Нүктелердің геометриялық орны әдісі
Мазмұны
Кіріспе 3
I тарау. Геометрия курсындағы салу есептері 5
1.1. Геометриялық салулар тарихынан 5
1.2. Конструктивтік геометрияның ортақ аксиомалары 9
1.3 Құралдар аксиомасы 12
1.4 Элементар салулар 14
I I тарау. Салу есептерін шешудің негізгі әдістері 23
2.1. Салу есептерін шешудің геометриялық орындар әдісі және
нүктелердің геометриялық орнын табу 23
- Түзету әдісі және нүктелердің геометриялық орны 31
2.2 Геометриялық түрлендірулер әдісі 33
- Симметрия әдісі 34
- Параллель көшіру әдісі 36
- Айналдыру әдісі 40
- Гомотетия әдісі 42
2.3.Салу есептерін шешудің алгебралық әдісі 46
III тарау. Мектеп курс геометриясындағы салу есептерін 51
3.1. Мектептегі геометрия курсындағы оқулықтарды тақырып 51
3.2. Геометриялық салу есептері тақырыбы бойынша 57
Педагогикалық тәжірибе 61
Қорытынды 65
Қолданылған әдебиеттер тізімі 66
Қосымша материалдар 68
Кіріспе
Салу есептері оқушылардың геометриялық есептеулерін толығымен
қалыптастырудың маңызды құралы болып табылады. Геометриялық салуларды
орындау процесі кезінде оқушылар геометриялық фигуралар және олардың
арасындағы қатынастар қасиеттерімен танысады, сызбалық құралдарды
қолдануды үйренеді, графикалық дағдыларды қалыптастырады. Көптеген
математикалық тұжырымдардың дұрыстығына оқушылар көптеген жағдайда
геометриялық салулар процесінде көз жеткізеді.
Қазіргі уақытта геометриялық салу есептері кейбіреулерге қызықсық,
қажетсіз, ойдан шығарылған болып көрінуі де мүмкін. Циркуль мен сызғышты
пайдаланып дұрыс он жетібұрышты көпбұрыш салу, үш биіктігі бойынша үшбұрыш
салу немесе берілген түзуге параллель түзу салу не үшін қажет?.
Қазіргіт заман техникасы бұл салуларды кез келген адамнан әлде қайда тез,
әлі дәлірек орындау мүмкіндігін, сонымен қатар, циркуль мен сызғышты
қолданып шешуге мүмкін емес салу есептерін шешу мүмкіндігін туғызып отыр.
Солай бола тұрса да салу есептерінсіз геометрия, геометрия болудан қалады.
Геометрияны шын мәнінде жақсы сезіну үшін, оны жақсы көріп, ұнату үшін,
салу есептерін айналып өтуге болмайды.
Берілген жұмыста сызбалық құралдар көмегімен салулардың іскерліктері
мен дағдыларын қалыптастыруға арналған тапсырмалар жүйесінің сапасы
жөнінде мәселе қарастыралады. Дәл осы іскерліктер оқушының жазықтықта
ойлауын дамыту үшін шешуші болып табылатын мәселелер соңғы жарты ғасырдың
көптеген психологиялық зертеулерінде дәлелденген. Бірақ әліде көптеген
оқытушылар салу есептерін бағалай алмайды. Олардың көбісі, оқушылардың
жазықтықта ойлауын дамыту үшін геометриялық обьектілердің көрнекілік
модельдерімен қолдану керек деп ұйғарады. Шынында, психологиялық және
педагогикалық зерттелер көрсеткендей, көрнекілік бейнелер жазықтықта
ойлаудың дамуына көмектеседі, бірақ оқытудың бастапқы сатыларында ғана.
Одан әрі ол, керісінше, бұл дамуды тежеуі мүмкін, өйткені оқушылардың
өздеріне заттың геометриялық формасын көруі, оны түрлендіру мақсатымен осы
формамен амалдар жасауы талап етілмейді.
Геометриялық салулар тек математикада ғана үлкен мағынаға ие болып
қоймай, срнымен қатар оқушылардың математикалық дайындықтарын жүзеге
асыруда да қатысы бар. Есептің ешқандай түрі салу есептері сияқты
оқушылардың математикалық талабын және логикалық дағдыларын дамыту үшін
мұншама көп материал бере алмайды. Салуға арналған есептер мектеп курсы
геометриясының кез келген бөлімі бойынша теориялық білімін бекітуге
ыңғайлы. Жазықтықта ой - өрісінің даму есептерін шешу үшін әдістемелік
қалыптастыру және транзитивті құралған байланысты қолдану қажет:
▪ салуға тапсырма;
▪ жазықтықта ой - өрісін дамыту;
▪ оқушының математикалық дамуы.
Осындай транзитивті байланыстың әсерін қолдануда психологиялық және
әдістемелік зерттеулерге қарағанда оқушылардың математикалық қабілеттерін
дамытудағы салу есептері талас тудырмайтын роль атқарады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты – 7- 9 сыныптардағы салу есептерін оқыту
әдістемесін жасау.
Зерттеу пәні – салу есептерін оқыту әдістемесі
Зерттеу обьектісі – салу есептерінің элементтерін оқыту үрдісі
Жұмыстың гипотезасы -- 7-9 сыныптардағы геометриялық салу
есептерін жүйелі түрде қарастыру, осы тақырып бойынша оқушылардың
математикалық дайындық деңгейін көтеруге ықпал жасайды.
Дипломдық жұмыстың мақсаты және гипотезасы бірқатар мәселелерді шешу және
тұжырымдауды қажет етеді.
Зерттеу мәселелері:
а) салу есептерінің мектеп геометриясы курсындағы орнын, атқаратын
қызметін, мақсатын анықтау;
б) салу есептерінің 7-9 сыныптардағы мазмұнын анықтау;
в) салу есептерін шешудің кезеңдерін көрсету;
г) салу есептерін шешу тәсілдерін анықтау.
Көрсетілген мәселелерді шешу үшін келесі зерттеу әдістері қолданылады:
- Геометрия курсында салу есептерін шешу тақырыбы бойынша ғылыми
әдістемелік және оқу әдебиеттерін талдау;
- мектеп оқулықтарын талдау және бақылау;
- тәжірибелік жұмысты өткізу және оның нәтижелерін өңдеу.
Дипломдық жұмыс кіріспеден үш тараудан, қорытындыдан, педагогикалық
тәжірибеден, пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші тарауда геометриялық салулар тарихы; конструктивтик геометрияның
аксиомалары; құралдар аксиамалары; элементтар салулар берілген.
Екінші тарауда салу есептерін шешудің негізгі әдістері қарастырылған.
Үшінші тарауда орта мектепте қолданылып жүрген геометрия оқулықтары
бойынша салыстырмалы талдау жасалған.
I тарау. Геометрия курсындағы салу есептері
1.1. Геометриялық салулар тарихынан
Геометрия – ежелгі математикалық ғылымдардың бірі. Алғашқы
геометриялық деректерді вавилондық сына кестелер мен египеттік папирустарда
( б.э.д. III ғасырда) сонымен қатар, басқа дерек көздерден тапқан.
Геометрия ғылым атауы ежелгі гректерде пайда болды. Ол гео-жер метрео-
өлшеймін деген екі грек сөзінен тұрады.
Қазір мектепте қолданылатын геометриялық терминдердің (атаулардың)
көпшілігі сонау Ежелгі Грецияның өзінде – ақ қалыптасқан болатын. Грек
терминдері жарым – жартылап сол көне заманның өзінде, кейініректе орта
ғасырларда латын тіліне аударылғанды, ал латын тілі талай ғасырлар бойы
ғалымдар тілі болып келген. Сондықтан геометрия терминдерінің көпшілігі
грек немесе латын тілдерінен алынған. Мысалы: Планиметрия термині - орта
ғасырлық термин, ол латынның planum – жазықтық деген сөзі мен гректің
метрео - өлшеймін деген сөзінен шыққан. Фигура - латынның бейне, түр,
кескін деген мағынадағы сөзі. Бұл термин XII ғасырдан бастап жалпылама
қолданылатын болды. Бұған дейін онымен қатар сол ұғым үшін латынның басқа
бір – форма деген сөзі қолданылды, бұл да, нәрсенін сыртқы түрін, сыртқы
пішінін білдіретін сөз. Сызық - латынның linea деген сөзінен шыққан, ал
мұның өзі linum – зығыр, зығыр талшығынан иірілген жіп, бау деген
мағынадағы сөзден шыққан. Өлшеу жұмысында Рим жер өлшеуіштері осындай жіпті
немесе бауды пайдаланған. Циркуль - латынның circulus – дөңгелек деген
сөзінен шыққан.
Ең қарапайым салу есептері өте ерте заманда жер танаптарын өлшеу
және әр түрлі құрылыстарды салу жұмыстарын орындағанда пайда болған.
Алғашқы мұндай есептер тобына мынадай есептер жатады: берілген кесіндіге
тең кесінді салу, кесінділерді және бұрыштарды тең екі бөлікке бөлу,
берілген нүкте арқылы берілген түзуге перпендикуляр жүргізу. Бұл есептердің
шешуі гректерден бұрынғы дәуірдің өзінде – ақ белгілі болатын.
Біздің эрамызға дейінгі VII ғасырдан VIII ғасырға дейінгі уақыт
аралығында грек ғалымдары геометрия саласында, жекелеп айтқанда салу
есептері жөнінде аса көп материал жинап, оларды өңдеді. Бұл жерде бір
жағдайды атап ескерту қажет: салу жұмысын орындағанда тек сызғыш пен
циркуль пайдаланып, басқа аспаптар қолданылмағанда ғана мұндай салуды
ежелгі грек ғалымдары геометриялық салу деп есептеген. Ал егер салу жұмысын
орындағанда басқа аспаптар, мысалы сызбалық үшбұрыш, бөліктері бар сызғыш
қолданылса, онда мұндай шешуді геометрилық шешу деп есептемеген.
Ерте заманнан бізге келіп жеткен деректерге қарағанда, б.э. дейінгі
VI ғасырда өмір сүрген Пифагордың өзі дұрыс бесбұрышты және онбұрышты салу
тәсілдерін және кейбір күрделірек салу есептерін тапқан. Салу есептерін
шешу әдістерін жасау ісіне Платон (б.э. дейінгі V ғасыр) және оның
шәкірттері үлкен үлес қосқан. Платон заманынан бері салу есептерін
шешудің мынандай төрт кезеңі ажыратылып қарастырылатын болды: 1) анализ
(талдау); 2) салуды орындау, 3) дәлелдеу және 4) зерттеу .
Кесіндіні қақ бөлудің біздің оқулықтарда көрсетілген тәсілі Прокл (410-
485ж.) комментариінде баяндалған, оның пікірінше, бұл тәсілді атақты грек
математигі Аполлоний тапқан.
Евклидтің атақты Бастамаларында салу есептерін қарастыруға үлкен
орын берілген. Евклид қандай да бір фигураның бар болатындығын дәлелдей
отырып, ол фигураны тек сызғыш пен циркульді қолданып қалай салуға
болатындығын көрсетіп отырған. Оның 13 кітабында көптеген салу есептері
қарастырылған, олардың бірсыпырасы орта мектепте қазірде де қарастырылады.
Евклид Бастамаларының бірінші кітабында үшбұрыштарды салу тақырыбы
енгізілген. Оның төртінші кітабында басқа мәселелермен бірге, дұрыс
төртбұрышты, бесбұрышты, алтыбұрышты және онбесбұрышты салу мәселелері
қарастырылған. Әсіресе бұрышты тең үш бөлікке бөлу (бұрыш трисекциясы)
туралы есепке көп еңбек еткен. Алайда бұл есепті шешуге арналған барлық
еңбек зая кетті. Бұл есепті тек сызғыш пен циркульді қолданып шешуге
болмайтындығы қазіргі уақытта дәлелденді.
Геометриялық салу есептері – геометрияның міндетті тарауларының бірі
болып саналады.
Геометриялық салулар - ол әртүрлі геометриялық құралдар көмегімен
шешілетін кейбір геометриялық есептердің шешімі. Құралды таңдауға
байланысты осы құралдармен шешілетін есеп циклі анықталады. Циркуль және
сызғыш - адам қолданған алғашқы сызбалық құралдар. Циркуль және сызғыш
геометриялық салулар үшін негізгі құралдар жиынтығы болып табылады. Егер
ізделінетін нүкте координаттары берілген нүктелер координаттарына
қолданатын қосу, көбейту, бөлу және квадрат түбірден арылу амалдарының
шекті саны бар өрнектер түрінде жазылуы мүмкін болса, салу есебі циркуль
және сызғыш көмегімен шешіледі. Егер мұндай өрнектер болмаса, онда есеп
циркуль және сызғыш көмегімен шешілмейді.
Геометриялық фигураларды сызғыш және циркуль көмегімен салу
шеберлігі жоғары дәрежеде Ежелгі Грецияда дамыған. Сол кезде орындай
алатын, үш берілген шеңберді жанайтын шеңберді салу есебі салу есептерінің
ең қиын есептерінің бірі болып табылады. Бұл есеп Пергидағы (б.э.д. 280-
170ғ.) әйгілі грек геометрі Апполоний атымен Апполоний есебі деп
аталады.
Циркуль мен сызғышты пайдаланып салуға болмайтын есептерді шешуге
геометриялық алгебра жарамсыз болды. Көп ұзамай осындай есептердің көп
екендігі анықталды. Солардың ішінен математиканың ұзақ тарихи жолында
сарапқа салынып, математиканың дамуына үлкен ықпал жасаған үш есепке
тоқталайық.
а) Кубты екі еселеу есебі. Көлемі берілген кубтың көлемінен екі есе үлкен
куб салу керек. Бұл есеп ежелгі Грецияда кеңінен мәлім болғаны сонша, ол
туралы ел аузында мынадай аңыз тараған: Делос аралында оба ауруы бұрқ ете
қалады. Жұрт жиналып індетке құрбан шалады, соның ішінде куб пішіндес
алтынды да тасаттыққа береді. Бірақ та індет тоқталмайды. Бұл пәледен
құтылу жолын сұрағанда көріпкел – абыз тасаттықтың пішінін өзгертпестен
екі есе үлкейтіңдер деп бұйырыпты. Содан бері бұл есеп Делос есебі деп
аталып кетіпті.
Кубты екі еселеу есебінің шешуін (жалпы алғанда куб иррационалдықты)
циркуль мен сызғыш арқылы салуға болмайтынын тұңғыш рет 1837 жылы
математик Ванцель дәлелдеді.
ә) Бұрышты трисекциялау есебі. Берілген бұрышты тең үшке бөлу
мәселесі –грек геометрлерін көп толғатқан мәселе. Біздің заманымызға
дейінгі V ғ. Математигі Элидтік Гипий бұрышты үш бөлімге бөлу
(трисекциялау) есебін шешу үшін айрықша бір қисық сызық –квадратрисаны
–қолданады. Квадратриса –математика тарихында кездескен тұңғыш
трансцендетті қисық. Мұндай қисықтарды қарастыру да болашақ математикада
едәуір орын алды. Бұрышты тең үшке бөлудің басқа бір әдісін кейіннен
Архимед ұсынды.
Бұрышты трисекциялау мәселесінің де тарихы өте ұзақ. Біздің
заманымыздың IX-X ғасырларында Орта Азия математиктері ол есепті
немесе куб теңдеуіне келтіреді. Ал мұндай куб
теңдеулері циркуль мен сызғыш арқылы, яғни геометриялық алгебра әдістерімен
шешуге болмайтыны тек XIX ғасырда дәлелденді.
б) Дөңгелекті квадраттау есебі (Берілген дөңгелекке тең аудандас
квадрат салу). Бұл есепті шешуді грек математиктері екі тұрғыда
қарастырады. Біріншіден, олар мұны жуықтап шешуге көп әрекет жасаған.
Мұнда дөңгелекті іштей және сырттай сызылған көп бөрыштар арқылы
жуықтатып, шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасын көрсететін санының
жуық мәнін табу мақсаты көзделеді.
Екінші жағынан, математиктер дөңгелекті дәл квадраттауға тырысады.
Бұл саладағы ізденістер ешбір нәтиже бермеді;өйткені, егер дөңгелек
радиусын деп алсақ, есеп кесіндісін салуға тіреледі. Сөйтіп,
бұл кесіндіні салу санының табиғатына тікелей байланысты болады. Бұл
санның рационал бола алмайтыны XVIII ғасырдың аяғында ғана анықталды.
Анығын айтқанда, бұл санның ешбір бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің
түбірі бола алмайтынын, яғни транцендентті сан екенін 1882 жылы Линдеман
дәлелдеді. Бұл дәлелдемесінде ол мұндай сандарды циркуль мен сызғыш арқылы
салуға еш болмайтынын айтты. Сөйтіп, осы санның төңірегінде екі жарым мың
жылға жуық жасалған әрекеттер бос әуре болып шықты. Алайда бұл ізденістер
математика үшін босқа кеткен жоқ, ғалымдар оны шешу әрекеті үстінде
көптеген математикалық жаңа фактілер тағайындады, соны әдістер ашты.
Мәселен, қазіргі математикалық анализдегі шектер теориясының бастамасы
болып табылатынын сарқу әдісі деп аталатын әдіс те осы дөңгелекті
квадраттау есебіне байланысты табылған. Сарқу әдісінің бастамасы б.з.д.
V ғасырда өмір сүрген философсофист Антифоннан басталады. Ол: Дөңгелекке
іштей квадрат салып, оның қабырғасын екі еселеп, одан шыққан көпбұрыштың
қабырғасын тағы да екі еселеп, осы әрекетті біртіндеп жүргізе берсек,
дөңгелекке іштей сызылған дұрыс төртбөрыштар тізбегі табылады. Бұлардың
кейінгісі алдыңғысына қарағанда дөңгелекке жақын келеді де бір кезде онымен
дәлме – дәл болады деп пайымдаған. Бұл ұйғару бойынша дөңгелекті
көпбұрыштар арқылы сарқуға болады, яғни көпбұрыш пен дөңгелек теңбе –тең
болады. Антифон бұл ұйғаруын жоғарыдағы дөңгелекті квадраттау есебін шешуге
қолданбақшы да болған.
Грек философтары әрі математиктері Антифонның бұл пайымдауын сынап
ещбір көпбұрыштың дөңгелекке тең болмайтынын, бірақ дөңгелекті көпбұрыштар
арқылы кез келген дәлдікпен жуықтауға болатынын дәлелдеп берді. Осы сияқты
пайымдаулар мен қорытындылар негізінде дәл де қатаң әдіс –сарқу әдісі
шықты.
Сонымен циркуль және сызғыш көмегімен орындалатын салу есептері XIX
ғасырдың соңында дамыған және бүгінде математиканың ең қызықты бөлімі,
сонымен қатар жүз жыл бойы мектептегі геометрия курсының дәстүрлі
материалы болып есептеледі.
1.2. Конструктивтік геометрияның ортақ аксиомалары
Геометриялық салуларды зерттейтін геометрияның тарауын
конструктивтік геометрия деп атайды. Конструктивтік геометрияның негізгі
ұғымы – фигураны салу болып табылады. Бұл ұғым анықтамасыз қабылданады.
Оның нақты мағынасы практикадан белгілі, мұнда жүргізу (түзуді),
белгілеу (нүктені) және т.б. Осы ұғымды сипаттайтын негізгі талаптарды
(постулаттар) дұрыс баяндалып және анық тұжырымдалуы қажет. Бұл талаптар,
әдетте, мектеп курсындағы элементар геометрия шарттарында тұжырымдалмайды,
бірақ кез келген салу есептерін шешу процесінде өз-өзінен түсінікті мәселе
ретінде жобаланып түсініледі. Конструктивтік геометрияның негізгі талабы
сызба практикасының ең маңызды кезеңдерін абстрактілі түрде өрнектейді.
Олар аксиомалар болып табылады, дәлелдеусіз қабылдап, келешекте
конструктивтік геометрияның логикалық негізі болып қызмет атқарады. Осы
геометриялық салулар теориясының негізгі аксиомаларын қарастырамыз.
Егер қандай да бір фигура берілді десе, онда бұл кезде ол
бейнеленген, сызылған, яғни салынған екені жобалап түсініледі. Сонымен,
конструктивтік геометрияның бірінші негізгі талабы мынада:
1.Бір берілген фигура салынған.
Айталық, және жарты шеңбері салынған (1-сурет). Әрине, бұдан
кейін толық шеңбер салынды деп есептеу керек.
1-сурет
Дәл осылай, егер кейбір түзудің сәулесі салынса, одан кейін сол
түзудің сәулесі салынса, онда осы сәулелерді қосатын түзуі
салынды деп есептелінеді.
2-сурет
2. Егер екі ( немесе одан да көп) фигуралар салынған болса, онда бұл
фигуралардың қосылуы да салынады.
Айталық, бір түзудің екі кесіндісі салынған. Кесіндіні толығымен екінші
кесіндіде жатады ма (3-сурет) немесе жатпайды ма (4-сурет) деген сұраққа
жауап беруге мүмкіндік береді.
3-сурет
4-сурет
Егер шеңбер және нүкте салынған болса, онда сызбаны тікелей қарастыру
арқылы нүкте шеңберге тиісті ме, әлде тиісті емес пе деген сұраққа жауап
беруге болады. Жалпы, егер екі фигура салынған болса, онда біреуі
екіншісінің бір бөлігі болып табылады ма, әлде табылмайды ма екені
белгілі. фигурасы фигурасының бір бөлігі болып табылады, сонда
тек сонда, егер айырмасы бос жиын болса, онда үшінші талапты
(постулатты) келесі түрде беруге болады.
3. Егер екі фигура салынған болса, онда олардың айырмасы бос жиын
болатынын не болмайтынын анықтауға болады.–түзудің төрт нүктесі
болсын (сурет 5).
5-сурет
Айталық, және кесінділері салынды. Онда бізде және
кесінділерінің айырмасы болып табылады. кесіндісі салынды деп
есептейміз, сол сияқты кесіндісі және кесінділерінің
айырмасы болып табылады.
4. Егер екі салынған фигуралардың айырмасы бос жиын болып табылмаса, онда
бұл айырма салынған.
Екі түзу сызып, біз олардың қиылысатынын не қиылыспайтынын айта аламыз.
Сол сияқты, егер екі шеңбер салынған болса, онда сызбадан олардың ортақ
нүктелерінің бар жоқтығын айта аламыз. Бұл кез келген екі фигураға
қатысты. Сонымен:
5. Егер екі фигура салынған болса, онда олардың қиылысуы бос жиын
болатынын не болмайтынын анықтауға болады.
Егер шеңбер және нүкте салынған болса, онда нүкте шеңберге тиісті немесе
тиісті емес екені белгілі болу керек. Егер екі шеңбер салынған болса, онда
олардың ортақ нүктелері бар немесе жоқ екенін айтуға болады. Қайтадан сурет
5-ті қарастырайық. және кесінділері салынғаны белгілі
болсын. Бұл жағдайда екі кесінділердің қиылысуы болып табылатын
кесіндісі де салынған деп есептейміз. Егер екі қиылысатын шеңберлер
сызылған болса, онда біз олардың екі қиылысу нүктесі салынған деп
есептейміз. Мұндай текті келісімділіктер келесі түрде беріледі:
6. Егер екі салынған фигуралардың қиылысуы бос болмаса, онда ол салынған.
Келесі негізгі екі талапта жеке нүктелерді салу мүмкіндіктері жайында
айтылған.
7. Салынған фигураға тиісті екенін біле тұра нүкте салуға болады.
8. Салынған фигураға тиісті емес екенін біле тұра нүкте салуға болады.
7- аксиома салынған фигураға тиісті нүктені салу мүмкіндігін анықтайды. 8-
аксиома кейбір жаңа нүктелерді салуға мүмкіндік береді, бірақ бұл
нүктелерге ешқандай жаңа қасиеттер жазылмайды. 1-8 дейінгі талаптар-
конструктивті геометрияның жалпы аксиомалары.
1.3 Құралдар аксиомасы
Геометриялық салуларда көп қолданылатын құралдар сызғыш (біржақты),
циркуль, екі жақты сызғыш болып табылады. Геометриялық салулар құралын тек
сызғыш және циркульмен шектеу ежелден шыққан. Евклидтің (б.э.д. III-ғасыр)
әйгілі геометриясы циркуль және сызғышпен орындалатын геометриялық
салуларға негізделген; сонымен бірге циркуль және сызғыш тең құқықты
құралдар ретінде қарастырылады. Сызғышқа қарағанда, циркуль жетілген, тура
құрал болып табылады, кейбір салуларды сызғыштың көмегінсіз, тек циркуль
мен орындауға болатыны ертеден ескерілген, мысалы, шеңберді тең алты
бөлікке бөлу; берілген түзуге қатысты берілген нүктеге симметриялы нүкте
салу және т.б. аксиомаларды тұжырымдауға көшейік.
А. Сызғыш аксиомасы.
Сызғыш келесі геометриялық салуларды орындауға мүмкіндік береді:
а) берілген екі нүктені қосатын кесінді алу;
ә) берілген екі нүкте арқылы өтетін түзу салу;
б) берілген нүктеден шығатын, берілген екінші нүкте арқылы өтетін сәуле
салу.
Ә) Циркуль аксиомасы.
Циркуль келесі геометриялық салуларды орындауға мүмкіндік береді:
а) егер центрі және шеңбер радиусына тең кесінді салынған болса, шеңбер
салу;
ә) егер щеңбер центрі және доға ұштары салынған болса, онда доға салу.
Б. Екі жақты сызғыш аксиомасы.
Екі жақты сызғыш келесі салуларды орындауға мүмкіндік береді:
а) А аксиомада айтылған кез келген салуды орындайды;
ә) салынған түзумен анықталған әр жарты жазықтықта осы түзуге параллель
және одан h қашықтықта өтетін түзу салу, мұндағы h берілген сызғыш үшін
белгіленген кесінді (сызғыш ені);
б) егер және нүктелері салынған болса, онда белгіленген
кесіндіден үлкен екенін анықтау керек, егер болса онда
сәйкесінше және нүктелері арқылы өтетін және бір-бірінен
қашықтықта орналасқан екі параллель түзу салу; б) пунктінің нақты
мазмұны 6- суретпен түсіндіріледі.
6-сурет
В. Тік бұрыш аксиомасы.
Тік бұрыш келесі геометриялық салуларды орындауға мүмкіндік береді;
а) сызғыш аксиомасында аталған салуларды орындауға;
ә) жазықтықтағы түзуге берілген нүкте арқылы перпендикуляр түзу
жүргізуге;
б) егер кесіндісі мен фигурасы салынған болса, онда бұл
кесінді тік бұрыштан көрінетіндей фигураға тиісті нүкте бар не жоқтығын
анықтауға және егер мұндай нүкте бар болса, онда ол нүктені салу
мүмкіндіктерін береді.
7-сурет В аксиомасының б) пунктісін түсіндіреді.
7-сурет
Геометриялық салулар әр уақытта алдын ала көрсетілген құралдармен
жүргізіледі және де әр құрал аксиомалар жиынтығы жүйесімен сипатталады.
Салулар үшін таңдап алынған құралдар аксиомаларында айтылған салулармен
бірге, конструктивтік геометрия 7-8 аксиомаларының мүмкіндіктерін негізгі
салулар деп атаймыз. Көптеген жағдайда, циркуль және сызғыш келесі негізгі
салуларды орындауға мүмкіндік береді:
1. Белгілі екі нүктені қосатын кесінді салу (A,а)
2. Белгілі екі нүкте арқылы өтетін түзу сызық салу (А,ә).
3.Берілген нүктеден шығатын, екінші берілген нүкте арқылы өтетін сәуле салу
(А,б).
4. Егер центрі және шеңбер радиусына тең кесінді салынған болса, шеңбер
салу (Ә,а).
5. Егер шеңбер центрі және доға ұштары салынған болса, онда доға салу
(Ә,ә).
6.Екі салынған фигуралардың ортақ нүктелерінің шекті санын салу, егер
мұндай нүктелер бар болса (6-8 аксиома).
7. Қандай да бір белгілі фигураға тиісті нүктені салу (7- аксиома).
8. Қандай да бір белгілі фигураға тиісті емес нүктені салу (8- аксиома).
1.4 Элементар салулар
Егер қандайда да бір фигура беріліп, ізделінді фигура мен берілген
фигура арасындағы кейбір арақатынастар көрсетілсе, салу есебінің мәні
алдын ала көрсетілген құралдармен фигураны салуды талап етеді. Есеп шартын
қанағаттандыратын әр фигура осы есептің шешуі деп аталады. Салу есебінің
шешімін табу - оның негізгі салуларының шекті санына әкелу, яғни негізгі
салулар тізбегінің соңғысын көрсету, қолданылған конструктивтік геометрия
аксиомаларына байланысты, ізделінді фигура салынған болып есептелінеді.
Қарастырылатын негізгі салулар тізімі, есепті шешу барысы да, салу үшін
қандай құралдарды қолданылуына байланысты. Есептер қарастырайық:
және ұштары берілген кесіндінің ортасын салу. Бұл есептің шешуін әр
түрлі құралдар көмегімен табамыз.
I Циркуль және сызғыш.
Тізбектей саламыз:
1. түзуін ( 2 негізгі салу);
2. шеңберін (4 негізгі салу);
3. шеңберін;
4. және шеңберлерінің және ортақ нүктелерін ( 6
негізгі салу);
5. түзуін (2 негізгі салу);
6. және түзулерінің ортақ нүктесін;
, яғни ізделінді нүкте екеніне оңай көз жеткізуге болады.
II. Циркуль.
Тізбектей саламыз:
1. шеңберін (аксиома Б,а);
2. шеңберін;
3. және шеңберлерінің ортақ нүктесін (6,7 аксиома);
4.; шеңберін;
5. және шеңберлерінің, нүктесінен басқа, ортақ
нүктесін;
6. шеңберін;
7. және шеңберлерінің нүктесінен басқа, ортақ
нүктесін; және бір түзде орналасқанын ескерсек және де .
Әрі қарай саламыз.;
8. шеңберін;
9. және шеңберлерінің және ортақ нүктелерін;
10. шеңберін;
11. шеңберін;
12. және шеңберлерінің, нүктесінен басқа, ортақ
нүктесін;
нүктесі кесіндісінде орналасқанын көруге болады. Сонымен бірге,
үшбұрышы үшбұрышына ұқсас, өйткені олар тең бүйірлі және
табанында ортақ бұрышы бар. Сондықтан,, немесе , демек
, яғни ізделінді нүкте.
III. Екі жақты сызғыш.
Тізбектей саламыз:
1. түзуін ( аксиома В,а);
2.-ға параллель және одан қашықтықта өтетін түзуін
(-сызғыш ені);
3.-ға параллель және одан қашықтықта өтетін, түзуінен
басқа, түзуін;
4. түзуінде нүктесін ( 7 аксиома);
5. және түзулерін;
6. және нүктелерін ( 6, 7 аксиома);
( жазуы, және түзулерінің қиылысу нүктесі екенін
білдіреді)
7. және түзулерін;
8.;
9. түзуін;
10.;
– үшбұрышының орта сызығы болғандықтан, және - оның
медианалары, ал бұдан, - медиана, демек - ізделінді нүкте.
IV. Тік бұрыш.
Тізбектей саламыз:
1. түзуін саламыз ( аксиома Г,а);
2. түзуіне перпендикуляр және түзулерін жүргіземіз
(аксиома Г,ә);
3. түзуінде, нүктесінен басқа өз еркімізше нүктесін аламыз
(4,7аксиома);
4.нүктесі арқылы түзуіне түзуінде перпендикулярын
жүргіземіз. Әрі қарай тізбектей саламыз:
5.( 7 аксиома);
6. және түзулерін;
7. нүктесін;
8. түзуіне перпендикуляр түзуін;
9. нүктесін; – ізделінді нүкте.
Қандай да бір салу есебінің бірнеше шешімі болуы мүмкін, яғни есептің
барлық шартын қанағатандыратын әр түрлі фигуралар бар. Салу есебін шешу -
есептің барлық шешімін табуды білдіреді. Бұл анықтама кейбір
түсініктемелерді талап етеді. Есеп шартын қанағаттандыратын фигуралар
пішінімен және өлшемдерімен ерекшеленсе, сол сияқты жазықтықтағы орнымен
ерекшеленеді. Мысалы, қарапайым есепті қарастырайық: екі қабырғасы және
олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу. Бұл есептің дәл мағынасы
келесіде: екі қабырғасы, сәйкесінше, берілген екі кесіндіге, ал олардың
арасындағы бұрыш берілген бұрышқа тең болатындай үшбұрыш салу, мұнда
ізделінді фигура (үшбұрыш) берілген фигуралармен ( екі кесінді және бұрыш)
тек теңдік арақатынасымен байланысты, ізделінді фигураның орналасуы басқа
фигурамен салыстырғанда талғаусыз. Бұл жағдайда есеп шартын
қанағаттандыратын үшбұрышын салу оңай. үшбұрышына тең барлық
үшбұрыштар есеп шарттарын қанағаттандырады. Бірақ бұл үшбұрыштарды берілген
есептің әр түрлі шешімдері ретінде қарастырудың мағынасы жоқ, өйткені олар
бір-бірімен тек жазықтықта орналасуымен ерекшеленеді. Сондықтан есептің бір
ғана шешімі бар деп есептейміз. Күрделі есептердің шешіміне жиі құрама
бөліктері ретінде кіретін көптеген қарапайым геометриялық салу есептері
бар. Мұндай текті есептер, әдетте, мектеп курсындағы геометрияның бірінші
тарауларында қарастырылады. Элементар есептер қатарына кесілер жатады:
1.Берілген кесіндіні қақ бөлу.
2.Берілген бұрышты қақ бөлу.
3.Берілген түзуде берілген кесіндіге тең кесінді салу.
4.Берілген бұрышқа тең бұрыш салу.
5.Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген түзуге параллель түзу салу.
6.Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген түзуге перпендикуляр түзу
салу.
7.Берілген қатынаста кесіндіні қақ бөлу.
8.Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
9.Бір қабырғасы және іргелес жатқан екі бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
10.Екі қабырғасы және олар арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу
керек.
11.Гипотенуза және катеті бойынша тік бұрышты үшбұрыш салу. Бұл
элементар есептердің толық шешімдерін біз циркуль және сызғыш
көмегімен құрамыз. Бірінші есепті жоғарыда қарастырдық. Қалған
есептерді қарастырайық:
2. Берілген бұрыштың биссектрисасын салу.
бұрышын саламыз.
Тізбектей саламыз:
1) шеңберін (аксиома Б,а);
2) және ортақ нүктелерін (6 негізгі салу);
3) шеңберін;
4) шеңберін;
5) және шеңберлерінің ортақ нүктесін;
6) түзуін (2 негізгі салу);
сәулесі – берілген бұрыш биссектрисасы.
Дәлелдейік:
және үшбұрыштарын қарастырайық:
, өйткені
1)- ортақ қабырға;
2) – шеңбер радиустары;
3) (салу бойынша).
Бұдан, үш қабырғасы бойынша. Яғни, – берілген бұрыш
биссектрисасы.
3.Берілген сәуле басынан, берілген кесіндіге тең, кесінді салу.
кесіндісі, сәулесі берілген.
Тізбектей саламыз:
1) сәулесін ( 1 негізгі салу);
2)шеңберін (аксиома Б,а);
3) нүктесін, мұнда – сәулесі мен w шеңберінің қиылысу
нүктесі (6 негізгі салу); – ізделінді кесінді.
4. Берілген бұрышқа тең, берілген сәуледе бұрыш салу.
Бұрыш және сәулесі берілген.
Тізбектей саламыз:
1) шеңберін ( аксиома Б,а);
2) шеңберінің бұрышымен ортақ және нүктелерін
(1-сурет) (6 негізгі салу);
3)шеңберін ( 2-сурет);
4) және шеңберінің ортақ нүктесін;
5) шеңберін;
6) және шеңберлерінің ортақ нүктесін ;
7) түзуін ( 2 негізгі салу).
бұрышы – ізделінді. Дәлелдеу үшін және үшбұрыштары сәйкес
қабырғалары тең екенін ескеру жеткілікті. және бұрыштар осы
үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары.
5. Берілген нүктесі арқылы өтетін, берілген түзуіне
перпендикуляр түзу жүргізу.
түзуі және осы түзуге тиісті нүктесі берілген.
Тізбектей саламыз:
1) және тең кесінділер ( 2 негізгі салу);
2) шеңберін ( аксиома Б,а);
3) шеңберін;
4) және шеңберлерінің ортақ және нүктелерін;
5) немесе түзулерін жүргіземіз ( 2 негізгі салу);
– ізделінді түзу, өйткені тең бүйірлі үшбұрыштың
медианасы, биіктігі болып табылады, онда .
6. нүктесі арқылы өтетін, берілген түзуге параллель түзу жүргізу.
Тізбектей саламыз:
1)түзуін ( 1 негізгі салу);
2) шеңберін ( аксиома Б,а);
3) нүктесін, мұнда - шеңбері мен а түзуінің қылысу
нүктесі;
4) шеңберін;
5) нүктесін, мұнда – шеңберінің қиылысу нүктесі;
6) шеңберін;
7) нүктесін, мұнда - және шеберлерінің қиылысу
нүктесі;
8) түзуін (2 негізгі салу);
.
7. Берілген кесіндісін тең бөлікке бөлу.
нүктесінен түзуінде жатпайтын жарты түзуін жүргіземіз.
жарты түзуінде тең кесінділер саламыз. және нүктелері
арқылы түзуін жүргіземіз. нүктелері арқылы өтетін,
түзуіне параллель түзулер түзуін тең n бөлікке нүктелерінде
қияды.
8.Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
кесінділері берілген. үшбұрышын салу керек, мұнда ,
, . түзуін жүргізіп, циркуль көмегімен,
кесіндісіне тең, кесіндісін саламыз. Одан әрі тізбектей саламыз:
1) шеңберін (аксиома Б,а);
2) шеңберін;
3) және шеңберлерінің ортақ нүктесі ( 6
негізгі салу);
4) және кесіндісі (2 негізгі салу); –
ізделінді.
Салу бойынша , , , яғни үшбұрышының қабырғалары
берілген кесінділерге тең. Бұл есептің әрқашан шешімі болмайды. Шынында да,
қандай үшбұрыштың болмасын екі қабырғасының қосындысы үшінші қабырғадан
үлкен, сондықтан егер қандайда кесінділердің бірі басқа екеуінің
қосындысынан үлкен немесе тең болса, онда қабырғалары берілген кесінділерге
тең үшбұрыш салуға болмайды.
9. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу.
, , кесінділері және берілген. , ,
. үшбұрышын салу керек.
Тізбектей саламыз:
1) түзуі (1 негізгі салу);
2)түзуіне тиісті кесінді ( 2 негізгі салу);
3) (3 мысал);
4) кесіндісін жүргіземіз (2 негізгі салу);
5) кесіндісін жүргіземіз (2 негізгі салу);
Үшбұрыш – ізделінді.
10.Қабырғасы және оған ергелес бұрыштары бойынша үшбұрыш салу.
кесіндісі және мен бұрыштары берілген. , ,
болатын үшбұрышын табу керек.
Тізбектей саламыз:
1)түзуі;
2) кесінді;
3) бұрыш;
4) бұрыш;
5) ортақ нүктесін;
үшбұрышы ізделінді.
Салу бойынша ,
I I тарау. Салу есептерін шешудің негізгі әдістері
2.1. Салу есептерін шешудің геометриялық орындар әдісі және
нүктелердің геометриялық орнын табу
Нүктелердің геометриялық орны дегеніміз белгілі бір қасиеттерге ие
жазықтықтың барлық нүктелерінен құралатын фигура.
Нүктелердің геометриялық орнын іздеп табуға берілген есептерді
шығарғанда мына төмендегілерді есте ұстау қажет:
1) Негізгі геометриялық фигуралардың кейбір қасиеттері белгілі болуы
керек.
2) Бір ғана фигураның өзі, әрқайсысын жеке алғанда осы фигураны нүктелердің
геометриялық орны ретінде толық анықтай алатын көптеген характеристикалық
қасиеттерге ие бола алады. Мысалы, шеңберді берілген нүктеден (жазықтық
нүктесінен) берілген қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны
(жазықтығы) ретінде және берілген түзу тік бұрышпен көрінетін нүктелердің
геометриялық орны ретінде (кесіндінің ұштарын қоспағанда), және де берілген
екі нүктелердің геометриялық орны ретінде т.б. анықтауға болады.
Фигураның характеристикалық қасиеті неғұрлым көп белгілі болса, есепті
шығарғанда ол фигураны танып білу мүмкіншілігі соғұрлым көп болады.
3)Нүктелердің геометриялық орнын табуға берілген есептерді шешу әдетте
талдаудан, дәлелдеуден, зертттеуден және салудан құралады. Талдау жасағанда
фигураны табылды деп ұйғарып, осы фигураға тән бір немесе бірнеше
нүктелерді қарастырады. Бұл нүктелердің нүктелердің геометриялық орны
анықтамасынан шығатын берілген элементтермен байланысын анықтайды.
1-сурет
Талдау жасаудың негізгі мәні, белгілі бір фигура үшін берілген
характеристикалық элементтерімен салыстырғанда іздеп отырған фигурамыздың
қасиетін (байланыстылығын) анықтау болып табылады. Мысалы, бір түзудің
бойында орналасқан және бірін-бірі басып өтпейтін және
кесінділерінің бірдей бұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық орны
табу үшін (1-сурет), іздеп отырған фигурамызға тән нүктелері
Апполлоний шеңберінің характеристикалық қасиетіне (болғанда) немесе
түзудің характеристикалық қасиетіне ( болғанда) ие болатындықтарын
анықтаймыз.
Талдау қорытындысында (көпшілік жағдайда) біз мәселенің алдын ала
болжанған шешіміне келеміз. Табылған шешімді негіздеу, яғни дәлелдеу керек.
Дәлелдеу өзара қарсы мынадай екі сөйлемнің дұрыс екендігін айқындауға келіп
тіреледі.
а)нүктелердің геометриялық орны характеристикалық қасиетіне ие болатын кез
келген нүктесі талдауда табылған фигураға тән;
b)егер нүкте табылған фигураға тән болса, онда ол іздеп отырған нүктелердің
геометриялық орны характеристикалық қасиетіне ие болады.
Анықтама бойынша, мәселен нүктелердің геометриялық орнын іздегенде
жазықтықтың характеристикалық қасиетіне ие болатын барлық нүктелерінің
жиынын табу қажет болады. Егер характеристикалық қасиетіне ие болатын
барлық нүктелердің табылған фигурадан тыс жазықтықта жатпайтындығына
көзімізді жеткізсек, онда табылған фигураны іздеген нүктелердің
геометриялық орны деп санай аламыз. Сондай-ақ, жоғарыда келтірілген екі
сөйлемнің әрқайсысын дәлелдеуді оларға эквивалентті мынадай сөйлемдерді
дәлелдеумен алмастыруға болатындығын байқаймыз:
а) егер нүктесі табылған фигурада жатпайтын болса, онда ол нүкте
іздеп отырған нүктелердің геометриялық орны характеристикалық қасиетіне ие
болмайды;
b)егер нүктесі іздеп отырған нүктелердің геометриялық орны
характеристикалық қасиетіне ие болмаса, онда ол нүкте табылған фигурада
жатпайды.
Зерттеу – есептің берілген элементтері мен олардың арасындағы
қатыстарға байланысты барлық шешу жолдарын қарастыруға болады.
Нүктелердің геометриялық орны синтетикалық геометрия әдісімен табу қиынға
түскен жағдайда аналитикалық геометрия әдісімен пайдаланған жөн.
Нүктелердің геометриялық орны жете түсіндіруде маңызы зор салу
есептерін қарастырамыз.
1. Берілген кесіндісі тік бұрышпен көрінетін нүктелердің
геометриялық орнын табу керек.
Шешуі. 1-тәсіл. кесіндісі нүктесінен тік бұрышпен көрінеді
делік (2-сурет).
бұрышын салайық, сонда бұрышын салайық, сонда .
және - тең бүйірлі үшбұрыштар, олай болса, , яғни .
Сонымен, нүктесі берілген кесіндінің ортасынан тұрақты шама -
ге тең қашықтықта жатады, олай болса, нүктесі центрі және
радиусы болатын шеңбердің бойында жатады. Кері сөйлемде де дұрыс
болды. Нүкте табылған шеңберде жатады делік, олай болса, шеңберге іштей
сызылған және диаметрге тірелген бұрыш болғандықтан, болады. Бұдан
мынадай қорытынды жасаймыз: шеңбердің және нүктелерінен басқа
кез келген нүктесінен қарағанда кесіндісі тік бұрышпен
көрінеді. Сонымен, берілген кесіндісі тік бұрышпен көрінетін
нүктелердің геометриялық орны - және нүктелерін
есептемегендегі, диаметрі болатын шеңбер.
2 – тәсіл. Егер және болып, нүктесі щеңбердің
жайында жатса, онда болады. Егер шеңбердің ішінде немесе
шеңберден тыс жатса, онда болады (төбесі дөңгелектің ішінде және
дөңгелектен тыс жатқан бұрыштардың қасиеті бойынша). Осы себептен іздеп
отырған нүктелердің геометриялық орны жоғарыда табылған нүктелердің
геометриялық орны бірдей болып келеді.
2-сурет
3-сурет
3 – тәсіл. кесіндісі нүктесінен тік бұрышпен көрінеді
делік (3-сурет).
нүктесін кесіндісінің ортасымен қосып,
түзуінің бойына кесіндісін салайық. және
кесінділерін жүргізейік.
төртбұрышы – тік төртбұрыш, олай болса, бұдан екендігі
шығады. Сонымен, нүктесі центрі нүктесі және радиусы
болып келген шеңбердің нүктесі болады. Кері сөйлемнің дұрыстығын дәлелдеу
есепті шешудің бірінші тәсілін қарастырғанда берілген.
4 – тәсіл (аналитикалық). кесіндісі нүктесінен тік
бұрышпен көрінеді делік (3-сурет). Айталық болсын. осі ретінде
түзуін, ал координаталар басы ретінде түзуінің ортасын алып,
тік бұрышты координаталар системасын енгізейік, нүктесінің
координаталарын және арқылы белгілейік. Олай болса, және
нүктелерінің координаталары сәйкес және болады. -ге
перпендикуляр кесіндісін жүргізейік. Тік бұрыштың төбесінен
гипотенузаға түсірілген перпендикулярдың қасиеті бойынша немесе
, бұдан
.
(1)
Бұл теңдеу шеңберінің теңдеуі.
Координаталары (1) теңдеуді қанағаттандыратын әрбір және
нүктесі көрсетілген қасиетке ие болады, яғни болады, бұл
келтірілгенге кері талқылаумен дәлелденеді.
Нүктелердің геометриялық орны әдісі
Есепті геометриялық орындар әдісімен шешкенде, берілген есепті
әрқайсысы қиылысу нүктесі бола алатын нүктелердің геометриялық орны
қасиетіне ие болатын бір немесе бірнеше нүктелерді табу есебіне келтіріп
алады. Сонан соң, іздеп отырған нүктені салу үшін алдымен бірінші шартты
қанағаттандыратын геометриялық орында, одан кейін, бірінші шартты ескермей,
басқа шартты қанағаттандыратын басқа геометриялық орынды салу керек.
Салынған нүктелердің геометриялық орны қилысу нүктелері тек сол
нүктелер ғана іздеп отырған нүктелеріміз бола алады. Есепті біріне-бірі
тәуелсіз, әрқайсысын жеке-жеке алғанда салу белгілі нүктелердің
геометриялық орны анықтайтын екі есепке жіктеуге болатын жағдайда
геометриялық орындар әдісі қолданылатыны түсінікті.
Нүктелердің геометриялық орны әдісімен шығарылатын есептерді
қарастырайық.
1. шеңбері мен түзуі берілген. Шеңберден тыс орналасып,
берілген түзу мен шеңберден қашықтықта орналасқан нүкте салу керек.
1а-сурет
Шешуі. Анализ. Іздеп отырған нүктесі екі шартты қанағаттандыруы тиіс:
1)берілген түзуінен қашықтықта болуы тиіс;
2)берілген шеңбердің центрінен қашықтықта болуы тиіс.
Бұдан мынадай салу шығады.
Салу. 1) Берілген түзуінен қашықтықта жататын нүктелердің
геометриялық орны – параллель қос түзу саламыз.
2) шеңберін саламыз.
3) Салынған нүктелердің геометриялық орны қилысу нүктелерін және
деп белгілейміз. мен - іздеп отырған нүктелеріміз.
Дәлелдеме. және нүктелері екі нүктелердің геометриялық орны
–ның қиылысу нүктелері есебінде екі шартты да қанағаттандырады. Олай болса,
бұл нүктелер іздеп отырған нүктелеріміз.
Зерттеу. 1 – 2 салулар барлық уақытта орындалады және бір мәнді болады.
Шешімдерінің болуы – берілген түзуі мен шеңберінің өз ара
орналасуына байланысты.
Есептің шешімдерінің саны туралы:
а)Берілген түзуі берілген шеңберін қиып өтпейді (1 а-сурет).
Бұл жағыдай да, егер центрінен түзуіне дейінгі қашықтығы
шартын қанағаттандыратын болса, онда есептің екі тек қана екі шешімі
болады. Шындығында, егер есептің екіден артық шешімі болады десек, онда
түзу шеңберді екі нүктеде ғана емес одан да көп нүктеде қиып өтеді, бұлай
болуы мүмкін емес.
Егер болса, онда есептің бір ғана шешімі болады.
Егер болса, онда есептің шешімі болмайды.
ә)Берілген түзуі берілген шеңберін жанап өтеді (1,б-сурет). Бұл
жағдай да -тың кез келген мәнінде есептің үш шешімі болады.
б) түзуі мен шеңбері қилысады (1, в-сурет). Бұл жағдайда есептің
барлық уақытта төрт шешімі болады.
1б-сурет
1в-сурет
Сонымен, қарастырылған мысалда нүктелердің геометриялық орны әдісін
қолдану төмендегі іскерліктерге ие болуды талап етеді:
а) берілген түзуден кез келген қашықтықта жататын нүктелердің
геометриялық орнын салуды;
ә) берілген шеңбердің центрінен қашықтықта болатын шеңберін
салуды;
б) нүктелердің геометриялық орнының қиылысу нүктелерін белгілей білуге;
2.Үшбұрыш салу керек. Оның, қабырғасы және сол қабырғаға түсірілген
медианасы және оны сырттай сызылған шеңбердің радиусы белгілі.
Шешуі. Анализ. Іздеп отырған үшбұрышымыз (2,а-сурет) салынған,
ал оның қабырғасы , медианасы және сырттай сызылған шеңбердің
радиусы делік. Іздеп отырған үшбұрышымыздың және екі
төбесі кесіндісінің ұштары есебінде анықталатынын байқаймыз. Олай
болса, есептің шешуі, төмендегі екі шартты қанағаттандыратын, үшбұрыштың
үшінші төбесін салуға келіп тіреледі.
1)Ол, үшбұрышын сырттай сызылған, радиусы шеңбердің бойында
жатуы тиіс.
2)Ол - кесіндісінің орасынан (нүктесінен) қашықтықта жатуы
тиіс.
Бұдан төменгі салу шығады.
Салу. 1) Қалауымызша алынған түзудің бойынан нүктесін алып,
кесіндісін саламыз.
2) Катеті және гипотенузасы тік бұрышты үшбұрышын
саламыз.
3) шеңберін – 1) шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық
орнын саламыз.
4) шеңберін – 2) шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық
орнын саламыз.
5) мен шеңберлерінің қиылысуы нүктесін белгілейік.
- іздеп отырған үшбұрышымыз.
Ескерту. 1), 2) салуларының орнына шеңберін салып, оның кез келген
нүктесінен шеңберінің доғасын жүргізуге болады.
Дәлелдеме. Салу бойынша . төбесі салынған екі нүктелердің
геометриялық орны –ның қиылысу нүктесі ретінде, екі геометриялық орындарға
- радиус мен медиана -ға тән қасиеттерге ие болады.
Зерттеу. Іздеп отырған үшбұрышты салу негізінде екі нүктелердің
геометриялық орны қиылысу нүктесін – бір нүктесін – салу болды. Міне,
сондықтан да, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе 3
I тарау. Геометрия курсындағы салу есептері 5
1.1. Геометриялық салулар тарихынан 5
1.2. Конструктивтік геометрияның ортақ аксиомалары 9
1.3 Құралдар аксиомасы 12
1.4 Элементар салулар 14
I I тарау. Салу есептерін шешудің негізгі әдістері 23
2.1. Салу есептерін шешудің геометриялық орындар әдісі және
нүктелердің геометриялық орнын табу 23
- Түзету әдісі және нүктелердің геометриялық орны 31
2.2 Геометриялық түрлендірулер әдісі 33
- Симметрия әдісі 34
- Параллель көшіру әдісі 36
- Айналдыру әдісі 40
- Гомотетия әдісі 42
2.3.Салу есептерін шешудің алгебралық әдісі 46
III тарау. Мектеп курс геометриясындағы салу есептерін 51
3.1. Мектептегі геометрия курсындағы оқулықтарды тақырып 51
3.2. Геометриялық салу есептері тақырыбы бойынша 57
Педагогикалық тәжірибе 61
Қорытынды 65
Қолданылған әдебиеттер тізімі 66
Қосымша материалдар 68
Кіріспе
Салу есептері оқушылардың геометриялық есептеулерін толығымен
қалыптастырудың маңызды құралы болып табылады. Геометриялық салуларды
орындау процесі кезінде оқушылар геометриялық фигуралар және олардың
арасындағы қатынастар қасиеттерімен танысады, сызбалық құралдарды
қолдануды үйренеді, графикалық дағдыларды қалыптастырады. Көптеген
математикалық тұжырымдардың дұрыстығына оқушылар көптеген жағдайда
геометриялық салулар процесінде көз жеткізеді.
Қазіргі уақытта геометриялық салу есептері кейбіреулерге қызықсық,
қажетсіз, ойдан шығарылған болып көрінуі де мүмкін. Циркуль мен сызғышты
пайдаланып дұрыс он жетібұрышты көпбұрыш салу, үш биіктігі бойынша үшбұрыш
салу немесе берілген түзуге параллель түзу салу не үшін қажет?.
Қазіргіт заман техникасы бұл салуларды кез келген адамнан әлде қайда тез,
әлі дәлірек орындау мүмкіндігін, сонымен қатар, циркуль мен сызғышты
қолданып шешуге мүмкін емес салу есептерін шешу мүмкіндігін туғызып отыр.
Солай бола тұрса да салу есептерінсіз геометрия, геометрия болудан қалады.
Геометрияны шын мәнінде жақсы сезіну үшін, оны жақсы көріп, ұнату үшін,
салу есептерін айналып өтуге болмайды.
Берілген жұмыста сызбалық құралдар көмегімен салулардың іскерліктері
мен дағдыларын қалыптастыруға арналған тапсырмалар жүйесінің сапасы
жөнінде мәселе қарастыралады. Дәл осы іскерліктер оқушының жазықтықта
ойлауын дамыту үшін шешуші болып табылатын мәселелер соңғы жарты ғасырдың
көптеген психологиялық зертеулерінде дәлелденген. Бірақ әліде көптеген
оқытушылар салу есептерін бағалай алмайды. Олардың көбісі, оқушылардың
жазықтықта ойлауын дамыту үшін геометриялық обьектілердің көрнекілік
модельдерімен қолдану керек деп ұйғарады. Шынында, психологиялық және
педагогикалық зерттелер көрсеткендей, көрнекілік бейнелер жазықтықта
ойлаудың дамуына көмектеседі, бірақ оқытудың бастапқы сатыларында ғана.
Одан әрі ол, керісінше, бұл дамуды тежеуі мүмкін, өйткені оқушылардың
өздеріне заттың геометриялық формасын көруі, оны түрлендіру мақсатымен осы
формамен амалдар жасауы талап етілмейді.
Геометриялық салулар тек математикада ғана үлкен мағынаға ие болып
қоймай, срнымен қатар оқушылардың математикалық дайындықтарын жүзеге
асыруда да қатысы бар. Есептің ешқандай түрі салу есептері сияқты
оқушылардың математикалық талабын және логикалық дағдыларын дамыту үшін
мұншама көп материал бере алмайды. Салуға арналған есептер мектеп курсы
геометриясының кез келген бөлімі бойынша теориялық білімін бекітуге
ыңғайлы. Жазықтықта ой - өрісінің даму есептерін шешу үшін әдістемелік
қалыптастыру және транзитивті құралған байланысты қолдану қажет:
▪ салуға тапсырма;
▪ жазықтықта ой - өрісін дамыту;
▪ оқушының математикалық дамуы.
Осындай транзитивті байланыстың әсерін қолдануда психологиялық және
әдістемелік зерттеулерге қарағанда оқушылардың математикалық қабілеттерін
дамытудағы салу есептері талас тудырмайтын роль атқарады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты – 7- 9 сыныптардағы салу есептерін оқыту
әдістемесін жасау.
Зерттеу пәні – салу есептерін оқыту әдістемесі
Зерттеу обьектісі – салу есептерінің элементтерін оқыту үрдісі
Жұмыстың гипотезасы -- 7-9 сыныптардағы геометриялық салу
есептерін жүйелі түрде қарастыру, осы тақырып бойынша оқушылардың
математикалық дайындық деңгейін көтеруге ықпал жасайды.
Дипломдық жұмыстың мақсаты және гипотезасы бірқатар мәселелерді шешу және
тұжырымдауды қажет етеді.
Зерттеу мәселелері:
а) салу есептерінің мектеп геометриясы курсындағы орнын, атқаратын
қызметін, мақсатын анықтау;
б) салу есептерінің 7-9 сыныптардағы мазмұнын анықтау;
в) салу есептерін шешудің кезеңдерін көрсету;
г) салу есептерін шешу тәсілдерін анықтау.
Көрсетілген мәселелерді шешу үшін келесі зерттеу әдістері қолданылады:
- Геометрия курсында салу есептерін шешу тақырыбы бойынша ғылыми
әдістемелік және оқу әдебиеттерін талдау;
- мектеп оқулықтарын талдау және бақылау;
- тәжірибелік жұмысты өткізу және оның нәтижелерін өңдеу.
Дипломдық жұмыс кіріспеден үш тараудан, қорытындыдан, педагогикалық
тәжірибеден, пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші тарауда геометриялық салулар тарихы; конструктивтик геометрияның
аксиомалары; құралдар аксиамалары; элементтар салулар берілген.
Екінші тарауда салу есептерін шешудің негізгі әдістері қарастырылған.
Үшінші тарауда орта мектепте қолданылып жүрген геометрия оқулықтары
бойынша салыстырмалы талдау жасалған.
I тарау. Геометрия курсындағы салу есептері
1.1. Геометриялық салулар тарихынан
Геометрия – ежелгі математикалық ғылымдардың бірі. Алғашқы
геометриялық деректерді вавилондық сына кестелер мен египеттік папирустарда
( б.э.д. III ғасырда) сонымен қатар, басқа дерек көздерден тапқан.
Геометрия ғылым атауы ежелгі гректерде пайда болды. Ол гео-жер метрео-
өлшеймін деген екі грек сөзінен тұрады.
Қазір мектепте қолданылатын геометриялық терминдердің (атаулардың)
көпшілігі сонау Ежелгі Грецияның өзінде – ақ қалыптасқан болатын. Грек
терминдері жарым – жартылап сол көне заманның өзінде, кейініректе орта
ғасырларда латын тіліне аударылғанды, ал латын тілі талай ғасырлар бойы
ғалымдар тілі болып келген. Сондықтан геометрия терминдерінің көпшілігі
грек немесе латын тілдерінен алынған. Мысалы: Планиметрия термині - орта
ғасырлық термин, ол латынның planum – жазықтық деген сөзі мен гректің
метрео - өлшеймін деген сөзінен шыққан. Фигура - латынның бейне, түр,
кескін деген мағынадағы сөзі. Бұл термин XII ғасырдан бастап жалпылама
қолданылатын болды. Бұған дейін онымен қатар сол ұғым үшін латынның басқа
бір – форма деген сөзі қолданылды, бұл да, нәрсенін сыртқы түрін, сыртқы
пішінін білдіретін сөз. Сызық - латынның linea деген сөзінен шыққан, ал
мұның өзі linum – зығыр, зығыр талшығынан иірілген жіп, бау деген
мағынадағы сөзден шыққан. Өлшеу жұмысында Рим жер өлшеуіштері осындай жіпті
немесе бауды пайдаланған. Циркуль - латынның circulus – дөңгелек деген
сөзінен шыққан.
Ең қарапайым салу есептері өте ерте заманда жер танаптарын өлшеу
және әр түрлі құрылыстарды салу жұмыстарын орындағанда пайда болған.
Алғашқы мұндай есептер тобына мынадай есептер жатады: берілген кесіндіге
тең кесінді салу, кесінділерді және бұрыштарды тең екі бөлікке бөлу,
берілген нүкте арқылы берілген түзуге перпендикуляр жүргізу. Бұл есептердің
шешуі гректерден бұрынғы дәуірдің өзінде – ақ белгілі болатын.
Біздің эрамызға дейінгі VII ғасырдан VIII ғасырға дейінгі уақыт
аралығында грек ғалымдары геометрия саласында, жекелеп айтқанда салу
есептері жөнінде аса көп материал жинап, оларды өңдеді. Бұл жерде бір
жағдайды атап ескерту қажет: салу жұмысын орындағанда тек сызғыш пен
циркуль пайдаланып, басқа аспаптар қолданылмағанда ғана мұндай салуды
ежелгі грек ғалымдары геометриялық салу деп есептеген. Ал егер салу жұмысын
орындағанда басқа аспаптар, мысалы сызбалық үшбұрыш, бөліктері бар сызғыш
қолданылса, онда мұндай шешуді геометрилық шешу деп есептемеген.
Ерте заманнан бізге келіп жеткен деректерге қарағанда, б.э. дейінгі
VI ғасырда өмір сүрген Пифагордың өзі дұрыс бесбұрышты және онбұрышты салу
тәсілдерін және кейбір күрделірек салу есептерін тапқан. Салу есептерін
шешу әдістерін жасау ісіне Платон (б.э. дейінгі V ғасыр) және оның
шәкірттері үлкен үлес қосқан. Платон заманынан бері салу есептерін
шешудің мынандай төрт кезеңі ажыратылып қарастырылатын болды: 1) анализ
(талдау); 2) салуды орындау, 3) дәлелдеу және 4) зерттеу .
Кесіндіні қақ бөлудің біздің оқулықтарда көрсетілген тәсілі Прокл (410-
485ж.) комментариінде баяндалған, оның пікірінше, бұл тәсілді атақты грек
математигі Аполлоний тапқан.
Евклидтің атақты Бастамаларында салу есептерін қарастыруға үлкен
орын берілген. Евклид қандай да бір фигураның бар болатындығын дәлелдей
отырып, ол фигураны тек сызғыш пен циркульді қолданып қалай салуға
болатындығын көрсетіп отырған. Оның 13 кітабында көптеген салу есептері
қарастырылған, олардың бірсыпырасы орта мектепте қазірде де қарастырылады.
Евклид Бастамаларының бірінші кітабында үшбұрыштарды салу тақырыбы
енгізілген. Оның төртінші кітабында басқа мәселелермен бірге, дұрыс
төртбұрышты, бесбұрышты, алтыбұрышты және онбесбұрышты салу мәселелері
қарастырылған. Әсіресе бұрышты тең үш бөлікке бөлу (бұрыш трисекциясы)
туралы есепке көп еңбек еткен. Алайда бұл есепті шешуге арналған барлық
еңбек зая кетті. Бұл есепті тек сызғыш пен циркульді қолданып шешуге
болмайтындығы қазіргі уақытта дәлелденді.
Геометриялық салу есептері – геометрияның міндетті тарауларының бірі
болып саналады.
Геометриялық салулар - ол әртүрлі геометриялық құралдар көмегімен
шешілетін кейбір геометриялық есептердің шешімі. Құралды таңдауға
байланысты осы құралдармен шешілетін есеп циклі анықталады. Циркуль және
сызғыш - адам қолданған алғашқы сызбалық құралдар. Циркуль және сызғыш
геометриялық салулар үшін негізгі құралдар жиынтығы болып табылады. Егер
ізделінетін нүкте координаттары берілген нүктелер координаттарына
қолданатын қосу, көбейту, бөлу және квадрат түбірден арылу амалдарының
шекті саны бар өрнектер түрінде жазылуы мүмкін болса, салу есебі циркуль
және сызғыш көмегімен шешіледі. Егер мұндай өрнектер болмаса, онда есеп
циркуль және сызғыш көмегімен шешілмейді.
Геометриялық фигураларды сызғыш және циркуль көмегімен салу
шеберлігі жоғары дәрежеде Ежелгі Грецияда дамыған. Сол кезде орындай
алатын, үш берілген шеңберді жанайтын шеңберді салу есебі салу есептерінің
ең қиын есептерінің бірі болып табылады. Бұл есеп Пергидағы (б.э.д. 280-
170ғ.) әйгілі грек геометрі Апполоний атымен Апполоний есебі деп
аталады.
Циркуль мен сызғышты пайдаланып салуға болмайтын есептерді шешуге
геометриялық алгебра жарамсыз болды. Көп ұзамай осындай есептердің көп
екендігі анықталды. Солардың ішінен математиканың ұзақ тарихи жолында
сарапқа салынып, математиканың дамуына үлкен ықпал жасаған үш есепке
тоқталайық.
а) Кубты екі еселеу есебі. Көлемі берілген кубтың көлемінен екі есе үлкен
куб салу керек. Бұл есеп ежелгі Грецияда кеңінен мәлім болғаны сонша, ол
туралы ел аузында мынадай аңыз тараған: Делос аралында оба ауруы бұрқ ете
қалады. Жұрт жиналып індетке құрбан шалады, соның ішінде куб пішіндес
алтынды да тасаттыққа береді. Бірақ та індет тоқталмайды. Бұл пәледен
құтылу жолын сұрағанда көріпкел – абыз тасаттықтың пішінін өзгертпестен
екі есе үлкейтіңдер деп бұйырыпты. Содан бері бұл есеп Делос есебі деп
аталып кетіпті.
Кубты екі еселеу есебінің шешуін (жалпы алғанда куб иррационалдықты)
циркуль мен сызғыш арқылы салуға болмайтынын тұңғыш рет 1837 жылы
математик Ванцель дәлелдеді.
ә) Бұрышты трисекциялау есебі. Берілген бұрышты тең үшке бөлу
мәселесі –грек геометрлерін көп толғатқан мәселе. Біздің заманымызға
дейінгі V ғ. Математигі Элидтік Гипий бұрышты үш бөлімге бөлу
(трисекциялау) есебін шешу үшін айрықша бір қисық сызық –квадратрисаны
–қолданады. Квадратриса –математика тарихында кездескен тұңғыш
трансцендетті қисық. Мұндай қисықтарды қарастыру да болашақ математикада
едәуір орын алды. Бұрышты тең үшке бөлудің басқа бір әдісін кейіннен
Архимед ұсынды.
Бұрышты трисекциялау мәселесінің де тарихы өте ұзақ. Біздің
заманымыздың IX-X ғасырларында Орта Азия математиктері ол есепті
немесе куб теңдеуіне келтіреді. Ал мұндай куб
теңдеулері циркуль мен сызғыш арқылы, яғни геометриялық алгебра әдістерімен
шешуге болмайтыны тек XIX ғасырда дәлелденді.
б) Дөңгелекті квадраттау есебі (Берілген дөңгелекке тең аудандас
квадрат салу). Бұл есепті шешуді грек математиктері екі тұрғыда
қарастырады. Біріншіден, олар мұны жуықтап шешуге көп әрекет жасаған.
Мұнда дөңгелекті іштей және сырттай сызылған көп бөрыштар арқылы
жуықтатып, шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасын көрсететін санының
жуық мәнін табу мақсаты көзделеді.
Екінші жағынан, математиктер дөңгелекті дәл квадраттауға тырысады.
Бұл саладағы ізденістер ешбір нәтиже бермеді;өйткені, егер дөңгелек
радиусын деп алсақ, есеп кесіндісін салуға тіреледі. Сөйтіп,
бұл кесіндіні салу санының табиғатына тікелей байланысты болады. Бұл
санның рационал бола алмайтыны XVIII ғасырдың аяғында ғана анықталды.
Анығын айтқанда, бұл санның ешбір бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің
түбірі бола алмайтынын, яғни транцендентті сан екенін 1882 жылы Линдеман
дәлелдеді. Бұл дәлелдемесінде ол мұндай сандарды циркуль мен сызғыш арқылы
салуға еш болмайтынын айтты. Сөйтіп, осы санның төңірегінде екі жарым мың
жылға жуық жасалған әрекеттер бос әуре болып шықты. Алайда бұл ізденістер
математика үшін босқа кеткен жоқ, ғалымдар оны шешу әрекеті үстінде
көптеген математикалық жаңа фактілер тағайындады, соны әдістер ашты.
Мәселен, қазіргі математикалық анализдегі шектер теориясының бастамасы
болып табылатынын сарқу әдісі деп аталатын әдіс те осы дөңгелекті
квадраттау есебіне байланысты табылған. Сарқу әдісінің бастамасы б.з.д.
V ғасырда өмір сүрген философсофист Антифоннан басталады. Ол: Дөңгелекке
іштей квадрат салып, оның қабырғасын екі еселеп, одан шыққан көпбұрыштың
қабырғасын тағы да екі еселеп, осы әрекетті біртіндеп жүргізе берсек,
дөңгелекке іштей сызылған дұрыс төртбөрыштар тізбегі табылады. Бұлардың
кейінгісі алдыңғысына қарағанда дөңгелекке жақын келеді де бір кезде онымен
дәлме – дәл болады деп пайымдаған. Бұл ұйғару бойынша дөңгелекті
көпбұрыштар арқылы сарқуға болады, яғни көпбұрыш пен дөңгелек теңбе –тең
болады. Антифон бұл ұйғаруын жоғарыдағы дөңгелекті квадраттау есебін шешуге
қолданбақшы да болған.
Грек философтары әрі математиктері Антифонның бұл пайымдауын сынап
ещбір көпбұрыштың дөңгелекке тең болмайтынын, бірақ дөңгелекті көпбұрыштар
арқылы кез келген дәлдікпен жуықтауға болатынын дәлелдеп берді. Осы сияқты
пайымдаулар мен қорытындылар негізінде дәл де қатаң әдіс –сарқу әдісі
шықты.
Сонымен циркуль және сызғыш көмегімен орындалатын салу есептері XIX
ғасырдың соңында дамыған және бүгінде математиканың ең қызықты бөлімі,
сонымен қатар жүз жыл бойы мектептегі геометрия курсының дәстүрлі
материалы болып есептеледі.
1.2. Конструктивтік геометрияның ортақ аксиомалары
Геометриялық салуларды зерттейтін геометрияның тарауын
конструктивтік геометрия деп атайды. Конструктивтік геометрияның негізгі
ұғымы – фигураны салу болып табылады. Бұл ұғым анықтамасыз қабылданады.
Оның нақты мағынасы практикадан белгілі, мұнда жүргізу (түзуді),
белгілеу (нүктені) және т.б. Осы ұғымды сипаттайтын негізгі талаптарды
(постулаттар) дұрыс баяндалып және анық тұжырымдалуы қажет. Бұл талаптар,
әдетте, мектеп курсындағы элементар геометрия шарттарында тұжырымдалмайды,
бірақ кез келген салу есептерін шешу процесінде өз-өзінен түсінікті мәселе
ретінде жобаланып түсініледі. Конструктивтік геометрияның негізгі талабы
сызба практикасының ең маңызды кезеңдерін абстрактілі түрде өрнектейді.
Олар аксиомалар болып табылады, дәлелдеусіз қабылдап, келешекте
конструктивтік геометрияның логикалық негізі болып қызмет атқарады. Осы
геометриялық салулар теориясының негізгі аксиомаларын қарастырамыз.
Егер қандай да бір фигура берілді десе, онда бұл кезде ол
бейнеленген, сызылған, яғни салынған екені жобалап түсініледі. Сонымен,
конструктивтік геометрияның бірінші негізгі талабы мынада:
1.Бір берілген фигура салынған.
Айталық, және жарты шеңбері салынған (1-сурет). Әрине, бұдан
кейін толық шеңбер салынды деп есептеу керек.
1-сурет
Дәл осылай, егер кейбір түзудің сәулесі салынса, одан кейін сол
түзудің сәулесі салынса, онда осы сәулелерді қосатын түзуі
салынды деп есептелінеді.
2-сурет
2. Егер екі ( немесе одан да көп) фигуралар салынған болса, онда бұл
фигуралардың қосылуы да салынады.
Айталық, бір түзудің екі кесіндісі салынған. Кесіндіні толығымен екінші
кесіндіде жатады ма (3-сурет) немесе жатпайды ма (4-сурет) деген сұраққа
жауап беруге мүмкіндік береді.
3-сурет
4-сурет
Егер шеңбер және нүкте салынған болса, онда сызбаны тікелей қарастыру
арқылы нүкте шеңберге тиісті ме, әлде тиісті емес пе деген сұраққа жауап
беруге болады. Жалпы, егер екі фигура салынған болса, онда біреуі
екіншісінің бір бөлігі болып табылады ма, әлде табылмайды ма екені
белгілі. фигурасы фигурасының бір бөлігі болып табылады, сонда
тек сонда, егер айырмасы бос жиын болса, онда үшінші талапты
(постулатты) келесі түрде беруге болады.
3. Егер екі фигура салынған болса, онда олардың айырмасы бос жиын
болатынын не болмайтынын анықтауға болады.–түзудің төрт нүктесі
болсын (сурет 5).
5-сурет
Айталық, және кесінділері салынды. Онда бізде және
кесінділерінің айырмасы болып табылады. кесіндісі салынды деп
есептейміз, сол сияқты кесіндісі және кесінділерінің
айырмасы болып табылады.
4. Егер екі салынған фигуралардың айырмасы бос жиын болып табылмаса, онда
бұл айырма салынған.
Екі түзу сызып, біз олардың қиылысатынын не қиылыспайтынын айта аламыз.
Сол сияқты, егер екі шеңбер салынған болса, онда сызбадан олардың ортақ
нүктелерінің бар жоқтығын айта аламыз. Бұл кез келген екі фигураға
қатысты. Сонымен:
5. Егер екі фигура салынған болса, онда олардың қиылысуы бос жиын
болатынын не болмайтынын анықтауға болады.
Егер шеңбер және нүкте салынған болса, онда нүкте шеңберге тиісті немесе
тиісті емес екені белгілі болу керек. Егер екі шеңбер салынған болса, онда
олардың ортақ нүктелері бар немесе жоқ екенін айтуға болады. Қайтадан сурет
5-ті қарастырайық. және кесінділері салынғаны белгілі
болсын. Бұл жағдайда екі кесінділердің қиылысуы болып табылатын
кесіндісі де салынған деп есептейміз. Егер екі қиылысатын шеңберлер
сызылған болса, онда біз олардың екі қиылысу нүктесі салынған деп
есептейміз. Мұндай текті келісімділіктер келесі түрде беріледі:
6. Егер екі салынған фигуралардың қиылысуы бос болмаса, онда ол салынған.
Келесі негізгі екі талапта жеке нүктелерді салу мүмкіндіктері жайында
айтылған.
7. Салынған фигураға тиісті екенін біле тұра нүкте салуға болады.
8. Салынған фигураға тиісті емес екенін біле тұра нүкте салуға болады.
7- аксиома салынған фигураға тиісті нүктені салу мүмкіндігін анықтайды. 8-
аксиома кейбір жаңа нүктелерді салуға мүмкіндік береді, бірақ бұл
нүктелерге ешқандай жаңа қасиеттер жазылмайды. 1-8 дейінгі талаптар-
конструктивті геометрияның жалпы аксиомалары.
1.3 Құралдар аксиомасы
Геометриялық салуларда көп қолданылатын құралдар сызғыш (біржақты),
циркуль, екі жақты сызғыш болып табылады. Геометриялық салулар құралын тек
сызғыш және циркульмен шектеу ежелден шыққан. Евклидтің (б.э.д. III-ғасыр)
әйгілі геометриясы циркуль және сызғышпен орындалатын геометриялық
салуларға негізделген; сонымен бірге циркуль және сызғыш тең құқықты
құралдар ретінде қарастырылады. Сызғышқа қарағанда, циркуль жетілген, тура
құрал болып табылады, кейбір салуларды сызғыштың көмегінсіз, тек циркуль
мен орындауға болатыны ертеден ескерілген, мысалы, шеңберді тең алты
бөлікке бөлу; берілген түзуге қатысты берілген нүктеге симметриялы нүкте
салу және т.б. аксиомаларды тұжырымдауға көшейік.
А. Сызғыш аксиомасы.
Сызғыш келесі геометриялық салуларды орындауға мүмкіндік береді:
а) берілген екі нүктені қосатын кесінді алу;
ә) берілген екі нүкте арқылы өтетін түзу салу;
б) берілген нүктеден шығатын, берілген екінші нүкте арқылы өтетін сәуле
салу.
Ә) Циркуль аксиомасы.
Циркуль келесі геометриялық салуларды орындауға мүмкіндік береді:
а) егер центрі және шеңбер радиусына тең кесінді салынған болса, шеңбер
салу;
ә) егер щеңбер центрі және доға ұштары салынған болса, онда доға салу.
Б. Екі жақты сызғыш аксиомасы.
Екі жақты сызғыш келесі салуларды орындауға мүмкіндік береді:
а) А аксиомада айтылған кез келген салуды орындайды;
ә) салынған түзумен анықталған әр жарты жазықтықта осы түзуге параллель
және одан h қашықтықта өтетін түзу салу, мұндағы h берілген сызғыш үшін
белгіленген кесінді (сызғыш ені);
б) егер және нүктелері салынған болса, онда белгіленген
кесіндіден үлкен екенін анықтау керек, егер болса онда
сәйкесінше және нүктелері арқылы өтетін және бір-бірінен
қашықтықта орналасқан екі параллель түзу салу; б) пунктінің нақты
мазмұны 6- суретпен түсіндіріледі.
6-сурет
В. Тік бұрыш аксиомасы.
Тік бұрыш келесі геометриялық салуларды орындауға мүмкіндік береді;
а) сызғыш аксиомасында аталған салуларды орындауға;
ә) жазықтықтағы түзуге берілген нүкте арқылы перпендикуляр түзу
жүргізуге;
б) егер кесіндісі мен фигурасы салынған болса, онда бұл
кесінді тік бұрыштан көрінетіндей фигураға тиісті нүкте бар не жоқтығын
анықтауға және егер мұндай нүкте бар болса, онда ол нүктені салу
мүмкіндіктерін береді.
7-сурет В аксиомасының б) пунктісін түсіндіреді.
7-сурет
Геометриялық салулар әр уақытта алдын ала көрсетілген құралдармен
жүргізіледі және де әр құрал аксиомалар жиынтығы жүйесімен сипатталады.
Салулар үшін таңдап алынған құралдар аксиомаларында айтылған салулармен
бірге, конструктивтік геометрия 7-8 аксиомаларының мүмкіндіктерін негізгі
салулар деп атаймыз. Көптеген жағдайда, циркуль және сызғыш келесі негізгі
салуларды орындауға мүмкіндік береді:
1. Белгілі екі нүктені қосатын кесінді салу (A,а)
2. Белгілі екі нүкте арқылы өтетін түзу сызық салу (А,ә).
3.Берілген нүктеден шығатын, екінші берілген нүкте арқылы өтетін сәуле салу
(А,б).
4. Егер центрі және шеңбер радиусына тең кесінді салынған болса, шеңбер
салу (Ә,а).
5. Егер шеңбер центрі және доға ұштары салынған болса, онда доға салу
(Ә,ә).
6.Екі салынған фигуралардың ортақ нүктелерінің шекті санын салу, егер
мұндай нүктелер бар болса (6-8 аксиома).
7. Қандай да бір белгілі фигураға тиісті нүктені салу (7- аксиома).
8. Қандай да бір белгілі фигураға тиісті емес нүктені салу (8- аксиома).
1.4 Элементар салулар
Егер қандайда да бір фигура беріліп, ізделінді фигура мен берілген
фигура арасындағы кейбір арақатынастар көрсетілсе, салу есебінің мәні
алдын ала көрсетілген құралдармен фигураны салуды талап етеді. Есеп шартын
қанағаттандыратын әр фигура осы есептің шешуі деп аталады. Салу есебінің
шешімін табу - оның негізгі салуларының шекті санына әкелу, яғни негізгі
салулар тізбегінің соңғысын көрсету, қолданылған конструктивтік геометрия
аксиомаларына байланысты, ізделінді фигура салынған болып есептелінеді.
Қарастырылатын негізгі салулар тізімі, есепті шешу барысы да, салу үшін
қандай құралдарды қолданылуына байланысты. Есептер қарастырайық:
және ұштары берілген кесіндінің ортасын салу. Бұл есептің шешуін әр
түрлі құралдар көмегімен табамыз.
I Циркуль және сызғыш.
Тізбектей саламыз:
1. түзуін ( 2 негізгі салу);
2. шеңберін (4 негізгі салу);
3. шеңберін;
4. және шеңберлерінің және ортақ нүктелерін ( 6
негізгі салу);
5. түзуін (2 негізгі салу);
6. және түзулерінің ортақ нүктесін;
, яғни ізделінді нүкте екеніне оңай көз жеткізуге болады.
II. Циркуль.
Тізбектей саламыз:
1. шеңберін (аксиома Б,а);
2. шеңберін;
3. және шеңберлерінің ортақ нүктесін (6,7 аксиома);
4.; шеңберін;
5. және шеңберлерінің, нүктесінен басқа, ортақ
нүктесін;
6. шеңберін;
7. және шеңберлерінің нүктесінен басқа, ортақ
нүктесін; және бір түзде орналасқанын ескерсек және де .
Әрі қарай саламыз.;
8. шеңберін;
9. және шеңберлерінің және ортақ нүктелерін;
10. шеңберін;
11. шеңберін;
12. және шеңберлерінің, нүктесінен басқа, ортақ
нүктесін;
нүктесі кесіндісінде орналасқанын көруге болады. Сонымен бірге,
үшбұрышы үшбұрышына ұқсас, өйткені олар тең бүйірлі және
табанында ортақ бұрышы бар. Сондықтан,, немесе , демек
, яғни ізделінді нүкте.
III. Екі жақты сызғыш.
Тізбектей саламыз:
1. түзуін ( аксиома В,а);
2.-ға параллель және одан қашықтықта өтетін түзуін
(-сызғыш ені);
3.-ға параллель және одан қашықтықта өтетін, түзуінен
басқа, түзуін;
4. түзуінде нүктесін ( 7 аксиома);
5. және түзулерін;
6. және нүктелерін ( 6, 7 аксиома);
( жазуы, және түзулерінің қиылысу нүктесі екенін
білдіреді)
7. және түзулерін;
8.;
9. түзуін;
10.;
– үшбұрышының орта сызығы болғандықтан, және - оның
медианалары, ал бұдан, - медиана, демек - ізделінді нүкте.
IV. Тік бұрыш.
Тізбектей саламыз:
1. түзуін саламыз ( аксиома Г,а);
2. түзуіне перпендикуляр және түзулерін жүргіземіз
(аксиома Г,ә);
3. түзуінде, нүктесінен басқа өз еркімізше нүктесін аламыз
(4,7аксиома);
4.нүктесі арқылы түзуіне түзуінде перпендикулярын
жүргіземіз. Әрі қарай тізбектей саламыз:
5.( 7 аксиома);
6. және түзулерін;
7. нүктесін;
8. түзуіне перпендикуляр түзуін;
9. нүктесін; – ізделінді нүкте.
Қандай да бір салу есебінің бірнеше шешімі болуы мүмкін, яғни есептің
барлық шартын қанағатандыратын әр түрлі фигуралар бар. Салу есебін шешу -
есептің барлық шешімін табуды білдіреді. Бұл анықтама кейбір
түсініктемелерді талап етеді. Есеп шартын қанағаттандыратын фигуралар
пішінімен және өлшемдерімен ерекшеленсе, сол сияқты жазықтықтағы орнымен
ерекшеленеді. Мысалы, қарапайым есепті қарастырайық: екі қабырғасы және
олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу. Бұл есептің дәл мағынасы
келесіде: екі қабырғасы, сәйкесінше, берілген екі кесіндіге, ал олардың
арасындағы бұрыш берілген бұрышқа тең болатындай үшбұрыш салу, мұнда
ізделінді фигура (үшбұрыш) берілген фигуралармен ( екі кесінді және бұрыш)
тек теңдік арақатынасымен байланысты, ізделінді фигураның орналасуы басқа
фигурамен салыстырғанда талғаусыз. Бұл жағдайда есеп шартын
қанағаттандыратын үшбұрышын салу оңай. үшбұрышына тең барлық
үшбұрыштар есеп шарттарын қанағаттандырады. Бірақ бұл үшбұрыштарды берілген
есептің әр түрлі шешімдері ретінде қарастырудың мағынасы жоқ, өйткені олар
бір-бірімен тек жазықтықта орналасуымен ерекшеленеді. Сондықтан есептің бір
ғана шешімі бар деп есептейміз. Күрделі есептердің шешіміне жиі құрама
бөліктері ретінде кіретін көптеген қарапайым геометриялық салу есептері
бар. Мұндай текті есептер, әдетте, мектеп курсындағы геометрияның бірінші
тарауларында қарастырылады. Элементар есептер қатарына кесілер жатады:
1.Берілген кесіндіні қақ бөлу.
2.Берілген бұрышты қақ бөлу.
3.Берілген түзуде берілген кесіндіге тең кесінді салу.
4.Берілген бұрышқа тең бұрыш салу.
5.Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген түзуге параллель түзу салу.
6.Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген түзуге перпендикуляр түзу
салу.
7.Берілген қатынаста кесіндіні қақ бөлу.
8.Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
9.Бір қабырғасы және іргелес жатқан екі бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
10.Екі қабырғасы және олар арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу
керек.
11.Гипотенуза және катеті бойынша тік бұрышты үшбұрыш салу. Бұл
элементар есептердің толық шешімдерін біз циркуль және сызғыш
көмегімен құрамыз. Бірінші есепті жоғарыда қарастырдық. Қалған
есептерді қарастырайық:
2. Берілген бұрыштың биссектрисасын салу.
бұрышын саламыз.
Тізбектей саламыз:
1) шеңберін (аксиома Б,а);
2) және ортақ нүктелерін (6 негізгі салу);
3) шеңберін;
4) шеңберін;
5) және шеңберлерінің ортақ нүктесін;
6) түзуін (2 негізгі салу);
сәулесі – берілген бұрыш биссектрисасы.
Дәлелдейік:
және үшбұрыштарын қарастырайық:
, өйткені
1)- ортақ қабырға;
2) – шеңбер радиустары;
3) (салу бойынша).
Бұдан, үш қабырғасы бойынша. Яғни, – берілген бұрыш
биссектрисасы.
3.Берілген сәуле басынан, берілген кесіндіге тең, кесінді салу.
кесіндісі, сәулесі берілген.
Тізбектей саламыз:
1) сәулесін ( 1 негізгі салу);
2)шеңберін (аксиома Б,а);
3) нүктесін, мұнда – сәулесі мен w шеңберінің қиылысу
нүктесі (6 негізгі салу); – ізделінді кесінді.
4. Берілген бұрышқа тең, берілген сәуледе бұрыш салу.
Бұрыш және сәулесі берілген.
Тізбектей саламыз:
1) шеңберін ( аксиома Б,а);
2) шеңберінің бұрышымен ортақ және нүктелерін
(1-сурет) (6 негізгі салу);
3)шеңберін ( 2-сурет);
4) және шеңберінің ортақ нүктесін;
5) шеңберін;
6) және шеңберлерінің ортақ нүктесін ;
7) түзуін ( 2 негізгі салу).
бұрышы – ізделінді. Дәлелдеу үшін және үшбұрыштары сәйкес
қабырғалары тең екенін ескеру жеткілікті. және бұрыштар осы
үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары.
5. Берілген нүктесі арқылы өтетін, берілген түзуіне
перпендикуляр түзу жүргізу.
түзуі және осы түзуге тиісті нүктесі берілген.
Тізбектей саламыз:
1) және тең кесінділер ( 2 негізгі салу);
2) шеңберін ( аксиома Б,а);
3) шеңберін;
4) және шеңберлерінің ортақ және нүктелерін;
5) немесе түзулерін жүргіземіз ( 2 негізгі салу);
– ізделінді түзу, өйткені тең бүйірлі үшбұрыштың
медианасы, биіктігі болып табылады, онда .
6. нүктесі арқылы өтетін, берілген түзуге параллель түзу жүргізу.
Тізбектей саламыз:
1)түзуін ( 1 негізгі салу);
2) шеңберін ( аксиома Б,а);
3) нүктесін, мұнда - шеңбері мен а түзуінің қылысу
нүктесі;
4) шеңберін;
5) нүктесін, мұнда – шеңберінің қиылысу нүктесі;
6) шеңберін;
7) нүктесін, мұнда - және шеберлерінің қиылысу
нүктесі;
8) түзуін (2 негізгі салу);
.
7. Берілген кесіндісін тең бөлікке бөлу.
нүктесінен түзуінде жатпайтын жарты түзуін жүргіземіз.
жарты түзуінде тең кесінділер саламыз. және нүктелері
арқылы түзуін жүргіземіз. нүктелері арқылы өтетін,
түзуіне параллель түзулер түзуін тең n бөлікке нүктелерінде
қияды.
8.Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
кесінділері берілген. үшбұрышын салу керек, мұнда ,
, . түзуін жүргізіп, циркуль көмегімен,
кесіндісіне тең, кесіндісін саламыз. Одан әрі тізбектей саламыз:
1) шеңберін (аксиома Б,а);
2) шеңберін;
3) және шеңберлерінің ортақ нүктесі ( 6
негізгі салу);
4) және кесіндісі (2 негізгі салу); –
ізделінді.
Салу бойынша , , , яғни үшбұрышының қабырғалары
берілген кесінділерге тең. Бұл есептің әрқашан шешімі болмайды. Шынында да,
қандай үшбұрыштың болмасын екі қабырғасының қосындысы үшінші қабырғадан
үлкен, сондықтан егер қандайда кесінділердің бірі басқа екеуінің
қосындысынан үлкен немесе тең болса, онда қабырғалары берілген кесінділерге
тең үшбұрыш салуға болмайды.
9. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу.
, , кесінділері және берілген. , ,
. үшбұрышын салу керек.
Тізбектей саламыз:
1) түзуі (1 негізгі салу);
2)түзуіне тиісті кесінді ( 2 негізгі салу);
3) (3 мысал);
4) кесіндісін жүргіземіз (2 негізгі салу);
5) кесіндісін жүргіземіз (2 негізгі салу);
Үшбұрыш – ізделінді.
10.Қабырғасы және оған ергелес бұрыштары бойынша үшбұрыш салу.
кесіндісі және мен бұрыштары берілген. , ,
болатын үшбұрышын табу керек.
Тізбектей саламыз:
1)түзуі;
2) кесінді;
3) бұрыш;
4) бұрыш;
5) ортақ нүктесін;
үшбұрышы ізделінді.
Салу бойынша ,
I I тарау. Салу есептерін шешудің негізгі әдістері
2.1. Салу есептерін шешудің геометриялық орындар әдісі және
нүктелердің геометриялық орнын табу
Нүктелердің геометриялық орны дегеніміз белгілі бір қасиеттерге ие
жазықтықтың барлық нүктелерінен құралатын фигура.
Нүктелердің геометриялық орнын іздеп табуға берілген есептерді
шығарғанда мына төмендегілерді есте ұстау қажет:
1) Негізгі геометриялық фигуралардың кейбір қасиеттері белгілі болуы
керек.
2) Бір ғана фигураның өзі, әрқайсысын жеке алғанда осы фигураны нүктелердің
геометриялық орны ретінде толық анықтай алатын көптеген характеристикалық
қасиеттерге ие бола алады. Мысалы, шеңберді берілген нүктеден (жазықтық
нүктесінен) берілген қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны
(жазықтығы) ретінде және берілген түзу тік бұрышпен көрінетін нүктелердің
геометриялық орны ретінде (кесіндінің ұштарын қоспағанда), және де берілген
екі нүктелердің геометриялық орны ретінде т.б. анықтауға болады.
Фигураның характеристикалық қасиеті неғұрлым көп белгілі болса, есепті
шығарғанда ол фигураны танып білу мүмкіншілігі соғұрлым көп болады.
3)Нүктелердің геометриялық орнын табуға берілген есептерді шешу әдетте
талдаудан, дәлелдеуден, зертттеуден және салудан құралады. Талдау жасағанда
фигураны табылды деп ұйғарып, осы фигураға тән бір немесе бірнеше
нүктелерді қарастырады. Бұл нүктелердің нүктелердің геометриялық орны
анықтамасынан шығатын берілген элементтермен байланысын анықтайды.
1-сурет
Талдау жасаудың негізгі мәні, белгілі бір фигура үшін берілген
характеристикалық элементтерімен салыстырғанда іздеп отырған фигурамыздың
қасиетін (байланыстылығын) анықтау болып табылады. Мысалы, бір түзудің
бойында орналасқан және бірін-бірі басып өтпейтін және
кесінділерінің бірдей бұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық орны
табу үшін (1-сурет), іздеп отырған фигурамызға тән нүктелері
Апполлоний шеңберінің характеристикалық қасиетіне (болғанда) немесе
түзудің характеристикалық қасиетіне ( болғанда) ие болатындықтарын
анықтаймыз.
Талдау қорытындысында (көпшілік жағдайда) біз мәселенің алдын ала
болжанған шешіміне келеміз. Табылған шешімді негіздеу, яғни дәлелдеу керек.
Дәлелдеу өзара қарсы мынадай екі сөйлемнің дұрыс екендігін айқындауға келіп
тіреледі.
а)нүктелердің геометриялық орны характеристикалық қасиетіне ие болатын кез
келген нүктесі талдауда табылған фигураға тән;
b)егер нүкте табылған фигураға тән болса, онда ол іздеп отырған нүктелердің
геометриялық орны характеристикалық қасиетіне ие болады.
Анықтама бойынша, мәселен нүктелердің геометриялық орнын іздегенде
жазықтықтың характеристикалық қасиетіне ие болатын барлық нүктелерінің
жиынын табу қажет болады. Егер характеристикалық қасиетіне ие болатын
барлық нүктелердің табылған фигурадан тыс жазықтықта жатпайтындығына
көзімізді жеткізсек, онда табылған фигураны іздеген нүктелердің
геометриялық орны деп санай аламыз. Сондай-ақ, жоғарыда келтірілген екі
сөйлемнің әрқайсысын дәлелдеуді оларға эквивалентті мынадай сөйлемдерді
дәлелдеумен алмастыруға болатындығын байқаймыз:
а) егер нүктесі табылған фигурада жатпайтын болса, онда ол нүкте
іздеп отырған нүктелердің геометриялық орны характеристикалық қасиетіне ие
болмайды;
b)егер нүктесі іздеп отырған нүктелердің геометриялық орны
характеристикалық қасиетіне ие болмаса, онда ол нүкте табылған фигурада
жатпайды.
Зерттеу – есептің берілген элементтері мен олардың арасындағы
қатыстарға байланысты барлық шешу жолдарын қарастыруға болады.
Нүктелердің геометриялық орны синтетикалық геометрия әдісімен табу қиынға
түскен жағдайда аналитикалық геометрия әдісімен пайдаланған жөн.
Нүктелердің геометриялық орны жете түсіндіруде маңызы зор салу
есептерін қарастырамыз.
1. Берілген кесіндісі тік бұрышпен көрінетін нүктелердің
геометриялық орнын табу керек.
Шешуі. 1-тәсіл. кесіндісі нүктесінен тік бұрышпен көрінеді
делік (2-сурет).
бұрышын салайық, сонда бұрышын салайық, сонда .
және - тең бүйірлі үшбұрыштар, олай болса, , яғни .
Сонымен, нүктесі берілген кесіндінің ортасынан тұрақты шама -
ге тең қашықтықта жатады, олай болса, нүктесі центрі және
радиусы болатын шеңбердің бойында жатады. Кері сөйлемде де дұрыс
болды. Нүкте табылған шеңберде жатады делік, олай болса, шеңберге іштей
сызылған және диаметрге тірелген бұрыш болғандықтан, болады. Бұдан
мынадай қорытынды жасаймыз: шеңбердің және нүктелерінен басқа
кез келген нүктесінен қарағанда кесіндісі тік бұрышпен
көрінеді. Сонымен, берілген кесіндісі тік бұрышпен көрінетін
нүктелердің геометриялық орны - және нүктелерін
есептемегендегі, диаметрі болатын шеңбер.
2 – тәсіл. Егер және болып, нүктесі щеңбердің
жайында жатса, онда болады. Егер шеңбердің ішінде немесе
шеңберден тыс жатса, онда болады (төбесі дөңгелектің ішінде және
дөңгелектен тыс жатқан бұрыштардың қасиеті бойынша). Осы себептен іздеп
отырған нүктелердің геометриялық орны жоғарыда табылған нүктелердің
геометриялық орны бірдей болып келеді.
2-сурет
3-сурет
3 – тәсіл. кесіндісі нүктесінен тік бұрышпен көрінеді
делік (3-сурет).
нүктесін кесіндісінің ортасымен қосып,
түзуінің бойына кесіндісін салайық. және
кесінділерін жүргізейік.
төртбұрышы – тік төртбұрыш, олай болса, бұдан екендігі
шығады. Сонымен, нүктесі центрі нүктесі және радиусы
болып келген шеңбердің нүктесі болады. Кері сөйлемнің дұрыстығын дәлелдеу
есепті шешудің бірінші тәсілін қарастырғанда берілген.
4 – тәсіл (аналитикалық). кесіндісі нүктесінен тік
бұрышпен көрінеді делік (3-сурет). Айталық болсын. осі ретінде
түзуін, ал координаталар басы ретінде түзуінің ортасын алып,
тік бұрышты координаталар системасын енгізейік, нүктесінің
координаталарын және арқылы белгілейік. Олай болса, және
нүктелерінің координаталары сәйкес және болады. -ге
перпендикуляр кесіндісін жүргізейік. Тік бұрыштың төбесінен
гипотенузаға түсірілген перпендикулярдың қасиеті бойынша немесе
, бұдан
.
(1)
Бұл теңдеу шеңберінің теңдеуі.
Координаталары (1) теңдеуді қанағаттандыратын әрбір және
нүктесі көрсетілген қасиетке ие болады, яғни болады, бұл
келтірілгенге кері талқылаумен дәлелденеді.
Нүктелердің геометриялық орны әдісі
Есепті геометриялық орындар әдісімен шешкенде, берілген есепті
әрқайсысы қиылысу нүктесі бола алатын нүктелердің геометриялық орны
қасиетіне ие болатын бір немесе бірнеше нүктелерді табу есебіне келтіріп
алады. Сонан соң, іздеп отырған нүктені салу үшін алдымен бірінші шартты
қанағаттандыратын геометриялық орында, одан кейін, бірінші шартты ескермей,
басқа шартты қанағаттандыратын басқа геометриялық орынды салу керек.
Салынған нүктелердің геометриялық орны қилысу нүктелері тек сол
нүктелер ғана іздеп отырған нүктелеріміз бола алады. Есепті біріне-бірі
тәуелсіз, әрқайсысын жеке-жеке алғанда салу белгілі нүктелердің
геометриялық орны анықтайтын екі есепке жіктеуге болатын жағдайда
геометриялық орындар әдісі қолданылатыны түсінікті.
Нүктелердің геометриялық орны әдісімен шығарылатын есептерді
қарастырайық.
1. шеңбері мен түзуі берілген. Шеңберден тыс орналасып,
берілген түзу мен шеңберден қашықтықта орналасқан нүкте салу керек.
1а-сурет
Шешуі. Анализ. Іздеп отырған нүктесі екі шартты қанағаттандыруы тиіс:
1)берілген түзуінен қашықтықта болуы тиіс;
2)берілген шеңбердің центрінен қашықтықта болуы тиіс.
Бұдан мынадай салу шығады.
Салу. 1) Берілген түзуінен қашықтықта жататын нүктелердің
геометриялық орны – параллель қос түзу саламыз.
2) шеңберін саламыз.
3) Салынған нүктелердің геометриялық орны қилысу нүктелерін және
деп белгілейміз. мен - іздеп отырған нүктелеріміз.
Дәлелдеме. және нүктелері екі нүктелердің геометриялық орны
–ның қиылысу нүктелері есебінде екі шартты да қанағаттандырады. Олай болса,
бұл нүктелер іздеп отырған нүктелеріміз.
Зерттеу. 1 – 2 салулар барлық уақытта орындалады және бір мәнді болады.
Шешімдерінің болуы – берілген түзуі мен шеңберінің өз ара
орналасуына байланысты.
Есептің шешімдерінің саны туралы:
а)Берілген түзуі берілген шеңберін қиып өтпейді (1 а-сурет).
Бұл жағыдай да, егер центрінен түзуіне дейінгі қашықтығы
шартын қанағаттандыратын болса, онда есептің екі тек қана екі шешімі
болады. Шындығында, егер есептің екіден артық шешімі болады десек, онда
түзу шеңберді екі нүктеде ғана емес одан да көп нүктеде қиып өтеді, бұлай
болуы мүмкін емес.
Егер болса, онда есептің бір ғана шешімі болады.
Егер болса, онда есептің шешімі болмайды.
ә)Берілген түзуі берілген шеңберін жанап өтеді (1,б-сурет). Бұл
жағдай да -тың кез келген мәнінде есептің үш шешімі болады.
б) түзуі мен шеңбері қилысады (1, в-сурет). Бұл жағдайда есептің
барлық уақытта төрт шешімі болады.
1б-сурет
1в-сурет
Сонымен, қарастырылған мысалда нүктелердің геометриялық орны әдісін
қолдану төмендегі іскерліктерге ие болуды талап етеді:
а) берілген түзуден кез келген қашықтықта жататын нүктелердің
геометриялық орнын салуды;
ә) берілген шеңбердің центрінен қашықтықта болатын шеңберін
салуды;
б) нүктелердің геометриялық орнының қиылысу нүктелерін белгілей білуге;
2.Үшбұрыш салу керек. Оның, қабырғасы және сол қабырғаға түсірілген
медианасы және оны сырттай сызылған шеңбердің радиусы белгілі.
Шешуі. Анализ. Іздеп отырған үшбұрышымыз (2,а-сурет) салынған,
ал оның қабырғасы , медианасы және сырттай сызылған шеңбердің
радиусы делік. Іздеп отырған үшбұрышымыздың және екі
төбесі кесіндісінің ұштары есебінде анықталатынын байқаймыз. Олай
болса, есептің шешуі, төмендегі екі шартты қанағаттандыратын, үшбұрыштың
үшінші төбесін салуға келіп тіреледі.
1)Ол, үшбұрышын сырттай сызылған, радиусы шеңбердің бойында
жатуы тиіс.
2)Ол - кесіндісінің орасынан (нүктесінен) қашықтықта жатуы
тиіс.
Бұдан төменгі салу шығады.
Салу. 1) Қалауымызша алынған түзудің бойынан нүктесін алып,
кесіндісін саламыз.
2) Катеті және гипотенузасы тік бұрышты үшбұрышын
саламыз.
3) шеңберін – 1) шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық
орнын саламыз.
4) шеңберін – 2) шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық
орнын саламыз.
5) мен шеңберлерінің қиылысуы нүктесін белгілейік.
- іздеп отырған үшбұрышымыз.
Ескерту. 1), 2) салуларының орнына шеңберін салып, оның кез келген
нүктесінен шеңберінің доғасын жүргізуге болады.
Дәлелдеме. Салу бойынша . төбесі салынған екі нүктелердің
геометриялық орны –ның қиылысу нүктесі ретінде, екі геометриялық орындарға
- радиус мен медиана -ға тән қасиеттерге ие болады.
Зерттеу. Іздеп отырған үшбұрышты салу негізінде екі нүктелердің
геометриялық орны қиылысу нүктесін – бір нүктесін – салу болды. Міне,
сондықтан да, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz