Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 29 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..
I ТАРАУ. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері 9
... ... .
1.1. Векторлар мен матрицалардың 9
нормалары ... ... ... ... ... ... . ... ...
1.2 Сызықтық алгебралық теңдеулер 10
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.3 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешудің итерация 11
әдісі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ...
1.4 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
Зейдель әдісімен 13
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... .
1.5 Қалыпты жүйе 17
жағдайы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
..
II ТАРАУ. Вариациялық типтегі итерациялық 18
әдістер ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 18
2.2 Минимал ауытқу әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 18
2.3 Минималь түзету әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
2.4 . Жылдам түсу әдісі 27
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5 Түйіндестік градиент 32
әдісі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.6 Қателік минимизациясы 33
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. 36
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .. 38

ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39
КІРІСПЕ

Батыс Эвропаның ұлы ойшылы Бэкон Роджердің Математика табиғат
философиясының - әліппесі деп барлық ғылымның мәнін математикаға
негіздеген. Қазіргі ғылымның бәрі математикамен тығыз байланысты.
Қазіргі қоғамның дамуы жоғарғы техникалық дәрежемен, өнеркәсіп
құрылымын ұйымдастыруының күрделіленуімен, шаруашылық басқарма және
жоспарлау әдістеріне қойылатын жоғарғы талаптармен сипатталады. Математика
мен қазіргі есептеу техникасының кейінгі жетістіктері экономикалық
жоспарлау мен зерттеулерде кең өріс алып отыр. Қазіргі уақытта, күрделі
экономикалық жүйелерді зерттеу әдістері мен математикалық модельдерді
игеруге арналған, қолданбалы математиканың жаңа саласы кең ауқым алып отыр.
Бұл өнеркәсіптің кең етек жайуына, Жер ресурстарының шектеулі екенін
сезінуіне, энергияны, материалдарды, жұмыс уақытын тиімді қолдануына,
экономика, экология және техникалық жаратылыстану ғылымдарының әртүрлі
процестерін рационалды басқаруына негізделеді. Қазіргі заманға дейін
біртіндеп дамып үлкен жетістіктерге жетіп отыр. Міне осы заманға дейін
ақпараттық технология қарқын дамып келеді.
XXI ғасыр – жаңа технология мен ақпараттандыру ғасыры. Елбасымыз
Қазақстан халқына жолдауында да қазіргі заманғы инфарақұрылымды әрі қарай
дамыту мақсаты көзделген.
Адамның барлық іс-әрекет саласында жуықтау есептерді шешу
математикалық программалаудың негізін құрайды. Математикалық
программалаудың құрама бөліктері болып сызықтық, сызықтық емес және
динамикалық программалау табылады.
Практикада сызықтық программалаудың есептері жетік меңгеріліп,
шешімнің алгоритмдері тұрғызылған.
Қай сала болсын өзінің даму тарихына шолу, мен үшін бір парыз деп
білемін. Математика анау Мысыр, Вавилоннан бастау алып бірнеше ғалымдардың
адамзат мәдениетінің қалаптасуы мен даму процесінде атқарған ролдері өте
зор. Қытай халқынан қалған тамаша ескерткіш Тоғыз тараулы математика
немесе тоғыз кітаптағы математика (Цзю чжан суань шу) деп аталатын
еңбектің сегізінші кітабы Фанчен алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесіне
келтірілген. Фанчэн деген сөз алгебралық теңдеулер жүйесін шешу алгоритмі
дегенді білдіреді. Және де бұл кітапта матрицалар теоремасының элементтері
баяндалған, бұл үлкен жетістік. Сызықтық алгебралық теңдеулерді есептеу
тақтасының көмегімен шешулері табылған. Есептеу тақтасын сол заманғы
есептеу машинасы ретінде қараған.
Дипломдық жұмыс, Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
деп аталатын, сызықтық алгабралық теңдеулердегі және вариациялық типтегі
итерациялық есептерін шешудегі әдістерді зерттеуге арналған. Вариациялық
типтегі әдістері жуықтау және минимизация есептерін шешуде қарапайым және
кеңінен қолданылатын әдістерінің бірі болып табылады. Әдістің негізгі
идеясы
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
Ax=b (1)
түріндегі матрица ретінде қарастырып, бұл жүйенің бірінші теңдеуін x1-ге ,
екіншісін x2-ге қатысты шешеді. Ол (1) жүйесіне эквивалентті деп аталып
былай белгіленеді:
(2)
Мұнда -матрица, -вектор ретінде қарастырылады. (2) жүйені
тізбектеп жуықтау әдісімен шешеді. - нөлдік жуықтау ретіндегі
босмүшелер бағаны. Онда кез-келген (k+1) –ші жуықтауы:
. (3)
түрінде жазылады.
(3) формуласымен анықталатын тізбектеп жуықтау әдісі итерация әдісі
болып табылады.
Зейдель әдісі итерациялық әдісінің модификациясы. Итерацияның Зейдель
әдісі сандар қадамы қарапайым итерациядан көрі көбірек дәл нәтиже береді.
Жинақталу шартында қарапайым итерация процесі мен әртүрлі процесс берілген
жүйе үшін жинақсыз болуы мүмкін, егер басқасы жинақталатын болса.
теңдеулер жүйесінен бастап (k+1) –ші жуықтауын құрамыз. Есеп
барысында X=A'X+B түрге келтіріміз.
түріне келтіреміз.
Вариациялық типтегі итерациялық әдістерге минималь ауытқу әдісі,
жылдам түсу әдісі, минималь түзету әдісі, түйіндестік градиент әдісі,
қателік минимизациясы жатады.
Оң анықталған симметриялы матрицаны қарастырады.
Ауытқуды арқылы белгілейді. Ax=f теңдігін есепке ала отырып

түріне жазамыз.
Минималь ауытқу әдісінде алгоритмі былай құрылады:
1. арқылы ауытқу векторы есептеледі;
2. формуласы арқылы параметрі табылады.
3. формуласынан хк+1 векторы есептеледі;
4. Егер дәлдігі берілсе, онда процесі тоқтайды.
Минималь түзету әдісін жүзеге асыру үшін әрбір итерациялық
теңдеулер жүйесін шешуді талап етеді.
Жылдам түсу әдісі жылдамдықпен жинақталуымен және қарапайым итерация
әдісі тиімді параметрімен дәлелденеді. Жылдам түсу әдісінің алгоримі
минималь ауытқу әдісінің алгоритміне ұқсас. Тек параметрі мына
формуламен есептеледі.
Түйіндестік градиент әдісі қос қадамды итерация әдісі болып табылады.

формуласымен өрнектеледі.
Қателік минимизацияның қателігі үшін
.
теңдеуін аламыз. Әрбір n үшін көбірек минимизациялауы талап етіледі.
Дипломдық жұмыстың мақсаты сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін
зерттеу, нақты есептерді шешуде вариациялық типтегі итерация әдістерін
қолдану болып табылады. Есептерді Excel кестелік процессоры көмегімен
шешу.
Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, қолданылған
әдебиеттер тізімінен және қосымшадан тұрады.
Бірінші тарауда сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
қарастырылған. Бірінші тарау бес параграфтан тұрады.
Бірінші параграфта сызықтық алгебрадағы векторлар мен матрицалардың
нормаларының анықтамалары және түрлері берілген. Сызықтық алгебрада
норманың үш түрі: кубтық, октаэдрлік, сфералық түрі қарастырылады. Екінші
параграфта сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі туралы айтылады. Векторлар
мен матрицалардың абсолюттік және салыстырмалы қателіктері көрсетіледі.
Сонымен қатар, берілген қателер бойынша шешімнің қателігін бағалау түрі
туралы теорема берілген. Үшінші параграфта сызықтық алгебралық теңдеулер
жүйесі үшін жалпы итерация әдісі қарастырылады. Тізбектеп жуықтау әдісімен
шешу жолы, итерация процесінің жинақталуының қажеттілік шартына арналған
теорема, одан туатын салдар көрсетілген. Төртінші параграфта сызықтық
алгебралық теңдеулер жүйесін Зейдель әдісі арқылы шешу, (k+1) жуықтауы
құрылады. Сонымен қоса, Зейдель әдісімен шешуге мысалы мен есептеу
алгоритмінің кестелері қарастырылған. Бесінші параграфта қалыпты жүйе
анықтамасы мен қалыпты күйге келтіру теоремалары көрсетіледі.
Екінші тарауда вариациялық типтегі итерация әдісі қарастырылады.
Екінші тарау алты бөлімнен тұрады.
Бірінші параграфта вариациялық типтегі итерация әдіске қысқаша
мағлұмат беріледі. Екінші параграфта минималь ауытқу әдісінің идеясы
баяндалады. Бұл параграфта минималь ауытқу әдісінің теорема, анықтама,
ескертуі мен мысалы келтіріледі. Және де минималь ауытқу әдісінің
алгоритмі, жинақталу шарттары жазылған. Ескертуде теореманы қолданылатын
пайдалы теңсіздігін қарастырып, пайдалы теңсіздікті керісінше дәлелдесе,
теореманы бекітіп алатыны туралы аталған. Үшінші параграфта минималь түзету
әдісі айқын емес итерациялық әдісі келтірілген параметрі үшін өрнегі
табылады. Төртінші параграфта жылдам түсу әдісі қарастырылады. Жинақталу
шартымен алгоритмі, мысалымен көрсетіледі. Бесінші параграфта түйіндестік
градиент әдісін қос қадамды итерация ретінде қарастырады. Бұл әдісте
жуықтаулар итерацияның соңғы санына дейін жинақталатыны айтылады. Алтыншы
параграфта қателік минимизациясында минимизациялаушы шарттары табылатын
формулалардан құралады. Әрбір мысал Excel кестелік процессорында орындалған
есептерімен толықтырылады.
Қортындысында қарастырылған әдістерге талдау жүргізіліп, сызықтық
теңдеулер жүйесін шешудің жалпы итерация әдістерін Зейдель әдісімен
салыстыра қарастырылады. Вариациялық типтегі итерация әдістері Зейдель
әдісіне қарағанда көбірек жеңіл.
Әдебиеттер тізімі дипломдық жұмысты орындауға пайдаланылған
жұмыстардан тұрады.
Қосымшада 1 есепті итерацияның екі әдісімен қарастырып, Зейдель
әдісімен салыстыру үш мысалдары қарастырылып, Excel кестелік процессорында
орындалуы көрсетіледі.
I ТАРАУ . Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешу әдістері
Теңдеулер жүйесін шешу жолдары әдетте, дәл және итерациялық әдістер
болып екі топқа бөлінеді. Қарастырылатын итерация әдісін қолданғанда тек
жинақтылығы ғана емес жинақталу жылдамдығы да қарастырылады. Себебі,
итерациялық әдіс, теңдеулер жүйесінің матрицасының түріне қарай, тез немесе
өте жәй жинақталуы мүмкін, ал кей жағдайда жинақталмауы мүмкін. Сондықтан
итерация әдісі жинақталатындай, эквивалентті теңдеулер жүйесімен
алмастырады.

1.1 Векторлар мен матрицалардың нормалары.
Анықтама. Х векторының нормасы-X деп мына шарттарды
қанағаттандыратын теріс емес санды айтамыз:
1) X 0 егер болса және X=0 егер Х=0 болса;
2) cX=c X , с-кез-келген сан;
3) X+У X+У (үшбұрыш теңсіздігі) .
Соңғы екі шарттан мына теңсіздікті алуға болады
X-У X-У.
Шынында да X =X+У-У X-У+У.
Осыдан X - У X-У.
Сызықтық алгебрада вектордың төмендегі үш нормасы жиі қолданылады:
1) (кубтық норма);
2) , (октаэдрлік норма);
3) (сфералық норма);
Анықтама. Берілген А квадрат матрицаның нормасы- деп теріс емес
және келесі төрт шартты қанағаттандыратын санды айтамыз:
1) егер және ,
2) ,
3) ,
4) .
Матрицаның нормасын әртүрлі жолдармен алуға болады.
Анықтама. Егер А матрицасы мен Х векторы үшін шарты орындалса,
онда А матрицасы мен Х векторының нормалары келісілген дейміз.
Матрицаның М(А) нормасы вектордың кубтық, октаэдрлік, сфералық
нормаларымен келісілген, ал N(A) тек сфералық нормамен келісілген.
Шынында да, егер Х=(x1,x2,...,xn)' болса , онда
1. ,онда ,
2. , онда ,
Ақырында
3. , онда .
теңсіздігінен М(А) мен N(A) нормаларының вектордың сфералық нормасымен
келісілгенін көреміз.
Пайдаланылған әдебиетттер

1.2 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ).
Матрицалық түрде берілген сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
берілсін
, (*)
Жүйенің A матрицасы берілсін, жүйе ерекше емес болсын. Бұл жағдайда
жүйенің шешімі табылатыны белгілі. Вектордың абсолюттік және салыстырмалы
қателігін енгізейік:
, ,
мұндағы - (*) жүйесінің шешімі, - жүйесінің шешімі .
Ал матрицаның абсолюттік және салыстырмалы қателігі:
, ,
формуламен беріледі.
Теорема (Берілген қателер бойынша шешімнің қателігін бағалау түрі).
- жүйесінің шешімі болсын, ал жүйесінің шешімі ,
онда
,
мұндағы -(*) жүйесінің шарттылығының салыстырмалы саны.
Бұл шарттылық саны 10-нан үлкен болса, онда жүйе нашар шарттылыланған,
себебі нәтиженің қателігінің күрт арту қаупі бар.
Пайдаланылған әдебиетттер

3. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешудің итерация әдісі.
Сызықтық теңдеуінің айнымалылар саны көп болғанда тура жауап беретін
Гаусс әдісін қолдану тиімсіз. Мұндайда жуық есептеу әдістерін қолданады.
Соның бірі –итерация әдісі. Итерация әдісі тізбектік жуықтау мәнін алуға
мүмкіндік береді. Есептеу жағынан жүйенің дәл шешіміне жинақталады.
Итерация әдісін қолданғанда көбірек тиімді болады, яғни мұндағы есептеу
аралығы едәуір аз дәлдікпен талап етіледі. Сонымен қатар, итерация әдісі
есептеу аралығындағы есеп қажеттіліктері біршама тұрақты. Жеке есеп
қателіктері итерацияның алдыңғы қадамдарында келесі есептеудің келесі
қажеттілігіне әсер етпейді. Енді сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешудің итерация әдісін қарастырайық.
Матицалық түрде берілген
, (1.1)
сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін,
мұндағы
- (1.1) жүйенің коэффицентірінің матрицасы,
- оның бос мүшесінің бағаны, - белгісіздер бағаны.
Диагональдық коэффициенттер деп алып, (1.1) жүйенің
бірінші теңдеуін ,-ге , екіншісін -ге т.с.с қатысты шешейік. Онда
(1.1)-ге эквивалентті
, (1.2)
жүйесін аламыз. Мұндағы - элементі , және болатын
матрица; - координаталары болатын векторлар.
(1.2) жүйесін тізбектеп жуықтау әдісімен шешеміз. Нөлдік жуықтау
ретінде босмүшелер бағанын алайық. Онда кез-келген (k+1)-ші жуықтау
. (1.3)
түрінде жазылады.
Егер , ,...,,... жуықтаулар жүйесінің шегі бар болса,
ол (1.2) жүйенің шешімі болады.
(1.3) формуласымен анықталатын тізбектеп жуықтау әдісі итерация әдісі
деп аталады.
Итерация процесінің жинақталуының қажеттілік шартын келтірейік.
Теорема. Егер келтірілген (1.2) жүйесі үшін қандайда бір
матрицасының мөлшері 1-ден кіші болса, яғни , онда итерация процесі
(1.3) бастапқы жуықтауды таңдап алудан тәуелсіз, жүйенің жалғыз шешіміне
жинақталады.
Салдар. жүйесі үшін итерация әдісі жинақталады, егер
, теңсіздігі орындалса, яғни диагональ коэффициентінің модулі жүйенің
әр теңдеулер үшін барлық басқа коэффициентінің модульдерінің қосындысынан
артық болады. Жинақтылық теоремасы (1.1) жүйенің коэффициентін қатал
шектейді. Бірақ , болса жүйе теңдеуін сызықтық комбинациялау көмегімен
(1.2) жүйесіне ауыстыруға болады.
Пайдаланылған әдебиетттер

1.4. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
Зейдель әдісімен шешу.
Зейдель әдісі итерация әдісіне ұқсас. Итерацияның Зейдель әдісі
қарапайым итерация әдісінен көрі сандар қадамы көбірек дәл нәтиже береді,
ал мұндай дәлдік қадамның санына жеткен болады. Солайша келесі белгісіздер
мәні мұнда көбірек дәл анықталады.
Бұл күтулер берілген ереже бойынша жүреді, демек итерацияның Зейдель
әдісі жалпылай айтқанда, шынында да көбірек дәл нәтиже береді. Ол бірақ
мынаны ескереді, яғни жинақталу шартында қарапайым итерация процесі және
Зейдель процесі мен әртүрлі берілген жүйе үшін жинақсыз болуы мүмкін, егер
олардың басқасы жинақталатын болса.
Оның негізгі идеясы, белгісізінің (k+1)-ші жуықтауын есептейді,
алдында есептелген
, ,..., белгісіздерінен (k+1) жуықтаулары ескеріледі.

келтірілген сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін.
, ,..., ,
белгісіздеріне сәйкес
, ,...,
бастапқы жуықтауларды еркімізше таңдап алайық.
Одан әрі, k-шы жуықтауы белгілі деп, Зейдельге сәйкес (k+1)-ші
жуықтауын құрамыз:

мұндағы .
Жоғарғы жинақтылық теоремасы бойынша Зейдель әдісі үшін де дұрыс.
Зейдель әдісінің алгоритмді кесте арқылы көрсетуге болады. Бұл кесте
кез-келген төрт топты жолдың әрбір санын есептей алады.

а11 а12 а13 а14
А
а21 а22 а23 а24
а31 а32 а33 а34
I ― а12 а13 а14
В
II а21 ― а23 а24
III а31 а32 ― а34

(5) ―
(6) ―
(7) ―
(8)= (5)+ (6)+ (7)
(9) ―
(10) ―
(11) ―
(12)= (9)+ (10)+
+(11)
(13) ... ... ...

Итерацияның Зейдель әдісіне мысал қарастырайық.
1Мысал Мына теңдеулер жүйесін Зейдель әдісімен шешейік:
10x1 + x2 + x3=12
2x1 + 10 x2 + x3=13
x1 + 2x2 + 10x3=14
Бұл есепті Зейдель әдісінің алгоритміне сәйкес кесте құрайық:
10 1 1 12 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.