Приближенные методы решения задач теории неизотермической фильтрации со свободными границами

Тип работы: Диссертация
Бесплатно: Антиплагиат
Объем: 76 страниц
В избранное:

Казахский национальный педагогический университет имени Абая
Казахский национальный университет имени аль-Фараби

УДК 622.276.031:522.5 На правах рукописи

Приближенные методы решения задач теории неизотермической фильтрации со
свободными границами

05.13.18 – математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук

Научные руководители:
доктор физико–математических наук,
профессор Данаев Н.Т.,

доктор физико–математических наук,
профессор Мухамбетжанов С.Т.

Республика Казахстан
Алматы, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Об одном приближенном методе решения задачи неизотермической
фильтрации 6
1.1 О применении метода линеаризации для решения задачи
изотермической фильтрации 6
1.2 Класс точных решений двумерного движения жидкости в пористой
среде 13
1.3 Метод фиктивных областей в задачах двухфазной фильтрации 18
1.4 Обобщенная разрешимость краевых задач нестационарной нелинейной
фильтрации в двухслойном пласте 28
1.5 Исследование регулярной задачи 37
2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
40
2.1 Численные решения задачи фильтрации вязко-пластической жидкости
в трехслойном пласте потоковым вариантом метода прогонки
40
3 ЧИСЛЕННОЕ моделирование задач теории фильтрации и создание
комплекса программ по прогнозированию разработки нефтегазовых
месторождений
47
3.1 Определение температуры в задаче теории неизотермической
фильтрации со свободными границами 47
3.1.1 Вывод математической модели Маскета – Леверетта 48
3.1.2 Построение метода решения 51
3.1.3 Программный комплекс расчета основных показателей нефтегазовых
месторождений 53
3.1.4 Структура и информационное обеспечение комплекса программ 53
3.2 Обоснование пригодности математической модели и исследование
численных результатов расчета 56
3.3 Применение метода локальной коллокации для решения задачи
теории фильтрации 59
3.4 Метод ортогональных проекций 71
3.5 Коллокации в подоблостях и в точках 71
3.6 О применении метода слабой аппроксимации при идентификации в
целом нелинейного уравнения теплопроводности
73
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 81
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 82
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Результаты численных расчетов 88

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика работы. Диссертационная работа посвящена
разработке и исследованию методов математического и компьютерного
моделирования процесса фильтрации жидкости в пористой среде. В работе
обоснованы различные приближенные методы для решения задач теории
неизотермической фильтрации со свободными границами, обоснованы
вычислительные алгоритмы и созданы пакеты прикладных программ для анализа,
контроля и прогноза технологических показателей разработки нефтегазовых
месторождений.
Актуальность темы исследования. Методы математического моделирования
сложных фильтрационных процессов в нефтяных пластах развиваются в настоящее
время в двух направлениях – создание строгих моделей, наиболее полно
учитывающих законы фильтрации многофазных жидкостей в пористых средах, и
создание инженерных (полуинженерных) моделей по упрощенным схемам
фильтрации. Первое направление приводит к постановкам сложных
пространственных задач многофазной (многокомпонентной) фильтрации в
нефтяных пластах, которые затем реализуется численными методами. К этому же
направлению следует отнести методы решения модельных задач теории
фильтрации применительно к нефтяным пластам. Математические модели
указанного направления предназначены, в первую очередь, для детального
исследования механизмов вытеснения и очень полезны для теоретического
анализа новых технологий. В то же время моделирование реальных процессов
разработки с применением строгих постановок математических задач сопряжено
со значительными затратами машинного времени и не всегда используются в
задачах проектирования и анализа, где требуется выполнение многовариантных
расчетов. Анализ работ [1–3; 6–14] позволяет сделать вывод о том, что,
несмотря на определенные достигнутые успехи по разработке, множество
математических моделей, методов, алгоритмов и программных средств по мере
их подготовленности вошли в различные математические и информационные
обеспечения АСУ, АСУ ТП и САПР разработки нефтяных и газовых месторождений.

Целью исследования является разработка приближенных методов решения
задач теории неизотермической фильтрации, исследование задач со свободными
границами теории фильтрации и разработка комплекса программ для анализа,
контроля и прогноза технологических показателей нефтегазовых месторождений.
Задачи исследования:
1. Определить разрешимость математической модели неизотермической
фильтрации. Получить скорости сходимости линеаризованной задачи
неизотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей к решению
исходной задачи.
2. Обосновать метод фиктивных областей для решения задач теории
фильтрации.
3. Разработать комплекс программ для оценки изменения основных
технологических показателей месторождения.
Объект исследования. В данной работе объектами исследования являются
приближенные методы решения задач теории фильтрации со свободными границами
и разработка комплекса программ ИСАР.
Предмет исследования. Обоснование приближенных методов решения задач
теории фильтрации со свободными границами и создание комплекса программ
являются предметом исследования диссертационной работы.
Методы исследования. Для рассматриваемых задач теории фильтрации общим
является современные функциональные методы решения задач со свободными
границами теории фильтрации составного типа, обоснование метода фиктивных
областей для решения многофазных жидкостей в пористой среде. На основе
приближенных методов решения задач теории фильтрации со свободными
границами создание пакета прикладных программ.
Научная новизна исследования:
– впервые исследована приближенные методы объективного анализа
распространения температурных полей, установлены области и объекты
наиболее целесообразного применения;
– разработан приближенный метод решения задачи неизотермической
фильтрации;
– для решения задач теории фильтрации обоснован метод фиктивных областей
(МФО);
– впервые всесторонне исследованы несколько методов вариационного и
динамического согласования полей давления, температуры и насыщенности с
целью повышения точности прогноза технологических показателей
месторождения;
– впервые проведена численно-экспериментальная оценка точности выполнения
различных приближений дифференциальных уравнений в частных производных
со свободными границами;
– разработан комплекс программ.
Положения, выносимые на защиту:
- приближенные методы решения задачи неизотермической фильтрации;
- обоснование метода фиктивных областей (МФО) для решения двухфазной
фильтрации жидкости в пористой среде;
- решения прямых и полуобратных задач теории фильтрации.
Теоретическая и практическая значимость исследования. Разработанные
приближенные методы нашли применение при решении ряда задач разработки
нефтегазовых месторождений западного региона Республики Казахстан, а также
по планам научно – исследовательских работ (НИР) Министерства образования и
науки (МОН) РК.
Результаты расчетов и программы ЭВМ являются базовыми элементами в блоке
математических моделей ИСАР. Часть результатов диссертации использовались
автором при чтении лекций в Атырауском институте нефти и газа.
Источниками исследования в данной работе являются задачи теории
фильтрации со свободными границами и необходимость создания вычислительных
алгоритмов.
Апробация работы. Полученные результаты докладывались на:
-городском семинаре Обратные задачи естествознания под руководством
профессоров С.И. Кабанихина, А.С. Сакабекова и М.А. Бектемесова (г.Алматы,
Казахстанско-Британский технический университет, 2005-2006гг.);
- семинаре Вычислительные и информационные технологии под руководством
академика НИА РК, профессора Н.Т. Данаева (г.Алматы, КазНУ имени аль-
Фараби, 2002 – 2006гг.);
- семинаре лаборатории дифференциальных уравнений ИМ МОН РК под
руководством профессора Д.С. Джумабаева;
- V-ой международной Казахстанско-Российской научно-практической
конференции Математическое моделирование научно-технологических и
экологических проблем нефтегазодобывающей промышленности, 2005г.;
- международной конференции “Inverse Problems: Modeling and Simulation”
held on June 07-12, 2004 at Fethiye, TURKEY;
- международной научно-теоретической конференции Роль физико –
математических наук в современном образовательном пространстве, Атырау, 26-
27 мая 2005г.
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 8 работ, в списке
основных научных работ, представленных к защите, содержится 8 названий. В
совместной работе научному руководителю принадлежит постановка задачи, а
автору принадлежит исследование и доказательство результатов. В совместных
работах вклад каждого автора одинаков.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех
разделов, заключения, списка использованных источников из 90 наименований,
приложений из 17 рисунков и 7 таблицы.

1 Об одном приближенном методе решения задачи
неизотермической фильтрации

1.1 О применении метода линеаризации для решения задачи
изотермической фильтрации
Раздел посвящен дальнейшему исследованию одной задачи неизотермической
фильтрации. Основным моментом является приведение задачи неизотермической
фильтрации к интегральному уравнению с помощью метода граничных
интегральных уравнений.
Известно [1-2], что как и в случае фильтрации однофазных жидкостей,
движение каждой из фаз подчиняется обобщенному закону Дарси с коэффициентом
фильтрации, зависящим только от свойств пористой среды и насыщенности
= этой среды смачивающей жидкостью (например, водой). Поэтому с
учетом диффузионных процессов исходные фильтрационные задачи приводятся к
интегрированию сложной квазилинейной системы уравнений, состоящей из
эллиптических (уравнения движения) и параболического (уравнение диффузии),
уравнений, последнее из которых, как правило, вырождается на искомом
решении. В предположениях, принятых в [1], уравнения баланса энергии и
модели Маскета – Лаверетта приводятся к следующей уравнений:

(1.1.1)

(1.1.2)

(1.1.3)

при ; при , при

Последнее условие определяет функцию при , где -
температура неоднородной жидкости, - коэффициент теплопроводности,
- насыщенность смачивающей фазы; - средняя скорость фильтрации
смеси, - фазовые скорости фильтрации. Кроме того, в рассматриваемой
модели остаточные насыщенности непостоянны , . Указанные свойства
, приводят к следующим условиям для насыщенности , смачивающей
фазы:

,

где .
- тензор, связанный проницаемости среды,

, ; .
Пусть - ограниченная область, граница которой разбивается на
несколько компонент в зависимости от вида граничных условий:

(1.1.4)

Здесь - единичный вектор внешней нормали к , участки и
моделируют участки нагнетания, отбора на контакта с однородной
неподвижной жидкостью, соответствует контакту с окружающими
непроницаемыми породами. К краевым условиям (1.1.4) необходимо добавить
начальные условия

(1.1.5)

Ниже считается, что закон сохранения массы смеси в области
выполненным

, если ( (1.1.6)

А также данные задачи удовлетворяют следующим условиям:

А1) - область в

пространстве переменных , причем

, ;

В1) при ; ; .

С1) функции заданны в и вместе с обладают свойствами:
; ,

, при и при .
Продолжим величины и на внешность отрезков [0,1], и
крайними значениями и полученные функции и подставим в
коэффициенты (1.1.1) - (1.1.3). Кроме того заменим в них на и
на , где - стекловское усреднение по .
Выберем настолько малым, чтобы . Соединим последовательно
отрезками прямых на плоскости точки ,
и обозначим через построенную кусочно – линейную по s
функцию. Продолжив её линейно на внешность , и заменив на
получим взаимно однозначную связь и : , причем по
построению

при .

Полученные в результате исправленные уравнения (4.39)-(1.1.3) вместе
с начальное – краевыми условиями (1.1.4), (1.1.4) будем называть
регуляризованной задачей (1.1.1)-(1.1.4), следуя результатам работ
[1;2].

Для решения задачи (1.1.1)-(1.1.4) предлагаются следующие приближенные
методы.
Метод 1.

(1.1.7)
(1.1.8)

(1.1.9)

(1.1.10)
(1.1.11)

Здесь

.

Метод 2. Разобьем интервал времени [0,T] на N частей и для каждого
временного слоя будем решать следующую начально – краевую задачу
относительно функций

.
(1.1.12)
(1.1.13)
(1.1.14)
(1.1.15)
(1.1.16)
, где (1.1.17)

В обоих методах сначала решается линейная эллиптическая задача (1.1.7) -
(1.1.11) [соответственно (1.1.14)-(1.1.15)], относительно при
заданном значении насыщенности и температуры. Определенное на (i+1) шаге
приведенное давление подставляется затем в коэффициенты параболических
уравнений для определения решаются соответствующие линейные задачи.
Найденные при этом функций используются для нахождения (либо,
соответственно,) на следующем временном слое и так далее.
Определение. Ограниченные измеримые в функции называются
обобщенным решением задачи 1 (соответственно задачи 2), если:

I. (1.1.18)
II. на выполняются условия (1.1.8), (1.1.9), (1.1.11);

III. для произвольных допустимых функций, таких, что

и при почти всех выполняются равенства:

(1.1.19)

(1.1.20)

В дальнейшем будем предполагать, что

(1.1.21)

Далее основное внимание уделяется представлению решений задачи 1 и 2 с
помощью метода граничных интегральных уравнений. Рассмотрим особенности
использования метода граничных элементов (МГЭ) для решения нестационарных
задач на примере задачи нестационарной теплопроводности в однородной
трехмерной области , ограниченной кусочно - гладкой поверхностью
. Пусть функция , описывающая изменение по времени
температуры среды в точке удовлетворяет уравнению вида:

, (1.1.22)

где - объемная теплоемкость среды; - коэффициент
теплопроводности среды;
- объемная мощность внутренних источников энерговыделения. Кроме
того, заданы начальное условие в момент времени , принимаемый за
начальный, и граничные условия:

, ;
(1.1.23)
, ,

на участках и поверхности , где , и -
неизвестные функции времени и положения на поверхности, а
проекция градиента температуры на направление единичного вектора
внешней нормали к поверхности .
Задачу (1.1.22), (1.1.23) можно свести к граничному интегральному
уравнению (ГИУ)*.

, (1.1.24)

где . Если промежуток времени, в течение которого рассматривается
процесс нестационарной теплопроводности, разбить на интервалы и в
пределах каждого - го интервала принять функции , и
не зависящими от времени, заменив их на , и
соответственно, то вместо (1.1.24) получим ГИУ:

. (1.1.25)

Для численного решения ГИУ (1.1.25) при помощи МГЭ поверхность
разобьем на граничные элементы (ГЭ) с общим числом граничных узлов
, а область - на конечные элементы с общим числом
внутренних узлов . Тогда (1.1.25) можно свести к матричному
уравнению:

, (1.1.26)

где
и - матрицы – столбцы размера с элементами и
соответственно;
и - матрицы порядка ;
- матрица – столбец размера , элементами которой являются
известные значения температур в граничных и внутренних узлах в момент
времени в начале - го интервала (при эти значения
соответствуют начальному распределению температуры); - матрица
размера с элементами

,
где
- функция формы, соответствующая внутреннему или граничному узлу с
номером и использованная при аппроксимации функции , -
матрица – столбец размера , элементы которой

отражают влияние внутренних источников энерговыделения на значения

и , .

Значения элементов матриц , и зависят, как это
следует из (1.1.25), от значения , конфигурации области ,
расположения граничных и внутренних узлов, а также от способа аппроксимации
функций , в пределах каждого ГЭ и функции в пределах
каждого конечного элемента. При элементы этих матриц не будут
зависеть от номера интервала, так что нижний индекс в их обозначениях
может быть опущен. Как и в случае решения уравнения Пуассона интегралы,
входящие в выражения диагональных элементов и матриц и
, являются несобственными. В малой окрестности - го узла ГЭ
можно заменить плоским участком и вычислить вклад в элемент
аналитически, а для преодоления трудностей, возникающих при вычислении
, рассмотрим случай, когда

, и .

Тогда температура в области и на ее поверхности будет неизменной во
времени и равной , а матрицы и станут нулевыми. Тогда из
(1.1.26) получим, причем все элементы матриц и равны
. Отсюда следует, что
,

для любого - го интервала.

1.2 Класс точных решений двумерного движения жидкости в пористой среде

Рассмотрен класс точных решений двумерного движения несжимаемой жидкости в
пористой среде. С помощью новых переменных получена система уравнений типа
Эйлера, что позволило получить точное решение. Считается, что часть границы
является свободной.

Подраздел посвящен получению класса точных решений двумерного движения
несжимаемой жидкости в пористой среде. Основу математической модели
составляют уравнений неразрывности, движения двухфазной смеси с общим
давлением. При получении точного решения использован стационарный случай.
Полученные результаты легко распространяются также для эволюционных
уравнений. В работе [11] в одномерном случае доказаны теоремы существования
и единственности первой начально – краевой задачи в малом по начальным
данным. Для определения класса точных решений развивается метод,
предложенный в [12]. Полученный результат может быть применен при
составлении эффективных вычислительных алгоритмов.

1.Вывод уравнений. В настоящем пункте рассматривается вывод
уравнений двумерного изотермического движения двухфазной смеси вязких
несжимаемых жидкостей с общим давлением (согласно гипотезе Х.А.
Рахматуллина [3]) и в отсутствие фазовых переходов. Тогда уравнения
неразрывности и импульса для каждой из фаз (i=1,2) имеют вид:

(1.2.1)
В системе уравнений (1.2.1) -скорость соответствующей фазы; -
приведенная плотность, связанная с истинной плотностью и объемной
концентрацией соотношением . Условие (-
водонасыщенность, - нефтенасыщенность) является следствием
определения . Для тензора напряжений фазы принимается аналог
гипотезы Стокса: , где - общее давление для фаз, коэффициент
динамической вязкости фазы.
Функции - определяют силы и имеют вид: - коэффициент
взаимодействия фаз (заданная функция концентраций [3]), - задано.
Условие - приводит к замкнутой системе уравнений относительно искомых
функций :

(1.2.2)
,

Выражая производные от скорости из первого уравнения (1.2.2) и
подставляя во второе уравнение, получим:

(1.2.3)

В (1.2.3) считая, что динамические вязкости фаз малыми и сложив два
уравнения, исключим функций.
2. Постановка задачи. Рассматривается плоское установившееся течение
однородной жидкости в пористой среде в области , имеющий вид плоского
канала с одной криволинейной стенкой . Для определенности будем
считать, что жидкость втекает в через участок и вытекает через
. Боковые стенки и считаем непроницаемыми для жидкости.
Пусть - длина канала, – ширина входа канала, т.е. длина отрезка
; - уравнение границы . Такое движение жидкости в пористой
среде соответствует вытесняющему агенту от нагнетательной скважины до
добывающей скважине. При указанных выше предположениях уравнение (1.2.3) в
стационарном случае приводится следующему виду:

(1.2.4)

где - приведенная скорость. Тогда, исходя из результатов работы [2] с
помощью замены преобразуем (1.2.4) следующим образом:

(1.2.5)

В силу условий непроницаемости функция на и , а функция s
на удовлетворяют условиям:

(1.2.6)

Таким образом, получена задача для уравнения типа Эйлера. На будем
считать известным значение r, т.к. на нагнетательной скважине задается
расход. Для определения единственного решения системы (1.2.5) необходимо
еще задать значения на и . Указанные значения не
задается, а определяется из условия существования точного решения системы
(1.2.5). С учетом краевых условий (1.2.6) можно положить где -
некоторая функция, определенная на промежутке [0, 1], удовлетворяющая
условиям . Всюду ниже считается, что - является линейной
функцией. Таким образом задача сведена к решений уравнений (1.2.4), причем
в области течения фильтрационного канала выполняется условие:

(1.2.7)

Переходя параметрической форме определения отрезка , имеем:
x=0, y=t, где - параметр. Подставляя (1.2.7) во второе уравнение
(1.2.5) находим, что линии - являются его характеристиками, а решение
этого уравнения имеет вид:

(1.2.8)

где - заданное значение на . Подставляя далее (1.2.7) и
(1.2.8) в первое уравнение (1.2.5), получаем для определения функций
и уравнение:

(1.2.9)

Уравнение (1.2.9) будет рассматриваться в двух случаях: и когда
, соответственно. В первом случае . Последнее условие
предполагает выполнение y=0 в уравнений (1.2.9). При уравнение
(1.2.9) можно рассматривать как систему двух уравнений

(1.2.10)

где - некоторая функция. Второе уравнение в (1.2.10) параметрической
форме можно представить:

Это уравнение может выполняться только в случае, если и ,
(1.2.11)

где - некоторые постоянные. При выполнении этих условий из первого
уравнения (1.2.10) и (1.2.11) легко получаем соотношение, при котором
выполняется первое уравнение из (1.2.10). Далее, интегрируя второе
уравнение из (1.2.10), записанное в параметрической форме находим, что

(1.2.12)

Здесь и - произвольные постоянные. Таким образом, в первом
случае точные решения системы (1.2.5) существуют, если только
удовлетворяет (1.2.11), а имеет вид (1.2.12). Уравнение (1.2.11)
легко преобразовать более простому виду. А именно, сначала
дифференцированием (1.2.11) получаем: , откуда интегрированием
приходим к уравнению:
(1.2.13)

где С – произвольная постоянная. Во втором случае, интегрируя (1.2.9),
находим:

Полагая , приходим к аналогичному уравнению:

(1.2.14)

Полученные уравнения (1.2.13) и (1.2.14) хорошо изучены. Исходя из
уравнений (1.2.13) и (1.2.14) получим точные решения системы (1.2.5) в
первом случае, удовлетворяющих условию (1.2.7):

, . (1.2.15)

Во втором случае точные решения имеют вид:

, (1.2.16)

Таким образом, получены следующие утверждения:
Теорема 1. Пусть функция является решением уравнения (1.2.13),
где С – произвольная постоянная, причем 0 на отрезке , ,
. Тогда функции (1.2.15) при любой постоянной являются решением
системы уравнений (1.2.5).
Теорема 2. Пусть функция является решением уравнения (1.2.14),
где С – произвольная постоянная, причем 0 на отрезке , .
Тогда функции (1.2.16) при любой постоянной являются решением
системы уравнений (1.2.5).
Используя эти теоремы нетрудно найти решения исходной системы
(1.2.4). В первом случае из (1.2.15)) легко получаем:

(1.2.17)

где - некоторая постоянная. Для определения функций водонасыщенности
воспользуемся третьим уравнением в (1.2.5) и в результате получим следующее
представление:

(1.2.18)

Теорема 3. При выполнении условий теорем 1 и 2 для решения исходной системы
имеют место представления (1.2.17)) и (1.2.18)).
Третье соотношение из (1.2.2) позволяет определить функций
нефтенасыщенности .
Возникает вопрос, каким образом уравнения (1.2.4) определяют искомые
функций в нестационарном случае? В таком случае сначала надо провести
дискретизацию по времени в системе уравнений (1.2.2), затем по
предложенному методу в каждом временном слое определяются искомые функции:
s, -скорость соответствующей фазы и давление p. Существует второй
подход, а именно, применение метода слабой аппроксимации и в каждом
временном случае решать одномерные по пространственным переменным задачи
относительно искомых функций. Тогда рассматриваемая задача расщепляется на
одномерную и двумерную задачи. А относительно двумерной задачи по
пространственным переменным можно применить выше предложенный метод, затем
следует доказать сходимость расщепленной задачи к исходной задаче.
Замечание 1. Исходя из результатов работы [11] с помощью уравнения
(1.2.3) можно получить задачу относительно насыщенности и скорости, причем
вычитанием два уравнения можно исключить давление.
Тогда в (1.2.4) вместо уравнения несжимаемости добавляются первое и третье
уравнения из (1.2.2). В таком случае применим выше предложенный метод и
имеет место утверждения, сформулированные через теоремы 1 и 2.
Замечание 2. Выше считалась, что функция - является
линейной функцией. Если функция - является неизвестной функцией, то
для определения единственного решения системы (1.2.5) необходимо еще задать
значения на и . Существует другой метод, а именно,
применение вариационных методов для определения функций ,
удовлетворяющая условиям .

1.3 Метод фиктивных областей в задачах двухфазной фильтрации
В настоящем подразделе рассматривается обоснование МФО для решения
двухфазной фильтрации жидкости в пористой среде в многофазных областях,
даются оценки погрешности для приближенных решений. Основное внимание
уделено построению вариационно-разностной схемы (ВРС) и ее исследованию.
На сегодняшний день существует большое количество работ по применению
метода фиктивных областей (МФО) в задачах гидродинамики, достаточно
сослаться на работу [1], в которой имеется обширная библиография. В
настоящей работе рассматривается метод приближенного решения краевых задач
двухфазной фильтрации жидкости в пористой среде в многофазных областях,
получены оценки погрешности для приближенных решений. Основной целью
является построение вариационно-разностной схемы (ВРС) и ее дальнейшие
исследование.
Рассматривается движение двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости в
пористой среде с учетом капиллярных сил. Тогда простейшая модель имеет
следующий вид:

, (1.3.1)
, (1.3.2)
, , (1.3.3)

Следуя результатам работы [1], вводится приведенное давление вида

. (1.3.4)

Тогда в двумерном случае, исходя из (1.3.4) и введением суммарной скорости
относительно давления, получим

,
(1.3.5)

причем -скорость фильтрации жидкости с компонентами ,
подчиняется закону Дарси и

, ,

1. Постановка задачи. Пусть -многосвязная область, в которой
рассматривается система (1.3.1)-(1.3.3). Обозначим через -внешнюю
границу , а через ,,...,-внутренние границы. Области
ограниченные ,,...,-целики нефти в , обозначим
через ,,...,. Пусть, далее, -направление внешней
нормали для области . Для (1.3.5) рассмотрим следующую краевую
задачу:

, , , (1.3.6)

где -проекция вектора скорости на направление внешней нормали, -
заданная на функция, причем

,
(1.3.7)

т. е. интеграл в левой части (1.3.7) равен расходу жидкости через границу
. Одним из распространенных приемов решения задачи (1.3.5),(1.3.6)
состоит в сведении ее к решению задачи для эллиптического уравнения
относительно функции тока. Как обычно, функцию тока введем с помощью
равенств

, . (1.3.8)

Тогда из (1.3.5) путем перекрестного дифференцирования функцию и
учитывая (1.3.8), получим уравнение [1]:

(1.3.9)

Из (1.3.6) и (1.3.7) имеем граничные условия:

, , (1.3.10)

где -производная по направлению касательной к границе. На для
функции поставим следующее граничное условие:

. (1.3.11)

Считаем, что на выбрано направление обхода и начало отсчета длины
дуги. На границах ,,..., граничные условия можно поставить
так:

, ,
(1.3.12)

где -неизвестные постоянные. Если функция найдена, то из
(1.3.5) можно найти , используя значение . Ввиду
неодносвязности области , для того, чтобы функция была
однозначной, необходимо потребовать выполнения условий:

, . (1.3.13)

Эти условия позволяют определить постоянные ,...,. Из (1.3.5),
(1.3.8) и (1.3.13) следует, что

, . (1.3.14)

Таким образом, для нахождения функции следует решить краевую задачу
(1.3.9), (1.3.11), (1.3.12), (1.3.14). Для краткости назовем эту задачу
задачей I. Как и в [2], решение задачи I будем искать в виде:

,

где -решение краевой задачи

, ,, ,
а каждая из функций есть решение задачи

, , ,
где

Исходя из результатов [10], при , и достаточной гладкости
,,..., все перечисленные краевые задачи однозначно разрешимы
, причем ,..., являются линейно независимыми. Поэтому, найдя
функции ,..., из условий (1.3.14) однозначно определим постоянные
,...,. Таким образом, при указанных выше предложениях задача I
однозначно разрешима в .

2. Применение МФО. МФО позволяет построить одну обычную краевую задачу в
односвязной области, аппроксимирующую задачу I. Ниже доказывается, как
построить такую задачу и оценить погрешность аппроксимации. Обозначим
через односвязную область, ограниченную кривой . Рассмотрим
в области следующую задачу с разрывными коэффициентами:
, (1.3.15)

, ,

, (1.3.16)
, , (1.3.17)
где символы означает скачок функции на кривой . Краевую задачу
(1.3.15)-(1.3.17) будем называть для краткости задачей II.

Определение 1. Решением задачи II называется функция ,
удовлетворяющая следующему интегральному тождеству:

, (1.3.18)

где -произвольная функция из .

Теорема 1. Решение задачи II при сходится к решению задачи I и для
погрешности справедливы оценки:

, (1.3.19)
(1.3.19’)
где -величина, зависящая от исходных данных задачи I, и -
константы не зависящие от .

Доказательство. Умножим уравнение (1.3.9) на функцию , проинтегрируем
по области . После несложных преобразований

. (1.3.20)

Продолжим функцию внутрь областей следующим образом: в
, . Вычтем из тождества (1.3.18) тождество (1.3.20), получим:

, (1.3.21)

где . В (1.3.21) положим . Тогда в силу (1.3.14) имеет место
равенство:

(1.3.22)

где , ,

В каждой из областей имеет место неравенство:

, (1.3.23)

являющееся следствием неравенства Пуанкаре

(1.3.24)

и неравенства .

Подставляя правую часть равенства (1.3.22) в (1.3.21) и применяя
неравенство Коши, получим

,

и, далее

.

Применяя для оценки последнего сомножителя неравенство (1.3.23), получим

.

Отсюда, после сокращения на общий множитель, следует оценка

(1.3.25)

Рассмотрим другой случай, т.е. положив в тождество (1.3.21) вместо функций
постоянную , равной в каждой из . Для таких тождество
(1.3.21) примет вид:

(1.3.26)

Построим функцию , обладающую следующими свойствами: в и

(1.3.27)

Применяя неравенство (1.3.24) для оценки правой части (1.3.27), получим

.

Перепишем тождество (1.3.26) следующим образом:

.
С учетом и в областях справедливость равенства
положим в последнем равенстве вместо функций разность . Тогда

.

Отсюда, как нетрудно понять, следует неравенство

.

Далее, в силу неравенства треугольника и последнего неравенства имеем

. (1.3.28)

Окончательно, из последнего неравенства, а также из (1.3.25), (1.3.28)
следует утверждение теоремы 1.
3. Вариационно-разностная схема (ВРС) для решения задач двухфазной
фильтрации жидкости в многосвязных областях.
Зададимся положительным параметром , который будем называть шагом
сетки. По области построим сеточную область следующим образом
[4]: -граница, -ломанная, длина звеньев которой удовлетворяет
условиям , где - не зависит от . Расстояние по нормали от
до не превосходит , где и не зависит от . Между
точками и с помощью нормалей к устанавливается взаимно
однозначное соответствие. Далее, для каждой из областей построим
сеточные области . Пусть при этом границы областей связаны
с границами так же, как связана с . Триангуляция области
производится следующим образом:
1) треугольники триангуляции имели площади, лежащие в пределах , где
и не зависят от ;
2) узлы треугольников триангуляции лежали в пределах , где не
зависит от ;
3) триангуляция на расстоянии от и ,,..., была
регулярной.
Области , , триангулируем так, чтобы для триангуляции выполнялись
свойства 1) и 2) и чтобы триангуляции областей были очевидным
образом согласованы с триангуляцией области . Таким образом, построена
триангуляция области . Как обычно, узлами сетки назовем вершины
треугольников триангуляции. Введем обозначения: , .
ВРС ниже будет рассматриваться относительно задачи I, а также ВРС будем
строить на основе кусочно-линейных восполнений.
-конечномерное подпространство из непрерывных в , линейных
над треугольниками триангуляции функций. - подпространство функций,
равных нулю на .
Определение 2. Приближенным решением задачи I назовем функцию ,
совпадающую с на и удовлетворяющую интегральному тождеству

, (1.3.29)

где -произвольная функция из и в .
Определение 3. Решением задачи I назовем функцию , удовлетворяющую
следующему интегральному тождеству:

, (1.3.30)

при произвольной .
Функцию - решение задачи I- продолжим внутрь так: в .
Определим в функцию следующим образом:

1) ;
2) в ;
3) во всех узлах, лежащих внутри области . Тогда

вычитая из тождества (1.3.29) тождество (1.3.30), получим:

(1.3.31)

Введем обозначение и в (1.3.31) положим :

(1.3.32)

Для произвольной функции справедлива оценка

(1.3.33)

где и не зависят от . Применение неравенства Коши с
в (1.3.14) дает:

где .
С другой стороны

.

Используя известное неравенство из [4]:

, (1.3.34)

а также при в , :

(1.3.35)

Тогда в силу (1.3.34) и (1.3.35) получим

.

Из последнего видно, что максимальная скорость сходимости достигается при
сформулируем окончательный результат:
Теорема 2. Приближенное решение задачи I, построение вариационно-разностным
методом, сходится к точному решению задачи I и имеет место оценка:

,

а если , то максимальная скорость сходимости достигается при и
имеет место оценка:

.

1.4 Обобщенная разрешимость краевых задач нестационарной нелинейной
фильтрации в двухслойном пласте
Рассмотрим нелинейную задачу, связанную с разработкой хоршопроницаемого
пласта, гирдродинамически взаимодействующего с соседними вышележащим
слабопроницаемым слоем. Отбор жидкости осуществляется из хорошопроницаемого
пласта.
За основу математической модели фильтрации взята модель Хантуша [4]. В
этом случае процесс фильтрации в двухслойном пласте описывается в
безразмерных переменных следующей системой:

(1. 4.1)
Здесь - искомое функции (поля давлений);

- заданные функции.
Функции и в случае фильтрации с предельным градиентом
давления удовлетворяют дополнительным условиям
при при
При исследовании задачи (1.4.1) удобное пользоваться следующей
эквивалентной формулировкой:
Пусть,

Требуется найти функцию в области удовлетворяющую уравнению
(1.4.2)
с начальными условиями
(1.4.3)
и граничными условиями
(1.4.4)
при (1.4.5)
где

Предполагается, что функции и измеримы по и
непрерывны по и
(1.4.6)
Кроме того, существуют такие и что при и
(1.4.7)
Заметим, что условия (1.4.6) и (1.4.7) означают, что скорость
фильтрации- неубывающая функция от , растущая на бесконечности как
линейная [41].
Определим, пространство как совокупность всех функций, получаемых
в результате замыкание множества бесконечно дифференцируемых финитных в
функций в норме

Отметим, что по построению пространство являются сепарабельным
банаховым пространством. Кроме того, введем в рассмотрение следующие
пространства:
-гильбертово пространство со скалярным произведением

и нормой

-пространство, сопряженное с , полученное пополнением
пространства в норме

Нетрудно видеть, что
Пусть -пространство функций таких что
и
Определение 1.4.1. Функцию назовем обобщенным решением задачи
(1.4.2)-(1.4.5), если для любой функции справедливо следующее
интегральное тождество:

(1.4.8)
Рассмотрим оператор определяемый соотношением
(1.4.9)
Лемма 1.4.1. Оператор порождаемый формой (1.4.9), является
ограниченным непрерывным оператором, действующим из в Кроме
того, оператор монотонный, т.е.

и эллиптический

Доказательство. 1. Непрерывность и ограниченность оператора
следует из непрерывности функции и и условий (1.4.6 (1.4.7).
2. Для доказательства монотонности оператора сначала вычислим
производную Гато этого оператора. По определению производной Гато имеем

Далее, следуя [73], получаем

где

Нетрудно проверить, что из условий (1.4.6) и (1.4.7) следует
неотрицательность выражений, стоящих под знаками интервалов (например, см.
также [73]).
Следовательно,

3. Докажем коэрцитивность )эллиптичность) оператора Рассмотрим
форму при любом

В силу (1.4.7)

где

Нетрудно проверить, что справедливо неравенство

откуда окончательно запишем

Лемма доказана.
Теорема 1.4.1. Задача (1.4.2)-(1.4.5) имеет единственное обобщенное
решение при любых где

Доказательство. Пусть -ортогональная система гладких функции,
образующая базис в пространстве и на Будем искать
приближенное решение задачи (1.4.2)-(1.4.5) в виде

где неизвестные функции определяется из следующей системы нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений:
(1.4.10)
Здесь

Лемма 1.4.2. Система (1.4.10) имеет хотя бы один решение, определенное для
всех
Доказательство леммы 1.4.2 можно перевести; используя известную лемму
(см.напр. [54],с.67, лемма 4) о разрешимости систем нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.
При исследовании разрешимости задачи (1.4.8) потребуется априорная
оценка на решение Для получения этой оценки -е уравнение
системы (1.4.10) умножим на просуммируем по и проинтегрируем
по от 0 до Тогда

(1.4.11)
где

Из (1.4.11) в силу (1.4.7) следует

или

где
Применяя к правой части неравенство Коши-Буняковского с запишем

Следовательно, выбрав достаточно малым, придем к неравенству

Из оценки (1.4.12) в силу слабой компактности шара в следует, что
существует функция и последовательность )обозначаем ее вновь через
сходящаяся к слабо в Заметим, что в силу ограниченности
оператора можносчтитать, что последовательность и
сходится слабо к некоторым функциям и из
Докажем, что предельна функция и будет искомый обобщенным решением
задачи (1.4.2)-(1.4.5). Для этого необходимо показать, что в смысле
пространства и что функция удовлетворяет интегральную тождеству
(1.4.8)
Из (1.4.10) нетрудно установить, что функция удовлетворяет
интегральному тождеству

где

Заметим, что при в справедливо соотношение
(1.4.13)
Так как и то проинтегрировав в первом слагаемом последнее
равенство по частям, запишем

Учтя (1.4.13) и прейдя к пределу при в последнем равенстве,
получим

(1.4.14)
Положив в (1.4.14) где а запишем соотношение

(1.4.15)
Заметив, что

Следовательно функция

Имеет обобщенную производную из Но поскольку не завесить от
то

Значит, и в (1.4.15) допустимо интегрирование по частям. Тогда

Последнее равенство, очевидно, можно записать как

(1.4.16)
где -та же функция, что и в (1.4.14).
Покажем, что Для этого произведем в (1.4.14) интегрирование по
частям по переменной вычтя полученное выражение из (1.4.16) и учтя,
что , выводим равенство

Из него следует, что в смысле пространства
Докажем теперь, что функция удовлетворяет интегральную тождеству
(1.4.8). Для этого запишем очередное неравенство

(1.4.17)
Здесь -обобщенные ... продолжение

Вы можете абсолютно на бесплатной основе полностью просмотреть эту работу через наше приложение.