Қарапайым логарифмдік теңдеулер

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 49 бет
Таңдаулыға:

Аннотация

Мектеп математика курсында жалпы логарифм тақырыбы жоғары сыныптарда алгебра және анализ бастамаларында оқытылады. Ең алдымен логарифмнің анықтамасы, қасиеттері, графигі түсіндіріледі, содан кейін логарифмнің функциясына тоқталады. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді оқушыларға түсіндіруде олардан өздерінің алгебрадан алған білімдері талап етіледі. Яғни, логарифмдік теңісіздіктерді шығарғанда интервалдар әдісі, теңдеулер жүйесіне келтіу шарттары пайдаланылады.

Дипломдық жұмыстың құрылымы: Кіріспе, 1 тарау, 2 тарау, қорытынды және пайдаланған әдебиеттер тізімі.

МАЗМҰНЫ

Кіріспе

1 Логарифмдік функциялар . . . 5

1. 1 Тарихи мағлұматтар . . . 5

1. 2 Логарифмдер және олардың қасиеттері . . . 14

1. 3 Логарифмдік функциялар және олардың қасиеттері . . . 18

2 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу . . . 25

2. 1 Қарапайым логарифмдік теңдеулер . . . 25

2. 2 Күрделi логарифмдік теңдеулер . . . 31

2. 3 Түрлі логарифмдік теңдеулер . . . 39

2. 4 Логарифмдік теңсіздіктер . . . 48

Қорытынды . . . 59

Пайдаланған әдебиеттер . . . 60

Кіріспе

«Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстан» құру біздің жеке адамдардың, қоғамның және еңбек рыногының талаптарын қанағаттандыра алатын бәсекеге қабілетті білім беру жүйесін қалыптастыруды талап етіп отыр. Осы орайда «Білім туралы» жаңа заңда дәл осы бәсекеге қабілетті отандық білім беру жүйесін қалыптастыру туралы айтылған.

Қазіргі жалпы нарықтық экономикалық ғылым математиканы кеңінен қолданумен сипатталып, математикалылық әдістер барлық экономикалық ілімдердің, оның ішінде экономикалық теорияның ең негізгі бөлімі болып есептеліне бастады. Жан - жақты терең жасалған экономикалық ғылымда және өндірістік тәжірибеде жаңа мүмкіндіктер ашты.

Математикалық экономикада және басқа ғылымдарда кеңінен қолданылуы осы ілімнің өзіне тән ерекшелігі болып табылады.

Егер оның осы ерекшелігі түбегейлі экономикалық талдаумен біріктіре отырып пайдаланылса, онда өндірістік жұмыстарды тиімді ұйымдастыруда және басқаруда яғни әр істе ұтымды табыс табу жолдарында математиканың маңызы зор.

Тақырыптың көкейкестілігі. Мектеп математика курсында логарифмдік теңдеу мен теңсіздіктердің қарапайым, дербес жағдайлары ғана қарастырылады. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді қандай жолмен шығарсақ та есептің дұрыс шешілуі олардың қасиеттерін дұрыс қолдана білуге байланысты. Жұмыста түрлі логарифмдік теңдеулерді олардың қасиеттерінен пайдаланып шығарудың, логарифмдік функциялардың графигін салудың, анықталу облысын табудың жолдары қарастырылған. Кейбір жағдайда теңдеулерді шығарудың жылдам шешу тәсілінде логарифмнің түріндегі формасы қолданылады.

Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тәсілдері әртүрлі болады. Әдетте есеп шешу әдісінің біреуі арнайы алынғаны есепте көрсетіледі, есептің мазмұны оны шешу тәсілінің негізі болады. Бірақ, осы жағдайда бұл тәсіл оқушының санасында есеппен байланысты, ал оның өзіндік мәні анықталмайды. Ал егер әртүрлі тәсілдерді бір ғана есепке қолданып көрсе онда олардың қайсысы тиімді екені анықталады. Әр әдістің ерекшелігі, артықшылығы және кемшіліктері есептің мазмұнына қарай айқындалады.

