Үшбұрыштар туралы теоремалар, олардың қасиеттері

Тлеулесова Жұмагүл Балташқызы
Астана қаласы,
Ә.Марғұлан атындағы №40 орта мектеп

Үшбұрыштар туралы теоремалар, олардың қасиеттері
Үшбұрыштың бұрыштары
α1, β1, γ1 – сыртқы бұрыштар
α, β, γ – ішкі бұрыштар

1) α + β + γ = 1800
2) α1 + β1 + γ1 = 3600

3) α1 = β + γ; β1 = α + γ; γ1 = α + β;

4) a + b › c; b + c › a; a + c › b;

5) |a - b| ‹ c; |b – c| ‹ a; |a – c| ‹ b;

[pic]

Биіктік
Үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғаны қамтитын түзуге
түсірілген перпендикуляр.
1) ha = [pic] = bsinγ = csinβ;
hb = [pic] = asinγ = csinα;
hc = [pic] = asinβ = bsinα;

2) ha : hb : hc = [pic] = bc:ac:ab;

3) [pic]; [pic]
r – іштей сызылған шеңбер радиусы.

h1 + h2 + h3 = [pic]= h
xy=pq=mn

x2 + n2 + p2 = y2 + q2 + m2
[pic]

Медиана
Үшбұрыштың төбесі мен қарсы жатқан қабырғаның ортасын қосатын
кесінді.
ВА1=СА1
ВС1=АС1
АВ1=СВ1

1) АА1= ma = [pic]= [pic];
BB1 = mb = [pic]= [pic];
CC1= mc = [pic]= [pic];
2)
ma2+ mb2+ mc2 = [pic];

3)
a = [pic]; b = [pic];

c =[pic]

4)
A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)

O(x;y) x = [pic];
y = [pic];

BD = mb, CQ = mc, AC = ma, OE = [pic]BD;
S∆EOP = S ∆EOQ = [pic]S∆ABC
S∆BQE = S ∆BEP = [pic]S∆ABC

5) Бір төбеден шығатын биіктігі мен медианасының арасындағы
кесінді:
x = [pic]

Биссектриса
Үшбұрыштың бұрышын қақ бөлетін сәуле.

1) [pic] ω1 = [pic]
[pic] 2φ1 = φ

2) ωα =[pic];

ωβ =[pic];

ω φ=[pic];

3)
x2 = ab-a1b1, x – биссектриса;

[pic]

x = [pic]

AC = BC, AP = PC, [pic][pic]

Іштей және сырттай сызылған шеңбердің радиустары.

1) Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі іштей сызылған
шеңбердің центрі болады.
2) Үшбұрыштың орта перпендикулярларының қиылысу нүктесі сырттай
сызылған шеңбердің центрі болады.
3) r = [pic] p = [pic] r = [pic],
r - іштей сызылған шеңбердің радиусы;
4) R = [pic]
R - сырттай сызылған шеңбердің радиусы;
5) R = [pic]

6) r = (p-a)tg[pic]= (p-b)tg[pic]= (p-c)tg[pic] = p tg[pic] tg[pic]
tg[pic] = 4Rsin[pic]sin[pic]sin[pic];

Үшбұрыштың ауданы

1) S = [pic] - биіктігі арқылы;
2) S = [pic] - Герон формуласы;
3) [pic]= [pic]=pr – іштей және сырттай сыз. шеңб.радиустары арқылы;
4) S = [pic] m = [pic] - медиана арқылы;
5) S = [pic]

S = ([pic])2

S = m n

S1 = [pic]SABC

Үшбұрыштағы негізгі теоремалар
1. Синустар теоремасы:
[pic]

2. Косинустар теоремасы:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
3.Мольвейде формуласы:
[pic]
4. Тангенстер теоремасы:
[pic]
5. [pic] [pic].

Жеке түрінде
1. Тең бүйірлі үшбұрыш
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic].
2. Тікбұрышты үшбұрыш:
[pic] [pic]

[pic] [pic]
[pic]; [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]

[pic]
[pic]
l – биссектриса

Кейбір арнайы үшбұрыштар, мұндағы k [pic]+

3. Тең қабырғалы үшбұрыш:
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]

4. Кез келген үшбұрыш:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]