін әсер ету сызығы бойымен жылжыта отырып, D нүктесінен С
нүктесіне түсіреміз. Енді осы тең әсер етуші күш түсірілетін С
нүктесінің орнын анықтау қалды.
және DAC үшбұрыштарының ұксастығынан алатынымыз:
= .
Ал DCB және үшбұрыштарының ұқсастығынан алатынымыз:
= .
Егер = екнін ескерсек соңғы екі теңдіктен
= (1.4)
Бұл теңдік С нүктесі АВ кесіндісін күштерінің шамаларына кері
қатынаста болатындай етіп екіге бөлетінін көрсетеді. Соңғы пропорциялық
қатынастан төмендегідей туынды пропорция құра аламыз: = =.
Мұндағы АС+ВС=АВ, =R екенін ескерсек, С нүктесінің орнын анықтайтын
теңдікті табамыз:
= =. (1.5)
Мысалы Снүктесінің берілген А нүктесінен қашықтығын (1.5) теңдіктен
былай анықтауға болады:
АС = АВ
немесе оның В нүктесінен қашықтығын есептеп табамыз: ВС = АВ .
Қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштің системасы. Енді қарама-
қарсы бағытталған екі параллель күштерді қосу туралы мәселені қарастырайық.
Қатты дененің А және В нүктелерінде күштері түсірілген болсын. Бұл
күштерді бір-біріне параллель, бірақ қарама-қарсы бағытталған және өзара
тең емес күштер деп есептейік. Анығырақ болу үшін деп атайық (1.20-сурет).
1.20-сурет
Осындай екі күштен тұратын системаның тең әсер етуші күші бола ма, соны
анықтайық. Ол үшін күшін өзімен бір жаққа бағытталған екі параллель
және күштеріне жіктейік. Мұндағы құраушы күшті В нүктесіне
түсетін күш деп, ал шамасы жағынан болатындай етіп таңдап аламыз. Сонда
(,) ∞ ( , ,) болады. Енді соңғы системадан (
,) системасын алып тастаймыз. Өйткені ( ,) ∞ 0. Сол себепті
(,) ∞ . – күшінің шамасын және түсу нүктесін табуға
жоғарыда дәлелденген формулаларды қолданамыз да, мынадай екі түрдегі
теңдеуді жазамыз:
= + ,
(1.6)
= = .
(1.7)
Осылардан
R = , (1.8)
AC = AB немесе ВС = AB
(1.9)
Бұл жерде тең екенін ескердік.
Сонымен
(,) ∞
(1.10)
Модулі және бағыты (1.8), (1.9) немесе (1.8), (1.7) формулаларымен
анықталатын күшін өзара қарама-қарсы, параллель күштер системасының
тең әсер етуші күші деп атаймыз.Соңында мынадай қорытынды жасаймыз.
Модулдері тең емес қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштің әр уақытта
да тең әсер етуші күші болады. Оның модулі берілген күштер айырмасына тең
болады да, күштерге параллель С нүктесінен үлкен күш қараған жаққа қарай
бағытталады. С нүктесі АВ кесіндісін, берілген күштерге кері қатынаста
болатындай етіп, екі бөлікке сырттай бөледі. Одай дейтініміз нүктесі үлкен
күштің түсу нүктесінен тысқары, АВ түзуінің созындысына жатады.
1.5 Күштердің кез келген жазық системасы
Берілген абсолют қатты денеге әсер ететін күштердің барлығы да бір
жазықтықта орналасып, кез келген тәртіппен бағытталған болсын. Онда мұндай
күштер жиынын күштердің кез келген жазық системасы деп атаймыз. Күштердің
жазықтықтағы орналасу бағыттарына қарай айтылатын бір нүктеге түсірілген
күштердің, жинақталатын күштердің, параллель күштердің жазық системалары
болады. Бұлар күштердің кез келген жазық системасының дербес түрлері болып
саналады.
Бір абсолют қатты денеге әсер етуші күштердің кез келген жазық
системасы () берілсін. Осы системаны өзіне эквивалент мүмкіншілігінше
оңайлатылған системаға келтіру керек.
Бір күшті берілген центргет келтіру. Бізге А нүктесіне түсірілген
қандай да болмасын күші және В центрі берілсін. күшін өзін-
өзіне параллель жылжыту арқылы А нүктесінен В центріне көшіруге, яғни
басқаша айтқанда, келтіруге бола ма? Бұл сұраққа жауап беретін мынадай
негізгі лемма бар.
Абсолют қатты денені А нүктесінде берілген күш дененің басқа бір
В нүктесіне түсірілген дәл өзіндей ` күшке және бір қос күшке
эквивалент. Бұл қос күштің моменті А нүктесіндегі күштің В центріне
қатысты алынған моментіне тең болады.
Бізге күштердің кез келген жазық системасы () берілсін (1.21-сурет)
делік. Осы системаның бас векторы және бас моменті туралы анықтама берейік.
Күштердің жазық системасының бас векторы деп ондағы күштердің
геометриялық қосындысына тең болатын векторды айтамыз.
Егер бас вектор деп белгілесек, онда оны мынадай формуламен
анытаймыз:
=
(1.11)
1.21-сурет.
Күштердің жазық системасының кез келген бір центрге қатысты бас момнеті
деп системадағы күштердің сол центрге қатысты моменттерінің геометриялық
қосындысына тең векторды айтамыз.
Күштер орналасқан жазықтықтың кез келген бір нүктесін О деп, системаның
осы нүктеге қатысты алынған бас моментін деп, ал кез келген күшінің
моментін деп белгілесек, онда екінші анықтаманы мынадай формула
арқылы жазамыз: = ) (1.12)
Күштердің түсу нүктелерінің берілген О центріне қатысты радиус-
векторларын арқылы белгілеп, центрге қатысты күш моментінің
анықтамасы пайдалансақ, онда (1.12) формуланы былай жазар едік:
= (1.13)
Системадағы күштердің барлығы да бір жазықтықта жатқандықтан бас вектор
де сол жазықтықта жатады, ал бас момент оған О центрінде
перпендикуляр бағытталады. Сондықтан да күштердің жазық системасының бас
векторы мен бас моменті әр уақытта да бір-біріне перпендикуляр болып
келеді.
Күштердің кез келген жазық системасының бас векторы мен бас моментін
аналитикалық жолмен анықтау.
Бас моментті анықтаушы формулалар. Күштер орналасқан жазықтықта О
келтіру центрінен бастап х және у осьтерін жүргізейік. Оz осі күштер
жазықтығына перпендикуляр бағытталады (5.4-сурет). Күштердің бәрі хОу
жазықтығында болғандықтан бас вектор ` де осы жазықтықта жатады.
Берілген күштер проекцияларын ( , ал бас вектор проекцияларын
`( деп белгілесек, онда (5.2) анықтамадан алатынымыз:
= =
= = (1.14)
Бас вектордың х, у осьтеріндегі проекциялары арқылыоның модулін және
бағыттаушы косинустарын таба аламыз:
R = ,
cos (x, ^`) = cos (y, ^`) =
(1.15)
1.22-сурет 1.23-сурет
Бас векторды анықтаушы формулалар. Күштер бір жазықта болғандықтан
олардың О келтіру центріне қатысты моменттері күштер жазықтығына
перпендикуляр, яғни Оz осіне параллель бағытталады. Сол себепті де
системаның бас моменті өзінің Оz өсіндегі проекциясымен бірдей болады: =
. Осыған байланысты (1.12) формуланың орнына
==()
формуласын қабылдаймыз. Бұл формуланың оң жағын (1.13) қатынасынан
табамыз:
== (1.16)
немесе былай да анықтай аламыз:
==
(1.17)
Күш пен иіннің көбейтінділерінің алдындағы таңба күштердің келтіру О
центрінен қалай айналатындығына байланысты оң бұрғы ережесімен анықталады.
С-1есебi
Тақырыбы: Еркiн жазық күштер жүйесiнiң әсерiндегi дененiң тепе-теңдiгi.
Есептi шығарудың жалпы әдісі
1. Еркiн масштабпен берiлген есеп схемасын сызып, онда барлық актив
күштердi және ауырлық күшiн көрсетемiз.
2. Балка жазықтығында ось координатасын жүргiземiз. Ось балка жазықгығында
кез-келген жағдайда орналасуы мүмкiн, дегенмен осьтiң бiреуiн балканың
бойымен бағыттаған тиiмдi, ал екiншiсiн оған перпендикуляр бағытгау керек.
З. Дененi (ойша) байланыстардан босатып, оларды байланыс реакцияларымен
немесе олардың құраушыларымен ауыстырамыз.
4. Балканың тепе-теңдiгiнiң шартының теңдеуiн құрамыз, және белгiсiздердi
анықтаймыз.
Есептiң шарты: Бiртектi салмагы Р=I5кН екi тiректi балка, ұзындыгы l=1,8м
тiк жазықтықта есеп схемасындағыда көрсетiлгендей орналасқан және
=0,5кН түсу бұрышы =0, =35Н түсу бұрышы =60°; q=3,5кнм
интенсивтi таралу жүгiмен және М=30Н*м жұп күш моментiмен жүктелген.
Анықтау керек: егер балка тепе-теңдiкте болған жағдайда байланыс
реакцияларын анықтап дұрыстығын тексеру керек.
Шешуі:
1. Балканы еркiн масштабпен сызып, онда барлық берiлген күштердi
көрсетемiз. Есептiң шарты бойынша балка бiртектi болғандықтан салмақ
күшiнiң түсу нүктесi — балканың ортасы. Балканың негiзгi нүктелерiн
әрiптермен белгiлейiк: шарнирлi жылжымайтын тiректi — А әрпiмен; шарнирлі
жылжымалы тіректі — В әрпiмен белгілейміз.
2. Ось координатасын жүргiземiз. Берiлген есепте координатаны басын А
нүктесiнен алып, балканың бойымен бағьгггаған ыңғайлы.
3. А байланыс реакцияларының құраушыларымен (олардың координата ось
бойындағы бағыттарын еркін түрде аламыз).
4. Негізгі түрде балканың тепе-теңдігінің теңдеуін құрамыз. Жазық жүйе үшін
үш теңдеуқұралады: барлық күштердің координата остеріндегі проекцияларының
қосындысын нөлге тең және барлық күштерден болатын моменттерінің кейбір
нүктеге қарағандағы қосындысы нольге тең. Полюс ретінде қай нүктеде көп
белгісіздер жинақталса, сол нүктені алған тиімді.
Тепе-теңдік теңдеуі жалпы түрде жазамыз:
=0 cos60° = 0
(1)
=0 = 0 (2)
(F)=0 M-Q* - P* - = 0 (3)
Үшінші теңдеуден -ны табамыз:
= = = 9078.5
Екінші теңдеуге табылған мәнін қойып алатынымыз:
= 3150+15000+35*0.866-9078.5 = 9101.8
Бірінші теңдеуден -ны табамыз:
35*0.5-500 = -482.5
Табылған А тірегінің реакция құраушыларының мәні бойынша, А тірегінің
реакциясының модулін есептейміз:
= = = 9114.6
Тексеру:
= 35*0.866*0.6+3150*0.9+15000*0.9+30- 9101.8*1.8 = 0
С—4 есебi.
Тақырыбы: Кеңiстiтегi күштер жүйесiнiң әсерiндегi дененiң тепе-теңдiгi.
Есепті шешудің жалпы әдiсi.
1. Есеп схемасын сызып, онда ауырлық күшiн және барлық берiлген күштердi
көрсетемiз.
2. Ось координаталарын жүргiземiз немесе схемадағы берiлген координата
жүйелерiн қолданамыз.
3. Байланыстарды (ойша) босатып, оларды байланыс реакцияларымен немесе
олардың құраушыларымен ауыстырамыз.
4. Плитаның тепе-теңдiк тендеуiн құрастырамыз (кеңiстiк жүйе үшiн алты
теңдеу).
Есептiң шарты. Салмагы Р=5кН бiр тектi төрт бұрышты плита, АВ=4l, ВС=3l
қапталдарымен схемада көрсетiлгендей бекiтiлген, мұндағы СС`-абсолют қатты
стержень. Плита ZTX жазықтығында TZ осiне =0° бұрышымен жатқан
=1000Н, ХСУ жазықтығында СХ осiне =90° бұрышымен жатқан М = 2,2
кН жұп күш моментiмен жүктелген. К нүктесi DС-ның ортасында орналасқан.
Байланыс реакцияларын анықтау керек, егер l = 0,8 болса.
Шешуі:
1. Есеп схемасын сызып, онда барлық берілген күштердi көрсетемiз.ПIлитаның
диоганалдарының қиылысқан нүктесiне түсiрiлген ауырлық жүгi, плитаның
бiртектiлiгiнен туындайды.
2. Координатаның басын В нүктесiнен алып, остердi (х) АD және (у) AB
қапталымен бағытгаймыз.
З. Байланыс реакцияларын олардың құраушыларымен ауыстырамыз. А цилиндрлік
шарнирiн — үш құраушымен, В цилиндрлiк шарнирiн — екi құраушымен,
СС`стержень реакциасын, стержень созылуда деп қарастырып, стерженнiң
бойымен бағьгггаймыз.
4. Плитаның тепе-теңдiк теңдеуiн алты жүйелi теңдеу ретінде құрамыз.
=0 = 0 (1)
=0 = 0 (2)
=0 = 0 (3)
(F)=0 = 0 (4)
(F)=0 = 0 (5)
(F)=0 = 0 (6)
Бесінші теңдеуден қарасты шыға отырып, алатынымыз:
= = 1867.4
Алтыншы теңдеуден анықтаймыз.
= = 912.78
Табылған мәнін 4-ші теңдеуге қойып, табамыз:
= = 449.8
Үшінші теңдеуден табылған мәнін қойып алатынымыз:
= 5000-449.8-1867.4*0.866-1000*0.866 = 2067
Екінші теңдеуден анықтаймыз:
= 1200+1867.4*0.866 = 2817.2
Бірінші теңдеуден анықтаймыз:
= 1000*0.5-912.78 = -412.78
2.Қатты денелер кинематикасы
Материялық нүктелердiң кез келген жинағын материялық система деп
атайды.
Әрбiр нүктесiнiң кеңiстiктегi орны және қозғалысы оның басқа
нүктелерiнiң орындары мен қозғалыстарына тәуелдi болатын материялық
системаны механикалық система деп атайды.
Абсолют қатты дене механикалық системаның кез келген екi нүктесiнiң
арақашықтығы өзгермейтiн жеке түрi болып табылады ол кейде өзгермейтiн
механикалық система деп аталады.
Кеңiстiкте кез келген бағытта қандай болмасын жылдамдықпен орын
ауыстыра алатын системаны еркiн система деп атайды.
Еркiндiгi белгiлi бiр шарттармен шектелген системаны еркiн емес система
деп, ал оның еркiндiгiн шектеп тұрган шарттарды байланыстар деп атайды.
Механикалық системаларды құраушы нүктелердiң қозғалыстарының
тәуелдiлiгi нүктелердiң өзара әсерiнен және байланыстардың әсерiнен туады.
Нүктелердiң система iшiнде өзара орналасуын шектейтiн шарттар (система
нүктелерiнiң өзара әсерi) iшкі байланыстар деп, тұтас системаға түсiрiлген
байланыстар сыртққы байланыстар деп аталады. Тек қана iшкi байланыстары бар
система еркін система болады.
Байланыстар бiр теңдеулермен (кейде теңсiздiктермен) өрнектеледi. Бұл
теңдеулердiң түрiне қарай байланыстар екi топқа бөлiнедi.
Егер байланыс системаның, демек, оны құрайтын барлық нүктелердiң, кез
келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын ғана шектейтiн болса, яғни оны
өрнектейтiн теңдеуге тек система нүктелерiнiң координаталары ғана
қанағаттандыратын болса, ондай байланыс геометриялык немесе шектi байланыс
деп аталады.
Система n нүктеден тұрады десек, оған түсiрлген геометриялық
байланыстың теңдеуi жалпы былай жазылады:
f (,; t ) = 0 (2.1)
Системаның кеңiстiктегi орнымен қатар жылдамдығын да шектейтiн
байланыстарды кинематикалық немесе дифференциалдық байланыстар дейдi.
Оларды өрнектейтiн теңдеулердiң құрамына система нүктелерiнiң кез келген
уақыт кезеңiндегi координаталары және олардың уақыт бойынша алынған бiрiншi
туындылары да кiредi:
φ (, ... , ; , ... , ; t )=0.
(2.2)
Тек қана геометриялық байланыстар әсер ететін системалар голономдық
системалар деп, геометриялық байланыстармен қатар кинематикалық
байланыстары да бар системалар голономдық емес системалар деп аталады.
Осыған орай кейде геометриялық байланыстарды голономдық, ал
интегралданбайтын дифференциалдық байланыстарды голономдық емес байланыстар
деп атайды. (2.2)
Бiз бұдан былай тек голономдық системалар қозғалысын ғана оқып
үйренемiз. Голономдық емес системалар кездесетiн жағдайлар ерекше
ескертiледi.
Еркiн емес системаның кеңістiктегi орнын бiр мәндi анықтайтын тәуелсiз
координаталардың саны оны құрайтын барлық нүктелердiң координаталарының
санынан кем болады. Шынында да, n нүктеден тұратын голономдық системаға r
геометриялық байланыстар (2.1) түсірілсiн. Сонда системаның кеңістiктегi
орнын, яғни конфигурациясын анықтайтын 3n координаталардың (Зn—k)-сы ғана
тәуелсiз болады, өйткенi қалғандары бұлар арқылы берiлген k байланыстың
теңдеулерiнен анықталады. Бұл тәуелсiз координаталар система координатал
ары (немесе системаның жалпыланған координаталары) деп аталады және оның
кеңiстiктегi орнын бiр мәндi анықтайды. Система координаталарының жиыны
оның конфигурациясы делiнедi. Система конфигурациясын өлшемдерiнiң саны
система координаталарының санына тең кеңiстiкте қаралып отырған бiр
нүктелің координаталары деп қарауға болады. Бұл нүктенi системаның
өрнектеушi нүктесi деймiз.
Еркiн нүктенiң кез келген уақыт кезеңiндегi таңдап алынған
координаталар системасына қарагандағы кеңiстiктегi орны өзара тәуелсiз үш
скалярлық координаталарымен анықталады. Таңдап алынған координаталар
системасының түріне қарай олар сызықтық та, бұрыштық та шамалар болуы
мүмкiн. Олар жалпыланған (қисық сызықты) координаталар деп аталып, әдетте
(t), (t), (t) арқылы белгiленедi.
Іс жүзiнде байланыс белгiлi бiр бет немесе қисық ретiнде берiледi.
Олардың теңдеулерi нүктенiң қозғалысын шектейтiн шарттар болып табылады.
Мысалы, материялық нүкте радиусы R сфераның iшiнде және iшкi бетiнде ғана
қозғала алатын болса, онда байланыс былай өрнектеледi:
х²+y²+z²≤R²
Егер нүкте барлық уақытта белгiлi бiр қисықтың, не беттiң үстiнде
қозғалуға тиiс болса, онда нүктенiң координаталары сол қисықтың, не беттің
теңдеулерiне қанағаттандыруға тиiс, яғни қозғалушы нүктенiң координаталары
соңғылардың ағым координаталары болуға тиіс.
Өзiнiң түрiн өзгертпейтiн, яғни деформацияланбайтын, кеңістікте
қозғалмайтын, уақытқа тәуелсiз байланыстар станционар (тұрақты) немесе
склероном байланыстар деп, ал уақыт өткен сайын өзiнiң түрiн немесе
кеңiстiктегi орнын өзгертiп тұратын байланыстар, мысалы (2.2) стационар
емес (айнымалы) немесе реоном байланыстар деп аталады. Стационар
байланыстардың теңдеулерiне уақыт кiрмейдi.
Системаға (нүктеге) әсерi еш уақытта тоқтамайтын, яғни әсерiнен
қозғаушы система құтыла алмайтын байланыстар құтқармайтын немесе екi жақты
байланыстар деп аталады. Олар (2.1), сияқты теңдiктермен өрнектеледi.
Қозғалыстағы системаға (нүктенің әсері белгiлi бiр уақыт кезеңiнде
тоқтайтын байланыстар құтқаратын (босататын) немесе бiр жақты байланыстар
делiнедi. Мысалы, байланыс бетінен, не қисығынан нүкте бiр жағына қарай
түсе алады. Бұл жағдайда байланыс тек кеңiстiктiң материялық нүкте шыға
алмайтын бөлiгiн шектеп тұрады және теңсiздiктермен өрнектеледi.
