Stud.kz
Сабақ жоспары :: Математика

Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі

  1. Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі

y = k x + b k 1 x + b 1 y = \frac{kx + b}{k_{1}x + b_{1}} , y = f ( x ) y = \sqrt{f(x) } және тағы басқа түріндегі функциялардың мәндерінің жиынын анықтауға арналған есептер мектеп бітірушілердің ұлттық бірыңғай тест (ҰБТ) тапсырмаларында жиі кездеседі.

Мектеп оқулықтарының бірде бірінде мұндай есептер арнайы қарастырылмағандықтан, оқушылардың көпшілігінің бұл есептерді шығара алмайды. Математикалық талдау аппараттарын пайдалана отырып функцияны зерттеу, оның графигін салу арқылы бұл тапсырмаларды орандауға болады. Бірақ ҰБТ кезінде мұндай тапсырмаларды 1, 5-2 минут ішінде орындау кез келген оқушының қолынан келмейтіні белгілі. Функцияның мәндерінің жиынын табу көп жағдайда теңдеудің шешімін табумен байланысты болады. x 0 x_{0} саны f f функциясының мәндер жиынына кіруүшін, y = f ( x ) y = f(x) теңдеуінің, мұндағы x ∈ D ( f ) x \in D(f) , шешімінің болуы қажетті және жеткілікті. Бұл теңдеудің y 0 y_{0} - дің мәніне байланысты бір түбірі, бірнеше түбірі немесе түбірі болмауы да мүмкін. Осындай есептерді шығарудың оңтайлы тәсілдерінің бірі төменде келтірілген.

Ол үшін, алдымен y = k x + b k 1 x + b 1 y = \frac{kx + b}{k_{1}x + b_{1}} (мұндағы k 1 , b 1 ≠ 0 {k_{1}, \ b}_{1} \neq 0 ) түріндегі гиперболаны қарастырайық. Бұл функцияның мәндер жиыны у ≠ k k 1 у \neq \frac{k}{k_{1}} екендігі ақиқат.

1-мысал. y = 8 x − 1 2 x + 1 y = \frac{8x - 1}{2x + 1} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. y ≠ 8 2 y \neq \frac{8}{2} немесе y ≠ 4 y \neq 4 .

Жауабы: ( − ∞ ; 4 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) ( - \infty; 4) \cup (4; + \infty) .

2-мысал . y = 2 х ² − х − 1 х ² + х − 2 y = \frac{2х² - х - 1}{х² + х - 2} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. x = 1 , x = − 2 x = 1, \ \ \ x = - 2 сандары бөлшектің бөлімінің нөлдері болғандықтан, бұл функция осы нүктелерде анықталмайды. Ал, x = 1 x = 1 саны алымы мен бөлімінің ортақ нөлі. Сондықтан, x ≠ 1 x \neq 1 болса, онда y = 2 х ² − х − 1 х ² + х − 2 = 2 x + 1 x + 2 \ y = \frac{2х² - х - 1}{х² + х - 2}\mathbf{=}\frac{2x + 1}{x + 2}\ функцияның x = 1 x = 1 нүктесіндегі мәні y ( 1 ) = 2 • 1 + 1 1 + 2 = 1 y(1) = \frac{2 \bullet 1 + 1}{1 + 2} = 1 , яғни, берілген функцияның мәні x x -тің ешбір мәнінде 1-ге тең бола алмайды, ендеше біріншіден y ≠ 1 y \neq 1 . Екіншіден, y = 2 x + 1 x + 2 y = \frac{2x + 1}{x + 2} гиперболасының мәндер жиыны y ≠ 2 y \neq 2 екендігі белгілі.

Сондықтан, берілген функцияның мәндер y ≠ 1 , y ≠ 2 y \neq 1, \ \ y \neq 2 .

Жауабы : ( − ∞ ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 2 + ∞ ) ( - \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2 + \infty) .

3-мысал . y = 2 х ² − х − 1 х ² − х − 2 y = \frac{2х² - х - 1}{х² - х - 2} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі . Бөлшектің алымы мен бөлімінің ортақ түбірі жоқ екендігі белгілі. Берілген функцияны y ( x ² − x − 2 ) = 2 x ² − x − 1 y(x² - x - 2) = 2x² - x - 1\ немесе ( y − 2 ) x 2 + ( 1 − y ) x − 2 y + 1 = 0 (y - 2) x^{2} + (1 - y) x - 2y + 1 = 0 түріне келтіреміз. Яғни, функцияның мәндер жиынын табу үшін, у параметрдің қандай мәндерінде соңғы квадрат теңдеудің шешімі болатындыған анықтау жеткілікті. Ол үшін D 0 теңсіздігін құрып, шешеміз: D = ( 1 − y ) 2 − 4 ( y − 2 ) ( − y + 1 ) ≥ 0 D = (1 - y) ^{2} - 4(y - 2) ( - y + 1) \geq 0 .

Соңғы теңсіздіктің шешімі: ( − ∞ ; 11 − 2 10 9 ] ∪ [ 11 − 2 10 9 ; + ∞ ) \ ( - \infty; \frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\rbrack \cup \lbrack\frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\ ; + \infty) болатындығына көз жеткізу қиын емес .

Жауабы : ( − ∞ ; 11 − 2 10 9 ] ∪ [ 11 − 2 10 9 ; + ∞ ) . \ ( - \infty; \frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\rbrack \cup \left\lbrack \frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\ ; + \infty \right) .

4-мысал. y = 5 + 6 x − 7 x 2 y = 5 + 6x - 7x^{2} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. Мұндай есептерді квадрат үшмүшенің толық квадратын айыру тәсілі және туынды арқылы функцияның кризистік нүктесін анықтап, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәндерін табу арқылы да шығаруға болады. Алайда, парабола төбесінің ординатасының формуласын қолдану, тапсырманы тез және дұрыс орындауға көмектеседі. Атап айтқанда, y 0 = 4 a c − b ² 4 a \ y_{0} = \frac{4ac - b²}{4a} парабола төбесінің ординатасының формуласы болғандықтан, a > 0 a > 0 болса, онда

E ( y ) = [ y 0 ; + ∞ ) E(y) = \lbrack y_{0}; + \infty) , ал a < 0 a < 0 болса, онда E ( y ) = ( − ∞ ; y 0 ] E(y) = ( - \infty; y_{0}\rbrack болады.

Біздің мысалда y 0 = 4 a c − b ² 4 a = 4 • ( − 7 ) • 5 − 6 2 4 • ( − 7 ) = 6 2 7 y_{0} = \frac{4ac - b²}{4a} = \frac{4 \bullet ( - 7) \bullet 5 - 6^{2}}{4 \bullet ( - 7) } = 6\frac{2}{7} , ал a = − 7 < 0 a = - 7 < 0 болғандықтан, E ( y ) = ( − ∞ ; 6 2 7 ] E(y) = ( - \infty; 6\frac{2}{7}\rbrack .

Жауабы : ( − ∞ ; 6 2 7 ] ( - \infty; 6\frac{2}{7}\rbrack .

5-мысал. y = х ² − 6 х − 2 y = \sqrt{х² - 6х - 2} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. Квадрат түбір астындағы х ² − 6 х − 2 х² - 6х - 2 квадрат үшмүшеліктің мәндер жиыны [ − 11 ; + ∞ \lbrack - 11; + \infty ) болғандықтан,

E ( y ) = [ − 11 ; + ∞ ) = [ 0 ; + ∞ ) E(y) = \sqrt{\ \lbrack - 11; \ + \infty) } = \lbrack 0; + \infty) болатындығы анық.

Жауабы : [ 0 ; + ∞ ) \lbrack 0; \ + \infty) .

Ескерту: Сан аралығының «квадрат түбірін табу» амалының жазылуы ерсілеу көрінгенмен, оның дұрыстығы өрнектің монотондылығымен түсіндіріледі.

6-мысал . y = 2 х ² − х − 1 х ² + х − 2 y = \sqrt{\frac{2х² - х - 1}{х² + х - 2}} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. y 1 = 2 x ² − x − 1 x ² + x − 2 y_{1} = \frac{2x² - x - 1}{x² + x - 2} функциясының мәндер жиыны:

E ( y 1 ) = ( − ∞ ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) E\left( y_{1} \right) = ( - \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty) болғандықтан,

E ( y ) = Е ( у 1 ) = ( − ∞ ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) = E(y) = \sqrt{{Е(у}_{1}) } = \sqrt{( - \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (\ 2; + \infty) } =

= ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) = (0; 1) \cup \left( 1; \sqrt{2} \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right) .

Жауабы: ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) . (0; 1) \cup \left( 1; \sqrt{2} \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right) .

7-мысал. y = 3 − 4 s i n ( 7 x − 1 ) y = 3 - 4sin(7x - 1) функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. y = 3 − 4 s i n ( 7 x − 1 ) = [ 3 − 4 • 1 = − 1 3 − 4 • ( − 1 ) = 7 → [ − 1 ; 7 ] y = 3 - 4sin(7x - 1) = \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 4 \bullet 1 = - 1 \\ 3 - 4 \bullet ( - 1) = 7 \end{matrix} \right. \ \ \ \rightarrow \ \ \lbrack - 1; 7\rbrack .

Жауабы: [ − 1 ; 7 \lbrack - 1; \ 7 ] .

8-мысал. y = 3 − 4 s i n ² ( 7 х − 1 ) {y = 3 - 4sin²}(7х - 1) функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі.

y = 3 − 4 s i n ² ( 7 х − 1 ) = [ 3 + − − 4 • 1 2 = − 1 3 − 4 • 0 2 = 3 → [ − 1 ; 3 ] {y = 3 - 4sin²}(7х - 1) = \left\lbrack \begin{matrix} 3 + - 4 \bullet 1^{2} = - 1 \\ 3 - 4 \bullet 0^{2} = 3 \end{matrix}\ \ \rightarrow \ \ \lbrack - 1; 3\rbrack \right. \ .

Жауабы: [ − 1 ; 3 \lbrack - 1; \ 3 ] .

9-мысал. у= 3 − 4 sin ⁡ ² ( 7 х − 1 ) \sqrt{3 - 4{\sin ²}(7х - 1) \ } функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. y 1 = 3 s i n ² ( 7 х − 1 ) {y_{1} = 3sin²}(7х - 1) функциясының мәндер жиыны E ( y 1 ) = [ − 1 ; 3 E\left( y_{1} \right) = \lbrack - 1; \ 3 ] болғандықтан, Е ( у ) = Е ( у 1 ) = [ − 1 ; 3 ] = [ 0 ; 3 ] Е(у) = \ \sqrt{{Е(у}_{1}) } = \sqrt{\ \ \lbrack - 1; \ 3\rbrack\ } = \lbrack 0; \sqrt{3}\ \rbrack .

Жауабы: [ 0 ; 3 \lbrack 0; \sqrt{3}\ ] .

10-мысал. y = 2 sin ⁡ 7 x − cos 7 x y = 2\sin{7x{- \cos}{7x}\ \ \ } функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. y = a sin ⁡ x + b cos ⁡ x y = a\sin{x + b\cos x} (мұндағы a , b ∈ R ) , b \in R) функциясының мәндер жиыны [ − a ² + b ² ; a ² + b ² ] \left\lbrack - \sqrt{a² + b²}; \sqrt{a² + b²} \right\rbrack\ болғандықтан, y = 2 sin ⁡ 7 x − cos 7 x y = 2\sin{7x{- \cos}{7x}\ \ \ } функциясының мәндер жиыны:

E ( y ) = [ − 2 ² + ( − 1 ) ² ; 2 ² + ( − 1 ) ² ] = [ − 5 ; 5 ] E(y) = \left\lbrack - \sqrt{2² + ( - 1) ²}; \sqrt{2² + ( - 1) ²} \right\rbrack = \left\lbrack - \sqrt{5}; \sqrt{5} \right\rbrack .

Жауабы: [ − 5 ; 5 ] \left\lbrack - \sqrt{5}; \sqrt{5} \right\rbrack .

11-мысал. y = 3 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x 2 sin ⁡ x − cos ⁡ x + 10 y = \frac{3\sin{x + 2\cos x}\ \ \ }{2\sin{x - \cos x} + \sqrt{10}} функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. y = 3 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x 2 sin ⁡ x − cos ⁡ x + 10 y = \frac{3\sin{x + 2\cos x}\ \ \ }{2\sin{x - \cos x} + \sqrt{10}} y ( 2 sin ⁡ x − cos ⁡ x + 10 ) = ( 3 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x ) y(2\sin{x - \cos{x + \sqrt{10}}) } = (3\sin{x + 2\cos x}) \ ⟺ ( 2 y − 3 ) sin ⁡ x + ( − y − 2 ) cos ⁡ x = − y 10 (2y - 3) \sin{x + ( - y - 2) \cos x} = - y\sqrt{10} . Ал, a s i n x + b cos ⁡ x = с {asin}{x + b\cos x} = с теңдеуінің шешуі болу үшін, a 2 + b ² − с ² ≥ 0 a^{2} + b² - с² \geq 0 шарты орындалуы қажет. Сондықтан, ( 2 y − 3 ) 2 + ( − y − 2 ) 2 − ( − y 10 ) 2 ≥ 0 (2y - 3) ^{2} + ( - y - 2) ^{2} - {\ \left( - y\sqrt{10} \right) }^{2}\ \geq \ 0 .

5 y 2 + 8 y − 13 ≤ 0 5y^{2} + 8y - 13 \leq 0 − 13 5 ≤ у ≤ 1 ⇔ E ( y ) = [ − 13 5 ; 1 ] - \frac{13}{5} \leq у \leq 1\ \Longleftrightarrow \ \ \ E(y) = \left\lbrack - \ \frac{13}{5}; 1 \right\rbrack .

Жауабы: [ − 13 5 ; 1 ] . \left\lbrack - \ \frac{13}{5}; 1 \right\rbrack.

  1. Тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі.

12-мысал. t g α = − 5 12 tg\alpha = - \frac{5}{12} және 90 0 < α < 180 0 90^{0} < \alpha < 180^{0} болса, онда sin ⁡ α , c o s α , c t g α \sin{\alpha, \ }{\ \ cos}\alpha, \ \ ctg\alpha мәндерін табыңыз.

Шешуі. Көмекші тікбұрышты үшбұрышты пайдаланайық.

H:\мама\1.jpg

1-сурет.

t g α = 12 13 tg\alpha = \frac{12}{13} болғандықтан, sin ⁡ α = 5 13 , cos ⁡ α = 12 13 , c t g α = 12 5 \ \sin{\alpha = \frac{5}{13}, \ }\ \cos{\alpha = \frac{12}{13}}, \ \ ctg\alpha = \frac{12}{5} , ал, 90 0 < α < 180 0 90^{0} < \alpha < 180^{0} шартын ескерсек: sin ⁡ α = 5 13 , cos ⁡ α = − 12 13 , c t g α = − 12 5 \sin{\alpha = \frac{5}{13}, \ }\ \cos{\alpha = - \frac{12}{13}}, \ \ ctg\alpha = - \frac{12}{5} .

Жауабы: 5 13 , − 12 13 , − 12 5 \ \ \ {\frac{5}{13}, \ \ \text{ }}{- \frac{12}{13}}, \text{ } - \frac{12}{5} .

13-мысал. t g ( arcsin 3 5 + a r c c o s 5 13 ) tg\left( \arcsin\frac{3}{5} + arccos\frac{5}{13} \right) есептеңіз.

Шешуі. arcsin ⁡ 3 5 = α \arcsin\frac{3}{5} = \alpha және arccos ⁡ 5 13 = β \arccos\frac{5}{13} = \beta деп белгілесек, онда анықтама бойынша α , β ∈ I \alpha, \beta \in I . Ендеше, sin ⁡ α = 3 5 , c o s β = 5 13 \sin{\alpha = \frac{3}{5}, {\ \ cos\beta}{= \frac{5}{13}}\ \ } → t g α = 3 4 , t g β = 12 5 \rightarrow \ {tg}{\alpha = \frac{3}{4}, {\ \ tg\beta}{= \frac{12}{5}}\ \ } (12-мысал әдісімен) . Сондықтан

t g ( arcsin 3 5 + a r c c o s 5 13 ) = t g ( α + β ) = tg\left( \arcsin\frac{3}{5} + arccos\frac{5}{13} \right) = tg(\alpha + \beta) =

= t g α + t g β 1 − t g α • t g β = 3 4 + 12 5 1 − 3 4 • 12 5 = − 63 16 = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \bullet tg\beta} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{3}{4} \bullet \frac{12}{5}} = - \frac{63}{16} .

Жауабы: − 63 16 \ - \frac{63}{16} .

Мына түрдегі: cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ • … • cos ⁡ φ \cos\alpha\cos\beta\cos{\gamma \bullet \ldots \bullet}\cos\varphi тригономериялық өрнектерді ықшамдау, өрнектің мәнін табу синустар мен косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру формуласын қолдану немесе қосбұрыштың синусының формуласына келтіру арқылы жүзеге асырылады.

14-мысал. c o s 12 ∘ cos ⁡ 24 ∘ cos ⁡ 48 ∘ cos 96 ∘ {\ cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}\cos}96{^\circ} өрнегінің мәнін есептеңіз.

Шешуі. а) 1-ші тәсіл. Косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру және келтіру формулаларын қолданамыз:

c o s 12 ∘ cos ⁡ 24 ∘ cos ⁡ 48 ∘ c o s 96 ∘ = c o s 48 ∘ cos 12 ∘ cos ⁡ 96 ∘ cos ⁡ 24 ∘ = {\ cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}96{^\circ}{\ {= cos}{48{^\circ}}\cos}12{^\circ}\cos{96{^\circ}}\cos{24{^\circ} =}

= 1 4 ( cos 36 ∘ + c o s 60 ∘ ) ( cos 72 ∘ + cos 120 ∘ ) = \ \frac{1}{4}\left( \cos{36{^\circ}}{+ cos}60{^\circ} \right) \left( \cos{72{^\circ}} + \cos{120{^\circ}} \right) = \

= 1 4 ( cos 36 ∘ + 1 2 ) ( cos 72 ∘ − 1 2 ) = = \frac{1}{4}\left( \cos{36{^\circ}} + \frac{1}{2} \right) \left( \cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2} \right) =

= 1 4 ( cos 72 ∘ cos 36 ∘ + 1 2 cos 72 ∘ − 1 2 cos 36 ∘ − 1 4 ) = = \frac{1}{4}\left( \cos{72{^\circ}}\cos{36{^\circ}} + \frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2}\cos{36{^\circ}} - \frac{1}{4} \right) =

= 1 4 ( 1 2 cos 108 ∘ + 1 2 cos 36 ∘ + 1 2 cos 72 ∘ − 1 2 cos 36 ∘ − 1 4 ) = = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\cos{108{^\circ}} + {\frac{1}{2}\cos}{36{^\circ} +}\frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2}\cos{36{^\circ}} - \frac{1}{4} \right) =

= 1 4 ( − 1 2 cos 72 ∘ + 1 2 cos 36 ∘ + 1 2 cos 72 ∘ − 1 2 cos 36 ∘ − 1 4 ) = − 1 16 = \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} + {\frac{1}{2}\cos}{36{^\circ} +}\frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2}\cos{36{^\circ}} - \frac{1}{4} \right) = - \frac{1}{16} .

Жауабы : − 1 16 - \frac{1}{16} .

б) 2-ші тәсіл. Қосбұрыштың синусының формуласына келтіреміз:

c o s 12 ∘ cos ⁡ 24 ∘ cos ⁡ 48 ∘ c o s 96 ∘ = {\ cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}96{^\circ} =

= 16 sin ⁡ 12 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ • cos 12 ∘ cos ⁡ 24 ∘ cos ⁡ 48 ∘ c o s 96 ∘ {= \frac{16\sin{12{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} \bullet \cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}{96{^\circ}} =

= 8 sin ⁡ 24 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ cos ⁡ 24 ∘ cos ⁡ 48 ∘ c o s 96 ∘ \frac{8\sin{24{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}96{^\circ} = 4 sin ⁡ 48 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ cos ⁡ 48 ∘ c o s 96 \frac{4\sin{48{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}}\cos 48{{^\circ}cos}96 =

= 2 sin ⁡ 96 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ cos ⁡ 96 ∘ = sin ⁡ 192 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ = sin ⁡ ( 180 ∘ + 12 ∘ ) 16 sin ⁡ 12 ∘ = − sin ⁡ 12 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ = − 1 16 \frac{2\sin{96{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}}\cos{96{^\circ}} = \frac{\sin{192{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = \frac{\sin{(180{^\circ} + 12{^\circ}) }}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{\sin{12{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{1}{16}

Жауабы : − 1 16 - \frac{1}{16}

в) 3-ші тәсіл. s i n 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α {sin}{2\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha формуласынан

c o s α = sin ⁡ 2 α 2 sin ⁡ α cos\alpha = \frac{\sin{2\alpha}}{2\sin\alpha} (1-формула) алуға болады. Ендеше,

cos ⁡ 12 0 cos ⁡ 24 0 cos ⁡ 48 0 cos ⁡ 96 0 = sin ⁡ 24 0 2 s i n 12 0 • sin ⁡ 48 0 2 s i n 24 0 • sin ⁡ 96 0 2 s i n 48 0 • sin ⁡ 192 0 2 s i n 96 0 = \cos 12^{0}\cos 24^{0}\cos 48^{0}\cos 96^{0} = \frac{\sin 24^{0}}{2sin12^{0}} \bullet \frac{\sin 48^{0}}{2sin24^{0}} \bullet \frac{\sin 96^{0}}{2sin48^{0}} \bullet \frac{\sin 192^{0}}{2sin96^{0}} =

= sin ⁡ 192 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ = − sin ⁡ 12 ∘ 16 sin ⁡ 12 ∘ = − 1 16 \ \ = \frac{\sin{192{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{\sin{12{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{1}{16} .

Жауабы : − 1 16 - \frac{1}{16} .

15-мысал . cos ⁡ π 5 + c o s 3 π 5 {\ \cos\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5} өрнегінің мәнін есептеңіз.

Шешуі. а) 1-ші тәсіл.

cos ⁡ π 5 + c o s 3 π 5 = cos ⁡ 108 ∘ + c o s 36 ∘ = 2 c o s 72 ∘ c o s 36 ∘ = \ \ \ \ {\ \cos\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5} = \cos{108{^\circ}} + {\ cos}{36{^\circ}} = {2cos}{72{^\circ}{\ cos}{36{^\circ}} =}\

= 2 s i n 18 ∘ cos ⁡ 36 ∘ = sin ⁡ 54 ∘ − sin ⁡ 18 ∘ = {= 2sin}{18{^\circ}\cos{36{^\circ}}} = \sin{54{^\circ} - \sin{18{^\circ} =}}

= s i n 54 ∘ − 1 2 ( 1 + 2 s i n 18 ∘ − 1 ) = {= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}{(1 + 2sin}{18{^\circ} - 1) =}}

= s i n 54 ∘ − 1 2 ( cos ⁡ 54 ∘ sin ⁡ 36 ∘ + 2 s i n 18 ∘ − 1 ) {= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{\cos{54{^\circ}}}{\sin 36{^\circ}} + {2sin}{18{^\circ} - 1} \right) } =

= s i n 54 ∘ − 1 2 ( ( cos ⁡ 18 ∘ − cos ⁡ 90 ∘ ) − ( cos ⁡ 18 ∘ − cos ⁡ 54 ∘ ) sin ⁡ 36 ∘ + 2 s i n 18 ∘ − 1 ) {= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{(\cos{18{^\circ} -}\cos{90{^\circ}) - (}\cos{18{^\circ} -}\cos{54{^\circ}) }}{\sin{36{^\circ}}}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) } =

= sin ⁡ 54 ∘ − 1 2 ( 2 sin ⁡ 36 ∘ sin ⁡ 54 ∘ − 2 sin ⁡ 18 ∘ sin ⁡ 36 ∘ sin ⁡ 36 + 2 s i n 18 ∘ − 1 ) = = \sin{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{2{\sin{36{^\circ}}\sin{54{^\circ} - 2}\sin{18{^\circ}}}{\sin{36{^\circ{\sin 36}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) =}

= sin ⁡ 54 ∘ − 1 2 ( 2 sin ⁡ 36 ∘ ( sin ⁡ 54 ∘ − sin ⁡ 18 ∘ ) sin ⁡ 36 ∘ + 2 s i n 18 ∘ − 1 ) \sin{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{2{\sin 36}{{^\circ}(\sin{54{^\circ} -}\sin{18{^\circ}) }}}{\sin{36{^\circ}}}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) } =

= s i n 54 ∘ − 1 2 ( 2 sin ⁡ 36 ∘ ( sin ⁡ 54 ∘ − sin ⁡ 18 ∘ ) sin ⁡ 36 ∘ + 2 s i n 18 ∘ − 1 ) {= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{2{\sin 36}{{^\circ}(\sin{54{^\circ} -}\sin{18{^\circ}) }}}{\sin{36{^\circ}}}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) } =

= sin ⁡ 54 ∘ − sin ⁡ 54 ∘ − sin ⁡ 18 ∘ + sin ⁡ 18 ∘ + 1 2 = 1 2 \sin{54{^\circ}} - \sin{54{^\circ}} - \sin{18{^\circ} +}\sin{18{^\circ} +}\frac{1}{2} = \ \frac{1}{2} .

Жауабы : 1 2 \ \ \frac{1}{2} .

б) 2-ші тәсіл. Өрнектің мәнін х деп белгілейік. Яғни, x = cos π 5 + c o s 3 π 5 {\ {x = \cos}\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5} болсын. Теңдіктің екі бөлігін де 2 s i n 2 π 5 {2sin}\frac{2\pi}{5} өрнегіне көбейтіп, синус пен косинустың көбейтінділерін қосындыға түрлендірейік:

2 х sin ⁡ 2 π 5 = 2 sin ⁡ 2 π 5 cos π 5 = 2 sin ⁡ 2 π 5 cos 3 π 5 2х\sin\frac{2\pi}{5}{= \ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos}\frac{\pi}{5} = {\ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos}\frac{3\pi}{5} .

Ал, sin ⁡ 2 π 5 = sin ⁡ 3 π 5 \sin\frac{2\pi}{5} = \sin\frac{3\pi}{5} болғандықтан,

2 x sin ⁡ 3 π 5 = sin ⁡ 3 π 5 + sin π 5 = sin ⁡ 5 π 5 − s i n π 5 2x\sin\frac{3\pi}{5} = {\ \sin{\frac{3\pi}{5} +}\sin}\frac{\pi}{5} = {\ \sin\frac{5\pi}{5} - sin}\frac{\pi}{5} , 2 x sin ⁡ 3 π 5 = sin ⁡ 3 π 5 2x\sin\frac{3\pi}{5} = \sin{\frac{3\pi}{5}\ } .

Бұдан x = 1 2 x = \frac{1}{2} .

Жауабы : 1 2 \frac{1}{2} .

в) 3-ші тәсіл. 1-формула бойынша:

cos ⁡ π 5 + c o s 3 π 5 = 2 c o s 2 π 5 c o s π 5 = 2 • sin 4 π 5 2 s i n 2 π 5 • sin ⁡ 2 π 5 2 s i n π 5 = {{\cos\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5} = 2cos}\frac{2\pi}{5}{\ cos}\frac{\pi}{5} = \frac{2{\bullet \sin}\frac{4\pi}{5}}{{2sin}\frac{2\pi}{5}} \bullet \frac{\sin\frac{2\pi}{5}}{{2sin}\frac{\pi}{5}} = \

= sin ⁡ 4 π 5 2 s i n π 5 = s i n ( π − π 5 ) 2 s i n π 5 = sin ⁡ π 5 2 s i n π 5 = 1 2 = \frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{{2sin}\frac{\pi}{5}} = \frac{{sin(\pi -}{\frac{\pi}{5}) }}{{2sin}\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{{2sin}\frac{\pi}{5}} = \frac{1}{2} .

Жауабы: 1 2 . \frac{1}{2}\ .

3. Күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі

Мектеп курсында оқушылардың қызығушылығын тудыратын тақырыптардың бірі - «Күрделі радикалдар» формуласын қолданып өрнектерді ықшамдау. «Алгебра-8» (авт. Шыныбеков А. Н. Алматы: «Атамұра» баспасы, 2004. ) оқулығында бұл тақырыпқа «С» тобының №180 және осы формуланы қолданып шығаруға болатын №№175; 217; 222(1, 2) ; 227 есептері, «Математика тереңдетіліп оқытылатын мектептердің 9 сынып курсы бойынша математикадан жазбаша емтихан жұмыстарының тапсырмалар жинағындағы» ( Алматы: ББЖ БАИ, 1999. ) №1С41; 1С42; 1C45; 2C61; 4В42; 4С59; 5А22; 5В52; 5В53 және т. б. тапсырмалары жатады.

Бұл есептерді шығару үшін «Алгебра-8» оқулығындағы №179* есептегі «Күрделі радикалдар» формуласын алдын ала дәлелдеп алып, оны пайдалану өз нәтижесін берері сөзсіз. Бірақ, формуланың жалпы түрінің өзі (қосымша шарттарымен бірге) күрделі екенін ескерсек, кез келген оқушыға бұл формуланы есіне түсіріп немесе түбір астындағы өрнекті қосындының квадратына келтіріп, жоғарыда аталған есептерді шығару оңайға түспейтіні анық. Себебі, a ± b = a + a ² − b 2 ± a − a ² − b 2 \ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a² - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a² - b}}{2}} . a > 0 , a 2 > b > 0 a > 0, \ \ a^{2} > b > 0 (1) формуласын (дәлелдеуін білмеген оқушыға) жадында сақтау да қиын екені рас. Сондықтан, алдымен формуланың дәлелдемесінің әдістемелік нұсқауда көрсетілген тәсілінен басқа түрін келтірейік:

( x ± y ) ² = x + y ± 2 x y \sqrt{x} \pm \sqrt{y}) ² = x + y \pm 2\sqrt{xy} , бұдан

( x + y ) ± 4 x y = x ± y \sqrt{(x + y) \pm \sqrt{4xy}\ \ } = \left \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \right . (2)

{ x + y = a , 4 x y = b . \left\{ \begin{array}{r} x + y = a, \\ 4xy = b. \end{array} \right. \ (3)

Осы жүйеден, анығырақ болу үшін, x>y деп пайымдап,

a > 0 , a 2 > b > 0 a > 0, \ \ a^{2} > b > 0 мәндері үшін x = a + a ² − b 2 x = \frac{a + \sqrt{a² - b}}{2}\ \ , y = a − a ² − b 2 \ \ y = \frac{a - \sqrt{a² - b}}{2} (4)

екендігін анықтауға болады. х>у екендігін ескерсек, (2), (3), (4) теңдіктерден (1) формула шығатындығына көз жеткізу қиын емес.

Енді, (2) теңдікті мына түрде жазып:

( x + y ) ± 2 ( x y ) = x ± y \sqrt{(x + y) \pm 2\sqrt{(xy) }} = \left \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \right\ \ \ ,

x+у=a және xу=b алмастыруларын жасасақ, күрделі радикалды ықшамдаудың алгоритмі пайда болады:

a ± 2 b = x ± y \sqrt{a \pm \ 2\sqrt{b}}\ = \left \sqrt{x}\ \pm \sqrt{y} \right . (5)

Яғни, a ± 2 b \ \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}\ \ түріндегі күрделі радикалдарды ықшамдау үшін b санын (әдетте a , b ∈ N a, b \in N ) қосындысы а - ға тең болатындай етіп, екі натурал көбейткіштерге ( х у ) жіктеу жеткілікті.

16-мысал. 4 + 2 3 \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\ \ өрнегін түрлендіріңіз.

Шешуі. ( 5 ) ф о р м у л а ғ а с ә й к е с (5) \ формулаға\ сәйкес

4 + 2 3 = 1 + 3 = 1 + 3 \sqrt{4 + \ 2\sqrt{3}} = \left \sqrt{1} + \sqrt{3} \right = 1 + \sqrt{3} , мұндағы a = 1 + 3 , b = 1 • 3 a = 1 + 3, \ \ \ b = 1 \bullet 3 .

Жауабы: 1 + 3 1 + \sqrt{3} .

17-мысал . 7 − 2 10 \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} өрнегін түрлендіріңіз.

Шешуі. ( 5 ) ф о р м у л а ғ а с ә й к е с (5) \ формулаға\ сәйкес


Ұқсас жұмыстар
Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері мен графигі
Функциялар және графиктер
Функцияны зерттеу және оның графигін салу туралы
Функцияны зерттеу және оның графигін салу
Функция ұғымы. Функцияның берілу тәсілдері
Функцияның өсу кему белгілері
Математика. Функцияның кестемен берілуі
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері
Функцияның мәндерінің жиыны
Дәрежелік функция
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

google play appstore

instagram tiktok

Ақпарат

Қосымша


Email: info@stud.kz



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz