Изучение различных методов решения задач на построение в пространстве

Тип работы: Дипломная работа
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 46 страниц
В избранное:

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . 8

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: 1.

: Теоритические аспекты при обучении геометрии в общеобразовательной школе, подбор основных тем при изучении геометрии . . . 11

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: 1. 1

: Основания стереометрии . . . 11

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: 1. 2

: Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей…16

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: 1. 3

: Расстояния и угла ……. 24

ВВЕДЕНИЕ . . . 8:

1. 4

1. 5

2. 1

2. 2

3. 1

3. 2

Пространственные фигуры и тела ………. . 27

Многогранники 38

Методика преподавания геометрии42

Эффективные методы обучения геометрии . . . 42

Методика «Алгоритм» и «Воображение» . . . 43

Методика решения задач основных глав 10-11 класса на построение в стереометрии с помощью компьютерных программ по геометрии. . 45

Решения / доказательства задач . . . 45

Анализ использования компьютерных программных средств в курсе геометрии. 57

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: Заключение . . . 58

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: Список использованной литературы 61

ВВЕДЕНИЕ . . . 8: Приложение(я) . . . 62

ВВЕДЕНИЕ

В стереометрии плоскость - это фигура, на которой выполняется планиметрия, т. е. применяем аксиомы планиметрии и стереометрии. Можно не помнить всех аксиом планиметрии, надо только понимать, что плоскость - это фигура, в которой есть точки, прямые, отрезки, углы с их основными свойствами, а за ними и другие известные фигуры: треугольники, окружности и т. д. Свойствами этих плоских фигур, теоремами о них, доказанными в планиметрии, мы постоянно будем пользоваться.

Важнейшими объектами стереометрии являются пространственные фигуры, не лежащие ни в какой плоскости: например, пирамиды, призмы, куб и т. д. (рис. 1)

$C:\Users\Админ\Desktop\img4.jpg$

Рисунок 1

Они знакомы нам, но, чтобы изучить их свойства, необходимо сначала рассмотреть взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения должны иметь свое личное отражение в школьном курсе геометрии, так как многие ученики имеют пробелы в этой части, особенно это начинается в 10 - 11 классах. Самые сложные задачи связано со стереометрией.

Целью является изучение различных методов решения задач на построение в пространстве.

В связи с этим в данном исследовании решались такие задачи:

1. описать основы задач;

2. показать применение различных инструментов(линейка, циркуль, стёрка и т. д. ) при решении таких задач;

3. дать отдельную характеристику к каждой задачи;

4. рассмотреть различные методы решения задач, и выбрать из них наиболее понятный и подробный метод.

Объектом исследования - абстрактная геометрия.

При написании данной дипломной работы применялись следующие методы, как: анализировалась учебное пособие для классов с углубленным изучением математики, проводился поиск и отбор хороших учебников, посвящён на тему: «Стереометрия».

В данной работе рассмотрено 5 основных глав из стереометрии, 5 основных программ по геометрии, и методики преподавания геометрии. Так же важно отметить, что разработала две методики при преподавании геометрии. Глава о современной геометрии и теория относительности не рассмотрено. Так как сейчас в школьном курсе убрали эту главу. В основном их обучают в высших учебных заведениях. Во всей главе встречаются одни и те же термины: теорема, аксиома, следствие, лемма и т. д. Остановимся в каждом термине по отдельности.

Аксиома - это правота определенного утверждения, которое не требует доказательств. В основе этих аксиом доказываются все теоремы, которые есть в планиметрии и в стереометрии. В анализе аксиом выяснилось, что в стереометрии существуют всего лишь 5 аксиом. Все аксиомы в основном из первой главы.

Теорема - рассуждения утверждения. То есть рассуждения и есть доказательство утверждения.

Следствие - утверждение, которое само сомой доказывается, с помощью аксиом и теорем. Можно сказать, что это естественный вывод.

Представление о дипломной работе:

Первая глава состоит из основания стереометрии.

Оно состоит из шести тем:

1. Аксиомы стереометрии

2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве

3. Взаимное расположение прямых в пространстве

4. Параллельное проектирование

5. Существование и единственность построения

6. Об аксиомах.

В этой главе основная цель идет объяснить все аксиомы в стереометрии. Но кроме этого встречаются и теоремы. Они такие же легкие и понятные как в планиметрии.

Вторая глава состоит из перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей.

Оно состоит из пяти тем :

1. Перпендикулярность прямой и плоскости.

2. Перпендикулярность плоскостей

3. Параллельные плоскости

4. Параллельность прямой и плоскости

5. Ортогональное проектирование

Третья глава состоит из расстоянии и углов. Это глава состоит из трех тем:

1. Расстояния между фигурами.

2. Пространственная теорема Пифагора.

3. Углы

Четвертая глава состоит из расстоянии и углов. Это глава состоит из шести тем как:

1. Сфера и шар

2. Опорная плоскость

3. Выпуклые фигуры

4. Цилиндры

5. Конусы

6. Тела

Пятая глава состоит из многогранников. Это глава состоит десяти тем как:

1. Многогранники и его элементы

2. Призмы

3. Пирамиды

Аксиома плоскости

Теперь можно рассмотреть актуальность геометрических программ в сфере образовании в школе. На сегодняшний день, школьники со второго класса изучают информатику. Это дает гарантию что, школьники в седьмом классе будут готовы к изучению геометрии в виде компьютерных программ. Потому что для инновации новых технологий надо развивать способность мыслить логически, доказывая разные геометрические доказательства. Так как именно доказательство является сложным заданием для школьников. У всех преподавателей разные представления о доказательстве. Из-за этого школьники не имеют точное представление. В связи с этим, все сдачи экзамены для выпускников проходят в виде теста. Эта система дает о себе знать, что выпускники только запоминают формулы, ответы и т. д. Но в основном именно урок геометрии является важной и основной, для выпускников выбирающегося техническую профессию. Ни один урок не развивает мыслительный аппарат как урок геометрия. Предметы, которые в основном опираются на формулу: химия, физика, алгебра.

Анализируя опыт, опыт отечественных и зарубежных коллег по использованию информационных технологий можно сделать вывод о том, что проблема не в отсутствие применение компьютерных программ, а в отсутствие качественного преподавание предмета геометрии:

-отсутствие для учителей и школьников необходимого количества компьютерной техники;

-отсутствие правильного оформления решения задач;

-отсутствие знаний в области компьютерных программ.

1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ, ПОДБОР ОСНОВНЫХ ТЕМ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ.

Основания стереометрии

Определение : фигуры которые лежит на плоскости, к ним применяют аксиомы и теоремы как из стереометрии, так и из планиметрии.

Аксиома 1 (аксиома плоскости) . Плоскость лежащая в пространстве проходит через каждые три точки, которые лежит в пространстве. (рис. 1) .

Но тут нужно отметить что плоскость существует только в том случае, если в пространстве есть три точки. Если будет существовать по крайней мере четыре точки, которые не лежит в одной плоскости. Соответственно плоскостей будет больше одной. (рис. 2)

$C:\Users\Админ\Desktop\6.jpg$

Рисунок 2

Далее, из этой аксиомы 1следует, плоскость проходит не только через 3 точки, но может и проходит через одну или две.

Аксиомы о прямой

Аксиома 2 (аксиома пересечения плоскостей) . Прямая появившийся при пересечение двух плоскостей, имеют общую точку.

$C:\Users\Админ\Desktop\7.jpg$

Рисунок 3

Если посмотреть на (рис. 3), то плоскости могут не иметь общих точек, тогда в этом случае они между собой параллельны.

Определение. Пересекающимися плоскостями называются те плоскости, которые имеют общую точку.

Аксиома 3( принадлежности прямой плоскости) . Если прямая проходит через две точки данной плоскости, тогда это говорит о том, что она лежит в этой плоскости.

Определение. Если прямая и плоскость имеют единственную общую точку, называются пересекающимися.

Аксиома разбиения пространства плоскостью

Определение. Полупространством, ограниченным плоскостью $\alpha$ , называется фигура со следующими свойствами:

она содержит плоскостьα\alpha, но не совпадает с ней;
если точки А и В принадлежит фигуре, но не плоскостиα\alpha, то отрезок АВ не имеет сα\alphaобщих точек (рис. 4а)
если же точка А принадлежит фигуре, а В нет, то отрезок АВ имеет сα\alpha\

общую точку (рис. 4б)

Аксиома 4 (аксиома разбиения пространства плоскостью) .

Одна плоскость разбивает одно пространство на два полупространства .

$C:\Users\Админ\Pictures\12 (1).jpg$

Рисунок 4 (а, b)

Аксиома расстояния

Аксиома 5 ( аксиома расстояния) . Расстояние двух точек лежащие в пространстве, не зависит от того, лежат ли они в одном и том же плоскости. Если рассмотреть расстояние между точками А и В, то это выражается так: $AB$

Например: $АВ$ = 3см, 2, 5км, 7 или можно записать 7 ед.

Аксиома расстояния дает возможность сравнивать фигуры на разных плоскостях, в основном использовать теоремы о равенстве и подобии треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Способы задания прямых и плоскостей в пространстве

Прямая, заданная двумя точками, плоскость, определяемая тремя точками, плоскости, проходящие через прямую.

Прямая, заданная двумя точками

Теорема 1. Через любые две точки лежащие в пространстве, проходит только одна прямая. (рис. 5)

$C:\Users\Админ\Pictures\33.jpg$

Рисунок 5

Дано: $\alpha$ - плоскость

(А, В) $\epsilon$ $\alpha$

Доказать : (А, В) $\epsilon$ а (в пространстве)

Доказательство: По аксиоме из планиметрии( через две точки проходит плоскость $\alpha$ ) По аксиоме из планиметрии( через две точки проходит прямая а )

Допустим, (А, В) $\epsilon$ а, (А, В) $\epsilon$ b. По аксиоме 3(стереометрия), тогда

(a, b) $\epsilon$ $\alpha$ . Но в плоскости $\alpha$ выполняется планиметрия, из-за этого в плоскости проходит только одна прямая, тогда в пространстве тоже проходит одна прямая.

Определение: Прямые являются пересекающимися, только в том случае если имеют единственную общую точку.

От этого делаем вывод: Имеем два способа задания прямой в пространстве и в плоскости:

двумя точками;
двумя пересекающимися плоскостями;

Теорема 2 . Плоскость проходит через три точки не лежащие на одной прямой.

Дано: $\alpha$ - плоскость

(А, В, С) $\epsilon$ $\alpha$

Доказать : (А, В) $\epsilon$ а (в пространстве), С не лежит на а

Доказательство: По аксиоме из стереометрии (А, В, С) $\epsilon$ $\alpha$

Допустим, (A, B, C) $\epsilon$ $\beta$ $\rightarrow$ $\alpha \cap \beta$ , по аксиоме 2 пересечением двух плоскостей является их общей прямой. Но это противоречит условию теоремы, поэтому через А, В, С проходит лишь одна плоскость.

Плоскости, проходящие через прямую

Теорема 3 . Одна плоскость проходит через прямую и не лежащую на ней точку. (рис. 6)

$C:\Users\Админ\Pictures\33.jpg$

Рисунок 6

Дано: $а$ $\epsilon\ (В, С)$ , А не лежит на а.

(А, В, С) $\epsilon$ $\alpha$

Доказать : $\alpha -$ одна плоскость

Доказательство: По теорема 2. 2 проходит единственная плоскость АВС.

По аксиоме 3, АВС есть искомая плоскость проходящая через прямую а и точку А. В итоге, искомая плоскость единственная.

Теорема 4 . Одна плоскость проходит через две пересекающие прямые

Дано: $а \cap b$

(А, В, С) $\epsilon$ $\alpha$

Доказать : $\alpha -$ одна плоскость

Доказательство: По теорема 2. 2 проходит единственная плоскость АВС.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Классификация взаимного расположения прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые, параллельные прямые.

Определение . Две прямые являются скрещивающимися, если не лежат в одной плоскости. (рис. 7(а, б, в) )

$C:\Users\Админ\Pictures\36.jpg$

Рисунок 7 (а, б, в)

Две прямые могут иметь три исключающие друг друга возможности:

Если две прямые пересекаются, тогда они лежат в одной плоскости. (рис. 7б)
Если две прямые параллельны, тогда они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. (рис. 7а)
Если две прямые не лежат в одной плоскости, тогда они между собой скрещиваются. (рис. 7в)

$C:\Users\Админ\Pictures\37.jpg$

Рисунок 8

Все три случая можно видеть на примере прямых, в этом комнате (рис. ) : например, а скрещивается с b и параллельна с, а b и с - пересекаются. (рис. 8)

Параллельные прямые

Теорема 5. Если точка не лежит на данной прямой, тогда через эту точку можно провести параллельную только одну прямую к данной прямой.

Дано: $а$ - прямая, а $\ \epsilon$ $\alpha$

А не лежит на а.

Доказать : а⎹⎹ b, b $\epsilon$ A

Доказательство:

По теореме 3 через прямую а и точку А проходит плоскость.

Из планиметрии в плоскости существует прямая b ⎸⎸ a, и проходящая через точку А. В плоскости по аксиоме параллельности есть только одна прямая, проходящая через точку А параллельно прямой а, - прямая b.

Теорема доказано.

Лемма 5. (о пересечении параллельных прямых с плоскостью) .

Плоскость пересекает двух параллельных прямых, достаточно чтобы оно пересекало одну прямую.

Теорема 6. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: $а\$ $⎸⎸с$ , b ⎸⎸c

Доказать : а⎹⎹ b

Доказательство: Допустим, а $\cap$ b, тогда это противоречит условию теоремы, так как, либо а или b должен быть параллельным к прямой с. Из этого вытекает что а⎹⎹ b.

Параллельное проектирование

Определение параллельного проектирования, основные свойства параллельного проектирования, изображение разных фигур в параллельной проекции.

Даны плоскость $\alpha$ и прямая а которая пересекает эту плоскость. Через произвольную точку X проводим прямую $а^{ʹ}$ , параллельную прямой а. Естественно, прямая $а^{ʹ}$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Х^{ʹ}$ . $Х^{ʹ}$ - называется проекцией точки Х при проектировании параллельной прямой а. (рис. 9)

$C:\Users\Админ\Pictures\42.jpg$

Рисунок 9

Основные свойства параллельного проектирование

Теорема 7. (о параллельном проектировании) . Если к прямым провести параллельное проектирование, тогда для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

Проекция прямой - прямая, а проекция отрезка - отрезок.
Проекции параллельных прямых могут быть параллельны или совпадать.
Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой

или на параллельных прямых между собой равны.

Дано: $\alpha, \beta$ - плоскости, $\alpha \cap b$

Доказать: 1) прямая $b^{ʹ}$ проекция b, отрезок $A^{ʹ}B^{ʹ}$ проекция AB.

2) bǀǀc проекцией этих прямых только bʹ, или bʹ и сʹ.

3) AB/CD=AʹBʹ/CʹDʹ

Доказательство:

1) a $\cap$ b, (a, b) $\epsilon\beta \rightarrow$ $\beta \cap \alpha$ = bʹ, bʹ будет проекцией прямой b. Если (X $, Y) \epsilon$ $\beta \rightarrow$ (Xʹ, Yʹ) $\epsilon$ $\alpha$ $\rightarrow$ отрезок прямой AB имеет проекцию AʹBʹ.

2) Если bǀǀc, (b, c) $\epsilon\beta,$ l ǀǀ a, l $\cap$ c $\cap b$ , → как доказано выше, проекцией прямой b и c является $b^{ʹ}$ , по которой $\beta \cap \alpha$ .

3) (A, B, C, D) $\epsilon b$ , (Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ) $\epsilon$ bʹ, b:bʹ= $\alpha \cap \beta, \$ ABAʹBʹ- параллелограмм.

По известной теореме планиметрии параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки, то есть AB/CD=AʹBʹ/CʹDʹ.

