Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу. Рационал-дәрежелі теңдеу

САБАҚ ЖОСПАРЫ

Күні ________________________

Тобы _______________________

Сабақтың тақырыбы: Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу. Рационал-дәрежелі теңдеу
Сабақтың мақсаты:
1.Білімділік: Теңдеуді шешу әдістерін меңгеру.
2.Дамытушылық: Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.
3.Тәрбиелілік: Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекке баулу.
Сабақтың түрі: теориялық
Оқытудың әдістері мен әдістемелік амалдары: баяндау, сұрақ-жауап.
Көрнекті оқу құралдары мен техникалық құралдар: Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу. Рационал-дәрежелі теңдеу жалпы түрі мен формулалар жазылған плакаттар.

Сабақтың барысы:

1.Ұйымдастыру бөлімі: Оқушылармен сәлемдесу. Сабаққа даярлығын тексеру.
2. Өткен тақырыпты тексеру: §4 (286-бет) №130-133 [3]
3. Жаңа тақырыпты түсіндіру:
Негізгі формулалар
ах2+bx+c=0, a!=0 (1) квадраттық теңдеуінің нақты түбірлері бар болады,егер оның дискриминанты теріс емес болса:
D=b2-4ac>=0 (2)
Бұл жағдайда (1) теңдеу түбірлері (3) формуласы бойынша табылады.
Егер болса, онда (1) теңдеудің нақты тубірдері болмайды.
ax2+bx+c=0 квадрат теңдеуі үшін Виет теоремасы бойынша, теңдеудің
х1 және х2 түбірлері және оның коэффициенттері арасындағы келесі қатыстар орындалады:
(4)
(5) кубтық теңдеу үшін де Виет теоремасы дұрыс:
(6)
1.
Шешуі:мұндағы

Содан соң х-ты табу үшін келесі теңдеулерді шешеміз:

Жауабы:
2.
Шешуі:Теңдеудің екі жағына да өрнегін қосып, түрлендіру жүргіземіз:
деп белгілесек, аламыз:

у-тің орнына мәндерін қойып, х-ті табамыз:
;

Жауабы:

4. Жаңа тақырыпты бекіту:
1) теңдеуін шешу.
Шешуі: оған тең күшті теңдеуін қарастырамыз.
деп белгілейміз, сонда у-ті табу үшін мына теңдеуді аламыз:
У-тің орнына мәндерін қойып, аламыз:

Жауабы: .
2)
Шешуі:Түрлендіріп аламыз:

деп белгілейміз,сонда
Берілген теңдеу түріне келеді.

Содан соң келесі екі теңдеуді шешеміз.

Жауабы: .

5. Үйге тапсырма беру: §4 (286-бет) №136-141 [3]

САБАҚ ЖОСПАРЫ

Күні ________________________

Тобы _______________________

Сабақтың тақырыбы: Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу. Рационал-дәрежелі теңдеу
Сабақтың мақсаты:
1.Білімділік: Теңдеуді шешу әдістерін меңгеру.
2.Дамытушылық: Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.
3.Тәрбиелілік: Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекке баулу.
Сабақтың түрі: теориялық
Оқытудың әдістері мен әдістемелік амалдары: баяндау, сұрақ-жауап.
Көрнекті оқу құралдары мен техникалық құралдар: Сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу және оған келтірілген теңдеу. Рационал-дәрежелі теңдеу жалпы түрі мен формулалар жазылған плакаттар.

Сабақтың барысы:

1.Ұйымдастыру бөлімі: Оқушылармен сәлемдесу. Сабаққа даярлығын тексеру.
2. Өткен тақырыпты тексеру: §4 (286-бет) №130-133 [3]
3. Жаңа тақырыпты түсіндіру:
Негізгі формулалар
ах2+bx+c=0, a!=0 (1) квадраттық теңдеуінің нақты түбірлері бар болады,егер оның дискриминанты теріс емес болса:
D=b2-4ac>=0 (2)
Бұл жағдайда (1) теңдеу түбірлері (3) формуласы бойынша табылады.
Егер болса, онда (1) теңдеудің нақты тубірдері болмайды.
ax2+bx+c=0 квадрат теңдеуі үшін Виет теоремасы бойынша, теңдеудің
х1 және х2 түбірлері және оның коэффициенттері арасындағы келесі қатыстар орындалады:
(4)
(5) кубтық теңдеу үшін де Виет теоремасы дұрыс:
(6)
1.
Шешуі:мұндағы

Содан соң х-ты табу үшін келесі теңдеулерді шешеміз:

Жауабы:
2.
Шешуі:Теңдеудің екі жағына да өрнегін қосып, түрлендіру жүргіземіз:
деп белгілесек, аламыз:

у-тің орнына мәндерін қойып, х-ті табамыз:
;

Жауабы:

4. Жаңа тақырыпты бекіту:
1) теңдеуін шешу.
Шешуі: оған тең күшті теңдеуін қарастырамыз.
деп белгілейміз, сонда у-ті табу үшін мына теңдеуді аламыз:
У-тің орнына мәндерін қойып, аламыз:

Жауабы: .
2)
Шешуі:Түрлендіріп аламыз:

деп белгілейміз,сонда
Берілген теңдеу түріне келеді.

Содан соң келесі екі теңдеуді шешеміз.

Жауабы: .

5. Үйге тапсырма беру: §4 (286-бет) №136-141 [3]

Алгебралық теңдеулер
4. Мысал: если
Шешуі

Мысал: если
1 әдіс. .
Енді табамыз, ол үшін санын және бойынша өрнектейміз. . Онда
.
сонымен .
2 әдіс. . деп белгілейміз, онда . Ендеше,

Шарт бойынша , олай болса, бұдан
сонымен .
Мысал: , онда . негізі бойынша логарифмдейміз , , бұдан
Мысал: .

Теңсіздікті дәлелдеу

1.
a+b+c >=
(-)2>=0 a+b>=2
( -)2>=0 a+c>=2
(-)2>=0 b+c>=2

2(a+b+c)>= 2(++)
a+b+c>= + +

2. (a+b)(b+c)(a+c)=8a*b*c
(-)2>=0 a+b>=2
( -)2>=0 a+c>=2
(-)2>=0 b+c>=2

. (a+b)(b+c)(a+c)=8a*b*c

3.a>=0 b>=0 c>=0 a+b+c=1

(-)2>=0 a+b>=2
( -)2>=0 a+c>=2
(-)2>=0 b+c>=2
(a+b)(b+c)(a+c)=8a*b*c a=1-b-c
b=1-a-c
c=1-a-b
(1-b-c+b)(1-a-c+c)(1-b-a+a)>8a*b*c
(1-c)(1-a)(1-b)>8a*b*c

4. a>=0 b>=0 c>=0
(a+1)(b+1)(c+a)(b+c)>=16a*b*c
(+1)2>=0 a+1>=2
(+1)2>=0 b+1>=2
(+)2>=0 c+a>=2
(-)2>=0 b+c>=2

(a+1)(b+1)(c+a)(b+c)>=16a*b*c

5.
log23+log32>2
log33/log23+log32>2
(1+log322)/log23>2
1+log322>2log32
(1+log32)2>0

6.(a2+2 )/ >=2
.(a2+2 )/ -2=a2+2-2=( -1)2/

7
a>=0 b>=0 c>=0 d>=0
a4+b4+c4+d4>4a*b*c*d
(a2-b2)2+2a2b2+(c2-d2)+2c2d2>=4a*b*c*d
(a2-b2)2+2a2b2+(c2-d2)+2c2d2 - 4a*b*c*d>=0
(a2-b2)2 +(c2-d2) +2(a2b2-2abcd+c2d2)>=0
(a2-b2)2+(c2-d2)2 +2(ab-cd)2>=0

8. a>=0 b>=0 c>=0 d>=0
=<(a+c)+(b+d)
( +)2>=0
a+b-2 +c+d>=0
(a+b+c+d)>=
=<(a+c)+(b+d)

9. a1>=0 a2>=0 ... an>=0
++....++ +....++...+ =>(a1+a2+....+an)

n=4
++ ++ +=<(a1+a2+a3+a4)

a1+a2 =<2 a2+a3=<2 a3+a4 =<2
a1+a3 =<2 a2+a4 =<2 ......... ............
a1+a4=<2 ............... ........... a3+an=<2
........... ............. a2+an =<2
a1+an =<2

Жоғары дәрежелі теңдеулер
(7) кубтық теңдеуін қарастырайық.
Егер p,q,r коэффициенттері- бүтін сандар болса, онда (7) теңдеудің бүтін түбірлерін r бос мүшесінің бөлгіштерінің ішінен іздеу қажет. Бұл (6) қатыстан шығады.Егер х1 бүтін түбірін тапсақ,
көпмүшесін (х-х1)-ге бөлеміз.Бөлінді де - екінші дәрежелі көпмүше.Оны 0-ге теңестіріп,квадрат теңдеу аламыз.
1. теңдеуін шешу.
Шешуі.Бүтін түбірлерді бос мүшенің бөлгіштері:
сандарының ішінен іздейміз. Бұл сандарды тексере отырып, түбірін табамыз. көпмүшесін (х-3)-ке бөлеміз,бөліндіде көпмүшесін аламыз.Сонан соң
Теңдеуін шешеміз.Оның екі түбірі бар: x=3,x=5.
Жауабы: .
2. теңдеуін шешеміз.
Шешуі: Бүтін түбірлерін сандарының ішінен іздейміз.Тексере отырып, аламыз. - ні -ге бөлеміз және .
-ні 0-ге теңестіріп,квадрат теңдеуін шешеміз. болғандықтан, бұл теңдеудің нақты түбірлері болмайды.
Жауабы:
3. теңдеуін шешу.
Шешуі:Бос мүшенің бөлгіштері:Бүтін түбірлері болмайтынына көз жеткіземіз. Бұл теңдеудің мүмкін болатын рационал түбірлерін іздеу үшін теңдеудің екі жағын 4-ке көбейтеміз:.алмастыруы түбірі болатын теңдеуіне әкеледі.Әрі қарай ; теңдеуінің нақты түбірлері болмайды,сондықтан түбірі, демек -берілген теңдеудің жалғыз түбірі болып табылады.
Төртінші дәрежелі және жоғары дәрежелі теңдеулер осыған ұқсас шешіледі.
(8) мұндағы бүтін сандар, теңдеуінің рационал түбірлерін іздеу үшін әр түрлі әдістер қолданылады.
Олардың бірі (8) теңдеуінің рационал түбірлерін , мұндағы -ң бөлгіші, -ң бөлгіші және - өзара жай, түрінде іздеуден тұрады. Осы әдістерді мысал арқылы сипаттайық.
4. теңдеуін шешу.
Шешуі: теңдеудің екі жағын 4-ке көбейтеміз және алмастыруын жүргізіп, мынаны аламыз.
Жауабы:
Осы теңдеудің басқа тәсілмен шешсек, оны мына түрге келтіреміз: бос мүшенің бөлгіштері: . Бұл сандарды тексере отырып, табамыз. көпмүшесін -ге бөлуді орындап, бөлінді де көпмүшесін аламыз. Бұл көпмүшенің түбірін аналогиялы түрде табамыз. Әрі қарай
жауабы :
Теңдеуді шешіңіз:
Алмастыру тәсілі
Көптеген алгебралық теңдеулер алмастыру арқылы квадрат теңдеулерге не жоғары дәрежелі теңдеулерге келеді. Бірнеше мысал келтірейік.
Егер шарты орындалса,онда ax4+bx3+cx2+dx+k=0 түріндегі теңдеу қайтарымды деп аталады. X=0-қайтарымды теңдеудің шешімі бола алмайтындықтан,теңдеудің екі жағын да х2-қа бөліп және айнымалылардың сәйкес алмастыруынан соң квадрат теңдеу алуға болады.Қайтарымды теңдеуді шешуге мысал келтірейік.
15. 2х4-21х3+74х2-105х+50=0
Шешуі: Теңдеулің екі жағын х2-қа бөліп, қосылғыштарды топтаймыз:

белгілеуін енгіземіз,сонда аламыз.

Сонымен,

Жауабы: .
Қайтарымды теңдеудің жеке жағдайлары болып симметриялы деп аталатын ах4+bx3+cx2+bx+a=0 түріндегі теңдеу (ұштарынан бірдей қашықтықтағы мүшелер коэффициенттері бірдей) және қиғаш симметриялы деп аталатын ах4+bx3+cx2-bx+a=0 түріндегі теңдеу (ұштарынан бірдей қашықтықта жұп дәрежелі мүшелер коэффициенттері тең , ал тақ дәрежелі мүшелер коэффициенттері абсолют шамасы жағынан тең және таңбалары қарама-қарсы) табылады.Симметриялы теңдеу қиғаш симметриялы теңдеу алмастыруы арқылы квадрат теңдеулерге келеді.
Егер а+b=c+d шарты орындалса, (х+а)(x+b)(x+c)(x+d) =m түріндегі теңдеу квадрат теңдеуге келтіріледі.
16. (x-1)x(x+1)(x+2)=24 теңдеуін шешу.
Шешуі: түрлендіру жүргізіп, аламыз:(x2+x)(x2+x-2)=24 x2+x=y белгілеуін енгіземіз,сонда
Х-ті табу үшін екі теңдеу жиынтығын шешеміз:

Жауабы:.
Теңдеуді шешеңіз:
25. (x+3)4+(x+5)4=16 теңдеуін шешу.
Шешуі: x+4=t алмастыруын жасаймыз. Сонда
(x+4)2=1 теңдеуін шешіп, x=-3,x=-5 табамыз.
t2=-7теңдеуінің нақты түбірлері болмайды.
Жауабы:.
түріндегі теңдеу әрбір бөлшектің алымын да , бөлімін де х-ке бөлу арқылы түріне келеді.
деп белгілеп, квадрат теңдеуге апаратын теңдеуін аламыз.
26.
Шешуі:мұндағы

Содан соң х-ты табу үшін келесі теңдеулерді шешеміз:

Жауабы:
27.
Шешуі:Теңдеудің екі жағына да өрнегін қосып, түрлендіру жүргіземіз:
деп белгілесек, аламыз:

у-тің орнына мәндерін қойып, х-ті табамыз:
;

Жауабы:
28. (6х+7)[2](3x+4)(x+1)=6 теңдеуін шешу.
Шешуі: Қарапайым түрлендіру жүргізіп аламыз:

6x+7=t алмастыруын жасап аламыз:
деп белгілейік, Сонда: z-тің орнына мәндерді қойып аламыз: теңдеуінің нақты түбірі болмайды.
t=6x+7 екенін ескеріп, х-ті табу үшін мына теңдеулерді шешеміз:

Жауабы: .
Теңдеулерді шешіңіз:
ау2а+вуаza+cz2a=0 (9) түріндегі теңдеу бірыңғай теңдеу деп аталады, мұндағы а,в,с,-нөлден өзге берілген сандар у және z x-тн алынған қайсыбір функциялар.
(9) теңдеуді шешерде z(x)=0 теңдеудің түбірлері (9) теңдеу түбірі бола ала ма, соны тексереміз.Содан соң (9) теңдеудің екі жағын да z2a-не бөліп аламыз.
а(y/z)2a+b(y/z)a+c=0
(y/z)=t деп белгілеп, t-ға қатысты квадрат теңдеу аламыз.
Бірыңғай теңдеулерді шешуге мысал келтірейік.
45. 3(x-2)2+3(x-3)2=5/2 3(x-2)(x-3)
Шешуі: х=3 теңдеудің түбірі болмайтындықтан, теңдеудің екі жағын 3(x-3)2-қа бөлуге болады:
3((x-2)/(x-3))+1=5/2 3(x-2)(x-3)
3(x-2)(x-3) =y деп белгілесек: (y2+1=5y/2)[y=0,5; y=2 y-тің орнына мәндерін қойып аламыз:
( 3 (x-2)/(x-3)=2)( (x-2)/(x-3)=8)(x=22/7),
( 3 (x-2)/(x-3)=1/2) ( (x-2)/(x-3)=1/8) (x=13/7)
Жауабы: х{13/7;22/7}
46. 3(x[2]-x+1)[2]-2(x+1)[2]=5(x[3]+1).
Шешуі: x=-1 теңдеудің түбірі болмайтындықтан, теңдеудің екі жағын (x+1)[2]-қа бөлеміз:
(3((x[2]-x+1)/(x+1))[2]-2=5((x[3]+1)/(x+1)[2]) (3((x[2]-x+1)/(x+1))[2]-2=5(((x[2]-x+1)/(x+1))
(x[2]-x+1)/(x+1) =t деп белгілейміз, сонда (3t[2]-5t-2=0)[t=-1/3; t=2] t-нің орнына мәндерін қойып, х-ты табамыз:
[ (x2-x+1)/(x+1)=2; (x2-x+1)/(x+1)=-1/3[ x2-x+1=2x+2; 3x2-2x+4=0[ x=(3+-13)/2, x
Жауабы: х{(3+-)/2}
Теңдеулерді шешіңіз:

Тең күшті теңдеулер
Екі f1(x)=g1(x) және f2(x)=g2(x) (1) теңдеулері тең күшті(эквивалентті) деп аталады, егер олардың барлық шешімдерінің жиыны беттесетін болса немесе екуінің де шешімдері болмаса.
Тең күштілік анықтамасынан берілген теңдеудің орнына оған тең күшті теңдеу шешуге болатындығы шығады.
Тең күштілік ұғымы транзитивтілік қасиетке ие, яғни, егер f(x)=g(x) теңдеуі (х)=(x) теңдеуіне тең күщті және (х)=(x) теңдеуі m(x)=p(x) теңдеуіне тең күшті болса, онда f(x)=g(x) теңдеуі m(x)=p(x) теңдеуіне тең күшті болады.
Теңдеуді оған тең күшті теңдеумен немесе теңдеуді оған тең күшті теңдеулер (теңсіздіктер, жүйе) жиынтығымен алмастыру тең күшті көшіру деп аталады.
Мысалы: 1. а) x=1теңдеуі =1теңдеуімен тең күшті, өйткені 1 саны теңдеулердің әрқайсысының түбірі болады және бұл теңдеулердің ешқайсысында да басқа түбірлер жоқ.
б)x(x-1)=0 және x(x-1)(x-2)=0 теңдеулері тең күшті болып табылмайды, өйткені 2 саны бір теңдеудің түбірі болғанымен екіншісінің түбірі болмайды.
Теңдеулерді шешкенде теңдеуледің тең күштілігі ұғымының орнына теңдеулердің жиында тең күштілігі ұғымы жиі қолданылады: екі теңдеу А жиынында тең күшті деп аталады, егер олардың А жиынына тиісті болатын барлық түбірлерінің жиыны беттесетін болса немесе олардың екеуінің де осы жиында шешімі болмаса.
Теңдеулер тең күшті болмағанмен де қайсыбір жиында тең күшті болуы мүмкін.Оң сандар жиынында тең күшті болатын x=1 және |x|=1 теңдеулері мысал бола алады, бірақ олар тең күшті болып табылмайды.
Егер берілген (1) теңдеулер қосы үшін бірінші теңдеудің кез-келген түбірі екінші теңдеудің түбірі болып табылса, онда екінші теңдеу бірінші теңдеудің салдары деп аталады және былай жазылады:
f1(x)=g1(x) f2(x)=g2(x)
Егер теңдеуді оның салдарымен ауыстырса, онда екінші теңдеудің шешімдері жиынында алғашқы теңдеудің барлық түбірлері болады және және олардан басқа алғашқы теңдеудің бөгде түбірлері деп аталатын қайсыбір сандар болуы мүмкін. Сондықтан, егер шешу барысында теңдеуден оның салдарына көшсе, онда шешу соңында түбірлерге зерттеу(тексеру) жүргізу қажет.
Мысалы, =x2-1=x4-1
Екінші теңдеуді шешіп, х1=-1, x2=0, x3=1 табамыз, бірақ 0 саны бірінші теңдеудің түбірі болып табылмайды.
Бұл мысал x2=0 бөгде (бірінші теңдеу үшін) түбірі екінші теңдеудің ММО бірінші теңдеудің ММО-нан кңірек болғандығы салдарынан пайда болып отырғандығын көрсетеді. Дегенмен теңдеуден оның салдарына көшкенде теңдеудің ММО-ның кеңеюі әруақытта бола бермейді.(мысал1б-ны қарңыз).
Теңдеуді шешу процесі әдетте теңдеуді анағұрлым қарапайым теңдеумен біртіндеп алмастырудан немесе оны теңдеулер(теңсіздіктер, жүйелер) жиынтығымен алмастырудан тұрады.Теңдеудің бір немесе екі жағына қандай да бір түрлендіру жүргізіп алғашқы теңдеуді алмастыратын жаңа теңдеу аламыз.
Мысал арқылы теңдеуді түрлендіру оған тең күшті теңдеуге әкелумен қатар, берілгенге тең күшті емес теңдеуге де әкелу мүмкіндігін көрсетейік.
Мысал 2. 7-2х+5/(x-2)-5/(x-2)=11-4x теңдеуі оның сол жағындағы ұқсас мүшелерді біріктіргеннен кейін оған тең күшті 7-2х=11-4х теңдеуімен алмастырылады. 2саны емес 7-2х=11-4х теңдеуінің жалғыз түбірі болғанмен алғашқы теңдеудің түбірі болып табылмайды.
Мысал 3. 5+2х+5/(x-2)-5/(x-2)=26-х теңдеуі ұқсас мүшелерін біріктіргеннен кейін оған тең күшті 5+2х=26-х теңдеуімен алмастырылады. 7саны 5+2х=26-х теңдеуінің де алғашқы теңдеудің де жалғыз түбірі болып табылады.
Мысал 4. (x2-1)/(x-1)=2 теңдеуі оның сол жағын х-1 ортақ көбейткішіне қысқартқаннан кейін алғашқыға тең күшті емес х+1=2 теңдеуімен алмасады. 1 саны салдардың жалғыз түбірі болғанмен алғашқы теңдеудің түбірі болып табыллмайды.
Мысал 5. (x2-1)/(x-1)=5 теңдеуі оныңсол жағын х-1 ортақ көбейткішіне қысқартқаннан кейін алғашқыға тең күшті х+1=5 теңдеуімен алмасады. 4саны х+1=5 теңдеуінің де алғашқы теңдеудің де түбірі болып табылады.

Теңдеулердің тең күштілігі туралы тұжырымдар.
1. f(x)=g(x) және f(x)-g(x)=0 теңдеулері тең күшті.
2. f(x)=g(x) және f(x)+=g(x) + теңдеулері кез-келген саны үшін тең күшті.
3. f(x)=g(x) және f(x)= g(x)теңдеулері кез-келген 0 үшін тең күшті.
4. аf(x)=ag(x)(a>0, a1) және f(x)=g(x) теңдеулері тең күшті
5. Қайсыбір А жиынында y=f(x) және y= g(x) функциялары теріс емес болсын. Онда осы А жиынында f(x)=g(x) және fn(x)=gn(x) (nN) теңдеулеері тең күшті болады.
6. y=(x) функциясы анықталған және f(x)=g(x) ММО құрамындағы А жиынының бірде-бір нүктесінде 0-ге ұмтылмайтын болсын.Сонда А жиынында f(x)=g(x) және f(x)(x) =g(x)(x) теңдеулері тең күшті. А жиыны f(x)=g(x) теңдеуінің ММО-мен бнттесуі мүмкін.
Салдарлар туралы тұжырымдар
1.f2n(x)=g2n(x) (n N) теңдеуі f(x)=g(x) теңдеуінің салдары болып табылады.
2. f(x) =g(x)(x) теңдеуі f(x)/g(x)= g(x) теңдеуінің салдары болып табылады.
3. f(x)=g(x) теңдеуі f(x)+h(x)=g(x)+h(x) теңдеуінің салдары болып табылады.
4.[f(x)=0;g(x)=0 теңдеулер жиынтығы f(x)g(x)=0 теңдеуінің салдары болып табылады.
Мысал 6. х+7+10/(2x-1)=8-x+10/(2x-1) және x+7=8-x теңдеулері тең күшті болып табыла ма?
Шешуі. Екінші теңдеу бірінші теңдеудің екі жағына x=1/2-де анықталмаған 10/(2х-1) өрнегін қосқаннан алынған. Бұл (1/2) санының бірінші теңдеу түбірі ьола алмағанымен екінші теңдеу түбірі болатындығын білдіреді. (1/2) санының екінші теңдеу түбірі болатындығын тексеру оңай. Сонымен, екінші теңдеудің (1/2) түбірі бірінші теңдеудің түбірі бола алмайды. Олай болса, берілген теңдеулер тең күшті болып табылмайды.
Мысал 7.(2(х-10)/(х2 -13х+30)=1 және x2-15x+50=0 теңдеулері тең күшті болып табыла ма?
Шешуі.Бірінші теңдеуді шешеміз. Берілген теңдеудің екі жағын да х2 -13х+30 өонегіне көбейтіп, бөлімінен құтыламыз, 2х-20= х2 -13х+30 теңдеуін аламыз.Бұл теңдеудің барлық түбірлерінің жиыны екі саннан тұрады: x1=10 және x2=5.
Жүргізілген түрлендірудің нәтижесінде бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін; сондықтан тексеру қажет. Тексеру x1=10 санының берілген теңдеудің түбірі болмайтындығын, ал x2=5 саны оның түбірі болатындығын көрсетеді, яғни бірінші теңдеудің жалғыз x=5 түбірі болады.
x2-15x+50=0 теңдеуінің x1=5 және x2=10 екі шешімі бар.Берілген теңдеулердің түбірлері жиынын салыстыра отырып,екінші теңдеудің бірінші теңдеу салдары болатындығын аламыз.
Мысал 8. = және x2+x-5=x-1 теңдеулері тең күшті болып табыла ма?
Шешуі.Екінші теңдеудің барлық түбірлері жиыны екі саннан тұрады: x1=2 және x2=-2. -2 саны бірінші теңдеудің ММО-на кірмейді, сондықтан оның түбірі бола алмайды; демек бұл теңдеулер тең күшті емес.
Мысал 9.2=x+2 және 4(x+5)=(x+2)2 теңдеулері тең күшті бола ма?
Шешуі. Екінші теңдеудің барлық түбірлері жиыны 4 және -4 екі санынан тұрады. Бірақ -4 саны бірінші теңдеудің түбірі болып табылмайды; сондықтан берілген теңдеулер тең күшті болып табылмайды.Бұнда -4 саны х-5 шартын қанағаттандырады, яғни бірінші теңдеудің ММО-на кіреді: демек бұл теңдеулер бірінші теңдеудің ММО-да тең күшті болып табылмайды. Олар, мысалы х-2 жиынында тең күшті, өйткені бұл жиында 4 саны бірінші теңдеудің де,екінші теңдеудің де жалғыз түбірі болып табылады.

Модулі бар теңдеулер
Анықтама бойынша , егер а>=0
егер а<0
Модуль таңбасы ба ртеңдеулерді шешуде теңдеудің ММО-н, әрқасысында модуль таңбасы астындағы өрнек таңба сақтайтындай етіп, бөледі. Бұндай жиынның әрқайсысында теңдеуді модуль таңбасынсыз жазып, осы жиында шешу қажет. ММО-ның барлық бөліктерінде табылған шешімдер жиынының бірігуі теңдеудің барлық шешімдерінің жиынын құрайды.
Модулі бар теңдеуілердің қарапайым түрі f(x)=g(x), (1) мұндағы f(x)және g(x) - қайсыбір функциялар, түрінде болады. (1) теңдеуді шешу үшін алдымен f(x)=g(x) теңдеуінің х>=0 жиынына тиісті барлық шешімдерін, содан соң f(-x)=g(x) теңдеуін х<0жиынында шешу қажет; табылған шешімдер жиынының бірігуі (1) теңдеудің барлық шешімдер жиынын құрайды. Басқаша айтқанда, (1) теңдеу жүйелерінің жиынтығымен тең күшті.
100. х2-5+6=0 теңдеуін шешу.
Шешуі.: берілген теңдеу мына жүйелердің жиынтығымен тең күшті:
x2-5x+6=0 теңдеуінің екі шешімі бар: x1=2, x2=3 Олардың әрқайсысы теріс емес, сондықтан 2 және 3 сандары бірінші жүйе шешімі болады. x2+5x+6=0 теңдеуінің де екі шешімі бар: x3=-2, x4=-3, х3<0 және х4<0 болғандықтан екінші жүйенің шешімі болады.
Демек, берілген теңдеудің барлық шешімдерінің жиыны - 2,2-3,3 сандарынан тұрады.
101. теңдеуін шешу.
Шешуі: Берілген теңдеу
жиынтығымен тең күшті. x=x2+x-2 теңдеунің және түбірлері бар, бірінші жүйенің шешімі тек болады. -x=x2+x-2 теңдеуінің және екі түбірі бар. және болғандықтан, екінші жүйенің шешімі саны болып табылады.
Демек, берілген теңдеудің екі түбірі бар.:
(2) теңдеуін алмастыратын жүйелер жиынтығының екі тәсілін келтіріміз.
Бірінші тәсіл (2) теңдеу
жүйелер жиынтығымен тең күшті.
Екінші тәсіл. (2) теңдеу
жүйелер жиынтығымен тең күшті .
Егер (2) теңдеуінің f(x) функциясы g(x) функциясына қарағанда аса қарапайым болса, онда (2) теңдеу бірінші жүйелер жиынтығымен алмастыратын орынды.
Жеке жағдайда түріндегі теңдеудің
b<0 болғанда шешімі болмайды.
b= болғанда f(x) =0 теңдеуімен тең күшті.
b>0 болғанда теңдеулер жиынтығымен тең күшті.
102. теңдеуін шешу
Шешуі:берілген теңдеу мына теңдеулер жиынтығымен тең күшті.

х=0
Сонымен, берілген теңдеудің жалғыз шешімі 0 болады.
103
Шешуі: Берілген теңдеу түрінде мұндағы f(x)= Бұл теңдеу жүйелер жиынтығымен тең күшті .
Бұл жиынтықтың бірінші жүйесі f(x) =0 теңдеуімен, ал екінші жүйе f(x) <0 теңсіздігімен тең күшті; сондықтан бұл жүйелердің жынтығы f(x) =0 теңдеуі және f(x) <0 теңсіздігі жиынтығымен тең күшті, яғни f(x) <=0 теңсіздігімен.
Демек, алғашқы теңдеу <=0 теңсіздігімен яғни теңсіздігімен тең күшті.

ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ СИСТЕМАЛАРЫ.
Бір айнымалы теңдеулер
Теңдеудің анықтамасы. Теңдеудің түбірлері. Айнымалысы бар f(x)=g(x) теңдігі бір х айнымалылы теңдеу деп аталады. f(x) пен g(x) өрнектері тең сандық мәндер қабылдайтындай айнымалының әрбір мәні теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді шешу дегеніміз оның барлық түбірлерін табу немесе оның түбірлері жоқ екенін дәлелдеу.
1- мысал . 3+х=7 теңдеуінің жалғыз (бір ғана) түбірі бар: 4, өйткені айнымалының осы және тек қана осы мәнінде 3+х=7 дұрыс теңдік болады.
2- мысал (х-1)(х-2)=0 теңдеуінің екі түбірі бар: 1 мен 2
3-мысал х2+1=0 теңдеуінің нақты түбірлері жоқ.
Теңдеулердің жорымал түбірлері туралы да сөз етуге болатынын атап өтейік. Солай, х2+1=0 теңдеуінің екі жорымал түбірі бар: х1=і, х2=і. Біз тек нақты түбірлер туралы ғана сөз етеміз
Теңдеудің пара-парлығы. Бірдей (ортақ) түбірлері бар теңдеулер пара-пар теңдеулер деп аталады. Түбірлері жоқ болатын теңдеулер де пара-пар теңдеулер деп есептеледі. Мысалы, х+2=5 пен х+5=8 теңдеулері пара-пар, өйткені олардың әрқайсының бір ғана түбірі бар: ол 3 саны. Х2+1=0 мен 2х2+5=0 теңдеулері де пара-пар - бұл теңдеулердің ешбірінің де түбірлері жоқ. х-5=1 мен х2=36 теңдеулері пара-пар емес, өйткені біріншінің тек бір х=6 түбірі бар, ал екіншісінің екі түбірі бар: 6 мен -6.
Теңдеуді шешу процесінде оны қарапайымдау, бірақ берілгенге пара-пар теңдеумен ауыстыруға тырысады. Сондықтан қандай түрлендірулер берілген теңдеуді оған пара-пар теңдеуге көшіретінін білу маңызы.
Т.5.1. Егер теңдеудің қандай да бір мүшесін теңдіктің бір жағынан екінші жағына таңбасын өзгертіп көшірсек, онда берілген теңдеуге пара-пар теңдеу алынады.
Мысалы, х2+2=3х теңдеуі х2+2-3х=0 теңдеуіне пара-пар.
Т.5.2. Егер теңдеуді екі бөлігін де нольден ерекше бір ғана санға көбейтсек онда берілген теңдеуге пара-пар теңдеу алынады.
Мысалы, теңдеуі х2-1=6х теңдеуіне пара-пар (бірінші теңдеудің екі
бөлігі де 3-ке көбейтілді)
136. Сызықтық теңдеулер. Бір х айнымалылы сызықтық теңдеу деп АХ=b (a мен b - нақты сандар) түріндегі теңдеу аталады:
а- айнымалы жанындағы коэффициент, b - бос мүше деп аталады. Сызықтық ах+b теңдеуі үшін үш жағдай болуы мүмкін:
1) а!=0; бұл жағдайда теңдеудің түбірі -ға тең;
2) а=0,в=0 бұл жағдайда теңдеу 0·х=0 түрінде болады, ол кез келген х үшін дұрыс, яғни теңдеудің түбірі кез келген нақты сан;
3) а=0, в!=0; бұл жағдайда теңдеу 0·х=в түрін қабылдайды, оның түбірлері жоқ болады.
Көптеген теңдеулер түрлендірулердің нәтижесінде сызықтық теңдеуге келтіріледі.
1-мысал., теңдеуін шешу керек.
Шешуі. 5.1 - теорема бойынша берілген теңдеу теңдеуіне пара-пар. Егер бұл теңдеудің екі жағын 5-ке көбейтсек, онда 5.2 - теорема бойынша оған (берілген теңдеуге де ) пара-пар теңдеу аламыз: яғни . Сөйтіп -2/3 - теңдеудің түбірі.
2-мысал теңдеуін шешу керек. Бұл теңдеу сызықтық теңдеуге келтіріледі. Теңдеудің екі жағын да 12-ге көбейтіп (3,4,6,12 бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігі 12) , 12 теңдігін аламыз, бұдан 8+3х+2-2х=5х-12, 8+2+12=5х-3х+2х, 4х=22, х=5,5.
Квадраттық теңдеулер. а, в,с (а!=0) нақты сандар болғанда

ax2+bx+c=0 (1)
түріндегі теңдеу квадраттық теңдеу деп аталады. Егер а=1 болса, онда квадраттық теңдеу келтірілген, ал егер а!=1 болса, онда - келтірілмген деп аталады, а, в, с сандарының атаулары мынадай: а- бірінші коэффицент, в - екінші коэффицент, с - бос мүше.

ax2+bx+c=0 теңдеуінің түбірлері

(2)
формуласы бойынша табылады. Д=b2-4ac өрнегі (1) квадраттық теңдеудің дискриминанты деп аталады. Егер Д<0 болса, онда (1) квадраттық теңдеудің нақты түбірлері жоқ; егер Д=0 болса, онда - бір нақты түбірі бар, егер Д>0 болса. Онда - екі нақты түбірі бар болады. Д=0 болған жағдайда, кейде квадраттық теңдеудің бірдей екі түбірі бар дейді. Д=b2-4ac белгілеуін пайдаланып, (2) формуласын түрінде жазуға болады. Егер b=2k болса, онда (2) формуласы.

түрінде болады. Сөйтіп,
, (3)

(3) формуласы әсіресе бүтін сан, яғни В коэффициенті жұп сан болғанда қолдануға қолайлы.
1-мысал. 2х2-5х +2=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. а=2, b=-5, c=2 болғандықтан Д=b2-4ac =(-5)2-4·2·2=9. Д>0 болғандықтан теңдеудің екі түбірі бар, оларды (2) формуласы бойынша табамыз:

Сөйтіп, х1=0,25(5+3)=2, х2=0,25(5-3)=0,5, яғни х1=2 мен х2=0,5 берілген теңдеудің түбірлері.
2- мысал. x[2]-6x+9=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі: а=1, в=-6,с=9 болғандықтан (3) формуласы бойынша екенін табамыз, яғни х=3 - теңдеудің түбірі.
3-мысал. 2х2-3х+5=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. а=2, в=-3, с=5 болғандықтан Д=b2-4ac =(-3)[2]-4·2·5=9-40=-31. D<0 болғандықтан, бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ.
толық емес квадраттық теңдеулер. Егер ах2+bx+c=0 квадраттық теңдеуіне екінші коэффицент в немесе бос мүше с нольге тең болса, онда квадраттық теңдеуді толық емес деп атайды. Толық емес теңдеулерді бөліп қарастыруымыздың себебі мынада - оның түбірлерін іздегенде квадраттық теңдеуді түбірлері формуласын пайдаланбауға болады, теңдеуді оның сол жағын көбейткіштерге жіктеу әдісімен шешу ыңғайлы.
1-мысал 2х2-5х=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі х(2х-5) =0, бұдан не х=0, не 2х-5=0, яғни х=2,5. Сөйтіп, теңдеудің екі түбірі бар: 0 мен 2,5.
2-мысал 3х2-10 =0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі Теңдеудің екі бөлігін де 3-ке бөліп, , яғни екенін аламыз. Олай болса, не бұдан , не , бұдан. Сөйтіп теңдеудің екі түбірі бар: және -
3-мысал 2х2+5=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Кез келген х үшін 2х2+5>0 болғандықтан 2х2+5=0 теңдеуінің түбірлері жоқ.
Виет теоремасы. Т.5.3. Егер келтірілген х2+px+q=0 квадраттық теңдеуінің нақты түбірлері бар болса, онда олардың қосындысы - р-ға, ал көбейтіндісі q-ға тең, яғни
x1+x2=-p, x1x2 =q (1)

Келтірілген квадраттық теңдеудің түбірлері мен коэффиценттері арасындағы тағы кейбір қатыстарды қорытайық. Түбірлердің квадраттарының қосындысын табайық: x12+x22=(x12+2x1x2+x22)-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2 (1) формуласын пайдаланып, x12+x22=p2-2q (2)
Теңдігін аламыз. Түбірлердің кубтарының қосындысын қарастырайық:
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=(x1+x2)((x1+x2)2-3x1x2) (1) мен (2) формуласын пайдаланып,
x1[3]+x2[3]=p(p[2]-3q)
теңдігін аламыз.
Виет теоремасына кері теорема да орынды.
Т.5.4. Егер х1 мен х2 сандары x1+x2=-p, x1x2=q шарттарын қанағаттандыратын болса, онда х1 мен х2 - келтірілген x2+px+q=0 квадраттық теңдеуінің түбірлері болады.
Бұл теорема бірқатар жағдайларда квадраттық теңдеудің түбірлерін формуланы пайдаланбай-ақ табуға мүмкіндік береді.
1-мысал х2-9х+14=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі х1+x2=9, x1x2=14 болатындай х1 мен х2 сандарын тауып көрейік. Бұндай сандар 2 мен 7 болады. 5.4 - теорема бойынша дәл осы сандар берілген квадраттық теңдеудің түбірлері болады да.

2-мысал. x1+x2=-3, x1x2=-28 теңдіктері орындалатындай x1 мен x2 сандарын тауып көрейік. Бұндай сандар -7 мен 4 болатынын байқау қиын емес. Олар берілген теңдеудің түбірлері болады да.
Теңдеулердің системалары мен жиынтықтары (х2-1)2+((x-1)(x-2))[2]=0 теңдеуін қарастырайық. (х2-1)2>=0 және ((х-1)·(х-2))2>=0 екенін айқын, ал теріс емес екі санның қосындысы әр қосылғыш нольге тең болғанда және тек сонда ғана нольге тең болады. Сондықтан алдымен (х2-1)2=0 және ((x-1)(x-2))2=0 теңдеулерін шешу керек, ал содан кейін олардың ортақ түбірлерін табу керек. (x2-1)2=0 теңдеуінің түбірлері 1 мен -1 сандары, ал ((х-1)(х-2))2=0 теңдеуінің түбірлері 1 мен 2 сандары болады. Ортақ түбір 1 саны болады, ол - бастапқы теңдеудің түбірі.
Берілген теңдеулердің екеуін де қанағаттандыратындай айнымалының мәндерін табу керек болған жағдайда теңдеулердің системасы берілген дейді. Мысалы, (x2-1)2=0, ((х-1)(х-2))2=0
Әдетте системаның теңдеулерін бірінің астына бірін жазып, олардың алдына фигуралық жқша қояды.
Енді (x2-1)(x2-4)=0 теңдеуін қарастырайық. Екі санның көбейтіндісі олардың кемінде біреуі нольге тең болғанда және тек сонда ғана нольге тең болады. Сондықтан алдымен x2-1=0 мен x2-4=0 теңдеулерін шешу керек, ал содан кейін олардың түбірлерін біріктіру керек. Бірінші теңдеуді түбірлері 1 мен -1 сандары, ал екінші теңдеудің түбірлері 5 мен -2 сандары болады. Олай болса, 1,-1,2,-2 - бастапқы теңдеудің түбірлері.
Бір айнымалы бірнеше теңдеу әрбіреуі берілген теңдеулердің кемінде біреуінің түбірі болатындай айнымалының мәндерін табу керек болғанда теңдеулердің жиынтығы деп аталады. Мысалы, х2-1=0, x2-4=0. Әдетте жиынтық теңдеулерін бірінің астына бірін жазып, олардың алдына тік жақша қояды.
Айнымалы модуль белгісінің ішінде болатын теңдеулер. А санының модулі былай анықталады.
1 - мысал теңдеуін шешу керек.
Шешуі болса, онда не a=2, не a=-2. Бұл берілген теңдеу 3x-5=2, 3x-5=-2 теңдеулерінің жиынтығына пара-пар екенін білдіреді. 3x-5=2 теңдеуінен x-7/3 екенін табамыз; 3x-5=-2 теңдеуінен x=1 екенін табамыз. Жауабы: , x2=1
2 - мысал. теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Егер 2х-8>0 болса, онда және берілген теңдеу 2х-8=3x+1 түрінде келеді. Бұны былай жазуға болады: 2х-8>=0, 2х-8=3x+1 теңдеуінен x=-9 екенін табамыз. Алайда айнымалының бұл мәнінде 2х-8>=0 теңсіздігі орындалмайды, олай болса, табылған мән x=-9 берілген теңдеудің түбірі болмайды. Егер2х-8<0 болса, онда және берілген теңдеу 8-2x=3x+1 түрінде келеді. Бұны былай жазуға болады: 2х-8<0, 8-2x=3x+1, 8-2x=3x+1 теңдеуінен x=1.4 екенін табамыз 2·1,4-8<0 теңсіздігі дұрыс, олай болса, x=1.4 - берілген теңдеуді түбірі.
Жауабы: x=1.4
түріндегі теңдеуді геометриялық жолмен де шешуге болады.
Теңдеудің салдары ұғымы. Бөгде түбірлері. Екі теңдеу берілсін f1(x)=g1(x) (1), f2(x)=g2(x) (2). Егер (1) теңдеуінің әрбір түбірі (2) теңдеуінің де түбірі болса, онда (2) теңдеуі (1) теңдеуінің салдары деп аталады. Теңдеулердің пара-парлығы олардың әрбірі басқасының салдары болуын білдіретінін атап өтейік.
Теңдеуді шешу процесінде бастапқы теңдеудің салдары болатын теңдеуге келтіретіндей түрлендірулерді жиі қолдануға тура келеді. Салдар- теңдеуді бастапқы теңдеудің барлық түбірлері қанағаттандырады, бірақ салдар-теңдеудің олардан басқа, бастапқы теңдеудің шешімі болмайтын - бөгде түбірлер деп аталатын шешімдері де болуы мүмкін. Бөгде түбірлерді ажырату және шығарып тастау үшін әдетте салдар-теңдеу түбірлерінің бәрін бастапқы теңдеуге қою арқылы тексереді. Егер теңдеуді шешу кезінде біз оны салдар-теңдеумен ауыстырсақ, онда жоғарыда аталған тексеру теңдеуді шешудің ажырамас бөлігі болады. Сондықтан қандай түрлендірулер кезінде берілген теңдеу салдар - теңдеуге көшетінін білу маңызды.
f(x)=g(x) (3) теңдеуін қарастырайық та оның екі бөлігін де х-тің барлық мәндерінде мағыналы болатын һ(х) өрнегіне көбейтейік. Сонда f(x)h(x)=g(x)h(x) (4) теңдеуін аламыз, оның түбірлері (3) теңдеуінің түбірлері мен h(x)=0 теңдеуі түбірлерінің жиыны болады. Олай болса, (4) теңдеуі - (3) теңдеуінің салдары . Егер бөгде h(x)=0 теңдеуінің түбірлері жоқ болса, онда (3) пен (4) теңдеулері пара-пар екені айқын. Сөйтіп, егер теңдеудің екі бөлігін де х-тің кез келген мәндерінде мағыналы болатындай һ(х) өрнегіне көбейтсе, онда бастапқы теңдеудің салдары болатындай теңдеу алынады. h(x)=0 теңдеуінің түбірлері жоқ болған жағдайда алынған теңдеу бастапқы теңдеуге пара-пар болады. Кері түрлендіру, яғни (4) теңдеуінен оның екі бөлігін де һ(х) өрнегіне бөліп, (3) теңдеуіне көшу әдетте мүмкін бола бермейтінін, өйткені бұл шешімдердің жоғалуына әкеліп соғатынын ескерте кетейік. Мысалы, (х-2)(х-3)=2(x-3) теңдеуінің екі түбірі бар: 3 пен 4. Теңдеудің екі бөлігін де (х-3)-ке бөлу х-2=2 теңдеуіне әкеледі, бұның бір ғана түбірі бар, яғни бір түбір жоғалттық.
Тағыда (3) теңдеуін алайық оның екі бөлігінде квадрат дәрежеге шығарайық. Сонда түбірлері (3) теңдеуінің түбірлері мен бөгде f(x)=-g(x) теңдеуінің түрлері жиынтығы болатын (f(x))2=(g(x))2 (5) теңдеуін аламыз, яғни (5) теңдеуі (3) теңдеуінің салдары болады. Мысалы, х-1=3 теңдеуінің түбірі 4-ке тең. Егер х-1=3 теңдеуінің екі жағын да квадрат дәрежеге шығарсақ, онда (x-1)2=9 теңдеуін аламыз, оның екі түбірі бар: 4 пен -2. Олай болса (x-1)2=9 теңдеуі х-1=3 теңдеуінің салдары. х-1=3 теңдеуінен (x-1)2=9 теңдеуіне көшкен кезде x=-2 бөгде түбір пайда болды.
Сөйтіп, теңдеудің екі бөлігін де квадрат дәрежеге шығарғанда бастапқы теңдеудің салдары болатындай теңдеу алынады. Олай болса, аталған түрлендіру кезінде бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. Теңдеудің екі бөлігінде бір ғана тақ дәрежеге шығару берілген теңдеуге пара-пар болатын теңдеуге әкелетінін айта кетейік.
Айнымалы бөлшектің бөлімінде кездесетін теңдеулер.
р (x)/q(x)=0 (1)
түріндегі теңдеуді қарастырайық. (1) түріндегі теңдеуді шешу мына тұжырымға негізделген: m/n бөлшегі оның алымы нольге тең, ал бөлімі нольден ерекше болғанда және тек сонда ғана нольге тең. Бұл былай жазылады: m=0, n!=0. Осы айтылғандарға сәйкес берілген теңдеуді шешу екі кезеңге жүргізіледі: алдымен p(x)=0 теңдеуін шешу керек, содан кейін әр түбір үшін х айнымалысының табылған мәнінде q(x) бөлімі нольге айналуын тексеру керек. Егер q(x)!=0 болас, онда p(x)=0 теңдеуінің табылған түбірі (1) теңдеуінің де түбірі болады; егер q(x)=0 болса, онда p(x)=0 теңдеунің алынған түбірі (1) теңдеуінің түбірі болады.
Сонымен, p(x)=0 теңдеуі р (x)/q(x)=0 теңдеуінің салдары болады. р (x)/q(x)=0 теңдеуінен p(x)=0 теңдеуіне көшкен бөгде түбірлері пайда болуы мүмкін. Оларды q(x)!=0 шарты көмегімен шығарып тастауға болады.
Мысал, 3x-6/x2-x-2=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі 3x-6=0 теңдеуінен x=2 екенін табамыз. x=2 болғанда бөлшектің бөлімі x2-x-2 нольге айналатын болғандықтан, берілген теңдеудің түбірлері жоқ.
Теңдеудің анықталу облысы. f(x)=g(x) теңдеунің анықталу облысы деп f(x) өрнегінеде мағыналы болатындай х айнымалысының барлық мәндері жиыны айтады.
Мысалы, а) x[2]-5x=1+2x; б) x/x-1 +1/x-2=3 ; в) x- x-1= x-2; г)log3(x-3)=log3(5-x) теңдеулерінің анықталу облысын табу керек.
Шешуі. а) х2-5х пен 1+2х өрнектері х-тің барлық мәндері үшін анықталған. Олай болса, теңдеудің анықталу облысы - бүкіл сандық түзу.
б) х/х-1 өрнегі x=1 болғанда анықталмаған, ал 1/х-2 өрнегі x=2 болғанда анықталмаған. Олай болса, теңдеудің анықталу облысын х!=1, х!=2 шаттарымен беруге болады.
В) Жұп дәрежелі түбір оның астындағы өрнек теріс емес болғанда ғана мағыналы. Олай болса, х>=0,х-1>=0 жәнех-2>=0 шарттары бір мезгілде орындалуы керек. Бұл теңсіздіктердің бәрі х>=2 болғанда орынды, яғни [2;+) - теңдеудің анықталу облысы.
Г) Логарифм астындағы сан оң болуы, екі теңсіздік бір мезгілде орындалуы керек: х-3>0, бұдан х>3 және 5-х>0, бұдан х<5. Сөйтіп, (3;5) - теңдеудің анықталу облысы.
f(x)=g(x) теңдеуінің түбірлері оның анықталу облысында жатуы керек екені айқын. Бірақ кейде теңдеуді түрлендіру процесінде оның анықталу облысы өзгереді де барлық түрлендірулер нәтижесінде табылған айнымалы мәндерінің бірқатары f(x)=g(x) теңдеуінің анықталу облысында жатады, ал басқалары ол облыста жатпайды. Сонда біріншілері теңдеудің түбірлері болады, ал екіншілері теңдеудің түбірлері болмайды.
Солай 3х-6/х2-х-2 =0 теңдеуін шешкенде, оның анықталу облысы х2-х-2!=0 шартымен беріледі; біз 3х-6=0 теңдеуіне көштік, оның анықталу облысы - бүкіл сандық түзу. 3х-6=0 теңдеунің x=2 түбірі бар, ол бастапқы теңдеудің анықталу облысына жатпайды, демек ол бөгде түбір болады.
Жалпы қорытынды мынадай: егер теңдеуді түрлендірулер процесінде оның анықталу облысы кеңейсе, онда бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін . Сондықтан айнымалының табылған мәндерінің бәрін бастапқы теңдеуге қою арқылы немесе бастапқы теңдеудің анықталу облысы көмегімен тексеру керек.
Мысал. lg(x-5)=lg(2x-9) теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Егер lg a = lg b болса, онда логарифмдік функцияның бірсарындылығы салдарынан a=b . Олай болса, берілген теңдеуден x-5=2x-9 теңдеуіне көшуге болады, бұдан x=4. Бірақ берілген теңдеуден соңғы теңдеуге көшкенде анықталу облысы кеңейді; бастапқы теңдеуде ол х>5 теңсіздігімен берілсе, соңғы теңдеудің анықталу облысы бүкіл сандық түзу болады. Сондықтан x=4 табылған мәні соңғы теңдеудің түбірі болғанымен, бастапқы теңдеу үшін бөгде түбір болуы мүмкін. Берілген жағдайда дәл осылай, өйткені x=4 бастапқы теңдеудің анықтау облысына жатпайды. Сөйтіп, x=4 - бөгде түбір, яғни берілген теңдеудің түбірлері жоқ болады.

Рационал теңдеулер
Егер f(x) пен g(x) - рационал өрнектер болса, онда f(x)=g(x) теңдеуі рационал теңдеу деп аталады. Сонда, егер f(x) пен g(x) - бүтін өрнектер болса, онда теңдеу бүтін теңдеу деп, егер де f(x) ,g(x) өрнектерінің кемінде біреуі бөлшек болса, онда теңдеу бөлшек теңдеу деп аталады. Мысалы, сызықтық теңдеулер, квадраттық теңдеулер бүтін теңдеулер болады.
Рационал теңдеуді шешу үшін: 1) барлық бөлшектердің ортақ бөлімін табу керек.; 2) теңдеудің екі бөлігін де ортақ бөлімге көбейтіп, оны бүтін теңдеумен ауыстыру керек; 3) алынған бүтін теңдеуді шешу керек; 4) оның түбірлері ішінен ортақ бөлімге нольге айналдыратындарын шығарып тастау керек.
Мысал, 2/2-х+1/2=4/x(2-x) теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Теңдеудегі бөлшектердің ортақ бөлімі 2х(2-х) болады. Әр бөлшекке қосымша көбейткіштерді тауып, бөлімдерден құтыламыз. Сонда,
x2-6x+8=0 теңдеуінен x1=2 x2=4 екенін табамыз. Табылған түбірлер 2х(2-х) өрнегін нольге айналдыруын, яғни 2х(2-х)!=0 шартының орындалуын тексеру қалды. 2 бұл шартты қанағаттандыратынын байқамыз. Олай болса, x=4 - берілген теңдеудің жалғыз ғана түбірі.
p(x)=0 теңдеуін оның сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу әдісімен шешу. Бұл әдістің мәнісі мынада. p(x)=0 теңдеуін шешу керек болсын, мұндағы p(x) - n- дәрежелі көпмүшелік. Көпмүшелікті көбейткіштерге жіктеудің сәті түсті деп ұйғарайық.: p(x)=p1(x)∙p2(x)∙p3(x), мұндағы p1(x), p2(x), p3(x) - дәрежелері n - нен кіші көпмүшелектер. Сонда p(x)=0 теңдеуі p1(x)∙p2(x)∙p3(x)=0 түріне келеді. Егер а - p(x) теңдеуінің түбірі болса ,онда p1(а)∙p2(а)∙p3(а)=0 , ал сондықтан да p1(а), p2(а), p3(а) сандарының кемінде біреуі нольге тең. Олай болса, а - p1(x)=0, p2(x)=0, p3(x)=0 теңдеулерінің кемінде біреуінің түбірі болады. x=b- p1(x)=0, p2(x)=0, p3(x)=0 теңдеулерінің кемінде біреуінің түбірі болса, онда b- p1(x)∙p2(x)∙p3(x)=0 теңдеуінің, яғни p(x)=0 теңдеуінің түбірі болады.
Сөйтіп, егер p(x)=p1(x)∙p2(x)∙p3(x) болса, онда p(x)=0 теңдеуінің орнына p1(x)=0, p2(x)=0, p3(x)=0 теңдеулері жиынтығын шешу керек. Осы теңдеулердің табылған түбірлерінің бәрі және тек солар ғана p(x)=0 теңдеуінің түбірлері болады.
1-мысал x[3]+2x[2]+3x+6=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі: Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз: x2(x+2)+3(x+2)=0, бұдан (x+2)(x2+3)=0. Олай болса, не x+2=0, не x2+3=0. Бірінші теңдеуден x=-2, екінші теңдеудің түбірлері жоқ.
Жауап: x=-2
Көбейткіштерге жіктеу әдісі p(x)=0 түріндегі кез келген теңдеулерге қолданылады, мұндағы p(x) - тің көпмүшелік болуы міндетті емес; p(x)=p1(x)∙p2(x)∙p3(x)... болсын, бірақ p1(x)∙p2(x)∙p3(x)... өрнектері арасында көпмүшелікке қарағанда күрделілеу өрнектер бар болсын. p1(x)=0∙p2(x)=0∙p3(x)=0... теңдеулері түбірлерінің ішінде p(x)=0 теңдеуі үшін бөгде түбірлер болуы мүмкін.
2-мысал теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Теңдеу түрінде келеді, олай болса, не , не . теңдеуінен екенін, ал теңдеуінен екенін табамыз. Бірақ x=-3 , бастапқы теңдеуді қанағаттандырмайды, өйткені бұл мәнде өрнегі анықталмаған. x=-3 - бөгде түбір. Сөйтіп, теңдеудің екі түбірі бар: 3;0
147 Теңдеуі жаңа айнымалы енгізу әдісімен шешу. Бұл әдістің мәнісін мысалдармен түсіндірейік.
1-мысал (x[2]-3x)[2]+3(x[2]-3x)-28=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі x2-3x=y деп белгілеп, y2+3y-28=0 теңдеуін аламыз, бұдан y1=-7, y=4 екенін табамыз. Енді есеп x2-3x=-7, x2-3x=4, яғни x2-3x+7=0, x2-3x-4=0 теңдеулері жиынтығын шешуге келтіріледі. Бірінші квадраттық теңдеудің нақты түбірлері жоқ, өйткені оның дискрименанты теріс таңбалы. Екінші квадраттық теңдеуден x1=-1, x2=4 екенін табамыз. Бұл берілген теңдеудің нақты түбірлері.
2-мысал теңдеудің шешу керек.
Шешуі х2+2x-3=y деп белгілейік, сонда х2+2x-8=(x2+2x-3)-5=y-5 және теңдеу түрінде жазылады. Бұл теңдеуді шешіп, y1=12.5 және y2=-3 екенін аламыз. Бірақ х2+2x-3=y. Олай болса, х2+2x-3=12,5 және х2+2x-3=-3 немесе х2+2x-15,5=0 және х2+2x=0 теңдеулерін шешу қалды. Бірінші теңдеуден x1=0,5(-2+), x2=0,5(-2-) мәндерін табамыз; екінші теңдеуден x3=0, x4=-2 мәндерін аламыз. Сонымен берілген теңдеудің төрт түбірі табылды.
Биквадраттық теңдеулер
aх4+bx2+c=0 түріндегі теңдеу биквадраттық теңдеу деп аталады. Биквадраттық теңдеу жаңа айнымалы енгізу әдісімен шешіледі: x2=y деп алып ay2+by+c=0 (a!=0) квадарттық теңдеуіне келеміз.
Мысал. x[4]+4x[2]-21=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі x2=y деп белгілеп у2+4у-21=0 квадраттық теңдеуін аламыз, бұдан у1=-7, y2=3 екнін табамыз. Енді есеп у2=-7, y2=3 теңдеулерін шешуге келтіріледі. Бірінші теңдеудің нақты түбірлері жоқ, екінші теңдеуден , мәндерін табамыз, олар берілген биквадраттық теңдеудің түбірлері болады.
Теңдеулер құры арқылы есептерді шешу.
Теңдеулердің көмегімен физиканың, механиканың, экономиканың және басқа да қолданбалы ғылымдардың әралуна мәселелері келтірілетін көптеген есептер шешіледі. Бәрінен бұрын есептерді теңдеулердің көмегімен шешудің жалпы ретін, еске салайық .
1) Айнымалылар енгізіледі, яғни x, y, z әріптерімен белгісіз шамаларды не есепте табу талап етіледі, не олар іздеген шамаларды табу үшін қажет болады.
2) Енгізілген айнымалылардың және есепте берілген сандар мен олардың қатыстары көмегімен теңдеулер системасын құрылады.
3) Құрылған теңдеулер системасын шешеді де алынған шешімдерден есептің мағынасына сәкес келетіндерін іріктеп алады.
4) Егер x, y, z әріптерімен іздеген шамалар белгіленбесе, онда алынған шешімдердің көмегімен есептің сұрағына жауап табады.
1-есеп. 60т жүкті бір жерден енкінші жерге тасу үшін бірнеше машина керек еді. Жолдың сапасы нашар болғандықтан әр машинаға жүк 0,5 т ұйғарылғаннан кем артылды, сондықтан қосымша тағы 4 машина керек болды. Бастапқыда неше машина талап етілген еді?
Шешуі. Бастапқыда талап етілген машиналар саны х арқылы белгілейік. Сонда іс жүзінде х+4 машина шақырылды. 60т жүк тасу керек болғандықтан, бір машинаға тонна жүк арту ұйғарылған еді, ал іс жүзінде тонна жүк артылды, бұл ұйғарылғаннан 0,5 т кем. Нәтижеде біз теңдеуіне келеміз. Бұл теңдеудің екі түбірі бар: -24 пен 20. Есептің мағынасы бойынша -24 жарамайды. Сонымен, бастапқыда 20 машина талап етілді.
2-есеп. Жылдамдығы 20км/сағ болатын моторлы қайық өзен бойымен екі пункт арасындағы жолды екі бағытта 6сағ 15 мин жүріп өтті. Пункттердің арақашықтығы 60 км. Өзен ағысының жыолдамдығын табу керек.
Шешуі. х км/сағ - өзен ағысының жылдамдығы болсын. Сонда өз жылдамдығы 20км/сағ қайық ағын бағытымен сағатына (20+х)км, ал ағынға қарсы бағытта - (20-х)км жол жүреді. Ағын бағытымен жол жүруге сағ, ал ағынға қарсы жүруге сағ уақыт + теңдеуіне келеміз, оны шешіп, x=4 және x=-4 түбірлерін табамыз. x=-4 мәні есептің мағынасы бойынша жарамайтыны айқын. Сөйтіп, өзен ағынының жылдамдығы 4 км/сағ.
3-есеп. Бірліктерінің цифры ондықтарының цифрынан 2-ге үлкен және цифрларының қосындысына көбейтіндісі 144-ке тең болатын екіорынды санды табу керек.
Шешуі. Кез келеген екі орынды сан 10х+у түрінде жазыла алатынын еске салайық, мұндағы х - ондықтар цифры, ал у - бірліктер цифры. Шарт бойынша, егер ондықтар цифры х болса, онда бірліктер цифры х+2-ге тең; сонда (10x+(x+2))(x+(x+2))=144 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді шешіп, x1=2, x2=-35/11 екенін табамыз. Екінші түбір есептің мағынасы бойынша жарамайды. Сөйтіп, ондықтар цифры 2-ге, ал бірліктер цифры 4-ке тең; олай болса іздеген санымыз 24.
4-есеп. Екі жұмысшы бірге істеп қайсыбір жұмысты 6 сағ бітірді. Олардың біріншісі екіншісіне қарағанда жұмысты жеке істегенде 5 сағ тезірек бітіреді. Жеке істей отырып, олардың әрқайсысы сол жұмысты неше сағатта бітіреді?
Шешуі. Бұл есепті шешуден бұрын, мыналарды ескертейік: еңбек өнімділігі, яғни уақыт бірлігінде орындалған жұмыс, және барлық жұмысты орындауға кететін уақыт - өзара кері шамалар, яғни A=1. Сондықтан егер барлық жұмысты орындау үшін біріншщі жұмысшыға қажет уақытты х сағ, ал екінші жұмысшыға - қажет уақытты (х+5) сағ деп белгілесек, онда бір сағатта бірінші жұмысшы барлық жұмыстың бөлігін, ал екінші жұмысшы бөлігін орындайды. Шарт бойынша, олар бірігіп істегенде, барлық жұмысты 6 сағатта бітіреді. 6 сағатта бірінші жұмысшы жұмыстың 6/х бөлігін, ал екінші жұмысшы 6/(х+5) бөлігін біріреді. Екеуі жұмысты бірігіп орындағандықтан, яғни орындалған жұмыс 1-ге тең болғандықтан, біз теңдеуін аламыз, оны шешіп x=10 екенін табамыз.
Сөйтіп, барлық жұмысты бірінші жұмысшы 10 сағатта, ал екінші жұмысшы 15 сағатта орындай алады.
5-есеп . Қышқылмен толтырылған сыйымдылығы 54л ыдыстан біргеше литр қышқыл құйып алынды да оның соңғы орны сумен толтырылды, содан кейін тағы да алғашқыдай қоспа құйып аланды. Сонда ыдыста қалған қоспада 24л таза қыщқыл болды. Бірінші рет қагша қышқыл құйып алынды?
Шешуі Бірінші рет х литр қышқыл құйып алынған болсын. Сонда ыдыста (54-х) литр қышқыл қалады. Ыдысты сумен толтырып 54л қоспа аламыз. Онда 54-х литр қышқыл араласып кетеді. Олай болса, 1 л қоспада (54-х)/54 литр қышқыл болады. Екінші рет ыдыстан х л қоспа құйып алынды, оның ішінде х л қышқыл бар. Сонымен, бірінші рет х л қышқыл , екінші рет х литр қышқыл құйып алынды, ал екі ретте барлығы 54-24=30литр қышқыл құйып алынды. Осылардың нәтижесінде теңдеуіне келеміз. Бұл теңдеуді шешіп, екі түбір табамыз: x1=90, x1=18, x1=90 мәні есеп шартын қанағаттандырмайтыны айқын. Сөйтіп, бірінші рет 18л қышқыл құйып алынған.
6-есеп. Массасы 12 кг, құрамында 45% мыс бар, мыс пен қалайының қоспасы берілген. Жаңа қоспаның құрамында 40% мыс болатындай етіп бастапқы қоспаға қанша таза қалайы қосу керек?
Шешуі. Қосылған қалайының массасы х килограмм болсын. Монда құрамында 40% мыс болатын массасы (12+х) килограмм қоспа алынады. Олай болса, жаңа қоспада 0,4(12+х) килограмм мыс болады. Массасы 12 кг бастапқы қоспада 45% мыс бар еді, яғни онда 0,45 12 кг мыс болды. Бастапқы және жаң қоспалардағы мыстың массасы бірдей болғандықтан, 0,4(12+х)=0,45∙12 теңдеуіне келеміз. Бұл теңдеуді шешіп, х=1,5 екенін аламыз. Сонымен, бастапқы қоспаға 1,5 кг қалайы қосу керек екен.
7-есеп. Құрамында 5% және 40% никелі бар екі сорт болат берілген . Қайта қорынтқаннан кейін құрамында 30% никель болатындай 140т болат алу үшін берілген екі сорт болаттан қаншадан алу керек?
Шешуі. Бірінші сорт болаттан х тонна алынсын, сонда екінші сорт болаттан 140-х тонна алу керек. Бірінші сорт болатта 5 % никель бар; олай болса, бірінші сорт х тонна болатта 0,05х тонна никель бар. Екінші сорт болатта 40%никель бар еді; олай болса, (140-х) тонна екінші сорт болатта 0,4(140-х) тонна никель бар. Шарт бойынша алынған екі сорт болатты біріктіріп қорытқанда құрамында 30% никель бар 140т болат алынуы керек, яғни қорытылғаннан кейін алынған болатта 0,3∙140 тонна никель болуы керек. Ал никельдің бұл мөлшері бірінші сорт болаттағы 0,05х т никель мен екінші сорт болаттағы 0,4(140-х) никельден құралады. Сонымен, 0,05х+0,4(140-х) =0,3∙140 теңдеуіне келеміз, бұдан х=40 екенін табамыз. Демек, құрамында 5 % никель бар болаттан 40т және құрамында 40% никелі бар болаттан 100г алу керек.

Теңдеулерді графиктік шешу
Практикада көп жағдайларда теңдеулерді шешудің графиктік әдісі пайдалы болады. Ол әдістің мәнісі мынада: f (х)=0 теңдеуін шешу үшін y=F(х) функциясының графигін салады да графиктің О осімен қиылсу нүктелерінің абсциссаларын табады; осы абсциссалар теңдеудің түбірлері болады. Солай,ax+bx +c=0 теңдеуін шешу үшін y=ax+bx +c квадраттық функцияның графигін салып, осы графиктің Оосімен қиылысатын нүктелерінің абсциссаларын табу жеткілікті. Мысалы, y=-x+6x-5 функциясының графигі О осін (1;0) мен (5;0) нүктелерінде қияды, олай болса, -x+6x-5=0 теңдеуінің екі түбірі бар: x=1,x=5. y=x-4x+5 функциясының графигі абсциссалар осін қимайды, ендеше x-4x+5=0 теңдеуінің нақты түбірлері жоқ.
Көбінесе F(х)=0 теңдеуін өзіне пара - пар g(x)=h(x) теңдеуімен ауыстырады, содан кейін y=g(x) пен y=h(x) функцияларының графиктерін салады (егер оларды салу y=F(x) функциясының графигін салудан оңай болса) да салынған графиктердің қиылысу нүктесінің абсциссасын табады.
Солай, х3-3х+1=0 теңдеуін шешу үшін теңдеуді х3=3х-1 етіп түрдендіруге болады, содан кейін у=х3 пен у=-3х-1 функцияларының графиктерін салу керек те осы графиктердің қиылысу нүктесінің абсциссасын табу керек.
1-мысал. х-х-2=0 теңдеуін графиктік әдіспен шешу керек.
Шешуі. Теңдеуді х2=х+2 түрінде жазған ыңғайлы. Сонда теңдеуді шешу у=х2 пен у=х+2 функциялары графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табуға келтіріледі. У=х2 пен у=х+2 функцияларының графиктері бір ғана координаталар системасында салынған. Осы графиктердің А мен В қиылысу нүктелерінің аьсциссаларының анықтайық: хА=-1, хВ=2. Сонымен, берілген теңдеудің екі түбірі бар: -1;2.

Параметрі бар теңдеулер
Екі айнымалысы (х пен а) бар f(х,а)=0 теңдеуі берілсін. Егер а айнымалысының әрбір нақты мәні үшін бұл теңдеуді х-ке қатысты шешу есебі қойылса, онда f(x,a)=0 теңдеуі х айнымалысы және а параметрі бар теңдеу деп аталады. А параметрі бар теңдеуді шкешу а-ның әрбір мәні үшін осы теңдеуді қанағаттандыратындай х-тің мәндерін табу.
1-мысал. 2а(а-2)х=а-2 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Бәрәнен бұрын х-тің алдындағы коэффицентті нольге айналдыратындай параметрдің мәндерін (параметрдің бұл мәндерінде теңдеудің екі жғында да х-тің алдындағы коэффициентке бөлу мүмкін емес, ал параметрдің қалған мәндерінде мұндай бөлу мүмкін болады.) қарастырайық.Параметрдің осындай мәндері а=0 мен а=2 болады.a=0 болғанда теңдеу 0*x=-2 түріне келеді.Бұл теңдеудің түбірлері жоқ. a=2 болғанда берілген теңдеу 0*x=0 түрінде болады, оның түбірі- кез келген нақты сан. а нольге тең болмағанда және а екіге тең ьолмағанда теңдеуді х=(a-2)/2a(a-2)түріне түрлендіруге болады, бұдан x=1/2a екенін табамыз.
Сонымен, берілген теңдеудің а=0 болғанда түбірлері жоқ,а=2 болғанда оның түбірі кез келген нақты сан,ал а нольге тең болмаған жағдайда және а екіге тең емес болғанда теңдеудің түбірі х=1/2а саны болады.
2-мысал. (а-1)х2+2(2а+1)х+4а+3=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Параметрдің а=1 мәнін ерекше бөліп қарастырамыз. Өйткені а=1 болғанда берілген теңдеу квадраттық теңдеу емес,ал а 1-ге тең болмағанда ол- квадраттық теңдеу. Олай болса, теңдеуді осы жағдайдың әрқайсысында әртүрлі шешу керек. а =1 болғанда теңдеу 6х+7=0 түріне келеді, бұдан х=-7/6 екенін табамыз. А 1-ге тең болмаған жағдайда квадраттық теңдеу үшін оның дискремантын 0-ге айналдыратындай параметрдің мәндерін айрықша қарастырамыз. Сонда Д/4=5а+4.Олай болса а=-4/5 - параметрдің біз көңіл аударарлықтай мәні. Егер а<-4/5 болса,онда Д<0,демек а<-4/5 және а 1-ге тең емес болса, онда д>0 де біз
x=-((2a+1)+-[5a+4])/(a-1)
екенін аламыз, егер а=-4/5 болса, онда х=-(2а+1)/(а-1), яғни х=-1/3.
Сөйтіп, берілген теңдеудің а=-4/5 болғанда түбірлері жоқ а=1 болғанда х=-7/6;
а=-4/5 болғанда х=-1/3; а=-4/5 және а-ның мәні 1-ге тең болмағанда
х=-((2а+1)+-5а+4)/(а-1)
3-мысал. а параметрінің қандай мәндерінде х2+2(а+1)х+9а-5=0 теңдеуінің әртүрлі екі теріс түбірі бар болады.
Шешуі: Теңдеудің әртүрлі х1 мен х2 нақты түбірлері бар болуы керек болғандықтан, оның дискриминанты оң болуы тиіс.Сонда: Д=4(а+1)2-4(9а-5)=4а-28а+24=4(а-1)(а-6), олай болса, 4(а-1)(а-6)>0 теңсіздігі орындалуы керек.Виет теоремасы бойынша х1+х2 =-2(а+1), х1х2=9а-5 Шарт бойынша х1<0, х2<0 болғандықтан, -2(а+1)<0 және 9а-5>0. Осылардың нәтижесінде біз 4(а-1)(а-6)>0, -2(2а+1)<0, 9а-5>0 теңсіздіктер системасына келеміз. Системаның бірінші теңсіздігінен а<1,а>6 екінші теңсіздігінен а>-1 үшінші теңсіздігінен а>5/9 екенін табамыз Координаталық түзудің көмегімен не 5/9<а<1,не а>6 екенін табамыз.

Екі айнымалысы бар теңдеулер
Екі айнымалысы бар теңдеуді шешу. Екі айнымалысы бар f(х,у)=0 теңдеуін қарастырайық. Екі айнымалысы бар теңдеуді ақиқат теңдікке айналдыратындай айнымалылар мәндерінің пары теңдеудің шешімі деп аталады. Егер х пен у айнымалылары бар теңдеулер берілсе, онда оның шешімінің жазылуында бірінші орынға х-тің мәнін , екінші орынға у-ті қою қабылданған.Солай, (10,0), (16,2), (-2,-4) парлары х-3у10 теңдеуінің шешімдері болады, ал (1,5) пары ол теңдеудің шешімі емес.Бұл теңдеудің басқа да шешімдері бар. Оларды іздестіру үшін бір айнымалыны екінші айнымалы арқылы өрнектеу ыңғайлы, мысалы, х10+3у теңдеуін алып х-ті у арқылы өрнектеуге болады. У-тің кез-келген мәнін таңдап алып, х-тің сәйкес мәнін есептейміз.Мысалы, у=7 болса, онда х=10+7*3=31, олай болса,(31,7)пары теңдеудің шешімі олады,егер у=-2 болса, онда х=10+3*(-2) 4,олай болса,(4,-2) пары да берілген теңдеудің шешімі болады және т.с.с.
Бірдей шешімдерге ғана ие болатындай екі айнымалысы бар теңдеулер пара-пар теңдеулер деп аталады. Екі айнымалысы бар теңдеулер үшін теңдеулерді пара-пар түрлендірулер туралы 5.1 мен5.2 теоремалары орынды.
Екі айнымалысы бар теңеулер графигі. Екі белгісізі бар f(х,у)=0 теңдеуі берілсін Егер оның шешімдерінің бәрін координаталық жазықықта нүктелермен бейнелесек, онда жазықтықтағы нүктелердің қайсыбір жиыны алынады. Бұл жиын f(x,y)=0 теңдеуінің графигі деп аталады. Мысалы, у-х2=0 теңдеуінің графигі у=х2 параболасы; у-х=0 теңдеуінің графигі у=х түзуі ; у-3=0 теңдеуінің графигі 0х осіне параллель у= 3 түзуі; ал х+2=0 теңдеуінің графигі 0у осіне параллель х=-2 түзуі болады. Х-1+у-2=0 теңдеуінің графигі тек (1,2) нүктесі ғана болады, өйткені тек осы нүктенің координаталары ғана теңдеуді қанағаттандырады.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу және оның графигі. ах+ву=с (мұндағы х,у-айнымалылар, а,в,с-белгілі сандар) сызықтық теңдеу деп; а ен в сандары айнымалылар алдындағы коэфициенттер деп, с-бос мүше деп аталады.Айнымалылар алдындағы коэффициенттердің кемінде біреуі 0-ден ерекше болтындай кез келген сызықтық ах+ву=с теңдеуінің графигі түзу сызық болады, егер в=0 болса, онда бұл түзу Оу осіне параллель, егер а=0 болса, онда бұл түзу 0у осіне параллель. (с=0 болғанда ах+ву=с теңдеуінің грфигі координаталар бас нүктесі арқылы өтеді-ауд)
Мысал. 2х-3у=-6 теңдеуінің графигін салу керек.
Шешуі. Бұл сызықтық теңдеудің графигі түзу болады. Сол түзуді салу үшін оның екі нүктесін алу жеткілікті.2х-3у=-6 теңдеуіне х-тің орнына 0 мәнін қойып,-3у=-6 екенін аламыз, бұдан х=-3. Сөйтіп біз графиктің екі нүктесін таптық(0,2) және (-3,0). Олар арқылы түзу жүргізе отырып,2х-3у=-6 теңдеуінің графигін аламыз.
Егер сызықтық теңдеу 0*х+0*у=с түрінде болса, онда екі жағдай болуы мүмкін: 1) с=0 бұл жағдайда теңдеуді (х,у) пары қанағаттандырады, сондытан да теңдеудің графигі бүкіл координаталық жазықтық болады. 2) с 0-ге тең болмаған жағдайда теңдеудің шешімі жоқ, оның графигі бірде бір нүктені қамтымайды(бос жиын).

Теңдеулердің системасы
Екі айнымалысы бар екі теңдеу системалары. Пара-пар системалар. Екі айнымалысы бар екі теңдеу-f(x,y) мен g(x,y)=0 теңдеулері берілсін. Егер екі айнымалыс бар екі теңдеудің барлық ортақ шешімдерін табу есебі қоойылса, онда теңдеулер системасын шешу керек дейді. Системаның әр теңдеуін ақиқат теңдікке айналдыратындай айнымалылар мәндерінің әрбір пары теңдеулер системасының шешімі деп аталады. Системаны шешу-оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдері жоқ екенін дәлелдеу. Егер екі системаның бірдей шешімдері ғана бар болса,олар пара- пар деп аталады. Дербес жағдайда, егер екі системаның да шешімдері жоқ болса,онда олар пара-пар деп есептпледі.Теңдеулер системасын шешкенде, әдетте, оны өзіне пара-пар, бірақ біршама қарапайымдау немесе әлдеқандай себептерден едәір ыңғайлы системамен ауыстырады.Бұндай ауыстырудың мүмкіндігін келесі теоремалар білдіреді.
Т 5.5 Екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасы берілсін. Егер системаның бір теңдеуін өзгеріссіз қалдырып,ал екінші теңдеуін өзіне пара-пар теңдеумен ауыстырса, онда берілген системаға пара - пар система алынады.
Солай, х-3у=10, 3х-2у=2 мен х=3у+10, 3х-2у=2
системалары пара-пар.
Салдар. Егер системаның әр теңдеуін өзіне пара-пар теңдеуменауыстырса, онда берілген системаға пара-пар система алынады.
Солай, х-3у=10, 3х-2у=2 мен х=3у+10, х=(2у-2)/3
системалары пара-пар.
Т.5.6. Екі айнымалысы бар екі екі теңдеу системасы берілсін. Егер системаның бір теңдеуін өзгеріссіз қалдырып, ал екінші теңдеуді системаның екі теңдеуінің қосындысы мен айырымы арқылы ауыстырса, онда алынған система берілген системаға пара-пар.
Солай, , х-3у=10, 3х-2у=2 мен (х-3у)+(3х-2у)=10+2, 3х-2у=2 системалары пара-пар, біз х-3у=10 теңдеуін берілген система қосындысымен ауыстырдық та 3х-2у=2 теңдеуін өзгеріссіз қалдырдық.

Екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын ауыстыру әдісімен шешу. Ауыстыру әдісі келесі қадамдардан тұрады:
1) Системаның бір теңдеуін, онда у-ті х арқылы (немесе х-ті у арқылы) өрнектеп түрлендіреді.
2) Алынған өрнекті екінші теңдеудегі у-тің (х-тің) орнына қояды. Соның нәтижесінде бір айнымалысы бар теңдеу алынады.
3) Осы теңдеудің түбірлерін табады.
4) у-тің х арқылы (х-тің у арқылы) өрнегін пайдаланып, х-тің (у-тің) сәйкес мәндерін табады.
Мысал. х-3у=10, х2-24у=100 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Бірінші теңдеуден х=3у+10 өрнегін екінші теңдеудегі х-тің орнына қоямыз. Сонда (3у+10)2-24у=100 теңдеуін аламыз, бұдан у1=0, у2=-4 мәндерін табамыз. Х-тің сәйкес мәндерін х=3у+10 теңдеуінен табамыз. Егер у=0 болса, онда х=10; егер у=-4 болса, онда х=-2.Сөйтіп, системаныңекі шешімі бар: (-2,-4) және (10;0)
Екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын қосу әдісімен шешу. Қосу әдісі 5.5 және 5.6 теоремасына негізделген. Оның мәнісін мысалдармен түсіндірейік.
1-мысал. 2х+3у=7, 3х-у=16 теңдеулері системасын шешу керек.
Шешуі.Екінші теңдеудің екі жағында 3-ке көбейтіп 2х+3у=7, 9х-3у=48 системасын аламыз, ол 5.6 теорема бойынша берілген системаға пара-пар. Енді алынған системаның екі теңдеуін қосамыз. 5.6 теоремасы бойынша 2х+3у=7, (2х+9х)+(3у-3у)=7+48 системасы екінші системаға пара-пар. Бұл үшінші системаға өз кезегінде 2х+3у=7, 11х=55 теңдеуінен х=5 екенін табамыз.Осымәнді 2х+3у=7 теңдеуіне қойып,у=-1 екнін табамыз. Сөйтіп, (5;-1) үшінші системаның, оған пара-пар бірінші системаның да шешімі.
2-мысал. х2+у2-2х+у=0, 2х2+2у2+х-3у-5=0 теңдеулері системасын шешу керек.
Шешуі. Егер бірінші теңдеудің екі жағын да 2-ге көбейтіп, алынған теңдеуді системаның екінші теңдеуінен азайтсақ, айнымалылыпр екінші дәрежеде кездесетін мүшелер өзара жойылаады. ( 2х2+2у2+х-3у-5)-( 2х2+2у2 -4х+2у)=0, 5х-5у-5=0, бұдан х-у-1=0 теңдеуі келіп шығады. Сонда едәуір қарапайым системаға келеміз: . х2+у2-2х+у=0 , х-у-1=0 , оны ауыстыру әдісімен шешу оңай у=х-1,олай болса . х2 +(х-1)2-2х+(х-1)=0, 2х2-3х=0, х1=0, х2=1,5. Егер х=0 болса онда у=х-1=1, 5-1=0,5. Жауабы: (0;-1) және (1,5;0,5).
Екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын жаңа айнымалыларды енгізу әдісімен шешу. Жаңа айнымалылар енгізу әдісі екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын келесі тәсілдердің бірімен шешкенде пайдаланылады: 1) системаның бір ғана теңдеуі үшін бір жаңа айнымалы енгізіледі; 2) бірлен екі теңдеу үшін екі жаңа айнымалы енгізіледі.
1-мысал. х/у+у/х=13/6, х+у=5 системасын шешу керек.
Шешуі: х/у=z деп аламыз, сонда у/х=1/z және системаның бірінші теңдеуі z+1/z=13/6 түріне келеді.Алынған теңдеуді жаңа z айнымалысына қатысты шешейік. 6z[2]-13z+6=0, бұдан z1=2/3, z2=3/2. Сонымен, не х/у=2/3, яғни у=1,5х; не х/у=3/2, яғни х=1,5у.
Сөйтіп, берілген системаның бірінші теңдеуі екі теңдеуге ажырайды: у=1,5х және х=1,5у. Осыған сәйкес енді бізге екі системаның жиынтығын шешуге тура келеді: у=1,5х , х+у=5 Бірінші системадан х=2, у=3, екінші системадан х=3, у=2 екенін аламыз. Жаубы: (2;3) және (3;2).
2-мысал. х2+у2+х+у=32, ху+2(х+у)=26 теңдеулері системасын шешу керек.
Шешуі: х+у=u, xy=v деп алайық. Сонда х2+у2=(х+у)2-2ху=u[2]-2v u[2]-2v+u=32, v+2u=26 түріне келеді. Алынған системаны ауыстыру әдісімен шешуге болады. Екінші теңдеуден v-ны u арқылы өрнектеп, v=26-2u екнін және осы өрнекті бірінші теңдеуге қойып, u2-2(26-2u)+u=32 екенін аламыз: u2+5y-84=0, u1=-12, u2=7. Соған сәйкес v1=50, v2=12 екенін табамыз. Сөйтіп түрленген системаның екі шешімін таптық. U1=-12, u1=50 v2=7, және v2=12.
Бастапқы айнымалыларға қайта оралып, х+у=12, ху=50; х+у=7б ху=50 системаларының жиынтығын аламыз. Олардың әрқайсысын ауыстыру әдісімен шешуге болады. Бірінші системаның шешімдері жоқ, ал екінші системаның екі шешімі бар: (3;4) және (4;3). Бұлар бастапқы системаның да шешімдері болады.
.Екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын графиктік тәсілмен шешу. Екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын графиктік тәсілмен шешу үшін бір ғана координаталар системасында теңдеулердің графиктерін салу керек те осы графиктердің қиылысу нүктелерінің координаталарын табу керек: 3х+2у=5; 2х-у=8
Шешуі:3х+2у=5 теңдеуінің графигін (1,1) және (3,-2) нүктелері бойынша аламыз. Алынған түзулер параллель емес, олардың қиылысу нүктесі М(3;-2) болады. Ендеше, (3,-2)- берілген системаның шешімі.
2-мысал. х2+у2=5, ху=12 теңдеулері системасын графиктік тәсілмен шешу керек.
Шешуі: . х2+у2=5 теңдеуінің графигі центрі координаталар бас нүктесінде, радиусы 5-ке тең болатын шеңбер. ху=12 теңдеуінің графигі у=12/х гиперболасы. Осы гграфиктерді бір координаталар системасында салып, шеңбер мен гиперболаның қиылысу нүктелері (А,В,С,Д) координаталарын табамыз: А(4,3), В(3,4), С(-4, -3), Д(-3,-4).Олай болса, берілген системаның шешімдері мынадай (4,3), (3,4), (-4,-3), (-3,-4).
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің системасын зерттеу. Екі айнымалысы бар екі сызықтық теңдеудің системасы берілсін де анымалылардың алдындағ коффициенттердің бәрі нольден ерекше болсын:а1х+в1у=с1; а2х+в2у=с2. Бұл сызықтық теңдеулердің әрқайсысының графигі түзу болады.Егер а1:а2 тең емес в1:в2 болса, онда түзулер бір нүктеде қиылысады , егер а1:а2 = в1:в2=с1:с2. болса, онда түзулер беттеседі, егер а1:а2 = в1:в2 тең емес с1:с2 болса, онда түзулер параллель және беттеспейді. Бұдан екі айнымалысы бар сызықтық а1х+в1у=с1, а2+в2=с2 теңдеулері системасының а1:а2 тең емес в1:в2 болғанда бір ғана шешімі бар; а1:а2 = в1:в2=с1:с2 болғанда ақырсыз көп шешімі бар; а1:а2 = в1:в2 тең емес с1:с2 болғанда шешімдері жоқ екені шығады. Мысалы,5х+2у=3, 3х+4у=7 системасының бір ғана шешімі бар, себебі 5:3 тең емес 3:4; 2х-4у+1=0, 4х-8у+3=0 системасының шешімдері жоқ себебі 2:4= (-4):(-8) тең емес 1:3, 3х-у=4, 9х-3у=12 системасының ақырсыз көп шешімдері бар, өйткені (3:9)=(-1): (-3)=4:12.

Үш айнымалысы бар үш теңдеудің системасын шешу.Үш айнымалысы бар үш теңдеудің системасын қарастырайық: Ғ(x;y;z)=0,g(x;y;z)=0, h(x;y;z)=0.Бұл системаның шешімі деп система теңдеулерінің әрбіреуін қанағаттандыратындай сандардың әрбір үштігі аталады.Үш айнымалысы бар үш теңдеудің системасы үшін екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасы үшін пайдаланылған шешу әдістер қолданылады.
Мысал: x+y+z=2, 2x+3y+z=1, x2+(y+2)2+(z-1)2=9 теңдеулері системасын шешу керек.
Шешуі:Ауыстыру әдісін қолданамыз.Бірінші теңдеуден х-ті у пен z арқылы өрнектейік те нәтижені системаның екінші және үшінші теңдеулерге қояйық:Сонда:x=2-y-z, 2(2-y-z)+3y+z=1, (2-y-z)2+(y+2)2+(z-1)2=9 және әрі қарай x=2-y-z, y-z=-3, y2+z2+yz-3z=0 системасы алынады.. Осы системаның соңғы екі теңдеуі өз кезегінде екі айнымалысы бар екі теңдеудің системасын береді. Осы системаны ауыстыру әдісімен шешейік.Сонда:y=z-3, (z-3)2+z2+z(z-3)-3z=0,яғни y=z-3, z2-4z+3=0 болады.z2-4z+3=0 теңдеуінен z1=1, z2=3 екенін табамыз.y=z-3теңдеуінен сәйкес y1=-2, y2=0,ал x=2-y-z теңдеуінен x1=3, x2=-1 екенін табамыз.Сөйтіп, келесі шешімдерді алдық: (3;-2;1) және (-1;0;3).
Есептерді теңдеулер системаларын құру арқылы шешу.
1-есеп. Ара қашықтығы 30м болатын екі пунктен екі жаяу жолаушы бір-біріне қарсы бағытта жолға шықты.Егер бірінші жолаушы екіншіден 2сағ. бұрын шықса, онда олар екінші жолаушы жолға шыққаннан кейін 2,5сағ. өткенде кездеседі.Әр жолаушының жылдамдығы қандай?
Шешуі.Бірінші жолаушының жылдамдығы сағатына х км, ал екіншісінің - у км болсын.Егер бірінші 2 сағ. бұрын шықса, онда ол 4,5 сағ.,ал екінші кісі 2,5 сағ. жүреді. Бірінші жолаушының жүрген жолы 4,5х км,ал екіншісінікі-2,5у км. Олардың кездесуі жүрілген жолдарының қосындысы 30 км екенін білдіреді,яғни 4,5х+2,5у=30 - бірінші теңдеу. Егер екінші 2 сағ.бұрын шықса, онда ол 5 сағ. ал бірінші жолаушы 3 сағ. жүреді. Жоғарыдағыдай пайымдай отырып, екінші теңдеуге келеміз: 3х+5у=30. Осылардың нәтижесінде 4,5х+2,5у=30, 3х+5у=30 теңдеулері системасын аламыз,бұдан х=5,у=3 болады.Жауабы: бірінші жолаушы 5км\сағ.,екінші жолаушы 3км\сағ. жылдамдықпен жүреді.
2-есеп.Жинақ банкіне ақша салған адамның қорына бір жылдан кейін 6 сом проценттік ақша қосылды. Ол адам қосымша 44 сом салып қорын тағы да бір жылға қалдырды.Бір жыл өткеннен кейін тиісті процент қосылды да енді оның қоры проценттерді қоса есептегенде 257,5 сом болды.Бастапқыда жинақ банкіне неше сом салынды және банк жылына неше процент қосады?
Шешуі:Басында х сом салынсын да жинақ банкі жылына у% қоссын. Сонда бірінші жылдың соңында алғашқы қорға х·у/100 сом ақша қосылады. Шарт бойынша ху/100=6.Тағы 44сом салды, сонда қор екінші жылдың басында х+6+44, яғни (х+50) сом болды.Екінші жылдың соңында проценттерді қоса есептегенде қор (х+50+у/100(х+50)) сом болды да шарт бойынша ол 257,5 сомға тең.Бұл екінші теңдеуді құруға мүмкіндік береді:
х+50+у/100(х+50)=257,5. Сөйтіп біз екі айнымалысы бар екі теңдеу системасына келеміз:
ху/100=6, х+50+у/100(х+50)=257,5.
Екі теңдеуді де түрлендіріп, ху=600, 100х+50у=20150 системасы шығады.
Бұл системаны ауыстыру әдәсәмен шешуге болады.Екінші теңдеуден у=403-2х екенін табамыз. 403-2х өрнегін бірінші теңдеуге у-тің орнына қоямыз да х(403-2х)=600 теңдеуін аламыз, бұдан екі түбір табылады:200 бен 1,5. Тек бірінші түбір ғана есептің мағынасын қанағаттандыратыны айқын. у=403-2х теңдеуіне х-тің орнына табылған 200 мәнін қойып, у=3 екенін аламыз. Сөйтіп, бастапқы салынған ақша 200 сом, ал банк жылына 3% қосады екен.
Тақырып: Анықтауыштар және олардың қасиеттері.
Анықтама. 2-ші ретті анықтауыш деп төмендегідей жазылған, мәні формуламен есептелетін нақты санда айтады:
=
2-ші ретті анықтауыш 2 жолдан, 2 бағаннан тұрады. нақты сандары анықтауыштың элементтері деп аталады, оның 1-ші индексі жолдың номерін, 2-ші индексі бағанның номерін көрсетеді.
элементтері арқылы өтетін сызық анықтауыштың бас диоганалы деп аталады. Анықтауышта екінші (қосымша) диоганал да бар.
Анықтама. 3-ші ретті анықтауыш деп төмендегіше жазылған, мәні төменде келтірілген формуламен есептелетін нақты санды айтады:
.
Бұл формуланы мынадай схемамен көрсетуге болады:
(үшбұрыш ережесі)
Жалпы, n-ші ретті анықтауышты былай жазады:

Жоғары ретті анықтауыштарды анықтамасы арқылы есептеу мүмкін емес, сондықтан қасиеттерін пайдаланады.
Анықтама. Анықтауыштың сәйкес жолдары мен бағандарының орындарын ауыстырып жазу оны транспонирлеу деп аталады.
Қасиеттері:
1о. Транспонирлегеннен анықтауыштың мәні өзгермейді.
Ескерту. Бұл қасиет анықтауыштың жолдары мен бағандары тең құқылы болатынын көрсетеді. Сондықтан қалған қасиеттерін тек жолдар үшін ғана тұжырымдаймыз.
2о. Анықтауыштың бір жолына санға көбейтілген басқа жолын сәйкесінше қосқаннан мәні өзгермейді.
Ескерту. Осы қасиет жоғары ретті анықтауыштарды есептеуді жеңілдетуге қолданылады.
3о. Бір жолы ылғи нолден тұратын анықтауыштың мәні нолге тең болады.
4о. Екі жолы өзара тең анықтауыштың мәні нолге тең болады.
5о. Екі жолы пропорционал анықтауыштың мәні нолге тең болады.
6о. Бір жолы басқа жолдардың сызықтық комбинациясы болатын анықтауыштың мәні нолге тең болады.
7о. Анықтауыштың екі жолының орындарын ауыстырса, оның мәні қарама-қарсыға өзгереді.
8о. Егер анықтауыштың бір жолының барлық элементі к санына көбейтілсе, онда анықтауыштың өзінің мәні де к есе көбейеді.

Сұрақтар:
1. Егер 3-ші ретті анықтауыштың барлық элементі к санына көбейтілсе, оның мәні қалай өзгереді?
2. Егер n-ші ретті анықтауыштың барлық элементі к санына көбейтілсе, оның мәні қалай өзгереді?
Әдебиеттер: [1], [16], [14].

Тақырып: Минор және алгебралық толықтырма.
Анықтама. Берілген n-ші ретті анықтауышынан алынған кез келген к жол мен к бағанның қиылысында орналасқан элементтерден құралған анықтауышты к-сыншы ретті минор деп атайды.
Анықтама. Берілген анықтауыштың і-ші ретті жолы мен j-ші бағанын (ойша) сызып тастағанда қалған элементтерден құралған, (-1)i+j таңбасымен алынған, анықтауыш элементінің алгебралық толықтырмасы деп аталады және деп белгіленеді.

Теорема: n-ші ретті анықтауыштың мәні оның кез келген бір жолының (немесе бағанының) барлық элементін өздерінің алгебралық толықтырмаларына көбейтіп қосқанға тең.
Бұл теорема бойынша анықтауыштың мәнін есептеу оны жолы (немесе бағаны) бойынша жіктеу деп аталады. Жіктеу формулалары төмендегідей:
- анықтауышты і-ші жолы бойынша жіктеу формуласы (і=1,2,...,n).
- анықтауышты j-ші бағаны бойынша жіктеу формуласы (j=1,2,...,n).
Анықтауышты жолы немесе бағаны бойынша жіктеу арқылы есептеуді 2о қасиетін қолданып жеңілдетуге болады. Атап айтқанда, 2о қасиетті қолданып анықтауыштың бір жолының (немесе бағанының) біреуінен басқа элементтерін нолге айналдырады да, сол нолден өзге элементті өзінің алгебралық толықтырмасына көбейтеді.
Мысал,
-4-2-5 = = ·2·2=4(-16-45-12+24+10+36) = 4(-3) = - 12
Сұрақтар:
1. Анықтауышта 1-ші ретті минор неге тең?
2. n-ші ретті анықтауышта n-ші ретті минор неге тең?
Әдебиеттер: [15], [16].

Функция
Қабылдайтын мәндері Х және Y жиындарында жататын х пен y айнымалы шамаларын қарастырайық. Функция - айнымалы шамалар арасындағы тәуелдікті өрнектейтін математикалық ұғым. Егер мүмкін мәндер жиынтығынан алынған х-тің әрбір мәніне айнымалы у-тің белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда у айнымалы шамасы х айнымалы түрінде жазылады. әріпінің орнына басқа әріптер де /мыс. , т.б/ қолданылады.
(х) символын <<х элементіне ережесі қолданылған>> деп түсіну керек.
Х жиынының кез келген элементін бейнелейтін символ тәуелсіз айнымалы немесе функцияның аргументі деп, ал тәуелсіз айнымалыға немесе аргументке сәйкес элнментті бейнелейтін символ тәуелді айнымалы деп аталады. Х - функцияның анықталу жиыны, ал Y - функцияның мәндері қабылданатын жиын деп аталады.
Функция атауын алғаш рет Лейбниц қолданған. Латынша <<функция>> - <<жұмыс орындау>>, <<аргумент>> - <<негіз>> деген сөздер.
Мысалы, (х) = х болғанда х айнымалысы 3 мәнін қабылдауы мүмкін, оған сәйкес функцияның мәні болатын (3)=27 саны, ал ережесі х-тің сәйкес мәнін үшінші дәрежеге шығару амалы болады. Егер х-тің бір мәніне у-тің бір ғана мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің бір мәнді функциясы деп, ал егер х-тің бір мәніне у-тің бірнеше мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің көп мәнді функциясы деп атайды.

Функциялардың берілу тәсілдері.
y=f(x) функциясы берілген болуы үшін оның анықталу облысын және аргументтің берілген мәні бойынша оған сәйкес келетін у-тің мәнің табу ережесін көрсету қажет.
Функция мен тәуелсіз айнымалылар арасындағы тәуелділік формулалар арқылы /аналитикалық тәсіл/, сызықтар арқылы /графикалық тәсіл/, мәндер тізімі арқылы /таблицалық тәсіл/, сөйлемдер арқылы т.с.с берілуі мүмкін.
1. Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсіл - аргументтің берілген мәніне сәйкес келетін функция мәнін табу үшін қандай амалдар қолдану керектігін көрсететін формулалар болып табылады.
Мысалдар келтірейік.
1. у = х2 формуласы, анықталу облысы - сан осі (-, + ), ал, мәндерінің жиыны жарты түзу [0, + ) болатын функцияны өрнектейді.
2. у = формуласы, анықталу облысы [-1, 1] кесіндісі, ал мәндерінің жиыны [0, 1] кесіндісі болатын функцияны өрнектейді.

Функцияны аналитикалық тәсілмен өрнектейтін формулалар біреу немесе бірнешеу болуы мүмкін. Мысалы,
а/ у = (x) =

б) y = (x)=
б/ функциясы анықталу облысы (- , + ) болатын Дирихле[*] функциясы деп аталады.
Кейде функция тек қана сәйкестікті жазу арқылы берілуі мүмкін. Әрбір х>0 санына 1, 0 санына 0, ал әрбір х<0 санына - 1 сәйкес қойсақ, онда барлық сан өсінде анықталатын және 1, 0 және -1 үш мәнін қабылдайтын функцияға ие боламыз, бұл функция төмендегі үш теңдікпен беріледі:

(x) =

Бұл функцияны у = (х) = sign x деп бергілеп, оны былай оқиды: <<у тең сигнум х>>.
2. Графикалық тәсіл. Функция график арқылы берілу мүмкін. Графикті бірден сызатын әртүрлі аспаптар бар. Мысалы, атмосфералық қысымның тәулік ішіндегі өзгерісін автомат түрде жазатын аспап бар, оны барограф дейді. Динамо - машинадағы электр тоғында немесе көрнеуінде болатын тербелістерді өзі зажатын аспап бар, оны осцилограф дейді, т.с.с.
3. Таблицалық тәсіл. Функцияны таблица арқылы да беруге болады, яғни айнымалы х - тің мәндеріне сәйкес айнымалы у - тің мәндерін көрсетуге болады. Мұндай таблицалар көбінесе тәжірибе, байқау, эксперимент жүзінде тағайындалады. Мысалы, логарифмдер таблиасы, тригонометриялық функциялар таблицасы және олардың логарифмдерінің таблицасы оқырмандарға бұрынан таныс.
Негізгі элементар функциялар
Анықтама. Тұрақты функция у = с (c = const), көрсеткіш функция y = ax (a>0, a ) , дәрежелік функция у = xn /n - нақты сан/, логарифмдік функция y = logx (a>0, a)
тригонометриялық функциялар y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y = secx, y = cosecx, кері тригонометриялық функциялар y = arcosx, y = arctgx, y = arcsecx, y = arcsecx - негізгі элементар функциялар деп аталады.
Негізгі элементар функцияларға арифметикалық амалдар мен күрделі функция құру амалдарын ақырлы рет қолданудың нәтижесі болатын функция элементар функция болады.
Мысалы: y = + 3c sinx, y = , y = ax2, y= sinln1+- функциялар элементар функциялар.
Элементар функциялар негізінен төмендегі кластарға бөлінеді.
1. Көпмүшеліктер /полиномдар/.
y = Pn(x) = a+ax + ax2 + ...+axn
(n- бүтін сан, а, а, а, ..., а- тұрақты сандар, бұларды коэффициентер деп атайды, а) түріндегі функция бүтін рационал функция немесе n-дәрежелі алгебралық көпмүшелік сызықты функция деп аталады. Бірінші дәрежелі көпмүшелік сызықты функция деп аталады. Бұл функцияның анықталу облысы (-;+) интервалы.
2. Рационал функциялар. Екі бүтін рационал функциялардың қатынасы түрінде берілген
R(x) =
Функция бөлшек - рационал функция деп аталады, бұл жерде
b
Сонымен, бүтін және бөлшек рационал функциялар жиыны рационал функциялар класын құрайды.
3. Иррационал функциялар. Рационал функциялар мен көрсеткіші рационал болатын дәрежелі функцияларға төрт арифметикалық амалдар мен күрделі функция құру амалдарын ақырлы рет қолданудың нәтижесі болатын функцияны иррационал функция деп атайды.
Мысалы, y = , y = x+, y =
функциялары - иррационал функциялар.
4. Трансценденттік функия. Алгебралық емес элементар фукнция деп аталады. Тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар, сонымен қатар көрсеткіштік және логарифмдік функциялар трасценденттік функциялар қатарына жатады.
5. Күрделі функция. y = (x) және u = (x) екі функциялары берілсін және (х) функциясының мәндерінің жиыны (х) функциясының анықтау облысының ішкі жиыны болсын. Онда х-тің (х) функциясының анықталу облысынан алынған әрбір мәніне у-тің у = (u), u = (x) болатын мәнін сәйкес қоятын ережені және функциялының композициясы немесе күрделі функция деп атайды және оны = немесе [(x)] символдарымен белгілейді. u= (x) функциясы күрделі функцияның аралық аргументі деп аталады. Кейбір күрделі функцияларда бірнеше аралық аргументтер болуы мүмкін, мысалы, y = (u), u = (), = (x)
Практикада кездесетін функциялардың көпшілігі - күрделі функциялар, мысалы,
y = ln arccosx, бұл жерде y = lnu, u = arccos, = ax

Функцияның шегі
х жиынында анықталған y = (x) функциясы мен x(xx немесе хх) нақты саны берілсін. х жиынан х ден өзгеше және осы х - ге жинақты.
х
нүктелер тізбегін алайық. Онда y = (x) функциясын осф нүктелердегі мәндері де
(x ), (x, ..., (x),...
сан тізбегін құрайды.
I- анықтама. Егер үшін х шаманың x мәндерінен құралатын кез-келген х тізбегі х санына ұмтылғанда ((x)=b) болса, онда b саны y = (x) функциясының х = х нүктедегі /немесе х / шегі деп аталады. Бұл анықтаманы Гейне анықтамасы деп айталады.
Логикалық символ арқылы былай жазылады:
(x) = b
Функция шегінің Коши анықтамасы деп аталатың өкініші анықтамасы бар.
II анықтама. Егер белгілі бір b нақты саны мен кез- келген оң саны үшін функциясын анықталу жиынында жататын және 0< теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда (х) функциясының х х-ге үмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол b санына тең дейді де, былай жазады:
(x) =b
Логикалық символ арқылы бүл анықтама былай жазылады:

Көбінесе функциясының х нүктесіндегі бір жақтық шектері қарастырылады: оң жақтық шегі және сол жақтық шегі. Мүнда шектің анықтамасындағы х+хшарты х>x/немесе хх x
шарттарын қанағаттандыратың кез келген х саны үшін ((х)-b)< теңсіздігі орындалатын саны табылса, онда х х- ге оң жағынан ұмтылғында (х) функциясының оң жақты нақты мәнді шегі бар және ол b санына тең дейді де,
(x) =b

символымен белгілейді.
Функцияның сол жақты шегі дәл осылай анықталады да,
(x) =b
символымен белгілейді.

Функция шегінің геометриялық мағынасы 7- суретке берілген: y = b- және y = b+ түзулерін жүргізсек , (xжәне (xинтервалдарына сәйкес функцияның графигінің кесегі сол екі түзудің арасында жатады.
Тәуелсіз айнымалы х оң немесе теріс шексіздікке ұмтылғанда функция шекті санға ұмтылуы мүмкін.
Мысалы, (x) = (+)=b немесе(x) = (-)=b
Мұндай шектер функцияның ақырсыз нүктедегі шектері деп аталады.
III-анықтама. Егер белгілі бір b нақты саны мен кез-келген оң саны үшін х>теңсіздігін қанағаттандыратын барлық xX сандары үшін теңсіздігі орындалатын саны табылса, онда х +-ке ұмтылғанда (х) функциясы b санына ұмтылады дейді де, оны былай жазады:
(x) =b
хболғанда дәл осылай анықталады.
1 мысал.
табылсын.

2 мысал.

табылсын.

= =

Монотонды функцияның шегі.
Математикалық анализдің негізі ұғымдарының бірі - функцияның үздіксіздігі туралы ұғым. Бұл ұғым функцияның шегі туралы ұғыммен тығыз байланысты.
Х жиынында (х) функциясы және осы жиынға тиісті хнүктесі берілсін.
I анықтама. Егер (х) функциясы және осы нүктедегі мәні озара тең болса, яғни
(x) = (х) /I/
онда (х) функциясы х нүктеде үздіксіз деп аталады. (x) =x болғандықтан, /I/ теңдікті былай жазуға болады:
(x) = (),
яғни үздіксіз функция таңбасы мен шек таңбасының орның алмастырға болады.
Енді функция үздіксіздігінің <<>> тіліндегі анықтамасын қарастырайық.
II -анықтама. Егер әрбір оң саны бойынша теңсіздігін қанағаттандыратын және функциясының анықталу жиынынан алынған барлық х сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда функциясы Х жиынының хнүктесінде үздіксіз деп аталады.
Бұл анықтаманы логикалық символ арқылы былай жазуға болады:

Мысалы, (x) = 3x+2 сызықты функциясының сан осінің кез-келген х нүктесінде үздіксіз екендігін көрсетейік. Ол үшін екінші анықтаманың шарттарының орындалуын тексереуміз керек. Кез-келген хнүктесі мен оң санын алайықта, теңсіздігі орындалатындай санын таңдап алуға тырысайық. Егер тек ғана қанағаттандыратын х-тердегі қарастырсақ, онда болады. Енді теңсіздігі орындалуы үшін деп алсақ жеткілікті.
- кез-келген сан, ал х кез-келген нүкте болғандықтан (х)= 3х+2 функциясы сан осінің барлық нүктесінде үздіксіз болады.
х тәуелсіз айнымалының х нүктесіндегі өсімшесі ? ал (х) функциясының хнүктесіндегі - ке сәйкес өсімшесі болсын.
Теорема. Егер (x) функциясы Х жиынының хнүктесінде үздіксіз болса, онда болады.
Дәлелдеу. Егер (х) функциясы х нүктесінде үздіксіз болса, онда (x) = (х) болады. Бұдан
екендігі келіп шығады.
Сонымен, егер тәуелсіз айнымалылын х нүктесіндегі өсімшесі нольге ұмтылғанда оған сәйкес функциясының өсімшесі нольге ұмтылса, онда функциясы Х жиынының х нүктесінде үздіксіз болады екен. Теорема дәлелденді.
Егер кез-келген оң саны арқылы х теңсіздігін қанағаттандыратын және функциясының внықталу жиынынан алынған барлық х сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылатын болса, онда функциясын х нүктесінде оң жақтан үздіксіз деп атайды да, оны былай жазады:
(x) = (x)
Егер кез-келген оң саны арқылы х теңсіздігін қанағаттандыратын және функциясының внықталу жиынынан алынған барлық х сандары үшін
теңсіздігі орындалатын оң саны табылатын болса, онда функциясын х нүктесінде оң жақтан үздіксіз деп атайды да, оны былай жазады:
(x) = (x)
Егер y = (x) функциясы [a,b] сигментінің әрбір ішкі нүктесіде үздіксіз, және х=а нүктесінде сол жағынан үздіксіз болса, онда бұл функция [a,b] сегметінде үздіксіз деп аталады.

Функция үзіліс нүктелерінің классификациясы.
y = функциясының графигін х=0 нүктесінің төңірегінде қарастыратыратың болсақ, онда оның графигінің бөліктерге бөлінетінің көру қиын емес . х = (2к+1) нүктелерінің теңірегінде y = tgx функциясының да графигінің бөліктерге бөлінетіндігін көруге болады. Демек, x = 0 нүктесінде y = функциясы, ал х = (2к+1) нүктелерінде y = tgx функция үзіліс табады екен.
Анықтама. Егер (х) функциясы х0 нүктесінде үздіксіз болмаса, онда х нүктесі (х) функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Ал (х) функциясын хнүктесінде үзілісті функция деп атайды. Үзіліс нүктелерін бірінші және екінші түрдегі үзіліс нүктелері деп екі топқа бөледі.
Егер Х жиынының х нүктесінде функциясының оң және сол жақты нақты мәнді шектері бар болса, онда функциясы х нүктесінде жай немесе бірінші түрдегі үзілісті деп аталады.
саны (х) функциясының хнүктесіндегі секірмесі деп аталады. Егер (х) функциясының х нүктесіндегі секірмесі нольге тең болса, онда х нүктесі жөнделетін үзілісті нүкте деп аталады.

Sinx функциясы х=0 нүктесінде бірінші түрдегі үзіліске ие.
Егер х нүктесінде (х) функциясының кемінде бір жақты нақты мәнді шегі болмаса, немесе оң не сол жақты шектерінің бірі ақырсыз болса, онда (х) функциясы х0 нүктесінде екінші түрдегі үзілісті дейді.
Мысалы, (х) = функциясы х0 = 0 нүктесінде екінші түрдегі үзіліске ие.

Үздіксіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану.
Теорема. (х) және (х)функциялары х0 нүктесінде үздіксіз болсын. Онда (х) (x) және функциялары да осы х0 нүктесінде үздіксіз болады.
Дәлелдеуі. Х0 нүктесіндегі үздіксіз (x) және (х) функцияларының (х0) және (х0) шектері бар болғандықтан, шектер туралы теоремаларға сәйкес (х) (х), (х) (х) және функцияларының да шектері бар және олар (х0) (х0), (х) (х) және . Ал бүл шектер қарастырып жатқан функциялардың х0 нүктесіндегі мәндеріне тең. Онда анықтамаға сәйкес (х) (х), (х) (х) және функциялары х0 нүктесінде үздіксіз болады.

Негізгі элементар функциялардың үздіксіздігі.
Элементар функциялардың маңызды қасиеттерінің бірі - олардың өздері төңірегінде анықталған әрбр нүктеде үздіксіздігі.
Теорема. Кез-келген көпмүшелік сан өсінің әрбір нүктесінде үздіксіз.
Мысалы. 1. y = (х) = c функциясы, бұл жерде с - тұрақты сан осінде үздіксіз. Шындығында, үшін

2. (х) = х функциясы да тәуелсіз айнымалы х-тің әрбір мәні үшін үздіксіз болады. Алдын ала берілген оң мейлінше аз саны бойынша саны былай сайлап алайық: . Онда х-тің < теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздіктің орындалуы (х) = x функциясының х = хнүктесінде үздіксіздігін көрсетеді.
3. (х) =/n - оң бүтін сан/ функциясы өзінің анықталу жиынында үздіксіз.
Бұл функцияны (x) = x*x*x*...x түрде жазуға болады.
4. функциясы - көпмүшелігі берілсін. (n0 - бүтін сан, С0, С1, ...,Сn - кез келген сандар) y = xдәрежелі функция, ал көпмүшеліктін әрбір мүшесі екі үздіксіз функцияның көбейтіндісі /тұрақты және дәрежелі/. Демек, ол кез-келген х нүктесінде үздіксіз.
Сонымен, көпмүшелігі кез-келген х нүктесінде үздіксіз функциялардың қосындысы екен, онда ол да екз-келген х нүктесінде үздіксіз.
5. Бөлшек-рационал функция (P(x) және Q(x) алгебралық көпмүшеліктер) бөлімін нольге айналдырып жібермейтін х-тің әрбір мәні үшін үздіксіз.
Мысалы, функциясы х-тің -1 және-1-ден басқа барлық мәндері үшін үздіксіз.
6. sinx және cosx функциялары барлық нақты сандар жиынында үздіксіз яғни әрбір х нақты саны үшін.
және
Дәлелдеуі. >0 және хнақты сандары берілсін. Онда теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х сандары үшін

болады , яғни sinx функциясының үздіксіздігі дәлелдңнді.
(x)= cosx функциясының үздіксіздігі де дәл осылай дәлелденеді.
және
Функциялары аргумент х-тің мына /n- бүтін сан/ мәндерінен басқа барлық мәндері үшін үздіксіз.
7. arcsinx, arccosx, arctgx және arcctgx кері тригонометриялық функциялардың әрқайсысы өздерінің анықталу облыстарында үздіксіз.
8. (x)=ax функциясы тәуелсіз айнымалы х-тің әрбір мәні үшін үздіксіз болады.
9. =log тәуелсіз айнымалы х-тің әрбір мәні үшін үздіксіз.
7, 8 және 9 фактілердің дәлелдеулерін басқа оқулықтардан қараңыздар.

Бірінші тамаша шек
Теорема. функциясының х(х0) нольге ұмтылғандағы шегі 1-ге тең: /1/
Дәлелдеуі. Центрі 0 нүктесінде, радиусы R=1-ге тең дөнгелекті қарастырайық та, оның х-ке тең /радианымен өлшенген/ центрлік бұрышын алайық.

Сонда А0В секторының ауданы А0В үшбұрышының ауданынан артық, ал А0С үшбұрышының ауданынан кем болады.

бүдан sinx< xӘрбір 01< немесе /3/

/3/ теңсіздікті алдымен /-1/- ге көбейтіп, кейін 1-ді қоссақ, онда
0<1- /4/
болады.
болғандықтан, /4/ - теңсіздікті былай жазамыз:

0<<1 санын алайық, енді деп аламыз.
Онда 0<< теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін х< теңсіздігі орындалады, сондықтан . Демек, 1 саны функциясының х=0нүктедегі оң жақты шегі екен:
функциясы жұпп болғандықтан , бұл функцияның х=0 нүктедегі сол жақты шегі де 1-ге тең болады:

Сонымен,

Басқа көптеген шектерді есептеуде, бірінші тамаша шек қолданылады. /1/ формыладан мынадай салдар шығады:
1. 2. 3.
Мысал.

Бұд жерде ауыстыру жасаллды және х(х0) нольге ұмтылғанда y(y0) -те нольге ұмтылады.
Екінші тамаша шек
Теорема. функциясының х + ұмтылғандағы /немесе х-/ шегі е санына тең , яғни
/5/
Бұл теореманың дәлелдеуін бұрын е саның қарастырғанда келтіргенбіз /§10-қараныз/ .
/5/ шек екінші тамаша шек деп аталады.
Егер /5/ теңдікте десек, онда х+ болғанда айнымалы 0 ұмтылады да /5/ формула мына түрге келеді:

е саны жоғары математикада аса маңызды роль атқарады. Ол натурал логарифмдердің негізіне алынады. Логарифмдердің негізі е болатын системасы натурал логарифмдер деп аталады. /латынша - <<логарифмус натуралис>>/. Натурал логарифмдердің арнаулы таблицалары бар. Мысалы, ln1=0, ln2=0,63315...,ln3=1,09861...

Ақырсыз азаятын және ақырсыз үлкейетін функциялар
1 анықтама. Егер болатын болса, онда (х) функциясы х=xнүктесінде ақырсыз азаятын функция деп аталады.
х, х+, х-, хх+0, хх-0
болғандағы ақырсыз азаятын функциялар да дәл осылай аңықталады.
2-анықтама. Егер кез-келген оң саны арқылы теңсіздігін қанағаттандыратын Х жиынының х- ден өзгеше барлық х сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылатын болса, онда (х) функциясы Х жиынының х-хнүктесінде ақырсыз азаятын функция деп аталады.
Бұл анықтаманы логикалық символ арқылы былай жазуға болады:

Лемма. Егер y=f(x) функциясын тұрақты b саны мен ақырсыз азаятын (х) функцияның қосындысы түрінде, яғни (х)= b+(x) түрінде жазу мүмкін болса, онда
болады.
Дәлелдеуі. Егер болса, онда (х)=(х)-b, xX,
Керісінше, егер (х)=b+(x), xX және
Ақырсыз азаятын функциялар ақырсыз азаятын тізбектердің қасиеттеріндей қасиеттерге ие.
Келесі теорема дәлелдеусіз қабылдаймыз.
Теорема. Саны шектеулі хх жағдайдағы ақырсыз азаятын функциялардың алгебралық қосындысы мен көбейтіндісі, сонымен бірге хх0 жағдайдағы ақырсыз азаятын функцияның Х жиынында шенелген функцияға көбейтіндісі ақырсыз азаятын функция болады.
Ақырсыз азаятын функциялармен бірге ақырсыз үлкейетін функциялар да кездеседі.
3-анықтама. Егер болатын болса, онда (х) ақырсыз үлкейетін функция деп аталады. Ақырсыз азаятын функцияалр мен ақырсыз үлкейетін функциялардың арасындағы байланысты қарастыратын болсақ, онда:
а) ақырсыз үлкейетін функцияға кері функция ақырсыз азаятын функция болады;
б) ақырсыз азаятын функцияға кері функция ақырсыз үлкейетін