Әріпті өрнектерді жақшаға алып түрлендіру

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Математикалық өрнектер. Математикалық өрнектерді теңбе-тең
түрлендіру.
1.1 Әріпті өрнектер және оларды теңбе-тең
түрлендіру ... ... ... ... ... ... . ... ... ..6
1.2 Рационал өрнектерді теңбе-тең
түрлендіру ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 10
1.3 Иррационал өрнектерді теңбе-тең
түрлендіру ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .21
1.4 Трансцендент
өрнектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... 26
2 Теңбе-тең түрлендіруді оқытудың әдістемесі.
2.1 Теңбе-тең түрлендіруді мақсатты орындау
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... .49
2.2 Теңбе-тең түрлендіруді оқыту кезінде саналылық принципін
жүзеге
асыру ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...52
3. Мектеп математика курсында теңбе-теңдік ұғымын
енгізу
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...57
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 61
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.62

Аннотация

Мектеп математика курсында өрнектер және оларды теңбе-тең түрлендіру
тақырыбы жеке тақырып қана емес, ол математиканың бүкіл өн бойында
оқытылады.Математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендіруді оқушылардың
санасына терең сіңіру әрі тиімді әдістер мен тәсілдерді пайдаланып шешуді
үйрету мұғалімнің басты мақсаты болып табылады. Өрнектердің түрлерін
ажырата білуге және оларды теңбе-тең түрлендіру әдістемесіне баса назар
аударылуы керек.Теңбе-тең түрлендіруде оқушылардың жіберген қателерімен
жұмыс істеу арқылы олардың қызығушылығын арттыруға болады. Яғни,оқушы
тақтаға өрнектің берілгенін қате жазса,онда сабақтың біраз уақыты заяға
кетеді.Сондықтан мұнда мұғалім тарапынан ұтымды әдістерді пайдалану
қажеттілігі туындайды.
Дипломдық жұмыс кіріспеден,екі бөлімнен қортындыдан және
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспе

Жұмыстың өзектілігі. Математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендірулер
мектеп матиматика курсындағы ең басты мазмұнды-әдістемелік бағыттардың бірі
болып табылады. Олардың негізінде оқушыларда математиканы оқытудағы
аналитикалық тәсілдер қалыптасады. Әдетте, әрбір математикалық есепті
аналитикалық тәсілмен шешу қандай да бір теңбе-тең түрлендіруді қажет
етеді. Теңбе-тең түрлендірулер мектеп математикасының жеке тақырыбы емес,
олар алгебра мен математикалық анализ курсы бастамаларының бүкіл өн бойында
оқытылады.
Алдымен,оқушыларға математикалық өрнектің өзі не екенін
түсіндіруіміз,анықтамасымен таныстыруымыз қажет.Содан өрнекті түрлендіру
мен оны теңбе-тең түрлендіру және оның оқыту әдістемесін жүйелі түрде
үйретуіміз тиіс.Енді осыларға жеке-жеке анықтама беріп,нақтылаймыз:
Математикалық өрнек–сандар және айнымалылардан (әріптерден)
құралған,амалдар белгілерімен немесе функциялармен және жақшалармен
байланысқан кез келген жазба.Өрнектің формула немесе оның бөлігі болуы да
мүмкін.Өрнекте әріптік айнымалы шамалардың болу немесе болмауына тәуелді
түрде өрнектер сан өрнектер және айнымалы бар өрнектер болып екіге
ажыратылады.
Өрнекті түрлендіру деп – жиынды өзіне бейнелеу,белгілі бір мақсат
үшін бір формуладан (теңбе-теңдіктен) немесе координаттар жүйесінен
ыңғайлырақ өзге түрге ауысуды айтады.
Теңбе-тең түрлендіру– бір аналтикалық өрнекті оған теңбе-тең,бірақ сырт
түрі өзгеше болып келген өрнекпен ауыстыру.Теңбе-тең түрлендірудің мақсаты
өрнекке сандық есептеулерді жүзеге асыруа ыңғайлы ету үшін немесе
логарифмдеу,потенцирлеу,диференциал дау,интегралдау,теңдеулер шешу т.б.
амалдарды оңайлату үшін әрі қарай түрлендірулер жасау болп табылады.Ұқсас
мүшелерді біріктіру,жақшаларды ашу,көбейткіштерге жіктеу,алгебралық
бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру және оларды қарапайым бөлшектерге
жіктеу,тригонометриялық функциялардың қосындыларын логарифмдеуге ыңғайлы
түрге келтіру(яғни оларды көбейтіндіге түрлендіру) теңбе-тең түрлендіруге
жатады.
Теңбе-теңдік математикалық екі өрнектің өзіне қамтылған әріптердің
мүмкін мәндерінде тура болу теңдігі.Теңбе-теңдік белгісін 1857 жылы
неміс математигі Георг Риман(1826-1866) ұсынған.
Алгебра оқулықтарында теңбе-теңдік ұғымының әртүрлі анықтамалары
қолданылады:
1. Айнымалының кез келген мәндерінде дұрыс болатын теңдікті
теңбе-теңдік деп атайды;
2. Айнымалының барлық мәндерінде дұрыс болатын теңдікті
теңбе-теңдік деп атайды;
3. Айнымалының берілген жиынға тиісті кез келген мәнінде
дұрыс болатын теңдікті осы жиында теңбе-теңдік деп
атайды.
Теңбе-теңдік 1 түрдегі анықтамасының салдары 2 және 3-ші түрдегі
анықтамалар болатындығын байқау қиын емес. Кері тұжырым барлық уақытта
бірдей орындала бермейді. Бұл келтірілген анықтамалардың өзара мәндес
еместігін көрсетеді.
Теңбе-теңдіктің құндылығы мынада: ол берілген өрнекті оған мәндес бір
өрнекпен, оны оған мәндес үшінші өрнекпен т.с.с. ауыстыруға мүмкіндік
береді. Басқаша айтқанда, транзитивтік қасиетке ие: егер А мен В және В мен
С теңбе-тең болса, онда А мен С да тең болады.
Алгебрелық өрнектерге қолданылатын амалдардың екі түрлі түсіндірмесі
(трактовкасы) болуы мүмкін.
Бірінші түсіндірме (трактовка) абстрактылы алгебраның көзқарасын
бейнелейді. Белгілі бір алгебралық операцияны алу үшін берілген өрнектердің
арасына сәйкес амалдың таңбасын қою жеткілікті, нәтижеде берілген екі
өрнекке тек бір ғана үшінші өрнек сәйкес келетін болып шығады.Өрнектердің
арасына амал белгісі қойылғанда ғана амал орындалған болып есептеледі. Егер
кейінгі теңбе-тең түрлендірулер орындалатын болса, нәтижеде шығатын
қосындыны (айырма, көбейтінді, бөлінді) түрлендіру емес, жазылған қосындыны
(айырма, көбейтінді, бөлінді) түрлендіру болып табылады. Түрлендіру
алгебралық заңдылықтарды формальді түрде қолдану арқылы жүзеге асырылады.
Екінші түсіндірме (трактовка) функционалдық талдаудың көзқарасын
бейнелейді, бұл көзқарас бойынша екі көпмүшелікті қосу үшін оларды
формальді түрде + белгісімен (таңбасымен) біріктіру жеткіліксіз (бұл
өрнекке енетін айнымалының барлық мәндерінде), шыққан өрнектің мәнінің
қосылғыш өрнектердің қосындысының мәніне тең болатындығына көз жеткізу
керек. Сондықтан да болар бірінші трактовка бойынша екі өрнектің
қосындысын (айырымын, көбейтіндісін, бөліндісін) табыңдар деген бағалы
жаттығулар өте аз кездеседі. Алгебра оқулықтарында оның орнына мынадай
жаттығулар келтіріледі: өрнекті ықшамдаңдар, азайту амалына қатысты
көбейтудің үлестірімділік заңын пайдаланып теңбе-тең өрнекке
түрлендіріңдер, жақшаны ашыңдар, т.с.с.
Алгебралық өрнектерді жеке дара бөліп алып қарастырмай, оларды белгілі
бір сандық жиында қарастыру, сандық өрнектердің жазылуының жалпылануы деп
түсінгенде ғана оқушылар теңбе-тең түрлендірулерді саналы түрде меңгере
алады. Алгебралық және сандық өрнектердің арасындағы ұқсастық логикалық
тұрғыдан алып қарағанда заңды, оларды оқытуда қолдану оқушылардың қателерді
жібермеуіне септігін тигізеді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: математикалық өрнектерді қайсы сыныпта,
қандай көлемде оқытылатынына тәуелсіз мазмұнды-әдістемелік бағыттар бойынша
оқыту әдістемесін жүйелеу.
Зерттеу пәні: математикалық өрнектерді теңбе-тең түрлендіру әдістері.
Зерттеу нысаны: математика курсын оқытуда математикалық өрнектерді
теңбе-тең түрлендіруге оқытудың әдістемесі.
Дипломдық жұмыстың әдіснамалық негізі:
-зерттелетін тақырып бойынша математикалы ғылыми-әдістемелік,
психологиялық-педагогикалық,философ иялық әдебиеттерге талдау жүргізу;
- орта білім мен математикалық деңгейі туралы нормативтік құжаттарды
талдау;
- математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және
жалпылау.
Зерттеу жұмысының міндеті:
- математикалық өрнектердің анықтамасы мен олардың арасындағы
байланысты білу;
- әріпті өрнектер, рационал және иррационал, трансценденттік
өрнектерді теңбе-тең түрлендіруді оқытудың әдістемесін меңгеру;
- теңбе-тең түрлендіруді мақсатты орындау туралы, саналылық
принципін жүзеге асыру, оқушылардың жіберген қатесімен
жүргізілетін жұмыстар, теңбе-теңдік ұғымын еңгізу әдістемелерін
саналы түрде игеру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:

