Тригонометриялық теңсіздіктер

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1. Тригонометриялық
теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ...5
2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1. тригонометриялық формулаларды қолдану
әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .7
2. Бірлік шеңбер
әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... 9
3. Графиктік
әдіс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..19
3. Теңсіздіктерді
дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ...22
4. Шартты теңсіздікті
дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ...24
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
Әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 30

1

2

4 Кіріспе

Тригонометрияның тарихы жөнінде. Тригонометрия сөзі алғаш рет (1505
ж.) неміс геологы және математигі Питискустың кітабының мазмұнында
кездеседі. Бұл сөз грек тілінен алынган: ұшбүрыш, өлшеуіш. Басқаша сөзбен
айтқанда, тригонометрия - ұшбұрыштарды өлшеу жөніндегі ғылым. Атауы біршама
кейінірек шыққанмен, тригонометрияға қатысты казіргі ұғымдар мен фактілер
бұдан екі мың жыл бұрын белгілі болған.
Синус ұғымының тарихы әріден басталады. Фактіге жүгінсек, ұшбұрыш пен
шеңбер кесінділерінің арасындағы әр түрлі қатыстар (шын мәнінде
тригонометриялык функциялардың да) біздің заманымызға дейінгі III ғасырда
өмір сүрген Грецияның ұлы математиктері -- Евклидтің, Архи-медтің,
Аполлоний Пергскийдің еңбектерінде кездеседі. Бұл қатыстарды римдік
кезеңде, арнайы атауға ие болмағанмен, М е н е л а й (б.з. I ғ.) барынша
жүйелі зерттеген еді. Қазіргі күнде а бұрышының синусы, мысалы, шамасы а-
га тең центрлік бұрышқа тірелетін жарты хорда ретінде немесе екі еселенген
доғаның хордасы ретінде зерттелді. Косинус сөзі одан көп кейін пайда болды.

Косинус - латынның толықтауыш синус (немесе, басқаша айтканда,
толықтауыш доғаның синусы) деген сөз тіркесінің қысқарған түрі.
Біз тригонометриялық функциялармен жүмыс істегенде ұшбұрыш өлшеу
такырыбына берілген есептер шеңберінен шығып кетеміз. Сондықтан белгілі
математик Ф. К л е й н (1849-1925) тригонометриялық функциялар туралы
ілімді басқаша - гониометрия деп атауды ұсынған (латынша бұрыш дегенді
білдіреді). Алайда бұл атау қабылданбаған.

Тангенстер көлеңкелердің ұзындықтарын анықтау жөніндегі есептерді
шығаруға байланысты пайда болды. Тангенс (сондай-ақ котангенс, секанс жене
косеканс) атауын X ғасырда араб математигі Абу-л-Вафа енгізген, ол
тангенстер мен котангенстерді табуға арналған кестелерді де түңғыш рет
жасады.
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу-сандық теңсіздіктерді, сандық
теңсіздіктер жүйелерін шешу сияқты маңызды тақырыптармен тең келеді.

Тригонометриялық теңсіздіктер мен теңдеулерге мектеп курсынан ақ
ерекше орын болінуі тарихи қалыптасқан жағдай. Тіптен ежелгі гректер
тригонометрияны маңызды ғылым деп санаған себебі геометрия – математика
патшасы, ал тригонометрия – геометрияның патшасы. Сондықтан біз де ежелгі
гректерге қарсы шықпай, тригонометрияны – мектеп курсыныңі және де
математика ғылымың маңызды бөлімі деп есептейік.

Мектеп курсында тригонометриялық теңсіздіктерді шешу неден басталады?
Әрине тригонометриялық функциялардың өздерінен. Ен әуелі sin x, cos x, tg x
және ctg x қатынастары өзі беріледі. Бұл қарастырылып отырған ұшбұрыштар
мысалында беріледі.

5 1.Тригонометриялық теңсізідіктер

Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін бірнеше маңызды кезеңдерден
өту керек.
1. sin x, cos x, tg x и ctg x ұғымдарын енгізу. Радиусы 1-ге
тең, центрі координаталар басында жататын шеңберді бірлік шеңбер
деп атайды. Бірлік шеңбердің Ра нүктесі Р0 (1; 0) нүктесін а
радианға тең бұрышқа бұрғанда шыққан болсын. Ра нүктесінің
координатасы - а бұрышының косинусы екенін аңғару қиын емес

Анықтама. у = sin х және у = cos х формулаларымен берілген сандық
функцияларды сәйкесінше синус және косинус деп атайды

Анықтама. у = tg х және у = ctg х формулаларымен берілген сандық
функцияларды сәйкесінше тангенс және котангенс деп атайды

2. келесі қадам функцияларды енгіземіз y = sin x, y = cos x, y =
tg x и y = ctg x. Бұл кезеңде осы функциялардың қасиетері,
анықталу облысы мен мәндер облысы қарастырылып өтеді, ал ең
маңызды – графиктерімен танысу.
3. Және тригонометриялық теңсіздіктерді шешуге дайындыққа ең соңғы
кезең. Бұл кезеңде оқушылар маңызды тригонометрия формулаларымен
және оларды қалай қолдану керек екендігімен танысады. Бұл
кезеңде алынған біліммен оқушылар бүкіл математика курсында
колдана алады. Меңгерілген формулалар көмегімен өте қиын,
көлемді тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді жеңіл
шешуге болады.
Енді, оқушылар бастапқы кезеңдерді жақсы меңгеріп, біздің
тақырыбымызға жетеді, яғни тригонометриялық теңсіздіктерге. Әрине
теңсіздіктерді шешу қарапайымдардан басталады sin x a, sin x a; cos x
a, cos x a; tg x a, tg x a. Осы теңсіздіктерді меңгергеннен кейін
қиындығы жоғары теңсіздіктерге келеді, бұнда әр түрлі дәрежелі күрделі
функциялар. Әрине 16-17 жастағы балалар үшін мұндай материалды меңгеруді
жеңіл деп айта алмайсын. Ол абстракті ойлауды, мидың аналитикалық қалыптсуы
және ең маңыздысы ойлаудың шапшаңдығын қажет етеді. Сол себептен бұндай
күрделі материалды меңгеруге қосымша методикалар қажет. Бағымызға орай
мұндай қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешудің жеңіл тәсілдері
табылды. Олар бір емес екі.
Бұл жерде зейінді оқырман келесі сұрақ қойуы мүмкін. Қарапайым
теңсіздіктерді шешуге арнайы әдіс тәсілдердің ойластырылуының қажеті не
егер қарапайым теңсіздіктер онсыз да өзі шешіліп тұрса. Бірақ бұған жауап
беруге болады, кез – келген тригонометриялық теңсіздік, сырттан қарағанда
ауқымды және күрделі болып көрінсе де оларға негізгі тригонометриялық
түрлендірулерді қолданып қарапайым түрге келтіруге болады. Түрлендіргеннен
кейін теңсіздікті тригонометриялық шеңбер арқылы немесе функцияның графигі
арқылы шешеміз.
Негізінде мектеп курсында тригонометриялық теңдеулерді шешуде қандай
әдісті қолдану тиімді екендігі жөнінде нақты нұсқаулар жоқ. Бұл жерде
таңдау тек мұғалімдердің өз қалауларына байланысты болады. Менің ойымша
тригонометриялық шеңберді қолдану тиімдірек болады. Себебі бұл өте көрнекі
тәсіл және дәптерде аз орын алады. Негізі қарапайым тригонометриялық
теңсіздіктерді шығарған кезде уақыт мүмкіндік беріп жатса екі тәсілді де
қолданған жөн. Сонымен айтып кеткенімдей тригонометриялық теңсіздіктеріне
тригонометриялық түрлендірулер қолданып оны қарапайым түрге келтіргеннен
кейін тригонометриялық шеңбер немесе графикалық әдісті қолданамыз.

2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістері
2.1 Тригонометриялық формулаларды қолдану әдісі
түріндегі қүрделі тригонометриялық теңсіздіктерді шешкенде
оларға тригонометриялық түрлендіру формулаларын қолданып оны қарапайым
түрге келтіріп алуға болады. Бұған келесі формулалар қолданылады

2 2.2 Бірлік щеңбер арқылы тригонометриялық теңсіздіктерді шешу

түріндегі тригонометриялық теңсіздіктерді шешкенде, бұл жерде
- тригоноометриялық функциялардың бірі, тригонометриялық шеңберді
теңсіздікті көрнекі түрде шығарып жауабын жазып алуда қолданған қолайлы

Есеп шешудің алгоритмі:

1. бірлік шеңбер сызамыз

2. t-ның берілген теңсіздікті қанағатандыратын мәндерінде бірлік шеңбердің
барлық нүктелерінің ординаталары а дан үлкен немесе оған тең және
кіші немесе оған тең болады.

3. доғасын нүктесінен нүктесіне қарай берілген функцияға
байланысты – сағат тілінің қозғалысын анықтаймыз

4. енді мен табамыз да не анықтаймыз

5. Ұзындығы ге тең пайда аралықтағы теңсіздіктің шешімдерін табамыз.

, , , түріндегі теңсіздіктерді шешу

теңсіздік шешудің суреті жауабы

, , , түріндегі теңсіздіктерді шешу

теңсіздік шешудің суреті жауабы

, , , түріндегі теңсіздіктерді шешу

теңсіздік шешудің суреті жауабы

, , , түріндегі теңсіздіктерді шешу

теңсіздік шешудің суреті жауабы

Мысал – 1 теңсіздікті шешіңіз .

Шешуі. Тригонометриялық шеңбер сызып бойында нүктелерді белгілейік.
Ордината аспайтын.

үшін бұл теңсіздіктің шешімі . Және тағы егер кез келген
х саны берілген интервалдан айырмашылық болса, онда те
кіші болады. Яғни табылған кесіндінің соңына жай ғана қосу керек.

жауабы. .

Мысал – 2 теңсіздікті шешейік .

t-ның берілген теңсіздікті қанағатандыратын мәндерінде бірлік
шеңбердің барлық нүктелерінің ординаталары - ден үлкен немесе
оған тең болады. Осындай нүктелердің жиыны - доғасы, ол суретте қалың
кара сызықпен көрсетілген. нүктелерінің осы доғада жату шартын
табайық.
нүктесі оң жақ жартышеңбердің бойында жатады және ординатасы
-ге тең, олай болса, ретінде
мәнін алған ыңғайлы. Біз доғасын нүктесінен нүктесіне
қарай сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытта жүріп өтеміз деп елестетейік.
Сонда және — болатынын түсіну оңай. Сонымен, егер
болса, нүктесі доғасында жатады. Сөйтіп, үзындығы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.