Дипломдық жұмыстың мақсаты: Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің негізгі тәсілдерін игеру барысында, есеп шығарудың теориялық, әдістемелік және практикалық негіздемелерін жасау.

Зерттеу пәні: Математиканы оқыту

Зерттеу нысаны. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері.

Дипломдық жұмыстың әдіснамалық негізі:

- зерттелетін тақырып бойынша математикалы ғылыми-әдістемелік, психологиялық-педагогикалық, философиялық әдебиеттерге талдау жүргізу;

- орта білім мен математикалық деңгейі туралы нормативтік құжаттарды талдау;

- математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және жалпылау.

Зерттеу жұмысының міндеті:

- мектеп курсында оқушыларға логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбын терең ұғындырудың қажеттілігін ашып көрсету;

- логарифмдік функцияның қасиеттері мен графигін саналы түрде оқушыларға түсіндіру.

Зерттеудің ғылыми жаңалығы:

Жұмыстың практикалық маңыздылығы:

1 Логарифмдік функциялар

1. 1 Тарихи мағлұматтар

Логарифмдердің пайда болуы XVI ғасыр бойында астрономия және басқа ғылыми-практикалық әрекеттер барысында жуық есептеулердің саны көбейіп, маңызы арта түседі. Өлшеу, бақылау құралдары жетілдірілген сайын астрономияға аса қажетті тригонометриялық кестелердің дәлдігі мен маңызы артады. Әлемнің жаңа жүйесінің жасау жолындағы планеталар қозғалысын зерттеу бұрын болып көрмеген есептеу жұмысына негізделді. Мысалы, Марс планетасының орбитасын анықтау үшін Кеплер көп жылдарын математикалық есептеуге жіберген. Мұндай қиындықтар практиканың басқа салаларында да орын алады. Мәселен, финанс және қамсыздандыру ісінде күрделі проценттер кестесін жасау т. б. Басты қиыншылық көп таңбалы сандарды, әсіресе тригонометриялық шамаларды көбейту және бөлу амалдарын орындауда болды.

Көбейтуді одан жеңілірек қосу мен азайтуға келтіру үшін кейде

sinxsiny= ,

cosxcosy=

ережелері бойынша синус және косинус кестелері пайдаланылды. ережесі бойынша екі санды көбейтуді жеңілдетеу үшін 1-ға дейінгі сандардың квадратының кестесі жасалынады. Алайда бұл әдістер есептеу проблемасын қанағаттанарлық түрде шеше алмады. Оны түбегейлі шешу логарифмдер кестесін жасауды талап етті. Логарифмдердің ашылуы XVI ғасырдың соңында анықталған прогрессиялар қасиеттеріне негізделді. Жоғарыда атап өткендей математик Штифель

және . . . 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … прогрессияларын салыстыра келіп, геометриялық прогрессиядағы көбейту, бөлу, дәрежелеу, түбір табу амалдарына арифметикалық прогрессиядағы қосу, азайту, көбейту және бөлу сәйкес келетінін көрсетті. Бұл логарифм идеясының түп қазығы еді, өйткені санның логарифмі сол санды табудағы негізді дәрежелеуге қажетті көрсеткіш болып табылады. Тек жалпы мүшесі болатын прогресс қасиеттерін кез келген нақты көрсеткіш жағдайына ауыстыру керек болды. Осыдан кез келген нақты мәнді қабылдайтын көрсеткіштік функциясы мен оған кері логарифмдік функциясының қасиеттерін білу туындайды. Бұл терең принциптік идея бірнеше он жылдан кейін барып, XVII ғасырдың басында дамытылып, қазіргі логарифмдердің пайда болуына себепші болды.

Мұндай идеяларды амалдарды оңайлатуға қолдану үшін дәреже көрсеткіштер тізбегіне дәреженің мәндер тізбегі сәйкес келетіндей кестелер жасау қажеттілігі туады. Кестенің ортақ негізін бірге жуық келетіндей етіп таңдап алу керек болды. XVII ғасырда мұндай кестелер құрастырыла бастайды. Мұндай кестелердің бір нұсқасын Стевин жасаған.

Бұл күрделі проценттер кестелері яғни проценттік ұтысының т. б. мәндеріне қарай сандары мәндерінің кестелері еді. Мұнда r-дің мәні аз болған сайын алынған мәндер арасындағы алшақтық кеми береді. осыған ұқсас кестені ең алғашқы логарифмдік кестелердің біріне негіз болған И. Бюрги құрастырған кесте еді.

И. Бюрги (1552-1612) Швейцарияда туып өсті. Ол сағат және астрономиялық аспап-құралдарды жөндеу шебері болған. Прагада біраз қызмет атқарып, И. Кеплердің астрономиялық бақылаулары мен қыруар есептеулеріне көмектескен. Есептеу жұмыстарды жеңілдету мақсатында ол сегіз жыл (1603-1611) бойы ерінбей еңбек етіп, түріндегі Стевин кестелері негізінде өзінің логарифмдік кестесін жасаған.

Кестенің адымы жетерліктей аз болуы үшін Бюрги мәнін алады. Бөлшек мәндерден барынша құтылу мақсатында ол қосымша көбейткішін енгізеді. Сонда шыққан гометриялық прогрессиялардың мәндеріне (k - 0, 1, 2, 3, …) Бюрги 0, 10, 20, 30, … арифметикалық прогрессиялар мәндерін сәйкес қояды. Сонда мәндердің екі тізбегі келіп шығады:

0 10, 20, 30, … .

Төменгі қатардағы сандар қызыл бояумен басылып, қызыл сандар, ал жоғарғы қатардағы сандар қара бояумен басылып, қара сандар деп аталған.

Сонымен Бюрги кестесіндегі қызыл сандар негізі болғандағы -ге бөлінген қара сандардың логарифмі болып табылады. Бюргидің кестесі қызыл сандарды табуға бағытталғандықтан, ол шын мәнінде антилогарифмдер кестесі болып шығады. Мұның, әрине, принциптік айырмашылығы жоқ. Қара сандарды есептеу тоғыз таңбаға дейін жүргізіледі. Ол 10 ⁹ -ға тең толық қара санға жеткізіледі. Осыған сәйкес қызыл сандар интерполяцияның көмегімен есептеледі, ол 230 270 022, яғни болады. Міне, осыдан-ақ Бюргидің қаншама орасан зор аралық есептеулерді жүргізуге мәжбүр болғаны байқалады.

Бюрги есептеу жұмысындағы кестелердің пайдасын көре тұра көпке дейін оларды жарияламайды. Тек 1620 жылы ғана барып Кеплердің талабы бойынша «Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар кестелері және әр түрлі есептеулерде оларды қалай пайдалану жөніндегі тыңғылықты (байсалды) нұсқаулар» кітабын бастырып шығарады. Бұл кестелердің түпнұсқасы Кеплер архивының басқа да материалдарымен бірге СССР-да Пулков обсерваториясында сақтаулы тұр.

Бюргидің кесте жасаудағы жайбарақаттығы қымбатқа түседі. 1614 жылы одан 6 жыл бұрын Англияда «Логарифмдердің ғажайып кестелеріне сипаттама» атты еңбек жарық көреді. Мұның авторы шотландиялық барон Джон Непер (1550-1617) математика тарихында логарифмдерді бірінші ашушы атағына ие болады .

Непердің логарифмі. Ондық логарифмдер Непер кестелері 0 ⁰ -ден 90 ⁰ -қа дейінгі бір минуттік адыммен есептелген 8 таңбалы тригонометриялық функциялар кестелері еді. Непердің принципиалды жаңалығы прогрессиялардың дискретті мәндерін салыстырудан бас тартып, үздіксіз екі шкаладан тұратын логарифмдік функционалдық тәуелділіктерді қарастыру болды. Оның идеясы мынадай еді:

А және А ₁ нүктелерінен бір кезде стрелкамен көрсетілген бір бағытта M және m нүктелері қозғалсын делік. Олар біртіндеп М ₀ , М ₁ , М ₂ , М ₃ , … және m ₀ , m ₁ , m ₂ , m ₃ нүктелерінен өтетін болсын. Екі нүктенің бастапқы жылдамдықтары бірдей (айталық, ) . m нүктесі , тұрақты, ал М нүктесі баяулатылған жылдамдықпен қозғалсын. М нүктесінің жылдамдығы В нүктесіне дейінгі қалған ара қашықтыққа пропорционал болсын (оңай болу үшін AB=1 деп аламыз) . деп белгілесек, қазіргі математика тілінде теңдеуіне эквивалент болады. Мұнан немесе . Сөйтіп, Непердің логарифмдік жүйесі негізі болатын жүйе болып шығады. Алайда Непер 1614 жылы логарифмдік функция идеясын әлі айқын да толық меңгере қоймаған еді. Оның мақсаты тек кестелер жасау болды. Сондықтан ол AB-ны 10 ⁷ уақыт моменті ішінде жүріп өтетіндей 10 ⁷ аралыққа бөледі. Сонда бірінші моменттегі жылдамдық x=1, сонан кейін біртіндеп: , . . . , т. с. с.

Осылай мәндердің екі тізбегі түзіледі:

Непер бөлшектерден құтылу үшін AB=1 орнына AB=10 ⁷ деп алады.

Кестедегі төменгі сандарды ол жоғарыдағы сандардың сәйкес логарифмдері деп атайды. Логарифм деген термин гректің екі сөзінен «логос» - қатынас, «аритмос» - сан, яғни «қатынастар саны» дегенді білдіреді. Бұл терминді ғылымға енгізген Непердің өзі. Осылай атау арқылы ол логарифмдердің сәйкес сандар қатынастарын өлшеуге арналған қосымша сандар болатынын айқын ажыратып береді. Непер логарифмдері үздіксіз сан шкаласы идеясына негізделгенмен, сайып келгенде, екі прогрессияның: арифметикалық және геометриялық прогрессияларды салыстыру кестелері болып шығады.

Непер жүйесі бойынша логарифмдеу ережелерінің қазіргіден өзгешелігі бар. Олар ауыр және шұбалаңқы, өйткені (қабылдау бойынша ) . Мысалы y=ab көбейтіндісінің логарифмдеу үшін оны түрінде жазып алады. Қатынастар теңдігінен «қатынастар сандарының» (логарифмдерінің) айырмаларының теңдігі туындайды:

Непер кестелері таза тригонометриялық есептеулерге арналғандықтан, берілген кез келген сандарға амалдар қолдануға қолайсыз болды. Мұндай және басқа ыңғайсыздықтардан құтылу үшін деп алып, логарифмдер кестелерін жасауды ұсынады. Бұл идеяны ол 1615 ж. осы мәселе төңірегінде зерттеулермен айналысып жүрген Лондон колледжінің профессоры Генри Бригспен (1561-1630) бірігіп жасауды жөн көрді. Бригс Шотландияға Неперді екі рет іздеп келіп, онымен достасады, қызметтес болады. Осының нәтижесінде,

… 0, 01 0, 1 1 10 100

… -2 -1 0 1 2

прогрессияларын салыстыруға негізделген жаңа, практикалық жағынан өте қолайлы ондық жүйе жасалады. Осыдан кейін Бригс өз бетімен ондық логарифмдер кестесін жасауды қолға алады. 1617 ж. 1-ден 10 ³ -ке дейінгі сандардың 8 таңбалы кестелерін жарыққа шығарады. Жеті жыл өткеннен соң, яғни 1624 ж. 1-200 000 және 90 000-100 000 сандарының 14-таңбалы логарифмдері келтірілген «Логарифмдік арифметиканы» жариялайды. Жаңа есептер құралын насихаттау мақсатында ол кестелерді есептеу әдістерін және логарифмдерді қолдануды түсіндіруге арналған бірнеше мақалалар шығарады.

