Санау жүйесі. Бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне өту

№2 Зертханалық жұмыс

Жұмыстың тақырыбы: Санау жүйесі. Бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне өту

Жұмыстың мақсаты:
1. Санау жүйелерімен танысу;
2. Екілік, сегіздік, ондық және оналтылық санау жүйесінде есептеулер жүргізуді меңгеру;
3. Бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстыруды меңгеру.

Жұмыстың мазмұны:
Санау жүйелері - сан деп аталатын, символдар көмегімен бейнеленетін атаулар тәртібінің жиынтығы. Санау жүйелері позициялық және позициялық емес болып екіге бөлінеді. Позициялық емес санау жүйесіне мысал -- рим сандары: бірнеше сандар негізгі болып алынған (мысалы, І, V, X), ал қалғандары осы негізгі сандарды қосу арқылы алынады ( VІ, VІІ сияқты) немесе алу ( ІV, ІX сияқты). Ал позициялық санау жүйелеріне екілік, ондық, сегіздік, оналтылық сандар жатады.
Екілік санау жүйесі. Екiлiк жүйеде кез келген сан екi 0 және 1 цифрларының көмегiмен жазылады және екiлiк сан деп аталады. Екiлiк санның әрбiр разрядын (цифрын) бит деп атайды. Кез келген санау жүйесiнiң негiзiн осы санау жүйесiнде қолданылатын цифрлар санын анықтап ЭЕМ-де ақпаратты өрнектеу үшiн екiлiк жүйе қолданылады. Екiлiк жүйеде қосындыда негiздеушi ретiнде 2 санын қолданады.
Сегіздік санау жүйесі. Сегіздік санау жүйесі, яғни сегіздік негіздеуіші санау жүйесі, сегіз цифрдың көмегімен санды көрстеді: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Ондық санау жүйесі. Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Мысалы: 234=200+30+4. 2 жүздiктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткенi ондық санды жазуда цифрдың мәнi оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлiнетiн позицияны разряд деп атайды.
Егер 234 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 2*102+3*101+4*100. Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Санның әрбiр цифры үшiн 10 негiздеушi цифрлың орнына байланысты дәрежеленедi және осы цифрға көбейтiледi.
Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады.
Оналтылық санау жүйесi. Оналтылық санау жүйесiнде санды жазу үшiн ондық санау жүйесiнiң цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және латын алфавитiнiң алғашқы үлкен әрiптерi: A,B,C,D,E,F қолданылады. Мұнда A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Сандардың қандай сандық жүйеде тұрғанын бiлу үшiн, оның төменгi жағына индекс жазылады және индекске қандай жүйеде екенi көрсетiледi.

1-тапсырма. Сұрақтарға жауап беріңіздер:
--------------------------------------------------------------------------------
1. Санақ жүйесi дегенiмiз не?
--------------------------------------------------------------------------------
2. Санақ жүйелерiнiң түрлерiн атаңыз?
--------------------------------------------------------------------------------
3. Позициялық және позициялық емес санақ жүйелерiнiң айырмашылығы неде?
--------------------------------------------------------------------------------
4. Позициялық санақ жүйелерiне қандай санақ жүйелерi жатады?
--------------------------------------------------------------------------------
5. Санақ жүйесiнiң негiзгi сандары деп қандай сандарды айтамыз?
--------------------------------------------------------------------------------
6. Ондық санақ жүйесiндегi санды екiлiк санақ жүйесiне ауыстыру қалай жүзеге асады?
--------------------------------------------------------------------------------
7. Ондық санақ жүйесiндегi санды сегiздiк санақ жүйесiне ауыстыру қалай жүзеге асады?
--------------------------------------------------------------------------------
8. Ондық санақ жүйесiндегi санды он алтылық санақ жүйесiне ауыстыру қалай жүзеге асады?
--------------------------------------------------------------------------------
9. Екiлiк санақ жүйесiндегi сандарды ондық санақ жүйесiне ауыстыру қалай жүзеге асады?
--------------------------------------------------------------------------------
10. Сегiздiк санақ жүйесiндегi сандарды ондық санақ жүйесiне ауыстыру қалай жүзеге асады?
--------------------------------------------------------------------------------
11. Он алтылық санақ жүйесiндегi сандарды ондық санақ жүйесiне ауыстыру қалай жүзеге асады?

2-тапсырма. Кестені толтырыңыз:
Санау жүйелері
Негізі
Алфавит
Екілік

Сегіздік

Ондық

Он алтылық

3-тапсырма. Кестені есептеп толтырыңыз:
2
8
10
16
20 =
80 =
100 =
160 =
21 =
81 =
101 =
161 =
22 =
82 =
102 =
162 =
23 =
83 =
103 =
163 =
24 =
84 =
104 =
164 =
25 =
85 =
105 =
165 =
26 =
86 =
106 =
166 =
27 =
87 =
107 =
167 =
28 =
88 =
108 =
168 =
29 =
89 =
109 =
169 =
210 =
810 =
1010 =
1610 =
211 =
811 =
1011 =
1611 =
212 =
812 =
1012 =
1612 =
213 =
813 =
1013 =
1613 =
214 =
814 =
1014 =
1614 =
215 =
815 =
1015 =
1615 =

4-тапсырма. Екiлiк санау жүйесiндегi сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырып жазыңыздар:

1. 111110112=
2. 1111110012=
3. 1001110112=
4. 1011110112=
5. 1010101012=
6. 1000000012=
7. 1011000012=
8. 1111000012=
9. 1011111012=
10. 111111102=
11. 1011111,112=
12. 1111011,1012=
13. 11110101,1112=
14. 111101,10012=
15. 100110101,1012=
16. 11101111,1112=
17. 1000001,1112=
18. 1111111,10012=
19. 1111011,112=
20. 10101011,101=

1-мысал. 110100012=1*∙27+1*26+0*25+1*24+0*23+0*22+0*21+1*20 = =128+64+16+1=20910.
Жауабы: 110100012 =20910.

2-мысал. 11101,1012=1*24+1*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+ +1*2-3=16+8+4+0+1+0,5+0+0,125=29,62510.
Жауабы: 11101,1012 =29,62510.

5-тапсырма. Санды ондық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне алмастырыңзыдар:

1. 25610=
2. 51510=
3. 95610=
4. 78510=
5. 99910 =
6. 98810=
7. 75210=
8. 84510=
9. 95010=
10. 89710=
11. 952,3610 =
12. 741,7910 =
13. 852,5610 =
14. 951,3210 =
15. 753,2510 =
16. 963,4510 =
17. 852,3810 =
18. 987,5610 =
19. 986,8710 =
20. 759,8110=

3-мысал. 25 санын 2-ге бөлеміз, шыққан бөліндіні тағы 2-ге бөлеміз т.с.с бөлінді 2-ден кіші болғанда бөлуді тоқтатып, нәтижеде ақырғы бөлiндiнi және барлық қалдықтарды соңғысынан бастап бiрiнен соң бiрiн жазамыз.
1
2
12
12
0
2
6
6
0
1
3
2
2
1
2
25
24



Жауабы: 12510=11111012.
4-мысал. 206,35 санын ондық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне ауыстыр.
206 санын әдеттегі тәсілмен екілік санау жүйесіне алмастырамыз:

206
2

206

103
2

0

102

51
2

1

50

25
2

1

24

12
2

1
112

6
2

0
6
3
2

1
0
32
1

Бүтін бөлік 20610=110011102 болды, үтірден кейінгі бөлшек бөлімін негіз 2-ге көбейтеміз:
0,35:: 2 = 1,4 - бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,4 :: 2 = 0,8 - бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,8 :: 2 = 1,6 - бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,6 :: 2 = 1,2 - бүтін бөлігі 1-ге тең;
0,2 :: 2 = 0,4 - бүтін бөлігі 0-ге тең;
0,4 :: 2 = 0,8 - бүтін бөлігі 0-ге тең.
Соңғы көбейтінді екінші рет қайталанып тұр, яғни ауыстыру аякталды.
Жауабы: 206,3510 = 11001110,1011002.

6-тапсырма. Ондық санау жүйесіндегі сандарды сегіздік санау жүйесіне алмастырыңыз:

1. 215610=
2. 121510=
3. 135610=
4. 178510=
5. 297410 =
6. 198810=
7. 275210=
8. 184510=
9. 195010=
10. 229710=
11. 159610 =
12. 256110 =
13. 123410 =
14. 134510 =
15. 156810 =
16. 234510 =
17. 299910 =
18. 288810 =
19. 272710 =
20. 252510 =

5-мысал. 815 ондық санын сегіздік санау жүйесіне алмастыру қажет.
Ондық жүйеде берiлген 815 бүтiн оң санды сегiздiк жүйеде жазу үшiн бұл санды 8-ге бөлемiз, келiп шыққан бөлiндiнi тағы 8-ге бөлемiз және т.с.с. бөлудi ақырында 8-ден кiшi болып қалғанға дейiн жалғастырамыз. Нәтижеде ақырғы бөлiндiнi және барлық қалдықтарды соңғысынан бастап бiрiнен соң бiрiн жазамыз.

