Туынды және оның қолданылуы

Пәні : Алгебра және анализ бастамалары

Сыныбы : 11

Сабақтың тақырыбы : Туынды және оның қолданылуы

Сабақтың мақсаты:

1. Білімділік: Функцияның туындысын табу тарауын қайталау

2. Дамытушылық: Туынды табу мен туындыны пайдаланып шығарылатын есептердің алгоритмін игерту .

3. Тәрбиелік: Тестік есептерді шығарту арқылы туынды ережелерімен, формулаларын функцияны туынды арқылы зерттеуді практикада қолдануа үйрету, оқушылардың жеке қасиетін дамыту білім дағдысын ойлау белсенділігін пәнге қызығушылығын арттыру, өзара қарым-қатынасты нығайту жинақтылыққа, реттілікке тәрбиелеу

Сабақтың типі : Бекіту сабағы.

Сабақтың әдісі : Дамыта оқыту, сұрақ-жауап, топпен жұмыс.

Сабақтың көрнекілігі: интерактивті тақта, плакаттар.

Пән аралық байланыс: Физика, информатика

Сабақтың барысы:

1. Ұйымдастыру кезеңі:

а) сәлемдесу

ә) оқушыларды түгендеу.

б) сабақтың мақсатын нұсқау.

2. Үй тапсырмасын сұрау

С. В. Ковалевская `` Математиканың өз тілі бар, ол-формула`` деген сөзін басшылыққа алып сабағымызға қажетті формулаларды еске түсірейік

а) Туындыларды есептеу ережелері

а) Тұрақты санның туындысы неге тең?

Ә) Күрделі функцияның туындысы

Б) Көбейтіндінің және бөлшектің туындылары

В) Тригонометриялық функциялардың туындылары

Г) Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындылары

1) (sinx $) '$ $) '$ =cosx

2) ( $\sqrt{x}) '$ $\sqrt{x}) '$ = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3) (lnx $) ' = \frac{1}{x}$ $) ' = \frac{1}{x}$

4) ( $x^{n}) ' = {nx}^{n - 1}$ $x^{n}) ' = {nx}^{n - 1}$

1) ( ${u \cdot v) }'$ ${u \cdot v) }'$ = $u'v$ $u'v$ + ${uv}'$ ${uv}'$

2) ( $\log_{a}x) ' = \frac{1}{xlna}$ $\log_{a}x) ' = \frac{1}{xlna}$

3) ( ${cosx) }' =$ ${cosx) }' =$ -sinx

4) (cu $) ' = cu'$ $) ' = cu'$

III

1) ( ${tux) }' = \frac{1}{cos^{2}x}$ ${tux) }' = \frac{1}{cos^{2}x}$

2) ( $\frac{u}{v}) ' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$ $\frac{u}{v}) ' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$

3) ( $e^{x}) ' = e^{x}$ $e^{x}) ' = e^{x}$

4) ( $\frac{1}{x}) ' = - \frac{1}{x^{2}}$ $\frac{1}{x}) ' = - \frac{1}{x^{2}}$

1) ( ${ctgx) }' = - \frac{1}{\sin^{2}x}$ ${ctgx) }' = - \frac{1}{\sin^{2}x}$

3) ( $c') = 0, c - const$ $c') = 0, c - const$

4) ${kx + c) }' = k$ ${kx + c) }' = k$

б) Есептер шығару

Фукциялардың туындыларын табыныз:

y =x\sqrt{x}x\sqrt{x}+15\frac{1}{5}15\frac{1}{5}sin 5x - 14
y =5lnx−log5x{lnx - log}_{5}xlnx−log5x{lnx - log}_{5}x
y =(x7−3x4) 120x^{7} - 3x^{4}) ^{120}x7−3x4) 120x^{7} - 3x^{4}) ^{120}
y=(x7-3x4) 120

Шешуі:

${1) y}' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + cos5x$

$2) y' = \frac{{cosx -}{sinx}}{1 + sin2x}$

${3) y}' = \frac{5}{x} - \frac{1}{xen5}$

$4) y'120(x^{7} - {3x}^{4}) ^{119}({7x}^{6} - {12x}^{3})$

Сұрақ:

Тундының геометриялық мағынасы қандай?

Жауап:

Туындының геометриялық мағынасы функция графигіне жүргізілген жанаманың Ох осімен жасайтын бұрышының тангенсі

Есептер шығару:

ʄ (x) =e1+2x−4x3e^{1 + 2x} - 4x^{3}e1+2x−4x3e^{1 + 2x} - 4x^{3}фукциясынаx0x_{0}x0x_{0}= -0, 5 нүктесі арқылы өтетін жанаманың теңдеуің табыңыз.

Шешуі:

y = e ^1+2x - 4x ³ ; x ₀ = -0, 5

y’ = 2e ^1+2x - 12x ²

y( x ₀ ) = e ^{1+2(-0, 5)} - 12 (-0, 5) ³ = e ⁰ +0, 5=1, 5

y’(x ₀ ) = 2e ^{1+2(-0, 5)} - 12 (-0, 5) ² = 2-3=-1

y=y(x ₀ ) +y’(x ₀ ) (x-x ₀ )

y=1, 5+(-1) (x+0, 5) =1, 5- (x+0, 5) =1, 5-x-0, 5=1-x

y=1-x

Абциссасы х= -π6\frac{\pi}{6}π6\frac{\pi}{6}болатын нүктедеу=ctg3x3у = \ \frac{ctg\ 3\ x}{\sqrt{3}}у=ctg3x3у = \ \frac{ctg\ 3\ x}{\sqrt{3}}қисығына жүргізілген жанама Ох осіне қандай бұрышпен көлбеген?

Шешуі:

Функцияның туындысын табайық.

$y' = - \frac{\sqrt{3}}{\sin^{2}3x}, \ сонда\ ⨍'\left( - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{\sin^{2}\frac{\pi}{2}} = - \sqrt{3}.$

Берілген нүктедегі туындының мәні теріс, демек жанама мен Ox осінің оң бағыты арасындағы бұрыш доғал. tga=- $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ , демек a= $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{2\pi}{3}$ .

3) а-ның қандай мәнінде у=-10x+a түзуі у=3x ² -4x-2 функциясының графигіне жанама болады?

Шешуі:

Жанама түзу мен берілген функцияның ортақ бір ғана нүктесі бар, яғни 10x+a= ${3x}^{2} - 4x - 2.$ ${3x}^{2} - 4x - 2.$ Осыдан ${3x}^{2}$ ${3x}^{2}$ -2-a=0 квадрат тендеуі шығады. Мұнда дискриминант нөлге тең болуы керек.

36+4. 3(2+ a ) =0. Бұдан а =-5 табамыз.

Туындының функцияны зерттеуде қолданылуы

Туындының көмегімен функцияның кризистік нүктелерін, өсу, кему аралығы, функцияның максимум минимумдары анықталады. Осы тақырыпқа арналған бірнеше есептерді қарастырайық

1) y = $\frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ $\frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ фукциясы берілген, табыңыз:

а) барлық кризистік нүктелерін;

б) минимум және максимум нүктелерін.

Шешуі:

y’= $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ - $\frac{2}{X}$ $\frac{2}{X}$ ;

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ - $\frac{2}{x^{2}}$ $\frac{2}{x^{2}}$ ⁼ 0

x ² - 4 = 0

x ² = 4

x = 2

x=-2

Кризистік нүктелері 2; -2

+ - +

- $\infty$ $\infty$ + $\infty$ $\infty$

-2 0 2

X _max = -2;

X _min = 2

Ф (x) =xe−3x{xe}^{- 3x}xe−3x{xe}^{- 3x}фукциясынның кему аралығын табыңыз.

Шешуі:

Ф’ (x) =e ^-3x - 3x e ^-3x

e- ^-3x -3x e ^-3x =0

e ^-3x (1-3x) =0

e ^-3x +0

e-3x=0

3x=1

X= $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

+ -

- $\infty$ $\infty$ + $\infty$ $\infty$

$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

Жауабы: ( $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ ; + $\infty$ $\infty$ )