Неустановившаяся фильтрация газа: уравнение Лейбензона, линеаризация и типовые расчетные задачи

Содержание

Введение

Подземная гидродинамика - это дисциплина объясняющая, о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых, а также трещиноватых горных породах. Она считается той сферой гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов в целом, а особенный вид их движения- фильтрования, которая обладает собственными характерными особенностями. Она служит теоретической базой исследования нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. В совокупности с этими способами теории фильтрации находит решение основных задач в гидротехники, гидрогеологии, инженерной геологии, химическо-технологические процессы и т. д. Гидромеханика определяет собственные дополнения во множества других сферах: кораблестроении, авиации, ядерной энергетике и гидроэнергетике, гидрогеологии и водоснабжении, метеорологии, теплотехнике, а также в химическо-технологических процессах. Особое значение обладает применение гидромеханики в всевозможных научно-технических действиях нефтяной и газовой индустрии, в том числе фильтрацию жидкостей и газов в природных пластах, их перемещение в трубопроводах и аппаратах. С целью данных использований она считается базовой академической дисциплиной. В настоящее время пробурены тысячи скважин различного назначения. Во всех отраслях народного хозяйства применяются буровые скважины. Бурение скважин выполняется по особым правилам бурения, а также в океане. Требуется подготовка нефти и газа по максимальному размеру скважин, а также поиск, поиск необходимых старых месторождений, а также в определенных вариантах с целью добычи месторождений.

Вычисление притоков жидкости к искусственным водозаборам и дренажным сооружениям, исследование режимов природных источников и подземных потоков, расчет фильтрации воды в отношении с сооружением и эксплуатацией плотин, снижением уровня грунтовых вод, трудности подземной газификации угля, задачи о движении реагентов посредством пористые среды и специализированные фильтры, фильтрация жидкостей и газов через стенки пористых сосудов и труб - и это далеко не целый список сфер обширного применения способов теории фильтрации.

Целью этой работы считается изучение скважин при неустановившейся фильтрации жидкости способом гидропрослушивания. Кроме того в основе данных изучений будут повергнуты вычисления дебитов скважин в залежах нефти, а также газа.

Кроме того в работе будет рассмотрено постановлении данных вопросов необходимо принимать во внимание, то что при работе скважин прослеживается их обоюдное воздействие друг на друга - интерференция скважин. Кроме данного в этой работе будет рассмотрен приток жидкости к безграничным цепочкам и кольцевым батареям скважин.

1. Неустановившейся фильтрации газа дифференциальных уравнений. Уравнения Лейбензона вывод дифференциала

Основные принципы теории движения газа в пористой среде были изобретены основоположником нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Согласно закону Дарован он в первый раз получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте. Приобретенное им нелинейное дифференциальное уравнение параболического вида в дальнейшем существовало под названием уравнение Лейбензова.

При заключении подтвержденного уравнения планировалось, что коэффициенты пористости и проницаемости никак не изменятся с давлением, т. е. пласт недеформируем, вязкость газа в свою очередь никак не будет находится в зависимости от давления и совершенного газа . Воспринимается в свою очередь, то что фильтрация газа в пласте совершается согласно изотермическому закону, т. е. температура гида и пласта остается постоянной согласно времени. В дальнейшем единственный из учеников Л. С. Лейбензона - Б. Б. Лапук в трудах, отданных теоретическим основам исследования месторождений природных газов, выявил, отчего неустановившуюся фильтрацию газа необходимо приближенно анализировать равно также, как и изотермическую, таким образом изменения температуры газа, образующиеся при изменении давления, в существенной мере возместятся теплообменом со скелетом пористой среды, плоскость контакта газа с которой велика. Но при анализе фильтрации газа в призабойной области неизотермичность движения фильтрации влияет значительно из-за локализации главного перепада давления возле стенки скважины. К слову, в данном эффекте базируется применение глубоких термограмм функционирующих скважин с целью уточнения профиля притока газа согласно толщине пласта. При анализе процесса фильтрации в пласте в полном данными локальными результатами допустимо пренебрегать.

С целью заключения дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа мы воспользуемся уравнением, что объективно для каждого сжимаемого флюида.

, (1. 1)

где коэффициенты проницаемости k и вязкость постоянны.

Для совершенного газа функция Лейбензона определяется по формуле

, (1. 2)

Продифференцируем выражение (1. 2) по координатам 2 раза

, (1. 3)

Преобразуем правую часть уравнения (1. 1) . Считая пористость т ₀ постоянной и учитывая, что для совершенного газа получим:

, (1. 4)

Подставив выражения (1. 3) и (1. 4) в уравнение (1. 1), получим:

, (1. 5)

Выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р ² , поэтому уравнение (6) можно кратко записать в виде

. (1. 6)

Получившееся дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа (1. 6) называется уравнением Л. С. Лейбензона, а также предполагает собою нелинейное уравнение параболического вида. Подчеркиваем, то что оно объективно для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают вследствие того, что он вступает в уравнение (1. 1) в варианте работы, в котором плотность газа изменяется в значительно большей степени, чем пористость.

Уравнение Лейбензона (1. 6) можно записать по-другому, умножив правую и левую части на давление Р и заменить его

, (1. 7)

. (1. 8)

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р ² , но коэффициент в правой части переменный, в него входит искомая функция р(х, у, z, t) .

Нетрудно доказать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления и недеформируемости пористой среды (Р=const, k =const) описывается в следующем нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа

. (1. 9)

В целях вывода определенных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (1. 6) либо (1. 8) обязано быть проинтегрировано согласно общей области газового месторождения при установленных первоначальных и граничных обстоятельствах. Простые разновидности данных обстоятельств следующие.

Продуктивный пласт или выделенную из него часть возможно анализировать как определенную область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Пределы могут быть непроницаемыми для флюидов, к примеру кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхность считается также плоскость, согласно которой пласт сообщается с областью питания, таким образом называемый контур питания; стенка скважины работает внутренней границей пласта. Для того чтобы приобрести постановление системы уравнений, к ним следует дополнить первоначальные и конечные требования. Первоначальное требование состоит в задании выискиваемой функции в полной области в определенный период времени, допускаемый за первоначальный. Краевые (граничные) требования задаются в пределах пласта. Количество краевых условий обязано быть в равной мере системе дифференциального уравнения согласно координатам.

Возможны следующие граничные условия.

І. На внешней границе:

1. Постоянное давление p(Г, t) =pк=const, (1. 10) т. е. граница является контуром питания;
2. Постоянный переток через границу при выполнении закона Дарси

, (1. 11)

где n - нормаль к границе Г, откуда следует, что

, (1. 12)

3. Переменный переток через границу

, (1. 13)

4. Замкнутая внешняя граница

, (1. 14)

5. Бесконечный по простиранию пласт

, (1. 15)

ІІ. На внутренней границе:

6. Постоянное давление на забое скважины радиусом rc;
7. Переменное давление на забое скважины;
8. Постоянный дебит - это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:

, (1. 16)

, (1. 17)

где площадь боковой поверхности скважины; h - толщина пласта;

9. Переменный дебит

, (1. 18)

10. Отключение скважины

. (1. 19)

Таким образом уравнение (1. 6) или (1. 8) предполагает собою непростое нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве ситуации не имеет конкретных аналитических заключений. Его возможно проинтегрировать численно с поддержкой электронно-вычислительной машиной либо найти решение приближенным методом известно, что приближенные методы хорошо разработаны.

2. Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения

Если поменять нелинейное дифференциальное уравнение (1. 8) на линейный, другим словом линеаризовать его, тогда оно упростится - чтобы линейное уравнение имело верное аналитическое заключение. Известно, то что эти точные решения линеаризованного уравнения станут приближенными для нелинейного. Дать оценку неточности решения, которая появляется при смене точного уравнения линеаризованным, к примеру, сопоставляя приближенное решение с решением в электронно-вычислительной машины точного уравнения. Были предложены разнообразные методы линеаризации уравнения (1. 8) . В случае если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то в таком случае с теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии весьма крутая, также в огромной доли пласта давление не достаточно отличается от контурного. В данном основании Лейбензон внес предложение поменять неустойчивое влияние Р в коэффициенте уравнения (1. 8) в постоянное давление равное первоначальному давлению в пласте. Тогда, обозначив, $\ \overline{а} = \frac{kp}{ƞm_{0}}$ приобретаем взамен уравнения (1. 8) уравнение.

, (2. 1)

что считается линейным уравнением пьезопроводности сравнительно функции р ² где - постоянная, подобная коэффициенту пьезопроводности. Такого рода метод линеаризации, когда непостоянный показатель и в уравнении (2. 1) присутствие разных значениях давления берется константой, называется линеаризацией согласно теории Лейбензона. В последующем другими создателями были предложены уточнения к линеаризации согласно Лейбензону. Таким образом, И. А. Чарный внес предложение объединить равенство (1. 8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте в значение где - максимальное и минимальное давления в газовой залежи в расчетный период.

Применяем линеаризованное равенство (2. 1) с целью постановления определенной проблемы в притоке газа в скважину безгранично малого радиуса, размещенную в пласте безграничной протяженности со стабильной шириной h. В первоначальный период времени пласт невозмущен, т. е. давление в абсолютно всем пласте постоянно и точно также р ² . С данного этапа наступает подбор газа с непрерывным дебитом Q _ат . Необходимо отыскать изменение давления согласно пласту с ходом периода p(r, t) .

Так для плоскорадиальной фильтрации газа (2. 2) запишется следующим образом

, (2. 2)

Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоского и радиального движения.

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

, (2. 3)

использовав равенства

, (2. 4)

и сократив, получим:

, (2. 5)

Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

, (2. 6)

при r=0.

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима :

. (2. 7)

Схожеть между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (2. 7) давление р на р ² , получим решение поставленной задачи для, газа

. (2. 8)

Для малых значений аргумента можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

, (2. 9)

, (2. 10)

Отметим, что решения формул (2. 9), (2. 10) являются приближенными, так же как были получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (1. 16), а не точного (1. 6) .

Формулы (2. 9) и (2. 10) определяются распределением давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеющие такой же характер, как и при установившейся фильтрации - они бывают круты вблизи скважины. Если же мы зададим значение r, то можно обнаружить изменение давления в определенной точке с течением определенного времени. В частности, можно обнаружить изменение давления на забое (при r =0 ) после начала работы скважины.

, (2. 11)

3. Типовые расчетные задачи

3. 1 . Прямолинейно-параллельная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте

Задача: Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит галереи, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при следующих исходных данных:

Таблица 1. 1 Исходные данные

Здесь: L _к - длина пласта; В - ширина пласта; h - толщина пласта; m - по- ристость; k - проницаемость; Р _к - давление на контуре питания; Р _г - давление на стенке галереи; μ - динамическая вязкость жидкости.

Рис. 1. Схема прямолинейно-параллельного фильтрационного потока в пласте

Решение:

1. Определение закона распределения давления:

$P(x) = P_{K} - \frac{P_{K} - P_{Г}}{L_{K}} \bullet x$ , (3. 1)

$P(x) = 9, 6 \bullet 10^{6} - \frac{9, 6 \bullet 10^{6} - 7, 1 \bullet 10^{6}}{9 \bullet 10^{3}} \bullet x$ .

Рис. 2. График распределения давления в пласте (пьезометрическая линия)

2) Определение градиента давления:

$gradP = \frac{dP}{dx} = \frac{Pk - Pг}{Lk}\ \ \Rightarrow grad \neq f(x) = const$ , (3. 2)

$gradP = \frac{9, 6 \bullet 10^{6} - 7. 1 \bullet 10^{6}}{9000} = 277\frac{Па}{с}$ .

Рис. 3. График распределения градиента давления в пласте

3) Определение скорости фильтрации:

$\nu = - \frac{k}{\mu} \bullet \frac{dP}{dx} = - \frac{k}{\mu} \bullet \frac{Pk - Pг}{Lk}\ \ \Rightarrow \vartheta \neq f(x) = const$ , (3. 3)

$$\nu = \frac{0, 8 \bullet 10^{- 12}}{2 \bullet 10^{- 3}} \bullet 277 = 110. 8 \bullet 10^{- 6}\frac{м}{с}.$$

Рис. 4. График распределения скорости фильтрации в пласте

4) Определение дебита галереи:

$Q_{г} = \frac{k}{\mu} \bullet \frac{B \bullet h \bullet (P_{k} - P_{г}) }{L_{k}}\ \ \Rightarrow Q_{г} = \nu \bullet B \bullet h,$ (3. 4)

$$Q_{г} = \frac{0, 8 \bullet 10^{- 12}}{2 \bullet 10^{- 3}} \bullet \frac{140 \bullet 8 \bullet (9. 6 \bullet 10^{6} - 7. 1 \bullet 10^{6}) }{9000} = 124 \bullet 10^{- 6}\ \frac{м^{3}}{с}.$$

5) Определение закона движения частиц жидкости:

$t = \frac{m}{\nu} \bullet x$ , (3. 5)

$$t = \frac{0, 18}{110, 8 \bullet 10^{- 9}} \bullet x = 1. 6 \bullet 10^{6}x.$$

6) Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление:

$\overline{P} = \frac{P_{k} + P_{г}}{2},$ (3. 6)

$$\overline{P} = \frac{9, 6 \bullet 10^{6} + 7, 1 \bullet 10^{6}}{2} = 8, 35\ МПа.$$

3. 2 Плоскорадиальная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит скважины, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление для заданных по варианту условий (табл. 1. 2) :

Таблица 1. 2 Исходные данные

Здесь: R _к - радиус контура питания; r _с - радиус скважины; h - толщина пласта; m - пористость; k - проницаемость; Р _к - давление на контуре питания; Р _с - давление на забое скважины; μ - динамическая вязкость жидкости.

Рис. 5. Схема плоскорадиального потока

Решение:

1) Определение закона распределения давления в пласте:

$P(r) = P_{k} - \frac{(P_{k} - P_{c}) \bullet \ln(\frac{R_{r}}{r}) }{\ln(\frac{R_{r}}{r_{c}}) }$ (3. 7)

R=0. 14…1400

$$P(r) = 9, 6 \bullet 10^{6} - \frac{(9, 6 \bullet 10^{6} - 7, 1 \bullet 10^{6}) \bullet \ln(\frac{1400}{r}) }{\ln(\frac{1400}{0. 14}) } = \left( 9, 6 - 0, 27\ln\frac{1400}{r} \right) МПа$$

Рис. 6. График распределения давления в пласте

2. Определение градиента давления:

$grad\ P = \frac{P_{k} - P_{c}}{\ln\frac{R_{K}}{r_{c}}} \bullet \frac{1}{r}$ , (3. 8)

$$grad\ P = \frac{9, 6 \bullet 10^{6} - 7, 1 \bullet 10^{6}}{\ln\frac{1400}{0, 14}} \bullet \frac{1}{r} = \frac{271739}{r}, \frac{Па}{м}\$$

Рис. 7. График распределения градиента давления в пласте

3) Определение скорости фильтрации:

$\vartheta = \frac{k}{\mu} \bullet \frac{P_{k} - P_{c}}{\ln\frac{R_{K}}{r_{c}}} \bullet \frac{1}{r}$ , (3. 9)

$$\vartheta = \frac{k}{\mu} \bullet \frac{P_{k} - P_{c}}{\ln\frac{R_{K}}{r_{c}}} \bullet \frac{1}{r} = \frac{0, 8 \bullet 10^{- 12}}{2 \bullet 10^{- 3}} \bullet 271739 \bullet \frac{1}{r} = (24, 4 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{1}{r}) \frac{м}{с}$$

... продолжение

Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде: линеаризация, аналогия с упругой жидкостью и анализ плоскорадиального притока

Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде: линеаризация уравнений, радиальный поток и интерференция скважин

Кинетическая теория идеального газа: основное уравнение, уравнение состояния и изопроцессы

Уравнение состояния идеального газа: уравнение Менделеева-Клапейрона и основы молекулярно-кинетической теории

Уравнение состояния идеального газа и основные газовые законы

Уравнение состояния идеального газа: макроскопический и молекулярно-кинетический подход

Кинетическая теория идеального газа: давление, температура и уравнение состояния

Молекулярно-кинетическая теория: основные принципы, уравнение идеального газа и ключевые явления

Атомно-молекулярная теория, уравнение состояния идеального газа и молекулярно-кинетическая теория

Уравнение состояния идеального газа и основные изопроцессы: изотермический, изобарный и изохорный

• Информатика
• Банковское дело
• Оценка бизнеса
• Бухгалтерское дело
• Валеология
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Религия
• Общая история
• Журналистика
• Таможенное дело
• История Казахстана
• Финансы
• Законодательство и Право, Криминалистика
• Маркетинг
• Культурология
• Медицина
• Менеджмент
• Нефть, Газ
• Искуство, музыка
• Педагогика
• Психология
• Страхование
• Налоги
• Политология
• Сертификация, стандартизация
• Социология, Демография
• Статистика
• Туризм
• Физика
• Философия
• Химия
• Делопроизводсто
• Экология, Охрана природы, Природопользование
• Экономика
• Литература
• Биология
• Мясо, молочно, вино-водочные продукты
• Земельный кадастр, Недвижимость
• Математика, Геометрия
• Государственное управление
• Архивное дело
• Полиграфия
• Горное дело
• Языковедение, Филология
• Исторические личности
• Автоматизация, Техника
• Экономическая география
• Международные отношения
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности), Защита труда