Спирали и розы Гвидо Гранди в полярных координатах: зависимость формы от параметров и практические применения

Тип работы: Реферат
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 22 страниц
В избранное:

Проект на тему:

«Замечательные кривые»

Содержание

Введение 3

1. Понятие полярной системы координат ……. . … . . . 5

2. Спирали . 7

2. 1. Архимедова спираль . . . 8

2. 2. Спираль Ферма . . 10

2. 3. Гиперболическая спираль 11

2. 4. Логарифмическая спираль11

2. 5. Спираль Фибоначчи 14

2. 6. Спираль Корню. . 15

2. 7. Практическое применение спиралей 15

3. Розы Гранди . …. …. …. 20

3. 1. Виды роз . …. 20

3. 2. Практическое применение роз Гранди и полярных координат ……24

Заключение . ……. 28

Библиографический список 29

Введение

В наше время при развитии техники в коллосальных объемах имеется необходимость знания понятия и использования замечательных кривых. В природе они встречаются повсеместно и имеют практическое применение в человеческой жизни.

Математика - достаточно интерессная и удивительная наука . Благодаря своей многогранности она стала использоваться в естественных и гуманитарных науках, так и во всех сферах нашей жизни . В пример, мы можем взять кривые, которые не кажутся нам аляповатыми, наоборот, привлекая наше внимание своими прекрасными формами и завораживающими способностями. Выбирая из всех геометрических кривых, которые мне были интересны, мой взор упал на кривые под названием Розы Гвидо Гранди и спирали.

В этой работе мы хотели бы исследовать эти замечательные кривые и доказать насущность выбранной нами темы.

Актуальность: демонстрация применения математических знаний в практической деятельности человека. В школьном курсе геометрии не учитывается необходимости изучение свойств замечательных кривых, которые широко используются в современных реалях.

Гипотеза : при изучении замечательных кривых и их свойств можно объяснить различные явления окружающего мира

Цель работы : Исследовать зависимость внешнего вида кривой от параметров входящих в её уравнение. Изучить применение Роз Гранди, полярных координат и спиралей в нашей жизни.

Задачи :

- Изучить понятия ч Розы Гранди и спирали;

- Установить виды Роз и спиралей;

- Показать, изменения кривых Гранди и спиралей в зависимости от различных значений параметров;

-Выяснить их применение и связь с математикой;

- Сделать выводы и дать общее заключение;

Объект исследования : Розы Гранди, спирали.

Предмет - исследование зависимости видов и форм и колличества лепестков от изменения коэффициентов в формуле, задающей кривую Гранди.

Глава 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Для начала нам надо разобраться, что такое полярная система координат, из-за использование ее во всех заданных кривых .

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O , называемой полюсом , исходящего из этой точки луча OA (обозначается также и как Ox ), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Положительным направлением отсчета углов является движение «против часовой стрелки». (Рис. 1)

$\rho$ - полярный радиус (расстояние от точки М до полюса О)

$\varphi$ - полярный угол , на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM .

Рис. 1

Точку M с координатами $\rho$ и $\varphi$ обозначают символом M( $\rho$ , $\varphi$ ) .

Числа $\rho$ и $\varphi$ такие, что $\rho > 0$ и $0 \leq \varphi < \pi$ . Если точка М совпадает с полюсом, то $\rho$ = 0, а полярный угол $\varphi$ ＝0. При условиях $\rho > 0$ и $0 \leq \varphi < \pi$ , полярные координаты точки определяются однозначно.

Введение таких координат очень элементрано, в следствии удобного поиска любой точки на земной поверхности, для наблюдателя, с помощью расстояния от места наблюдения до точки и направления к точке от наблюдателя (в этом случае точка, в которой находится наблюдатель, служит полюсом) .

Полярная система координат более практична в случае, когда отношения между точками легче изобразить в виде радиусов и углов; в декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно найсти с помощью применения тригонометрических уравнений.

Установим связь между полярными и декартовыми координатами точки. Расположим начало декартовой прямоугольной системы координат в полюсе, таким образом, чтобы положительная полуось абсцисс совпадала с полярной осью (рис. 1) . Пусть точка M имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты ρ и φ. Тогда

$x = \rho\cos\cos\ \varphi\$ $y = \rho\sin\sin\ \varphi\$

И, наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы по формулам:

$\rho = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tg\varphi = \frac{y}{x}$

Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y, определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что $0 \leq \varphi < \pi$ .

Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Глава 2. СПИРАЛИ

Спираль - это винтообразная кривая, которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь или приближаясь к ним.

Так же есть еще одно определение спирали - плоская кривая линия, многократно обходящую одну из точек на плоскости.

Спирали очень часто встречается в природе, и этот символ получил огромное распространение в начале развития нашей цивилизации.

Спираль можно встретить повсеместно : Галактики, вихри, смерчи, водовороты, черные дыры с аккреционным диском, листочек, который расправляется, тоже выглядит как спираль (рис. 2) .

Рис. 2

Слово «спираль» от лат. spiralis «загнутый, завитый»,

Существуют большое колличество видов спиралей, которые могут очаровать любого человека, но данной работе мы рассмотрим только эти виды спиралей:

1) Архимедова спираль

2) Спираль Ферма

3) Гиперболическая спираль

4) Логарифмическая спираль

5) Спираль Фибоначчи

6) Спираль Корню

Рассмотрим спирали по подробнее.

2. 1 Архимедова спираль

Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Она была открыта Архимедом в III веке до н. э.

Архимедова спираль - кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV (рис. 3) .

Рис. 3

Спираливидные кривые приводили многих античных математиков в фурор. В природе встречается огромное колличество спиралевидных образований, подобных Спирали Архимеда.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

$\rho = k\varphi$ (1)

где k - смещение точки M по лучу OV, при повороте на угол равный одному радиану.

Повороту прямой на $2\pi$ соответствует смещение a = BM = MA = $2k\pi$ . Число a - называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно записать таким образом:

$\rho = \frac{a}{2\pi}\varphi$

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия), при вращении по часовой стрелке - левая спираль (зелёная линия) (рис. 4) .

Рис. 4

Обе ветви спирали представляются схожим уравнением (1) . Положительным значениям согласовывается правая спираль, отрицательным - левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из точки O, пересекает спираль бесконечное множество раз. При раскручивании спирали расстояние от O до M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся одинаковым, другими словами чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.

2. 2 Спираль Ферма

Спираль Ферма (или по другому параболическая спираль) - спираль, задаваемая на плоскости в полярных координатах уравнением

$\rho = a$

Данная спираль названа именем французского математика Пьера Ферма (1601 - 1665) , который является одним из основоположников аналитической геометрии. Она являеться одним из видов Архимедовой спирали (рис. 5) .

Рис. 5

Учёный Фогель в 1979 году предложил модель распределения цветков и семян у подсолнуха.

Рис. 6

Эта модель выражается следующим образом,

$r = c$

$\theta = n \bullet {137, 5}^{{^\circ}}$

где $\theta$ - угол, $r$ - радиус или расстояние от центра, а n - номер цветка и c - константа. Это форма спирали Ферма (рис. 6) .

2. 3 Гиперболическая спираль

Гиперболическая спираль - плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали является обратным для уравнения Архимедовой спирали и описываеться данной формулой:

$\rho\varphi = a$ или $\rho = {a\varphi}^{- 1}$

Спираль имеет асимптоту y = a (рис. 7) .

Рис. 7

2. 4 Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль - плоская трансцендентная кривая. Ее уравнение имеет вид:

$\rho = ae^{b\theta}$

где $\theta$ - угол отклонения точки, $\rho$ - радиус вектор, a - коэффициент отвечающий за радиус витков, b - коэффициент отвечающий за расстояние между витками.

Логарифмическая спираль - плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (так называемого полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется соотвественно углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса (рис. 8) .

Рис. 8

Исходной точкой в исследовании этой спирали связано с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков более тысячи кораблей пересекали океаны. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя исходными точками дает дуга окружности. Но чтобы двигаться ровно по дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот наилучший курс изменяли таким образом, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс практически всегда оставался постоянным. Траектории этого вида образуют кривые, которые называются локсодромами . Однако моряки не работали на сфере. Из-за того что карты были плоскими, на них была представлена проекция сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в логарифмическую спираль.

Своеобразие логарифмической спирали озадачивали не только людей изучающих математику. Ее особенности поражают и биологов, которые считают что эта спираль являеться стандартом биологических объектов самых различных видов.

Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

• расстояния между витками образуют геометрическую прогрессию;

• последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом составляет геометрическую прогрессию;

• образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

В Математике логарифмическая спираль впервые упоминается в 1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным, по этой причине её часто называют «равноугольной».

Логарифмическая спираль - кривая с «твердым» характером. Она не меняет свою природу при различных преобразованиях, к которым чувствительны остальные кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса является схожим действием что и повернуть ее на определенный угол. Это свойство было открыто Якобом Бернулли, называвшим ее spira mirablis- дивная спираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной при различных преобразованиях настолько уливили ученого, что он хотел придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечь логарифмическую спираль на своем надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eadem mutate resurgo» - «Измененная, возрождаюсь прежней».

2. 5 Спираль Фибоначчи

Спираль Фибоначчи - это графическое отображение последовательности чисел, которую называют «рядом», или 《числами Фибоначчи》. Числа Фибоначчи или последовательность Фибоначчи - определенная числовая последовательность, которая обладает определенным рядом свойств. В пример можно взять, что сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т. д. ), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т. е. постоянных соотношений.

Последовательность Фибоначчи начинается следующими числами : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 . . . Соотношение между этими числами приблизительно равно золотому сечению. Прямоугольник с шириной и высотой, равными двум соседним числам последовательности, представляет собой так называемый “Золотой прямоугольник”, идеальный

Рис. 9 прямоугольник. Золотой прямоугольник можно разбить на более мелкие, с размерами, соответствующими соседним числам Фибоначчи. Если золотой прямоугольник разбить на более мелкие в соответствии с последовательностью и разделить каждый из них дугой, получится “Спираль Фибоначчи” (Рис. 9) .

2. 6 Спираль Корню

Клотоида или Спираль Корню (в западной литературе известна так же как Спираль Эйлера) - кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги (Рис. 10) .

Рис. 10

Эта кривая названа по имени французского физика XIX в. А. Корню (также - клофоида или спираль Эйлера) . Главной особенностью спирали является прямо пропорциональность кривизны к длине пройденного по ней пути.

2. 7 Практическое применение спиралей

Спираль Архимеда

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёлспециальный винт, который применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже (Рис. 11) . Кроме того, это устройство также использовалось для отвоёвывания земли у моря в Голландии и других местах при создании польдеров. Архимедовы винты использовались в специальных установках по обработке сточных вод, из-за их. способности успешно справляются с разными мощностями потока и с суспензиями.

На основе винта Архимеда создали шнек («улитку») . Его самое популярное использование - винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в специальных механизмах для перемешивания определенных материалов с различной консистенции.

Другой способ использования - применение архимедовых винтов вместо колес. Принцип движения шнекороторного вездехода прост. Машина оборудована двумя или более соосными с направлением движения рвинтами Архимеда. При вращении они отталкиваются от кашеобразной или жидкой субстанции, по которой движется вездеход, и продвигают его вперед

Рис. 11

В В техническом производстве нашли применение антенны в виде спирали Архимеда. Самоцентрирующийся патрон выполнен по виду спирали Архимеда. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют вид спирали Архимеда.

Спираль Архимеда нашла практическое применение во многих сферах жизни человека.

Логарифмическая спираль

Рис. 12

Логарифмическая спираль очень часто встречается в природе, из-за связи с определенными циклами роста живых организмов. У большого колличества моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются (рис. 12, рис. 1) . Во многих случаях примерные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя раковину моллюска некорректно назвать живым организмом, но она образуется в ходе его роста. Один из наипростейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некой фигуры, которая напоминает логарифмическую спираль. Во многих раковинах обнаруживается совпадение между результатами измерений и приблезительными значениями, ожидаемыми для построения точной логарифмической спирали.

Рис. 13

Применения логарифмической спирали в техническом плане основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. Так, специально вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали (рис. 13), благодаря чему угол резания остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает более равномерный его износ.

Труба, которая проводит струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, созданный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

Спираль Корню

При строительстве определенных видов дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где все виды транспорта движутся по определенным дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась плавно, и спираль Корню как раз является идеальной переходной кривой для закругления пути (рис. 14) . При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той ее точке, где ее кривизна равняется кривизне данной окружности.

Клотоида предложена Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных оптических задачах.

Рис. 14

В следующей главе мы постараемся рассмотреть вид кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по определенным точкам, где $\varphi$ принимает значения от 0 до 2π.

Глава 3 РОЗЫ ГРАНДИ

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на некий цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди или по другому "Розы Гранди". Их правильное очертание было предопределено математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз».

В полярной системе координат любая роза задаётся уравнением $\rho = a\sin\sin\ k\varphi\$

где k - положительное рациональное число, которое определят количество лепестков, a - положительное число, которое определяет размер.

3. 1 Виды роз

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе достаточно сложно заметить: так как sin(k $\varphi$ ) ≤1, то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Рис. 15 Рис. 16

При k = 2 получается четырехлепестковая роза (рис. 15), при k = 3 трехлепестковая роза (рис. 16) .

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то в условии должно выполняться неравенство sin3 $\varphi$ ≥0, решая которое мы находим область допустимых углов: $0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{3}$ , $\frac{2\pi}{3} \leq \varphi \leq \pi$ , $\ \frac{4\pi}{3} \leq \varphi \leq \frac{5\pi}{3}$ .