Бөлшек рационал өрнектер

Алгебралық өрнектерді түрлендіру

Дәреже

Анықтама: Бірдей көрсеткіштердің көбейтіндісін дәреже деп атайды.

а ٠ а•. . . •a=a ⁿ

a ⁿ өрнегі - дәреже, a - дәреженің негізі, n - дәреже көрсеткіші деп аталады.

Дәреженің нәтижесін табу амалын дәрежелеу деп атайды.

а ² өрнегін а - ның квадраты, а ³ өрнегін а - ның кубы деп атайды.

Егер n=1 болса, a ¹ =a сондықтан 1 дәреже көрсеткіші жазылмайды. Негізгі оң санды дәрежелегенде, оң сан шығады.

Мысалы: 6 ³ =6*6*6=216

Негізгі теріс санды жұп дәрежеге шығарғанда, оң сан шығады.

(-2) ⁴ = (-2) *(-2) *(-2) *(-2) =16

Негізгі теріс санды тақ дәрежеге шығарғанда, нәтижеде теріс сан шығады.

(-3) ³ = (-3) *(-3) *(-3) =-27

Дәреженің қасиеттері

an*am= an+m

Мысалы: 3 ⁴ *3 ⁵ = 3 ⁴⁺⁵ =3 ⁹

2. an÷am= an/am= an-m

Мысалы: 2 ⁷ *2 ² = 2 ⁷ /2 ² =2 ^7-2 =2 ⁵

(an)m=anm

Мысалы: (5 ² ) ³ = 5 ^2*3 =5 ⁶

(a*b)n=an*bn

Мысалы: (2 *3) ³ = 2 ³ *3 ³

(a/b)n= an/bn

Мысалы: (3 /4 ) ² = 3 ² /4 ²

a0=1

Мысалы: 9 ⁰ =1

Егер а≠0 және рационал сан болсын

а ^-n =1/a ⁿ

Мысалы: 7 ^-2 =1/7 ² =1/49

Салдар (a/b) ^-n =(b/a) ⁿ

Мысалы: а) (4/3) ^-3 = (3/4) ³ =3 ³ /4 ³ = 27/64

б) ( 1 2/3 ) ^-2 = ( 5/3 ) ^-2 = ( 3/5 ) ² = 3 ³ /5 ³ =9/25

Санның стандарт түрі

Анықтама: а- оң саны а ₁ * 10 ⁿ түрінде жазылса, ол өрнек а - ның стандарт түрде жазылуы деп аталады, мұндағы 1≤а ₁ <10, n - бүтін сан. n - санын берілген санның реті деп атайды.

Мысалы: 1. 2947=2. 947 * 10 ³

2. 0. 000918=9. 18 * 10 ^-4

Стандарт түрде жазылған сандармен амалдар орындауға болады.

Мысалы:

1. (5, 1 * 10 ⁴ ) * (1, 3 * 10 ³ ) =5, 1 * 1, 3 * 10 ⁴⁺³ =6, 63 * 10 ⁷

2. (5, 4 * 10 ⁵ ) ׃ (1, 5 * 10 ^-6 ) =(5, 4 ׃ 1, 5) * 10 ^5-(-6) =3, 6 * 10 ¹¹

1. 2. Арифметикалық түбір ұғымы

Арифметикалық түбірдің қасиеттері

Анықтама: а нақты санының n - ші дәрежелі түбірі деп, n- ші дәрежесі а- ға тең санды айтады.

Белгілеуі:

\[\bar{\surd{a}}\]

, мұндағы n

\[\in N\]

және n≠1

n - түбірдің көрсеткіші

а - түбір астындағы өрнек

Анықтама бойынша

\[\left({\sqrt{a}}\right)=a\]

Мысалы: 32 санының 5-дәрежелі түбірі 2 саны.

