Классификация моделей йонсоновских теорий по косемантичной эквивалентности

Тип работы: Диссертация
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 84 страниц
В избранное:

Карагандинский государственный университет имени академика Е. А. Букетова

УДК 510. 67 На правах рукописи

УЛЬБРИХТ ОЛЬГА ИВАНОВНА

«Классификация моделей йонсоновских теорий относительно косемантичной эквивалентности»

6D060100 - Математика

Диссертация на соискание ученой степени
доктора философии (PhD)

Научные консультанты:

Ешкеев Айбат Рафхатович,

доктор физико-математических наук,

профессор КарГУ им. Е. А. Букетова

Бруно Пуаза,

профессор университета Лион-1,

(Франция)

Республика Казахстан

Караганда, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ3

ВВЕДЕНИЕ4

1 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ДЛЯ КЛАССА ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНО ЗАМКНУТЫХ МОДЕЛЕЙ ЙОНСОНОВСКОЙ ТЕОРИИ11

1. 1 Предварительные сведения из теории моделей11

1. 2 Основные сведения и результаты, касающиеся йонсоновских теорий15

1. 3 Экзистенциально замкнутые модели йонсоновских теорий20

1. 4 Отношение косемантичности и--стабильность класса фрагментарного йонсоновского совершенного спектра27

1. 5 Решетки экзистенциальных формул-йонсоновской теории30

2 СВОЙСТВО КОСЕМАНТИЧНОСТИ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ЙОНСОНА42

2. 1 Элементарные сведения об абелевых группах и их теоретико-модельных свойствах42

2. 2 Йонсоновские абелевы группы и свойство JSB45

2. 3 Критерий косемантичности абелевых групп в обогащенной сигнатуре50

2. 4 Модули и их теоретико-модельные свойства53

3 АБСТРАКТНОЕ СВОЙСТВО НЕЗАВИСИМОСТИ В СТРУКТУРАХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ЙОНСОНА60

3. 1 Специальные отношения форкинга и независимости для фрагментов йонсоновских множеств60

3. 2 Йонсоновская независимость для67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ73

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ74

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

− сигнатура

− сигнатура: − язык данной сигнатуры

− сигнатура: − теория

\mathfrak{A}

\mathfrak{B}

, …

− сигнатура: − модели

, …

− сигнатура: − элементы моделей

, …

− сигнатура: − кортежи

, …

− сигнатура: − формулы

: Th(

\mathfrak{A}

)

− сигнатура: − элементарная теория модели

\mathfrak{A}

\mathfrak{A}

\mathfrak{B}

− сигнатура: − модели

\mathfrak{A\ }

\mathfrak{B}

элементарно эквивалентны

\mathfrak{A}

\mathfrak{B}

− сигнатура: − модель

\mathfrak{A\ }

является подмоделью модели

\mathfrak{B}

\mathfrak{A}

\mathfrak{B}

− сигнатура: − модель

\mathfrak{A\ }

является элементарной подмоделью модели

\mathfrak{B}

\mathfrak{A}

\mathfrak{B}

− сигнатура: − модели

\mathfrak{A\ }

\mathfrak{B}

изоморфны

: D (

\mathfrak{A}

)

− сигнатура: − диаграмма модели

\mathfrak{A}

: JEP

− сигнатура: − свойство совместного вложения

: АР

− сигнатура: − свойство амальгамируемости

− сигнатура: - семантическая модель йонсоновской теории

− сигнатура: - центр йонсоновской теории

− сигнатура: - класс всех моделей теории

− сигнатура: - класс всех экзистенционально замкнутых моделей теории

\bowtie

− сигнатура: − отношение косемантичности

: JSp (

\mathfrak{A) }

− сигнатура: − йонсоновский спектр модели

\mathfrak{A}

: PJSp (

\mathfrak{A) }

− сигнатура: − совершенный йонсоновский спектр модели

\mathfrak{A}

− сигнатура: − решётка экзистенциальных формул языка L с n свободными переменными

− сигнатура: − йонсоновский фрагмент йонсоновского множества

− сигнатура: − сигнатура абелевых групп

− сигнатура: − теория абелевых групп

− сигнатура: − теория

-модулей

− сигнатура: − теория йонсоновских пар теории абелевых групп

: JNF

− сигнатура: − йонсоновский нефоркинг

: JNFLP

− сигнатура: − йонсоновская нефоркуемость по Ласкару-Пуаза

ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние решаемой научной проблемы. Основные задачи, которые возникают в классической (первого порядка) теории моделей, являются следствием «противопоставления» некоторых синтаксических и семантических условий логики первого порядка. Как правило, имея дело с фиксированной сигнатурой, под синтаксическим условием мы понимаем некоторые теоретико-модельные свойства фиксированной теории языка данной сигнатуры. И, соответственно, под семантическим условием мы понимаем некоторые утверждения о теоретико-модельных свойствах объектов, принадлежащих классу моделей данной фиксированной теории и связи между ними с помощью различных типов морфизмов (гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, элементарных мономорфизмов и т. д. ) . К синтаксическим условиям можно отнести, например, утверждения, которые определяют такие понятия, как аксиоматизируемость теории, полнота теории, атомная формула, главный тип, неглавный тип, атомная модель и т. д., и, соответственно, к семантическим условиям мы можем отнести, к примеру, утверждения, которые определяют такие понятия, как элементарное вложение, изоморфное вложение, простая модель, алгебраически простая модель и т. д. Иногда синтаксические и семантические понятия являются обоюдными. Как правило, в этом случае мы имеем законченный математический результат в виде критерия. Например, в случае счётного языка модель рассматриваемой теории данного языка атомная, тогда и только тогда, когда она счётно-простая. В случае, когда мы имеем подобные результаты, происходит качественное улучшение понимания сути исследуемых фиксированных объектов: теории и её класса моделей.

Таким образом, классификация фиксированной теории и её класса моделей относительно некоторых синтаксических и семантических условий является одной из важнейших задач классической теории моделей. В самой теории моделей, как замечено в обзорной статье Х. Дж. Кейслера «Основы теории моделей» в справочной книге под ред. Дж. Барвайса [1], исторически сложилось два направления. В [1, c. 56] их называют «западной» и «восточной» теорией моделей, эти названия условны, они связаны с географическим местом проживания основоположников теории моделей. А. Робинсон жил на восточном побережье США, а А. Тарский жил на западном.

«Западная» теория моделей развивается в традициях Скулема и Тарского. Она в большей степени мотивировалась проблемами в теории чисел, анализе и теории множеств, и в ней используются все формулы логики первого порядка. В частности, в качестве морфизмов в «западной» теории моделей рассматриваются различные типы элементарных морфизмов. «Восточная» теория моделей развивается в традициях Мальцева и Робинсона. Она мотивировалась проблемами в абстрактной алгебре, где формулы теорий обычно имеют самое большее два блока кванторов. Она делает ударение на множества бескванторных формул и экзистенциальных формул. В «восточной» теории моделей, как правило, в качестве морфизмов рассматриваются гомоморфизмы и изоморфизмы.

Таким образом, можно заметить, что имея дело с теоретико-модельной атрибутикой «восточной» теорией моделей, мы, как правило, имеем дело с неполными теориями и морфизмами между их моделями, которые максимум сохраняет свойства булевых комбинаций атомарных формул. Класс неполных теории достаточно широк, поэтому естественным является ограничение до индуктивных теорий или -аксиоматизируемых (ограничение на аксиоматизируемость) тем более, что основные типы алгебр таковые. В смысле ограничения на полноту рассматриваемой теории с нашей стороны максимальным требованием в большинстве случаев является требование полноты для -предложений и, как минимум, экзистенциальной полноты, т. е. для -предложений. В качестве моделей при изучении данного типа теорий, как правило, рассматривается некоторый подкласс класса всех моделей рассматриваемой теории, а именно, класс её экзистенциально замкнутых моделей.

Описание экзистенциально замкнутых моделей было интенсивным полем деятельности в рамках изучения индуктивных теорий. Хорошо известны классические результаты, описывающие такие модели [2], [3] .

Вследствие того, что для любой индуктивной теории класс экзистенциально замкнутых моделей не является пустым, в силу того, что класс йонсоновских теорий является подклассом индуктивных теорий вышеуказанное описание класса экзистенциально замкнутых моделей может быть уточнено за счёт дополнительных атрибутов йонсоновских теорий. Одним из таких факторов является насыщенность семантической модели в своей мощности. Йонсоновсике теории, обладающие таким свойством, называются совершенными. В таких теориях центр совпадает с модельным компаньоном, который не всегда существует в произвольном случае. Интересно также, что в совершенном случае компаньон, описывающий класс экзистенциально замкнутых моделей, во-первых является элементарным классом, а во-вторых совпадает с форсинг компаньоном, который всегда существует и является полной теорией для произвольной йонсоновской теории, не обязательно совершенной. Таким образом, мне представляется интересным в данной диссертации показать поведение класса экзистенциально замкнутых моделей фиксированной йонсоновской теории.

Актуальность темы исследования. Основным вопросом исследования в данной диссертации является классификация моделей йонсоновских теорий относительно косемантичной эквивалентности. Помимо этого исследуются свойства йонсоновской независимости на языке форкинга, определённого как некоторое бинарное отношение на множестве специальных типов и некоторых подмножеств семантической модели фиксированной йонсоновской теории. Также рассматриваются свойства решеток экзистенциальных формул -йононовских теорий и их связь с известными вопросами в теории моделей. В частности, рассмотрена связь между совершенностью таких теорий и свойствами решетки классов эквивалентности экзистенциальных формул относительно этой теории.

Йонсоновские теории образуют достаточно широкий подкласс индуктивных теорий и из определения йонсоновских теориий следует, что они, вообще говоря, не полны. Эти теории удовлетворяют естественным требованиям, таким, как индуктивность, свойство совместного вложения и амальгамы [, опр. 6. 1, стр. 80] . Йонсоновскими теориями, например, являются теории таких классических алгебраических систем, как поля фиксированной характеристики, группы, абелевы группы, различные типы колец, булевы алгебры, решётки, полигоны. Т. Г. Мустафин в работе [4] обобщил йонсоновские теории и нашёл связь между полными теориями, йонсоновскими теориями и обобщёнными йонсоновскими теориями. В работе [5] Ешкеевым А. Р. было продолжено исследование йонсоновских теорий относительно различных теоретико-модельных свойств их компаньонов, в том числе и -стабильности. В частности, в рамках изучения йонсоновских теорий было переопределено такое важное понятие, как форкинг, которое ранее было определено С. Шелахом [6] и является одним из основных средств современной техники теории моделей при классификации полных теорий. В дальнейшем Ешкеевым А. Р. были определены новые классы позитивных йонсоновских теорий и в работе [7] были получены позитивные йонсоновские аналоги работы Ф. Вайспфенинга [8] для позитивной решётки экзистенциальных формул рассматриваемой теории. Понятие позитивных йонсоновских теорий впервые было рассмотрено в работе [9] и это понятие, в определённом смысле, было введено после появления серии работ И. Бен-Якова [10], [11], т. к. оба понятия позитивности теории из [9] и [10] совпадают между собой для минимального фрагмента рассматриваемой теории. Отсюда, в частности, следует нетривиальность (не просто обобщение йонсоновости ради обобщения) понятия позитивности в смысле [9], т. к., например, такой важный класс математических структур, как метрические пространства, не является йонсоновским классом, но является позитивно йонсоновским в смысле работ [10], [11] и, в частности, в смысле [9] для минимального фрагмента. Следует заметить, что существуют различные регулярные способы перехода от произвольной теории к йонсоновской теории, которая сохраняет первоначальный класс экзистенциально замкнутых моделей. Один из этих способов это морлизация теории [1] (теоремы 2. 18, 2. 19, с. 63-64; теорема , с. 82) . Таким образом, изучение теоретико-модельных свойств йонсоновских теорий является актуальной задачей, как в самой теории моделей, так и в универсальной алгебре, причём вопросы, касающиеся изучения йонсоновских теорий в точности относятся по своей сути к проблематике «восточной» теории моделей.

Целью настоящей работы является изучение свойства косемантичности для алгебраических структур, удовлетворяющих условиям Йонсона. В частности, в работе рассматриваются вопросы классификации теории абелевых групп и модулей относительно понятия косемантичности и свойства Шрёдера-Бернштейна. Кроме того, изучаются свойства йонсоновского форкинга и независимости для класса йонсоновского спектра произвольной модели сигнатуры.

Объектами исследования являются йонсоновские теории и их классы моделей. В частности, в работе рассматриваются теоретико-модельные вопросы теории абелевых групп и -модулей и их класс экзистенциально замкнутых моделей, который будет элементарным в силу совершенности теорий абелевых групп и -модулей в случае, когда кольцо когерентно.

Методы исследования. К основным методам исследования в данной диссертации относятся общие методы классической теории моделей, связанные с изучением полных теорий, а также метоы универсальной алгебры. Помимо этого, регулярно используется семантический метод изучения йонсоновсих теорий, который заключается в транслировании элементарных свойств первого порядка центра йонсоновской теории на саму йонсоновскую теорию. В случае, когда возможно прямое транслирование с йонсоновской теории на её центр, как правило мы работаем даже в несовершенном случае только с классом экзистенциально замкнутых моделей.

Научная новизна темы исследования. Данная тематика является абсолютно новой, все полученные и опубликованные результаты не имеют аналогов в силу той общности постановки задач данной диссертации.

Задачи исследования. В силу того, что йонсоновские теории, вообще говоря, не являются полными, аппарат изучения таких теорий является неразвитым и первым этапом исследования является переопределение основной терминологической базы классической теории моделей, связанных с решёнными и нерешёнными задачами, определёнными в рамках изучения полных теорий. Далее, используя вышеуказанные методы исследования, мы стараемся получить аналоги результатов верных для центра йонсоновской теории, который является полной теорией в рамках изучения самой йонсоновской теории. В случае отсутствия аналогов мы стараемся найти более общую постановку задачи, которая покрывает условия, верные и для центра и для самой йонсоновской теории.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях теоретико-модельных свойств йонсоновских теорий и их классов моделей в классической теории моделей и универсальной алгебре. Прикладное значение полученных результатов можно применить во всех областях математики, где является возможным интерпретация абелевой группы или модуля. Например, так как линейное пространство является частным случаем модуля, важным примером является линейное пространство дифференциальных операторов, которое описывает физические свойства соответствующих важных естественных процессов.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

− международная научная конференция «Теоретические и прикладные проблемы математики, механики и информатики» (Казахстан, Караганда, 12-14 июня 2014 г. ) ;

− международная научная конференция «Алгебра, анализ, дифференциальные уравнения и их приложения», посвящённая 60-летию академика НАН РК Джумадильдаева Аскара Серкуловича (Казахстан, Алматы, 8-9 апреля 2016 г. ) ;

− European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic «Logic Colloquium 2016» (Великобритания, Лидс, 31 июля − 6 августа 2016 г. ) ;

− 6 ^th World Congress and School on Universal Logic (Франция, Виши, 16-26 июня 2018 г. ) ;

− международная научная конференция «Теоретические и прикладные вопросы математики, механики и информатики», посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Рамазанова Мурата Ибраевича (Казахстан, Караганда, 12-13 июня 2019 г. ) ;

− the 16th Asian Logic Conference (Казахстан, Нур-Султан, 17-21 июня 2019 г. ) ;

− научный семинар кафедры алгебры, математической логики и геометрии имени профессора Т. Г. Мустафина, руководитель д. ф. -м. н., профессор Ешкеев А. Р. (КарГУ им. Е. А. Букетова) .

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, из них 1 статья опубликована в журнале, входящем в базы данных zbMath и Scopus [12], 1 статья − в электронном периодическом издании ближнего зарубежья (Россия) [13], 4 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных Комитетом по контролю в сфере образования и науки Министерства образования Республики Казахстан [14-17] и 8 работ − в материалах международных научных конференций [18-25] . Результаты работ [12], [13], [15], [19], [20], [23] включённые в диссертацию, были получены в неразделимом соавторстве с А. Р. Ешкеевым, результаты работ [17], [25] были получены автором лично. В остальных работах, выполненных с соавторами, вклад каждого из соавторов является равным.

Положения, выносимые на защиту.

Структура и объём диссертации. Диссертация, объёмом 82 страницы, состоит из следующих структурных элементов: обозначения и сокращения, ввеения, основных трёх разелов, заключения и списка использованных источников, содержащего 8 2 наименования. Нумерация определений и утверждений имеет три индекса: первый индекс − номер раздела, второй - номер подраздела, третий - собственный номер определения или утверждения в данном подразделе.

Краткое содержание основной части диссертационной работы. В первом разделе диссертации приводятся предварительные сведения из теории моделей, а также основные понятия и результаты, отражающие свойства йонсоновских теорий. Кроме того изучаются некоторые теоретико-модельные свойства класса экзистенциально замкнутых моделей таких теорий.

В подразделе 1. 1 кратко изложены основные понятия и теоремы классической теории моделей. В качестве основного источника мы используем справочную книгу по математической логике под редакцией Дж. Барвайса [1] . Подраздел 1. 2 содержит необходимые определения понятий и результы, касающиеся йонсоновских теорий, приведнные в книге [26] . Отметим наиболее важные из них.

Моделью или алгебраической системой сигнатуры называется непустое множество А , где каждому n -местному предикатному символу из сопоставлено некоторое -местное отношение в А , всякому т -местному функциональному символу из сопоставлена некоторая т -местная функция на А , а каждой предметной константе с из сопоставлен некоторый элемент из А .

Под теорией Т мы понимаем всякое непротиворечивое множество предложений языка данной сигнатуры , замкнутое относительно выводимости.

Определение 1. 1. 5 [1, c. 62] Теория Т называется индуктивной , если Т эквивалентна множеству -предложений, т. е. предложений вида , где −бескванторная формула.

Определение 1. 1. 6 [1, c. 97] Модель теории Т называется экзистенциально замкнутой, если экзистенциальное предложение языка , истинное в некоторой Т -модели, расширяющей , истинно и в .

Предложение 1. 1. 4 [1, c. 97] Если теория Т индуктивна, то любая модель теории Т вкладлывается в некоторую экзистенциально замкнутую модель теории Т .

Определение 1. 2. 1 [1, c. 80] Теория называется йонсоновской , если

имеет бесконечную модель;
индуктивна;
обладает свойством совместного вложения () ;
обладает свойством амальгамируемости () .

Так, например, йонсоновскими теориями являются следующие теории: группы, абелевы группы, булевы алгебры, линейные порядки, поля фиксированной характеристики , упорядоченные поля.

Определение 1. 2. 7 [27, c. 529] Семантической моделью йонсоновской теории называется - однородная - универсальная модель теории .

Заметим, что для любой йонсоновской теории семантическая модель всегда существует, поэтому она играет важную роль в качестве семантического инварианта.

Лемма 1. 2. 2 [26, c. 25] Семантическая модель йонсоновской теории T является T -экзистенциально замкнутой.

Определение 1. 2. 8 [26, c. 25] Семантическим пополнением ( центром ) йонсоновской теории называется элементарная теория семантической модели теории , т. е. .

Лемма 1. 2. 3 Пусть T - йонсоновская теория, а - её центр. Тогда T и взаимно модельно совместны.

Определение 1. 2. 9 [26, c. 26] Йонсоновская теория называется совершенной , если каждая семантическая модель является насыщенной моделью .

Пусть - класс всех экзистенционально замкнутых моделей теории .

Теорема 1. 2. 6 [26, с. 26] Пусть - произвольная йонсоновская теория, тогда следующие условия эквивалентны:

(1) − совершенна,

(2) − модельный компаньон теории ,

(3) ,

(4) ,

где , − оболочка Кайзера (максимальная -теория, взаимно модельно совместная с ), , где − класс генерических моделей (в смысле конечного форсинга Робинсона) .

Теорема 1. 2. 8 [26, c. 32] Пусть Т - совершенная йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) Т полна;

(2) Т модельно полна.

Пусть − йонсоновская теория, - множество всех экзистенциальных полных -типов над , совместных с , для любого конечного , где .

Определение 1. 2. 10 (Ешкеев А. Р. ) [26, c. 66] Будем говорить, что йонсоновская теория - - стабильна , если для любой -экзистенциально замкнутой модели $\mathfrak{A}$ , для любого подмножества из , .