1. 2 Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение плоскости, перпендикулярной данной прямой. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости. Построение прямой, перпендикулярной данной плоскости. Три взаимно перпендикулярные прямые. О значении перпендикуляра.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикуляр и наклонная

Определение. Прямая является перпендикулярным к плоскости, если оно перпендикулярна к прямой лежащей на этой плоскости.

Теорема 8. (признак перпендикулярности прямой и плоскости) . Прямая является перпендикулярным к плоскости, если оно перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат на этой плоскости. (рис. 10)

$C:\Users\Админ\Pictures\80.jpg$

Рисунок 10

Дано: b $\cap$ c, а перпендикулярна b, a перпендикулярна c.

$\alpha\epsilon$ (b, c)

Доказать : a перпендикулярна $\alpha$

Доказательство: а $\cap \alpha =$ О, возьмем что O $\epsilon d$ , $B_{1}\epsilon$ b, $C_{1}$ $\epsilon$ c, $\rightarrow$ ВО=О $В_{1}$

СO=O $C_{1}$ , O $D_{1}$ =OD, ${\ B}_{1}C_{1}$ =BC, ${\ B}_{1}D_{1}$ =BD.

Теперь возьмем а $\epsilon$ А, соединим AB, AC, AD, A $B_{1}$ , A $C_{1}$ , A $D_{1}$ .

Следовательно, точка А равноудалена от концов D $D_{1}$ , O середина отрезка D $D_{1}$ , то прямая а=(АО) является серединным перпендикуляром к отрезку D $D_{1}$ в плоскости AD $D_{1}$ , т. е. a перпендикулярна d, значит, а перпендикулярна $\alpha.$

Связь между параллельностью прямых и перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 9. (о параллели к перпендикуляру) . Из двух параллельных прямых, если одна перпендикулярна к плоскости, тогда другая тоже перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: aǀǀb, a перпендикулярна $\alpha$ , а $\cap \alpha$ =A

Доказать : b $\cap \alpha$

Доказательство: ( по лемме 3. 1) b $\cap \alpha$ =B, Допустим, М $\in$ а, MA- перпендикулярна $\alpha$ , N $\in$ b, MN - перпендикулярна b, $\rightarrow$ MNǀǀAB $\rightarrow$ AMNB - прямоугольник. Из-за этого AB перпендикулярна a, ⎹AB $⎹$ = ⎹MN⎹=p, MA⎹=⎹MN $⎹$ =h. Теперь через точку B в плоскости $\alpha$ проведем прямус с, что с перпендикулярна к b. Пусть $\varphi$ - угол между с и b.

Допустим, $\varphi \neq$ 90 ${^\circ}$ , Тогда отпустим из точки N перпендикуляр на NC на прямую с. Его длина ⎹NC⎹=h*sin $\varphi$ .

Позже отпустим прямую из точки М к прямой C. По неравенству треугольника $\mathrm{\Delta}$ MNC имеем ⎹\MC⎹ $\leq$ $⎹MN⎹$ +⎹NC⎹=p+h*sin $\varphi$

MA - перпендикуляр к $\alpha$ , МС - наклонная, тогда ⎹MA⎹=h $< ⎹MC⎹\ \ \ \ \ \$

h $< p$ +h*sin $\varphi$ , h $<$ p/(1-sin $\varphi$ ) . Пришли к противоречию. $\ \varphi \neq 90{^\circ}$ , с перпендикулярно к b., b перпендикулярно к $\alpha$ .

Следствие (о параллельности двух перпендикуляров) Две прямые являются параллельным, если они перпендикулярны к одной и той же плоскости.

Дано: а $\cap$ $\alpha = А,$ b $\cap \alpha\$ = B

Доказать : a $ǀǀb$

Доказательство: Через точку А проведем прямую с, параллельную

прямой b. b перпендикулярно к $\alpha\$ и cǀ $ǀ$ b, по теореме 7. 3, с перпендикулярно к плоскости $\alpha$ . Но если через точку А проходят две перпендикулярные прямые а и с к плоскости $\alpha$ , по теореме 7. 1 противоречит. Поэтому а ǀǀ b.