Комбинаторика және ықтималдық теориясын оқыту әдістемесі

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

І.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ...
ІІ. Негізгі бөлімі
2.1. Қысқаша
тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2. Комбинаторика және ықтималдықтар теориясының негізгі
ұғымдары
2.2. Комбинаторика және ықтималдық теориясын оқыту әдістемесі ... ...
2.3. Комбинаторика мен ықтималдықтар теориясын қолданып
экономикалық мазмұны бар есептерді шығару
әдістемесі ... ... ... ...
ІІІ. Практикалық
бөлім ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
ІV. Пайдаланған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... .

Кіріспе

Ықтималдық теориясы дегеніміз- жаппай кездейсоқ құбылыстардың
математикалық моделі. Ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарын дүниеге
келтірілген есептер сақтандыру істерін дамытуға байланысты пайда болған.
Лоторея ойындары мен сақтандыру компанияларының өмірге келуі ықтималдық
теориясының дамуына ықпал жасады. Күнделікті тұрмысымызда көптеген
құбылыстар мен олардың өзгерістері кездеседі, солар оқиғаның тууына себепші
болады. Мысалы, металл теңгені жоғары қарай лақтырсақ, ол жоғары көтеріліп
барып, жерге түседі. Осы жасаған әрекетіміз сынақ немесе тәжірибе деп
аталады. Жердегі металл теңгенің елтаңба немесе цифр жағының жоғары
жатуы- оқиға болады. Сақамен тізілген асықтарды атқанымыз- сынақ болады.
Сақаның тізілген асықтарға тиюі немесе мүлт кетуі оқиға болады. Бұл
мысалдан оқиға сынақтың нәтижесі екенін, ал оқиға туғызу үшін сынақ жүргізу
керек екенін аңғарамыз. Оқиғаларды латын алфавиті бас әріптерін пайдаланып
белгілейміз: А,В,С,... .Егер А оқиғасы әр сынақта сөзсіз пайда болса, онда
ол ақиқат оқиға деп аталады. Сынақ кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін
емес деп аталады. Сынақ кезінде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін
оқиға кез дейсоқ оқиға деп аталады.
Мақсаты: Заман талабына сай қазіргі техниканың- сенімділік, жаппай қызмет
көрсетуі, автоматикалық басқару, өнім сапасын статистикалық бақылау
теорияларды да ықтималдық теориясы көмегімен ықтималдық заңдылықтардың
математикалық моделін құру арқылы іске асырылады.
Өзектілігі: Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың ғарыштап өсу дәуірінде
ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында
кеңінен қолданып, физика, химия, биология құбылыстары, техника мен
экономика процесстерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан
зор ықпалын тигізеді.
Болжам: ХХ ғасырдағы тибиғаттану ғылымының келбеті есептелетін
кибернетиканың өзі ықтималдық теориясына негізделеді. Сондықтан кездейсоқ
оқиғаның математикалық моделін жасаудың алғы-шарты үлкен сериялы сынақтарда
кездейсоқ оқиға жиілігінің тұрақты болуына әкеледі. Олай болса, тәжірбиеден
алынған нәтиже зауыттың технологиялық процестеріне байланысты заңдылықтарды
көрсетеді, ол тек кездейсоқ құбылыстарға тән.
Нәтиже: Математикалық анализ әдістері бізді қоршаған реалды процестерді
ықтималдық теориясынсыз толық суреттей алмайды. Сосын көпшілік жағдайда
субъективтік ықтималдықтың дәлірек мәнін анықтау қосымша эксперименттің
көмегімен шығарылады. Субъективтік ықтималдық туралы арнайы теориялар бар.
Сондықтан субъективтік ықтималдықтың теорияларын дәрігерлер, психологтар
қолданылады.

ІІ. Негізгі бөлімі

2.1. Қысқаша тарихы

Әлемдегі кездейсоқ құбылыстар ерте заманнан бері зерттеліп келеді. Ол
туралы Реньидің де жақсы пікірлері бар. Кездейсоқ құбылыстарға
математикалық тұрғыдан қарау Паскаль мен Фермаға дейін болған.
Демографиялық құбылыстар және адамдарды азық-түлікпен қамтамасыз жиілігінің
біркелкілік фактілері Ежелгі Қытай мен Римде белгілі болған. Кездейсоқ
құбылыстарды нақты әдістердің көмегімен анықтау мүмкіндігін Кордано мен
Галилей де қарастырған.
Паскаль, Ферма және Гюйгенстен басап, кездейсоқ оқиға және оның
ықтималдығы туралы математикалық ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы
ұғымдары қалыптаса бастады.
ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әр
түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен
ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға
ие болды. Оқиға туралы ғылым көптеген мамандық иелерінің: инженерлер,
экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамндардың
ортасына енді. Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық,
тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды деп айтсақ қателеспейміз.
Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік
теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953).
Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең
қолданылатын ғылым қатарына қосты. Р.Мизес Әр ықтималдыққа берілген есеп
кейбір шынайы процестермен байланысқан,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық
теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория
жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы,
функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз
байланысқан.
Қазіргі ықтималдық теориясының әдістері қолданылмайтын сала жоқ.
Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі
бағыт болуда. Оларға: физика, геодезия, өлшеу теориясы және т.с.с. жаады.
Кейінгі кезде ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым
мен космонавтика, лингвистика, психология теориясы мен оқыту теориясы, т.б.
ғылымда да қолдана бастады. Одан басқа ықтималдық әдістерінің негізінде
ықтималдық теориясынан шыққан жаңа ғылымдар қатары пайда болуда. Бұлар-
ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, сапаны статистикалық бақылау,
тәжірибені жоспарлау.

2.2. Комбинаторика және ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары

ХХ ғасырдың 70-жылдарының соңынан бүгінгі күнге дейін қолданбалы
математиканың маңызды бөлімдерінің бірі стохастика адам қызметінің барлық
саласына кеңінен енуімен сипатталады. Ықтималдықтар теориясы мен
математикалық статистиканың элементтерін байланыстыратын бұл ғылым
физика, химия, биология, экология, геология, география, экономика,
лингвистика, психология т.с.с. білімнің барлық салаларында қолданыс
табуда.
Паскаль, Я.Бернулли, П.Лаплас тағы басқа ғалымдардың еңбектерінің
нәтижесінде өмірге келген ықтималдықтар теориясы адам өмірінің
әлеуметтік-мәдени, білім беру, ғылыми-өндірістік саласындағы кез-келген
мәселені шешуде қолданылатын статистика ғылымының математикалық негізі
болып табылады. Бұл мектеп курсында ықтималдықтар теориясы және
математикалық статистика негізінің оқытылуының өзектілігін айқындайды.
Қазіргі мектептерді реформалау мектептегі математикалық білімнің
мазмұнының өзгеруіне және математиканы оқыту әдістемесінде ықтималдық-
статистиканы енгізудің қажеттілігінің мазмұнды-әдістемелік жағына көңіл
бөлуге әкелді.
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистиканы оқытудың
негізгі мақсаттары мынадай:
-          өмірдегі нақты құбылыстарды дәл сипаттайтын стохастикалық
модельдерін құру және зерттеу арқылы ықтималдықтар теориясы және
математикалық статистика элементтерімен таныстыру.
-          Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика курсы
бойынша есептер шығаруда ықтималдықтық-статистикалық аспектісінің
қолданбалық ойлау дағдысын дамыту.
-          Ықтималдықтар теориясы аппараттарын қолдану негізінде
оқушылардың математикалық мәдениеттілігін көтеру.
Ықтималдықтар теориясының математикалық аппараты оқушыларда
қалыптасқан элементар математикалық білімге, дағдыға, ептілікке
негізделгенін атап көрсетуге болады. Бұл кезеңде оқушылар нақты сандарға
арифметикалық амалдар орындауды, функциялық символикаларды байыптап
қолдануды, элементар геометриялық объектілер туралы түсінік қалыптасып,
оларға операциялар жасауды біледі.
Сондықтан ықтималдықтар теориясы оқушыларға алған математикалық
білімін нақты қолданатын, адам өмірінде маңызы зор математиканың бір
тарауы ретінде қарастырылады.
Сыныптың бейінділігіне байланысты Ықтималдықтар теориясы және
математикалық статистика элементтері тақырыбының оқытылуының
математикалық абстракциялану деңгейі әртүрлі болуы мүмкін.
Ықтималдықтар теориясында оқиға ұғымы теориялық-жиын түсінігімен
тікелей байланысты. Дербес жағдайда, анықтама бойынша оқиға деп
элементар нәтижелер жиынының ішкі жиыны қарастырылады.
Сондықтан, бұл ұғымның анықтамасын нақты беру үшін, оқушылар жиындар
теориясының элементтерімен, ықтималдықтар теориясының теориялық
негіздерімен таныс болуы тиіс.
Жиындар теориясын оқыту мектеп курсында қарастырылмағандықтан, бұл
мәселені шешу мұғалімнен үлкен әдістемелік шеберлікті талап етеді.
Бастауыш мектептің математикасының экспериментальды курсын қолдану осы
мәселенің бір шешімі болып табылады. Бастауыш мектепте жиын ұғымы
интуитивті түрде қарастырылып, жиындарға қолданылатын амалдар мен
олардың қасиеттері иллюстративтік (көрнекі) әдіс арқылы беріледі. 9-
сыныптың Алгебра оқулығында Ықтималдықтар теориясы элементтері тарауы
жиын ұғымы тақырыпшасынан басталады. Мұнда жиын ұғымына қысқаша түсінік
беріліп, ішкі жиын, тең жиындар, шектеулі, шектеусіз жиындарға анықтама
беріледі.
Жиындарға қолданылатын бірігуі, қиылысуы, айырымы амалдарына анықтама
беріліп, белгілеулері ұсынылады. Жиындарға қолданылатын амалдарды Эйлер-
Венн диаграммасы арқылы иллюстрациялаудың оқушы үшін маңызы зор.
Сонымен қатар шектеулі жиындар үшін қосу, көбейту ережелерін меңгеру
ықтималдықтар теориясының элементтерін оқуға үлкен ғылыми-әдістемелік
даярлық болады. Осы ұғымдардың негізінде оқиға, оқиғаларға амалдар қолдану
және олардың қасиеттері тақырыптарын оқыту мәселесі жеңілдетіледі.
Олай болмаған жағдайда мұғалім оқушыларды алдын-ала жиындар
теориясының мәліметтерімен таныстыру арқылы бұл мәселені шешуде
әдістемелік тұрғыдан орынды. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын
оқытуда логикалық тұрғыдан қамтамасыз ету ерекше екенін атап айтуға
болады. Мұнда жиындар теориясының қажетті ұғымдарының базасында
(негізінде) ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары енгізіледі.
Оқиға ұғымын оқыту оқушыларда психологиялық тұрғыдан қиындықтар
туғызады. Себебі оқушылар үшін оқиға ұғымы тәжірибе ұғымымен пара-
пар.
Оқиға ұғымының қалыптасуы қарапайым ықтималдықтық модельдері
қарастырудан басталады. Мысалы, тенгені лақтырсақ, ол жоғары көтеріліп
барып жерге түседі. Бұл әрекет сынақ немесе тәжірибе деп аталады.
Теңгенің елтаңба немесе цифр жағының жоғары қарап түсуі оқиға
болады. Дәл осылайша, ойын сүйегін лақтыру, урнадан шар алу, нысананы
дәлдеп ату - интуитивті денгейде элементар тәжірибелер ұғымын
қалыптастырады. Бұл мысалдардан оқушылар оқиғаны тәжірибенің нәтижесі
екенін, ал оқиға туғызу үшін тәжірибе, сынақ жүргізу керек екенін
аңғарады. Оқушыларға оқиғалардың түрлетін – ақиқат оқиға, мүмкін емес
оқиға, үйлесімді, үйлесімсіз оқиғалардың анықтамасын түсіндіруде
күнделікті тұрмысымыздағы көптеген құбылыстардан мысалдар келтіру
тиімді. Қарастырылған мысалдардың негізінде қос-қостан үйлеспейтін
және тең мүмкіндікті элементар оқиғалардың жиыны ретінде оқиғаның
толық группасы ұғымы қарастырылады. Осы ұғымдардың барлығы ықтималдық
теориясының маңызды ұғымы оқиға ұғымының анықтамасын тұжырымдауға
мүмкіндік береді. Орындалу мүмкіндігіне қарай оқиғаларды
классификациялаудың оқушылар үшін дүниетанымдық маңызы зор. Бізді
қоршаған ортада ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ оқиғалардан басқа
оқиғалардың болмайтынын түсіндіру қоршаған ортаның ықтималдық моделіне
сүйенеді. Мұндай модельдердің мысалдары физика, химия, география, биология,
тарих т.б. пәндерден алынып, пәнаралық байланыс жүзеге асырылады.
Оқиғаларды классификациялаудың негізінде ықтималдық ұғымының
қалыптасуы жатыр. Егер бір нақты оқиғаның орындалуының мүмкін немесе
мүмкін еместігіне қандай да бір сандық мән сәйкес қойсақ, атап айтқанда
әрбір ақиқат оқиғаға 1 санын, ал мүмкін емес оқиғаға 0 санын сәйкес
қойсақ, онда әрбір кездейсоқ оқиғаға (0;1) интервалынан бір нақты сан
сәйкес келетіні түсінікті. Оқиғаның ықтималдығынан бұрын оқушыларға
оқиғаларға амалдар қолдану тақырыбын өткен дұрыс. Бұл тақырыпта олар
оқиғалардың арасындағы қатынасты, байланысты, қарама-қайшылықты меңгереді.
Оқиғалар арасындағы қамту қатынасы (АВ) мынандай сөз тіркестерімен
анықталады: А оқиғаның орындалуы В оқиғасын тудырады, В оқиғасы А
оқиғасының бөлігі болады. Осы қатынастың негізінде тең оқиғалардың
анықтамасын логикалық түрде беруге болады. Оқиғалар арасындағы қатынас
пен амалдарды Эйлер-Венн диаграммалары арқылы көрнекі түрде қолдану
керек.
Оқушылар теориялық жиын туралы түсініктерінің негізінде жиындарға және
оқиғаларға қолданылатын амалдарды салыстырады. Оқиғалар мен жиындарға
қолданылатын амалдардың анықтамаларындағы айырмашылық тек терминде ғана
екеніне көз жеткізуге болады. Сондықтан жиындар теориясы мен
ықтималдықтар теориясының терминдерінің сәйкестік таблицасын құру
пайдалы.
Оқиғаларға амалдар қолдану және амалдардың қасиеттерін меңгеру
оқушыларда ықтималдықтар теориясы курсының есептерін шығару дағдысын
қалыптастыруда маңызы зор.
Ықтималдықтар теориясындағы тағы бір маңызды мәселе – элементар
оқиғаларға амалдар қолдану нәтижесінде алынатын күрделі оқиға.
Егер мүмкін емес оқиғаға құр жиынды , ал ақиқат оқиғаға U жиынын
сәйкес қойсақ, онда жиын теориясының теңбе-теңдіктерін ықтималдықтар
теориясы тілінде тұжырымдауға болады. Мысалы, кез келген А оқиғасы үшін
АU =А, А=, АU =, А=А, АА=А,
АА=А, А, А= теңдіктері ақиқат. Бұл
теңдіктердің дәлелдеуін көрнекі түрде иллюстрациялап, мағыналы мысалдар
келтіру арқылы түсіндіру қажет. Сонымен қатар, оқушыларға жаттығу
жұмысы ретінде U, U, U \, \ U өрнектерінің
нәтижесін анықтауды ұсынуға болады.
Оқиғаларға қолданылатын амалдарды оқытқанда сол амалдың мағынасын
ғана анықтамай, оның басқа амалдардан айырмашылығын көрсететін мысалдарды
көрнекі түрде қолдану керек. Оқушылар анықтамасы бойынша оқиғалардың
қосуы мен көбейтіндісін оңай құрады. Осы материалға қосымша оқушыларды де
Морган заңымен таныстыру қызықты болады. , теңдіктерін
Эйлер-Венн диаграммалары арқылы көрсету жеткілікті. Бұл заңды қарама-
қарсы оқиғаны оқытуда қолдануға болады.
Оқиғаларға қолданылатын амалдардан кейін комбинаторика элементтерімен
таныстырған дұрыс. Комбинаторика элементтері тақырыбы теориялық және
қолданбалық тұрғыдан кең мағыналы болғандықтан Ықтималдықтар теориясы
тақырыбынан бұрын да оқытуға болады.
Ықтималдықтар теориясының келесі негізгі ұғымы – ықтималдық. Бұл
ұғымның да қалыптасуы оқиға ұғымын қалыптастырудағыдай жүргізіледі.
Қазіргі кезде оқиға ықтималдығының статистикалық, аксиомалық,
классикалық, субъективтік анықтамалары белгілі. Мектеп курсында оқиға
ықтималдығының статистикалық анықтамасы беріледі.
Кездейсоқ оқиғаның бір тәжірибе нәтижесінде пайда болатынын, немесе
пайда болмайтынын алдын ала білу мүмкін болмағанымен, тәжірибені бірнеше
рет қайталау барысында оның орындалуының белгілі бір заңдылығын
байқауға болады. Бұл заңдылық оқушыларға таблица арқылы көрсетіліп,
статистикалық тәсіл деп аталады.
Мектеп оқулығында оқиғаның ықтималдығы дегеніміз - оқиғаның пайда
болу мүмкіндігін білдіретін сан деген анықтама беріледі. Осы санды
анықтау үшін салыстырмалы жиілік ұғымы енгізіледі. Қандай да бір
тәжірибе n рет қайталансын. Сонда қарастырылып отырған А оқиғасы m рет
орындалсын. санын А оқиғасының салыстырмалы жиілігі деп атайды.
Салыстырмалы жиілік анықтамасын меңгеріп, осы ұғымды қалыптастыру
үшін өмірден, өнеркәсіпбен, физика, химия, биология пәндерінен оқушыларға
белгілі мысалдар қарастыру қажет. Мұндай мысалдарда қайталанған тәжірибе
саны n=5, n=10, n=15 т.с.с болып келеді. Осындай аз көлемдегі ақырлы
санды тәжірибелер барысында А оқиғасының орындалу саны m-ді
есептеуге болады. Сонан соң оқиғаның салыстырмалы жиілігі санын
табамыз. Осы ұғымды меңгергеннен кейін тәжірибе саны n өте үлкен
болатын жағдайды қарастырамыз. Мысал ретінде өнеркәсіп орнының
өндірілген өнімінің сапасын тексеру нәтижесінің кестесін құрайық.
n 50 100
16,0 I 1
16,1 IIIIIII 7
16,2 IIIIIIIIIIIII 13
16,3 IIIIIIIII 9
16,4 IIIIIIIII 9
16,5 I 1

Егер қажет құйманың салмағы 16,1-16,4 кг болса, қанша құйма және оның
қандай топтар бойынша ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.