Аппроксимацияның негізгі әдістері
Мазмұны
1 Дискретті теңдеулер
1.1 Ақырлы – айырымдық әдістің негізі
1.2 Аппроксимацияның негізгі әдістері. Тейлордың кесілген қатарымен
берілген аппроксимация әдісі
1.3 Айырымдық схема құрудың вариациялық принципі
1.4. Шектік – айырымдық теңдеулер
2 Дербес туындылы теңдеулер үшін айырымдық схемалар
2.1. Есептің қойылу сипаты
2.2. Коэффициенттері тұрақты жылу өткізгіштік теңдеу
2.3 Сызықтық тасымалдау теңдеуін шешудің сандық әдістері
2.4. Консервативтік қасиет
2.5. Ағынға қарсы өзгертілген схеманың бір түрі
2.6. Бір өлшемді сызықтық емес теңдеулерді шешу
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Соңғы кезде есептеу математикасына байланысты көп есептер, сызықты
емес есептерді шешу мәселелері қарастырылады. Математикалық физикада көп
үлгілердің теңдеулері сызықты емес. Сол сызықты емес теңдеулерді үлкен
дәлдікпен шешу мәселесі диссертацияда қарастырылады.
Диссертациялық жұмыстың негізгі мақсаты – Сызықтық емес теңдеулерді
шешу, оған тиімді сандық әдістерді қолдану.
Біз уақыт бойынша айнымалыға және оған сәйкес дифференциялдық
операторға байланыспаған айырымдық схема құруды қарастырдық. Бірақ
кеңістіктік дифференциялдық оператордың аппроксимациясының түрін таңдағанда
проблемалар туындайды. Аппроксимацияның бұл операторы – дифференциялдық
теңдеулердегі және шеттік шарттардағы туындылар, ең қарапайым түрде шекті
айырымдармен айырбасталды. Бірақ мұндай тәсіл ылғи да жетістікке
әкелмейтіндігі белгілі. Барынша күрделірек, сызықтық емес теңдеулермен және
коэффициенттері айнымалы теңдеулермен сипатталатын есептерде туындыларды
шекті айырымдармен айырбастау, үлкен қателері болатын схемаларға әкеледі,
немесе есептеуге мүлдем жарамайды. Энергияның сақталу заңына, массаға,
біріңғай еркін ортаның (газдың, сұйықтың) қозғалыс санына негізделе отырып
алынған дифференциялдық теңдеулерге сәйкес келетін кез келген айырымдық
схемаларға қойылатын маңызды талаптарға тоқталайық.
Үзіліссіз дәл шешімдер үшін дененің кез келген облысына сақталу заңы
орындалады. Айырымдық шешімдер үшін сақталу заңының орындалуын талап етудің
маңызды ерекшелігі бар, ол денені дискреттік түрде бөлшектеуге бейімделген.
Шынында да айырымдық шешімдер жекелеген нүктелерде ізделенетіндіктен,
денені сан сондай элементарлық көлемшелерге бөлшектеу қажет, бұлардың
әрқайсысында бір нүктеден бар деп ұйғарып олардан сақталу заңын еркін
элементарлық көлемшелрден талап еткендей, және осы элементарлық
көлемшелерден құралған кез келген облысқа да талдап қоя аламыз.
Анықтама. Энергияның сақталу заңын қанағаттандыратын (интегралдық
инварианттар)сандық шешімдер алынатын айырымдық схемаларды консервативтік
деп атаймыз, немесе егер айырымдық әдіс, қарастырылушы дифференциялдық
теңдеулерге тиісті белгілі бір интегралдық сақталу заңын қамтамассыз ететін
болса, оны консервативтік деп атаймыз.
Консервативтік қасиеттің маңыздылығын сығымдалушы ортаның үзіліс
еместік теңдеуінің мысалында оңай түсінуге болады. Толықтай тұйық,
қабырғалары өткізбейтін ыдыстағы кәдімгі конвекцияның есебін қарастырайық.
Алғашқы уақыт сәтінде барлық тұтас көлемде V = 0 деп есептейік. Ыдыстың
төменгі қабырғалырына жылу берілсін және табиғи конвекция пайда болады,
мүмкін стационарлық жағдайға дейін жетеді. Егер есептеу үшін әлдеқандай
консервативтік емес схема қабылданған болса, онда зерттелуші көлемдегі
толық масса өзгереді. Егерде консервативтік схема қолданылатын болса, онда
толық масса өзгермейді (жуықтаудың машиналық қатесін ескермеген
жағдайда). Бірінші жағдайда, массаның сақталуының бұзылғандығына орай
жіберлетін қате ∆x → 0 да азаятындығын көңілге демеу етуге болады, бірақ
іс жүзіндегі шекті ∆x шамасымен есептеулерде мұндай демеу әлсіз болады.
Бұл түсінікті біз маңызды деп есептейміз және консервативтік схеманы
қолдануды табандылықпен ұсынамыз. Бірақ бұл арада жақтайтын да қарсы
болатын да жақтары барының үстіне әдебиеттерде жарияланған сандық бақылау
есептеулерінің мысалдарында біржақты таңдау жасауға мүмкіндік бермейді. Осы
дәлелдер мен бақылау есептеулерінің нәтижелеріне үңілейік. Консервативтік
қасиет схеманың дәлдігін көтеруге міндетті түрде байланыспайды. Мысалға,
консервативтік теңдеулердің орнықты шешімдері консервативтік қасиеттерді
сақтайды. Оның үстіне консервативтік емес әдіс кейбір ұғымдарда
консервативтікке қарағанда дәлірек болуы мүмкін. Мысалға, тордың
түйіндеріндегі мәндер бойынша функцияны (анықтау) келтіру үшін жоғары ретті
полиномдардың бір өлшемді аппроксимацияларын қолдануға болар еді және бұл
жағдайда кеңістіктік айнымалылар бойынша туындыны анықтау жоғарырақ ретті
қателерге ұрындыруы ықтимал. Бірақ бұлайша құрылған схема консервативті
емес болуы мүмкін, ал егер дәлдік критериі консервативтік шартты қажет
ететін болса, онда консервативтік емес схеманың дәлдігі кемдеу болады.
1 Дискретті теңдеулер
1.1 Ақырлы – айырымдық әдістің негізі
Дифференциалдық теңдеулерді торлық әдіспен шешудің қарапайым жолы
теңдеу құрамындағы туындылардың жуық өрнектерін табумен қорытындыланады.
Бұл жуық өрнектер тордың торабындағы тәуелді айнымалылар мәні және уақыт
бойынша дискретті қадамдар үшін қолданумен анықталады.Бұдан олар ақырлы
кеңістіктерге және уақыттың қадамға тәуелді айнымалылардың айырымы
көмегімен қалыптасады.Осы себепті мұндай жақындау ақырлы – айырдық әдіс
деп аталады. Қабылданған жуықтау туындылар үшін, содан кейін қарастырылып
отырған теңдеулер жүйесінің дербес туындыларының аппроксимациялайтын
алгебралық теңдеулер жүйесін құруда қолданылады.Бұл алгебралық жүйе тордың
есептеу облысын жабатын әрбір ішкі торабында орынды деп есептейміз.Бастапқы
момент және кеңістіктің шекаралық нүктелерінде есептің физикалық қойылуынан
шығатын алғашқы және шекаралық шарттарды аппроксимациялайтын қосымша
шарттар немесе теңдеулер анықталады.Осы түрде алынған алгебралық теңдеулер
жүйесі әдетте компьютер және қандай да бір ыңғайлы көпқадамды процедура
көмегімен шешіледі.
Қарапайым болу үшін бір тәуелсіз айнымалыға байланысты төмендегі (1.1)
формуласы орындалады
,
(1.1)
функциясын қарастырамыз.Сандық әдістер есептің жуық шешімін береді, яғни
қандайда бір есептің дәл шешімінің орнына біз ізделінді функцияға
қандай да бір мағынада жақындайтын басқа есептің шешімін
табамыз.Барлық әдістердің көрсететін негізгі мағынасы – басқа есептің
қорытынды есебі дискретизациялау немесе аппроксимациялау комьютерде шығару
үшін өте ыңғайлы.Аппроксимациялау есебінің шешімі қандайда бір талап
етілген дәлдікпен шешімін анықтауға болатын параметрге тәуелді. Мысалы,
сандық интегралдау есебіндегі мұндай параметрлер квадратуралық формуланың
торабы немесе салмағы.Дискретті есептің шешімі ақырлы өлшемді кеңістіктің
элементі болып табылады. Мысалға,
,
кеңістігінің үздіксіз аргументінің функциясының
дискретизациясын қарастырайық. кесіндісінде тор деп аталатын
нүтелердің ақырлы нүктелер жиынын енгізейік. нүктесін торының
торабы деп атайды. жиыны және торабынсыз арқылы
белгілейміз.Егер қадамы көршілес тораптардың арасындағы тұрақты
(- ге тәуелді емес), болса онда торын бірқалыпты (
қадаммен), кері жағдайда бірқалыпты емес деп атайды. Барлық -да
анықталған функциясының орнына торлық функциясын қарастырамыз.
бүтінсанды аргумент немесе торының торабы, ал -ны
(өлшемді ) арқылы өлшемді кеңістігімен алмастырамыз. торлық
функциясын векторы ретінде қарастыруға болатындығы айқын.
өлшемді Евклид кеңістігіндегі нүкте болатын көп айнымалы
функциялар кеңістігінде дискретизациялауға келтіруге болады.Сонымен,
жазықтығында торын (мұндағы және бағыты бойынша тор
қадамы ) перпендикуляр түзулерінің қиылысуындағы нүктелер жиынын (торабын)
сәйкесінше енгізуге болады. –торы әрбір жеке айнымалысы бойынша
бірқалыпты екендігі айқын. функциясының орнына торлық
функциясын қарастырайық.Егер торы болатындай
тіктөртбұрышында жататын тораптардан ғана тұрса, онда тор ақырлы санды
тораптан тұрады, ал кеңістігі торлық функциясы ақырлы өлшемді
болып табылады.
Көп жағдайларда функциясын Фурье қатарына жіктелуімен берілген
түрін (1.2) формуласында қолданған ыңғайлы.
(1.2)
ң мәндері коэффициенттерінің барлығын есептеп табуға
мүмкіндік бермейді немесе дәлірек айтқанда олар тек әртүрлі
коэффициенттерін есептеу үшін қолданылуы мүмкін. – ң мәндері
мәнін анықтау үшін және қатардың ұзақтолқынды бөлігіндегі Фурье
коэффициенттерінің санының максималды мүмкіндігін анықтауда қолданылады,
яғни үшін коэффициенттерді. Осы компонеттердің ішіндегі ең қысқа
толқын - ге сәйкес келеді, мұндағы (1.3) формуласы толқын ұзындығын
береді
(1.3)
Осылайша таңдап, дискретті нүктелерінің мәнінің көмегімен
толқын ұзындығын - тен кіші екенін елестету мүмкін емес деп айтуға
болады.Туындылар үшін аппроксимацияны құру кезінде қолданылатын шамаларының
арасындағы айырымды қарастырамыз.Бұл айырымдар ақырлы айырымдар деп
аталады.Олар бір немесе бірнеше интервалдарында есептелуі
мүмкін.Нүктенің орналасуына байланысты туындысын анықтауды талап ететін
–ң алынатын мәндерінің ақырлы айырымдары центрлендірілген немесе
центрлендірілмеген болып бөлінеді.Центрлендірілмеген айырымдар болып
мысалы, алға (вперед) айырымы:
Көп жағдайда төмендегідеу центрлік айырымдар қолданылады.
Центрлік (орталық) айырымдар, осы айырым есептелетіндей нүктеге қатысты
симметриялы болатын мәндер арасындағы айырымды көрсетеді.
Дифференциалдық теңдеулерді аппроксимациялауларды құру жолдарының бірі
–туындылардың ақырлы – айырымдық қатынасымен сәйкестендірілетін қарапайым
алмастырумен алынады. Мәселен, бірінші ретті туынды үшін (1.4)
аппроксимацияны қолдануға болады.
(1.4)
Бұл ақырлы – айырымдық қатынас нүктесіндегі бірінші туындыларының
аппроксимацияларының мүмкін болатын мәндерінің ішіндегі бірғана ақырлысы.
Туындының ақырлы –айырымдық аппроксимациялау мағынасын жақсы түсіну үшін
функциясының нүктесіндегі туындысын анықтауды еске түсірейік:
.
Егер функциясы үзіліссіз, ал – жеткілікті аз, бірақ ақырлы
болса, онда айырым мәні айырым туындысының мәніне өте
жақындайды. Шынында да ақырлы өсімше туралы теоремадан туындының айырымдық
мәні ұзындығы интервалының қандай да бір нүктесіндегі ізделінді
функцияның туындысына тең.
Туындының айырымдық аппроксимациясының дәлдігін формальді түрде
функциясын Тейлор қатарына жіктеу немесе қалдық мүшемен берілген Тейлордың
формуласымен тексеруге болады. –ты функциясының мәні және оның
нүктесіндегі туындылары арқылы өрнектейік:
Мұндағы соңғы қосылғыш – қалдық мүше.
Алға (вперед) айырымының көмегімен өрнекті төмендегідей түрде жазамыз.
аппроксимация қателігі.
Мұндағы айырымы туынды түрінде берілген ақырлы айырымдық
қатынас немесе қандай да бір қиынырақ өрнек туынды аппроксимация ретінде
қолданылса, онда ең алдымен бұл аппроксимация келісілген болуы шарт.Демек,
ол тордың қадамы 0-ге ұмтылғанда туындысына жақындауы керек.(1.1) қатынасы
осы қасиеттерге ие екені айқын.
-торлық мәнінің орнына туындылар үшін жуық өрнекке дәл шешімін
қойсақ , онда кейбір пайдалы қасиеттерді алуға болады,содан кейін центрлік
нүктенің аймағында - ті Тейлор қатарына жіктелінеді.
(1.1) қатынасы үшін мұндай процедура төмендегідей өрнекке әкеледі.
Бұл өрнектер арасындағы айырым және берілген жағдайда аппроксимациялайтын
- туындысын туындының аппроксимациялық қателігі деп аталады.
Бұл жуықтауды қалыптастырғандағы қию (отсечены) болатын мүшелері.
Аппроксимация қателігі –ң өте аз мәніндегі туындысына айымдық
қатынастың жақындауының қаншалықты дәл екендігінің мәнін береді. Мұның
қарапайым шамасы аппроксимация дәлдігінің реті болып табылады. Бұл
аппроксимация қателігі үшін өрнектегі – ң ең кіші дәрежесі болады.
Сонымен, (1.1) аппроксимациясы аппроксимацияның бірінші ретті дәлдігі болып
табылады.