1 Математикалық өрнектер. Математикалық өрнектерді
теңбе-тең түрлендіру

1. Әріпті өрнектер және оларды теңбе-тең түрлендіру.

М ы с а л Ұзындығы 7 см, ені 3 см тік төртбұрыштың ауданы санды
өрнегімен жазылады.
Егер a=7 см, b=3 см болса, тік төртбұрыштың ауданы әріпті
өрнегімен жазылады.
5x+3; 0,7x; a; ; ; 2(a+b) – бұлар
әріпті өрнектер.
Құрамында бір немесе бірнеше әрпі бар өрнекті әріпті өрнек деп атайды.
Формулалар мен есептің шартына байланысты құрылған теңдеулерді жазуда
әріпті өрнектер пайдаланылады.
Әріпті өрнектің жазылуында әріптер болуымен қатар, сандар, жақшалар және
арифметикалық амалдар таңбалары да болуы мүмкін.
Кейде бір әріптің өзі де әріпті өрнек бола алады, Мысалы b - әріпті
өрнек, x - әріпті өрнек.
Әріпті өрнектерді жазуда ескерілетін ережелер мен келісілген шарттар
бар.
1 Әріпті өрнекте (көбейтіндіде) сан көбейткіш әріп көбейткіштің алдына
жазылады. Сан көбейткіш пен әріп көбейткіштің арасына көбейту таңбасы
қойылмайды.
Көбейтіндідегі сан көбейткішті әріп көбейткіштің алдына жазып, оны
коэффициент деп атайды.
Коэффициент пен одан кейінгі әріп көбейткіштің арасына көбейту таңбасы
қойылмайды.
Мысалы немесе әріпті өрнегін 9a түрінде жазуды білеміз.
Сол сияқты, немесе әріпті өрнегі -3b түрінде жазылады.
2 Әріпті өрнектегі әріп көбейткіштердің арасына көбейту таңбасы
қойылмайды.
Мысалы әріпті өрнегі abc түрінде жазылады. әріпті өрнегі
0,5xy түрінде жазылады.
3 Құрамында әріптері бар бөлінді бөлшек түрінде жазылады.
Мысалы
4 Әріпті өрнектердің жазылуында жақшаны пайдалануға ерекше назар аудару
қажет.
Мысалы x санынан y пен 9 санының қосындысын азайтуды өрнек түрінде
былай жазады: x-(y+9). Егер өрнекті осы қалпында жақшасыз жазсақ, x-y+9
әріпті өрнегі шығады. Соңғы өрнектегі амалдар реті алғашқы қойылған шартқа
сәйкес емес. x-y+9 әріпті өрнегінде x санынан y санын азайтып, нәтижесінде
9 санын қосу керек. Демек, бұл жағдайда жақшасыз жазуға болмайды.
Мысалы 10 санына x пен y сандарының көбейтіндісін қосуды өрнек түрінде
жазайық: 10+xy.
Бұл жағдайда x пен y сандарының көбейтіндісін жақша ішіне жазудың қажеті
жоқ. Себебі амалдардың орындалу тәртібі бойынша көбейту амалы алдымен
орындалып, өрнектің құрылу шарты сақталады.
Әріпті өрнектің сан мәнін табуды қарастырайық.
Әріпті өрнектегі әріптің орнына өрнектің мағынасы болатындай оның сан
мәнін қойып есептеуге болады.
Бұл әріпті өрнектің қасиеті.
Әріпті өрнектердегі әріптер әр түрлі сан мәндерді қабылдай алады.
Сондықтан әріпті өрнектегі әріп айнымалы деп аталса, әріпті өрнектің өзі
айнымалысы бар өрнек деп аталады.
Мысалы 2(a+b) – айнымалысы бар өрнек, мұндағы a және b – айнымалылар.
Әріпті өрнектегі әріпті оның сан мәнімен алмастыруды әріпті өрнектің сан
мәнін қою деп атайды.
Мысалы әріпті өрнегіне оның x=9; y=-3 сан мәндерін қойсақ,
санды өрнегі шығады.
, 0,5 – берілген әріпті өрнегінің x=9; y=-3 болғандағы
сандық мәні.
Әріпті өрнектің сандық мәнін табу үшін:
1 әріпті өрнектегі әріптерді олардың сан мәндерімен алмастыру қажет;
2 әріпті өрнектегі бірдей әріптер бірдей санмен алмастырылады (ұқсас
мүшелері біріктірілмеген жағдайда);
3 теріс сандар жақша ішіне алынып жазылады;
4 әріпті өрнектегі жақшалар есепке алынып (егер жақша болса), тиісті
арифметикалық амалдар рет-ретімен орындалады;
5 әріпті өрнек бөлшек түрінде берілсе, оның алымының және бөлімінің
сандық мәндері жеке-жеке табылып, содан соң олардың бөліндісі табылады.
Мысалы , мұндағы a мен b – айнымалылар, болғанда: -
өрнектің сандық мәні.
Әріпті өрнектегі әріптердің орнына олардың берілген сан мәндерін қойып,
көрсетілген амалдарды орындау нәтижесінде шыққан сан әріпті өрнектің сандық
мәні болады.
Берілген әріпті өрнектегі әріп сол өрнектің мағынасы болатын санмен ғана
алмастырылады.
Мысалы әріпті өрнегінде x-тің орнына 2 санын қоюға болмайды.
Себебі x=2 мәнінде бөлшегінің бөлімі 0-ге тең. Ал 0-ге бөлуге
болмайды. Онда берілген әріпті өрнектегі . Демек, x-тің сан мәні 2-ге
тең болса, әріпті өрнегінің мағынасы болмайды.
Бұл жағдайда әріпті өрнегіндегі айнымалы x-тің қабылдайтын
мәндерінің жиыны 2 санынан басқа барлық сандар. Жазылуы: немесе
Әріптің берілген әріпті өрнектің мағынасы болатын сан мәндерін сол
әріпті өрнектегі әріптің қабылдайтын сан мәндері деп атайды.
Әріпті өрнектердің сандық мәндерін (ең тиімді тәсілмен) табу үшін,
әріпті өрнекті ықшамдау керек.
Әріпті өрнекті ықшамдау оны теңбе-тең өрнекке түрлендіру арқылы
орындалады.
Мысалы a(b+8) және ab+8a өрнектері теңбе-тең өрнектер, егер a=3, b=2,1
болса,

Әріптердің a=3, b=2,1 мәндерінде a(b+8) және ab+8a өрнектерінің сандық
мәндері (30,3) өзара тең. Мұндай өрнектер теңбе-тең өрнектер деп аталады.
Теңбе-тең әріпті өрнектер дегеніміз – олардағы әріптердің тең (бірдей)
мәндерінде сандық мәндері тең (бірдей) болатын әріпті өрнектер.
Өрнектерді түрлендіргенде, әріпті өрнек ықшамдалып, алғашқы әріпті
өрнекпен теңбе-тең өрнек пайда болады.
Өрнекті оған теңбе-тең өрнекпен алмастыруды өрнекті теңбе-тең түрлендіру
немесе өрнекті түрлендіру деп атайды.
І Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, әріпті
өрнектегі алгебралық қосылғыштардың орындарын ауыстырып топтастырғанда
әріпті өрнек теңбе-тең өрнекке түрленіп, ықшамдалады.
Мысалы
Мұндағы 2a+8 өрнегі – алғашқы (8a+5)-6a+3 өрнегінің ықшамдалған түрі.
II Көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып,
әріпті өрнектегі көбейткіштердің орындарын ауыстырып, топтастырғанда әріпті
өрнек теңбе-тең өрнекке түрленіп, ықшамдалады.
Мысалы .
Мұндағы 6x өрнегі алғашқы өрнегінің ықшамдалған түрі.
III Көбейту амалының қосуға (азайтуға) қатысты үлестірімділік қасиетін
пайдаланып, әріпті өрнектерді ықшамдау.

Мұндағы a(b+c) әріпті өрнегі мен ab+ac әріпті өрнегі теңбе-тең өрнектер.
1-мысал
Мұндағы -6a-15 өрнегі – алғашқы -3(2a+5) өрнегінің ықшамдалған түрі.
2-мысал
x-y өрнегі – алғашқы өрнегінің ықшамдалған түрі.
IV Қосындыны берілген санға бөлуді пайдаланып, әріпті өрнекті ықшамдау.
Қосындыны берілген санға бөлгендегі бөлінді қосылғыштарды жеке-жеке
берілген санға бөлгендегі бөлінділердің қосындысына тең (5-сынып).
немесе
Демек, бөліндісін бөлімдері бірдей және бөлшектерінің
қосындысы түрінде теңбң-тең түрлендіріп ықшамдауға болады.
Мысалы
әріпті өрнегі – алғашқы өрнегінің ықшамдалған түрі.
және өрнектері – теңбе-тең өрнектер.
V Әріпті өрнектерді қысқартуды пайдаланып ықшамдау.
Егер бөлшектің алымының да, бөлімінің де бірдей әріп көбейткіштері
болса, бөлшектердің негізгі қасиетін пайдаланып, бөлшектерді қысқартады.
Қысқартылғанға дейінгі бөлшек қысқартылғаннан кейінгі бөлшекпен теңбе-
тең болады. Бөлшектердің алымы да, бөлімі де олардың ортақ әріп
көбейткіштеріне (егер бар болса) қысқартылып ықшамдалады.
Мысалы
Мұндағы - алғашқы өрнектердің ықшамдалған түрі.
І Әріпті өрнектердегі жақшаны ашып түрлендіру. Көбейтудің үлестірімділік
қасиетін пайдаланып жақшаны ашу. .
Көбейтудің үлестірімділік қасиеті жақша ішіндегі қосылғыштар санына
тәуелсіз. Сондықтан жақша ішіндегі алгебралық қосылғыштар саны екіден көп
болған жағдайда да жақшаны ашу үшін көбейтудің үлестірімділік қасиеті
пайдаланылады: .
1-мысал
Жақша алдында + таңбасы болса, жақшаны ашқанда жақша ішіндегі
алгебралық қосылғыштардың өз таңбалары сақталады.
2-мысал
Әріппен жазсақ
Жақшаның алдында – таңбасы болса, жақшаны ашқанда, жақша ішіндегі
алгебралық қосылғыштардың таңбаларын қарама-қарсы таңбалармен алмастыру
керек.
II Әріпті өрнектегі ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарып түрлендіру.
Егер әріпті өрнектегі алгебралық қосылғыштардың құрамында ортақ
көбейткіш бар болса, онда оны жақшаның сыртына шығарып, әріпті өрнекті
түрлендіруге болады.
3-мысал өрнегіндегі ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарып
түрлендірейік. Берілген өрнектегі 7x; 4x және -8x – ұқсас қосылғыштар,
олардың ортақ көбейткіші x. 3y және -5y – ұқсас қосылғыштар, ортақ
көбейткіші y.
Ұқсас қосылғыштардағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарып
түрлендірсек:
Өрнектегі ұқсас қосылғыштарды біріктіру арқылы түрлендірдік. Кейде
өрнектегі ұқсас қосылғыштарды ұқсас мүшелер деп те атайды. Сондықтан әріпті
(айнымалысы бар) өрнектердегі ұқсас қосылғыштар ұқсас мүшелер деп аталып,
оларды алгебралық қосу ұқсас мүшелерді біріктіру деп те аталады. Мұндай
түрлендіруді әріпті өрнектерді ықшамдауда пайдалану керек.
III. Әріпті өрнектерді жақшаға алып түрлендіру.
Әріпті өрнектерді жақшаға алғанда
1 Жақша алдына + таңбасы қойылса, жақша ішіне әріпті өрнектегі
мүшелердің таңбаларын өзгертпей алу керек.
4-мысал
Әріппен жазсақ,
2 Жақша алдына – таңбасы қойылса, жақша ішіне әріпті өрнектегі
мүшелердің таңбаларын қарама-қарсы таңбаға өзгертіп алу керек.
5-мысал
Әріппен жазсақ:
6-мысал сол сияқты, [3].

1.2 Рационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру

Сандар мен айнымалдарға қосу, азайту, көбейту, бөлу, рационал дәрежеге
шығару, түбір табу және жақшаға алу амалдарын қолдана отырып алгебралық
өрнектер құрауға болады.
Мысалы
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Құрамындағы айнымалдарға тек қосу, азайту, көбейту, бөлу және бүтін
дәрежеге шығару амалдарын ғана қолданып, алынған алгебралық өрнекті
рационал өрнек деп атайды.
Жоғарыдағы мысалдарда 1), 4) және 6) – рационал өрнектер.
Рационал өрнектің бөлімінде айнымалдар жоқ болса ол бүтін өрнек, ал
бөлімінде айнымалдар бар болса – бөлшек өрнек деп аталады. Жоғарыдағы
мысалдарда 1) , 2) және 6) – бүтін, ал 3) пен 4) – бөлшек өрнектер.
Алгебралық өрнекті ең соңғы амалдың нәтижесімен атайды.
Мысалы
1) – қосынды;
2) – айырма (айырманы қосынды түріне келтіруге болғандықтан, оны
қосынды деп те атай береді);
3) – көбейтінді;
4) – бөлінді (бөліндіні көбейтінді түрінде жазуға болғандықтан,
оны көбейтінді деп та атай береді);
Өрнекті теңбе-тең түрлендіру және өрнектерін қарастырайық.
Мысалы, х=2 тең болса, аламыз. Осы 0 және 3 сандарын және
өрнектерінің х=2 –ге сәйкес мәндері деп атайды.
Берілген өрнектердің анықталу аймақтарының ортақ бөлігін (қиылысуын) осы
өрнектердің анықталу аймағы деп атаймыз.
Х – берілген өрнектердің анықталу аймағының ішкі жиыны болсын. Егер осы
өрнекердің Х жиынының әрбір элементіне сәйкес келетін мәндері бірдей болса,
онда олар Х жиынында теңбе-тең өрнектер деп аталады.
Теңбе-теңдік деп, құрамындағы айнымалдардың барлық мүмкін мәндерінде
дұрыс болатын теңдікті айтады.
Мысалы, пен , мен , пен -
айнымалдардың кез келген мәндер жиынында теңбе-тең өрнектер.
Теңбе-теңдіктер: ал теңдігі ның барлық мүмкін
мәндерінде, яғни, мәндерінде теңбе-теңдік болады.
Өрнекті оған теңбе-тең басқа өрнекпен ауыстыру - өрнекті теңбе-тең
түрлендіру деп аталады.
Бірмүшеліктер және оларға амалдар қолдану Құрамында сандар, айнымалдар,
сандар мен айнымалдардың натурал дәрежесі және олардың көбейтіндісі болатын
өрнек бірмүшелік деп аталады.
Мысалы өрнектері бірмүшеліктер.
Кез-келген өрнекті қалыпты түрге, яғни бірінші орында жалғыз сандық
көбейткіш (коэффициент), ал бірдей айнымалдардың көбейтіндісін дәреже
түрінде көрсетілген түрге келтіруге болады. Мұндағы, барлық айнымалдардың
дәреже көрсеткіштерінің қосындысы бірмүшеліктің дәрежесі деп аталады.
Екі бірмүшелік берілсін. Егер олардың арасында көбейту белгісін қойсақ,
онда бастапқы бірмүшеліктердің көбейтіндісі деп аталатын бірмүшелік
алынады. Бірмүшелікті натурал дәрежеге шығарса да бірмүшелік алынады.
Әдетте, нәтижені қалыпты түрге келтіреді.
Қалыпты түрге келтірілген бірмүшеліктер бірдей немесе олардың тек қана
коэффициенттері ғана әртүрлі болса, олар ұқсас бірмүшеліктер деп аталады.
Ұқсас бірмүшеліктерді қосуға және азайтуға болады, нәтижесінде
бастапқыға ұқсас бірмүшелік алынады. Ұқсас бірмүшеліктерді қосу және азайту
ұқсас мүшелерді келтіру деп аталады.
Мысалдар
1) бірмүшеліктерін көбейту керек.
Шешуі

