Тригонометрия: история, основные тригонометрические функции и их свойства

Тип работы: Материал
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 11 страниц
В избранное:

Западно-Казахстанский университет имени М. Утемисова

РЕФЕРАТ

На тему: Тригонометрия. Тригонометрические функции

Выполнил: Бозаев Турар

Группа М-31

Проверила: Лукпанова Ляззат

Содержание

Введение 3

1. Тригонометрия 4

2. Тригонометрические функции 7

2. 1 Синус 8

2. 2. Косинус 9

2. 3. Тангенс 10

2. 4. Катангенс 11

Заключение 12

Список литературы 13

Введение

При изучении квадратных уравнений в школьном курсе меня заинтересовал вопрос, а существует ли больше способов их решения. Я занялся этим вопросом и начал изучать историю развития квадратных уравнений. Мне стало известно, что уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Ф. Виета. Итальянские математики Тарталья Никколо, Кардано Джероламо, Бомбелли Рафаэль среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара Альбера, Декарта Рене, Ньютона Исаака и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Актуальность - квадратные уравнения нужны не только для тех, кто собирается связать свою жизнь с математикой, но и для общего развития, всегда полезно узнать что-то новое. Оказывается, что квадратные уравнения имеют корни и при отрицательном дискриминанте. В дальнейшем я займусь изучением этой проблемы.

Цель - выяснить, сколько существует способов решения квадратных уравнений.

Объект исследования - квадратные уравнения.

Предмет исследования - способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования - при выполнении исследования применялись такие методы, как сравнительный анализ литературы, сбор и обработка фактов с помощью анализа, сравнения и аналогии.

Гипотеза - существует около одиннадцати способов решения квадратных уравнений.

1. Тригонометрия

Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю) .
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т. е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э. ) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э. ) . Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604 . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274) . Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н. э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н. э. ), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха - половина, джива - тетива лука, которую напоминает хорда) . Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость) . При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна) .

Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a) ) .

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г. ) . Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов - касательная к единичной окружности) .

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) - творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д. ) . Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе - наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю) . Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

2. Тригонометрические функции

Тригонометрические функции - элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге) . Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и являются тригонометрическими функциями, встречаются уже в Ш в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Тригонометрия от греческих: trigonom - “треугольник”, metreo - “измеряю”, изучает зависимость между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия возникла из пратических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояния до недоступных предметов. Она существенно упрощает процесс геодезической съемки местности, нужный для составления карт.

Зачатки тригонометрических познаний родились в древности. Жрецы постоянно наблюдали за небом, за перемещением звезд. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Исторически теоремы синусов сферической геометрии предшествовали теоремам плоской геометрии. Потребность людей в знаниях по астрономии, необходимых для исчисления времени, возникла прежде других потребностей человека, связанных с измерением углов. Исходя из геоцентрической гипетезы Вселенной, древнегреческие астрономы рассматривали Землю как шар, находящийся в центре небесной сферы, которая рвномерно вращается вокруг своей оси. При изучении закономерностей движения светил возникли многочисленные математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур, которые образуют на ней большие окружности.

2. 1. Синус.

Синус - функция числа x. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а.
Область значений синуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период синуса равен период синуса . Ведь через каждые период синуса положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак синуса
синус равен нулю при период синуса, где n - любое целое число;
синус положителен при область определения синуса, где n - любое целое число;
синус отрицателен при синус отрицателен, где n - любое целое число.
Синус - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, область определения синуса симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их ординаты - синусы - окажутся также противоположными. То есть симметричность синуса для любого x.

Синус возрастает на отрезках возрастание синуса, где n - любое целое число.

Cинус убывает на отрезке убывание синуса, где n - любое целое число.
максимум синуса при максимум синуса;
минимум синуса при минимум синуса.

2. 2. Косинус

Косинусом числа а называется абсцисса точки, изображающей это число на числовой окружности. Косинусом угла в а радиан называется косинус числа а.

Косинус - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область значений косинуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси абсцисс является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период косинуса равен период синуса . Ведь через каждые период синуса положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак косинуса:
косинус равен нулю при косинус равен нулю, где n - любое целое число;
косинус положителен при косинус положителен, где n - любое целое число;
косинус отрицателен при косинус отрицателен, где n - любое целое число.
Косинус - функция четная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, область определения косинуса симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их абсциссы - косинусы - окажутся равными. То есть косинус - четная функция для любого x.
Косинус возрастает на отрезках косинус возрастает, где n - любое целое число.

Косинус убывает на отрезках косинус убывает, где n - любое целое число.
максимум косинуса при максимум косинуса;
минимум косинуса при минимум косинуса.

2. 3. Тангенс

Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к косинусу этого числа: тангенс.

Тангенсом угла в а радиан называется тангенс числа а.
Тангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых косинус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении тангенса нет. И так как косинус равен нулю при тангенс, то область определения тангенса, где тангенс.

Область значений тангенса - множество всех действительных чисел.
Период тангенса равен период тангенса . Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные допустимые значения аргумента тангенса), отличающиеся друг от друга на период тангенса, и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию тангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что функция тангенса, то есть число период тангенса является периодом тангенса.
Знак тангенса: тангенс - отношение синуса к косинусу. Значит, он равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при тангенс, где n - любое целое число.

Положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при тангенс положителен, где а - любое целое число.

Отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при период тангенса, где а - любое целое число.

... продолжение

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.