815
8

808

101
8

7
96

12
8

5
8
1

4

Жауабы: 81510 = 14578

7-тапсырма. Сегіздік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне ауыстырыңыздар:

1. 12538=
2. 24158 =
3. 16178 =
4. 17418 =
5. 17718 =
6. 21458 =
7. 41358 =
8. 14728 =
9. 12678 =
10. 41578 =

11. 54128 =
12. 45458 =
13. 65568 =
14. 74418 =
15. 55668 =
16. 66778 =
17. 35628 =
18. 66668 =
19. 73258 =
20. 55558 =
6-мысал. 1572 санын сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру керек. 1572 сегіздік санау жүйесіндегі санын ондық санау жүйесіне алмастыру үшін сегіздік жүйедегі санды цифрлік коэффициенттерімен 8-ң дәрежелерінің қосындысы түрінде жазып, осы қосындыны есептек керек.

15728 = 1*∙83+5*82+7*81+2*80 = 512+320+56+2 = 89010.

8-тапсырма. Ондық санау жүйесінен он алтылық санау жүйесіне ауыстырыңыздар:

1. 1589610=
2. 1442010 =
3. 1617510 =
4. 1452310 =
5. 1552310 =
6. 1589610 =
7. 1985610 =
8. 1896310=
9. 1578910 =
10. 1789610 =
11. 1442510 =
12. 1488810 =
13. 1933310 =
14. 1478110 =
15. 1788110 =
16. 1852810 =
17. 1977310 =
18. 1393910 =
19. 1977710 =
20. 2012510 =

7-мысал. 1598 ондық санын оналтылық санау жүйесіне ауыстыру қажет. Ондық жүйеде берiлген бүтiн оң санды оналтылық жуйеде жазу үшiн бул санды 16-ға бөлемiз, келiп шыққан бөлiндiнi тағы 16-ға бөлемiз және т.с.с. бөлудi ақырында 16-дан кiшi болып қалғанға дейiн жалғастырамыз. Нәтижеде ақырғы бөлiндiнi және барлық қалдықтарды соңғысынан бастап бiрiнен соң бiрiн жазамыз.

1598

16

1584

99

16

144
96
6

3

Мұнда E=14 ескерсек, есептің жауабы 159810 = 63Е16.

9-тапсырма. Он алтылық санау жүйесінен ондық санау жүйесіне алмастырыңыздар:
1. A2B616=
2. F2BC16 =
3. CD3A16 =
4. 14AD16 =
6. 2FD616 =
7. 2E7C16 =
8. 3DEF16 =
9. 9ACD16 =
10. ADCF16 =

1. A3С616=
2. FАBC16 =
3. C53A16 =
4. 14AҒА16 =
6. 2F2А616 =
7. 2EҒ7А16 =
8. 3ҒDEF16 =
9. 9ЕC2D16 =
10. 1A2CЕ16 =

8-мысал. 2ACB он алтылық санын ондық санау жүйесіне алмастру қажет.
Мұнда A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 ескерсек:

2ACB16=2*163+10*162+12*161+11*160=2*4096+10*256+192+11=
=1095510.

Өзіндік жұмыстар:

1 нұсқа

11 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
1000100012

1000110012

7358

6758

96410

132010

В2С16

AB616
2 нұсқа

12 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
11111000012

1111000102

4658

7648

97510

167410

A2С16

A3B16
3 нұсқа

13 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
1001100012

1110001112

6778

6758

142110

197110

BD816

B9C16
4 нұсқа

14 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
1101010012

110000112

7728

6758

93410

164510

FD716

C6B16
5 нұсқа

15 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
1101111012

1000100012

6528

7358

78410

96410

F2716

В2С16
6 нұсқа

16 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
111100012

10101100012

3148

7258

124110

86410

BD716

В3С16
7 нұсқа

17 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
1001111002

1000111112

6528

7558

134210

95410

A8F16

А3С16
8 нұсқа

18 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
1010101112

1000110012

4548

6358

134210

94410

ED416

А4С16
9 нұсқа

19 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
101010100112

1001111112

4748

7258

233210

82610

ҒD416

F4С16
10 нұсқа

20 нұсқа
Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық

Екілік
Сегіздік
Ондық
Он алтылық
10010011012

11111100012

5478

7748

165210

96310

DE916

D3С16