Еркiн емес нүктелердiң жалпыланған координаталарының саны үштен кем
болады. Мысалы, нүкте берiлген қисықтың бойымен қозғалуға мәжбүр болса,
оның кез келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын анықтауға нүктенiң бір
ғана доғалық координатасы s=s(t) жеткiліктi. Шынында да, жалпыланған
координаталардың бiрiнің, мысалы -нiң, орнына доғалық координатаны
қабылдасақ қалган екеуi сол арқылы берiлген қисықтың (траекторияның) -
байланыстың координаталық екi теңдеунен ( s,, )=О, (i=1,
2) анықталады. Әрине, нүктенi системаның және түрі деп қарауға болады.
Берiлген қисықтың теңдеулерi геометриялық байланыстар екенi сөзсiз. Олай
болса берiлген траекторияның бойымен қозғалушы нүкте бір нүктеден тұратын
голономдық система екен.
Голономдык системаның (нүктенiң) кез келген уақыт кезеңiндегi
кеңiстiктегi орнын бір мәндi анықтайтын өзара тәуелсiз скалярлық
функциялардың (системаның жалпыланған немесе қисық сызықты
координаталарының, ал қысқаша система координаталарының) санын системаның
(нүктенiң) еркiндiк дәреже саны деп атайды.
Аргументтерi уақъгг болып келетiн сол скалярлық функциялардың өздерi
системаның қозғалыс теңдеулерi немесе қозғалыс заңы деп аталады.
Система кинематикасының негiзгi мақсаты қозғалушы системаның еркiндiк
көрсеткiшiнiң санын анықтау, оның жалпыланған координаталарының дұрыс
тағайындап, таңдап алынған координаталар системасындағы қозғалыс
теңдеулерiн мүмкiндiгiнше ең қарапайым түрде жазу болып табылады.
Қозғалыстың басқа кинематикалық характеристикаларын, қасиеттерiн анықтау
математикалық жолмен жүргiзiледi.
Еркiн абсолют қатты дененің еркiндiк дәреже санын және қозғалыс
теңдеулерiн анықтайық.
Ол үшiн берiлген А денесiнiң (2.1-сурет) таңдап алынған Оζηξ декарттық
координаталар системасымен салыстырғандағы орнын бір мәндi анықтайтын өзара
тәуелсiз координаталарды табу керек. Қатты дененiң кеңiстiктегi орны оның
бiр түзудің бойында жатпайтын кез келген үш нүктесiнiң координаталарымен
бiр мәндi анықталады, осындай үш нүктеде, мысалы Мi ( , ,
), (i=1, 2, 3) нүктелерiнде, бекiтiлтен А денесi қозғалмайды.
Үш нүктенiң тоғыз координатасы бар, бiрақ дене абсолют қатты
болғандықтан олар өзара төмендегiдей үш шартпен байланысқан:
=соnst=,
=соnst=,
=соnst=.
Демек, тоғыз координатаның тек алтауы ғана өзара тәуелсiз болады, яғни
еркiн қатты дененiң еркiндiк дареже саны алтыға тең. Тағы да қосымша
нүктелер қарасақ еркiндiк дәреже саны арта ма? Жок, артпайды. Себебi
жаңадан қанша координата қосылса оларды байланыстыратын сонша теңдеулер де
қосылады. Мысалы, қосымша нүктесін қарасақ, оның үш координатасымен
бiрге оны алдыңғы үш нүктемен қосатын кесiндiлердiң ұзындыктарының
тұрақтылығын өрнектейтiн үш шарт та қосылады.
2.1-сурет 2.2-
сурет
Сонымен, көрсетілген тоғыз координатаның кез келген алтауы белгілі
болса, қалған үшеуі жоғарыдағы теңдеулерден анықтап, деннің кеңістіктегі
орнын дәл көрсете аламыз.
Бұл қорытындыға басқаша да жолмен келуге болады. Қозғалмайтын , ζ
η ξ координаталар системасынан басқа денемен бірге бекітілген қозғалмалы
Охуz декарттық координаталар системасын (2.2-сурет) таңдап алалық.
Қозғалмайтын және қозғалмалы координаталар осьтерінің бірлік векторларын
әруақытта да сәйкес l, m, n және i, j, k деп белгілеуге келіселік.
Жылжымалы Охуz координаталар системасы денемен бiрге қозғалып
жүретiндiктен оның ζηξ системасымен салыстығандағы жағдайын бiлу
дененiң кеңiстiктегi орнын бiлумен бiрдей. Абсолют қатты дененiң қозғалысын
кинематикалық зерттеу сол денемен өзгерместей болып бекiтiлген қозғалмалы
кеңiстiктiң (Охуz координаталар системасының) қозғалмайтын кеңiстiктегi
ζηξ координаталар системасындағы) қозғалысын зерттеуге келтiрiледi.
Қозғалмалы және қозғалмайтын кеңiстiктердiң атқаратын мiндеттерiн
алмастыруға, яғни қатты дене (Охуz системасы) тыныштықта тұрады, ал
кеңiстiк (ζηξ системасы) қозғалыста болады деп қарауға болады. Бұл
жағдайда қозғалыстың кинематикалық характеристикалары өзгермейдi.
Бұл ақиқат қозғалыстың қайтымдылық принципi деп аталады. Ал Охуz
системасының ζηξ системасымен салыстырандағы жағдайы оның О (ζ˳ (η˳
ξ˳) нүктесiнің ‚үш координатасымен және қозғалмалы осьтердiң (i, ј=1, 2,
3) тоғыз бағыттаушы косинусымен анықталады. Бiрақ,ζηξ және Охуz
координаталар системалары тiк бұрышты болғандықтан
+ + =
(2.3) болады.
Мұнда i=ј болғанда, =1, ал і ≠ ј болғанда, =0 болады.
Демек, тоғыз бағыттаушы косинустың үшеуi ғана өзара тәуелсiз де,
қалғандары жоғарыдағы теңдiктерден ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
І – бөлім. Қатты дене
статикасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .4
1.1. Статиканың негізгі ұғымдары мен
аксиомалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2. Байланыс және байланыс
реакциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... .6
1.3. Жинақталған күштер
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..8
1.4. Параллель күштері
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .4
1.5. Күштердің кез келген жазық
системасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .6
1.6. С-1
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
1.7. С-4
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..9
ІІ – бөлім. Қатты дене
кинематикасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .10
2.1. Қатты дененің ілгерілмелі
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...10
2.2. Қатты дененің тұрақты өсті айнала
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .14
2.3. К-2
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
2.4. Қатты дененің жазық параллель
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
2.5. Еркін қатты дене
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...25
ІІІ – бөлім. Материялық нүкте
динамикасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .27
3.1. Ньютон
заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
3.2. Материялық нүкте динамикасының негізгі
теоремалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...30
3.3. Д-2
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31
3.4. Материялық нүктенің салыстырмалы
қозғалысы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .35
3.5. Материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысының дифференциялық
теңдеулері. Инерция
күштері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...38
3.6. Инерция күштерінің физикалық мағынасы. Классикалық механиканың
салыстырмалы
принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 50
Кіріспе
Мен осы курстық жұмысымда теориялық механиканың статика, кинематика,
динамика бөлімдеріне тоқталдым.
Теориялық механика – материялық денелердің механикалық қозғалысының
жалпы заңдылықтары, мен тепе – теңдігін және осы материялық денелердің
өзара механикалық әсерлесуін зерттейтін ғылым. Өзара механикалық әсерлесу
нәтижесінде бір материялық денелер басқа материялық денеге қарағанда
қозғалысқа келтіріледі, яғни материялық денелер өзінің бастапқы қалпын
өзгертеді (деформацияланады) немесе жоғарыда аталған екі жағдай қатар
байқалады.
Осы курстық жұмыстың негізгі мақсаты – қазіргі кезеңде отандық машина
жасау өндірісін дамыту, жаңа өндірістік технологияларды халық шаруашылығына
енгізу, космос кеңістігін игеру және тағы басқа техникалық шешімдерді
анықтауды қажет ететін күрделі мәселелер механика ғылымының қарыштап
дамуына өзінің ықпалын тигізетіні сөзсіз.
Теориялық механика пәні статика, кинематика және динамика деп аталатын
үш бөлімнен тұрады.
Статика теориялық механиканың күштер (күштер жүйесі) түуралы ілім
баяндалатын және осы күштер әсер еткендегі материялық денелердің
салыстырмалы тепе – теңдік шарттары мен теңдеулері зерттелетін бөлім.
Егер дене басқа денелермен салыстырғанда тыныштық күйде болса, онда
дене тепе – теңдікте болады деп айтуға болады. Дененің тепе – теңдік шарты
дененің күйіне байланысты. Сұйық және газ тәрізді денелердің тепе – теңдігі
гидростатика және аэростатика пәндерінде қарастырылады.
Кинематика деп материялық денелер озғалысының геометриялық
сипаттамаларын (траекториясын, үдеуін, жылдамдығын), зерттйтін теориялық
механика тарауын айтады. Осы зерттеулерде денелердің инерттілігі (массасы)
және оларға әсер ететін күштер есепке алынбайды. Сондықтан да кинематиканы
қозғалыс геометриясы деп те кейде оны төрт өлшемді гещметрия деп те,
атайды. Өйткені Ньютон механикасында, яғни қазіргі кезеңдегі теориялық
механиканың негізі болып саналатын классикалық механика да, материя
(материялық дене) орын ауыстыратын кеңістіктің қасиеттері үш өлшемді
эвклидтік кеңістіктің аксиомалары мен теоремаларына тәуелді болады да, ал
төртінші өлшем ретінде дәл кеңістік сияқты материяға тәуелсіз, абсолютті
шама – уақыт алынады.
Динамика бөлімінде материялық нүктенің, қатты дененің қозғалысы
зерттелгенде, осы қозғалыстың себебі болатын әсер етуші күштер және
материялық обьектілердің инерттілігі (масса) ескеріледі.
Осы курстық жұмыс арқылы теориялық механиканың әр түрлі өнеркәсіптердің
негізі бола алатын ғылым ретінде таныдым.