деп жазуға болады. Мұндағы, - дәл математикалық мағынаны
береді. –түрдегі аппроксимация қателігінің көрінісі аппроксимация
қателігінің болғанда абсолютті шамасынан аспайтындығын
білдіреді, мұндағы – нақты тұрақты.
Бұл жағдайда аппроксимация қателігінің тәжірибелік реті - ке тең
және жалпы теңдеудің барлық мүшелері үшін ең жоғарғы дәреже болып
табылады.Жалпы жағдайда өрнегі барлық үшін
орындалатындай – қа тәуелсіз бар екендігін білдіреді.Мұндағы
және -да анықталған – қа тәуелді нақты функциялар.
Аппроксимация қателігін түрінде көрсету қателік шамасының емес, ал
оның нольге ұмтылу сипатын ғана білдіретінін атап өткен жөн.
1.2 Аппроксимацияның негізгі әдістері
Тейлордың кесілген қатарымен берілген аппроксимация әдісі
Айталық, кеңістік бойынша қадамымен берілген бірқалыпты
айырымдық торының үш тізбектей торабы болсын.
Тейлор қатарын функциясы үшін (1.5) формуласы арқылы жіктейміз.
,
(1.5)
Егер оның екінші мүшесінен бөліп алсақ, онда (1.6) формула орынды болады
.
(1.6)
Демек (1.7) формуласы орынды,
.
(1.7)
Интегралдық әдіс. Сызықты Хопфа теңдеуін дивергентті (ажырату) түрде
қарастырайық.
Кеңістікте –ден –ге және ден –ге дейін
интервалда уақыт бойынша (1.8) формуласы арқылы интегралдаймыз.
. (1.8)
Жақша ішіндегі өрнектерді интегралдау арқылы төмендегіні (1.9) аламыз:
. (1.9)
Қалған интегралдарды – кеңістікті интегралды орта туралы теорема, ал уақыт
бойынша интегралды тіктөртбұрыштар (1.10) формуласы арқылы жуықтап
есептейміз.
(1.10)
(1.10) қатынасынан орта туралы теораманы қолданудан қалған туындылар
(1.11) формуласының көмегімен аппроксимацияланады (жуықталады).
.
(1.11)
(1.11) – ді (1.10) – ға қою және - ке бөлу арқылы (1.12)
айырымдық ұқсастықты аламыз.
. (1.12)
Көпмүшелілік жуықтау. Айырымдық өрнекті алу әдісі – алдымен тордың
торабында мәндері бойынша құрылып, кейін аналитикалы дифференциалданатын
тәуелсіз параметрлі аналитикалық аппроксимацияланатын (жуықталатын)
функцияларға қолдануға негізделген. Аппроксимацияланушы функцияның түрі
жуықтау шешімінен анықталуы керек, бірақ аппроксимацияланушы функция
ретінде көпмүшелік қолданылады.
фукциясының мәні және нүктелерінде берілсін деп ұйғарайық
және аппроксимация функциясын (1.13) формуласы арқылы 2-ші ретті
көпмүшеге келтіреміз.
,
(1.13)
ыңғайлы болу үшін нүктесін координаталар басы деп аламыз. Сонда
нүктелерінде жазылған теңдеу сәйкесінше (1.14) формуласында
көрсетілген
, (1.14)
береді.
Онда (1.14) формуласы арқылы келесі (1.15) қатынасты аламыз:
,
(1.15)
- нүктесінде бірінші және екінші ретті туындылар сәйкесінше (1.16)
арқылы өрнектеледі
, (1.16)
түрінде болады.
(1.16) есеп – қитаппен (1.15) формулалары дәлдіктерімен 2 – ретті орталық
айырымдық формулаларымен дәл келеді.
1.3 Айырымдық схема құрудың вариациялық принципі
Айырымдық схема құру әдісінің ең көп тараған әдісі баланстың
интегроинтерполяциялық әдісі немесе шет ел авторларының термині бойынша
бокс - әдіс .Баланс әдісі консервативті түрде жазылған және сақталу заңын
қанағаттандыратын теңдеулер үшін қолданылады.
Торлық облыстың элементар ұяшығы (бокс) үшін баланс теңдеуінен
айырымдық схема құрылады.Бұл жағдайда баланс теңдеуінде ұяшық бойынша
интеграл алынады. Элементар ұяшықтар үшін интеграл есептеу әдісіне тәуелді
интерполяциялық әдіс баланстық аппроксимацияның бүтін жиынын береді.
Солардың ішінде бізді көбірек қызықтыратыны квадраттық шамасын сақтауға
келтірілітендері. Мысалы энергиясы, энстрофиясы, сонымен бірге жалпы
алғанда әрбір сұлбаны арнайы әдіспен құрып және оны орнықтылыққа зерттейтін
энергетикалық баланс қатынасы орнықтылығын есептеуді қамтитындары.Сонымен
қатар баланс әдісіне ізделінді функцияның туындысы бар болатын шектік
шарттарды аппроксимациялауда қандайда бір қиындықтар туады.Жоғарыда атап
кеткен баланс әдісінің шектелген бөлігіне вариациондық жақындауды және
аппроксимация құру үшін дифференциалдық теңдеудің өзінен емес оған
сәйкестендірілетін интегралдық тепе – теңдіктерді қолдана отырып
әлсіздендіруге болады.Мұндай жақындау дифференциалдық теңдеу үшін үзіліссіз
және үзілісті коэффициенттер жағдайында шектік және бастапқы шарттар
энергетикалық түрде баланстрланған айырымдық аппроксимация құрудың бірыңғай
және жеңіл пішінделетін пройедурасын береді.
Жылу өткізгіштік теңдеуінде (1.17) вариациондық әдісті қолдануды
көрсетеміз:
,
(1.17)
,
мұндағы бойынша периодтылық шартын және бастапқы шартын
қанағаттандыратын температура үлестірілуі.Интегралдық тепе – теңдік құру
үшін теңдеуін (-жатық функциясын) облысында анықталған –
жатық функциясына көбейтеміз, нәтижені интегралдаймыз, содан (1.18)
формуласы келіп шығады:
.
(1.18)
Бұдан бөліктеп интегралдаудан (1.19) интегралдық тепе –теңдікті аламыз:
, (1.19)
мұндағы – кіріс параметрлерінің векторы.Торлық облысты бір өлшемді
тура көбейтінді көмегімен енгіземіз.
,
,
және де және бойынша дәл – ші ретті аппроксимация
класында (1.19) тепе –теңдінің қосындылы үлгісін (1.20) формуласы арқылы
құрамыз.
(1.20)
Мұндағы . Егер кез келген жеткілікті жатық функция болса,
(1.19) көмегімен шектік шарттармен берілген (1.17) есебінің шешімін әлсіз
жалпыланған мағынада (1.21) формуласымен анықтауға болады.
,
(1.21)
түріндегі жазуға болатын (1.19) тепе – теңдігі бастапқы және шекаралық
шарттармен дифференциалдық теңдеуді қамтиды.
функциялары салыстырмалы түрде (1.17) және (1.19) да барлық
амалдардың мағынасы болатындай дәрежеде жатық болсын деп ұйғарайық. Жатық
болу дәрежесін туындының ретімен және (1.17) теңдеуімен, (1.19) интегралдық
тепе –теңдігіне кіретін қосындыланатын функциялар дәрежесімен анықталады.
(1.17) теңдеуінен (1.19) тепе – теңдігі және функцияларының
компоненттерінен тек қана бірінші туындысы болуымен ерекшеленеді.Функция
класының жатық болу қажеттілігінен біршама әлсіретеді, үзіліссіз және
үзілісті коэффициентті есептер үшін айырымдық аппроксимация құрудың бір
мәнді процедурасы алынады. – ны таңдаудың еркіндігін есептей отырып,
(1.19) тепе –теңдігінің айқындалған қасиеттерін белгілейік. Дербес
жағдайда, деп алып, (1.19) – дан (1.17) есебіне сәйкес (1.22) жүйе
энергиясының баланс теңдеуін аламыз:
. (1.22)
Айырымдық аппроксимация құру процедурасы келесіден тұрады: Бастапқыда
интегралдар квадратуралық формуламен сәйкес – да аппроксимацияланады,
содан кейін айырымдық қатынасқа сәйкес бірінші туындымен
алмастырылады.Трапеция немесе центрлік тіктөртбұрыш түріндегі бір өлшемді
квадратуралық формулаларды тізбектей қолдану нәтижесінде шығатын (1.19)
қосындылауын тепе – теңдігінің сол жағын қарастыра отырып және
торлық функция кеңістігінде функционалы нүктесіндегі
функциясының торлық компоненті кез келген және тәуелсіз вариациаларды
функционалының тұрақтылық шартынан айырымдық теңдеу үшін нүктесіндегі
(1.23) нақты өрнегін алуға болады, яғни :
, (1.23)
(1.19) аппроксимациясының қателігі әлсіз мағынада екі және
функционалының жақындық дәрежесімен түсіндіріледі және квадратуралық
формуланың қалдық мүшелерімен және бірінші туындылы айырымдық өрнек
ауыстырымының қателігімен бірге сипатталады. (1.23) – ке дифференциалдау
амалын формальді түрде орындау арқылы бірнеше түрлендіруден кейін келесі
(1.24) теңдеулер жүйесіне келеміз:
(1.24)
Мұндағы
.
1.4. Шектік – айырымдық теңдеулер
Шектік – айырымдық жақындау сәйкестенділетін дифференциалдық
теңдеулерде туындыны ауыстыру арқылы алынатын алгебралық теңдеулер осы
дифференциалдық теңдеудің шектік – айырымдық аппроксимациясы немесе шектік
– айырымдық схемасы деп аталады. Бұл тақырыпта аппроксимация қателігі және
шектік айырымдық сұлбасының дәлдігі жайлы қарастырамыз.Мысал ретінде (1.25)
формуласы арқылы сызықты адвекция теңдеуін қолданамыз:
,
(1.25)
мұндағы – оң тұрақты. (1.25) теңдеуі айнымалысының тұрақты
жылдамдықпен осіне оң бағытпен адвекциясын бейнелейді. Бұл қарапайым
теңдеуді аналитикалық түрде шешуге болады.Алдымен аналитикалық шешімдерін
анықталған нақты шешімдер қасиеттерін салыстыру жолымен сандық шешімдер
қасиеттерін зерттеу үшін аламыз.Осы мақсатпен ауыстыру жолымен
айнымалысынан айнымалысына көшу ыңғайлы. белгілеуін пайдаланып,
аламыз.Бұл өрнектерді (1.25) – ке апарып қойсақ аламыз. Осылайша
функциясы уақыт функциясы бола алмайды, бірақ үшін кез келген
функция болуы мүмкіндігі көрініп түр.Осылайша (1.25) теңдеуінің шешімі
болады. Мұндағы – кез келген функция.Бұл кез келген бастапқы
шартын қанағаттандыратын (1.25) адвекция теңдеуінің жалпы шешімі.
Осылайша бастапқы шартын қанағаттандыратын (1.25) теңдеуінің шешімі
болып табылады. Физикалық түсіндіруде шешімді жазықтығында қарастыру
ыңғайлы. Бұл жағдайда түзу сызық бойында (1.26) тұрақты мән қабылдайтыны
айқын.
.
(1.26)
Бұл түзулер адвекция теңдеуінің сипаттамалары болып табылады.Солардың бірі
(сурет-1.1) көрсетілген. Шешімдер осы характеристикалар бойымен жалғасады.
Енді торлық әдіспен (1.25) теңдеуінің жуық шешімін табу үшін схема
құрамыз.Біз қазір тек қана (сурет-1.2) – да бейнеленген тор көмегімен
алынған жазықтығындағы нүктелер дискретті жүйесінде жуық шешімін
қарастырамыз.–нүктесіндегі жуық шешім арқылы белгіленген.
жазақтығына характеристика бойымен жалғасатын нақты шешімдегі беталыс
жақындау теңдеуін құру ойын тудырады. Мысалға туындының уақыт бойынша ауысу
жолымен айырымдық қатынасты - алға бағытымен, ал кеңістіктегі туындылы –
айырымдық қатынасты артқа бағытымен алайық.Нәтижеде келесі сұлбаны аламыз.
.
Сурет 1.1 - Сызықты адвекция теңдеуінің характеристикаларының бірі
Бұл схема ағынға қарсы деп аталуы мүмкін.Соңғы сөз нүктесінің
орналасуы адвекция жылдамдығы салыстырмалы екендігін көрсетеді.Бұл әлбетте
берілген дифференциалдық теңдеу үшін шексіз көп шектік – айырымдық
сұлбалардың ішіндегі біреуі ғана.
Сурет 1.2 - Адвекция теңдеуі жуық шешімін анықтау үшін ақырлы –
айырымдық сұлба
өсімшелері нольге ұмталғанда осы дифференциалдық теңдеуге
жуықталатын көптеген (1.27) формуласындағыдай сұлбалар бар.
,
(1.27)
(1.27) тасымалдау теңдеуіне (1.28) формуласы орындалады
,
(1.28)
диффузия теңдеуіне гидрогазодинамика теңдеуі үшін модельді болатын
айырымдық схема құру әдістерін қарастырамыз.Ең қарапайым әдіс – айырымдық
аппроксимациямен теңдеуге енетін туындылы ауыстырымнан тұрады.
тіктөртбұрышында бірқалыпты айырымдық торды енгіземіз.
арқылы торабындағы функцияның мәнін белгілейміз.
Келесі (1.29) айырымдық схеманы қарастырайық:
,
(1.29)
,
(1.30)
.
(1.31)
болғандықтан (1.29) және (1.31) сұлбалары (1.27) – (1.28) теңдеулерін
бойынша бірінші ретті, бойынша екінші ретті аппроксимациялайды.
(1.30) схемасы (1.32) теңдеуін және бойынша бірінші ретті
аппроксимациялайды:
,
(1.32)
(1.27) теңдеуі үшін және бойынша екінші ретті схема болып
табылады.Бір белгілі және бір белгісіз уақыттық қабатта белгісіз функцияның
мәні бар сұлбалар екіқабатты деп аталады.Демек, (1.29) – (1.31)
екіқабатты,ал (1.32) үшқабатты .
Анықтама: Келесі қабатта функцияның бір ғана мәні болатын әрбір
теңдеудегі схема айқын деп аталады.Кері жағдайда схема айқындалмаған болып
табылады.
Жоғарыда қарастырылған схемалар – айқын схема (1.27) теңдеуіне
айқындалмаған схеманың мысалы ретінде келесі (1.33) теңдеуін көрсетуге
болады
,
(1.33)
алуға болады. Жартылай айқындалмаған екі қабатты схемалар класын (1.34)
теңдеуі арқылы қарастырамыз:
. (1.34)
Мұндағы – параметр.
–болғанда бойынша – бойынша да екінші ретті
аппроксимация схемасын аламыз.Жоғарғы ретті аппроксимацияның екіқабатты
айқын схемасын құру әдістерінің бірі айырымдық схемаларды дифференциалдық
берілгендерге қолданылатын әдіс болып табылады.
Жинақтылық. Берілген дердес туындылы дифференциалдық теңдеулерді
аппроксимациялаушы алгебралық теңдеулердің шешімі жинақты деп аталады, егер
осы жуықтау шешімі тор ұяшықтарының өлшемі нольге ұмтылғандағы шамасы
бойынша айнымалының кез келген мәнін дербес туындылы дифференциалдық
теңдеудің нақты шешіміне жуықтайтын болса.
Сонымен,біз
болғанда болсын деп талап қояйық.
Келісімділік. Дискретизация процесі нәтижесінде алынған алгебралық
теңдеулер жүйесі тор ұяшықтарының өлшемі нольге ұмтылғандағы шегінде
бастапқы дифференциалдық теңдеуге келісіледі.Тордың әрбір тораптық
нүктесінде алгебралық теңдеулер жүйесі дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулерге эквивалентті.
Орнықтылық. Айырымдық схема орнықты деп аталады, егер уақыттық
координатаның әрбір қадамында келесісіне бір қадам өткендегі кез келген
қателік өспесе. Нақты шешім деп аталатын нәтижелік дифференциалдық
теңдеулердің белгілі шешімдерімен салыстырымды болатын сандық әдіспен шешу
қасиеттерін білу өте ыңғайлы. Сандық және нақты шешімдердің арасындағы
айырмашылық (1.35) өрнегінде көрсетілден
,
(1.35)
сандық шешімнің қателігі болып табылады.
Ереже бойынша сандық шешімнің қателігі қандайда бір себептермен белгісіз
болып табылады.Көбінесе сандық схемаға теңдеудің нақты шешімін қою
арқылы схеманың нақты өлшемін табуға болады.Дегенмен бұл шешім сандық
теңдеуді толық қанағаттандырмайды, онда бұл теңдеуді қанағаттандыратындай
қосымша мүше енгізуге тура келеді.Бұл мүшені арқылы белгілейік
Мәселен, (1.30) схемасына қолданғанда бұл процедура төмендегі (1.36)
теңдігін береді.
, (1.36)
– мүшесін ақырлы – айырымдық схеманың аппроксимация қателігі деп
аталады.Ол схема теңдеуін нақты шешім қаншалықты қанағаттандыратынын
көрсетеді және осылайша схеманың нақты өлшемін анықтайды. Нақты шешімді
кеңістікті - уақыттық нүктенің орталық аймағында Тейлор қатарына жіктеу
арқылы аппроксимация қателігі үшіныңғайлы өрнек формасын алуға
болады.Бастапқы мүшені шығару үшін нәтижелік дифференциалдық теңдеуді
қолдану арқылы аппроксимация қателігі үшін өрнекті келесі (1.37) түрде
аламыз.
. (1.37)
Алдында белгіленгендей бұл дифференциалдық теңдеуді ақырлы – айырымдық
схемаға келтіру үшін қиылып алынған мүшелер болып табылады.Тундыны
аппроксимациялау кезіндегі ұқсастық бойынша ақырлы – айырымдық схеманың
дәл реті өрнекте аппроксимация қателігі болып тұратын немесе
–тің ең кіші дәрежесі болып табылады.Осылайша (1.30) схемасы бірінші
ретті дәл схема болып табылады. –деп жазуға болады. және
ең кіші дәрежелері бірдей болмаған жағдайда кеңістіктегі дәлдік ретімен
және уақыттағы дәлдік ретіне айырмашылық қою маңызды. Белгіленгендей кез
келген схеманың келісімді болуының қажетті шарты - ол ең болмағанда
дәлдіктің бірінші реттісі болуы. Келісімді схеманың аппроксимация қателігі
және өсімшелерін кеміту жолымен кез келген аз шама етіп алуға
болады. Өкінішке орай сандық шешімнің қателігін азайту да осылайша алынады
деп ұйғару дұрыс емес.Осы себепті қателігін қарастыруға қайта
ораламыз.
Екі маңызды сұрақ туады:
1.Белгіленген қосындылы уақытта өсімшелері нольге ұмтылғанда
қателігінің беталысы қандай болады?
2.Егер белгіленген мәндерінде уақыттық қадамының саны өссе,
онда қателігінің беталысы қандай?
Бірінші сұраққа жауап сандық шешімнің жинақтылығына байланысты.Егер
ұсақталған тордың өлшемі бойынша ( болғанда) қателік нольге ұмтылса,
онда мұндай шешім жинақты деп аталады.Кез келген бастапқы шарт үшін схема
жинақты шешімді берсе, онда жинақты деп аталады.Схема келісімділігі
жинақтылыққа кепілдік бермейді.Мұны қарапайым мысалда демонстрлейміз.
(1.30) схемасын қарастырамыз:
Оның (1.37) аппроксимация қателігі тродың ұсақталу кезінде нольге ұмтылады
және сондықтан бұл келісімді схема.(сурет -1.3)-те көрсетілгендей тор және
характеристика сандық шешімін қарастырайық:
Сурет 1.3 - Тәуелділік облыс және характеристика орналасуына қатысты
мүмкіндіктер
Координата басын қиятын характеристика А нүктесінен де өтеді.Сондықтан А
нүктесіндегі дәл шешімі координата басындағы нүктенің бастапқы мәніне тең.
(1.32) –ке сәйкес А нүктесіндегі сандық шешім – дөңгелекпен белгіленген
нүктелер мәндерімен есептеледі.Штрихты сызық барлық осы нүктелерді қамтитын
және сандық схеманың тәуелділік облысы деп аталатын аймақты
қамтиды.Координата басының нүктесі бұл облыстан тысқары жатады, сондықтан А
нүктесіндегі сандық шешімді өзгертпейді.Демек, қателік кез келген үлкен
шама болуы мүмкін.Егер кеңістікті және уақытты қадамдарды пропорционал
азайтқанда, айталық биіктігінің жартысына, онда тәуелділік облысы сол
күйінде және жағдай өзгеріссіз болар еді.Осылайша, және
қадамдары өзгеріссіз қалатын болса, онда тордың ұсақталуы сандық шешімнің
қателігінің азаюына әкелмейді.Схеманың жинақталуының қажеттілік шарты –
тордың кез келген нүктесіндегі дәл шешімін анықтайтын характеристика осы
нүкте үшін сандық шешімнің тәуелділік облысының ішінде орналасуымен
сипатталады.Біз қарастырып отырған мысалда бұл тәуелділік облысын қамтитын
характеристика көлбеуі штрихталған сызық көлбеуінен үлкен болғанда жүзеге
асады.
Яғни, болғанда.
Осылайша, бұл (1.30) сұлбасының жинақталуы үшін қажетті шарттары болып
табылады.
Кейбір айырымдық теңдеулер үшін шешім анықтаудың қандайда бір кезеңінде
жіберілген аз қателіктер, келесі есептеулерде қатаң өседі, Мұндай айырымдық
теңдеулер орнықсыз болып табылады.Эволюциялық есеп үшін айырымдық схема
бастапқы берілгендермен орнықты деп аталады, егер айырымдық теңдеулер
жүйесі үздіксіз бастапқы берілгендерге байланысты болса.Орнықтылықты
анықтау қиындығы дәл шешім жалпы жағдайда шектелген болмауынан
туындайды,бірақ дәл шешім шектелген болуы белгілі болса, онда осы жерде
қарастырылатын теңдеудің орнына қателігінің шектелгендігіне қатысты
анықтаманы қолдануға болады. шешімі орнықты деп айтуға болады, егер
және белгіленген мәндері үшін – ді үлкейту деп бұл
қателік жинақтылығын сақтаса және жоғарыда айтылғандай ақырлы – айырымдық
схема орнықты болады егер кез келген бастапқы шарттары үшін орнықты шешімді
берсе.
Эквиваленттік туралы Лакс теоремасы. Егер шекаралық шарттармен
берілген нақты қойылған сызықты есеп және осы есепке келісімді шартын
қанағаттандыратын ақырлы – айырымдық аппроксимация бар болса, онда
орнықтылық жинақтылықтың қажетті және жеткілікті шарттары болып
табылады.Схеманың орнықтылығы оның маңызды тәжірибелік қасиеті болып
табылады.Жоғарғы ретті дәлдік құрылымы бар болып, дәл шешімінің ауытқуы
болуы мүмкін емес болатындай келісімді схемалар бар.Сонымен, егер
орнықтылық шарты бар болса, онда олар табылуы тиіс. (1.30) схемасы үшін
орнықтылық әдісін қолдануға мысал келтірейік.
Максимум принципі. Дәл шешімнің шектелген екендігі белгілі, онда
сандық шешімнің шектелген болуын тексеру жеткілікті. (1.30) схемасын
төмендегідей (1.38) теңдігі түрінде жазуға болады.
(1.38)
Жинақтылықтың қажеттілік шартымен сәйкес келетін шартында (1.39)
өрнегін аламыз:
,
(1.39)
уақыттық деңгейде максимумын қабылдайтын нүктеде бұл шартты
қолдануға болады.Егер уақыттық деңгейде және максимумдық
мәндерін алмастырсақ, онда (1.39) теңсіздігінің оң жағы тек өседі. (1.39) –
дің оң жағындағы екі мүшені қоссақ, онда мына теңсіздікті аламыз:
Бұл теңсіздік сандық шешімнің шектелгендігін дәлелдейді. Яғни, шарты
(1.30) схемасының орнықтылығы үшін жеткілікті шарт болып
табылады.Орнықтылықты тексерудің тура әдісі өте оңай.Схема сандарының
жеткілікті шенелгендігі үшін ол қолданымды екендігін алдын ала қолдануға
болады.
Энергетикалық әдіс. Бұл әдіс өте көп қолданылады.Оны сызықты емес
теңдеулер үшін де қолдануға болады.Егер дәл шешімнің шенелгендігі белгілі
болса,онда қосындысының шенелген болуын тексеруге болады.Егер бұл
қосынды шенелген болса, онда схеманың орнықты болуын дәлелдейтін
әрбір мәні де шенелген болуы керек. өрнегі физиканың көптеген
ұйғарымдарында энергияның қандай да бір формасына пропорционал болады,
мұндай әдіс энергетикалық әдіс деп аталады.Сонымен қатар, бұл шарт
орындалмайтындай мысалдар да бар. (1.38) өрнегін квадраттап және
бойынша қоссақ (1.40) төмендегі теңдікті аламыз.
. (1.40)
Циклдік шекаралық шарттар орындалатын деп есептейміз,мысалға .
Сонда (1.41) өрнегі келіп шығады
.
(1.41)
Енді Шварц теңсіздігін қолданайық және (1.41)- ді төмендегідей (1.42)
түрде жазуға болады.
. (1.42)
(1.41) және (1.42) қолдана отырып және егер болса, онда (1.40) – тан
төмендегі теңсіздік шығатынын көреміз немесе .
Сонымен, (1.38) схемасының орнықты болуы үшін шарт циклдік шекаралық
шарттары бар болғанда жеткілікті болатындығы дәлелденді.
Бастапқы берілгендері бойынша орнықтылық. Тасымалдау теңдеуі үшін
(1.43) Коши есебін қарастырайық.
, (1.43)
есебі үшін (1.44) айырымдық теңдеуін қарастырамыз.
, (1.44)
(1.44) айырымдық теңдеуін бастапқы берілгендері бойынша орнықтылығын (1.45)
өрнегі арқылы зерттейміз.
. (1.45)
Мұндағы -тен тәуелсіз және (1.45) шарты және кез
келгендері үшін орындалуы тиіс.Дербес жағдайда орнықты болу үшін және
кез келген болғанда оның орындалуы қажетті, яғни болғанда (1.44)
есебінің шешімі кез келген шенелген функция болғанда (1.46) шартын
қанағаттандыруы тиіс.Бастапқы берілгеннен (1.44) орнықтылық есебінің
ауытқуы деп (1.44) есебінің (1.45) орнықты болу үшін (1.46) қасиетін
айтамыз.
2 Дербес туындылы теңдеулер үшін айырымдық схемалар
2.1 Есептің қойылу сипаты
Кез келген есепті шешкенде оған кіру мәліметтерін алғашқы, ізделінуші
функцияның шеттік мәндері, теңдеудің оң жағын және коэффициенттерін т.б.
білуіміз қажет.
Әрбір есеп үшін белгілі,бірдей сұрақтар қойылады: есептің шешуі бола
ма, ол жалғыз ғана ма, және шешімге кіру параметрлеріне қалай тәуелді
болады? Осы мәселелерге Адамар шарты жауап беруі мүмкін.
Адамар шарты. Математикалық есептің жалпы жазылуын операторлық теңдеу
түрінде (2.1) арқылы көрсетуге болады.
(2.1)
мұндағы u және f ізделінуші және әлдеқандай U және F жиындарының элементі
ретінде анықталатын белгілі оң жағы. A:U→F операторы берілген деп
ұйғарылады, оның анықталу облысы D(A) ≤U және мәндерінің облысы R(A) ≤F.
(2.1) теңдеуінің есебін шешу Адамар шарты бойынша дұрыс қойылған
(сыпайы) қойылған деп айтамыз, егерде:
1) Кез келген үшін шешімі бар болады (шешімі болу шарты).
2) U - да бір ғана шешімі болады .
3) шешімі үзіліссіз түрде - қа тәуелді ( орнықтылық шарты).
Егер осы айтылған талаптардың біреуі болмаса (2.1) есебі дұрыс қойылмаған
(сыпайы) деп аталады.
Дұрыс қойылған есептің мысалы, интегралдау есебі, ал сыпайы емес
(дөрекі) есептікі – дифференциалдау есебі болады.
Мысал. Интегралдау есебі f(x) функциясы берілген; (2.2) интегралын
тап:
(2.2)
Функция – ты пен айырбастаймыз да қарастырамыз және
мына айырымды мұндағы Бұдан , егер екендігі
көрініп тұр, яғни J үзіліссіз түрде f ке тәуелді. J интегралын есептеу
үшін квадратуралық формулаларды пайдаланамыз:
, , .
Жоғарыда келтірілгенді қайталасақ мынау шығады:
Сонымен интегралды квадратуралық формулалар арқылы есептеу дұрыс қойылған
есеп.
Мысал. Дифференциалдау есебі. Жуық шамамен берілген u(x) функциясын
дифференциалдау есебі дұрыс қойылған емес. Шынында, болсын, мұндағы N
барынша үлкен. Онда С метрикасында (әлдеқандай
болсын, мұндағы барынша үлкен. Онда метрикесінде
(әлдеқандай () кесіндісінде) болғанда. Туындының
қатесі үшін бұдан .
Сонымен, С кеңістігінде u(x) функциясының аз өзгерісіне оның
- дағы туындысының үлкен өзгерісі сәйкес келеді. Сондықтан
сандық дифференциалдау да қате қойылған есеп. Туындының жуық мәнін туынды
айырымының формуласы бойынша дәлдікпен функция ()
қатесімен берілгенде табу үшін, келісімділік шарты , және тордың
һ адымы орындалуы қажет, мысалға түрінде (, )- ға
тәуелді емес оның үстіне тордың адымы төменнен де, жоғарыдан да шектелген.
Сонымен, қол жеткен сандық дифференциалдаудың жетістігі берілген функцияның
өзімен шектелінеді.
2.2 Коэффициенттері тұрақты жылу өткізгіштік теңдеу
1. Бастапқы есеп. Бір өлшемді жағдайда диффузияның таралу процесі
(2.3.) параболалық түрдегі теңдеумен сипатталады:
(2.3.)
Мұндағы х нүктесіндегі t уақыт сәтіндегі жылу функциясы, с – бірлік
массаның жылу сиымдылығы, - тығыздық, к – жылу өткізгіштік
коэффициенті, - бос мүше . Жалпы жағдайда, тек қана х пен t ға
емес, температураға да тәуелді болады (диффузияның квази сызықтық
теңдеуі және тен де (сызықтық емес теңдеу).
Егер тұрақты болса, онда (2.3.) теңдеуін төмендегі (2.4) теңдігі
түрінде жазуға болады:
(2.4)
мұндағы - жылуөткізгіштік коэффицинті. Жалпы шектемей-ақ
деп есептеуге болады.
Біз бірінші шеттік есепті мына облыста қарастырайық (кейде бастапқы –
шеттік есеп деп айтады) . -да үзіліссіз болатын шешуін
(2.5) өрнегі түрінде табу керек болсын,
(2.5)
шартымен және шекаралық шарттың диффузия теңдеуінің дәл
шешімі (2.6) түрде болады
,
(2.6)
.
Максимум принципінің күшімен (2.5) есебінің шешімі үшін төменлегі (2.7)
өрнегі орынды болады:
(2.7)
Біртекті шектік шартымен (2.8) түріндегі біртекті жылу өткізгіштік теңдеуді
қарастырайық:
(2.8)
Бұл есептің шешуін айнымалыларды айыру әдісімен (2.9) түрде табамыз:
(2.9)
мұндағы және - меншікті мәндер және мына есептің ортонормалдық
меншікті функциясы болады
,
Сонымен қатар скалярлық көбейтіндісі (2.10) теңдеулер жүйесі түрінде
беріледі
, (2.10)
Тегінде барлық дербес шешімдер (гармоникалар) теңдеуді және (2.7)
шеттік шарттарды қанағаттандырады. Алғышарттан (2.11) теңдігі келіп шығады
(2.11)
коэффициенттерін табады. (2.8) және (2.10) өрнектері (2.12)
формуласын береді
(2.12)
өйткені
.
Сонымен (2.8) есебінің шешуіне (2.13) орынды:
,
(2.13)
бұл (2.7) есебінің алғашқы мәліметтері бойынша ( ға ұмтылғандағы)
асимптоталық орнықтылық қасиетін өрнектейді. өскенде
моментінің әлдебірінен бастап тың өсетіндігенен, (2.8) қосындысында
бірінші қосылғыш (бірінші гармоника) күшейе түседі, яғни (2.14) жуықтау
теңсіздігі орынды болады:
(2.14)
Процестің бұл стадиясы жүйелі режим деп аталады.
Енді жылу өткізгіштік теңдеуін шешетін әлдебір өте маңызды айырымдық
схеманы үйренуге көшейік. Жылудың диффузиясының теңдеуі үшін қарапайым
айқын әдіс. (2.15) теңдігі айқын бір адымды әдіс
(2.15)
Уақыт бойынша бірінші ретті және х бойынша екінші ретті дәлдікке ие.
Аппроксимация қатесі . Жоғарыда көрсетілгендей мұндай айырымдық схема
(2.16) жағдайда орнықты:
мұндағы .
(2.16)
Қарастырып отырған жағдайда модификацияланған теңдеудің түрі (2.17) түрінде
болады:
(2.17)
болғанда аппроксимацияның қатесі тең болатындығын атап
өтеміз.
2.1 сурет - Ауысу коэффициентіндегі айқын схемаға айқын әдіс және дәл шешім
Аппроксимация қатесінің өрнегінде тақ ретті туындылардың кірмейтіндігін
ескеру де қызық. Сондықтан бұл әдіс үшін жылу өткізгіштік теңдеуінің шешуін
беретін басқа да көптеген әдістердегі сияқты айырымдық торда дисперсия
болмайды. Бұл факт қарастырылған схеманың ауысу коэффициентінің өрнегін
талдаудан да (2.18) теңдеуі түрінде туындайды:
.
(2.18)
Оның үстіне ауысу коэффициентінің жорамал бөлігі нольге тең және фаза
бойынша жылжу болмайды.2.1 - суретте (2.18) – дің ауысу коэффициенті мен
оның дәл мәнін әртүрлі екі - те салыстыру жүргізілген. Ауысу
коэффициентінің дәл мәні (өшу) фундаменталдық шешімді өрнегіне
қою жолымен анықталды. Бұдан т өмендегі (2.19) теңдіктеін аламыз
, немесе
(2.19)
мұндағы.
Демек, жылу өткізгіштік теңдеуінің дәл шешімінің амплитудасы уақыт
бойынша әр адым сайын рет (егер шекаралық шарттардың әсерін
ескермесек) азаяды.
2.2 сурет - Айқын схемадағы тәуелсіз болмау нүктелерінің зонасы
2.2-суреттен, жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің қарапайым айқын әдісі
r= болғанда β параметрінің үлкен мәндерінде күшті диссипациямен
сипатталады. Күткеніміздей r= болғанда ауысу коэффициентінің оның дәл
мәнімен әлдеқайда жақсы жақындасатындығы байқалады.
Қарапайым айқын әдісті пайдаланғанда жылуөткізгіштік теңдеуі алғашқы
мәліметтер берілген сызықтан жүйелі түрде жылжу (маршпен) арқылы шешіледі,
яғни айқын әдіспен гиперболалық теңдеулерді шешкендегі сияқты. Бұл
процес2.2 - суретте көрсетілген. Суреттен, шешім мен Р нүктесі АВ және СD
сызықтарында берілген шекаралық шартқа тәуелді емес екендігі көрініп тұр.
Дегенмен, жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімі Р нүктесінде жылуөткізгіштік
параболалық теңдеуінің сипаттарының түрі t=const боландықтан АВ және СD
сызықтарындағы шекаралық шарттарға тәуелді болуға тиіс. Демек, қарапайым
айқын схема (шекті - мен) параболалық типтегі дербес туындылы
теңдеудің физикалық ерекшеліктерін дұрыс үлгіленбейді. Дербес туындылы
параболалық түрдегі Д теңдеуін шешу үшін айқын емес әдістерді қолдану жақсы
екенігі көрініп тұр, себебі олар t= const сипатындағы және оның астындағы
белгілі ақпараттардың барлығын ескереді. Екінші жағынан айқын схемаларды
гиперболалық теңдеулерді шешуге пайдаланған жақсы, өйткені оларда
тәуелділік зонасының өлшемі шектеулі.
2.3 Сызықтық тасымалдау теңдеуін шешудің сандық әдістері
(2.20) сызықтық тасымалдау теңдеуін қарастырайық
,
(2.20)
с0, с=const болғанда сипаттамалық теңдеудің түрі мынадай болады: .
Сондықтан (2.20) теңдеуінің мысалында адвективтік мүшелерді әртүрлі шекті
айырымдық схемалар арқылы аппроксимациялағанда диффузиясы немесе тұтқырлығы
жоқ болғандағы субстанциясы тасымалдауды физикалық түрде бейнелеудегі
туындайтын сипаттық қателер мен ағаттықтарды көрсетейік.
(2.20) теңдеуінің шекті – айырымдық шешімдерінің негізгі қателерді
мыналар:
- дисперсиялық толқындар тудыратын фазалық: жекелеген гармоникалар
физикалық жылдамдықтардан өзге әртүрлі жылдамдықтармен таралатындығына
тұжырымдалып, есептеу дисперсиясының тиімділік әсері деп аталады.
Бұл тегістеуші әсер немесе схемалық есептеу тұтқырлығын тудырады.
Бұндай кемшіліктер бірінші ретті аппроксимациялау схемасында болады. Бұдан
басқа, толқын дисперсиясы физикалық жылдамдыққа қатысты (кешігу немесе
асығу) негізгі ауытқудың тасымалдану жылдамдығын қатеге ұрындыруы мүмкін.
- осцилляциялық немесе есептеу шуы, кеңістіктік туындыны
аппроксимаялуадың сандық схемасының монотонды еместігімен келісімдегі және
қарастырылушы функцияның торлық масштаб ұзындығына үлестірімінің
анықталмағандығынан туындайтын Гиббс эффектісіне. Бұл қателерді басқа
жағынан да, паразитарлық толқындар пайда болғандағы есептеу дисперсиясының
эффектісінен, толқынның ұзындығы 4∆х тен кіші болғанда тіпті физикалық
адвекцияға қарама-қарсы жылдамдығы болатындығымен де түсіндіруге болады.
Мұндай қателер реті бірден жоғары айырымдық схемалар үшін тән нәрсе,
деребес жағдайда орталық айырымдарға да тән.
- амплитудалық, гармониканың шамасының өсуіне қарай орнықсыздығына
немесе азаюына қарай өшуіне байланысты. Кеңістік бойынша орталандыру
кезінде туындайтын амплитуданың өшуіне дербес жағдайда схемалық тұтқырлық
(вязкость) әкеледі.
Уақыт бойынша айқын емес аппроксимациялауда (субстанцияның тасымалдау
жылдамдығы с-ны тұрақты деп ұйғарамыз) (2.20) – ға жиі қолданылатын (2.21)
бірінші ретті шекті-айырымдық схемаға ағынға қарсы талдау жүргіземіз:
(2.21)
мұндағы , егер с≥0 және кері жағдайда . бұл айырымдық схема
аппроксимация қатесі болатын бірінші ретті дәлдікке ие болады.
Нейман орнықтылығының шартынан схема мына жағдайда орнықты болады:
, мұндағы – Курант саны
(2.21) - ге болғанда және және - дың орнына олардың Тейлор
қатары түріндегі өрнегін қоямыз. Сонда мынау шығады:
Жеңіл-желпі түрлендіруден кейін мынау шығады:
Соңғы теңдікті t және х бойынша дифференциялдап және – с - ға
көбейтсек мынау шығады
Бұларды қоссақ
Осы жолмен табамыз:
Жоғарыдағы келтірілген барлық теңдіктерден (2.22) теңдеуі шығады:
(2.22)
Кейбір әдебиеттерде (2.22) теңдеуін айырымдық схеманың дифференциалдық
жуықтауы деп атайды.
(2.22) диференциалдық жуықтауының оң жағы берілген дербес туындылы
теңдеудің және оның шекті-айырымдық пішіні шешімдерінің айырымы
болғандықтан аппрокимацияның қатесі болып табылады. Демек, дифференциалдық
жуықтаудың оң жағындағы реті ең кіші мүшесі әдістің дәлдік ретін анықтайды.
Қарастырылған жағдайда әдістің дәлдік реті бірге тең, өйткені реті ең кіші
мүшесінің реті . Егер Курант саны болса онда(2.22) - нің оң жағы
нольге тең болады және айырымдық теңдеудің шешімі берілген дифференциалдық
теңдеудің дәл шешімі болады. Бұл жағдайда ағынға қарсы айырым бойынша
айырымдық схема мына түрде болады:
.
Берілген дербес туындылы теңдеудің дәл шешімін алуға ықпал ететін
шекті-айырымдық схема жөнінде, ол жылжу шартын қанағаттандырады деп
айтады.
Біз қарастырып отырған жағдайдағы аппроксимация қатесінің өрнегіндегі
бас мүше туындысына пропорционал, яғни ол бір өлшемді қозғалыс
теңдеуіндегі диссипативтік тұтқырлық мүшеге ұқсас. Демек, ағынға
қарсы схема схемалық тұтқырлық деп жиі аталатын жасанды тұтқырлықты
теңдеуге айқын емес түрде кіргізеді. Схемалық тұтқырлық градиенттердің
пайда болу себептеріне тәуелсіз түрде физикалық немесе есептік
градиенттердің барлық параметрлерін азайта (кішірейте) отырып теңдеудің
шешімін тегістейді. Келісімге орай жұп ретті туындылық болатын
аппроксимациясының қатесіндегі өрнек үшін айырымдық схеманың мұндай
қасиетін айырымдық тордағы диссипация деп атайды.
Айырымдық схеманың басқа физикалық қасиетке жақынын дисперсия деп
атайды. Ол аппроксимацияның қатесіне арналған өрнектегі тақ ретті туындымен
тікелей байланысты. Дисперсия әртүрлі толқындағы фазалардың қатынасын
өзгертеді (бұрмалайды). Шешімге диссипация мен дисперсияның біріге отырып
әсер етуін диффузия деп атаймыз. Диффузия, есептеу облысында пайда болатын
айналма (бұрма) сызықтардың бөлігін созуға келтіреді. Сонымен схемалық
тұтқырлық негізгі физикалық тұтқырлыққа қосымша қателік жалғау болады. Егер
ол физикалық тұтқырлқпен немесе диффузиямен салыстыруға жарайтындай немесе
олардан үлкен болса, онда схемалық тұтқырлықтың қатесін есептеу барысында
атмосферадағы турбуленттік алмасу үлесі өседі. 1- ші кестеде рудалық
аэрологияның есептеу модельдерінде жиі пайдаланылатын барынша қарапайым
схемалық тұтқырлықтың бірқатар схемаларға коэффициенттік бағалары
келтірілген. Бұл бағалаулардан, бірінші ретті барлық схемалардың схемалық
тұтқырлығы жоғары болатындығы және көпөлшемді есептерді есептеуге қолдану
керек еместігі көрініп тұр. 2.1 - суретте пунктермен қоспаны бір жола алып
тастауды тасымалдаудың есептеуі көрсетілген (тікбұрышты импульс) ол
схеманың ағынға қарсы негізінде және бірқалыпты жылдамдықтар өрісінде
диффузияның жоқ болатын жағдайында орындалады. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
1 Дискретті теңдеулер
1.1 Ақырлы – айырымдық әдістің негізі
1.2 Аппроксимацияның негізгі әдістері. Тейлордың кесілген қатарымен
берілген аппроксимация әдісі
1.3 Айырымдық схема құрудың вариациялық принципі
1.4. Шектік – айырымдық теңдеулер
2 Дербес туындылы теңдеулер үшін айырымдық схемалар
2.1. Есептің қойылу сипаты
2.2. Коэффициенттері тұрақты жылу өткізгіштік теңдеу
2.3 Сызықтық тасымалдау теңдеуін шешудің сандық әдістері
2.4. Консервативтік қасиет
2.5. Ағынға қарсы өзгертілген схеманың бір түрі
2.6. Бір өлшемді сызықтық емес теңдеулерді шешу
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Соңғы кезде есептеу математикасына байланысты көп есептер, сызықты
емес есептерді шешу мәселелері қарастырылады. Математикалық физикада көп
үлгілердің теңдеулері сызықты емес. Сол сызықты емес теңдеулерді үлкен
дәлдікпен шешу мәселесі диссертацияда қарастырылады.
Диссертациялық жұмыстың негізгі мақсаты – Сызықтық емес теңдеулерді
шешу, оған тиімді сандық әдістерді қолдану.
Біз уақыт бойынша айнымалыға және оған сәйкес дифференциялдық
операторға байланыспаған айырымдық схема құруды қарастырдық. Бірақ
кеңістіктік дифференциялдық оператордың аппроксимациясының түрін таңдағанда
проблемалар туындайды. Аппроксимацияның бұл операторы – дифференциялдық
теңдеулердегі және шеттік шарттардағы туындылар, ең қарапайым түрде шекті
айырымдармен айырбасталды. Бірақ мұндай тәсіл ылғи да жетістікке
әкелмейтіндігі белгілі. Барынша күрделірек, сызықтық емес теңдеулермен және
коэффициенттері айнымалы теңдеулермен сипатталатын есептерде туындыларды
шекті айырымдармен айырбастау, үлкен қателері болатын схемаларға әкеледі,
немесе есептеуге мүлдем жарамайды. Энергияның сақталу заңына, массаға,
біріңғай еркін ортаның (газдың, сұйықтың) қозғалыс санына негізделе отырып
алынған дифференциялдық теңдеулерге сәйкес келетін кез келген айырымдық
схемаларға қойылатын маңызды талаптарға тоқталайық.
Үзіліссіз дәл шешімдер үшін дененің кез келген облысына сақталу заңы
орындалады. Айырымдық шешімдер үшін сақталу заңының орындалуын талап етудің
маңызды ерекшелігі бар, ол денені дискреттік түрде бөлшектеуге бейімделген.
Шынында да айырымдық шешімдер жекелеген нүктелерде ізделенетіндіктен,
денені сан сондай элементарлық көлемшелерге бөлшектеу қажет, бұлардың
әрқайсысында бір нүктеден бар деп ұйғарып олардан сақталу заңын еркін
элементарлық көлемшелрден талап еткендей, және осы элементарлық
көлемшелерден құралған кез келген облысқа да талдап қоя аламыз.
Анықтама. Энергияның сақталу заңын қанағаттандыратын (интегралдық
инварианттар)сандық шешімдер алынатын айырымдық схемаларды консервативтік
деп атаймыз, немесе егер айырымдық әдіс, қарастырылушы дифференциялдық
теңдеулерге тиісті белгілі бір интегралдық сақталу заңын қамтамассыз ететін
болса, оны консервативтік деп атаймыз.
Консервативтік қасиеттің маңыздылығын сығымдалушы ортаның үзіліс
еместік теңдеуінің мысалында оңай түсінуге болады. Толықтай тұйық,
қабырғалары өткізбейтін ыдыстағы кәдімгі конвекцияның есебін қарастырайық.
Алғашқы уақыт сәтінде барлық тұтас көлемде V = 0 деп есептейік. Ыдыстың
төменгі қабырғалырына жылу берілсін және табиғи конвекция пайда болады,
мүмкін стационарлық жағдайға дейін жетеді. Егер есептеу үшін әлдеқандай
консервативтік емес схема қабылданған болса, онда зерттелуші көлемдегі
толық масса өзгереді. Егерде консервативтік схема қолданылатын болса, онда
толық масса өзгермейді (жуықтаудың машиналық қатесін ескермеген
жағдайда). Бірінші жағдайда, массаның сақталуының бұзылғандығына орай
жіберлетін қате ∆x → 0 да азаятындығын көңілге демеу етуге болады, бірақ
іс жүзіндегі шекті ∆x шамасымен есептеулерде мұндай демеу әлсіз болады.
Бұл түсінікті біз маңызды деп есептейміз және консервативтік схеманы
қолдануды табандылықпен ұсынамыз. Бірақ бұл арада жақтайтын да қарсы
болатын да жақтары барының үстіне әдебиеттерде жарияланған сандық бақылау
есептеулерінің мысалдарында біржақты таңдау жасауға мүмкіндік бермейді. Осы
дәлелдер мен бақылау есептеулерінің нәтижелеріне үңілейік. Консервативтік
қасиет схеманың дәлдігін көтеруге міндетті түрде байланыспайды. Мысалға,
консервативтік теңдеулердің орнықты шешімдері консервативтік қасиеттерді
сақтайды. Оның үстіне консервативтік емес әдіс кейбір ұғымдарда
консервативтікке қарағанда дәлірек болуы мүмкін. Мысалға, тордың
түйіндеріндегі мәндер бойынша функцияны (анықтау) келтіру үшін жоғары ретті
полиномдардың бір өлшемді аппроксимацияларын қолдануға болар еді және бұл
жағдайда кеңістіктік айнымалылар бойынша туындыны анықтау жоғарырақ ретті
қателерге ұрындыруы ықтимал. Бірақ бұлайша құрылған схема консервативті
емес болуы мүмкін, ал егер дәлдік критериі консервативтік шартты қажет
ететін болса, онда консервативтік емес схеманың дәлдігі кемдеу болады.
1 Дискретті теңдеулер
1.1 Ақырлы – айырымдық әдістің негізі
Дифференциалдық теңдеулерді торлық әдіспен шешудің қарапайым жолы
теңдеу құрамындағы туындылардың жуық өрнектерін табумен қорытындыланады.
Бұл жуық өрнектер тордың торабындағы тәуелді айнымалылар мәні және уақыт
бойынша дискретті қадамдар үшін қолданумен анықталады.Бұдан олар ақырлы
кеңістіктерге және уақыттың қадамға тәуелді айнымалылардың айырымы
көмегімен қалыптасады.Осы себепті мұндай жақындау ақырлы – айырдық әдіс
деп аталады. Қабылданған жуықтау туындылар үшін, содан кейін қарастырылып
отырған теңдеулер жүйесінің дербес туындыларының аппроксимациялайтын
алгебралық теңдеулер жүйесін құруда қолданылады.Бұл алгебралық жүйе тордың
есептеу облысын жабатын әрбір ішкі торабында орынды деп есептейміз.Бастапқы
момент және кеңістіктің шекаралық нүктелерінде есептің физикалық қойылуынан
шығатын алғашқы және шекаралық шарттарды аппроксимациялайтын қосымша
шарттар немесе теңдеулер анықталады.Осы түрде алынған алгебралық теңдеулер
жүйесі әдетте компьютер және қандай да бір ыңғайлы көпқадамды процедура
көмегімен шешіледі.
Қарапайым болу үшін бір тәуелсіз айнымалыға байланысты төмендегі (1.1)
формуласы орындалады
,
(1.1)
функциясын қарастырамыз.Сандық әдістер есептің жуық шешімін береді, яғни
қандайда бір есептің дәл шешімінің орнына біз ізделінді функцияға
қандай да бір мағынада жақындайтын басқа есептің шешімін
табамыз.Барлық әдістердің көрсететін негізгі мағынасы – басқа есептің
қорытынды есебі дискретизациялау немесе аппроксимациялау комьютерде шығару
үшін өте ыңғайлы.Аппроксимациялау есебінің шешімі қандайда бір талап
етілген дәлдікпен шешімін анықтауға болатын параметрге тәуелді. Мысалы,
сандық интегралдау есебіндегі мұндай параметрлер квадратуралық формуланың
торабы немесе салмағы.Дискретті есептің шешімі ақырлы өлшемді кеңістіктің
элементі болып табылады. Мысалға,
,
кеңістігінің үздіксіз аргументінің функциясының
дискретизациясын қарастырайық. кесіндісінде тор деп аталатын
нүтелердің ақырлы нүктелер жиынын енгізейік. нүктесін торының
торабы деп атайды. жиыны және торабынсыз арқылы
белгілейміз.Егер қадамы көршілес тораптардың арасындағы тұрақты
(- ге тәуелді емес), болса онда торын бірқалыпты (
қадаммен), кері жағдайда бірқалыпты емес деп атайды. Барлық -да
анықталған функциясының орнына торлық функциясын қарастырамыз.
бүтінсанды аргумент немесе торының торабы, ал -ны
(өлшемді ) арқылы өлшемді кеңістігімен алмастырамыз. торлық
функциясын векторы ретінде қарастыруға болатындығы айқын.
өлшемді Евклид кеңістігіндегі нүкте болатын көп айнымалы
функциялар кеңістігінде дискретизациялауға келтіруге болады.Сонымен,
жазықтығында торын (мұндағы және бағыты бойынша тор
қадамы ) перпендикуляр түзулерінің қиылысуындағы нүктелер жиынын (торабын)
сәйкесінше енгізуге болады. –торы әрбір жеке айнымалысы бойынша
бірқалыпты екендігі айқын. функциясының орнына торлық
функциясын қарастырайық.Егер торы болатындай
тіктөртбұрышында жататын тораптардан ғана тұрса, онда тор ақырлы санды
тораптан тұрады, ал кеңістігі торлық функциясы ақырлы өлшемді
болып табылады.
Көп жағдайларда функциясын Фурье қатарына жіктелуімен берілген
түрін (1.2) формуласында қолданған ыңғайлы.
(1.2)
ң мәндері коэффициенттерінің барлығын есептеп табуға
мүмкіндік бермейді немесе дәлірек айтқанда олар тек әртүрлі
коэффициенттерін есептеу үшін қолданылуы мүмкін. – ң мәндері
мәнін анықтау үшін және қатардың ұзақтолқынды бөлігіндегі Фурье
коэффициенттерінің санының максималды мүмкіндігін анықтауда қолданылады,
яғни үшін коэффициенттерді. Осы компонеттердің ішіндегі ең қысқа
толқын - ге сәйкес келеді, мұндағы (1.3) формуласы толқын ұзындығын
береді
(1.3)
Осылайша таңдап, дискретті нүктелерінің мәнінің көмегімен
толқын ұзындығын - тен кіші екенін елестету мүмкін емес деп айтуға
болады.Туындылар үшін аппроксимацияны құру кезінде қолданылатын шамаларының
арасындағы айырымды қарастырамыз.Бұл айырымдар ақырлы айырымдар деп
аталады.Олар бір немесе бірнеше интервалдарында есептелуі
мүмкін.Нүктенің орналасуына байланысты туындысын анықтауды талап ететін
–ң алынатын мәндерінің ақырлы айырымдары центрлендірілген немесе
центрлендірілмеген болып бөлінеді.Центрлендірілмеген айырымдар болып
мысалы, алға (вперед) айырымы:
Көп жағдайда төмендегідеу центрлік айырымдар қолданылады.
Центрлік (орталық) айырымдар, осы айырым есептелетіндей нүктеге қатысты
симметриялы болатын мәндер арасындағы айырымды көрсетеді.
Дифференциалдық теңдеулерді аппроксимациялауларды құру жолдарының бірі
–туындылардың ақырлы – айырымдық қатынасымен сәйкестендірілетін қарапайым
алмастырумен алынады. Мәселен, бірінші ретті туынды үшін (1.4)
аппроксимацияны қолдануға болады.
(1.4)
Бұл ақырлы – айырымдық қатынас нүктесіндегі бірінші туындыларының
аппроксимацияларының мүмкін болатын мәндерінің ішіндегі бірғана ақырлысы.
Туындының ақырлы –айырымдық аппроксимациялау мағынасын жақсы түсіну үшін
функциясының нүктесіндегі туындысын анықтауды еске түсірейік:
.
Егер функциясы үзіліссіз, ал – жеткілікті аз, бірақ ақырлы
болса, онда айырым мәні айырым туындысының мәніне өте
жақындайды. Шынында да ақырлы өсімше туралы теоремадан туындының айырымдық
мәні ұзындығы интервалының қандай да бір нүктесіндегі ізделінді
функцияның туындысына тең.
Туындының айырымдық аппроксимациясының дәлдігін формальді түрде
функциясын Тейлор қатарына жіктеу немесе қалдық мүшемен берілген Тейлордың
формуласымен тексеруге болады. –ты функциясының мәні және оның
нүктесіндегі туындылары арқылы өрнектейік:
Мұндағы соңғы қосылғыш – қалдық мүше.
Алға (вперед) айырымының көмегімен өрнекті төмендегідей түрде жазамыз.
аппроксимация қателігі.
Мұндағы айырымы туынды түрінде берілген ақырлы айырымдық
қатынас немесе қандай да бір қиынырақ өрнек туынды аппроксимация ретінде
қолданылса, онда ең алдымен бұл аппроксимация келісілген болуы шарт.Демек,
ол тордың қадамы 0-ге ұмтылғанда туындысына жақындауы керек.(1.1) қатынасы
осы қасиеттерге ие екені айқын.
-торлық мәнінің орнына туындылар үшін жуық өрнекке дәл шешімін
қойсақ , онда кейбір пайдалы қасиеттерді алуға болады,содан кейін центрлік
нүктенің аймағында - ті Тейлор қатарына жіктелінеді.
(1.1) қатынасы үшін мұндай процедура төмендегідей өрнекке әкеледі.
Бұл өрнектер арасындағы айырым және берілген жағдайда аппроксимациялайтын
- туындысын туындының аппроксимациялық қателігі деп аталады.
Бұл жуықтауды қалыптастырғандағы қию (отсечены) болатын мүшелері.
Аппроксимация қателігі –ң өте аз мәніндегі туындысына айымдық
қатынастың жақындауының қаншалықты дәл екендігінің мәнін береді. Мұның
қарапайым шамасы аппроксимация дәлдігінің реті болып табылады. Бұл
аппроксимация қателігі үшін өрнектегі – ң ең кіші дәрежесі болады.
Сонымен, (1.1) аппроксимациясы аппроксимацияның бірінші ретті дәлдігі болып
табылады.
деп жазуға болады. Мұндағы, - дәл математикалық мағынаны
береді. –түрдегі аппроксимация қателігінің көрінісі аппроксимация
қателігінің болғанда абсолютті шамасынан аспайтындығын
білдіреді, мұндағы – нақты тұрақты.
Бұл жағдайда аппроксимация қателігінің тәжірибелік реті - ке тең
және жалпы теңдеудің барлық мүшелері үшін ең жоғарғы дәреже болып
табылады.Жалпы жағдайда өрнегі барлық үшін
орындалатындай – қа тәуелсіз бар екендігін білдіреді.Мұндағы
және -да анықталған – қа тәуелді нақты функциялар.
Аппроксимация қателігін түрінде көрсету қателік шамасының емес, ал
оның нольге ұмтылу сипатын ғана білдіретінін атап өткен жөн.
1.2 Аппроксимацияның негізгі әдістері
Тейлордың кесілген қатарымен берілген аппроксимация әдісі
Айталық, кеңістік бойынша қадамымен берілген бірқалыпты
айырымдық торының үш тізбектей торабы болсын.
Тейлор қатарын функциясы үшін (1.5) формуласы арқылы жіктейміз.
,
(1.5)
Егер оның екінші мүшесінен бөліп алсақ, онда (1.6) формула орынды болады
.
(1.6)
Демек (1.7) формуласы орынды,
.
(1.7)
Интегралдық әдіс. Сызықты Хопфа теңдеуін дивергентті (ажырату) түрде
қарастырайық.
Кеңістікте –ден –ге және ден –ге дейін
интервалда уақыт бойынша (1.8) формуласы арқылы интегралдаймыз.
. (1.8)
Жақша ішіндегі өрнектерді интегралдау арқылы төмендегіні (1.9) аламыз:
. (1.9)
Қалған интегралдарды – кеңістікті интегралды орта туралы теорема, ал уақыт
бойынша интегралды тіктөртбұрыштар (1.10) формуласы арқылы жуықтап
есептейміз.
(1.10)
(1.10) қатынасынан орта туралы теораманы қолданудан қалған туындылар
(1.11) формуласының көмегімен аппроксимацияланады (жуықталады).
.
(1.11)
(1.11) – ді (1.10) – ға қою және - ке бөлу арқылы (1.12)
айырымдық ұқсастықты аламыз.
. (1.12)
Көпмүшелілік жуықтау. Айырымдық өрнекті алу әдісі – алдымен тордың
торабында мәндері бойынша құрылып, кейін аналитикалы дифференциалданатын
тәуелсіз параметрлі аналитикалық аппроксимацияланатын (жуықталатын)
функцияларға қолдануға негізделген. Аппроксимацияланушы функцияның түрі
жуықтау шешімінен анықталуы керек, бірақ аппроксимацияланушы функция
ретінде көпмүшелік қолданылады.
фукциясының мәні және нүктелерінде берілсін деп ұйғарайық
және аппроксимация функциясын (1.13) формуласы арқылы 2-ші ретті
көпмүшеге келтіреміз.
,
(1.13)
ыңғайлы болу үшін нүктесін координаталар басы деп аламыз. Сонда
нүктелерінде жазылған теңдеу сәйкесінше (1.14) формуласында
көрсетілген
, (1.14)
береді.
Онда (1.14) формуласы арқылы келесі (1.15) қатынасты аламыз:
,
(1.15)
- нүктесінде бірінші және екінші ретті туындылар сәйкесінше (1.16)
арқылы өрнектеледі
, (1.16)
түрінде болады.
(1.16) есеп – қитаппен (1.15) формулалары дәлдіктерімен 2 – ретті орталық
айырымдық формулаларымен дәл келеді.
1.3 Айырымдық схема құрудың вариациялық принципі
Айырымдық схема құру әдісінің ең көп тараған әдісі баланстың
интегроинтерполяциялық әдісі немесе шет ел авторларының термині бойынша
бокс - әдіс .Баланс әдісі консервативті түрде жазылған және сақталу заңын
қанағаттандыратын теңдеулер үшін қолданылады.
Торлық облыстың элементар ұяшығы (бокс) үшін баланс теңдеуінен
айырымдық схема құрылады.Бұл жағдайда баланс теңдеуінде ұяшық бойынша
интеграл алынады. Элементар ұяшықтар үшін интеграл есептеу әдісіне тәуелді
интерполяциялық әдіс баланстық аппроксимацияның бүтін жиынын береді.
Солардың ішінде бізді көбірек қызықтыратыны квадраттық шамасын сақтауға
келтірілітендері. Мысалы энергиясы, энстрофиясы, сонымен бірге жалпы
алғанда әрбір сұлбаны арнайы әдіспен құрып және оны орнықтылыққа зерттейтін
энергетикалық баланс қатынасы орнықтылығын есептеуді қамтитындары.Сонымен
қатар баланс әдісіне ізделінді функцияның туындысы бар болатын шектік
шарттарды аппроксимациялауда қандайда бір қиындықтар туады.Жоғарыда атап
кеткен баланс әдісінің шектелген бөлігіне вариациондық жақындауды және
аппроксимация құру үшін дифференциалдық теңдеудің өзінен емес оған
сәйкестендірілетін интегралдық тепе – теңдіктерді қолдана отырып
әлсіздендіруге болады.Мұндай жақындау дифференциалдық теңдеу үшін үзіліссіз
және үзілісті коэффициенттер жағдайында шектік және бастапқы шарттар
энергетикалық түрде баланстрланған айырымдық аппроксимация құрудың бірыңғай
және жеңіл пішінделетін пройедурасын береді.
Жылу өткізгіштік теңдеуінде (1.17) вариациондық әдісті қолдануды
көрсетеміз:
,
(1.17)
,
мұндағы бойынша периодтылық шартын және бастапқы шартын
қанағаттандыратын температура үлестірілуі.Интегралдық тепе – теңдік құру
үшін теңдеуін (-жатық функциясын) облысында анықталған –
жатық функциясына көбейтеміз, нәтижені интегралдаймыз, содан (1.18)
формуласы келіп шығады:
.
(1.18)
Бұдан бөліктеп интегралдаудан (1.19) интегралдық тепе –теңдікті аламыз:
, (1.19)
мұндағы – кіріс параметрлерінің векторы.Торлық облысты бір өлшемді
тура көбейтінді көмегімен енгіземіз.
,
,
және де және бойынша дәл – ші ретті аппроксимация
класында (1.19) тепе –теңдінің қосындылы үлгісін (1.20) формуласы арқылы
құрамыз.
(1.20)
Мұндағы . Егер кез келген жеткілікті жатық функция болса,
(1.19) көмегімен шектік шарттармен берілген (1.17) есебінің шешімін әлсіз
жалпыланған мағынада (1.21) формуласымен анықтауға болады.
,
(1.21)
түріндегі жазуға болатын (1.19) тепе – теңдігі бастапқы және шекаралық
шарттармен дифференциалдық теңдеуді қамтиды.
функциялары салыстырмалы түрде (1.17) және (1.19) да барлық
амалдардың мағынасы болатындай дәрежеде жатық болсын деп ұйғарайық. Жатық
болу дәрежесін туындының ретімен және (1.17) теңдеуімен, (1.19) интегралдық
тепе –теңдігіне кіретін қосындыланатын функциялар дәрежесімен анықталады.
(1.17) теңдеуінен (1.19) тепе – теңдігі және функцияларының
компоненттерінен тек қана бірінші туындысы болуымен ерекшеленеді.Функция
класының жатық болу қажеттілігінен біршама әлсіретеді, үзіліссіз және
үзілісті коэффициентті есептер үшін айырымдық аппроксимация құрудың бір
мәнді процедурасы алынады. – ны таңдаудың еркіндігін есептей отырып,
(1.19) тепе –теңдігінің айқындалған қасиеттерін белгілейік. Дербес
жағдайда, деп алып, (1.19) – дан (1.17) есебіне сәйкес (1.22) жүйе
энергиясының баланс теңдеуін аламыз:
. (1.22)
Айырымдық аппроксимация құру процедурасы келесіден тұрады: Бастапқыда
интегралдар квадратуралық формуламен сәйкес – да аппроксимацияланады,
содан кейін айырымдық қатынасқа сәйкес бірінші туындымен
алмастырылады.Трапеция немесе центрлік тіктөртбұрыш түріндегі бір өлшемді
квадратуралық формулаларды тізбектей қолдану нәтижесінде шығатын (1.19)
қосындылауын тепе – теңдігінің сол жағын қарастыра отырып және
торлық функция кеңістігінде функционалы нүктесіндегі
функциясының торлық компоненті кез келген және тәуелсіз вариациаларды
функционалының тұрақтылық шартынан айырымдық теңдеу үшін нүктесіндегі
(1.23) нақты өрнегін алуға болады, яғни :
, (1.23)
(1.19) аппроксимациясының қателігі әлсіз мағынада екі және
функционалының жақындық дәрежесімен түсіндіріледі және квадратуралық
формуланың қалдық мүшелерімен және бірінші туындылы айырымдық өрнек
ауыстырымының қателігімен бірге сипатталады. (1.23) – ке дифференциалдау
амалын формальді түрде орындау арқылы бірнеше түрлендіруден кейін келесі
(1.24) теңдеулер жүйесіне келеміз:
(1.24)
Мұндағы
.
1.4. Шектік – айырымдық теңдеулер
Шектік – айырымдық жақындау сәйкестенділетін дифференциалдық
теңдеулерде туындыны ауыстыру арқылы алынатын алгебралық теңдеулер осы
дифференциалдық теңдеудің шектік – айырымдық аппроксимациясы немесе шектік
– айырымдық схемасы деп аталады. Бұл тақырыпта аппроксимация қателігі және
шектік айырымдық сұлбасының дәлдігі жайлы қарастырамыз.Мысал ретінде (1.25)
формуласы арқылы сызықты адвекция теңдеуін қолданамыз:
,
(1.25)
мұндағы – оң тұрақты. (1.25) теңдеуі айнымалысының тұрақты
жылдамдықпен осіне оң бағытпен адвекциясын бейнелейді. Бұл қарапайым
теңдеуді аналитикалық түрде шешуге болады.Алдымен аналитикалық шешімдерін
анықталған нақты шешімдер қасиеттерін салыстыру жолымен сандық шешімдер
қасиеттерін зерттеу үшін аламыз.Осы мақсатпен ауыстыру жолымен
айнымалысынан айнымалысына көшу ыңғайлы. белгілеуін пайдаланып,
аламыз.Бұл өрнектерді (1.25) – ке апарып қойсақ аламыз. Осылайша
функциясы уақыт функциясы бола алмайды, бірақ үшін кез келген
функция болуы мүмкіндігі көрініп түр.Осылайша (1.25) теңдеуінің шешімі
болады. Мұндағы – кез келген функция.Бұл кез келген бастапқы
шартын қанағаттандыратын (1.25) адвекция теңдеуінің жалпы шешімі.
Осылайша бастапқы шартын қанағаттандыратын (1.25) теңдеуінің шешімі
болып табылады. Физикалық түсіндіруде шешімді жазықтығында қарастыру
ыңғайлы. Бұл жағдайда түзу сызық бойында (1.26) тұрақты мән қабылдайтыны
айқын.
.
(1.26)
Бұл түзулер адвекция теңдеуінің сипаттамалары болып табылады.Солардың бірі
(сурет-1.1) көрсетілген. Шешімдер осы характеристикалар бойымен жалғасады.
Енді торлық әдіспен (1.25) теңдеуінің жуық шешімін табу үшін схема
құрамыз.Біз қазір тек қана (сурет-1.2) – да бейнеленген тор көмегімен
алынған жазықтығындағы нүктелер дискретті жүйесінде жуық шешімін
қарастырамыз.–нүктесіндегі жуық шешім арқылы белгіленген.
жазақтығына характеристика бойымен жалғасатын нақты шешімдегі беталыс
жақындау теңдеуін құру ойын тудырады. Мысалға туындының уақыт бойынша ауысу
жолымен айырымдық қатынасты - алға бағытымен, ал кеңістіктегі туындылы –
айырымдық қатынасты артқа бағытымен алайық.Нәтижеде келесі сұлбаны аламыз.
.
Сурет 1.1 - Сызықты адвекция теңдеуінің характеристикаларының бірі
Бұл схема ағынға қарсы деп аталуы мүмкін.Соңғы сөз нүктесінің
орналасуы адвекция жылдамдығы салыстырмалы екендігін көрсетеді.Бұл әлбетте
берілген дифференциалдық теңдеу үшін шексіз көп шектік – айырымдық
сұлбалардың ішіндегі біреуі ғана.
Сурет 1.2 - Адвекция теңдеуі жуық шешімін анықтау үшін ақырлы –
айырымдық сұлба
өсімшелері нольге ұмталғанда осы дифференциалдық теңдеуге
жуықталатын көптеген (1.27) формуласындағыдай сұлбалар бар.
,
(1.27)
(1.27) тасымалдау теңдеуіне (1.28) формуласы орындалады
,
(1.28)
диффузия теңдеуіне гидрогазодинамика теңдеуі үшін модельді болатын
айырымдық схема құру әдістерін қарастырамыз.Ең қарапайым әдіс – айырымдық
аппроксимациямен теңдеуге енетін туындылы ауыстырымнан тұрады.
тіктөртбұрышында бірқалыпты айырымдық торды енгіземіз.
арқылы торабындағы функцияның мәнін белгілейміз.
Келесі (1.29) айырымдық схеманы қарастырайық:
,
(1.29)
,
(1.30)
.
(1.31)
болғандықтан (1.29) және (1.31) сұлбалары (1.27) – (1.28) теңдеулерін
бойынша бірінші ретті, бойынша екінші ретті аппроксимациялайды.
(1.30) схемасы (1.32) теңдеуін және бойынша бірінші ретті
аппроксимациялайды:
,
(1.32)
(1.27) теңдеуі үшін және бойынша екінші ретті схема болып
табылады.Бір белгілі және бір белгісіз уақыттық қабатта белгісіз функцияның
мәні бар сұлбалар екіқабатты деп аталады.Демек, (1.29) – (1.31)
екіқабатты,ал (1.32) үшқабатты .
Анықтама: Келесі қабатта функцияның бір ғана мәні болатын әрбір
теңдеудегі схема айқын деп аталады.Кері жағдайда схема айқындалмаған болып
табылады.
Жоғарыда қарастырылған схемалар – айқын схема (1.27) теңдеуіне
айқындалмаған схеманың мысалы ретінде келесі (1.33) теңдеуін көрсетуге
болады
,
(1.33)
алуға болады. Жартылай айқындалмаған екі қабатты схемалар класын (1.34)
теңдеуі арқылы қарастырамыз:
. (1.34)
Мұндағы – параметр.
–болғанда бойынша – бойынша да екінші ретті
аппроксимация схемасын аламыз.Жоғарғы ретті аппроксимацияның екіқабатты
айқын схемасын құру әдістерінің бірі айырымдық схемаларды дифференциалдық
берілгендерге қолданылатын әдіс болып табылады.
Жинақтылық. Берілген дердес туындылы дифференциалдық теңдеулерді
аппроксимациялаушы алгебралық теңдеулердің шешімі жинақты деп аталады, егер
осы жуықтау шешімі тор ұяшықтарының өлшемі нольге ұмтылғандағы шамасы
бойынша айнымалының кез келген мәнін дербес туындылы дифференциалдық
теңдеудің нақты шешіміне жуықтайтын болса.
Сонымен,біз
болғанда болсын деп талап қояйық.
Келісімділік. Дискретизация процесі нәтижесінде алынған алгебралық
теңдеулер жүйесі тор ұяшықтарының өлшемі нольге ұмтылғандағы шегінде
бастапқы дифференциалдық теңдеуге келісіледі.Тордың әрбір тораптық
нүктесінде алгебралық теңдеулер жүйесі дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулерге эквивалентті.
Орнықтылық. Айырымдық схема орнықты деп аталады, егер уақыттық
координатаның әрбір қадамында келесісіне бір қадам өткендегі кез келген
қателік өспесе. Нақты шешім деп аталатын нәтижелік дифференциалдық
теңдеулердің белгілі шешімдерімен салыстырымды болатын сандық әдіспен шешу
қасиеттерін білу өте ыңғайлы. Сандық және нақты шешімдердің арасындағы
айырмашылық (1.35) өрнегінде көрсетілден
,
(1.35)
сандық шешімнің қателігі болып табылады.
Ереже бойынша сандық шешімнің қателігі қандайда бір себептермен белгісіз
болып табылады.Көбінесе сандық схемаға теңдеудің нақты шешімін қою
арқылы схеманың нақты өлшемін табуға болады.Дегенмен бұл шешім сандық
теңдеуді толық қанағаттандырмайды, онда бұл теңдеуді қанағаттандыратындай
қосымша мүше енгізуге тура келеді.Бұл мүшені арқылы белгілейік
Мәселен, (1.30) схемасына қолданғанда бұл процедура төмендегі (1.36)
теңдігін береді.
, (1.36)
– мүшесін ақырлы – айырымдық схеманың аппроксимация қателігі деп
аталады.Ол схема теңдеуін нақты шешім қаншалықты қанағаттандыратынын
көрсетеді және осылайша схеманың нақты өлшемін анықтайды. Нақты шешімді
кеңістікті - уақыттық нүктенің орталық аймағында Тейлор қатарына жіктеу
арқылы аппроксимация қателігі үшіныңғайлы өрнек формасын алуға
болады.Бастапқы мүшені шығару үшін нәтижелік дифференциалдық теңдеуді
қолдану арқылы аппроксимация қателігі үшін өрнекті келесі (1.37) түрде
аламыз.
. (1.37)
Алдында белгіленгендей бұл дифференциалдық теңдеуді ақырлы – айырымдық
схемаға келтіру үшін қиылып алынған мүшелер болып табылады.Тундыны
аппроксимациялау кезіндегі ұқсастық бойынша ақырлы – айырымдық схеманың
дәл реті өрнекте аппроксимация қателігі болып тұратын немесе
–тің ең кіші дәрежесі болып табылады.Осылайша (1.30) схемасы бірінші
ретті дәл схема болып табылады. –деп жазуға болады. және
ең кіші дәрежелері бірдей болмаған жағдайда кеңістіктегі дәлдік ретімен
және уақыттағы дәлдік ретіне айырмашылық қою маңызды. Белгіленгендей кез
келген схеманың келісімді болуының қажетті шарты - ол ең болмағанда
дәлдіктің бірінші реттісі болуы. Келісімді схеманың аппроксимация қателігі
және өсімшелерін кеміту жолымен кез келген аз шама етіп алуға
болады. Өкінішке орай сандық шешімнің қателігін азайту да осылайша алынады
деп ұйғару дұрыс емес.Осы себепті қателігін қарастыруға қайта
ораламыз.
Екі маңызды сұрақ туады:
1.Белгіленген қосындылы уақытта өсімшелері нольге ұмтылғанда
қателігінің беталысы қандай болады?
2.Егер белгіленген мәндерінде уақыттық қадамының саны өссе,
онда қателігінің беталысы қандай?
Бірінші сұраққа жауап сандық шешімнің жинақтылығына байланысты.Егер
ұсақталған тордың өлшемі бойынша ( болғанда) қателік нольге ұмтылса,
онда мұндай шешім жинақты деп аталады.Кез келген бастапқы шарт үшін схема
жинақты шешімді берсе, онда жинақты деп аталады.Схема келісімділігі
жинақтылыққа кепілдік бермейді.Мұны қарапайым мысалда демонстрлейміз.
(1.30) схемасын қарастырамыз:
Оның (1.37) аппроксимация қателігі тродың ұсақталу кезінде нольге ұмтылады
және сондықтан бұл келісімді схема.(сурет -1.3)-те көрсетілгендей тор және
характеристика сандық шешімін қарастырайық:
Сурет 1.3 - Тәуелділік облыс және характеристика орналасуына қатысты
мүмкіндіктер
Координата басын қиятын характеристика А нүктесінен де өтеді.Сондықтан А
нүктесіндегі дәл шешімі координата басындағы нүктенің бастапқы мәніне тең.
(1.32) –ке сәйкес А нүктесіндегі сандық шешім – дөңгелекпен белгіленген
нүктелер мәндерімен есептеледі.Штрихты сызық барлық осы нүктелерді қамтитын
және сандық схеманың тәуелділік облысы деп аталатын аймақты
қамтиды.Координата басының нүктесі бұл облыстан тысқары жатады, сондықтан А
нүктесіндегі сандық шешімді өзгертпейді.Демек, қателік кез келген үлкен
шама болуы мүмкін.Егер кеңістікті және уақытты қадамдарды пропорционал
азайтқанда, айталық биіктігінің жартысына, онда тәуелділік облысы сол
күйінде және жағдай өзгеріссіз болар еді.Осылайша, және
қадамдары өзгеріссіз қалатын болса, онда тордың ұсақталуы сандық шешімнің
қателігінің азаюына әкелмейді.Схеманың жинақталуының қажеттілік шарты –
тордың кез келген нүктесіндегі дәл шешімін анықтайтын характеристика осы
нүкте үшін сандық шешімнің тәуелділік облысының ішінде орналасуымен
сипатталады.Біз қарастырып отырған мысалда бұл тәуелділік облысын қамтитын
характеристика көлбеуі штрихталған сызық көлбеуінен үлкен болғанда жүзеге
асады.
Яғни, болғанда.
Осылайша, бұл (1.30) сұлбасының жинақталуы үшін қажетті шарттары болып
табылады.
Кейбір айырымдық теңдеулер үшін шешім анықтаудың қандайда бір кезеңінде
жіберілген аз қателіктер, келесі есептеулерде қатаң өседі, Мұндай айырымдық
теңдеулер орнықсыз болып табылады.Эволюциялық есеп үшін айырымдық схема
бастапқы берілгендермен орнықты деп аталады, егер айырымдық теңдеулер
жүйесі үздіксіз бастапқы берілгендерге байланысты болса.Орнықтылықты
анықтау қиындығы дәл шешім жалпы жағдайда шектелген болмауынан
туындайды,бірақ дәл шешім шектелген болуы белгілі болса, онда осы жерде
қарастырылатын теңдеудің орнына қателігінің шектелгендігіне қатысты
анықтаманы қолдануға болады. шешімі орнықты деп айтуға болады, егер
және белгіленген мәндері үшін – ді үлкейту деп бұл
қателік жинақтылығын сақтаса және жоғарыда айтылғандай ақырлы – айырымдық
схема орнықты болады егер кез келген бастапқы шарттары үшін орнықты шешімді
берсе.
Эквиваленттік туралы Лакс теоремасы. Егер шекаралық шарттармен
берілген нақты қойылған сызықты есеп және осы есепке келісімді шартын
қанағаттандыратын ақырлы – айырымдық аппроксимация бар болса, онда
орнықтылық жинақтылықтың қажетті және жеткілікті шарттары болып
табылады.Схеманың орнықтылығы оның маңызды тәжірибелік қасиеті болып
табылады.Жоғарғы ретті дәлдік құрылымы бар болып, дәл шешімінің ауытқуы
болуы мүмкін емес болатындай келісімді схемалар бар.Сонымен, егер
орнықтылық шарты бар болса, онда олар табылуы тиіс. (1.30) схемасы үшін
орнықтылық әдісін қолдануға мысал келтірейік.
Максимум принципі. Дәл шешімнің шектелген екендігі белгілі, онда
сандық шешімнің шектелген болуын тексеру жеткілікті. (1.30) схемасын
төмендегідей (1.38) теңдігі түрінде жазуға болады.
(1.38)
Жинақтылықтың қажеттілік шартымен сәйкес келетін шартында (1.39)
өрнегін аламыз:
,
(1.39)
уақыттық деңгейде максимумын қабылдайтын нүктеде бұл шартты
қолдануға болады.Егер уақыттық деңгейде және максимумдық
мәндерін алмастырсақ, онда (1.39) теңсіздігінің оң жағы тек өседі. (1.39) –
дің оң жағындағы екі мүшені қоссақ, онда мына теңсіздікті аламыз:
Бұл теңсіздік сандық шешімнің шектелгендігін дәлелдейді. Яғни, шарты
(1.30) схемасының орнықтылығы үшін жеткілікті шарт болып
табылады.Орнықтылықты тексерудің тура әдісі өте оңай.Схема сандарының
жеткілікті шенелгендігі үшін ол қолданымды екендігін алдын ала қолдануға
болады.
Энергетикалық әдіс. Бұл әдіс өте көп қолданылады.Оны сызықты емес
теңдеулер үшін де қолдануға болады.Егер дәл шешімнің шенелгендігі белгілі
болса,онда қосындысының шенелген болуын тексеруге болады.Егер бұл
қосынды шенелген болса, онда схеманың орнықты болуын дәлелдейтін
әрбір мәні де шенелген болуы керек. өрнегі физиканың көптеген
ұйғарымдарында энергияның қандай да бір формасына пропорционал болады,
мұндай әдіс энергетикалық әдіс деп аталады.Сонымен қатар, бұл шарт
орындалмайтындай мысалдар да бар. (1.38) өрнегін квадраттап және
бойынша қоссақ (1.40) төмендегі теңдікті аламыз.
. (1.40)
Циклдік шекаралық шарттар орындалатын деп есептейміз,мысалға .
Сонда (1.41) өрнегі келіп шығады
.
(1.41)
Енді Шварц теңсіздігін қолданайық және (1.41)- ді төмендегідей (1.42)
түрде жазуға болады.
. (1.42)
(1.41) және (1.42) қолдана отырып және егер болса, онда (1.40) – тан
төмендегі теңсіздік шығатынын көреміз немесе .
Сонымен, (1.38) схемасының орнықты болуы үшін шарт циклдік шекаралық
шарттары бар болғанда жеткілікті болатындығы дәлелденді.
Бастапқы берілгендері бойынша орнықтылық. Тасымалдау теңдеуі үшін
(1.43) Коши есебін қарастырайық.
, (1.43)
есебі үшін (1.44) айырымдық теңдеуін қарастырамыз.
, (1.44)
(1.44) айырымдық теңдеуін бастапқы берілгендері бойынша орнықтылығын (1.45)
өрнегі арқылы зерттейміз.
. (1.45)
Мұндағы -тен тәуелсіз және (1.45) шарты және кез
келгендері үшін орындалуы тиіс.Дербес жағдайда орнықты болу үшін және
кез келген болғанда оның орындалуы қажетті, яғни болғанда (1.44)
есебінің шешімі кез келген шенелген функция болғанда (1.46) шартын
қанағаттандыруы тиіс.Бастапқы берілгеннен (1.44) орнықтылық есебінің
ауытқуы деп (1.44) есебінің (1.45) орнықты болу үшін (1.46) қасиетін
айтамыз.
2 Дербес туындылы теңдеулер үшін айырымдық схемалар
2.1 Есептің қойылу сипаты
Кез келген есепті шешкенде оған кіру мәліметтерін алғашқы, ізделінуші
функцияның шеттік мәндері, теңдеудің оң жағын және коэффициенттерін т.б.
білуіміз қажет.
Әрбір есеп үшін белгілі,бірдей сұрақтар қойылады: есептің шешуі бола
ма, ол жалғыз ғана ма, және шешімге кіру параметрлеріне қалай тәуелді
болады? Осы мәселелерге Адамар шарты жауап беруі мүмкін.
Адамар шарты. Математикалық есептің жалпы жазылуын операторлық теңдеу
түрінде (2.1) арқылы көрсетуге болады.
(2.1)
мұндағы u және f ізделінуші және әлдеқандай U және F жиындарының элементі
ретінде анықталатын белгілі оң жағы. A:U→F операторы берілген деп
ұйғарылады, оның анықталу облысы D(A) ≤U және мәндерінің облысы R(A) ≤F.
(2.1) теңдеуінің есебін шешу Адамар шарты бойынша дұрыс қойылған
(сыпайы) қойылған деп айтамыз, егерде:
1) Кез келген үшін шешімі бар болады (шешімі болу шарты).
2) U - да бір ғана шешімі болады .
3) шешімі үзіліссіз түрде - қа тәуелді ( орнықтылық шарты).
Егер осы айтылған талаптардың біреуі болмаса (2.1) есебі дұрыс қойылмаған
(сыпайы) деп аталады.
Дұрыс қойылған есептің мысалы, интегралдау есебі, ал сыпайы емес
(дөрекі) есептікі – дифференциалдау есебі болады.
Мысал. Интегралдау есебі f(x) функциясы берілген; (2.2) интегралын
тап:
(2.2)
Функция – ты пен айырбастаймыз да қарастырамыз және
мына айырымды мұндағы Бұдан , егер екендігі
көрініп тұр, яғни J үзіліссіз түрде f ке тәуелді. J интегралын есептеу
үшін квадратуралық формулаларды пайдаланамыз:
, , .
Жоғарыда келтірілгенді қайталасақ мынау шығады:
Сонымен интегралды квадратуралық формулалар арқылы есептеу дұрыс қойылған
есеп.
Мысал. Дифференциалдау есебі. Жуық шамамен берілген u(x) функциясын
дифференциалдау есебі дұрыс қойылған емес. Шынында, болсын, мұндағы N
барынша үлкен. Онда С метрикасында (әлдеқандай
болсын, мұндағы барынша үлкен. Онда метрикесінде
(әлдеқандай () кесіндісінде) болғанда. Туындының
қатесі үшін бұдан .
Сонымен, С кеңістігінде u(x) функциясының аз өзгерісіне оның
- дағы туындысының үлкен өзгерісі сәйкес келеді. Сондықтан
сандық дифференциалдау да қате қойылған есеп. Туындының жуық мәнін туынды
айырымының формуласы бойынша дәлдікпен функция ()
қатесімен берілгенде табу үшін, келісімділік шарты , және тордың
һ адымы орындалуы қажет, мысалға түрінде (, )- ға
тәуелді емес оның үстіне тордың адымы төменнен де, жоғарыдан да шектелген.
Сонымен, қол жеткен сандық дифференциалдаудың жетістігі берілген функцияның
өзімен шектелінеді.
2.2 Коэффициенттері тұрақты жылу өткізгіштік теңдеу
1. Бастапқы есеп. Бір өлшемді жағдайда диффузияның таралу процесі
(2.3.) параболалық түрдегі теңдеумен сипатталады:
(2.3.)
Мұндағы х нүктесіндегі t уақыт сәтіндегі жылу функциясы, с – бірлік
массаның жылу сиымдылығы, - тығыздық, к – жылу өткізгіштік
коэффициенті, - бос мүше . Жалпы жағдайда, тек қана х пен t ға
емес, температураға да тәуелді болады (диффузияның квази сызықтық
теңдеуі және тен де (сызықтық емес теңдеу).
Егер тұрақты болса, онда (2.3.) теңдеуін төмендегі (2.4) теңдігі
түрінде жазуға болады:
(2.4)
мұндағы - жылуөткізгіштік коэффицинті. Жалпы шектемей-ақ
деп есептеуге болады.
Біз бірінші шеттік есепті мына облыста қарастырайық (кейде бастапқы –
шеттік есеп деп айтады) . -да үзіліссіз болатын шешуін
(2.5) өрнегі түрінде табу керек болсын,
(2.5)
шартымен және шекаралық шарттың диффузия теңдеуінің дәл
шешімі (2.6) түрде болады
,
(2.6)
.
Максимум принципінің күшімен (2.5) есебінің шешімі үшін төменлегі (2.7)
өрнегі орынды болады:
(2.7)
Біртекті шектік шартымен (2.8) түріндегі біртекті жылу өткізгіштік теңдеуді
қарастырайық:
(2.8)
Бұл есептің шешуін айнымалыларды айыру әдісімен (2.9) түрде табамыз:
(2.9)
мұндағы және - меншікті мәндер және мына есептің ортонормалдық
меншікті функциясы болады
,
Сонымен қатар скалярлық көбейтіндісі (2.10) теңдеулер жүйесі түрінде
беріледі
, (2.10)
Тегінде барлық дербес шешімдер (гармоникалар) теңдеуді және (2.7)
шеттік шарттарды қанағаттандырады. Алғышарттан (2.11) теңдігі келіп шығады
(2.11)
коэффициенттерін табады. (2.8) және (2.10) өрнектері (2.12)
формуласын береді
(2.12)
өйткені
.
Сонымен (2.8) есебінің шешуіне (2.13) орынды:
,
(2.13)
бұл (2.7) есебінің алғашқы мәліметтері бойынша ( ға ұмтылғандағы)
асимптоталық орнықтылық қасиетін өрнектейді. өскенде
моментінің әлдебірінен бастап тың өсетіндігенен, (2.8) қосындысында
бірінші қосылғыш (бірінші гармоника) күшейе түседі, яғни (2.14) жуықтау
теңсіздігі орынды болады:
(2.14)
Процестің бұл стадиясы жүйелі режим деп аталады.
Енді жылу өткізгіштік теңдеуін шешетін әлдебір өте маңызды айырымдық
схеманы үйренуге көшейік. Жылудың диффузиясының теңдеуі үшін қарапайым
айқын әдіс. (2.15) теңдігі айқын бір адымды әдіс
(2.15)
Уақыт бойынша бірінші ретті және х бойынша екінші ретті дәлдікке ие.
Аппроксимация қатесі . Жоғарыда көрсетілгендей мұндай айырымдық схема
(2.16) жағдайда орнықты:
мұндағы .
(2.16)
Қарастырып отырған жағдайда модификацияланған теңдеудің түрі (2.17) түрінде
болады:
(2.17)
болғанда аппроксимацияның қатесі тең болатындығын атап
өтеміз.
2.1 сурет - Ауысу коэффициентіндегі айқын схемаға айқын әдіс және дәл шешім
Аппроксимация қатесінің өрнегінде тақ ретті туындылардың кірмейтіндігін
ескеру де қызық. Сондықтан бұл әдіс үшін жылу өткізгіштік теңдеуінің шешуін
беретін басқа да көптеген әдістердегі сияқты айырымдық торда дисперсия
болмайды. Бұл факт қарастырылған схеманың ауысу коэффициентінің өрнегін
талдаудан да (2.18) теңдеуі түрінде туындайды:
.
(2.18)
Оның үстіне ауысу коэффициентінің жорамал бөлігі нольге тең және фаза
бойынша жылжу болмайды.2.1 - суретте (2.18) – дің ауысу коэффициенті мен
оның дәл мәнін әртүрлі екі - те салыстыру жүргізілген. Ауысу
коэффициентінің дәл мәні (өшу) фундаменталдық шешімді өрнегіне
қою жолымен анықталды. Бұдан т өмендегі (2.19) теңдіктеін аламыз
, немесе
(2.19)
мұндағы.
Демек, жылу өткізгіштік теңдеуінің дәл шешімінің амплитудасы уақыт
бойынша әр адым сайын рет (егер шекаралық шарттардың әсерін
ескермесек) азаяды.
2.2 сурет - Айқын схемадағы тәуелсіз болмау нүктелерінің зонасы
2.2-суреттен, жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің қарапайым айқын әдісі
r= болғанда β параметрінің үлкен мәндерінде күшті диссипациямен
сипатталады. Күткеніміздей r= болғанда ауысу коэффициентінің оның дәл
мәнімен әлдеқайда жақсы жақындасатындығы байқалады.
Қарапайым айқын әдісті пайдаланғанда жылуөткізгіштік теңдеуі алғашқы
мәліметтер берілген сызықтан жүйелі түрде жылжу (маршпен) арқылы шешіледі,
яғни айқын әдіспен гиперболалық теңдеулерді шешкендегі сияқты. Бұл
процес2.2 - суретте көрсетілген. Суреттен, шешім мен Р нүктесі АВ және СD
сызықтарында берілген шекаралық шартқа тәуелді емес екендігі көрініп тұр.
Дегенмен, жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімі Р нүктесінде жылуөткізгіштік
параболалық теңдеуінің сипаттарының түрі t=const боландықтан АВ және СD
сызықтарындағы шекаралық шарттарға тәуелді болуға тиіс. Демек, қарапайым
айқын схема (шекті - мен) параболалық типтегі дербес туындылы
теңдеудің физикалық ерекшеліктерін дұрыс үлгіленбейді. Дербес туындылы
параболалық түрдегі Д теңдеуін шешу үшін айқын емес әдістерді қолдану жақсы
екенігі көрініп тұр, себебі олар t= const сипатындағы және оның астындағы
белгілі ақпараттардың барлығын ескереді. Екінші жағынан айқын схемаларды
гиперболалық теңдеулерді шешуге пайдаланған жақсы, өйткені оларда
тәуелділік зонасының өлшемі шектеулі.
2.3 Сызықтық тасымалдау теңдеуін шешудің сандық әдістері
(2.20) сызықтық тасымалдау теңдеуін қарастырайық
,
(2.20)
с0, с=const болғанда сипаттамалық теңдеудің түрі мынадай болады: .
Сондықтан (2.20) теңдеуінің мысалында адвективтік мүшелерді әртүрлі шекті
айырымдық схемалар арқылы аппроксимациялағанда диффузиясы немесе тұтқырлығы
жоқ болғандағы субстанциясы тасымалдауды физикалық түрде бейнелеудегі
туындайтын сипаттық қателер мен ағаттықтарды көрсетейік.
(2.20) теңдеуінің шекті – айырымдық шешімдерінің негізгі қателерді
мыналар:
- дисперсиялық толқындар тудыратын фазалық: жекелеген гармоникалар
физикалық жылдамдықтардан өзге әртүрлі жылдамдықтармен таралатындығына
тұжырымдалып, есептеу дисперсиясының тиімділік әсері деп аталады.
Бұл тегістеуші әсер немесе схемалық есептеу тұтқырлығын тудырады.
Бұндай кемшіліктер бірінші ретті аппроксимациялау схемасында болады. Бұдан
басқа, толқын дисперсиясы физикалық жылдамдыққа қатысты (кешігу немесе
асығу) негізгі ауытқудың тасымалдану жылдамдығын қатеге ұрындыруы мүмкін.
- осцилляциялық немесе есептеу шуы, кеңістіктік туындыны
аппроксимаялуадың сандық схемасының монотонды еместігімен келісімдегі және
қарастырылушы функцияның торлық масштаб ұзындығына үлестірімінің
анықталмағандығынан туындайтын Гиббс эффектісіне. Бұл қателерді басқа
жағынан да, паразитарлық толқындар пайда болғандағы есептеу дисперсиясының
эффектісінен, толқынның ұзындығы 4∆х тен кіші болғанда тіпті физикалық
адвекцияға қарама-қарсы жылдамдығы болатындығымен де түсіндіруге болады.
Мұндай қателер реті бірден жоғары айырымдық схемалар үшін тән нәрсе,
деребес жағдайда орталық айырымдарға да тән.
- амплитудалық, гармониканың шамасының өсуіне қарай орнықсыздығына
немесе азаюына қарай өшуіне байланысты. Кеңістік бойынша орталандыру
кезінде туындайтын амплитуданың өшуіне дербес жағдайда схемалық тұтқырлық
(вязкость) әкеледі.
Уақыт бойынша айқын емес аппроксимациялауда (субстанцияның тасымалдау
жылдамдығы с-ны тұрақты деп ұйғарамыз) (2.20) – ға жиі қолданылатын (2.21)
бірінші ретті шекті-айырымдық схемаға ағынға қарсы талдау жүргіземіз:
(2.21)
мұндағы , егер с≥0 және кері жағдайда . бұл айырымдық схема
аппроксимация қатесі болатын бірінші ретті дәлдікке ие болады.
Нейман орнықтылығының шартынан схема мына жағдайда орнықты болады:
, мұндағы – Курант саны
(2.21) - ге болғанда және және - дың орнына олардың Тейлор
қатары түріндегі өрнегін қоямыз. Сонда мынау шығады:
Жеңіл-желпі түрлендіруден кейін мынау шығады:
Соңғы теңдікті t және х бойынша дифференциялдап және – с - ға
көбейтсек мынау шығады
Бұларды қоссақ
Осы жолмен табамыз:
Жоғарыдағы келтірілген барлық теңдіктерден (2.22) теңдеуі шығады:
(2.22)
Кейбір әдебиеттерде (2.22) теңдеуін айырымдық схеманың дифференциалдық
жуықтауы деп атайды.
(2.22) диференциалдық жуықтауының оң жағы берілген дербес туындылы
теңдеудің және оның шекті-айырымдық пішіні шешімдерінің айырымы
болғандықтан аппрокимацияның қатесі болып табылады. Демек, дифференциалдық
жуықтаудың оң жағындағы реті ең кіші мүшесі әдістің дәлдік ретін анықтайды.
Қарастырылған жағдайда әдістің дәлдік реті бірге тең, өйткені реті ең кіші
мүшесінің реті . Егер Курант саны болса онда(2.22) - нің оң жағы
нольге тең болады және айырымдық теңдеудің шешімі берілген дифференциалдық
теңдеудің дәл шешімі болады. Бұл жағдайда ағынға қарсы айырым бойынша
айырымдық схема мына түрде болады:
.
Берілген дербес туындылы теңдеудің дәл шешімін алуға ықпал ететін
шекті-айырымдық схема жөнінде, ол жылжу шартын қанағаттандырады деп
айтады.
Біз қарастырып отырған жағдайдағы аппроксимация қатесінің өрнегіндегі
бас мүше туындысына пропорционал, яғни ол бір өлшемді қозғалыс
теңдеуіндегі диссипативтік тұтқырлық мүшеге ұқсас. Демек, ағынға
қарсы схема схемалық тұтқырлық деп жиі аталатын жасанды тұтқырлықты
теңдеуге айқын емес түрде кіргізеді. Схемалық тұтқырлық градиенттердің
пайда болу себептеріне тәуелсіз түрде физикалық немесе есептік
градиенттердің барлық параметрлерін азайта (кішірейте) отырып теңдеудің
шешімін тегістейді. Келісімге орай жұп ретті туындылық болатын
аппроксимациясының қатесіндегі өрнек үшін айырымдық схеманың мұндай
қасиетін айырымдық тордағы диссипация деп атайды.
Айырымдық схеманың басқа физикалық қасиетке жақынын дисперсия деп
атайды. Ол аппроксимацияның қатесіне арналған өрнектегі тақ ретті туындымен
тікелей байланысты. Дисперсия әртүрлі толқындағы фазалардың қатынасын
өзгертеді (бұрмалайды). Шешімге диссипация мен дисперсияның біріге отырып
әсер етуін диффузия деп атаймыз. Диффузия, есептеу облысында пайда болатын
айналма (бұрма) сызықтардың бөлігін созуға келтіреді. Сонымен схемалық
тұтқырлық негізгі физикалық тұтқырлыққа қосымша қателік жалғау болады. Егер
ол физикалық тұтқырлқпен немесе диффузиямен салыстыруға жарайтындай немесе
олардан үлкен болса, онда схемалық тұтқырлықтың қатесін есептеу барысында
атмосферадағы турбуленттік алмасу үлесі өседі. 1- ші кестеде рудалық
аэрологияның есептеу модельдерінде жиі пайдаланылатын барынша қарапайым
схемалық тұтқырлықтың бірқатар схемаларға коэффициенттік бағалары
келтірілген. Бұл бағалаулардан, бірінші ретті барлық схемалардың схемалық
тұтқырлығы жоғары болатындығы және көпөлшемді есептерді есептеуге қолдану
керек еместігі көрініп тұр. 2.1 - суретте пунктермен қоспаны бір жола алып
тастауды тасымалдаудың есептеуі көрсетілген (тікбұрышты импульс) ол
схеманың ағынға қарсы негізінде және бірқалыпты жылдамдықтар өрісінде
диффузияның жоқ болатын жағдайында орындалады. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz