Классификация моделей йонсоновских теорий относительно косемантичной эквивалентности

Тип работы: Диссертация
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 84 страниц
В избранное:

Карагандинский государственный университет имени академика Е.А.Букетова

УДК 510.67 На правах рукописи

УЛЬБРИХТ ОЛЬГА ИВАНОВНА

Классификация моделей йонсоновских теорий относительно косемантичной эквивалентности

6D060100 - Математика

Диссертация на соискание ученой степени
доктора философии (PhD)

Научные консультанты:

Ешкеев Айбат Рафхатович,
доктор физико-математических наук,
профессор КарГУ им. Е.А.Букетова

Бруно Пуаза,
профессор университета Лион-1,
(Франция)

Республика Казахстан
Караганда, 2019
СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ДЛЯ КЛАССА ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНО ЗАМКНУТЫХ МОДЕЛЕЙ ЙОНСОНОВСКОЙ ТЕОРИИ 11
1.1 Предварительные сведения из теории моделей 11
1.2 Основные сведения и результаты, касающиеся йонсоновских теорий 15
1.3 Экзистенциально замкнутые модели йонсоновских теорий 20
1.4 Отношение косемантичности и --стабильность класса фрагментарного йонсоновского совершенного спектра 27
1.5 Решетки экзистенциальных формул -йонсоновской теории 30
2 СВОЙСТВО КОСЕМАНТИЧНОСТИ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ЙОНСОНА 42
2.1 Элементарные сведения об абелевых группах и их теоретико-модельных свойствах 42
2.2 Йонсоновские абелевы группы и свойство JSB 45
2.3 Критерий косемантичности абелевых групп в обогащенной сигнатуре 50
2.4 Модули и их теоретико-модельные свойства 53
3 АБСТРАКТНОЕ СВОЙСТВО НЕЗАВИСИМОСТИ В СТРУКТУРАХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ЙОНСОНА 60
3.1 Специальные отношения форкинга и независимости для фрагментов йонсоновских множеств 60
3.2 Йонсоновская независимость для 67
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 73
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 74

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

сигнатура

язык данной сигнатуры

теория
A, B, ...
модели
, , ...
элементы моделей
, , ...
кортежи
, , ...
формулы
Th(A)
элементарная теория модели A
A B
модели A и B элементарно эквивалентны
AB
модель A является подмоделью модели B
AB
модель A является элементарной подмоделью модели B
AB
модели A и B изоморфны
D(A)
диаграмма модели A
JEP
свойство совместного вложения
АР
свойство амальгамируемости

- семантическая модель йонсоновской теории

- центр йонсоновской теории

- класс всех моделей теории

- класс всех экзистенционально замкнутых моделей теории
⋈
отношение косемантичности
JSp(A)
йонсоновский спектр модели A
PJSp(A)
совершенный йонсоновский спектр модели A

решётка экзистенциальных формул языка L с n свободными переменными

йонсоновский фрагмент йонсоновского множества

сигнатура абелевых групп

теория абелевых групп

теория -модулей

теория йонсоновских пар теории абелевых групп
JNF
йонсоновский нефоркинг
JNFLP
йонсоновская нефоркуемость по Ласкару-Пуаза

ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние решаемой научной проблемы. Основные задачи, которые возникают в классической (первого порядка) теории моделей, являются следствием противопоставления некоторых синтаксических и семантических условий логики первого порядка. Как правило, имея дело с фиксированной сигнатурой, под синтаксическим условием мы понимаем некоторые теоретико-модельные свойства фиксированной теории языка данной сигнатуры. И, соответственно, под семантическим условием мы понимаем некоторые утверждения о теоретико-модельных свойствах объектов, принадлежащих классу моделей данной фиксированной теории и связи между ними с помощью различных типов морфизмов (гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, элементарных мономорфизмов и т.д.). К синтаксическим условиям можно отнести, например, утверждения, которые определяют такие понятия, как аксиоматизируемость теории, полнота теории, атомная формула, главный тип, неглавный тип, атомная модель и т.д., и, соответственно, к семантическим условиям мы можем отнести, к примеру, утверждения, которые определяют такие понятия, как элементарное вложение, изоморфное вложение, простая модель, алгебраически простая модель и т.д. Иногда синтаксические и семантические понятия являются обоюдными. Как правило, в этом случае мы имеем законченный математический результат в виде критерия. Например, в случае счётного языка модель рассматриваемой теории данного языка атомная, тогда и только тогда, когда она счётно-простая. В случае, когда мы имеем подобные результаты, происходит качественное улучшение понимания сути исследуемых фиксированных объектов: теории и её класса моделей.
Таким образом, классификация фиксированной теории и её класса моделей относительно некоторых синтаксических и семантических условий является одной из важнейших задач классической теории моделей. В самой теории моделей, как замечено в обзорной статье Х. Дж. Кейслера Основы теории моделей в справочной книге под ред. Дж. Барвайса [1], исторически сложилось два направления. В [1, c.56] их называют западной и восточной теорией моделей, эти названия условны, они связаны с географическим местом проживания основоположников теории моделей. А.Робинсон жил на восточном побережье США, а А.Тарский жил на западном.
Западная теория моделей развивается в традициях Скулема и Тарского. Она в большей степени мотивировалась проблемами в теории чисел, анализе и теории множеств, и в ней используются все формулы логики первого порядка. В частности, в качестве морфизмов в западной теории моделей рассматриваются различные типы элементарных морфизмов. Восточная теория моделей развивается в традициях Мальцева и Робинсона. Она мотивировалась проблемами в абстрактной алгебре, где формулы теорий обычно имеют самое большее два блока кванторов. Она делает ударение на множества бескванторных формул и экзистенциальных формул. В восточной теории моделей, как правило, в качестве морфизмов рассматриваются гомоморфизмы и изоморфизмы.
Таким образом, можно заметить, что имея дело с теоретико-модельной атрибутикой восточной теорией моделей, мы, как правило, имеем дело с неполными теориями и морфизмами между их моделями, которые максимум сохраняет свойства булевых комбинаций атомарных формул. Класс неполных теории достаточно широк, поэтому естественным является ограничение до индуктивных теорий или -аксиоматизируемых (ограничение на аксиоматизируемость) тем более, что основные типы алгебр таковые. В смысле ограничения на полноту рассматриваемой теории с нашей стороны максимальным требованием в большинстве случаев является требование полноты для -предложений и, как минимум, экзистенциальной полноты, т.е. для -предложений. В качестве моделей при изучении данного типа теорий, как правило, рассматривается некоторый подкласс класса всех моделей рассматриваемой теории, а именно, класс её экзистенциально замкнутых моделей.
Описание экзистенциально замкнутых моделей было интенсивным полем деятельности в рамках изучения индуктивных теорий. Хорошо известны классические результаты, описывающие такие модели [2], [3].
Вследствие того, что для любой индуктивной теории класс экзистенциально замкнутых моделей не является пустым, в силу того, что класс йонсоновских теорий является подклассом индуктивных теорий вышеуказанное описание класса экзистенциально замкнутых моделей может быть уточнено за счёт дополнительных атрибутов йонсоновских теорий. Одним из таких факторов является насыщенность семантической модели в своей мощности. Йонсоновсике теории, обладающие таким свойством, называются совершенными. В таких теориях центр совпадает с модельным компаньоном, который не всегда существует в произвольном случае. Интересно также, что в совершенном случае компаньон, описывающий класс экзистенциально замкнутых моделей, во-первых является элементарным классом, а во-вторых совпадает с форсинг компаньоном, который всегда существует и является полной теорией для произвольной йонсоновской теории, не обязательно совершенной. Таким образом, мне представляется интересным в данной диссертации показать поведение класса экзистенциально замкнутых моделей фиксированной йонсоновской теории.
Актуальность темы исследования. Основным вопросом исследования в данной диссертации является классификация моделей йонсоновских теорий относительно косемантичной эквивалентности. Помимо этого исследуются свойства йонсоновской независимости на языке форкинга, определённого как некоторое бинарное отношение на множестве специальных типов и некоторых подмножеств семантической модели фиксированной йонсоновской теории. Также рассматриваются свойства решеток экзистенциальных формул -йононовских теорий и их связь с известными вопросами в теории моделей. В частности, рассмотрена связь между совершенностью таких теорий и свойствами решетки классов эквивалентности экзистенциальных формул относительно этой теории.
Йонсоновские теории образуют достаточно широкий подкласс индуктивных теорий и из определения йонсоновских теориий следует, что они, вообще говоря, не полны. Эти теории удовлетворяют естественным требованиям, таким, как индуктивность, свойство совместного вложения и амальгамы [1, опр. 6.1, стр. 80]. Йонсоновскими теориями, например, являются теории таких классических алгебраических систем, как поля фиксированной характеристики, группы, абелевы группы, различные типы колец, булевы алгебры, решётки, полигоны. Т. Г. Мустафин в работе [4] обобщил йонсоновские теории и нашёл связь между полными теориями, йонсоновскими теориями и обобщёнными йонсоновскими теориями. В работе [5] Ешкеевым А.Р. было продолжено исследование йонсоновских теорий относительно различных теоретико-модельных свойств их компаньонов, в том числе и -стабильности. В частности, в рамках изучения йонсоновских теорий было переопределено такое важное понятие, как форкинг, которое ранее было определено С.Шелахом [6] и является одним из основных средств современной техники теории моделей при классификации полных теорий. В дальнейшем Ешкеевым А.Р. были определены новые классы позитивных йонсоновских теорий и в работе [7] были получены позитивные йонсоновские аналоги работы Ф. Вайспфенинга [8] для позитивной решётки экзистенциальных формул рассматриваемой теории. Понятие позитивных йонсоновских теорий впервые было рассмотрено в работе [9] и это понятие, в определённом смысле, было введено после появления серии работ И. Бен-Якова [10], [11], т.к. оба понятия позитивности теории из [9] и [10] совпадают между собой для минимального фрагмента рассматриваемой теории. Отсюда, в частности, следует нетривиальность (не просто обобщение йонсоновости ради обобщения) понятия позитивности в смысле [9], т.к., например, такой важный класс математических структур, как метрические пространства, не является йонсоновским классом, но является позитивно йонсоновским в смысле работ [10], [11] и, в частности, в смысле [9] для минимального фрагмента. Следует заметить, что существуют различные регулярные способы перехода от произвольной теории к йонсоновской теории, которая сохраняет первоначальный класс экзистенциально замкнутых моделей. Один из этих способов это морлизация теории [1] (теоремы 2.18, 2.19, с.63-64; теорема , с.82). Таким образом, изучение теоретико-модельных свойств йонсоновских теорий является актуальной задачей, как в самой теории моделей, так и в универсальной алгебре, причём вопросы, касающиеся изучения йонсоновских теорий в точности относятся по своей сути к проблематике восточной теории моделей.
Целью настоящей работы является изучение свойства косемантичности для алгебраических структур, удовлетворяющих условиям Йонсона. В частности, в работе рассматриваются вопросы классификации теории абелевых групп и модулей относительно понятия косемантичности и свойства Шрёдера-Бернштейна. Кроме того, изучаются свойства йонсоновского форкинга и независимости для класса йонсоновского спектра произвольной модели сигнатуры.
Объектами исследования являются йонсоновские теории и их классы моделей. В частности, в работе рассматриваются теоретико-модельные вопросы теории абелевых групп и -модулей и их класс экзистенциально замкнутых моделей, который будет элементарным в силу совершенности теорий абелевых групп и -модулей в случае, когда кольцо когерентно.
Методы исследования. К основным методам исследования в данной диссертации относятся общие методы классической теории моделей, связанные с изучением полных теорий, а также метоы универсальной алгебры. Помимо этого, регулярно используется семантический метод изучения йонсоновсих теорий, который заключается в транслировании элементарных свойств первого порядка центра йонсоновской теории на саму йонсоновскую теорию. В случае, когда возможно прямое транслирование с йонсоновской теории на её центр, как правило мы работаем даже в несовершенном случае только с классом экзистенциально замкнутых моделей.
Научная новизна темы исследования. Данная тематика является абсолютно новой, все полученные и опубликованные результаты не имеют аналогов в силу той общности постановки задач данной диссертации.
Задачи исследования. В силу того, что йонсоновские теории, вообще говоря, не являются полными, аппарат изучения таких теорий является неразвитым и первым этапом исследования является переопределение основной терминологической базы классической теории моделей, связанных с решёнными и нерешёнными задачами, определёнными в рамках изучения полных теорий. Далее, используя вышеуказанные методы исследования, мы стараемся получить аналоги результатов верных для центра йонсоновской теории, который является полной теорией в рамках изучения самой йонсоновской теории. В случае отсутствия аналогов мы стараемся найти более общую постановку задачи, которая покрывает условия, верные и для центра и для самой йонсоновской теории.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях теоретико-модельных свойств йонсоновских теорий и их классов моделей в классической теории моделей и универсальной алгебре. Прикладное значение полученных результатов можно применить во всех областях математики, где является возможным интерпретация абелевой группы или модуля. Например, так как линейное пространство является частным случаем модуля, важным примером является линейное пространство дифференциальных операторов, которое описывает физические свойства соответствующих важных естественных процессов.
Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
международная научная конференция Теоретические и прикладные проблемы математики, механики и информатики (Казахстан, Караганда, 12-14 июня 2014 г.);
международная научная конференция Алгебра, анализ, дифференциальные уравнения и их приложения, посвящённая 60-летию академика НАН РК Джумадильдаева Аскара Серкуловича (Казахстан, Алматы, 8-9 апреля 2016 г.);
European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic Logic Colloquium 2016 (Великобритания, Лидс, 31 июля 6 августа 2016 г.);
6th World Congress and School on Universal Logic (Франция, Виши, 16-26 июня 2018 г.);
международная научная конференция Теоретические и прикладные вопросы математики, механики и информатики, посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Рамазанова Мурата Ибраевича (Казахстан, Караганда, 12-13 июня 2019 г.);
the 16th Asian Logic Conference (Казахстан, Нур-Султан, 17-21 июня 2019 г.);
научный семинар кафедры алгебры, математической логики и геометрии имени профессора Т.Г.Мустафина, руководитель д.ф.-м.н., профессор Ешкеев А.Р. (КарГУ им. Е.А.Букетова).
Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, из них 1 статья опубликована в журнале, входящем в базы данных zbMath и Scopus [12], 1 статья в электронном периодическом издании ближнего зарубежья (Россия) [13], 4 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных Комитетом по контролю в сфере образования и науки Министерства образования Республики Казахстан [14-17] и 8 работ в материалах международных научных конференций [18-25]. Результаты работ [12], [13], [15], [19], [20], [23] включённые в диссертацию, были получены в неразделимом соавторстве с А. Р. Ешкеевым, результаты работ [17], [25] были получены автором лично. В остальных работах, выполненных с соавторами, вклад каждого из соавторов является равным.
Положения, выносимые на защиту.
Структура и объём диссертации. Диссертация, объёмом 82 страницы, состоит из следующих структурных элементов: обозначения и сокращения, ввеения, основных трёх разелов, заключения и списка использованных источников, содержащего 82 наименования. Нумерация определений и утверждений имеет три индекса: первый индекс номер раздела, второй - номер подраздела, третий - собственный номер определения или утверждения в данном подразделе.
Краткое содержание основной части диссертационной работы. В первом разделе диссертации приводятся предварительные сведения из теории моделей, а также основные понятия и результаты, отражающие свойства йонсоновских теорий. Кроме того изучаются некоторые теоретико-модельные свойства класса экзистенциально замкнутых моделей таких теорий.
В подразделе 1.1 кратко изложены основные понятия и теоремы классической теории моделей. В качестве основного источника мы используем справочную книгу по математической логике под редакцией Дж. Барвайса [1]. Подраздел 1.2 содержит необходимые определения понятий и результы, касающиеся йонсоновских теорий, приведнные в книге [26]. Отметим наиболее важные из них.
Моделью или алгебраической системой сигнатуры называется непустое множество А, где каждому n-местному предикатному символу из сопоставлено некоторое -местное отношение в А, всякому т-местному функциональному символу из сопоставлена некоторая т-местная функция на А, а каждой предметной константе с из сопоставлен некоторый элемент из А.
Под теорией Т мы понимаем всякое непротиворечивое множество предложений языка данной сигнатуры , замкнутое относительно выводимости.
Определение 1.1.5 [1, c.62] Теория Т называется индуктивной, если Т эквивалентна множеству -предложений, т.е. предложений вида , где бескванторная формула.
Определение 1.1.6 [1, c.97] Модель теории Т называется экзистенциально замкнутой, если экзистенциальное предложение языка , истинное в некоторой Т-модели, расширяющей , истинно и в .
Предложение 1.1.4 [1, c.97] Если теория Т индуктивна, то любая модель теории Т вкладлывается в некоторую экзистенциально замкнутую модель теории Т.
Определение 1.2.1 [1, c.80] Теория называется йонсоновской, если
1) имеет бесконечную модель;
2) индуктивна;
3) обладает свойством совместного вложения ();
4) обладает свойством амальгамируемости ().
Так, например, йонсоновскими теориями являются следующие теории: группы, абелевы группы, булевы алгебры, линейные порядки, поля фиксированной характеристики , упорядоченные поля.
Определение 1.2.7 [27, c.529] Семантической моделью йонсоновской теории называется - однородная - универсальная модель теории .
Заметим, что для любой йонсоновской теории семантическая модель всегда существует, поэтому она играет важную роль в качестве семантического инварианта.
Лемма 1.2.2 [26, c.25] Семантическая модель йонсоновской теории T является T-экзистенциально замкнутой.
Определение 1.2.8 [26, c.25] Семантическим пополнением (центром) йонсоновской теории называется элементарная теория семантической модели теории , т.е. .
Лемма 1.2.3 Пусть T - йонсоновская теория, а - её центр. Тогда T и взаимно модельно совместны.
Определение 1.2.9 [26, c.26] Йонсоновская теория называется совершенной, если каждая семантическая модель является насыщенной моделью .
Пусть - класс всех экзистенционально замкнутых моделей теории .
Теорема 1.2.6 [26, с.26] Пусть - произвольная йонсоновская теория, тогда следующие условия эквивалентны:
(1) совершенна,
(2) модельный компаньон теории ,
(3) ,
(4) ,
где , оболочка Кайзера (максимальная -теория, взаимно модельно совместная с ), , где класс генерических моделей (в смысле конечного форсинга Робинсона).
Теорема 1.2.8 [26, c.32] Пусть Т - совершенная йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) Т полна;
(2) Т модельно полна.
Пусть йонсоновская теория, - множество всех экзистенциальных полных -типов над , совместных с , для любого конечного , где .
Определение 1.2.10 (Ешкеев А.Р.) [26, c.66] Будем говорить, что йонсоновская теория --стабильна, если для любой -экзистенциально замкнутой модели A, для любого подмножества из , .
Имеем следующий результат:
Теорема 1.2.9 Пусть - совершенная йонсоновская теория, полная для -предложений, . Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) --стабильна;
(2) -стабильна, где - центр йонсоновской теории .
Из теоремы 1.2.10 [4, c.157] легко следует:
Теорема 1.2.11 Пусть йонсоновская теория, полная относительно -предложений. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) -категорична;
(2) -категорична.
В подразделе 1.3 изучаются теоретико модельные свойства класса экзистенциально замкнутых моделей йонсоновских теорий.
Пусть язык первого порядка, Т некоторая теория в языке L и K класс всех моделей этой теории, т.е. . Мы говорим, что модель A теории Т является экзистенциально замкнутой в К (Т-экзистенциально замкнутой), если для каждой экзистенциальной формулы языка L и каждого набора из А, из того, что A B, где B и B ⊨ следует, что A⊨.
Например, если K класс полей, то экзистенциально замкнутой моделью в К является экзистенциально замкнутое поле; если K класс решеток, то экзистенциально замкнутой моделью в К является экзистенциально замкнутая решетка.
Имеем следующие полезные утверждения:
Теорема 1.3.1 Пусть L язык первого порядка, T йонсоновская теория в языке L и A, B экзистенциально замкнутые модели теории T. Тогда всякое -предложение языка L, которое верно в A, верно и в B.
Верна следующая лемма.
Лемма 1.3.3 Пусть йонсоновская теория. Тогда для любой модели теория является йонсоновской.
Теорема 1.3.3 Пусть Т йонсоновская теория в языке L и A - некоторая модель теории Т. Тогда существует экзистенциально замкнутая модель B теории Т такая, что AB.
Теорема 1.3.4 Пусть L язык первого порядка, T совершенная йонсоновская теория в L и A модель языка L. Тогда следующие условия эквивалентны:
(а) A, где центр йонсоновской теории Т.
(b) A и для каждой -формулы языка L, каждого кортежа из A, если A⊨, то существует -формула языка L такая, что A⊨ и Т ⊢.
(с) A, где класс всех экзистенциально замкнутых моделей теории .
В подразделе 1.4 рассматривается понятие йонсоновского спектра произвольной модели сигнатуры относительно понятия косемантичности, которое является обобщением элементарной эквивалентности в классе индуктивных, вообще говоря, неполных теорий.
Понятие косемантичности двух йонсоновских теорий было определено Мустафиным Т. Г.
Определение 1.4.1 (Т.Г.Мустафин) [26, c.40] Мы говорим, что йонсоновская теория косемантична йонсоновской теории (⋈), если , где - семантическая модель , .
Пусть произвольная модель сигнатуры . Назовём йонсоновским спектром модели следующее множество:

йонсоновская теория в языке и .

Отношение косемантичности на множестве йонсоновских теорий является отношением эквивалентности, поэтому мы можем рассмотреть ⋈ фактор множество йонсоновского спектра модели по отношению ⋈.
Пусть A и B модели одной и той же сигнатуры.
Определение 1.4.2 [12, c.872] Мы будем говорить, что модель A йонсоновски элементарно эквивалентна модели B (AB), если JSp(A) = JSp(B).
В рамках изучения йонсоновских теорий это понятие йонсоновски элементарной эквивалентности уточняет понятие элементарной эквивалентности для полных теорий.
Определение 1.4.3 [12, c.872] Мы говорим, что модель A -косемантична модели B (AB), если JSp(A)∕⋈= JSp(B)∕⋈.
Легко заметить, что -косемантичность двух моделей йонсоновской теории обобщает понятие элементарной эквивалентности двух моделей полной теории.
Лемма 1.4.2 Пусть A и B некоторые модели произвольной сигнатуры, тогда
AB AB AB.
Пусть - произвольная модель сигнатуры σ. Назовем совершенным йонсоновским спектром модели множество:

совершенная йонсоновская теория в языке и .

Определение 1.4.4 (Ешкеев А.Р.) Пусть , где - семантическая модель класса ∕⋈. Будем говорить, что множество есть --подмножество , если удовлетворяет следующим условиям:
1) -определимое множество (это означает, что существует формула из , решение которой в есть множество X, где , т.е. - это вид формулы, например , , и так далее);
2) , , где cl есть некоторый оператор замыкания, определяющий предгеометрию над (например, или ).
Будем называть совершенный йонсоновский спектр фрагментарным и обозначать ∕⋈, если для каждого класса ∕⋈ можем заключить, что для каждой теории следует, что найдётся такое --подмножество , что .
Пусть ∕⋈ и для каждого --подмножества , - -полная йонсоновская теория, - множество всех -полных -типов над , которые совместны с для каждого конечного .
Определение 1.4.5 (Ешкеев А.Р.) Мы говорим, что йонсоновская теория --стабильна, если для любой -экзистенциально замкнутой модели , для любого --подмножества множества , .
Класс ∕⋈ будем называть --стабильным, если каждая теория является --стабильной.
Назовём класс -полным, если каждая теория -полна.
Основным результатом данного подраздела является следующая теорема:
Теорема 1.4.2 [24] Пусть ∕⋈ - ∃-полный класс, λ=ω. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) класс - --стабильный;
2) теория - -стабильна, где - центр класса .
В подразделе 1.5 исследуются свойства решёток экзистенциальных формул -йонсоновских теорий и их связь с известными вопросами в теории моделей. Получен ряд результатов, устанавливающих связь между свойствами -йонсоновской теории, центрального пополнения данной -йонсоновской теории и свойствами решетки классов эквивалентности экзистенциальных формул относительно этой теории.
В терминах решетки экзистенциальных формул найдены необходимые и достаточные условия элиминации кванторов центрального пополнения -йонсоновской теории Т и позитивной модельной полноты центрального пополнения -йонсоновской теории Т.
Теорема 1.5.14 [14, c.47] Пусть Т - полная для -предложений -йонсоновская теория, центр теории Т. Тогда
1) допускает элиминацию кванторов тогда и только тогда, когда каждый имеет бескванторное дополнение;
2) позитивно модельно полна тогда и только тогда, когда каждый имеет позитивное экзистенциальное дополнение.
В следующей теореме в терминах решетки экзистенциальных формул найдены необходимые и достаточные условия совершенности -йонсоновской теории Т.
Теорема 1.5.15 [43] Пусть Т - -йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Т совершенна;
2) слабо дополняема;
3) алгебра Стоуна.
В терминах решетки формул найдены необходимые и достаточные условия йонсоновости центра йонсоновской теории.
Теорема 1.5.16 [43] Пусть Т - йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) йонсоновская теория;
2) каждый имеет бескванторное слабое дополнение.
При изучении свойств моделей полных теорий первого порядка полезными являются сведения о булевых алгебрах (алгебрах Линденбаума-Тарского) , теории Т. В связи с этими булевыми алгебрами , хорошо известен вопрос академика А.Д. Тайманова [28]:
(*) Какими свойствами должны обладать булевы алгебры , , чтобы существовала полная теория Т, такая, чтобы была изоморфна , ?
Хорошо известно, что работая с йонсоновскими теориями в некоторых случаях мы имеем возможность ограничить себя экзистенциальными формулами и экзистенциально-замкнутыми моделями рассматриваемой йонсоновской теории. В этом случае вместо алгебр Линденбаума-Тарского , , следует рассматривать решетки экзистенциальных формул . В работе [29] вышеуказанный вопрос А.Д.Тайманова был сформулирован в рамках изучения йонсоновских теорий следующим образом:
(**) Какими свойствами должны обладать решетки , , чтобы существовала йонсоновская теория T такая, чтобы была изоморфна ?
В связи с этими вопросами (*), (**) в рамках изучения -йонсоновских теорий были получены следующие результаты:
Теорема 1.5.19 [43] Пусть T совершенная -йонсоновская теория, полная для -предложений. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) положительное решение вопроса (*) относительно теории , где центр теории ;
2) положительное решение вопроса (**) относительно теории ;
3) положительное решение вопроса (**) относительно #-компаньона теории T, где # (*-компаньон есть центр, 0-компаньон есть оболочка Кайзера, , -компаньон есть модельный компаньон, -компаньон есть конечный форсинг компаньон в смысле Робинсона, e-компаньон есть элементарная теория класса всех экзистенциально-замкнутых моделей теории T).
Если множество универсальных следствий -йонсоновской теории также является -йонсоновской теорией (что вообще говоря не всегда так), то тогда мы имеем следующий результат.
Теорема 1.5.20 [14, с.49] Пусть совершенная -йонсоновская теория, полная для -предложений, теория также является -йонсоновской, где -множество универсальных предложений, выводимых из T. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) положительное решение вопроса (*) относительно теории , где центр теории T;
2) положительное решение вопроса (**) относительно теории .
В разделе 2 рассматриваются теоретико-модельные вопросы классификации теории абелевых групп и теории модулей относительно понятия косемантичности в классе йонсоновских теорий.
Подраздел 2.1 содержит необходимые элементарные сведения об абелевых группах и их теоретико-модельных свойствах.
В подразделе 2.2 рассмотрены йонсоновские аналоги некоторых теоретико-модельных результатов для абелевых групп. А именно, рассмотрено йонсоновское свойство Шрёдера-Бернштейна и свойство косемантичности для абелевых групп.
Доказано следующее предложение:
Предложение 2.2.1 [12, c.869] Теория - совершенная йонсоновская теория.
Понятие свойство SB было переопределено для йонсоновских теорий и обозначено как JSB следующим образом: йонсоновская теория имеет свойство JSB, если для любых двух экзистенциально замкнутых моделей A и B теории из того, что они взаимно изоморфно вкладываются друг в друга следует, что они изоморфны.
Следующий результат является йонсоновским аналогом теоремы 3.8 Д.Гудрика из [30, c.7], а именно:
Теорема 2.2.3 [19, c.870] Пусть йонсоновская теория абелевых групп, тогда следующие условия эквивалентны:
(1) --стабильна;
(2) -стабильна;
(3) обладает свойством JSB.
Имеем результат, который даёт описание семантической модели йонсоновской теории абелевых групп.
Теорема 2.2.4 [20] Пусть - йонсоновская теория абелевых групп, тогда её центр , при этом делимая группа и её стандартная группа Шмелёвой представима в виде , где , .
Следующий результат является йонсоновским аналогом хорошо известной теоремы В. Шмелевой об элементарной классификации абелевых групп. Мы знаем, что для любой абелевой группы существует её стандартная группа так, что , при этом

Основным результатом подраздела 2.2 является следующий критерий косемантичности абелевых групп
Теорема 2.2.5 [12, с.872] Если и абелевы группы, тогда следующие условия эквивалентны:
(1) AB;
(2) ∕⋈) = ∕⋈).
Таким образом, для получения косемантичности абелевых групп, достаточно срвнения двух инвариантов В.Шмелёвой, а именно, инвариантов делимой части.
В подразделе 2.3 изучаются йонсоновские пары теории абелевых групп в обогащённом языке. Сигнатура была расширена на один одноместный предикат. Элементы, реализующие этот предикат, образуют экзистенциально-замкнутую подмодель некоторой модели рассматриваемой йонсоновской теории. Получен аналог теоремы В. Шмелёвой об элементарной классификации абелевых групп (теорема 2.3.3), а также аналог свойства Шрёдера Бернштейна для йонсоновских пар теории абелевых групп (теорема 2.3.1). Полученные результаты показывают тесную связь теоретико-модельных свойств йонсоновской пары с теоретико-модельными свойствами центра рассматриваемой йонсоновской теории.
В подразделе 2.4 изучаются теоретико-модельные свойства модулей. В данном подразделе были получены следующие результаты:
Предложение 2.4.1 [13, c.1240] Теория модулей йонсоновская теория.
Теорема 2.4.6 [13, с.1241] Пусть и два произвольных -модуля, тогда следующие условия эквивалентны:
(1) ;
(2) .
Теорема 2.4.7 [13, c.1242] Пусть -полная йонсоновская теория. Тогда, если -категорична, где , то совершенна.
Теорема 2.4.9 [13, c.1243] Пусть теория -модулей, полная для -предложений, . Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) -категорична;
(2) -категорична, где центр теории ;
(3) для всякого счётного когерентного кольца и всякого счётного -модуля существует , конечные -модули и кардиналы такие, что .
Раздел 3 посвящен изучению абстрактного свойства независимости в структурах, удовлетворяющих условиям йонсона. В частности, в подразделе 3.1 рассматриваются отношения форкинга и независимости для фрагментов йонсоновских множеств. Аксиоматически вводится понятие йонсоновского нефоркинга JNF и относительно фрагмента некоторого йонсоновского множества Х доказывается следующий результат:
Теорема 3.1.1 [23] Следующие условия эквивалентны:
1) отношение JNF удовлетворяет аксиомам 17 относительно фрагмента .
2) теория стабильна и для всех , не форкуется над (в классическом смысле С.Шелаха [6]) , где центр фрагмента .
Также в подразделе 3.1 введено отношение JNFLP (йонсоновская нефоркуемость по Ласкару-Пуаза) и получен следующий результат:
Теорема 3.1.2 [17, с.115] В -стабильной экзистенциально полной йонсоновской теории отношение JNFLP удовлетворяет аксиомам 17.
Основным результатом данного подраздела является теорема:
Теорема 3.1.3 [17, с.115] Если теория -стабильна, то понятия JNF и JNFLP совпадают.
В подразделе 3.2 рассматривается понятие йонсоновской независимости для йонсоновского спектра произвольной модели сигнатуры. В виде аксиом задаётся оношение (йонсоновский -нефоркинг). Для однородного фактор-спектра имеем следующий результат:
Теорема 3.2.1 [25] Пусть ∕⋈ однородный фактор-спектр, ∕⋈, тогда в классе отношение удовлетворяет аксиомам 17.
Далее вводится понятие йонсоновской независимости между специальными формульными подмножествами семантической модели и понятие J-простой теории. В классе J-простых теорий имеем йонсоновский вариант теоремы Кима-Пилллая из [31]:
Теорема 3.2.2 [25] Пусть класс ∕⋈ -простой, совершенный, -полный. Тогда для каждого кортежа и --йонсоновских множеств модели следующие условия эквивалентны:
1) в языке теории для каждой ;
2) ( в языке теории для каждой ;
3) для всех типов , совместных с , тип не форкуется над (в классическом смысле С.Шелаха [6]), где центр класса .
Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность отечественному научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Ешкееву Айбату Рафхатовичу за постановку задачи, ценные консультации и всестороннюю поддержку при выполнении диссертационной работы, а также выражает глубокую признательность зарубежному научному консультанту профессору университета Лион-1 (Франция) Бруно Пуаза за внимание к работе, поддержку и ценные рекомендации.
Диссертационная работа выполнена на кафедре алгебры, математической логики и геометрии имени профессора Т.Г.Мустафина Карагандинского государственного университета имени Е.А.Букетова.

1 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ДЛЯ КЛАССА ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНО ЗАМКНУТЫХ МОДЕЛЕЙ ЙОНСОНОВСКОЙ ТЕОРИИ

В данной главе изложены сведения и результаты, необходимые для дальнейшего исследования. В качестве основного источника по теории моделей была использована справочная книга по математической логике под редакцией Дж.Барвайса [1]. Также мы опираемся на понятия и результаты, касающиеся йонсоновских теорий, введённые в книге [26].

1.1 Предварительные сведения из теории моделей
Напомним определения основных понятий теории моделей и связанные с ними результаты.
Пусть , , некоторые произвольные множества. Под сигнатурой , где мы понимаем произвольный набор предикатных, функциональных и константных символов. В каждом конкретном случае сигнатура фиксируется. В частности, это множество может быть пустым.
Языком сигнатуры или называется множество всех формул, построенных с помощью символов данной сигнатуры.
Моделью или алгебраической системой сигнатуры называется непустое множество А, где каждому n-местному предикатному символу из сопоставлено некоторое -местное отношение в А, всякому т-местному функциональному символу из сопоставлена некоторая т-местная функция на А, а каждой предметной константе с из сопоставлен некоторый элемент из А. Это соответствие называется интерпретацией символов данной сигнатуры, А есть область интерпретации. Множество А называется универсумом или носителем модели . Мощностью модели называется мощность её носителя: .
Если есть система сигнатуры , то говорят, что язык лежит в основе системы . Поэтому часто в тексте мы не будем различать язык и сигнатуру . Также в дальнейшем, если это понятно из контекста, мы будем отождествлять модель с его носителем и обозначать модели также прописными буквами латинского алфавита, как и его носитель.
Пусть Г некоторое множество предложений языка L. Множество Г называется непротиворечивым или совместным, если оно имеет хоть одну модель. Под теорией Т мы понимаем всякое непротиворечивое множество предложений языка данной сигнатуры , замкнутое относительно выводимости. Теория Т называется полной в языке L, если для любого предложения либо Т ⊢, либо Т ⊢. Множеством аксиом теории Т называется всякое множество предложений, обладающее теми же самыми следствиями, что и Т. Теорию можно задать с помощью выписывания конечного или бесконечного множества её аксиом. Теория называется конечно аксиоматизируемой, если она обладает конечным множеством аксиом. Так, например, конечно аксиоматизируемыми теориями являются теория групп, колец, полей, линейных порядков, булевых алгебр и другие. Если некоторая модель сигнатуры , то множество всех предложений, истинных в , обозначаемое, как также является теорией, причём полной.
Рассмотрим класс моделей сигнатуры . Теорией класса называется множество всех предложений , истинных в любой модели и обозначается . Например, если класс конечных групп, то теория конечных групп множество всех предложений, истинных во всех конечных группах [1, c.57].
Класс называется элементарным классом или ЕС-классом, если класс всех моделей некоторой теории Т. Так, например, класс всех групп будет элементарным классом [1, c.58]
Модели и сигнатуры называются элементарно эквивалентными, , если всякое предложение, истинное в , истинно и в , т.е. .
Модель называется подмоделью модели и обозначается , если носители и , соответственно, этих моделей находятся в отношении , а интерпретация всех предикатных, функциональных и константных символов в модели является ограничением соответствующей интерпретации в модели .
Теорема 1.1.1 [1, c.60] Пусть и модели сигнатуры , . Тогда для любой атомной формулы языка L, для всякого кортежа выполнено
⊨ ⊨.
Определение 1.1.1 [1, c.60] Формула вида , где бескванторная формула, называется универсальной формулой или -формулой.
Теория называется универсальной, если она эквивалентна некоторому множеству универсальных предложений. Так, например, в сигнатуре теория групп является универсальной.
Формула вида , где бескванторная формула, называется экзистенциальной формулой или -формулой.
Теория Т устойчива относительно подсистем, если любая подсистема модели теории Т также является моделью теории Т.
Теорема 1.1.2 (Лось-Тарский) [1, c.69] Теория Т устойчива относительно подсистем, если и только если Т универсальная теория.
Пусть и модели сигнатуры . называется элементарной подмоделью модели и обозначается , если и для любой формулы языка L и для всякого кортежа выполнено
⊨ ⊨.
Модель также называется элементарным расширением модели .
Легко понять, что если , то .
Изоморфным вложением называется такое отображение из А в В, что для любой атомной формулы и для любого кортежа
⊨ ⊨.
Элементарным вложением называется такое отображение, что для любой формулы и для любого кортежа выполнено
⊨ ⊨.
Изоморфное вложение называется изоморфизмом, если В равно области значений и обозначается . [1, c.61]
Модели и называются изоморфными, , если существует изоморфизм между этими моделями. Изоморфные системы могут рассматриваться как одна и ... продолжение

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.