Аралас туындылар

Жоспар
Кіріспе

1 Аралас туындылар туралы теорема
2 Жоғарғы ретті дифференциалдар
3 Екі айнымалылы функция үшін Тейлор формуласы
4 Көп айнымалылы функцияның максимумы және минимумы

Теорема. Үзіліссіз функциясы берілсін және оның үзіліссіз екінші ретті аралас туындылары бар болсын, онда олар өзара тең болады: (16)
Бұл теореманы дәлелдеу өте маңызды, бірақ, өте күрделі. Сондықтан тек дәлелдеу желісін ғана келтіреміз. Мына өрнекті қарастырамыз:
A=[f(x+x,y+y)-f(x+x,y)]-[f(x,y+y)-f(x,y)].
Бұл айырмаға екі рет Лагранж теоремасы қолданылады: алдымен х айнымалысы, сонан кейін у айнымалысы бойынша, сонда:
.
А өрнегіндегі екінші және үшінші қосылғыштардың орындарын ауыстырамыз да, Лагранж теоремасын тағы да алдымен у бойынша, сонан кейін х бойынша қолданамыз:
.
Шекке көшу арқылы теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.
Теореманы жалпылаймыз: аралас туындылардың мәндері біртіндеп дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды:
. (16)
Алдыңғы қарастырылған 1,2-мысалдарда аралас туындылардың тең болатынын көруге болады:

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

§ 6.9 Аралас туындылар туралы теорема

Теорема. Үзіліссіз функциясы берілсін және оның үзіліссіз екінші
ретті аралас туындылары бар болсын, онда олар өзара тең болады:
(16)
Бұл теореманы дәлелдеу өте маңызды, бірақ, өте күрделі. Сондықтан тек
дәлелдеу желісін ғана келтіреміз. Мына өрнекті қарастырамыз:
A=[f(x+(x,y+(y)-f(x+(x,y)]-[f(x,y+( y)-f(x,y)].
Бұл айырмаға екі рет Лагранж теоремасы қолданылады: алдымен х айнымалысы,
сонан кейін у айнымалысы бойынша, сонда:
.
А өрнегіндегі екінші және үшінші қосылғыштардың орындарын ауыстырамыз да,
Лагранж теоремасын тағы да алдымен у бойынша, сонан кейін х бойынша
қолданамыз:
.
Шекке көшу арқылы теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.
Теореманы жалпылаймыз: аралас туындылардың мәндері біртіндеп
дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды:
. (16()
Алдыңғы қарастырылған 1,2-мысалдарда аралас туындылардың тең болатынын
көруге болады:
;;

§ 6.10 Жоғарғы ретті дифференциалдар.

Екі айнымалылы функцияның толық дифференциалын қарастырамыз:
.
Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдың толық дифференциалы екінші ретті
дифференциал деп аталады:
.
Толық дифференциалдың формуласын пайдаланып және функция-лардың
көбейтіндісі деп дифференциалдаймыз:
,

сонымен,
(*)
Егер х, у тәуелсіз айнымалылар болса, онда (*) өрнегіндегі соңғы төрт мүше
нөлге айналады, өйткені dx пен dy –тен алынған туындылар мен
дифференциалдар нөлге тең.
Бірақ, егер z күрделі функция болса, яғни х, у-тер басқа тәуелсіз
айнымалыларға тәуелді, онда екінші ретті дифференциал үшін (*) формуласы
қолданылады.
Біз келешекте екі айнымалылы функцияны ғана қарастырамыз, мұндағы х,
у-тәуелсіз айнымалылар. Сондықтан, екінші ретті дифференциал мына түрде
беріледі:
.
Үшінші ретті дифференциалын табамыз:

;
.
Үшінші ретті дифференциалды мына түрде берейік:
.
Жақшаны ашқандағы дәреже туындының ретін ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.