Непер және Бригс еңбектері арқасында есептеу қиындықтарынан арылып, математикада бұл бағытта жаңа мүмкіндіктер ашылады. Бұл әдіс логарифмдік есептеу практикасында кең қолдау тауып, барлық елдерге тез таралады.

Логарифмдердің ашылуының практикалық пайдасымен қатар терең теориялық маңызы болды. Ол логарифмдік, көрсеткіштік функциялардың табиғатын, қасиеттерін түсінуге жол ашты. Кестелер жасау процесінде есептеу практикасында айнымалы шамалар талдауларының элементтері пайда болады[1] . Астрономияда кездесетін көп мәселелер сан жүзінде есептеуді талап етті.

Бұл есептеулердің біразы дәреже және дәреже көрсеткіш ұғымдарының дамуымен байланысты болды .

Арифметикалық амалдар тек бүтін сандар мен бөлшектерге ғана қолданылып келді. Ондық бөлшектердің өзін европалықтар 1585 жылдан бастап қолдана бастады. Оларды Европада тұңғыш енгізген - Бельгия инженері С. Стевин (1548-1620 ) .

Ол кезде тригонометриялық таблицалардың ролі тіпті орасан үлкен болды. Сондықтан XVI ғасырдың аяғында, XVII ғасырдың бас кезінде бірнеше таблицалар жасалды. Бұл таблицаларға ат салысқандар - Коперник, Кеплер және олардың шәкірттері мен қызметкерлері. Бұл таблицалар кімге керек? Біріншіден, олар астрономдарға, мұхиттар мен теңіздерде жүзушілерге, құрылыс қызметкерлеріне тағы басқаларға керек. Ондық бөлшектер көп уақытқа дейін Европада қолданылмаған себепті бұл таблицалардың қолайсыз жақтары да болды. Аса мұқияттылықты талап еткен мәселе кішкене доғалардың синустарын үлкен дәлдікпен есептеу болды.

Ол үшін ертедегі математиктерден мирас болып қалған әдіс - шеңберге іштей сызылған дұрыс көпбұрыштардың қабырғаларын біртіндеп екі еселеу әдісі - пайдаланылды. Мәселен, Виет табу үшін шеңберге іштей сызылған дұрыс көпбұрыштардың қабырғаларының санын -ге, ал сырттай сызылған көпбұрыштардың қабырғаларының санын -ге жеткізді. Осының барлығы - дің жуық мәнін үлкен дәлдікпен табуды талап етті.

Есептеуді жеңілдететін құралдар - ол кезде де, қазірде де таблицалар.

Практикалық есептеулерде көп кездесетін мәселелердің бірі - әр түрлі сандарды негіздері бірдей дәрежелер түрінде көрсете білу болды. Бұл проблема математикаға логарифм ұғымын енгізуге себепші болды. Европа жеріне логарифмдер XVII ғасырдың басында енді. Олардың теориялық негіздері тіпті ерте заманнан бастап қалыптаса бастады. Бұл теориялық негіздердің идеясы екі прогрессияны, атап айтқанда, геометриялық прогрессия мен арифметикалық прогрессияны салыстыруда және дәреже ұғымын жалпылауда болды. Мына ережесін Архимедтің және Диофанттың еңбектерінде кездестірген болатынбыз.

Логарифм операциясына дайындық жасағандар - Штифель және Стевин. Мұнда Штифель геометриялық прогрессияның мүшелеріне қолданылатын амалдармен, онымен салыстырылатын арифметикалық прогрессияның мүшелеріне қолданылатын амалдардың арасындағы байланысқа көңіл аударады. Атап айтқанда былай: геометриялық прогрессияның мүшелеріне қолданылатын көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбір табу амалдарына арифметикалық прогрессияда қосу, азайту, көбейту және бөлу амалдары сәйкес келеді.

Штифельдің келтірген таблицалары келесі екі прогрессия:

0, а, 2а, 3а, 4а, . . .

