Уравнения Эмдена-Фаулера

Тип работы: Материал
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 42 страниц
В избранное:

Введение

В работе изучаются и рассматриваются нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения типа Эмдена-Фаулера. Уравнения в первый раз были рассмотрены в работах швейцарского астрофизика и метеоролога Роберта Эмдена и английского физика-теоретика, математика и астрофизика Ральфа Говарда Фаулера.
Роберт Эмден (нем. Jаcob Robert Eden; 4 марта 1862, Санкт-Галлен -- 8 октября 1940, Цюрих) -- швейцарский астрофизик и метеоролог.

Роберт Эмден

Родился Р.Эмден в Санкт-Галлене в еврейской семье из Франкфурта-на-Майне. Получил образование в Гейдельбергском университете и университетах Берлина и Страсбурга. В 1907 он стал адъюнкт-профессором физики и метеорологии в Высшей технической школе Мюнхена и в этом году опубликовал свою главную работу, Gаskugeln: Аnwendungen der mechаnischen Wärmetheorie аuf kosmologische und meteorologische Probleme (Газовые шары: Применения механической теории высокой температуры к космологическим и метеорологическим проблемам), где описал математические модели как основание звездной структуры. Был почетным профессором астрофизики в университете Мюнхена, редактором журнала Zeitschrift fur Аstrophysik, основанного в 1930. В 1933, после прихода к власти в Германии нацистов, переехал обратно в Швейцарию. В его честь названы кратер на Луне и уравнение Лейна -- Эмдена.
Ральф Говард Фаулер (17.01.1889 г. - 28.07.1944г.) английский физик-теоретик, астрофизик и математик, член Лондонского королевского общества (1925). Научные труды Фаулера посвящены в основном вопросам статистической механики и термодинамики, квантовой теории, астрофизики, теории дифференциальных уравнений [1].

Ральф Говард Фаулер

Среди достижений учёного: статистический метод Дарвина-Фаулера и его последующие применения для воссоздания термодинамических свойств вещества; одно из основных уравнений теории автоэлектронной эмиссии; метод анализа звёздных спектров и первая реалистичная оценка давления в атмосфере звёзд; одно из первых применений квантовых законов к задачам астрофизики, позволившее заложить основы современной теории белых карликов.
Математические интересы Фаулера касались в первую очередь поведения решений некоторых дифференциальных уравнений второго порядка. В своих ранних исследованиях он рассмотрел кубические преобразования функций Римана. В последствии, в связи с астрофизическими вопросами, он обратился к особенностям уравнения Эмдена, описывающего равновесное состояние звезды, и дал классификацию решений этого уравнения для различных граничных условий и показателей политропы. Эти результаты оказались весьма ценными при рассмотрении различных моделей звёзд. В 1920 году Фаулер опубликовал трактат по дифференциальной геометрии плоских кривых, который выдержал несколько изданий.[2]
В дальнейшем уравнения Эмдена-Фаулера были исследованы в работах И.В. Асташовой [3-11], Р. Беллмана [12], И.Т. Кигурадзе, Чантурия Т.А [13-16], Дж. Сансоне [17] и Ф. Хартмана [18] .
В работе И.В. Асташовой исследовалось асимптотическое поведение всех возможных решений дифференциального уравнения типа Эмдена - Фаулера четвертого порядка, в случае положительного потенциала. И.В. Асташова хотела получить от этих результатов, уравнение заменой переменных сводящейся к динамической системе к трехмерной сфере. Изучение асимптотического поведения траекторий полученной системы на сфере доставляет возможность изучить асимптотическое поведение всех решений исходного уравнения [3]. Методы исследования, использованные ранее автором для получения итогов об асимптотическом поведении всех возможных решений дифференциального уравнения типа Эмдена- Фаулера третьего порядка в случае положительного и отрицательного потенциалов и уравнения типа Эмдена - Фаулера четвертого порядка в случае отрицательного потенциала, распространились на уравнение типа Эмдена - Фаулера четвертого порядка в случае положительного потенциала, доставляя возможность представит законченный результат об асимптотической классификации всех решений уравнения четвертого порядка.
Решение уравнения Эмдена - Фаулера четвертого порядка, а также их асимптотические свойства подробно были изучены в монографиях Р. Беллмана [12], Дж. Сансоне [17] и Ф. Хартмана [18] .
Вопросы продолжаемости и непродолжаемости решений уравнения Эмдена - Фаулера, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколеблемостю, оценки продолжаемых и не продолжаемых решений, И.В.Асташова основывалась на работы: И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия, В.А. Кондратьева и В.С. Самовола, В.А. Козлова.
В работах В.С. Самовола рассматриваются решения уравнений типа Эмдена - Фаулера произвольного порядка. Работы содержат результаты исследования асимптотических свойств решений указанного уравнения, в ней также дается систематическое изложение многочисленных разрозненных результатов анализа продолжаемых и непродолжаемых решений.
В.С. Самовол рассматривает уравнение следующего вида:

yn=dnydxn=pxyσsgny, n=2, σ1,

y=yx, px∈C0, x,y∈R1, px!=0. (0.1)

При n=2 и px=∓xβ, x0,β=const это известное уравнение Эмдена- Фаулера связанное с изучением ряда физических процессов.

Главная цель этой работы состояла в системном описании решений уравнения (1) при x--+-infinity в зависимости от параметров роста функции p(x). Также будут анализироваться решения, уходящие в бесконечность при x--a!=+-infinity.
Определение 1 Решение y(x) уравнения (0.1) называется продолжаемым вправо, если оно определено в некоторой окрестности +infinity.
Определение 2 Решение y(x) уравнения (0.1) называется продолжаемым влево, если оно определено в некоторой окрестности -infinity.
Определение 3 Решение y(x) уравнения (0.1) называется продолжаемым на всей оси, если оно определено при любых x∈R1.
Определение 4 Нетривиальное решение y(x) уравнения (0.1) называется осциллирующим влево (вправо), если для всякого x, принадлежащего его области определения, найдется такое xx (xx),такое что yx=0.
Непродолжаемыми в каком-либо направлении мы будем считать решения, не являющиеся продолжаемыми в соответствующем направлении.
В.С. Самовол в своей работе описывает решения уравнения (0.1) при выполнении следующего условия для функции p(x):

px=cx-n, c=const0, x=x00. (0.2)

Итак, В.С. Самовол отметил, что при выполнении (0.2) результаты при четных и нечетных n существенно различаются. Кроме того, отметил существенное различие в поведении решений уравнения (0.1) при

px0 и p(x)0.
В дипломной работе рассматривается последний подход к изучению уравнений типа Эмдена-Фаулера. Для решения установленной задачи используется метод Рунге-Кутта и метод Пикара. Понятие асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений не имеет определенного трактования.
Тем не менее, все имеющиеся значения объединяет доказательство на отношение эквивалентности, которое определенно через асимптотические свойства решений. В общем случае данное отношение определяет полугруппу преобразований с единицей некоторого класса дифференциальных уравнений в себя. В работе приводятся асимптотические формулы для решения нелинейного дифференциального уравнения; выражаются необходимые для решения задачи теоремы и следствия из них; проводится абсолютное доказательство сформулированных теорем.
В результате исследований были получены более точные формулы для решения уравнения Эмдена-Фаулера. Полученные результаты согласуются с аналогичными исследованиями других авторов и дополняют их. Дальнейшая работа по данной тематике предполагает применение полученных результатов в различных областях, к примеру, исследовании математических моделей в экономике и экологии.
В данной дипломной работе рассматривается три раздела, в первом разделе описывается типы уравнения Эмдена-Фаулера и их решения.
Во втором разделе теоретически ознакомимся методом Рунге-Кутта, который повествует о численном решении нелинейных дифференциальных уравнениях. Мы получаем приближенные значения уравнения Эмдена- Фаулера. Непосредственно рассматриваем теорию метода Пикара.
Метод Пикара- это способ, который сводится к последовательным приближениям. Этот метод является классом приближенных методов решения.
В третьем разделе, мы рассмотрим уравнения и их решения. В этом разделе была произведена постановка нелинейных дифференциальных задач с условием. Данные задачи рассматриваем методом решения Рунге-Кутта и методом Пикара. А именно найдем приближенные и последовательные решения нелинейных дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера.
Вместе с этим мы рассмотрим графический метод и сравним точное решение с последовательным приближенным уравнением.
Отсюда следует, что нелинейные дифференциальные уравнения типа Эмдена-Фаулера можно решить методом приближенных и последовательных значений.

1. Уравнение Эмдена- Фаулера. Их виды и решения

Общий вид уравнения Эмдена-Фаулера имеет вид

yxx''=Axnym.

В этом разделе во многих случаях значение несущественного параметра А задается в виде функции двух (одного) вспомогательных коэффициентов а или b:

A=φa,b, (1.1)

а соответствующие решения представлены в параметрической форме

x=f1τ,C1,C2,a,y=f2τ,C1,C2,b, (1.2)

где τ- параметр, C1 и C2- произвольные постоянные, f1 и f2- некоторые функции.
Зафиксировав знак вспомогательного коэффициента

a0 (или b0),

следует выразить b через. А и a с помощью (1):

b=ψA,a.

Подставляя эту формулу в (1.2), получим решение рассматриваемого уравнения (при этом конкретное численное значение коэффициента a можно выбрать произвольно). Аналогичным образом следует рассмотреть случай

a0 (или b0),

Который может привести к другой ветви решения или другой области определения переменных x, y в (1.2).
Можно поступить и другим способом, сразу положив (1.1) и (1.2) один из вспомогательных коэффициентов (например, a) равным +-1; тогда другой однозначно выразится через А с помощью (1.1).
Рассмотрим уравнение вида

yxx''=Axn. (1.3)

Точное решение данного уравнения можно записать в виде

y=Axn+2(n+1)(n+2)+C1x+C2 при n!=-1, n!=-2;-Alnx+C1x+C2 при n=-2;Alnxdx+C1x+C2 при n=1.

Теперь рассмотрим следующее уравнение Эмдена-Фаулера

yxx''=Axm. (1.4)

Решение уравнения (1.4) можно записать в виде:

x=+-2Am+1ym+1+C1-12dy+C2 при m!=-1;+-2Alny+C1-12dy+C2 при m=-1.

При m=-12 решение уравнения (1.4) в параметрическом виде:

x=aC13τ3-3τ+C2,y=bC14τ2-12,

где A=+-49a-2b32.
При m=-4 решение (1.4) в параметрическом виде:

x=aC15τ-12ττdτR+C2τ∓R,

y=bC12τ-1,

где R=+-4τ3-1, A=∓6a-2b5.
При m=2 решение в параметрическом виде:

x=aC1-1τ,y=bC12℘; A=+-6a-2b-1,

где зависимость функции ℘ от параметра τ задается неявно

τ=d℘+-(4℘3-1)-C2.

Верхний знак в этой формуле соответствует классической эллиптической функции Вейерштрасса ℘=℘τ+С2,0,1.
При m=-52 решение в параметрическом виде:

x=aC17℘-2+-4℘3-1+-2τ℘2,y=bC14℘-2,

где A=∓3a-2b72.
Далее, рассмотрим частный случай уравнения (1.3) вида:

yxx''=Ax-m-3ym. (1.5)

Тогда решение в параметрическом виде при m!=-1 будет записано в виде

x=aC1m-1(1+-τm+1)-12dτ+C2-1,

y=bC1m+1τ(1+-τm+1)-12dτ+C2-1,

где A=+-m+12am+1b1-m.
При m=-1 решение в параметрическом виде:

x=C1exp∓τ2dτ+C2-1,

y=bexp∓τ2exp∓τ2dτ+C2-1,

где A=∓2b2.
Пусть дано уравнение
yxx''=Ax-m+32ym. (1.6)

В этом случае, решение в параметрическом виде при m!=-1:

x=aC22exp28m+1τm+1+τ2+C1-12dτ,

y=bC2τ exp8m+1τm+1+τ2+C1-12dτ,

Где A=(ab2)m-12.
Решение в параметрическом виде при m=-1:

x=aC22exp28lnτ+τ2+C1-12dτ,

y=bC2τ exp8lnτ+τ2+C1-12dτ,

где A=b2a .
Пусть задано уравнение

yxx''=Ax-52y-12. (1.7)

В этом случае, решение в параметрическом виде:

x=aC1-3(τ3-3τ+C2)-1,

y=bC1(τ2-1)2(τ3-3τ+C2)-1,

где A=+-49a12b32.

Решение уравнения

yxx''=Axy-53, (1.8)

так же можно найти в параметрическом виде:

x=+-aC18(τ4-6τ2+4C2τ-3),

y=bC19(τ3-3τ+C2)32,

где A=+-964a-3b83.
Более сложное уравнение Эмдена-Фаулера

yxx''=Ax-73y-53, (1.9)

имеет решение в параметрическом виде:

x=+-aC18τ4-6τ2+4C2τ-3,

y=+-bC1(τ3-3τ+C2)32τ4-6τ2+4C2τ-3,

где A=+-964a13b83.
Если задано уравнение

yxx''=Ax2y-53, (1.10)

то решение в параметрическом виде при A0:

x=aC12cosτchτ+C2tg τ+thτ+C2,

y=bC13cosτchτ+C232,

где A=-316a-4b83.
При A0 решение будет иметь вид

x=aC12shτ+cosτ+C2,

y=bC13chτ-sinτ+C232,

где A=34a-4b83.
Решение уравнения

yxx''=Ax-103y-53 (1.11)

в параметрическом виде при A0:

x=aC1-2cosτchτ+C2-1tgτ+thτ+C2-1,

y=bC1cosτchτ+C212tgτ+thτ+C2-1,

где A=-316a43b83.
Решение в параметрическом виде при A0:

x=aC1-2shτ+cosτ+C2-1,

y=bC1chτ-sinτ+C232shτ+cosτ+C2-1,

где A=34a43b83.

Теперь подробно рассмотрим следующее уравнение Эмдена-Фаулера

yxx''=Axnym. (1.12)

При n=1,m=-12 можно найти решение в параметрическом виде:
x=aC1exp-T[exp3T+C2sin3T,

y=bC12exp-2T2exp3T-C2sin(3T+3C2cos⁡ (3T)]2,

где А=16А=16а-3b32.

При n=-72,m=-12 решение в параметрическом виде будет

x=aC1-1expTS1-1,

y=bC1 exp-TS1-1S22,

где A=16(ab)32.

Уравнение Эмдена- Фаулера в параметрическом виде имеет вид:

yxx''=Аxy-75. (1.13)

Отсюда слудет решение в параметрическом виде:

x=aC14exp2TS3, y=bC15exp-52TS152,

где A=51024a-3b125.

yxx''=Аx-135y-75. (1.14)

Решение в параметрическом виде:

x=aC1-4exp2TS3-1, y=bC1exp(-12T)S152S3-1,

где A=51024a35b125.

B решениях уравнений (1.15)-(1.18) приняты обозначения:

f=2TIT+C2T∓R, IT= TdTR, R=+-4T3-1,

где I (T)- эллиптический интеграл второго рода в форме Вейерштрасса. Пусть задано уравнение

yxx''=Аxy-7 (1.15)

Решение в параметрическом виде:

x=aC18[4Tf2∓T-2fR-1)2, y=bC13f12,

где A=+-364a-3b8.

yxx''=Аx3y-7 (1.16)

Решение в параметрическом виде:

x=aC18[4Tf2∓T-2(fR-1)2]-1, y=bC15f12[4Tf2∓T-2(fR-1)2]-1,

где А=+-364a-5b8.

yxx''=Аx-43y-12 (1.17)

Решение в параметрическом виде:

x=aC19f3, y=bC14T-2 (fR-1)2,

где A=+-43a-23b32.

yxx''=Аx-76y-12 (1.18)

Решение также описывается в параметрическом виде:

x=aC19f-3, y=bC15T-2f-3(fR-1)2, где A=+-43a-56b32.

B решениях уравненей (1.19)-(1.24) функция φ=φТ задается в неявном виде
T=dφ+-4φ3-1-C2.

Верхний знак в этой формуле соответствует классической эллиптической функции Вейерштрасса

φ=φT+C2,0,1.

yxx''=Ax-5y2 (1.19)

Решение в параметрическом виде:

x=aC1T-1, y=bC13T-1φ,

где A=+-6a3b-1.

yxx''=Аx-157у2 (1.20)

Решение в параметрическом виде:

х=аС17τ7, у=bC1τ(τ2φ∓1),

где А=+-649a17b-1.

yxx''=Аx-207у2. (1.21)

Решение в параметрическом виде:

х=аС17τ-7, у=bС16τ-6(τ2φ∓1),

где А=+-649a67b-1.

yxx''=Аx-12у-52. (1.22)

Решение в параметрическом виде:

х=aC17φ2+-4φ3-1 +-2τφ2-1,

y=bC13+-(4φ3-1) +-2τφ2,-1

где А=∓3a-32b72.

yxx''=Аx-56у-53. (1.23)

Решение в параметрическом виде:

х=aC116τ+-(4φ3-1+2φ2 , y=bC17+-(4φ3-1)+2τφ232τ+-(4φ3-1)+2 φ2

где A=-16a-78b83

yxx''=Аx-12у-53. (1.24)

Решение в параметрическом видe:

х=aC116τ+-(4φ3-1) +-2φ,2

y=bC19+-(4φ3-1) +-2τφ2,32

где A=-16a-32b83.

В решениях уравнений (1.25)-(1.28) приняты обозначения:

Z=C1J13τ+C2Y13τдля верхнего знака.C1I13τ+C2K13τдля нижнего знака,

где J13τ и Y13τ-функции Бесселя, I13τ и K13τ-модифицированные функции Бесселя.

yxx''=Аx-12у-12. (1.25)

Решение в параметрическом виде:

х=aτ23Z2, y=bτ-23(τZr'+13Z)2,

где A=13(∓ba)32.
yxx''=Аx-2у-12. (1.26)

Решение в параметрическом виде:

х=aτ-23Z-2, y=bτ-43Z-2(τZr'+13Z)2,

где A=13∓b32.
yxx''=Аxy-2. (1.27)

Решение в параметрическом виде:

х=aτ-23(τZr'+13Z)2+-τ2Z2, y=bτ23Z2,

где А=-92(bа)3.

yxx''=Аx-2y-2. (1.28)

Решение в параметрическом виде:

х=τ23(τZr'+13Z)2+-τ2Z2-1,

y=bτ43Z2(τZr'+13Z)2+-τ2Z2-1,
здесь A=-92b3.

2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы являются математическими моделями для значительного числа прикладных задач в различных областях естествознания (механика, физика и др.), техники и экономики. Как правило, эти задачи практически опускают получение аналитических решений. В первую очередь это относится к нелинейным дифференциальным уравнениям либо к системам линейных дифференциальных уравнений высокой размерности с переменными коэффициентами. В таких случаях единственная вероятность их исследования или их решения обычно связана с применением численных методов. Задачи, математические модели, которых содержат соответствующие дифференциальные уравнения, во многих случаях сводятся к численному решению задачи Коши или некоторого набора таких задач.

2.1 Идея метода Рунге - Кутта.

Рассмотрим задачу Коши на некотором заданном интервале , а именно, найти для дифференциального уравнения

(2.1)

решение, которое удовлетворяет первоначальному условию:

(2.2)

где , - некоторые числа, а для функции - правой части этого уравнения - предполагается существование непрерывных частных производных до некоторого порядка в соответствующей области, содержащей точку . В этом случае решение уравнения (2.1), по крайней мере, в окрестности точки будет иметь непрерывные до -го порядка производные и, стало быть, для него можно записать следующее разложение в ряд Тейлора:

(2.3)

где

- производные от , вычисленные в точке ; - члены разложения степени не ниже -й относительно или остаточный член ряда Тейлора . Если для всех и некоторого h функция имеет -ю производную , то остаточный член для всех указанных имеет вид:

Где , если , или , если . Если при этом

то

или, что-то же самое, погрешность при отбрасывании в (2.2) имеет порядок .
Пускай решение задачи Коши (2.1), (2.2) изначально отыскивается только в точке , где , а - некоторое достаточно малое число. Тогда, обозначая и отбрасывая в разложении (2.3) члены или , разложение (2.3) можно переписать в виде

Обозначив

,

отсюда следует, что мы получим следующее выражение для приращения искомого решения на интервале :

(2.4)

Производные, входящие в выражение (2.4), можно непосредственно вычислить, как было уже замечено во введении, по формулам последовательного дифференцирования уравнения (2.1). Но получаемые при этом формулы - даже в операторной форме - проявляются чрезвычайно громоздкими, что снижает, в конечном счете, их практическую ценность. В связи с этим К. Рунге предложил (в дальнейшем В. Кутта развил идею метода) вместо вычислений по формуле (2.4) для . Находить линейные комбинации следующего вида:

(2.5)

где - некоторые постоянные коэффициенты; а - функции, вычисляемые по формулам:

(2.6)

здесь

и

(для заданного и ); и - некоторые постоянные (причем , ). Таким образом, функции (2.6) имеют следующий вид:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2.7)

Выбрав величину h, которую называют также шагом интегрирования, и, зная , и , по формулам (2.7) можно последовательно вычислить функции, а затем по формуле (2.5) - искомое значение или, что-то же самое, искомое значение

.

Если теперь в качестве первоначальных условий для уравнения (2.1) взять следующую начальную точку:

и вместо (2.2) начальное значение

то можно получить по тем же формулам значение искомого решения и в точке

,

а именно, значение

.

Повторив указанный процесс далее, получим таблицу значений искомого решения обыкновенного дифференциального уравнения - , где
В связи с тем, что процедура порядка такой таблицы является пошаговой (и на каждом следующем шаге применяется только информация, полученная на предыдущем), метод Рунге - Кутта относят к классу одношаговых методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Покажем теперь, что условия, которым подчиняется выбор постоянных , и в (2.5), (2.7), определяющих при заданном формулу Рунге - Кутта соответствующей степени, а именно, - й степени. Как известно, эти условия состоят в том, чтобы разложение (2.4) и линейная комбинация (2.1) совпадали до возможно более высоких степеней h для произвольных правых частей уравнения (2.1) - и любых значений шага интегрирования - h . При этом функция погрешности

будет удовлетворять следующим условиям:

где s = 1 - некоторое число. Очевидно, что любой выбор постоянных , и и необходимо, в первую очередь, подчинить условию максимума числа с учетом произвола в задании и Тогда погрешность вычисления приращения и, соответствующего, значения на интервале , то есть для одного шага (являющиеся также локальной погрешностью метода), будет устанавливаться остаточным членом в форме Лагранжа

При достаточно малых h главный член этой погрешности пропорционален , и в связи с этим число s обычно называют порядком анализируемой формулы Рунге - Кутта. Заметим, что в общем случае .

Формулы метода Рунге - Кутта различных степеней

Рассмотрим некоторые частные случаи формул Рунге-Кутта (2.5) - (2.7), полученных для различных и при соответствующем выборе , и .
В начале рассмотрим случай r = 1. При этом имеет место

Отсюда следует, что то есть для произвольной правой части в (1) возможно только . Далее имеет то есть в силу произвола в общем случае и, стало быть, здесь s = 1. Поэтому для r = 1 существует единственная формула Рунге - Кутта:

(2.8)

погрешность которой (на одном шаге интегрирования) будет равна
,

или, что то же самое, погрешность формулы (2.8) имеет порядок .
Процедура численного решения дифференциального уравнения (2.1) с начальными условиями (2.2), основанная на применении формулы (2.8), - метод Эйлера (или метод ломаных).
В случае r = 2 необходимые и достаточные условия обращения в нуль первых двух производных функции при имеют вид системы следующих уравнений:

(2.9)

Здесь производная , вообще говоря, в нуль не обращается. Решение системы (2.9) с учетом какого-либо дополнительного условия доставляет формулы интегрирования, имеющие порядок точности . Например, здесь можно взять тогда и, стало быть, имеет место:

(2.10)

Формулы (2.10) отвечают методу Эйлера - Коши (второй улучшенный метод Эйлера).
Еще одна формула будет получена, если взять тогда, и, стало быть, имеем (первый улучшенный метод Эйлера, или модифицированный с пересчетом):

(2.11)

Кроме того, здесь подходят значения: Отсюда следует

(2.12)

Очевидно, что приведенные варианты формул Рунге - Кутта (2.10) - (2.12), имеющих порядок точности , совершенно не исчерпывают всего множества допустимых решений для системы (2.9). В связи с этим заметим, что выбор той или иной формулы зачастую обусловлен только удобством программирования из-за предполагаемого произвола в задании правой части уравнения (2.1). Учет каких-либо особенностей функции может существенно ограничить множество практически допустимых решений системы (2.9).
В том случае, когда r=3, вообще говоря, нельзя приравнять к нулю четвертую производную от функции (при ); то есть здесь . Соответственно, условия

сводятся к таким условиям на коэффициенты :

(2.13)

Решение системы (2.13) - при каких-либо дополнительных условиях - доставляют формулы Рунге - Кутта, погрешность которых имеет порядок . Далее приводятся некоторые варианты таких формул.
Во-первых, для получим:

следует

где

Во-вторых, для

получим

или (формула метода Рунге - Кутта - Гейне):

где

В-третьих, пусть

.

Тогда

,

и, стало быть, имеем

где

Наконец, рассмотрим случай, когда r = 4 , так как он получил наиболее широкое применение в решении прикладных задач. Здесь удается обеспечить равенство нулю только первых четырех производных функции (при ), а ее пятая производная в силу произвольности правой части уравнения (2.1) при тождественно в нуль не обращается ни при каких значениях постоянных и Они удовлетворяют следующей системе уравнений:

Отсюда следует, что при дополнительных условиях имеются варианты формул Рунге-Кутта, погрешность которых имеет порядок .
Во-первых, одна из наиболее распространенных формул Рунге - Кутта четвертой степени и, соответственно, четвертого порядка точности (это так называемый стандартный метод Рунге - Кутта, правило одной шестой) получается при

а именно:

(2.14)

где

Во-вторых, при

получаем следующую формулу (правило трех восьмых):

(2.15)

где

В-третьих, при

получим

(2.16)

где

Погрешности формул (2.14) - (2.16) на одном шаге интегрирования оцениваются величиной

Другие варианты формул метода Рунге - Кутта для четвертого порядка точности приведены в Приложении.
Отметим, что при r=5 увеличение порядка точности формул Рунге-Кутты не происходит; здесь обнаруживается возможным только s = 4 . Поэтому такие формулы практического применения не находят. Все же можно получить соответствующие формулы, имеющие погрешность порядка , но для этого необходимо выбирать (получаемые при этом формулы численного интегрирования методом Рунге - Кутта, как правило, оказываются громоздкими и неудобными для практического применения).
В случае r 4 соответствие между r и s нарушается. Метод Рунге - Кутта пятого порядка точности удается построить только при (это формула Рунге - Кутта - Фельдберга), шестого - при , седьмого - при , а в общем случае при s 7 имеет место такая оценка: .
Формулы Рунге - Кутта - Фельдберга имеют следующий вид:

где

Формулы Метода Эйлера и Рунге-Кутта для разных порядков
Таблица 1.
Номер,
порядок формул
Название метода
Формула для вычисления

Формула для вычисления коэффициентов

1
2
3
4
11
Метод Эйлера, метод ломаных

22

;

32
Метод Рунге - Кутта

;

42

;

53

;
;

63

;
;

73

;
;

84

контрольный член:

;
;
;

94

;
;
;

104

;
;

114

;
;

124

;
;
;

134
Метод Рунге - Кутта - Мерсона

контрольный член Мерсона
... продолжение

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.