Үшбұрыштар туралы теоремалар, олардың қасиеттері

Тлеулесова Жұмагүл Балташқызы

Астана қаласы,

Ә. Марғұлан атындағы №40 орта мектеп

Үшбұрыштар туралы теоремалар, олардың қасиеттері

Үшбұрыштың бұрыштары

α ₁ , β ₁ , γ ₁ - сыртқы бұрыштар

α, β, γ - ішкі бұрыштар

1) α + β + γ = 180 ⁰

2) α ₁ + β ₁ + γ ₁ = 360 ⁰

3) α ₁ = β + γ; β ₁ = α + γ; γ ₁ = α + β;

4) a + b › c; b + c › a; a + c › b;

5) a - b ‹ c; b - c ‹ a; a - c ‹ b;

\[a=90^{0}-{\frac{A}{2}}\]

Биіктік

Үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғаны қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр.

1) h _a =

\[\frac{2S}{a}\]

= bsinγ = csinβ;

h _b =

\[\frac{2S}{b}\]

= asinγ = csinα;

h _c =

\[\frac{2S}{c}\]

= asinβ = bsinα;

2) h _a : h _b : h _c =

\[{\frac{1}{a}}\colon{\frac{1}{b}};{\frac{1}{c}}\]

= bc:ac:ab;

\[{\frac{1}{r}}={\frac{1}{h_{a}}}+{\frac{1}{h_{b}}}+{\frac{1}{h_{c}}}\]

;

r - іштей сызылған шеңбер радиусы.

h ₁ + h ₂ + h ₃ =

\[\frac{a{\sqrt{3}}}{2}\]

= h

xy=pq=mn

x ² + n ² + p ² = y ² + q ² + m ²

\[{\frac{q}{p}}\times_{m}^{n}\times_{y}^{x}=1\]

Медиана

Үшбұрыштың төбесі мен қарсы жатқан қабырғаның ортасын қосатын кесінді.

ВА ₁ =СА ₁

ВС ₁ =АС ₁

АВ ₁ =СВ ₁

АА1= ma==;

BB ₁ = m _b =
\[\frac{1}{2}\sqrt{2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}\]
=
\[\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}+2a c{\cal C}o s\beta}\]
;

CC ₁ = m _c =
\[\frac{1}{2}\sqrt{2(a^{2}+d^{2})-c^{2}}\]
=
\[\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2a b C o s\gamma}\]
;

m _a ² + m _b ² + m _c ² =
\[{\frac{3}{4}}{\Big(}a^{2}+b^{2}+c^{2}{\Big)}\]
;

a =

\[\frac{2}{3}\sqrt{2{\big(}{\bf m_{b}}^{2}+{\bf m_{c}}^{2}\big)-m^{2}a}\]

; b =

\[\frac{2}{3}\sqrt{2(\mathbf{m_{a}}^{2}+\mathbf{m_{c}}^{2})-m^{2}b}\]

;

c =

A(x ₁ ; y ₁ ), B(x ₂ ; y ₂ ), C(x ₃ ; y ₃ )

O(x; y) x =

\[\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\]

;

y =

\[\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\]

;

BD = m _b , CQ = m _c, AC = m _a , OE =

\[\frac{\mid}{\mid}{\mid}\]

BD;

S _∆EOP = S _∆EOQ =

\[\frac{1}{24}\]

S _∆ABC

S _∆BQE = S _∆BEP =

\[\frac{\prod}{\bigotimes}\]

S _∆ABC

5) Бір төбеден шығатын биіктігі мен медианасының арасындағы кесінді:

x =

\[\frac{\left|b^{2}+c^{2}\right|}{2a}\]

Equation. 3

Биссектриса

Үшбұрыштың бұрышын қақ бөлетін сәуле.

\[{\frac{a}{b}}={\frac{c_{1}}{c_{2}}};\]

Equation. 3 ω ₁ =

\[\sqrt{D^{\star\star}\,a^{\star\star}\,C_{1}^{\mathrm{~\star\star}}\,C_{2}}\,;\]

Equation. 3

\[{\frac{S_{1}}{S_{2}}}={\frac{a}{b}};\]

Equation. 3 2φ ₁ = φ

2) ω _α =

\[\frac{1}{b+c}\sqrt{b c(a+b+c)(-a+b+c)}=\frac{2b c C o s\frac{a}{2}}{b+c}\]

;

ω _β =

\[{\frac{1}{a+c}}{\sqrt{a c(a+b+c)(a-b+c)}}={\frac{2a c C o s{\frac{\beta}{2}}}{a+c}}\]

;

ω _φ =

\[\frac{1}{a+b}\sqrt{a b(a+b+c)(a+b-c)}=\frac{2a b C o s\frac{\phi}{2}}{b+c}\]

;

x ² = ab-a ₁ b ₁ , x - биссектриса;

\[{\frac{y}{b}}={\frac{d}{c}},a={\sqrt{y b-d c}};\]

x =

\[\frac{\left|a-\gamma\right|}{2}\]

AC = BC, AP = PC,

\[{\frac{O A}{O D}}=\]

\[\frac{O B}{O P}\]

Іштей және сырттай сызылған шеңбердің радиустары.

1) Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі болады.

2) Үшбұрыштың орта перпендикулярларының қиылысу нүктесі сырттай сызылған шеңбердің центрі болады.

3) r =

\[{\frac{S}{p}}={\frac{\sqrt{p(p\cdot a)(p\cdot\,b)(p-c)}}{p}}\,,\]

p =

\[{\frac{a+b+c}{2}},\]

r =

\[\frac{2S}{a+b+c}\]

r - іштей сызылған шеңбердің радиусы;

4) R =

\[{\frac{a b c}{4S}}={\frac{a b c}{4{\sqrt{p(p-\ a)(p-\ b)(p-c)}}}},\]

R - сырттай сызылған шеңбердің радиусы;

5) R =

\[\frac{p}{4C o s\frac{a}{2}C o s\frac{b}{2}C o s\frac{\gamma}{2}};\]

6) r = (p-a) tg

\[\frac{d}{2}\]

= (p-b) tg

\[\frac{\beta}{2}\]

= (p-c) tg

\[\frac{y}{\iiint_{}^{}}\]

= p tg

\[\frac{d}{2}\]

\[\frac{\beta}{2}\]

\[\frac{y}{\iiint_{\Delta}}\]

= 4Rsin

\[\frac{d}{2}\]

sin

\[\frac{\beta}{2}\]

sin

\[\frac{y}{\iiint_{}^{}}\]

;

Үшбұрыштың ауданы

S =- биіктігі арқылы;
S =- Герон формуласы;
==pr - іштей және сырттай сыз. шеңб. радиустары арқылы;
S =m =- медиана арқылы;
S =

S = (
\[\sqrt{\mathrm{\stackrel{S}{B_{1}}}}\ +\sqrt{\mathrm{\stackrel{S}{B}}}\,+\sqrt{\mathrm{\stackrel{S}{B}}}_{3}\]
) ²

S = m n

S ₁ =

\[\frac{m p}{(p+q)(m+n)}\]

S _ABC

Үшбұрыштағы негізгі теоремалар

1. Синустар теоремасы:

\[{\frac{a}{S i n a}}={\frac{b}{S i n b}}={\frac{c}{S i n\gamma}}=2R\]

2. Косинустар теоремасы:

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b c C o s\alpha\,;\]

Equation. 3

\[a=b C o s g+c C o s\beta\,;\]

Equation. 3

\[{\cal b}^{2}=a^{2}+c^{2}-2a c{\cal C}o s\beta\,;\]

Equation. 3

\[b=a C o s g+c C o s a\,;\]

Equation. 3

\[c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a b C o s\gamma;\]

Equation. 3

\[c=a C o s b+b C o s a\,;\]

Equation. 3

3. Мольвейде формуласы:

\[{\frac{a+b}{c}}={\frac{C o s{\frac{a-b}{2}}}{S i n{\frac{\gamma}{2}}}}\]

4. Тангенстер теоремасы:

\[{\frac{a+b}{a-b}}={\frac{t g{\frac{a}{2}}+b}{t g{\frac{a-b}{2}}}}={\frac{c t g{\frac{g}{2}}}{t g{\frac{a-\beta}{2}}}}\]

\[S i n\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{(p-\,b)(p-c)}{b c}};\]

\[C o s{\frac{a}{2}}={\sqrt{\frac{p(p-a)}{b c}}}\]

Жеке түрінде

1. Тең бүйірлі үшбұрыш

\[h={\frac{\sqrt{4a^{2}-c^{2}}}{2}};\]

Ұқсас жұмыстар

Қазақ тілінде

Тікбұрышты үшбұрыш. Тікбұрышты үшбұрыштардың теңдігінің белгілері

Фалес теоремасы

Теңдеуге есептер шешу

Іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустарының үшбұрыш ауданымен байланысы

Үшбұрыштардың түрлері

Тікбұрышты үшбұрыш

7-сыныпқа арналған алгебра, геометрия пәнінен омж

Квадрат тендеуге келтірілетін тендеулер

Тең бүйірлі үшбұрыштың қасиеттері

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz