Нелинейные уравнения типа Эмдена-Фаулера: аналитическая классификация, асимптотическое поведение и численное решение методами Рунге-Кутта и Пикара

Тип работы: Материал
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 42 страниц
В избранное:

Введение

В работе изучаются и рассматриваются нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения типа Эмдена-Фаулера. Уравнения в первый раз были рассмотрены в работах швейцарского астрофизика и метеоролога Роберта Эмдена и английского физика-теоретика, математика и астрофизика Ральфа Говарда Фаулера.

Роберт Эмден (нем. Jаcob Robert Eden; 4 марта 1862, Санкт-Галлен - 8 октября 1940, Цюрих) - швейцарский астрофизик и метеоролог.

Роберт Эмден

Родился Р. Эмден в Санкт-Галлене в еврейской семье из Франкфурта-на-Майне. Получил образование в Гейдельбергском университете и университетах Берлина и Страсбурга. В 1907 он стал адъюнкт-профессором физики и метеорологии в Высшей технической школе Мюнхена и в этом году опубликовал свою главную работу, Gаskugeln: Аnwendungen der mechаnischen Wärmetheorie аuf kosmologische und meteorologische Probleme («Газовые шары: Применения механической теории высокой температуры к космологическим и метеорологическим проблемам»), где описал математические модели как основание звездной структуры. Был почетным профессором астрофизики в университете Мюнхена, редактором журнала Zeitschrift fur Аstrophysik, основанного в 1930. В 1933, после прихода к власти в Германии нацистов, переехал обратно в Швейцарию. В его честь названы кратер на Луне и уравнение Лейна - Эмдена.

Ральф Говард Фаулер (17. 01. 1889 г. - 28. 07. 1944г. ) английский физик-теоретик, астрофизик и математик, член Лондонского королевского общества (1925) . Научные труды Фаулера посвящены в основном вопросам статистической механики и термодинамики, квантовой теории, астрофизики, теории дифференциальных уравнений [1] .

Ральф Говард Фаулер

Среди достижений учёного: статистический метод Дарвина-Фаулера и его последующие применения для воссоздания термодинамических свойств вещества; одно из основных уравнений теории автоэлектронной эмиссии; метод анализа звёздных спектров и первая реалистичная оценка давления в атмосфере звёзд; одно из первых применений квантовых законов к задачам астрофизики, позволившее заложить основы современной теории белых карликов.

Математические интересы Фаулера касались в первую очередь поведения решений некоторых дифференциальных уравнений второго порядка. В своих ранних исследованиях он рассмотрел кубические преобразования функций Римана. В последствии, в связи с астрофизическими вопросами, он обратился к особенностям уравнения Эмдена, описывающего равновесное состояние звезды, и дал классификацию решений этого уравнения для различных граничных условий и показателей политропы. Эти результаты оказались весьма ценными при рассмотрении различных моделей звёзд. В 1920 году Фаулер опубликовал трактат по дифференциальной геометрии плоских кривых, который выдержал несколько изданий. [2]

В дальнейшем уравнения Эмдена-Фаулера были исследованы в работах И. В. Асташовой [3-11], Р. Беллмана [12], И. Т. Кигурадзе, Чантурия Т. А [13-16], Дж. Сансоне [17] и Ф. Хартмана [18] .

В работе И. В. Асташовой исследовалось асимптотическое поведение всех возможных решений дифференциального уравнения типа Эмдена - Фаулера четвертого порядка, в случае положительного потенциала. И. В. Асташова хотела получить от этих результатов, уравнение заменой переменных сводящейся к динамической системе к трехмерной сфере. Изучение асимптотического поведения траекторий полученной системы на сфере доставляет возможность изучить асимптотическое поведение всех решений исходного уравнения [3] . Методы исследования, использованные ранее автором для получения итогов об асимптотическом поведении всех возможных решений дифференциального уравнения типа Эмдена- Фаулера третьего порядка в случае положительного и отрицательного потенциалов и уравнения типа Эмдена - Фаулера четвертого порядка в случае отрицательного потенциала, распространились на уравнение типа Эмдена - Фаулера четвертого порядка в случае положительного потенциала, доставляя возможность представит законченный результат об асимптотической классификации всех решений уравнения четвертого порядка.

Решение уравнения Эмдена - Фаулера четвертого порядка, а также их асимптотические свойства подробно были изучены в монографиях Р. Беллмана [12], Дж. Сансоне [17] и Ф. Хартмана [18] .

Вопросы продолжаемости и непродолжаемости решений уравнения Эмдена - Фаулера, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколеблемостю, оценки продолжаемых и не продолжаемых решений, И. В. Асташова основывалась на работы: И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, В. А. Кондратьева и В. С. Самовола, В. А. Козлова.

В работах В. С. Самовола рассматриваются решения уравнений типа Эмдена - Фаулера произвольного порядка. Работы содержат результаты исследования асимптотических свойств решений указанного уравнения, в ней также дается систематическое изложение многочисленных разрозненных результатов анализа продолжаемых и непродолжаемых решений.

В. С. Самовол рассматривает уравнение следующего вида:

$y^{(n) } = \frac{d^{n}y}{{dx}^{n}} = p(x) y^{\sigma}sgny, \ \ \ \ \ \ \ \ n \geq 2, \ \sigma > 1,$

$y = y(x), \ p(x) \in C^{0}, \ x, y \in R^{1}, \ \ p(x) \neq 0. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (0. 1)$

При $n = 2\ и\ p(x) = \mp x^{\beta}, \ x > 0, \beta = const$ это известное уравнение Эмдена- Фаулера связанное с изучением ряда физических процессов.

Главная цель этой работы состояла в системном описании решений уравнения (1) при $x \rightarrow \pm \infty$ в зависимости от параметров роста функции p(x) . Также будут анализироваться решения, уходящие в бесконечность при $x \rightarrow a \neq \pm \infty$ .

Определение 1 Решение $y(x)$ уравнения (0. 1) называется продолжаемым вправо, если оно определено в некоторой окрестности $+ \infty$ .

Определение 2 Решение $y(x)$ уравнения (0. 1) называется продолжаемым влево, если оно определено в некоторой окрестности $- \infty$ .

Определение 3 Решение $y(x)$ уравнения (0. 1) называется продолжаемым на всей оси, если оно определено при любых $x \in R^{1}$ .

Определение 4 Нетривиальное решение $y(x)$ уравнения (0. 1) называется осциллирующим влево (вправо), если для всякого $x$ , принадлежащего его области определения, найдется такое $\widetilde{x} > x\ (\widetilde{x} < x)$ , такое что $y\left( \widetilde{x} \right) = 0$ .

Непродолжаемыми в каком-либо направлении мы будем считать решения, не являющиеся продолжаемыми в соответствующем направлении.

В. С. Самовол в своей работе описывает решения уравнения (0. 1) при выполнении следующего условия для функции $p(x)$ :

$\left p(x) \right \geq cx^{- n}, \ \ \ \ c = const > 0, \ \ \ \ x \geq x_{0} > 0.$ (0. 2)

Итак, В. С. Самовол отметил, что при выполнении (0. 2) результаты при четных и нечетных $n$ существенно различаются. Кроме того, отметил существенное различие в поведении решений уравнения (0. 1) при

$p(x) > 0\ \ и\ \ p(x) < 0.$

В дипломной работе рассматривается последний подход к изучению уравнений типа Эмдена-Фаулера. Для решения установленной задачи используется метод Рунге-Кутта и метод Пикара. Понятие асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений не имеет определенного трактования.

Тем не менее, все имеющиеся значения объединяет доказательство на отношение эквивалентности, которое определенно через асимптотические свойства решений. В общем случае данное отношение определяет полугруппу преобразований с единицей некоторого класса дифференциальных уравнений в себя. В работе приводятся асимптотические формулы для решения нелинейного дифференциального уравнения ; выражаются необходимые для решения задачи теоремы и следствия из них; проводится абсолютное доказательство сформулированных теорем.

В результате исследований были получены более точные формулы для решения уравнения Эмдена-Фаулера . Полученные результаты согласуются с аналогичными исследованиями других авторов и дополняют их. Дальнейшая работа по данной тематике предполагает применение полученных результатов в различных областях, к примеру, исследовании математических моделей в экономике и экологии.

В данной дипломной работе рассматривается три раздела, в первом разделе описывается типы уравнения Эмдена-Фаулера и их решения.

Во втором разделе теоретически ознакомимся методом Рунге-Кутта, который повествует о численном решении нелинейных дифференциальных уравнениях. Мы получаем приближенные значения уравнения Эмдена- Фаулера. Непосредственно рассматриваем теорию метода Пикара.

Метод Пикара- это способ, который сводится к последовательным приближениям. Этот метод является классом приближенных методов решения.

В третьем разделе, мы рассмотрим уравнения и их решения. В этом разделе была произведена постановка нелинейных дифференциальных задач с условием. Данные задачи рассматриваем методом решения Рунге-Кутта и методом Пикара. А именно найдем приближенные и последовательные решения нелинейных дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера.

Вместе с этим мы рассмотрим графический метод и сравним точное решение с последовательным приближенным уравнением.

Отсюда следует, что нелинейные дифференциальные уравнения типа Эмдена-Фаулера можно решить методом приближенных и последовательных значений.

1. Уравнение Эмдена- Фаулера. Их виды и решения

Общий вид уравнения Эмдена-Фаулера имеет вид

$y_{xx}^{''} = Ax^{n}y^{m}$ .

В этом разделе во многих случаях значение несущественного параметра А задается в виде функции двух (одного) вспомогательных коэффициентов а или b:

$A = \varphi(a, b),$ (1. 1)

а соответствующие решения представлены в параметрической форме

$x = f_{1}\left( \tau, C_{1}, C_{2}, a \right), y = f_{2}\left( \tau, C_{1}, C_{2}, b \right),$ (1. 2)

где $\tau - \$ параметр, $C_{1}\ и\ C_{2} - \$ произвольные постоянные, ${\ f}_{1}\ и\ f_{2} - \$ некоторые функции.

Зафиксировав знак вспомогательного коэффициента

$a > 0\ (или\ b > 0)$ ,

следует выразить $b\$ через. А и $a$ с помощью (1) :

$b = \psi(A, a) .$

Подставляя эту формулу в (1. 2), получим решение рассматриваемого уравнения (при этом конкретное численное значение коэффициента $a\$ можно выбрать произвольно) . Аналогичным образом следует рассмотреть случай

$a < 0\ (или\ b < 0)$ ,

Который может привести к другой ветви решения или другой области определения переменных $x, \ y$ в (1. 2) .

Можно поступить и другим способом, сразу положив (1. 1) и (1. 2) один из вспомогательных коэффициентов (например, $a$ ) равным $\pm 1$ ; тогда другой однозначно выразится через А с помощью (1. 1) .

Рассмотрим уравнение вида

$y_{xx}^{''} = Ax^{n}$ . (1. 3)

Точное решение данного уравнения можно записать в виде

$y = \left\{ \begin{array}{r} \frac{Ax^{n + 2}}{(n + 1) (n + 2) } + C_{1}x + C_{2}\ при\ n \neq - 1, \ n \neq - 2; \\ - A\lnx + C_{1}x + C_{2}\ \ при\ n = - 2; \\ A\int_{}^{}{\ln{xdx} + C_{1}x + C_{2}\ при\ n = 1. } \end{array} \right. \$

Теперь рассмотрим следующее уравнение Эмдена-Фаулера

$y_{xx}^{''} = Ax^{m}.$ (1. 4)

Решение уравнения (1. 4) можно записать в виде:

$x = \left\{ \begin{array}{r} \pm \int_{}^{}{\left( \frac{2A}{m + 1}y^{m + 1} + C_{1} \right) ^{- 1/2}dy + C_{2}\ \ \ \ \ при\ m \neq - 1; } \\ \pm \int_{}^{}{\left( 2A\ln{y + C_{1}} \right) ^{- 1/2}dy + C_{2}\ \ \ при\ }m = - 1. \end{array} \right. \$

При $m = - 1/2$ решение уравнения (1. 4) в параметрическом виде:

$x = aC_{1}^{3}\left( \tau^{3} - 3\tau + C_{2} \right), y = bC_{1}^{4}\left( \tau^{2} - 1 \right) ^{2},$

где $A = \pm \frac{4}{9}a^{- 2}b^{3/2}.$

При $m = - 4$ решение (1. 4) в параметрическом виде:

$x = aC_{1}^{5}\tau^{- 1}\left( 2\tau\int_{}^{}\frac{\tau d\tau}{R} + C_{2}\tau \mp R \right),$

$y = bC_{1}^{2}\tau^{- 1},$

где $\ R = \sqrt{\pm \left( 4\tau^{3} - 1 \right) }, \ A = \mp 6a^{- 2}b^{5}.$

При $m = 2$ решение в параметрическом виде:

$x = aC_{1}^{- 1}\tau, y = bC_{1}^{2}\wp$ ; $A = \pm 6a^{- 2}b^{- 1},$

где зависимость функции ℘ от параметра $\tau$ задается неявно

$\tau = \int_{}^{}{\frac{d\wp}{\sqrt{\pm (4\wp^{3} - 1) }} - C_{2}. }$

Верхний знак в этой формуле соответствует классической эллиптической функции Вейерштрасса $\ \wp = \wp\left( \tau + С_{2}, 0, 1 \right) .$

При $m = - 5/2$ решение в параметрическом виде:

$x = aC_{1}^{7}\wp^{- 2}\left\lbrack \sqrt{\pm \left( 4\wp^{3} - 1 \right) } \pm 2\tau\wp^{2} \right\rbrack, y = bC_{1}^{4}\wp^{- 2},$

где $A = \mp 3a^{- 2}b^{7/2}.$

Далее, рассмотрим частный случай уравнения (1. 3) вида:

$y_{xx}^{''} = Ax^{- m - 3}y^{m}.$ (1. 5)

Тогда решение в параметрическом виде при $m \neq - 1$ будет записано в виде

$x = aC_{1}^{m - 1}\left\lbrack \int_{}^{}{(1} \pm \tau^{m + 1}) ^{- \frac{1}{2}}d\tau + C_{2} \right\rbrack^{- 1},$

$y = bC_{1}^{m + 1}\tau\left\lbrack \int_{}^{}{(1} \pm \tau^{m + 1}) ^{- \frac{1}{2}}d\tau + C_{2} \right\rbrack^{- 1},$

где $A = \pm \frac{m + 1}{2}a^{m + 1}b^{1 - m}.$

При $m = - 1\ р$ ешение в параметрическом виде:

$x = C_{1}\left\lbrack \int_{}^{}{\exp\left( \mp \tau^{2} \right) }d\tau + C_{2} \right\rbrack^{- 1},$

$y = {bexp}\left( \mp \tau^{2} \right) \left\lbrack \int_{}^{}{\exp\left( \mp \tau^{2} \right) }d\tau + C_{2} \right\rbrack^{- 1},$

где $A = \mp 2b^{2}.$

Пусть дано уравнение

$y_{xx}^{''} = Ax^{- \frac{m + 3}{2}}y^{m}.$ (1. 6)

В этом случае, решение в параметрическом виде при $m \neq - 1$ :

$x = aC_{2}^{2}\exp\left\lbrack 2\int_{}^{}\left( \frac{8}{m + 1}\tau^{m + 1} + \tau^{2}{+ C}_{1} \right) ^{- 1/2}d\tau \right\rbrack,$

$y = bC_{2}\tau\ \exp\left\lbrack \int_{}^{}\left( \frac{8}{m + 1}\tau^{m + 1} + \tau^{2}{+ C}_{1} \right) ^{- 1/2}d\tau \right\rbrack,$

Где $A = {(\frac{a}{b^{2}}) }^{\frac{m - 1}{2}}.$

Решение в параметрическом виде при $m = - 1$ :

$x = aC_{2}^{2}\exp\left\lbrack 2\int_{}^{}\left( 8\ln\tau + \tau^{2}{+ C}_{1} \right) ^{- \frac{1}{2}}d\tau \right\rbrack, \$

$y = bC_{2}\tau\ exp\left\lbrack \int_{}^{}\left( 8\ln\tau + \tau^{2}{+ C}_{1} \right) ^{- 1/2}d\tau \right\rbrack,$

где $A = b^{2}/a\ .$

Пусть задано уравнение

$y_{xx}^{''} = Ax^{- 5/2}y^{- 1/2}.$ (1. 7)

В этом случае, решение в параметрическом виде:

$x = aC_{1}^{- 3}(\tau^{3} - 3\tau + C_{2}) ^{- 1}$ ,

$y = bC_{1}(\tau^{2} - 1) ^{2}(\tau^{3} - 3\tau + C_{2}) ^{- 1}$ ,

где $A = \pm \frac{4}{9}a^{1/2}b^{3/2}$ .

Решение уравнения

$y_{xx}^{''} = Axy^{- 5/3},$ (1. 8)

так же можно найти в параметрическом виде:

$x = \pm aC_{1}^{8}(\tau^{4} - 6\tau^{2} + 4C_{2}\tau - 3)$ ,

$y = bC_{1}^{9}(\tau^{3} - 3\tau + C_{2}) ^{3/2}$ ,

где $A = \pm \frac{9}{64}a^{- 3}b^{8/3}$ .

Более сложное уравнение Эмдена-Фаулера

$y_{xx}^{''} = Ax^{- 7/3}y^{- 5/3},$ (1. 9)

имеет решение в параметрическом виде:

$x = \pm \frac{aC_{1}^{8}}{\tau^{4} - 6\tau^{2} + 4C_{2}\tau - 3}$ ,

$y = \pm \frac{bC_{1}(\tau^{3} - 3\tau + C_{2}) ^{3/2}}{\tau^{4} - 6\tau^{2} + 4C_{2}\tau - 3}$ ,

где $A = \pm \frac{9}{64}a^{1/3}b^{8/3}$ .

Если задано уравнение

$y_{xx}^{''} = Ax^{2}y^{- 5/3},$ (1. 10)

то решение в параметрическом виде при $A < 0$ :

$x = aC_{1}^{2}\cos\tau ch\left( \tau + C_{2} \right) \left\lbrack tg\ \tau + th\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack,$

$y = bC_{1}^{3}\left\lbrack \cos\tau ch\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack^{3/2}$ ,

где $A = - \frac{3}{16}a^{- 4}b^{8/3}$ .

При $A > 0\$ решение будет иметь вид

$x = aC_{1}^{2}\left\lbrack sh\tau + \cos\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack,$

$y = bC_{1}^{3}\left\lbrack ch\tau - \sin\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack^{3/2}$ ,

где $A = \frac{3}{4}a^{- 4}b^{8/3}$ .

Решение уравнения

$y_{xx}^{''} = Ax^{- 10/3}y^{- 5/3}$ (1. 11)

в параметрическом виде при $A < 0$ :

$x = aC_{1}^{- 2}\left\lbrack \cos\tau ch\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack tg\tau + th\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack^{- 1},$

$y = bC_{1}\left\lbrack \cos\tau ch\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack^{1/2}\left\lbrack tg\tau + th\left( \tau + C_{2} \right) \right\rbrack^{- 1}$ ,