Үлкен сандар кездесетін есептеуді жеңілдету үшін, геометриялық прогрессия мүшелерінің арасындағы аралықты толтыру және мүмкін болғанша әрі қарай созу керек болды. Ол үшін геометриялық ортаны, ал арифметикалық прогрессияда арифметикалық ортаны қою керек болды. Мұндай операцияны іс жүзінде асыру үшін геометриялық прогрессияның тетелес екі мүшесінің көбейтіндісінен квадрат түбір табу керек те, ал арифметикалық прогрессияда қатар тұрған екі мүшенің қосындысын қақ бөлу керек. Мәселен, төмендегідей:

0, 1, 2, 3, 4, . . . ,

1, 2, 4, 8, 16, . . . ,

Штифель таблицасындағы екінші және үшінші мүшелердің арасындағы аралықты толтыру үшін, сандарын есептеп шығаруға тура келеді. Міне, осындай операцияны бірнеше рет қолданып, келесі мүшелердің арасындағы аралықты толтыруға болады. Толтырылатын аралықты кішірейтіп есептеуді азайтуға болады.

Штифельдің осы идеясын, яғни оның таблицасын, практикалық есептеуге пайдаланған адам швейцариялық сағатшы, жөнді білім алмағанмен дарынды математик болған Иобсту Бюрги (1552-1632) еді. Ол 1620 жылы Прагада басылып шыққан.

«Прогрессиялардың арифметикалық және геометриялық таблицалары» атты еңбегінде Штифельдің осы идеясын есептеу мәселелеріне қалай пайдалануға болатынын баяндаған.

Геометриялық прогрессияның мүшелері бір - біріне жуық болу үшін, Бюрги оның еселігін 2 емес 1 - ге жуық етіп, атап айтқанда, 1, 0001 етіп алды. Сонда геометриялық прогрессияның мүшелері баяу өседі және олардың қатар тұрған мүшелерінің бір - бірінен айырмашылығы да аса үлкен болмайды.

(1) прогрессиялардағы а - ның орнына 0, 0001 - ді алса, онда төмендегі екі прогрессия шығады:

0 ; 0, 0001 ; 0, 0002 ; 0, 0003, . . . (2)

1, 1, 0001 ; ( 1, 0001) , . . . (3)

Арифметикалық прогрессияның мәні 1-ге тең мүшесіне геометриялық прогрессияның қандай мүшесі сәйкес келсе, сол мүшенің мәні таблицалардың негізіне алынған. Мәселен, Штифель таблицаларының негізі 2-ге тең.

Кейінгі Бюрги таблицаларының (3) негізгі геометриялық прогрессияның 10001 - ші мүшесі, яғни саны болады, өйткені арифметикалық прогрессиядағы оған сәйкес келетін мүше

Бюрги мына санның жуық мәнін сегіз ондық таңбаға дейінгі дәлдікпен тапты. Ол мынау:

2, 71814593

Егер өрнегіндегі - ді шексіз өсе береді десек, онда бұл өрнектің шегі белгілі е саны болатыны математикалық анализден белгілі.

Европа жеріне жаңа ғана енген ондық бөлшектер алгоритмі XVII ғасырдың бастапқы жылдарына дейін бір ізге келе қоймайды. Сондықтанда таблицалар жасағанда кездесетін бөлшектермен әуре болмау үшін, Бюрги қосымша көбейткішті енгізіп, геометриялық прогрессияға сәйкес мынадай арифметикалық прогрессияны алды:

0; 10; 20; 30; . . . ; 500; . . .

Сөйтіп, төмендегі екі қатар сандар шығатын болды:

0; 10; 20; 30; . . . ;

Жоғарғы қатардағы сандар қызыл бояумен басылды да, оларды «қызыл сандар» деп атады, ал төменгі қатардағы сандар қара бояумен басылды да оларды «қара сандар» деп атады.

