Золотое сечение: история, математическая сущность и место в современной науке

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. …. 2

РАЗДЕЛ 1. ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ. . ……. 4

РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ… . . . …. 8

2. 1 . Понятие золотого сечения . . . ……8

2. 2 . Золотое сечение в геометрии. ……11

2. 3. Нахождение пропорции тела человека. . 16

РАЗДЕЛ 3. МЕСТО ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ… . . . …. 18

ВЫВОДЫ. . ……. …20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . …21

ВВЕДЕНИЕ

Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и других науках. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.

«В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, они являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвященным «золотому сечению». Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.

Однако «золотому сечению» повезло меньше, чем теореме Пифагора - «классическая» наука и педагогика его игнорируют, а «официальная» математика не признаёт.

Цель данной работы провести краткий обзор истории и математической сущности золотого сечения, и осмыслить его роль в современной математике.

Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:

- изучить понятие «золотое сечение»;

- исследовать присутствие золотого сечения в математике;

- изучить практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения;

-выполнить анализ, проведенных исследований и сделать выводы.

Методы исследования :

- работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;

- социологический опрос, эксперименты;

- наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования : «золотое сечение».

Предмет исследования : математика.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» - как сказал А. С. Пушкин.

Поэтому актуальность данной темы очевидна и состоит в том, что человек различает окружающие его предметы по форме, а форма в основе которой лежат сочетание симметрии и пропорции золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Я познакомился с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

РАЗДЕЛ 1

ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.

Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и других науках. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

В математике принцип «золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н. э. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в. ) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

После Эвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э. ), Папп (III в. н. э. ) и др.

В целом все первые геометрические системы - эвклидова геометрия, теорема Пифагора - свидетельствуют о том, насколько волновали древних греков проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Однако есть предположение, что первыми к принципу золотого сечения пришли все же египтяне. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях.

Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи вошли в сферу бизнеса как основа оптимальных стратегий.

РАЗДЕЛ 2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

2. 1 . Понятие золотого сечения

Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине (рис. 2. 1) .

Рис. 2. 1

a : b = b : c или с : b = b : а

Эта пропорция равна: (формула 2. 1)

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ≈1. 61803398874989484…

Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0. 618 и 0. 382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Рассмотрим взаимосвязь «золотого сечения с числами Фибоначчи.

Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

На данный момент вопросы золотого сечения очень актуальны, однако большинство учеников моей школы даже не знают о существовании такого понятия. Опросив учеников и учителей (50 человек), 92% учеников даже не догадываются о золотом сечении, 8% - что-то слышали. Что касается учителей, то 60% из них не знают что это, и всего 40% слышали о нём (рис. 2. 2. ) .

Рис. 2. 2

Для того, чтобы мои одноклассники познакомились с золотым сечением я провел исследование, в котором измерил их рост, длину тела от талии до пола и нашел «золотое отношение». Результаты данного исследования будут представлены в моей работе далее.

2. 2 . Золотое сечение в геометрии

При рассмотрении роли и места золотого сечения в геометрии целесообразно выполнить построение деления отрезка в золотом отношении рис. 2. 3. )

Рис. 2. 3.

Дано : отрезок АВ.

Построить : золотое сечение отрезка АВ, т. е. точку Е так, чтобы $\frac{ВЕ}{АЕ}$ = $\frac{АЕ}{АВ}$ .

Построение.

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС= $\frac{1}{2}$ АВ. Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB, и наконец AE=AD.

Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Широкое распространение получили так называемые «золотые фигуры», имеющие в своей основе «золотое сечение».

Прямоугольник с «золотым» отношением сторон стали называть «золотым прямоугольником» (рис. 2. 4. ) . Он обладает интересными свойствами: если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Рис 2. 4.

Формула 2. 2.

$$\varphi = \frac{АВ}{ВС}$$

«Золотой треугольник» - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1. 618 (рис. 2. 5. ) .

Рис. 2. 5

Возможны два типа золотых треугольников (рис. 2. 5. а, б) :

в первом случае $\varphi = \frac{АВ}{АС}$ , а во втором $\varphi = \frac{АС}{АВ}$ .

Есть и «золотой кубоид» - это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1. 618, 1 и 0. 618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются «золотыми треугольниками» (рис. 2. 6. ) . Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Рис. 2. 6

2. 3. Нахождение пропорции тела человека

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что пропорции золотого сечения проявляются в отношении частей тела человека - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д. (рис. 2. 9. )

Рис. 2. 9

Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1, 625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1, 6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1, 6, а к 21 году равняется мужской.

Просмотрев труды Цейзинга, нас заинтересовало исследование профессора о пропорциях золотого сечения в отношении частей тела человека. Мы проверили его измерения на практике на примере своих одноклассников (табл. 2. 1) .

Таблица 2. 1.

«Результаты измерения»

Проведя данное исследование, я пришел к выводу, что пропорции тела мальчиков ближе к показателю золотого сечения, чем у девочек, что подтверждает теорию Цейзинга.

РАЗДЕЛ 3

МЕСТО ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ

В каждой науке есть так называемые «метафизические» знания, без которых невозможно существование самой науки. Например, если исключить из математики понятия натурального и иррационального чисел или аксиомы геометрии, математика сразу же перестанет существовать.

С таким же правом к разряду «метафизических» знаний может быть отнесено и «золотое сечение», которое считалось «каноном» античной культуры, а затем и эпохи Возрождения. Однако, как это ни парадоксально, в современной теоретической физике и математике «золотая пропорция» никак не отражена. Ныне делаются попытки показать, что «золотое сечение» является одной из важнейших «метафизических» идей, без которой трудно представить дальнейшее развитие науки, в частности, теоретической физики и математики.

Анализ современных программ образования в таких странах, как США, Канада, Россия и Украина, показывает, что в большинстве из них нет даже упоминания о «золотом сечении». То есть, имеет место сознательное игнорирование одного из важнейших открытий античной математики.

В настоящее время исследуются математические теории связанные с принципами «золотого сечения»: новая теория гиперболических функций, новая теория чисел, новая теория измерения, теория матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении - «золотую» компьютеризацию. А поскольку «математика гармонии» существенно дополнит классическую математику, вполне возможно придется пересмотреть и всю систему современного математического образования.

---

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.

• Информатика
• Банковское дело
• Оценка бизнеса
• Бухгалтерское дело
• Валеология
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Религия
• Общая история
• Журналистика
• Таможенное дело
• История Казахстана
• Финансы
• Законодательство и Право, Криминалистика
• Маркетинг
• Культурология
• Медицина
• Менеджмент
• Нефть, Газ
• Искуство, музыка
• Педагогика
• Психология
• Страхование
• Налоги
• Политология
• Сертификация, стандартизация
• Социология, Демография
• Статистика
• Туризм
• Физика
• Философия
• Химия
• Делопроизводсто
• Экология, Охрана природы, Природопользование
• Экономика
• Литература
• Биология
• Мясо, молочно, вино-водочные продукты
• Земельный кадастр, Недвижимость
• Математика, Геометрия
• Государственное управление
• Архивное дело
• Полиграфия
• Горное дело
• Языковедение, Филология
• Исторические личности
• Автоматизация, Техника
• Экономическая география
• Международные отношения
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности), Защита труда