Сингулярные интегралы

Дисциплина: Математика, Геометрия
Тип работы: Курсовая работа
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 24 страниц
В избранное:

Сингулярные интегралы.

Оглавление

Введение . . . с. 3

§1. Понятие сингулярного интегралас. 6

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11

§3. Приложения в теории рядов Фурье . . . с. 18

§4. Сингулярный интеграл Пуассона . . . с. 23

Литература . . . с. 27

Введение

Цель работы - познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f ( t ) в точке x . Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой , если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.

Определение. Если в точке x будет и, то точка x называется точкой Лебега функции f ( t ) .

Теорема (Н. Н. Лузин) . Пусть f ( x ) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [ a , b ] . Каково бы ни было д>0, существует такая непрерывная функция, что .

Если, в частности, , то и .

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть дано измеримое множество E . Взяв произвольную точку x и число h >0, положим E (, h ) = E ∙[- h , + h ] . Это тоже измеримое множество.

Предел отношения при h→0 называется плотностью множества E в точке и обозначается через .

Определение. Пусть функция f ( x ) задана на сегменте [ a , b ] и . Если существует такое измеримое множество E , лежащее на [ a , b ] и имеющее точку точкой плотности, что f ( x ) вдоль E непрерывна в точке, то говорят, что f ( x ) аппроксимативно непрерывна в точке .

Определение. Измеримая функция f ( x ) называется функцией с суммируемым квадратом , или функцией, суммируемой с квадратом , если

Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .

Определение. Пусть на сегменте [ a , b ] задана конечная функция f ( x ) . Если всякому е >0 отвечает такое д >0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов, для которой оказывается

, (3)

то говорят, что функция f ( x ) абсолютно непрерывна .

Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .

Определение. Две функции f ( x ) и g(x), заданные на сегменте [ a , b ], называются взаимно ортогональными , если .

Определение. Функция f ( x ), заданная на [ a , b ], называется нормальной , если .

Определение. Система функций, , , …, заданных на сегменте [ a , b ], называется ортонормальной системой , если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.

Определение. Пусть есть ортонормальная система и f ( x ) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье функции f ( x ) в системе .

Ряд называется рядом Фурье функции f ( x ) в системе .

§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.

Рассмотрим функцию

. (1)

Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t . Значит, для всякой суммируемой f ( t ) () можно образовать величину

. (2)

Докажем, что во всякой точке x (0< x <1), в которой функция f(t) непрерывна, будет

. (3)

Для этого прежде всего отметим, что при

. (4)

Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность

Возьмем произвольное и найдем такое, что при будет . Считая, что, представим в форме

Интеграл оценивается следующим образом:

В интеграле будет, поэтому

где не зависит от n . Аналогично и, следовательно, ,

так что при достаточно больших n будет, т. е. стремится к 0 с возрастанием n , что и требовалось доказать.

Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n те значения, которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t , очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x . Но около точки x функция f ( t ) почти равна f ( x ) (т. к. она непрерывна при t=x ) . Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f ( t ) на f ( x ), т. е. он почти равен интегралу

и, в силу (4), почти равен f ( x ) .

Функция, обладающая подобными свойствами, носит название ядра .

Определение. Пусть функция ( n =1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром , если при условии, что .

Определение. Интеграл вида, где есть ядро, называется сингулярным интегралом .

В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции

f ( t ) в точке x . Так как изменение значения функции f ( t ) в одной точке никак не отражается на величине, то необходимо потребовать, чтобы значение f ( x) функции f ( t ) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f ( t ) в точке t=x . Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f ( t ), и т. п.

Теорема 1 (А. Лебег) . Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций, , , … Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет

, (5)

и если при всяком c () будет

, (6)

то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f ( t ) , справедливо равенство

. (7)

Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в [a, b] , то из (6) следует, что

. (8)

Рассмотрим непрерывную функцию f ( t ), и для наперед заданного разложим [a, b] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f ( t ) было меньше, чем е .

Тогда . (9)

Но, так что первая сумма из (9) не больше, чем Kе(b-a) . Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для окажется меньшей, чем е . Для этих n будет

так что (7) доказано для непрерывной функции f(t) .

Пусть f ( t ) измеримая ограниченная функция .

Возьмем е>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g ( t ), что, .

Тогда .

Но .

Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше е . Значит, для этих n будет

что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.

Пусть f ( t ) произвольная суммируемая функция.

Возьмем е >0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое д >0, чтобы для любого измеримого множества с мерой me < д было .

Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g ( t ), чтобы было . Это возможно по

Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f ( x ) . Каково бы ни было е>0, существует измеримая ограниченная функция g ( x ) такая, что .

Можно считать, что на множестве функция g ( t ) равна нулю.

Тогда .

Но .

Интеграл же при достаточно больших n будет меньше е , и при этих n окажется, что и доказывает теорему.

Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана

Теорема 2 (Риман-Лебег) . Для любой суммируемой на [a, b] функции

f ( t ) будет .

В частности, коэффициенты Фурье , произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .

Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f ( t ), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю .

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f ( t ) .

Теорема 1 (А. Лебег) . Если при фиксированном x(a<x<b) и любом д>0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-д],

[x+д, b] и, где H ( x ) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f ( t ) , непрерывная в точке x, справедливо равенство

Доказательство. Так как есть ядро, то ,

и достаточно обнаружить, что

С этой целью, взяв е >0, найдем такое д >0, что при будет

Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x .

Тогда при любом n .

Но каждый из интегралов, при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-д] , [x+д, b] . Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше е/3.

И для этих n окажется, что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон) . Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f ( t ) , обладающая тем свойством, что

. (1)