Сонымен, Бюрги таблицасындағы «қызыл сандар» 10 - ге бөлінген «қара сандардың» негізі -не тең логарифмдері болып табылатын болды. «Қара сандарды» есептеуді Бюрги тоғыз таңбаға, яғни 10 санға, тең «толық қара санға» дейін жеткізді. Оған сәйкес «толық қызыл сан» 230 270 022, яғни 1, 0001 , болды.

Осындай таблицаны құруға Бюрги сегіз жыл уақыт жұмсаған: сандардың логарифмдерін есептеп шығару үшін 1, 0001 санына 230 миллион рет көбейту жүргізген.

Бюрги бұл таблицаларын жарыққа шығаруға көп уақытқа дейін батылы жетпей жүрді. Бірақ Кеплердің бірнеше рет ескертуімен ол 1620 жылы таблицаларын жарыққа шығарды. Оның осы еңбегінің тұп нұсқасы Совет еліндегі Пулков обсерваториясында сақтаулы.

Бюрги таблицалары есептеу істерінің дамуында тиісті роль атқарды, бірақ антилогарифмдер таблицалары болғандықтан, олармен пайдалану қиынырақ болды.

2. 1614 жылы Бюргидің кітабынан алты жыл бұрын Англияда «Логарифмдердің таң - тамаша таблицаларын баяндау» атты еңбек жарыққа шықты. Бұл еңбектің авторы шотландиялық Джон Непер (1550-1617) еді.

Джон Непердің қарастырған мәселесі заманына сай келді. Бұл кезде мұхитта жүзу үстемдігі Англияда болатын. Ағылшын теңізшілері өте күрделі есептеулерді керек ететін астрономиялық таблицалардың болуын талап етті. Бұл тілекті Непердің зерттеулері азды - көпті қанағаттандырды.

Бюрги өз таблицаларын жасағанда геометриялық прогрессияның еселігін бірге жуық етіп алып, оның мүшелерінің арасын жиелетті. Қанша жиілеткенмен, прогрессияға енбей қалатын, сондықтан логарифмдері бірден табыла қоймайтын сандар қашан да болады.

Непер өзінің алдына қойған проблемасына тереңнен қарады. Оның заманында үздіксіз процестерді, шамаларды зерттеу әдістерін математиктер игермегенді. Алайда логарифмдердің үздіксіз шкаласын құру идеясын Непер дұрыс көрсете білді. Міне осының арқасында әрбір оң санның логарифмі есептеліп табылатын болды.

Непердің идеясы былай: А және В екі нүкте Ох және Оу түзулерінің бойымен О және нүктелерінен бір мезгілде шығып, қозғалатын болсын. Айталық А нүктесінің жылдамдығы тұрақты да, ал В нүктесінің жылдамдығы мен А нүктесінің жылдамдығының қатынасы, мен бүкіл кесіндісінің қатынасындай болсын, яғни егер ОА=х, =у, =а болса, онда математикалық анализ тілімен айтқанда х пен у-тің арасындағы тәуелділік былай болар еді:

Бұл шыққан дифференциалдық теңдеу. Оны интегралдап, мынаны табамыз:

Енді мұндағы С - ні табу керек. Ол үшін x=0 болғанда у=а болады деп ұйғарамыз, сонда

Ендеше

Бұдан

Жоғарыдағы дифференциалдық теңдеу Непердің ойында ешбір болған емес. Соған қарамастан х пен у - тің арасындағы байланысты Непер тауып х сандарын у сандарының логарифмдері деп атады. Логарифм деген сөз гректің екі сөзінен тұрады: «логос» - қатынас, «аритмос» - сан.

сандары мен олардың логарифмдерінің арасындағы байланысты Непер мына түрде тапты:

Және бұл байланысты ол арифметикалық прогрессия мен геометриялық прогрессияның арасындағы байланыс деп ұйғарды. Непер үшін сандар және олардың логарифмдері бүтін сандар болу керек.

3. Непер ондық логарифмдерді өзінің досы, Лондон университетінің профессоры Генри Бриггпен (1556-1630) бірлесіп жасады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.