1.1. Статиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары
Статика деген гректiң statike деген сөэiнен шыққан. Грекше бұл бір
орында тұру қозғалмау, тыныштықта болу деген сияқты ұғымдарды бiлдiредi.
Статика — күш әсерiнiдегi материялық денелердiң тепе теңдiгiн зерттейтiн
ғылым. Баяндау тәсiлiне орай ол геометриялық және аналитикалық статика
болып ек түрге бөлiнедi. Аналитикалық статикада механикалық системаның ең
жалпы тепе-теңдiк шарттары тағайындалады. Мұнда зерттеулер таза
аналитикалық тәсiлмсн жүргi зiледi. Аналитикалық статиканың қорытындылары
кез келген мехакикалык система үшiн дұрыс болады. Бұл статиканы кейiнрек
қарастырамыз. Геометриялық статикада абсолют қатты денелердiң өзiне
түсiрілген күштер әсерiнен болатын тепе-теңдiгi жөнiндегi мәселелер
қарастырылады. Ондай мәселелердiң өзi екiге бөлiнедi: 1) абсолют қат ты
денега әсер ететiн күштер системасын қарапайым түрге келтіру;
2) абсолют қатты денеге әсер ететiн күштер системасының тепе-теңдiк
шарттарын тағайындау. Осыдан барып статиканы қысқаша күштер туралы ғылым
дейтiн ұғым туады.
Денелердiң қозғалыста, не тыныштықта болуы, бiрiншiден, ол денелерге
қандай күштер әсер ететiнiне екiншiден, дененің орны қандай санақ
системасына қатысты қарастырылатындығына байланысты. Қозғалыс және
тыныштық дегеніміз салыстырмалы ұғымдар. Олар туралы сөз болғанда алдымен
қандай да санақ системасын тағайындап алуымыз қажет. Сөйтiп, алдын ала
санақ системасы және күш туралы ұғымдарға тоқтап өтуiмiз керек.
1.1. Санақ системасы. Координаталық осьтер системасы. Денелердi
кеңiстiктегi орны қозғалмайды деп алынған қандай да бір денеге (немесе бiр-
бiрiмен салыстырғанда қозғалмайтын бір топ денеге) қатысты анықталады. Осы
денемен салыстыра отырып берiлген дененiц орын ауыстыруын есептеп
шығарамыз. Мысалы, бiзге берілгенi В денесі болсын. Оның кеңiстiктегi орнын
қозғалмайды деп алынған екiншi бiр А денесiмен салыстыра отырып анықтайық
(1.1-сурет).
1.1-сурет
Өзiне қарағанда басқа денелердің орны, қозғалыс күйі салыстыру арқылы
анықталатын, қозғалмайды деп алынған осы А денесi санақ системасы деп
аталады. Сонымен, берiлген денелер қозғалысын әрбiр жолы белгілі бiр санақ
системасымен салыстырып қарастыруымыз керек. Түрлi жағдайларда санақ
системасын түрліше тәсiлмен сайлап алуға болады. Практикада қозғалысты
сипаттау үшiн санақ системасын құрайтын денелерге қандай да бiр
коорданаталар осьтерiнің системасын байланыстырады. Теориялық механикада
көбiне х, у, z координаталарының тік бұрышты декарттық системасы
қолданылады (1.1-сурет). Бұдан былай үнемi тек оң системаны пайдаланатын
боламыз. Бұл система үшiн оң бұрғы ережесi қолданылады. оz осiнiң оң ұшынан
қарағанда ох осінің оz осiне қарай ең аз бұрышқа бұрылысы сағат тiлiне
айналысына керi бағытта көрiнуi керек, сол сияқты ох ұшынан қарағанда оу-
тiң оz-ке карай, ал оу-тің ұшынан қарағанда оz-тiң ох-ке қарай айналыстары
дәл осылай болуы қажет.
Сонымеа, осыдан әрi қарай В-ның немесе басқа денелердiң тепе-теңдiгi,
не қозғалысы алдын ала алынған қандай да бiр охуz осьтер системасына
қатысты зерттелiнедi. А денесi қозғалмайтын дене ретiнде алынғандықтан,
онымен байланыстырылып алыған охуz осьтер системасын да қозғалмайтын немесе
абсолюттiк система деп есептеймiз. Сөйтiп, статикада инерция заңы
орындалатын координаталық осьтер системасы алынады.
1.2. Негiзгi анықтамалар. Геометриялық статикада тек қана абсолют қатты
дене тепе-теңдiгi қарастырылады. Сол себептi осыдан былайғы жерде күштердi
тек абсолют қатты денеге түсiрiлген күштер ден есептейтiн боламыз. Алдағы
уақытта айтуға жеңiл болу үшiн абсолют қатты дене деп жатпай тек қатты дене
дейміз.
Бұдан былай еркiн қатты дена ұғымын жкi қолданамыз. Еркiн дене деп
басқа денелермен ешбiр байланысы жоқ, ешнәрсемен де бекiтiлмеген дененi
айтамыз. Ол дена кеңiстiктiң кез келген орнында бола алады және кез келген
бағытта орын ауыстыра алады.
Қатты деаеге бір ғана күш емес бiрнеше күш әсер етуi мүмкін.
Оларды деп белгiлейік.
Қандайда болмасын бiр қатты денеге әсер ететiн күштер жиынын
күштердiң системасы деп атайды.
Қандай да боамасын ()—n күштiң системасын тыныштықта тұрған еркiн қатты
денеге түсiргенде ол оған ешқандай қозғалыс бере алмайтын болса, онда бұл
күштердiң системасы тепе-теңдiктегi система деп немесе нольге эквивалент
деп аталады:
()∞0
Басқаша айтқанда, системадағы күштер бірiнiң жасайтын әсерiн бiрi
жойып, натижесiнде күшттердiң бұл системасы тыныштықтағы еркiн
дененi ешқандай да қозғалысқа келтiре алмайтын болады. Егер еркін дене
осыған дейiн қозғалыста болса, онда күштердiң мұндай системасы оған
ешқандай да өзгерiс жасай алмайды. Қозғалыстың бағыты да, жылдамдықтары да
өзгермей қала бередi.
Егер () және () күштердің екi системасының әрқайсысы бір еркiн
қатты дененi тыныштықтағы күйiнен бiрдей бiр қозғалысқа келтiретін болса,
онда бұларды бiр-бiрiне эквивалент системалар деп атаймыз. Бұл анықтаманы
былай жазамыз:
() ∞ ()
Осы анықтаманы былайша толық тусiндiруге болады. Егер () системасы бiр
қатты дене D-ға әсер еткенде оны қандай қозғалысқа түсiрсе, не оны
тыныштықта ұстаса, оған эквивалент екiнші бiр күштер () системасы да D
денесiн дәл сондай қозғалысқа келтiредi немесе ол да D-ны тыныштықта
ұстайды. Қысқаша айтқанда, эквивалент екi системаның бiр денеге жасайтын
әсерлерi бірдей болады. Сол себептi мұндай екi күштер системасының бiрін
екiншiсiмен алмастыруға болады.
Қатты денеге түсiрiлген () күштерiнiң системасы бір күшке
эквивалент болса, онда күшін бұл күшiтер системасының тең әсер
етушiсі немесе тең әсерлi күшi деп атайды. Сонда осы анықтаманы былай
жазуға болады:
() ∞
Егер қатты денеге әсер етушi барлық куштер жиыны тепе-теңдiкте тұрған
күштердiң системасын құратын, яғни
() ∞ 0
болса, онда бұл дененiң өэi де тепе-теңдікте болады делiнедi.
Механикаға негiз болатын — Галилей-Ньютонның жалпы заңдары. Механиканың
бұл жалпы заңдарына динамикада тоқталамыз. Бұл жерде статика негiзiне
алынатын аксиомаларды баяндаймыз. Статика аксиомалары Галилей-Ныотонның
жалпы заңдарынан туады. Олар механикаға толығынан негiз бола алмайды, бiрақ
ол статикада қарастырылатын барлық мәселелердi қорытып шығаруга әбден
жеткілікті.
1-аксиома (екi күштің тепе теңдік шарты туралы). Сан мәндерi тең бір
түзудiң бойы мен қарама-қарсы бағытталған еркiн қатты денеге әсер етушi екi
күш өзара теңеседi немесе нөлге баламалы (1.2-сурет).
1.2-сурет
= - , () = 0.
Бұл аксиома теңескен күштер жүйесiн анықтайды.
2-аксиома (күштер жүйесiн түрлендiру туралы). Өзара теңескен күштер
жүйесiн қосқаннан немесе алып тастағаннан берiлген күштер жүйесiнiң қатты
денеге әсерi өзгермейдi (1.3-сурет).
1.3-сурет
Алғашқыда қатты денеге() күштер жүйесi түсірілген болсын. Ендi
денеге түзуiнiң бойымен қарама-қарсы бағытталған шамалары тең
күштерін түсiрейiк, яғни () ˂= 0.
Олай болса, () ˂= ().
3-аксиома (күштер параллелограмының заңы). Дененiң бiр нүктесiне
түсiрiлген екi жане күштерiнiң тең әсер етушi күшi сол нүктеге
түсiрiледi де, осы күштерден тұрғызылған параллелограмның диагоналiмен
анықталады (1.4,а-сурет).
1.4-сурет
Осы және күштерiнің тең әсер етушi күшін параллелограмм
тұрғызбай-ақ анықтауға болады. Ол үшін бiрiншi векторының ұшынан
(1.4,б-сурет) векторын жүргiземiз. Осы сынық сызықтың бастапқы және
соңғы нүктелерін қосатын векторы екi күштiң тең әсер етушi күшiн
бейнелейдi. Екi күштiң тең әсер етушi күшін осындай әдiспен анықтайтын
тәсiл, күштер үшбұрышының ережесi деп аталады.
Векторларды қосу ережесi бойынша тең әсерлi күш = + ,
яғни күштердiң векторлық немесе геометриялық қосындысына тең болады. Тең
әсер етушi күштiң модулi:
R =
4-аксиома (әсер және керi әсер туралы заңы). Екi дененiң бір-бірiне
әсер ету күштерi шамасы жағынан тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы
бағытталады (1.5-сурет).
Бұл заң бойынша әрбiр әсерге оған тең және қарама-қарсы бағытталған
керi әсер болады.
1.5-сурет
және күштерi әр түрлi денеге түсiрiлген, сондықтан осы
күштер тепе-теңдікте болатын күштер жүйесiн құра алмайды, яғни
() ˂≠0.
Осы аксиомадан әлемде куштiң бiр жақты ғана әсерi болмайтынын көремiз.
5-аксиома(қатаю принципi). Егер қатты емес дене теп-теңдiкте болса,
онда ол қатты денеге айналғанда тепе-теңдiк шарты бұзылмайды.
Қатаю принципi қатты емес дене мен кез келген өзгермелi құрылмаларға
(конструкцияларға) статиканың тепе-теңдiк шарттары қолдануға мүмкіндiк
бередi. Осы шартты қатты емес денелердiң тепе-теңдiгiнің қажеттi шарттары
деп алуға болады. Мысалы иiлмелi жiп тепе-теңдiкте болу үшiн оның екi ұшына
әсер ететiн күштердiң шамалары бiрiне-бiрi тең және қарама-қарсы
бағытталғаны жеткiлiксiз болады, себебi оған қосымша осы күштер жiптi созуы
қажет.
1.2. Байланыстар. Байланыстар реакциялары
Еркiн және еркiн емес дене. Кеңiстiкте кез келген бағытта қозғалыс
жасай алатын дененi еркiн дене деп атайды. Егерде дене кейбiр бағыттарда
қозғалыс жасай алмайтын болса, онда ол еркiн емес дене деп аталады. Дене
қозғалысының еркiндiлігiн шектейтiн шарттарды механикада байланыстар деп
атауға келiсiлген. Байланыстар туралы ұғым—механикадағы күрделi ұғымдардың
бiрi. Оны толық түрде динамикада қарастырамыз. Статикада қарастырылатын
байланыстар көбiнесе қозғалмайтын қатты дене, жiп, стержень, материялық
нүкте түрінде кездеседi.
Мысалы, О нүктесiне жiппен iлiнген В жүгi (1.6-сурет) еркiн емес
(ерiксiз) дене болып табылады.
1.6-сурет
Себебi В дене төмен қарай қозғала алмайды. Ол бағыттағы қозғалысты
шектеп тұрган—АО жiбi. ОА жібi В жүгіне жасалған байланыс болады.
Байланыс рөлiн атқаратын дене берiлген, қозғалысы зерттелетiн денеге
бір күшпен әсер етiп, оның қозғалысын шектейдi. Бұл күштi байланыс
реакциясы дейдi. Байланыс реакциясьг байланысты ойша алып тастаған кездегi
мүмкiн болатын дене қозғалысының бағытына қарам а-қарсы бағытталады.
Бiздiң мысалда (1.6-суретте) байланыс ретiндегi ОА жiбi берiлген В
денесінің А нүктесiне түсiрiлген реакциясын бередi. Ол жiп бойымен
жоғары қарай бағытталады.
Егер жiптi ойша алып тастаған болсақ В жүгi ауырлық күшiнiң
әсерiнен тік төмен қозғалар едi. Сондықтан реакция ол қозғалысқа
қарама-қарсы жоғары бағыттал ады.
Байланыс реакциясы әруақытта берілген денеге түсiрiледi. Ал бұл күш
дененi тепе-теңдiк күйiнен қозғалысқа келтiре алмайды. Дененi өздiгiнен
қозғалысқа келтiре алмайтын, тек оның кейбiр бағыттағы мүмкiн болатын
қозғалыстарына кедергi жасайтын байланыс реакциясын пассив күш деп атайды.
Тепе-теңдiгi (не қозғалысы) қарастырылып отырған денеге, байланыс
реакцияларынан басқа да байланысқа тәуелсiз болатын, күштер әсер етедi.
Мұндай күштердi актив күштер немесе берілген күштер деп атаймыз. Әрбір
актив күштің модулі мен бағыты алдын ала берілген және денеге әсер етуші
басқа күштерге тәуелсіз болады. Актив күштердің тағы бір ерекшілігі – оның
тыныштықтағы денені қандай да бір қозғалысқа келтіре алатындығында.
Байланыстар реакцияларының сан шамалары мен бағыттары көп жағдайда
алдын ала белгісіз және денеге әсер етуші актив күштер мен дененің
қозғалысына тәуелді боады. Оларды берілген күштер мен байланыстар
қасиеттеріне сәйкес тәуелділікте табу қажеттіліктігі туады. Мәселе еркін
денеге әсер етуші күштер тепе-теңдігін қарастыруға келіп тіреледі. Оны
еркін емес денелерге қолдануда байланыстар аксиомасына сүйенеміз.
Берілген денені оның қандай мақсатқа қолданылатынына қарай түрліше
байланыстармен бекітеді. Статика мәселелерінде жиі кездесетін байланыстарды
негізгі төрт типке бөлуге болады.
а. Денелердің өзара түйісуі
1) Жылтыр бет. Бірінші жуықтауда үйкелісін елемеуге болатын бетті
жылтыр бет дейміз. Идеал жылтыр беттің реакциясы әр уақытта да жанасушы
беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады.(1.7. а, б, в-сурет). Бұл және
бұдан былайғы суреттерде А – берілген денені, В – байланысты, -
байланыс реакциясын, - байланыс реакциясының координаталар
осьтеріндегі проекцияларын көрсететін болады.
2) Жылтыр қисық. Идеал жылтыр қисық сызықтың реакциясы жанасу
нүктесіндегі қисық нормалының бойымен бағытталады(1.8. а, б-сурет)
1.7-сурет 1.8-
сурет
3) Кедір-бұдырлы бет. Егерде жанасушы денелердің беттері кедір-бұдырлы
болса, онда байланыс реакциясы екі құраушыдан тұрады: оның біреуі ортақ
нормаль, ал екіншісі ортақ жанама бойымен бағытталады. нормаль
бойымен бағытталғанын нормаль реакция деп, жанама бойымен
бағытталғанын үйкеліс күші деп атайды. (1.9. а, б-сурет)
4)Бұрыш. Егер дене бұрышқа тірелсе, онда дененің екі бағыттағы
қозғалысына кедергі туады. Сол себепті бұрыштың реакциясы екі құраушыға
жіктеледі. (1.10. а, б-сурет)
1.9-сурет 1.10-сурет
б) Денелерді шарнирлер байланыстыру.
1) Жылжыиалы шарнирлер. Жылжыиалы шарнирлер дененің тіреу жазықтығымен
қозғалыс жасауына кедергі келтірмейді де оған перпендикуляр бағыттағы
қозғалысын шектейді. Сол себепті оның реакциясы әр уақытта тіреу
жазықтығына перпендикуляр бағытталады. (1.11. а, б, в-сурет)
2) Жылжымайтын цилиндірлік шарнир. Цилиндрлік шарнирдің осі бойымен
дене сырғып қозғала алады. Сондықтан да цилиндрлік шарнир реакциясы шарнир
осіне перпендикуляр жазықтықта жатады (1.12. а, б –сурет).
реакциясының бұл жазықтықтағы бағыты белгісіз. Сондықтан да ол өзінің
проекциялары арқылы ізделінеді.
1.11-сурет 1.12-сурет
3) Жылжымайтын сфералық шарнир. Сфералық шарнир дененің бір нүртесін
қозғалмайтын етіп бекітеді. Дене осы бекітілген нүктесі арқылы өтетін
осьтен айнала алады. Қозғалмайтын нүктедегі реакция кеңістікте кез келген
бағытта болуы мүмкін. Бағыты да, шамасы да белгісіз, толық
реакциясының орнына әдеттеоның координаталық осьтердегі проекциялары
ізделінеді (1.13. а, б-сурет).
1.13-сурет
в) Иілгіш байланыстар және стерженьдік байланыстар.
1) Жіп. Созылмайтын, иілгіш жіп түрінде берілген байланыс дененің бір
ғана бағыттағы (жіп бойымен болатын) қозғалысын шектейді, яғни иілгіш
байланыстар тек қана созылатын болады. Сондықтан да жіп реакциясы әр
уақытта жіптің бойымен ол ілінген нүктеге қарай бағытталады (1.14. а, б-
сурет)
а б
1.14-сурет
2) Стерженьдік байланыстар. Стерженьдік байланыстар салмақсыз, ұштары
шарнирлермен бекітілген стерженьдер арқылы беріледі. Иілгіш байланыстарға
қарағанда стерженьдер дененің екі бағыттағы қозғлысына кедергі жасайды.
Стерженьдер берілген күштер әсерлерінен созылуға не сығылуға қарсы жұмыс
істейді.
Стерженьдік байланыстар реакциясы стерженьдер осьтерінің бойымен немесе
стержень ұштарындағы шарнирлерді қосатын сызықтың бойымен бағытталады
(1.15. а, б-сурет)
1.15-сурет
г) Қозғалмастай етіп қадалған денелер. Кейбір жағдайларда балғаның бір
ұшы қабырғаға немесе еденге қазықша қадай бекітіледі.Бұл бекітуді –
қадалған үш (заделка) деп атаймыз. Қозғалмайтын шарнирге қарағанда
байланыстың мұндай түрі денеге тағы да бір кедергі жасайды. Ол берілген
дененің байланысқа қарағандағы айналысын болдырмайды. Сондықтан да
реакциясымен бірге реакциялық момент те әсер етеді.
1.16-сурет
1.3 Жинақталатын күштер системасы
Жинақталған күштер системасының тең әсер етуші күші.Күштер көпбұрышы.
Абсолют қатты дененің нүктелеріне, әсер ету сызықтары бір О нүктесінде
қиылысатын, күштер түсірілсін дейік (1.17-сурет).
Мұндай күштер жинағы жинақталған күштер системасы деп аталатындығын
айтқан болатынбыз. Жинақталған күштер системасы бір күшке эквивалент, яғни
оның әр уақытта да тең әсер етуші күші болады. Тең әсер етуші күш
системадағы күштердің геометриялық қосындысына тең болады да, оның әсер ету
сызығы күштер түзулерінің қиылысушы О нүктесінен өтеді.
Осы айтылған ұйғарымды дәлелдеу үшін суреттегі күштердің бас нүктелерін
күштер әсер ететін түзулер бойымен сырғыта отырып нүктелерінен О нүктесіне
келтіреміз. Сонда жинақталатын күштер системасы бір нүктеге түсірілген
күштер системасына келтіріледі, О нүктесіне түсірілген күштерге біртіндеп
күштер параллелограмының заңын қолданамыз. күштерінің тең әсер етуші
күші бұл заң бойынша осылардың қосындысына тең:
=
Одан кейін және күштер параллелограмм құру арқылы күшін
табамыз (1.18-сурет)
1.17-сурет 1.18-сурет
=.
Келесіде және күштерінен параллелограмм құрамыз да күшін
табамыз:
=
немесе
=
күші - күштерінің тең әсер етушісі. Осы ретпен соңғы күшіне
дейін жеткіземіз. Бұл соңғы күшті алдыңғы n-l күштердің тең әсер етуші
күшімен параллелограмм заңы бойынша қоссақ, системаның тең әсер етуші
күшін аламыз:
=
немесе
= + ... + = (1.1)
1.18-суреттен тең әсер етуші күшін табу оның соңғы нүктесін
табумен бірдей екенін көреміз. Ол үшін нүктелерін кезекпен саламыз.
Сонда бұл нүктелер күштер көпбұрышының төбелерінде жатады да, ал оның
қабырғалары сәйкес алынған күштерге тең болады.
Сонымен, күшінің соңғы нүктесінің күшін бастап саламыз да оның соңғы
нүктесінен келесі күшін бастап саламыз. Тағы да осы ретпен күштерді бағыты
мен шамаларын сақтай отырып, бірін-біріне тіркестіру арқылы О
көпбұрышын құрамыз. Көпбұрыштың алғашқы нүктесі О-дан соңғы нүктесі -
ге дейін жүргізілген векторы тең әсер етуші күшті анықтайды.
Осылай құрылған О көпбұрышы күштер көпбұрышы деп аталады.
Осыдан біз жинақталатын және бір нүктеге түсірілген күштер
системаларының әр уақытта бір күшке эквивалент болатынын немесе тең әсер
етуші күші болатынын дәлелдедік. Тең әсер етуші күшті табуда геометриялық
немесе аналитикалық әдістің бірі қолданылады.
1.4 Параллель күштер системасы
Екі параллель күштің системасы
Бірыңғай бағытталған екі параллель күштің системасы. Қатты денеге А
және В нүктелерінде бірыңғай бағытталған өзара параллель күштер әсер етсін
делік (1.19-сурет). Осындай екі күштің әр уақытта да тең әсер етушісі
болатынын дәлелдейік. Ол үшін А және В нүктелеріне шамалары тең, бағыттары
қарама-қарсы және күштерін түсіреійк, 2-аксиома бойынша олар (
, ) ∞ 0.
Ал 3-аксиома бойынша () ∞ (,,)
Анүктесіндегі және күштерін өзара қосып, ал В нүктесіндегі
және күштерін қосудан күшін аламыз. Сол себептен () ∞ ().
күштерін әсер ету сызықтарының қиылысушы D нүктесіне түсіреміз.
Содан соң D нүктесінде күштерін бұрынғы күштерге қайта жіктейміз,
яғни () ∞ (,,)
1.19-сурет
Мұндағы (,) ∞ 0 болатын системаны алып тастасақ берілген
(,) система D нүктесінен өтіп түзу бойымен бағытталған екі күштің
системасына ,) эквивалент болып шығады:
() ∞ (,).
Ал бұдан
() ∞ (,).
Бір түзу бойымен бағытталған екі күштің системасы тең әсер етуші күшке
келтіріледі:
(,) ∞
Мұндағы бір түзу бойымен D нүктесінен бір жаққа қарай бағытталған
және күштерінің тең әсер етуші күші болғандықтан
= +
Болады және күштер болғандықтан түзу бойымен D нүктесінен есептегенде
күштермен бір жаққа қарай бағытталады.
Жоғарыдағы ең соңғы екі эквиваленттік қатынастарды салыстырудан
алатынымыз:
(,) ∞
Бұған бірыңғай бағытталған екі параллель күш системасының әр уақытта да
тең әсер етуші күшү болатынын көреміз.
Бұл тең әсер етуші күшті шамасы жағынан және күштеріне тең және
бағыттары бірдей , күштерінің қосындсына тең деп жаза аламыз:
= +
(1.2)
Оның осы шамасы мынаған тең болады:
R = (1.3)
күшін әсер ету сызығы бойымен жылжыта отырып, D нүктесінен С
нүктесіне түсіреміз. Енді осы тең әсер етуші күш түсірілетін С
нүктесінің орнын анықтау қалды.
және DAC үшбұрыштарының ұксастығынан алатынымыз:
= .
Ал DCB және үшбұрыштарының ұқсастығынан алатынымыз:
= .
Егер = екнін ескерсек соңғы екі теңдіктен
= (1.4)
Бұл теңдік С нүктесі АВ кесіндісін күштерінің шамаларына кері
қатынаста болатындай етіп екіге бөлетінін көрсетеді. Соңғы пропорциялық
қатынастан төмендегідей туынды пропорция құра аламыз: = =.
Мұндағы АС+ВС=АВ, =R екенін ескерсек, С нүктесінің орнын анықтайтын
теңдікті табамыз:
= =. (1.5)
Мысалы Снүктесінің берілген А нүктесінен қашықтығын (1.5) теңдіктен
былай анықтауға болады:
АС = АВ
немесе оның В нүктесінен қашықтығын есептеп табамыз: ВС = АВ .
Қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштің системасы. Енді қарама-
қарсы бағытталған екі параллель күштерді қосу туралы мәселені қарастырайық.
Қатты дененің А және В нүктелерінде күштері түсірілген болсын. Бұл
күштерді бір-біріне параллель, бірақ қарама-қарсы бағытталған және өзара
тең емес күштер деп есептейік. Анығырақ болу үшін деп атайық (1.20-сурет).
1.20-сурет
Осындай екі күштен тұратын системаның тең әсер етуші күші бола ма, соны
анықтайық. Ол үшін күшін өзімен бір жаққа бағытталған екі параллель
және күштеріне жіктейік. Мұндағы құраушы күшті В нүктесіне
түсетін күш деп, ал шамасы жағынан болатындай етіп таңдап аламыз. Сонда
(,) ∞ ( , ,) болады. Енді соңғы системадан (
,) системасын алып тастаймыз. Өйткені ( ,) ∞ 0. Сол себепті
(,) ∞ . – күшінің шамасын және түсу нүктесін табуға
жоғарыда дәлелденген формулаларды қолданамыз да, мынадай екі түрдегі
теңдеуді жазамыз:
= + ,
(1.6)
= = .
(1.7)
Осылардан
R = , (1.8)
AC = AB немесе ВС = AB
(1.9)
Бұл жерде тең екенін ескердік.
Сонымен
(,) ∞
(1.10)
Модулі және бағыты (1.8), (1.9) немесе (1.8), (1.7) формулаларымен
анықталатын күшін өзара қарама-қарсы, параллель күштер системасының
тең әсер етуші күші деп атаймыз.Соңында мынадай қорытынды жасаймыз.
Модулдері тең емес қарама-қарсы бағытталған екі параллель күштің әр уақытта
да тең әсер етуші күші болады. Оның модулі берілген күштер айырмасына тең
болады да, күштерге параллель С нүктесінен үлкен күш қараған жаққа қарай
бағытталады. С нүктесі АВ кесіндісін, берілген күштерге кері қатынаста
болатындай етіп, екі бөлікке сырттай бөледі. Одай дейтініміз нүктесі үлкен
күштің түсу нүктесінен тысқары, АВ түзуінің созындысына жатады.
1.5 Күштердің кез келген жазық системасы
Берілген абсолют қатты денеге әсер ететін күштердің барлығы да бір
жазықтықта орналасып, кез келген тәртіппен бағытталған болсын. Онда мұндай
күштер жиынын күштердің кез келген жазық системасы деп атаймыз. Күштердің
жазықтықтағы орналасу бағыттарына қарай айтылатын бір нүктеге түсірілген
күштердің, жинақталатын күштердің, параллель күштердің жазық системалары
болады. Бұлар күштердің кез келген жазық системасының дербес түрлері болып
саналады.
Бір абсолют қатты денеге әсер етуші күштердің кез келген жазық
системасы () берілсін. Осы системаны өзіне эквивалент мүмкіншілігінше
оңайлатылған системаға келтіру керек.
Бір күшті берілген центргет келтіру. Бізге А нүктесіне түсірілген
қандай да болмасын күші және В центрі берілсін. күшін өзін-
өзіне параллель жылжыту арқылы А нүктесінен В центріне көшіруге, яғни
басқаша айтқанда, келтіруге бола ма? Бұл сұраққа жауап беретін мынадай
негізгі лемма бар.
Абсолют қатты денені А нүктесінде берілген күш дененің басқа бір
В нүктесіне түсірілген дәл өзіндей ` күшке және бір қос күшке
эквивалент. Бұл қос күштің моменті А нүктесіндегі күштің В центріне
қатысты алынған моментіне тең болады.
Бізге күштердің кез келген жазық системасы () берілсін (1.21-сурет)
делік. Осы системаның бас векторы және бас моменті туралы анықтама берейік.
Күштердің жазық системасының бас векторы деп ондағы күштердің
геометриялық қосындысына тең болатын векторды айтамыз.
Егер бас вектор деп белгілесек, онда оны мынадай формуламен
анытаймыз:
=
(1.11)
1.21-сурет.
Күштердің жазық системасының кез келген бір центрге қатысты бас момнеті
деп системадағы күштердің сол центрге қатысты моменттерінің геометриялық
қосындысына тең векторды айтамыз.
Күштер орналасқан жазықтықтың кез келген бір нүктесін О деп, системаның
осы нүктеге қатысты алынған бас моментін деп, ал кез келген күшінің
моментін деп белгілесек, онда екінші анықтаманы мынадай формула
арқылы жазамыз: = ) (1.12)
Күштердің түсу нүктелерінің берілген О центріне қатысты радиус-
векторларын арқылы белгілеп, центрге қатысты күш моментінің
анықтамасы пайдалансақ, онда (1.12) формуланы былай жазар едік:
= (1.13)
Системадағы күштердің барлығы да бір жазықтықта жатқандықтан бас вектор
де сол жазықтықта жатады, ал бас момент оған О центрінде
перпендикуляр бағытталады. Сондықтан да күштердің жазық системасының бас
векторы мен бас моменті әр уақытта да бір-біріне перпендикуляр болып
келеді.
Күштердің кез келген жазық системасының бас векторы мен бас моментін
аналитикалық жолмен анықтау.
Бас моментті анықтаушы формулалар. Күштер орналасқан жазықтықта О
келтіру центрінен бастап х және у осьтерін жүргізейік. Оz осі күштер
жазықтығына перпендикуляр бағытталады (5.4-сурет). Күштердің бәрі хОу
жазықтығында болғандықтан бас вектор ` де осы жазықтықта жатады.
Берілген күштер проекцияларын ( , ал бас вектор проекцияларын
`( деп белгілесек, онда (5.2) анықтамадан алатынымыз:
= =
= = (1.14)
Бас вектордың х, у осьтеріндегі проекциялары арқылыоның модулін және
бағыттаушы косинустарын таба аламыз:
R = ,
cos (x, ^`) = cos (y, ^`) =
(1.15)
1.22-сурет 1.23-сурет
Бас векторды анықтаушы формулалар. Күштер бір жазықта болғандықтан
олардың О келтіру центріне қатысты моменттері күштер жазықтығына
перпендикуляр, яғни Оz осіне параллель бағытталады. Сол себепті де
системаның бас моменті өзінің Оz өсіндегі проекциясымен бірдей болады: =
. Осыған байланысты (1.12) формуланың орнына
==()
формуласын қабылдаймыз. Бұл формуланың оң жағын (1.13) қатынасынан
табамыз:
== (1.16)
немесе былай да анықтай аламыз:
==
(1.17)
Күш пен иіннің көбейтінділерінің алдындағы таңба күштердің келтіру О
центрінен қалай айналатындығына байланысты оң бұрғы ережесімен анықталады.
С-1есебi
Тақырыбы: Еркiн жазық күштер жүйесiнiң әсерiндегi дененiң тепе-теңдiгi.
Есептi шығарудың жалпы әдісі
1. Еркiн масштабпен берiлген есеп схемасын сызып, онда барлық актив
күштердi және ауырлық күшiн көрсетемiз.
2. Балка жазықтығында ось координатасын жүргiземiз. Ось балка жазықгығында
кез-келген жағдайда орналасуы мүмкiн, дегенмен осьтiң бiреуiн балканың
бойымен бағыттаған тиiмдi, ал екiншiсiн оған перпендикуляр бағытгау керек.
З. Дененi (ойша) байланыстардан босатып, оларды байланыс реакцияларымен
немесе олардың құраушыларымен ауыстырамыз.
4. Балканың тепе-теңдiгiнiң шартының теңдеуiн құрамыз, және белгiсiздердi
анықтаймыз.
Есептiң шарты: Бiртектi салмагы Р=I5кН екi тiректi балка, ұзындыгы l=1,8м
тiк жазықтықта есеп схемасындағыда көрсетiлгендей орналасқан және
=0,5кН түсу бұрышы =0, =35Н түсу бұрышы =60°; q=3,5кнм
интенсивтi таралу жүгiмен және М=30Н*м жұп күш моментiмен жүктелген.
Анықтау керек: егер балка тепе-теңдiкте болған жағдайда байланыс
реакцияларын анықтап дұрыстығын тексеру керек.
Шешуі:
1. Балканы еркiн масштабпен сызып, онда барлық берiлген күштердi
көрсетемiз. Есептiң шарты бойынша балка бiртектi болғандықтан салмақ
күшiнiң түсу нүктесi — балканың ортасы. Балканың негiзгi нүктелерiн
әрiптермен белгiлейiк: шарнирлi жылжымайтын тiректi — А әрпiмен; шарнирлі
жылжымалы тіректі — В әрпiмен белгілейміз.
2. Ось координатасын жүргiземiз. Берiлген есепте координатаны басын А
нүктесiнен алып, балканың бойымен бағьгггаған ыңғайлы.
3. А байланыс реакцияларының құраушыларымен (олардың координата ось
бойындағы бағыттарын еркін түрде аламыз).
4. Негізгі түрде балканың тепе-теңдігінің теңдеуін құрамыз. Жазық жүйе үшін
үш теңдеуқұралады: барлық күштердің координата остеріндегі проекцияларының
қосындысын нөлге тең және барлық күштерден болатын моменттерінің кейбір
нүктеге қарағандағы қосындысы нольге тең. Полюс ретінде қай нүктеде көп
белгісіздер жинақталса, сол нүктені алған тиімді.
Тепе-теңдік теңдеуі жалпы түрде жазамыз:
=0 cos60° = 0
(1)
=0 = 0 (2)
(F)=0 M-Q* - P* - = 0 (3)
Үшінші теңдеуден -ны табамыз:
= = = 9078.5
Екінші теңдеуге табылған мәнін қойып алатынымыз:
= 3150+15000+35*0.866-9078.5 = 9101.8
Бірінші теңдеуден -ны табамыз:
35*0.5-500 = -482.5
Табылған А тірегінің реакция құраушыларының мәні бойынша, А тірегінің
реакциясының модулін есептейміз:
= = = 9114.6
Тексеру:
= 35*0.866*0.6+3150*0.9+15000*0.9+30- 9101.8*1.8 = 0
С—4 есебi.
Тақырыбы: Кеңiстiтегi күштер жүйесiнiң әсерiндегi дененiң тепе-теңдiгi.
Есепті шешудің жалпы әдiсi.
1. Есеп схемасын сызып, онда ауырлық күшiн және барлық берiлген күштердi
көрсетемiз.
2. Ось координаталарын жүргiземiз немесе схемадағы берiлген координата
жүйелерiн қолданамыз.
3. Байланыстарды (ойша) босатып, оларды байланыс реакцияларымен немесе
олардың құраушыларымен ауыстырамыз.
4. Плитаның тепе-теңдiк тендеуiн құрастырамыз (кеңiстiк жүйе үшiн алты
теңдеу).
Есептiң шарты. Салмагы Р=5кН бiр тектi төрт бұрышты плита, АВ=4l, ВС=3l
қапталдарымен схемада көрсетiлгендей бекiтiлген, мұндағы СС`-абсолют қатты
стержень. Плита ZTX жазықтығында TZ осiне =0° бұрышымен жатқан
=1000Н, ХСУ жазықтығында СХ осiне =90° бұрышымен жатқан М = 2,2
кН жұп күш моментiмен жүктелген. К нүктесi DС-ның ортасында орналасқан.
Байланыс реакцияларын анықтау керек, егер l = 0,8 болса.
Шешуі:
1. Есеп схемасын сызып, онда барлық берілген күштердi көрсетемiз.ПIлитаның
диоганалдарының қиылысқан нүктесiне түсiрiлген ауырлық жүгi, плитаның
бiртектiлiгiнен туындайды.
2. Координатаның басын В нүктесiнен алып, остердi (х) АD және (у) AB
қапталымен бағытгаймыз.
З. Байланыс реакцияларын олардың құраушыларымен ауыстырамыз. А цилиндрлік
шарнирiн — үш құраушымен, В цилиндрлiк шарнирiн — екi құраушымен,
СС`стержень реакциасын, стержень созылуда деп қарастырып, стерженнiң
бойымен бағьгггаймыз.
4. Плитаның тепе-теңдiк теңдеуiн алты жүйелi теңдеу ретінде құрамыз.
=0 = 0 (1)
=0 = 0 (2)
=0 = 0 (3)
(F)=0 = 0 (4)
(F)=0 = 0 (5)
(F)=0 = 0 (6)
Бесінші теңдеуден қарасты шыға отырып, алатынымыз:
= = 1867.4
Алтыншы теңдеуден анықтаймыз.
= = 912.78
Табылған мәнін 4-ші теңдеуге қойып, табамыз:
= = 449.8
Үшінші теңдеуден табылған мәнін қойып алатынымыз:
= 5000-449.8-1867.4*0.866-1000*0.866 = 2067
Екінші теңдеуден анықтаймыз:
= 1200+1867.4*0.866 = 2817.2
Бірінші теңдеуден анықтаймыз:
= 1000*0.5-912.78 = -412.78
2.Қатты денелер кинематикасы
Материялық нүктелердiң кез келген жинағын материялық система деп
атайды.
Әрбiр нүктесiнiң кеңiстiктегi орны және қозғалысы оның басқа
нүктелерiнiң орындары мен қозғалыстарына тәуелдi болатын материялық
системаны механикалық система деп атайды.
Абсолют қатты дене механикалық системаның кез келген екi нүктесiнiң
арақашықтығы өзгермейтiн жеке түрi болып табылады ол кейде өзгермейтiн
механикалық система деп аталады.
Кеңiстiкте кез келген бағытта қандай болмасын жылдамдықпен орын
ауыстыра алатын системаны еркiн система деп атайды.
Еркiндiгi белгiлi бiр шарттармен шектелген системаны еркiн емес система
деп, ал оның еркiндiгiн шектеп тұрган шарттарды байланыстар деп атайды.
Механикалық системаларды құраушы нүктелердiң қозғалыстарының
тәуелдiлiгi нүктелердiң өзара әсерiнен және байланыстардың әсерiнен туады.
Нүктелердiң система iшiнде өзара орналасуын шектейтiн шарттар (система
нүктелерiнiң өзара әсерi) iшкі байланыстар деп, тұтас системаға түсiрiлген
байланыстар сыртққы байланыстар деп аталады. Тек қана iшкi байланыстары бар
система еркін система болады.
Байланыстар бiр теңдеулермен (кейде теңсiздiктермен) өрнектеледi. Бұл
теңдеулердiң түрiне қарай байланыстар екi топқа бөлiнедi.
Егер байланыс системаның, демек, оны құрайтын барлық нүктелердiң, кез
келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын ғана шектейтiн болса, яғни оны
өрнектейтiн теңдеуге тек система нүктелерiнiң координаталары ғана
қанағаттандыратын болса, ондай байланыс геометриялык немесе шектi байланыс
деп аталады.
Система n нүктеден тұрады десек, оған түсiрлген геометриялық
байланыстың теңдеуi жалпы былай жазылады:
f (,; t ) = 0 (2.1)
Системаның кеңiстiктегi орнымен қатар жылдамдығын да шектейтiн
байланыстарды кинематикалық немесе дифференциалдық байланыстар дейдi.
Оларды өрнектейтiн теңдеулердiң құрамына система нүктелерiнiң кез келген
уақыт кезеңiндегi координаталары және олардың уақыт бойынша алынған бiрiншi
туындылары да кiредi:
φ (, ... , ; , ... , ; t )=0.
(2.2)
Тек қана геометриялық байланыстар әсер ететін системалар голономдық
системалар деп, геометриялық байланыстармен қатар кинематикалық
байланыстары да бар системалар голономдық емес системалар деп аталады.
Осыған орай кейде геометриялық байланыстарды голономдық, ал
интегралданбайтын дифференциалдық байланыстарды голономдық емес байланыстар
деп атайды. (2.2)
Бiз бұдан былай тек голономдық системалар қозғалысын ғана оқып
үйренемiз. Голономдық емес системалар кездесетiн жағдайлар ерекше
ескертiледi.
Еркiн емес системаның кеңістiктегi орнын бiр мәндi анықтайтын тәуелсiз
координаталардың саны оны құрайтын барлық нүктелердiң координаталарының
санынан кем болады. Шынында да, n нүктеден тұратын голономдық системаға r
геометриялық байланыстар (2.1) түсірілсiн. Сонда системаның кеңістiктегi
орнын, яғни конфигурациясын анықтайтын 3n координаталардың (Зn—k)-сы ғана
тәуелсiз болады, өйткенi қалғандары бұлар арқылы берiлген k байланыстың
теңдеулерiнен анықталады. Бұл тәуелсiз координаталар система координатал
ары (немесе системаның жалпыланған координаталары) деп аталады және оның
кеңiстiктегi орнын бiр мәндi анықтайды. Система координаталарының жиыны
оның конфигурациясы делiнедi. Система конфигурациясын өлшемдерiнiң саны
система координаталарының санына тең кеңiстiкте қаралып отырған бiр
нүктелің координаталары деп қарауға болады. Бұл нүктенi системаның
өрнектеушi нүктесi деймiз.
Еркiн нүктенiң кез келген уақыт кезеңiндегi таңдап алынған
координаталар системасына қарагандағы кеңiстiктегi орны өзара тәуелсiз үш
скалярлық координаталарымен анықталады. Таңдап алынған координаталар
системасының түріне қарай олар сызықтық та, бұрыштық та шамалар болуы
мүмкiн. Олар жалпыланған (қисық сызықты) координаталар деп аталып, әдетте
(t), (t), (t) арқылы белгiленедi.
Іс жүзiнде байланыс белгiлi бiр бет немесе қисық ретiнде берiледi.
Олардың теңдеулерi нүктенiң қозғалысын шектейтiн шарттар болып табылады.
Мысалы, материялық нүкте радиусы R сфераның iшiнде және iшкi бетiнде ғана
қозғала алатын болса, онда байланыс былай өрнектеледi:
х²+y²+z²≤R²
Егер нүкте барлық уақытта белгiлi бiр қисықтың, не беттiң үстiнде
қозғалуға тиiс болса, онда нүктенiң координаталары сол қисықтың, не беттің
теңдеулерiне қанағаттандыруға тиiс, яғни қозғалушы нүктенiң координаталары
соңғылардың ағым координаталары болуға тиіс.
Өзiнiң түрiн өзгертпейтiн, яғни деформацияланбайтын, кеңістікте
қозғалмайтын, уақытқа тәуелсiз байланыстар станционар (тұрақты) немесе
склероном байланыстар деп, ал уақыт өткен сайын өзiнiң түрiн немесе
кеңiстiктегi орнын өзгертiп тұратын байланыстар, мысалы (2.2) стационар
емес (айнымалы) немесе реоном байланыстар деп аталады. Стационар
байланыстардың теңдеулерiне уақыт кiрмейдi.
Системаға (нүктеге) әсерi еш уақытта тоқтамайтын, яғни әсерiнен
қозғаушы система құтыла алмайтын байланыстар құтқармайтын немесе екi жақты
байланыстар деп аталады. Олар (2.1), сияқты теңдiктермен өрнектеледi.
Қозғалыстағы системаға (нүктенің әсері белгiлi бiр уақыт кезеңiнде
тоқтайтын байланыстар құтқаратын (босататын) немесе бiр жақты байланыстар
делiнедi. Мысалы, байланыс бетінен, не қисығынан нүкте бiр жағына қарай
түсе алады. Бұл жағдайда байланыс тек кеңiстiктiң материялық нүкте шыға
алмайтын бөлiгiн шектеп тұрады және теңсiздiктермен өрнектеледi.
Еркiн емес нүктелердiң жалпыланған координаталарының саны үштен кем
болады. Мысалы, нүкте берiлген қисықтың бойымен қозғалуға мәжбүр болса,
оның кез келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын анықтауға нүктенiң бір
ғана доғалық координатасы s=s(t) жеткiліктi. Шынында да, жалпыланған
координаталардың бiрiнің, мысалы -нiң, орнына доғалық координатаны
қабылдасақ қалган екеуi сол арқылы берiлген қисықтың (траекторияның) -
байланыстың координаталық екi теңдеунен ( s,, )=О, (i=1,
2) анықталады. Әрине, нүктенi системаның және түрі деп қарауға болады.
Берiлген қисықтың теңдеулерi геометриялық байланыстар екенi сөзсiз. Олай
болса берiлген траекторияның бойымен қозғалушы нүкте бір нүктеден тұратын
голономдық система екен.
Голономдык системаның (нүктенiң) кез келген уақыт кезеңiндегi
кеңiстiктегi орнын бір мәндi анықтайтын өзара тәуелсiз скалярлық
функциялардың (системаның жалпыланған немесе қисық сызықты
координаталарының, ал қысқаша система координаталарының) санын системаның
(нүктенiң) еркiндiк дәреже саны деп атайды.
Аргументтерi уақъгг болып келетiн сол скалярлық функциялардың өздерi
системаның қозғалыс теңдеулерi немесе қозғалыс заңы деп аталады.
Система кинематикасының негiзгi мақсаты қозғалушы системаның еркiндiк
көрсеткiшiнiң санын анықтау, оның жалпыланған координаталарының дұрыс
тағайындап, таңдап алынған координаталар системасындағы қозғалыс
теңдеулерiн мүмкiндiгiнше ең қарапайым түрде жазу болып табылады.
Қозғалыстың басқа кинематикалық характеристикаларын, қасиеттерiн анықтау
математикалық жолмен жүргiзiледi.
Еркiн абсолют қатты дененің еркiндiк дәреже санын және қозғалыс
теңдеулерiн анықтайық.
Ол үшiн берiлген А денесiнiң (2.1-сурет) таңдап алынған Оζηξ декарттық
координаталар системасымен салыстырғандағы орнын бір мәндi анықтайтын өзара
тәуелсiз координаталарды табу керек. Қатты дененiң кеңiстiктегi орны оның
бiр түзудің бойында жатпайтын кез келген үш нүктесiнiң координаталарымен
бiр мәндi анықталады, осындай үш нүктеде, мысалы Мi ( , ,
), (i=1, 2, 3) нүктелерiнде, бекiтiлтен А денесi қозғалмайды.
Үш нүктенiң тоғыз координатасы бар, бiрақ дене абсолют қатты
болғандықтан олар өзара төмендегiдей үш шартпен байланысқан:
=соnst=,
=соnst=,
=соnst=.
Демек, тоғыз координатаның тек алтауы ғана өзара тәуелсiз болады, яғни
еркiн қатты дененiң еркiндiк дареже саны алтыға тең. Тағы да қосымша
нүктелер қарасақ еркiндiк дәреже саны арта ма? Жок, артпайды. Себебi
жаңадан қанша координата қосылса оларды байланыстыратын сонша теңдеулер де
қосылады. Мысалы, қосымша нүктесін қарасақ, оның үш координатасымен
бiрге оны алдыңғы үш нүктемен қосатын кесiндiлердiң ұзындыктарының
тұрақтылығын өрнектейтiн үш шарт та қосылады.
2.1-сурет 2.2-
сурет
Сонымен, көрсетілген тоғыз координатаның кез келген алтауы белгілі
болса, қалған үшеуі жоғарыдағы теңдеулерден анықтап, деннің кеңістіктегі
орнын дәл көрсете аламыз.
Бұл қорытындыға басқаша да жолмен келуге болады. Қозғалмайтын , ζ
η ξ координаталар системасынан басқа денемен бірге бекітілген қозғалмалы
Охуz декарттық координаталар системасын (2.2-сурет) таңдап алалық.
Қозғалмайтын және қозғалмалы координаталар осьтерінің бірлік векторларын
әруақытта да сәйкес l, m, n және i, j, k деп белгілеуге келіселік.
Жылжымалы Охуz координаталар системасы денемен бiрге қозғалып
жүретiндiктен оның ζηξ системасымен салыстығандағы жағдайын бiлу
дененiң кеңiстiктегi орнын бiлумен бiрдей. Абсолют қатты дененiң қозғалысын
кинематикалық зерттеу сол денемен өзгерместей болып бекiтiлген қозғалмалы
кеңiстiктiң (Охуz координаталар системасының) қозғалмайтын кеңiстiктегi
ζηξ координаталар системасындағы) қозғалысын зерттеуге келтiрiледi.
Қозғалмалы және қозғалмайтын кеңiстiктердiң атқаратын мiндеттерiн
алмастыруға, яғни қатты дене (Охуz системасы) тыныштықта тұрады, ал
кеңiстiк (ζηξ системасы) қозғалыста болады деп қарауға болады. Бұл
жағдайда қозғалыстың кинематикалық характеристикалары өзгермейдi.
Бұл ақиқат қозғалыстың қайтымдылық принципi деп аталады. Ал Охуz
системасының ζηξ системасымен салыстырандағы жағдайы оның О (ζ˳ (η˳
ξ˳) нүктесiнің ‚үш координатасымен және қозғалмалы осьтердiң (i, ј=1, 2,
3) тоғыз бағыттаушы косинусымен анықталады. Бiрақ,ζηξ және Охуz
координаталар системалары тiк бұрышты болғандықтан
+ + =
(2.3) болады.
Мұнда i=ј болғанда, =1, ал і ≠ ј болғанда, =0 болады.
Демек, тоғыз бағыттаушы косинустың үшеуi ғана өзара тәуелсiз де,
қалғандары жоғарыдағы теңдiктерден ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz