Сингулярные интегралы

Введение
§1. Понятие сингулярного интеграла
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке
§3. Приложения в теории рядов Фурь
§4. Сингулярный интеграл Пуассона
Литература

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.
Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.
В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение. Если в точке x будет и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t).
Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .
Если, в частности, , то и .
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E( , h)=E∙[ -h, +h]. Это тоже измеримое множество.

1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. –
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.

Дисциплина: Математика, Геометрия
Тип работы: Курсовая работа
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 24 страниц
В избранное:

Сингулярные интегралы.
Оглавление
Введение ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ...с. 3
§1. Понятие сингулярного интеграла ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... с. 6
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке...с. 11
§3. Приложения в теории рядов Фурье ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...с. 18
§4. Сингулярный интеграл Пуассона ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..с. 23
Литература ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..с. 27

Введение
Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.
Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.
В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение. Если в точке x будет и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t).
Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ0, существует такая непрерывная функция , что .
Если, в частности, , то и .
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h0, положим E(, h)=E∙[-h, +h]. Это тоже измеримое множество.
Предел отношения при h→0 называется плотностью множества E в точке и обозначается через .
Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и . Если существует такое измеримое множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку точкой плотности, что f (x) вдоль E непрерывна в точке , то говорят, что f (x) аппроксимативно непрерывна в точке .
Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если
.
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε0 отвечает такое δ0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается
, (3)
то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна.
Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если .
Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной, если .
Определение. Система функций , , , ..., заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение. Пусть есть ортонормальная система и f (x) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье функции f (x) в системе .
Ряд называется рядом Фурье функции f (x) в системе .

§1. Понятие сингулярного интеграла
Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.
Рассмотрим функцию
. (1)
Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) () можно образовать величину
. (2)
Докажем, что во всякой точке x (0x1), в которой функция f(t) непрерывна, будет
. (3)
Для этого прежде всего отметим, что при
. (4)
Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность
.
Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме
.
Интеграл оценивается следующим образом:
.
В интеграле будет , поэтому

,
где не зависит от n. Аналогично и, следовательно, ,
так что при достаточно больших n будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.
Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x. Но около точки x функция f (t) почти равна f (x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t) на f (x), т. е. он почти равен интегралу

и, в силу (4), почти равен f (x).
Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра.
Определение. Пусть функция (n=1, 2, ...), заданная в квадрате (, ), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если при условии, что .

Определение. Интеграл вида , где есть ядро, называется сингулярным интегралом.
В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции
f (t) в точке x. Так как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f (x) функции f (t) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t), и т. п.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций , , , ... Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет
, (5)
и если при всяком c () будет
, (6)
то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f (t), справедливо равенство
. (7)
Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что
. (8)
Рассмотрим непрерывную функцию f (t), и для наперед заданного разложим [a, b] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t) было меньше, чем ε.
Тогда . (9)
Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε(b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для окажется меньшей, чем ε. Для этих n будет
,
так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).
Пусть f (t) измеримая ограниченная функция .
Возьмем ε0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что , .
Тогда .
Но .
Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε. Значит, для этих n будет
,
что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть f (t) произвольная суммируемая функция.
Возьмем ε0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ0, чтобы для любого измеримого множества с мерой meδ было .
Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было . Это возможно по
Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было ε0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что .
Можно считать, что на множестве функция g(t) равна нулю.
Тогда .
Но .
Интеграл же при достаточно больших n будет меньше ε, и при этих n окажется , что и доказывает теорему.
Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции
f (t) будет .
В частности, коэффициенты Фурье , произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .
Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю.

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке
Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f (t).
Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(axb) и любом δ0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ],
[x+δ, b] и , где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x, справедливо равенство
.
Доказательство. Так как есть ядро, то ,
и достаточно обнаружить, что
.
С этой целью, взяв ε0, найдем такое δ0, что при будет
.
Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x.
Тогда при любом n .
Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε3.
И для этих n окажется , что и требовалось доказать.
Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.
Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что
. (1)
Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b], интеграл
(2)
существует (может быть ... продолжение

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.