Кратные интегралы

Дисциплина: Математика, Геометрия
Тип работы: Курсовая работа
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 26 страниц
В избранное:

Курсовая работа

На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Содержание

1 Кратные интегралы

1. 1 Двойной интеграл

1. 2 Тройной интеграл

1. 3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1. 4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2. 1 Криволинейные интегралы

2. 2 Поверхностные интегралы

2. 3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы

1 Кратные интегралы

Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости О ху замкнутую область D, ограниченную линией L . Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей, а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d ₁ , d ₂ , . . . , d _n . Выберем в каждой части точку Р _i .

Пусть в области D задана функция z = f(x, y) . Обозначим через f ( P ₁ ), f ( P ₂ ), …, f ( P _n ) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f ( P _i ) Д S _i :

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D .

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P _i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D , ограниченной линиями x = a, x = b ( a < b ), где ц ₁ ( х ) и ц ₂ ( х ) непрерывны на [ a, b ] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Рис. 1

= (3)

Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V , ограниченная замкнутой поверхностью S . Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z) . Затем разобьем область V на произвольные части Д v _i , считая объем каждой части равным Д v _i , и составим интегральную сумму вида

, (4)

Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек P _i в каждой подобласти этой области , называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V :

. (5)

Тройной интеграл от функции f(x, y, z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (6)

1. 3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными . Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось) .

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО - полярный радиус с и угол ц между МО и полярной осью: М( с, ц ) . Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, с > 0, а полярный угол ц будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным - при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох - с полярной осью (рис. 3) . Тогда x=с cosц, у =сsinц . Отсюда, tg.

Зададим в области D , ограниченной кривыми с=Ц ₁ ( ц ) и с=Ц ₂ ( ц ), где ц _{1 <} ц < ц ₂ , непрерывную функцию z = f(ц, с) (рис. 4) .

Рис. 4

Тогда

(7)

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(с, ц, z) - это полярные координаты с, ц проекции этой точки на плоскость О ху и аппликата данной точки z (рис. 5) .

Рис. 5 Рис. 6

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = с cos ц, y = с sin ц, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), ц - полярным углом между положительной полуосью О х и проекцией точки на плоскость О ху, и и - углом между положительной полуосью оси О z и отрезком OP (рис. 6) . При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = r sin и cos ц, y = r sin и sin ц, z = r cos и. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

, (10)

где F ₁ и F ₂ - функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.

1. 4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S: (11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями

у = 2, у = 5.

Решение.

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями и

где вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Следовательно,

2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x, y) , ограниченной контуром L , проекцией D этой поверхности на плоскость О ху и отрезками, параллельными оси О z и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости О ху:

(12)

3) Площадь части криволинейной поверхности S , заданной уравнением z = f(x, y), ограниченной контуром L:

(13)

где D - проекция S на плоскость Оху.

4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D :

(14)

Пример 2.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки

(x - a) ² + (y - b) ² < 4b ² относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность г(х, у) = 1.

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I ₁ сделаем замену:

при x = a - 2b при x = a + 2b

Для вычисления интеграла I ₂ преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

Тогда

Следовательно,

Моменты инерции фигуры D относительно осей О х и О у :

(15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности г = г (х, у) :

(16)

Пример 3.

Найти массу пластинки D плотности г = ух ³ , если

Решение.

Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности г = г (х, у) :

(17)

Пример 4.

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у ² = ах и

Решение.

Так как пластина однородна, т. е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

Тогда

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:

Соответственно

6) Объем тела V:

(18)

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0) :

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х ² и х + у = 2:

посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

7) Масса тела V плотности г = г (x, y, z) :

(19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

(20)

(21)

где г (х, y, z) - плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

(22)

9) Координаты центра масс тела:

II. Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f , определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Д s _i длиной Д s _i и выберем на каждой из частей точку M _i . Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M _i :

(24)

Если кривую L можно задать параметрически:

x = ц(t), y = ш(t), z = ч(t), t ₀ ≤ t ≤ T,

то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

(25)

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=ц(х), где х ₁ ≤ х ≤ х ₂ , формула (40) преобразуется к виду:

. (26)

Теперь умножим значение функции в точке M _i не на длину i- го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось О х , то есть на разность x _i - x _i- ₁ = Д x _i .

Если существует конечный предел при интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек M _i , то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Если вдоль кривой L определены функции P(M) =P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора, и существуют интегралы

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

x = ц(t), y = ш(t), z = ч(t), б ≤ t ≤ в,

где ц, ш, ч - непрерывно дифференцируемые функции, то

. (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

(29)

где L - замкнутый контур, а D - область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

. (30)

При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и . Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

(31)

где ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) - точка из области D , a C - произвольная постоянная.

Поверхностные интегралы

Рассмотрим некоторую поверхность S , ограниченную контуром L , и разобьем ее на части S ₁ , S ₂ , …, S _п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S _п ) . Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z) . Выберем в каждой части S _i точку

M _i (x _i , y _i , z _i ) и составим интегральную сумму

Если существует конечный предел при этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M _i , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

. (32)

Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = ц(x, y) , вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла:

(33)

где Щ - проекция поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части S ₁ , S ₂ , …, S _п , выберем в каждой части S _i точку M _i (x _i , y _i , z _i ) , и умножим f(M _i ) на площадь D _i проекции части S _i на плоскость О ху. Если существует конечный предел суммы

не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

(34)

Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости О xz и О yz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

и .

Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида :

(35)

Если D, Dґ и Dґґ - проекции поверхности S на координатные плоскости О ху , Oxz и Oyz, то

(36)

... продолжение

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.