2) бірмүшелігін төртінші дәрежеге шығару керек.
Шешуі

3) бірмүшеліктерін қосу керек.
Шешуі

Көпмүшеліктер. Оларды қалыпты түрге келтіру Бірмүшеліктердің қосындысын
көпмүшелік деп атайды. Егер көпмүшеліктің барлық мүшелерін қалыпты түрге
келтіріп, ұқсас мүшелерін келтірсе, онда көпмүшеліктің қалыпты түрі
алынады.
Кез келген бүтін өрнекті көпмүшеліктің қалыпты түріне келтіруге болады.
Бүтін өрнекті теңбе-тең түрлендірудің негізгі мақсаты да оларды
көпмүшеліктің қалыпты түріне (немесе бірмүшелікке) келтіру.
Мысал Келесі бүтін өрнектерді ықшамдау керек (яғни, көпмүшеліктің
немесе бірмүшеліктің қалыпты түріне келтіру керек):
1)
2)
3)
4) ;
5)
Шешуі
1) Егер жақша алдында плюс таңбасы тұрса, онда жақша ішіндегі
қосылғыштардың таңбаларын сақтап, жақшаны алып тастауға болады:

2) егер жақша алдында минус таңбасы тұрса, онда жақша ішіндегі
қосылғыштардың таңбаларын қарама-қарсы таңбаларға өзгертіп, жақшаны алып
тастауға болады:

3) Үлестірімділік заңға сәйкес бірмүшелік пен көпмүшеліктің
көбейтіндісі, осы бірмүшелік пен көпмүшеліктің әрбір мүшелерінің
көбейтінділерінің қосындыларына тең:

4) Екі көпмүшеліктің көбейтіндісі бірінші көпмүшеліктің әрбір мүшесін
екінші көпмүшеліктің әрбір мүшесіне көбейтіп қосқанға тең:

Енді алынған мүшелердің ұқсас мүшелерін келтіреміз:

Қысқаша көбейту формулалары Кейбір жағдайларда бүтін өрнекті қалыпты
түрге келтіру қысқаша көбейту формулалары деп аталатын тепе-теңдіктерді
пайдаланумен іске асады. Осы тепе-теңдіктерді келтірейік:

Қысқаша көбейту формулаларына қатысты ескертулер:
(1) теңдікті оңнан солға қарай жазсақ аламыз, яғни, екі мүшенің
квадраттарының айырымы осы екі мүшенің айырымы мен қосындысының
көбейтіндісіне тең.
(2) теңдікті екі мүшенің қосындысының квадраты деп оқиды. Екі мүшенің
қосындысының квадраты – бірінші мүшенің квадраты плюс екі еселенген бірінші
мен екінші мүшелердің көбейтіндісі плюс екінші мүшенің квадратына тең.
(3)
Екі мүшенің айырымының квадраты – бірінші мүшенің квадраты, минусе екі
еселенген бірінші мен екінші мүшелердің көбейтіндісі, плюс екінші мүшенің
квадратына тең.
(4)
Мұндағы өрнегі – айырымның толымсыз квадраты деп аталады. Өйткені,
мұнда (3) –тегі өрнектің мүшесінің орнында тек ғана тұр.
Сонымен, екі мүшенің кубтарының қосындысы – осы екі мүшенің қосындысы мен
олардың айырымының толымсыз квадратының көбейтіндісіне тең.
(5) .
Ең мүшенің кубтарының айырымы – осы екі мүшенің айырымы мен олардың
қосындысының толымсыз квадратының көбейтіндісіне тең.
Қалған (6) мен (7) теңбе-теңдіктерін де оқып айтуға болады.

Мысалдар Берілген өрнектерді қалыпты түрге келтіру керек:
1)
2)
3)
4)
5)
Шешуі
1)
2)
3)

4) (7) мен (2) теңбе-теңдіктерді пайдаланамыз:

5)
Көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу Кейде көпмүшені бірнеше
көбейткіштердің – көпмүшеліктер мен бірмүшеліктердің көбейтіндісіне
түрлендіруге болады. Мұндай түрлендіруді – көпмүшені көбейткіштерге жіктеу
деп атайды. Көбейткіштерге жіктелген көпмүшелік осы көбейткіштердің
әрбіріне бөлінеді.
Енді көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеудің кейбір тәсілдерін
қарастырамыз.
А) Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару. Мұндай түрлендіруде
үлестірімділік заңы оңнан солға қарай жазылып қолданылады: .
Мысал Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу керек:

Шешуі Әдетте, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару кезінде, көпмүшенің
барлық мүшелеріне кіретін әрбір айнымалының ең кіші дәреже көрсеткішін
шығарады (біздің мысалымызда – х). Егер көпмүшенің мүшелерінің
коэффициенттері бүтін сандар болса, онда олардың ортақ көбейткіші ретінде
барлық коэффициенттердің (модулі бойынша) ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ)
алады (біздің мысалда 2) :

Б) Қысқаша көбейту формулаларын пайдалану
Мысалдар Көбейткіштерге жіктеу керек:

Шешуі
1) Айырымның квадраттарын пайдалансақ,

аламыз. Одан (4) пен (5) теп-теңдіктері бойынша

шығады. Сонымен,
2)
3) Алдымен ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарып, содан соң
қосындының квадратын (2) пайдаланамыз:

В) Топтау тәсілі. Егер көпмүшенің мүшелерінде ортақ көбейткіш болмаса,
онда көпмүшені топтау тәсілімен жіктеуге әрекеттену керек. Ол үшін ортақ
көбейткіші бар мүшелерді топтарға біріктіреді және әрбір топтан жақша
сыртына ортақ көбейткішін шығарады. Егер сондай түрлендіруден кейін алынған
топтардың барлығының ортақ көбейткіші бола қалса, онда оны жақша сыртына
шығарады.
Мысалдар Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу керек:

Шешуі

3) мұнда топтаудың ешқайсысы барлық қосылғыштардың ортақ көбейткіші
болатын жағдайға келтірілмейді. Сондықтан көпмүшенің қандайда бір мүшесін
қосынды түрінде жазған ұтымды. Содан соң тағы да топтау тәсілін қолданып
көруге болады. Біздің мысалымызда ()-ны қосындысы түрінде жазу
орынды:

4) бірмүшесін қосамыз және аламыз:

Екі өрнектің қосындысының және айырмасының квадраты
қосындысын квадраттайық:
, демек,
(2)
(2) теңбе-теңдікті екі өрнектің қосындысының квадратының формуласы деп
атайды.
Формуладағы а мен b әріптерін кез келген өрнек деп қарастыруға болады.
Демек, екі өрнектің қосындысының квадраты бірінші өрнектің квадраты, плюс
бірінші мен екінші өрнектердің екі еселенген көбейтіндісі, плюс екінші
өрнектің квадратына тең. Екі өрнектің айырмасының квадраты да осы сияқты
қорытылып шығарылады:
(3)
М ы с а л д а р (2),(3) формулаларын пайдаланып:
өрнегін көпмүшеге түрлендірейік.
(2),(3) формулалар дөнгелек саннан сәл үлкен немесе сәл
кіші сандарды квадраттауды ауызша орындауда қолданылады.
Мысалы

5-пен аяқталатын сандарды квадрат дәрежеге шығаруды жаттап алу оңай.
Мысалы, санның ондықтары а, бірліктері 5 болсын, сонда

Өрнектен 5-пен аяқталатын санды квадрат дәрежеге шығарғанда, ол санның
ондықтарының санын өзінен біреуі артық санға және 100-гекөбейтіп, шыққан
көбейтіндіге 25-ті қосып жазса жеткілікті екенін көруге болады. Мысалы

3,52 – квадратын табу үшін екенін тауып, оң жағынан екі цифрды
үтірмен айырса болғаны немесе былай да есептеуге болады:

(2),(3) теңбе-теңдіктерін басқаша жазып, тұжырымдауға болады;

Екі өрнектің қосындысының квадраты сол өрнектердің квадраттарының
қосындысына олардың екі еселенген көбейтіндісін қосқанға тең.
Екі өрнектің айырмасының квадраты сол өрнектердің квадраттарының
қосындысынан олардың екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең.
Үш, төрт, бес т.с.с. өрнектердің қосындысының квадраттарынтапқандағы
нәтижені мына түрде жазған тиімді:

Екі өрнектің қосындысының және айырмасының кубы
формуласы. қосындысының кубынкөпмүшеге түрлендірейік:

, демек ,
(4)
Екі өрнектің қосындысының кубы біріншісінің кубына, плюс үш еселенген
біріншісінің квадраты мен екіншісінің көбейтіндісіне, плюс үш еселенген
біріншісі мен екіншісінің квадратының көбейтіндісіне, плюс екіншісінің
кубына тең.
теңбе-теңдігін де осылай дәлелдеп, ержесін тұжырымдауға болады:
(5)
Бұл формуланы дәлелдеуді деп алып, (4) формула арқылы шығарып
алуға да болады.
Мысалдар.
1) .

Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасына келтірілетін қысқаша
көбейту формулалары өрнегі а мен b-ның айырмасының толымсыз
квадраты деп аталады. қосындысы мен олардың айырмасының толымсыз
квадратына көбейтейік:
, демек,
(6)
Екі өрнектің қосындысы мен олардың айырмасының толымсыз квадратының
көбейтіндісі осы өрнектердің кубтарының қосындысына тең.
өрнегі а мен b-ның қосындысының толымсыз квадраты деп аталады.
айырмасы мен олардың қосындысының толымсыз квадратының
көбейтіндісін қарастырайық:
, демек,
(7)
Екі өрнектің айырмасы мен олардың қосындысының толымсыз квадратының
көбейтіндісі осы өрнектердің кубтарының айырмасына тең.
Мысалдар 1)көбейтіндісін көпмүшеге түрлендірейік.
Мұнда - екі өрнектің қосындысы, ал - сол өрнектердің
айырмасының толымсыз квадраты болғандықтан, көбейтіндіні (6) формуланы
пайдаланып түрлендіруге болады:
1)
2)
3)
4)
Көпмүшені бірмүшеге бөлу Көпмүшені бірмүшеге бөлгенде нәтижеде көпмүше
(бүтін өрнек) шығатын жағдайларды қарастырайық.
көпмүшесін бірмүшесіне бөлу керек болсын, яғни Бөлуді
қосындыны санға бөлу және бірмүшені бірмүшеге бөлу ережесін пайдаланып
орындаймыз:
Көпмүшені бірмүшеге бөлу үшін көпмүшенің әрбір мүшесін осы
бірмүшеге бөліп, шыққан нәтижелерді қосу керек. Көпмүшені бірмүшеге бөлу
нәтижесінің дұрыстығын тексеру үшін бөліндіні бірмүшеге көбейту керек.
Мысалы Бөлу дұрыс орындалған, өйткені:
Көпмүше бірмүшеге бөліну үшін оның әрбір мүшесі сол мүшеге бүтіндей
бөлінуі керек. Мысалы, көпмүшесі бірмүшесіне бөлінбейді, себебі
бірмүшесі -ға бүтіндей бөлінбейді. Көпмүшені бірмүшеге бөлгенде
әріптердің мәндері бөлгіштегі өрнектің мәні нөлге тең болмайтындай етіп
алынуы тиіс. [2]
Рационал өрнектерді түрлендіру рационал өрнегі рационал
бөлшектердің қосындысын көпмүшеге бөлуден шыққан бөлінді болып табылады.
-қа бөлуді бөлшегіне көбейтумен алмастыруға болады. Сондықтан
берілген өрнекті түрлендіру бөлшектерін қосуға және бұдан шыққан
нәтижені бөлшегіне көбейтуге келтіріледі. Жалпы алғанда кез келген
рационал өрнекті түрлендіруді рационал бөлшектерді қосуға, азайтуға,
көбейтуге немесе бөлуге келтіруге болады.
Бөлшектерге қолданылатын амалдар ережелерінен рационал бөлшектердің
қосындысын, айырмасын, көбейтіндісін және бөліндісін әрқашан рационал
бөлшек түрінде жазуға болатыны шығады. Олай болса, кез келген рационал
өрнекті рационал бөлшек түрінде жазып көрсетуге болады.
1-мысал

өрнегін рационал бөлшекке түрлендірейік.
Ең алдымен бөлшектерді көбейтуді орындаймыз, содан кейін шыққан нәтижені
көпмүшесінен шегереміз:
1) ;
2) [4]
2-мысал

өрнегін рационал бөлшек түрінде жазайық.
Ең алдымен жақша ішіндегі бөлшектерді қосамыз, содан кейін табылған
нәтижені бөлшегіне көбейтеміз, ең соңында шыққан көбейтіндіге 1-ді
қосамыз:
1)
2)
3) .
Бұларды басқаша да жазуға болады

3-мысал

өрнегін рационал бөлшек түрінде жазайық.
Түрлендіруді әр түрлі орындауға болады. Бөлшектің алымын жеке және
бөлімін жеке рационал бөлшектер түрінде жазуға болады, сонан кейін бірінші
нәтижені екінші нәтижеге бөлу керек.
Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, бөлшектің алымы мен бөлімін ху-ке
көбейтуге де болады. Бұл жағдайда түрлендіру оғай болады:

Рационал өрнектердің қосындысын, айырмасын, көбейтіндісін және
бөліндісін әрқашанда алымы мен бөлімі көпмүшелер болатын бөлшек түрінде
жазуға болатынын білеміз. Кез келген рационал өрнекті түрлендіру
бөлшектерді қосуға, азайтуға, көбейтуге немесе бөлуге келіп тіреледі.
Демек, кез келген рационал өрнекті алымы мен бөлімі көпмүшелер болатын
бөлшек түрінде жазып көрсетуге болады.
4-мысал. Рационал өрнекті бөлшекке түрлендірейік:

Шешуі:

Жауабы:

1.3.Иррационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру

Құрамындағы айнымалдарға түбір табу немесе бөлшек дәрежеге шығару
амалдары қолданылған алгебралық өрнекті иррационал өрнек деп атайды.
Мысалы,
және өрнектерінің мәндерін салыстырайық. Бұл есепті
өрнегін түрлендіріп барып шешуге болады. санын көбейтіндісі
түрінде жазып, көбейтіндінің түбірі жайындағы теореманы қолданайық. Сонда
мынаны аламыз:

6 болғандықтан, 6 болады.
Біз есепті шығару кезінде санын 5 пен сандарының
көбейтіндісімен алмастырдық. Мұндай түрлендіруді көбейткішті түбір
таңбасының (астынан) алдына шығару деп атайды.
6көбейтіндісін арифметикалық квадрат түбір түрінде жазып,
және 6 өрнектерінің мәндерін басқаша тәсілмен салыстыруға болады. Бұл
үшін 6 санын санымен алмастырамыз да түбірлерді көбейтеміз. Сонда
мынаны аламыз.

5072 болатындықтан, болады. Олай болса, 6.
Есепті екәнші тәсілмен шығару кезінде, біз 6 өрнегін өрнегімен
алмастырдық. Мұндай түрлендіруді көбейткішті түбір таңбасының астына алу
деп атайды.
1-мысал. өрнегінен көбейткішті түбір таңбасының (астынан) алдына
шығарайық.
өрнегінің тек (егер a 0 болса, онда ) болғанда ғана
мағынасы болады. Түбір таңбасы астындағы өрнегін а6көбейтіндісі
түрінде жазамыз, мұндағы а6 көбейткіші жұп көрсеткішті дәреже болып
табылады. Сонда

2- мысал -4 өрнегінің көбейткішін түбір таңбасының астына алайық.
- 4 теріс көбейткішін арфиметикалық квадрат түбір түрінде жазып
көрсетуге болмайды, сондықтан көбейткішін түбір таңбасының астына
енгізуге болмайды. Бірақ та оң көбейткіш 4-ті түбір таңбасының астына ала
отырып, өрнегін түрлендіруге болады:
[2]
Иррационал өрнектерді түрлендіру арифметикалық амалдардың жалпы
заңдарына және радикалдарға жасалатын ережелерге сәйкес орындалады.
Иррационал алгебралық бөлшектің алымын бөлімін иррационалдықтан құтқару.
алгебралық өрнектерінің ең болмағанда біреуі иррационал болса, онда
(1)
түріндегі алгебралық өрнекті бөлшек иррационал өрнектер деп атайды.
қандай да бір иррационал алгебралық өрнек болсын. Егер
көбейтіндісі рационал алгебралық өрнек болса, онда алгебралық өрнегін
қосымша немесе толықтауыш көбейткіші деп атайды.
Мысалы өрнегінің қосымша көбейткіші , өйткені,
өрнегінің қосымша көбейткіші , өйткені, . және
өрнектерін түйіндес өрнектер деп те атайды.
Кейбір алгебралық өрнектердің қосымша көбейткіштерін келтіреміз.

Егер өрнегі өрнегінің қосымша көбейткіші болса, онда
өрнегі өрнегінің қосымша көбейткіші болатынын аңғаруға болады.
Айталық, бөлшегінің алымының қосымша көбейткіші , ал
бөлімінің қосымша көбейткіші болсын. Онда:
(2)

түрлендіруін бөлшектің алымындағы, ал
(3)
түрлендіруін бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу деп атайды.
Мысалдар
Шешуі: 1) өрнегіне қосымша көбейткіш өрнегі, сондықтан

2) Кестеден деп алып, қосымша көбейткіші екенін көреміз.
Олай болса,
.
3) деп белгілеп,

аламыз.
Енді бөлімнің қосымша көбейткіші болғандықтан

Иррационал өрнектердің бірқатар теңбе-тең түрлендірулерін қарастырайық.
Бұларға: көбейтіндінің, бөлшектің және дәреженің түбірлерін түрлендіру,
түбірлерді көбейту және бөлу, көбейткішті түбір таңбасының алдына шығару,
көбейткішті түбір таңбасының астына алу жатады. Квадрат түбірлері бар
өрнектерді теңбе-тең түрлендірудің басқа мысалдарын қарастырайық.
1-мысал Өрнекті ықшамдайық:

өрнегінен 2-ні, ал өрнегінен 3-ті түбір таңбасының алдына
шығарамыз. Сонда мынау шығады:

қосындысын өрнегімен алмастырып, біз ұқсас мүшелерді
біріктіргенімізді ескерейік. Осы алмастыруды, аралық нәтижелерді жазбай-ақ
қысқаша орындауға болады [2].
2- мысал Өрнекті ықшамдау керек:

Шешуі: Егер түбір таңбасының астында қандай да бір екі санның айырмының
квадраты тұрса, онда түбірден шығара аламыз.Осы мақсатта санын
квадраттарының қосындысы 27-ге тең екі санның екі еселенген көбейтіндісі
етіп көрсетеміз:
Сонда болады да, болғандықтан аламыз.
3-мысал Өрнекті ықшамдаймыз:

Шешуі: ауыстыруын жасаймыз. Сонда, ,ал бұдан
аламыз.Олай болса,

Енді мен өректерінің таңбаларын анықтау қажет.Ол үшін сан осін үш
арлыққа: бөліп,алынған өрнекті осы үш аралықтың әрқайсысында
ықшамдаймыз.
1) ,яғни болса,онда болады.Сондықтан

2) яғни болса,онда болады.Сондықтан,

3) яғни болса,онда болады да,

аламыз.
Бастапқы айнымлыға оралу үшін ауыстыруын жоғарыдағы үш аралыққа
қоямыз да,теңсіздіктерді шешеміз:
1) Бұл теңсіздіктің шешімі жоқ,өйткені арифметикалық түбір теріс
болмайды;
2) Бұл теңсіздіктің шешімі:
3) Шешімі:
Жауабы: болса,
болса, .
Иррационал өрнекті ықшамдауды көбейткіштерге жіктеу арқылы да
орындайды.
4-мысал Өрнекті ықшамдайық:

Шешуі:

Олай болса,

Өрнектерде көрсеткіштері әр түрлі радикалдар болса,кейбір
жағдайларда,барлық радикалдары бірдей көрсеткіштерге келтіру арқылы да
ықшамдайды.
5-мысал Өрнекті ықшамдаймыз:

Шешуі: Екінші түбірдің көрсеткішін 6-ға келтіру үшін,түбір көрсеткіші мен
түбір астындағы өрнек көрсеткішін екіге көбейту керек.Бірақ
болғандықтан,тақ көрсеткішті түбірі теріс шама бола алатынын ескеріп,алдын
ала:

түрлендіруін жасап аламыз.Енді, болғандықтан

тепе-теңдігін аламыз.Сондықтан,

Біз соңғы теңдікте екенін ескереміз.Егер біз түрлендіруін
жасамасақ: яғни -1=1 сияқты мағынасы жоқ теңдік алар едік. [5]

4. Трансцендент өрнектер

Айнымалдар трансцендент функция белгісінің астында болатын, яғни
көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық немесе кері тригонометриялық
функциялар белгісінің астында болатын өрнекті трансцендент өрнек деп
атайды. Мысалы, - трансцендент өрнектер.
І теорема a0, және b0 болатын кез-келген қос нақты a мен b
сандары үшін теңдігі орындалатын x нақты саны табылады және ол жалғыз
болады.
b оң санының a негізі бойынша логарифмі деп, a санының b-ға тең
болатындай дәреже көрсеткішін айтады және оны арқылы белгілейді:
(1)
(І) – негізі логарифмдік тепе-теңдік деп аталады.
теңдігі екенін білдіреді.
Мысалы, өйткені өйткені өйткені
Логарифм тек оң сан үшін және оң бірге тең емес негіз бойынша ғана
анықталатынына оқырманның назарын аударамыз, яғни немесе болатын
кез-келген сандар үшін логарифм түсінігі мағынасынан айырылады. Мысалы: “-8
санының -2 негізі бойынша логарифмі 3 болады” деген сөйлемнің мағынасы
болмайды.
Логарифм анықтамасынан мына теңдіктер шығады:

Жалпы алғанда мына теңдік орын алады:
(2)

Логарифмдердің қасиеттері

болсын. Егер болса, онда:
1)
2)
3) Егер N0, болса, онда егер болса, онда

4) Егер N0, болса, онда

5) Егер болса, онда

6) Егер болса, онда

(берілген негізден басқа негізге көшу формуласы). Дербес жағдайда, егер
c=b болса, онда

7) Егер болса, онда ( белгісі парапар дегенді білдіредi)

8) Егер болса, онда

яғни логарифм негізі бірден үлкен болса, онда екі оң санның үлкеніне үлкен
логарифм сәйкес келеді және керісінше, үлкен логарифмге үлкен сан сәйкес
келеді.
9) Егер болса, онда

яғни логарифм негізі бірден кіші болса, онда екі оң санның үлкеніне кіші
логарифм сәйкес келеді және керісінше кіші логарифмге үлкен сан сәйкес
келеді.
Негізі 10-ға тең логарифмді ондық логарифм деп атайды және мысалы,
орнына деп жазады.
Негізі e санына (e=2,7182818284... иррационал сан) тең логарифмді натурал
логарифм деп атайды және мысалы, орнына деп жазады.
1-м ы с а л Есептеу керек: .
Ш е ш у і екенін ескеріп дәрежеге шығару қасиетін қолданамыз:

Одан әрі 3), 2) қасиеттерді және теңдігін қолдансақ

аламыз. Сонымен,
2-м ы с а л деп алып, lg25 есептеу керек.
Ш е ш у і
3-м ы с а л деп алып, есептеу керек:
Ш е ш у і 1-тәсіл.
Енді теңдігін пайдаланамыз:

2-тәсіл деп белгілеп, аламыз. Одан әрі:

Бұдан демек,
4-м ы с а л деп алып, есептеу керек.
Ш е ш у і деп белгілесек:

Бұдан x-ті тапсақ болады. Олай болса,
[2]
Рационал көрсеткішті дәреже өрнегі, болғанда a=0
жағдайынан басқа, барлық a мен n үшін анықталған. Сондай дәреженің
қасиеттерін еске түсірейік.
Кез келген a, b сандары және кез келген бүтін m мен n сандары үшін
мынадай теңдіктер тура:

Енді мынадай қасиетті де атап өтейік:
Егер mn болса, онда a1 болғанда болады және 0a1 болғанда
болады. Осы пунктте біз санның дәрежесі ұғымын жалпылаймыз, ол үшін
т.с.с. өрнектерге мағына беріп көрелік. Мұнда рационал көрсеткішті дәрежеге
бүтін көрсеткішті дәреженікіндей қасиеттерге (кем дегенде олардың
кейбіреулеріне) ие болатындай анықтама берілетіні түсінікті. Сонда, дербес
жағдайда, санының n-дәрежесі am өрнегіне тең болуы тиіс. Шынында да,
егер мына қасиет

орындалса, онда

Соңғы теңдік (n-дәрежелі түбірдің анықтамасы бойынша) санының n-
дәрежелі am болады дегенді білдіреді.
А н ы қ т а м а a0 санының рационал көрсеткішті дәрежесі деп
санын атайды, мұндағы m – бүтін сан, ал n – натурал сан (n1). Сонымен,
анықтама бойынша

(1)
0 санының дәрежесі оң көрсеткіштер үшін ғана анықталған; анықтамасы
бойынша кез келген r0 үшін 0r=0.
1- м ы с а л Рационал көрсеткішті дәреженің анықтамасы бойынша

2- м ы с а л Санды өрнектердің мәндерін табайық: және
Рационал көрсеткішті дәреженің анықтамасын және түбірлердің қасиеттерін
пайдаланып, мынаны табамыз
1- е с к е р т у Рационал көрсеткішті дәреженің анықтамасынан кез
келген оң a саны мен кез келген рационал r саны үшін a оң сан
болатындығы шығады.
2- е с к е р т у Рационал санның қай-қайсысын да бөлшек түрінде
түрліше жазып ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.