Жазылуы:
\[{\hat{\sqrt{32}}}=2\]
себебі 2 ⁵ =32

n = 2 болғанда а - ның түбірі
\[\sqrt{a}\]
өрнегімен жазылып, квадрат түбір деп аталады. Түбірді «радикал» терминімен ауыстыруға болады.

\[\bar{\sqrt{a}}\]

Мысалы: өрнектерінің мағынасы жоқ.

Жұп көрсеткішті түбірдің мағынасы болу үшін, түбір астындағы өрнек теріс емес мәнді қабылдауы керек.

Мысалы:

\[y={\sqrt{6-x}}\]

функциясының анықталу облысын табыңыз.

Шешуі: 6-х≥0 болу керек.

-х≥-6 теңсіздіктің екі бөлігін - 1 санына көбейтсек,

х≤6 х

\[\bigoplus\]

(-∞; 6]

Жауабы : (-∞; 6]

n - жұп сан, а >0 болғанда

\[\bar{\surd{a}}\]

өрнегінің екі мәні болады.

Мысалы :

\[\scriptstyle{\sqrt{16}}\]

=2 және

\[\scriptstyle{\sqrt{16}}\]

=-2

Анықтама:

\[\bar{\sqrt{a}}\]

өрнегінің (n - жұп сан) арифметикалық түбірі деп n - дәрежесі а - ға тең теріс емес санды айтады.

Мысалы:

өрнегінің арифметикалық түбірі 3.
Егер х4=81 теңдеуін шешкенде, х = ±деп, х1=-3; x2= 3 екі түбірін де жазу керек.
х2- 5 =0 теңдеуін шешіңіз.

Шешуі: х ² = 5 х =±
\[{\sqrt{5}}\]
яғни х ₁ =-
\[{\sqrt{5}}\]
; x ₂ =
\[{\sqrt{5}}\]

х4+ 4/25=0 теңдеуін шешіңіз.

х ⁴ =- 4/25 х=
\[\textstyle{\left|\!\!{\frac{-4}{25}}\right|\!\!{\frac{-4}{25}}}\]
өрнегінің мағынасы жоқ, сондықтан берілген теңдеудің шешімі де болмайды. n тақ сан болғанда,
\[\bar{\surd{a}}\]
өрнегінің а-ның кез келген мәнінде мағынасы болады.

Мысалы: 1)
\[\textstyle{\sqrt{\frac{-\ 32}{2A3}}}=-{\frac{2}{3}}\]

2) Теңдеуді шешіңіз: х ⁷ + 15 =0

Шешуі: х ⁷ =-15 х = -
\[7{\sqrt{-15}}\]
немесе х =
\[7{\sqrt{-15}}\]

Түбірдің қасиеттері

1.
\[\widehat{\mathcal{N}_{Q}}={}^{n}\sqrt{Q}\cdot{}^{n}\widehat{\mathcal{Y}\mathcal{I}}\]

Мысалы:
\[{}^{3\sqrt{8}\times}\]

2.

Мысалы:
\[\begin{array}{c}{{3\!\sqrt{27}}}\\ {{64}}\end{array}\]

3.
\[n\sqrt{a^{m}}\,=\,\bigl\{\imath\sqrt{a}\,\bigr\}^{n}\]

Мысалы:
\[^{3\sqrt{5^{4}}}=(^{3\sqrt{5}})^{4}\]

4.
\[n\sqrt{Q^{m}}\,=\,^{n k}\]

Мысалы:
\[2\sqrt{2^{3}}\,=\,^{2\cdot4\sqrt{2^{3\times4}}}\]

5.
\[n\sqrt{k\sqrt{Q}}~\longrightarrow~^{n k\sqrt{Q}}\]

Мысалы:
\[\bar{\sqrt3\sqrt3}\,=\,^{4\lambda\sqrt3}={}^{12\sqrt2}\]

Квадрат түбірлер үшін негізгі теңбе - теңдіктер

1.

Мысалы:
\[\sqrt{6^{2}}\]
=6

2. болса

Мысалы: Ықшамдаңыз:

\[{\sqrt{7-4{\sqrt{3}}}}={\sqrt{4-2\times4\times{\sqrt{3}}+3}}={\sqrt{\left(2-{\sqrt{3}}\right)}}=\left|2-{\sqrt{3}}\right|=2-{\sqrt{3}}\]

Себебі
\[2){\sqrt{3}}\]

Бөлщек көрсеткішті дәреже

Анықтама: а≥0 , m, n - натурал сандар болса,
\[\frac{m}{d{}^{n}}\,=\sqrt{Q^{m}}\]

Мысалы:

1)
\[3^{\frac{1}{2}}={\sqrt{3}}\]

2)
\[27^{\frac{1}{3}}={\sqrt{27}}=3\]

3)
\[{\sf G}^{\frac{3}{4}}={}^{4}\!\sqrt{64^{3}}\,={}^{4}\!\sqrt{\left(2^{6}\right)}\,={}^{4}\!\sqrt{2^{18}}\,=\,\sqrt{2^{9}}\]

4) есептеңіз:

\[(6.25)^{95}.{\frac{8\alpha1}{816}}{\frac{6.28}{\phi}}\cdot\ (c\ 4)^{1}.{\lambda}(0.343)^{9}=\]

Шешуі:

\[6.25^{0.5}=_{\frac{\alpha}{\mathrm{e}}}^{\frac{\alpha}{2}5}\frac{3^{5}}{100}\frac{\ddot{\vartheta}^{-}}{\frac{\alpha}{\vartheta}}=_{\frac{\zeta}{\mathrm{e}}}^{\frac{1}{2}}=\frac{\alpha^{25}{\vartheta}_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}}{4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]

2.
\[\begin{array}{r l}{\alpha{1}~{\frac{\partial^{0.25}}{6}}}\\ {\zeta{\frac{\ddot{\alpha}}{6}}}&{{}={\frac{\alpha{1}}{816}}{\frac{{\dot{\vartheta}}^{00}}{\dot{\phi}}}={\frac{\alpha}{\hat{\mathrm{e}}}}{\frac{1}{16}}{\frac{{\dot{\bar{\alpha}}}}{\dot{\bar{\phi}}}}={\frac{\dot{\sqrt{1}}}{\dot{\sqrt{16}}}}={\frac{1}{2}}}\end{array}\]

3.
\[\left(\left.\right.4\right)^{1}=\frac{1}{\left(\begin{array}{c}{{4}}\\ {{4}}\end{array}\right)}^{-1}\]

4.
\[(0.343)^{9}=1\]
олай болса,
\[{\frac{5}{2}}\times{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{e}}}\cdot{\frac{1}{\mathrm{d}}}{\overset{\bar{5}}{\phi}}A={\frac{5}{4}}+{\frac{1}{4}}={\frac{6}{4}}=1.5\]

Жауабы: 1, 5

Түбірлері бар өрнектерді түрлендіру мысалдары

Өрнекті ықшамдаңыз:

\[{\sqrt{8p}}\qquad{\sqrt{25}}+{\sqrt{18p}}={\sqrt{4{\sqrt{2p}}}}\cdot\,5+{\sqrt{9{\sqrt{2p}}}}=2{\sqrt{2p}}\cdot\,5+3{\sqrt{2p}}=5{\sqrt{2p}}-5\]

Өрнекті түрлендіріңіз:
Бөлшекті қысқартыңыз:
Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылыңыз:

а)
\[\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}\times\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2\Big(\sqrt{3}\Big)}=\frac{a\sqrt{3}}{2\times9}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\]

б)
\[\frac{4}{3\sqrt{16}}=\frac{4\times\sqrt{4}}{3\sqrt{16}\times\sqrt{4}}=\frac{4\times\sqrt{4}}{3\sqrt{64}}=\frac{4\times\sqrt{4}}{4}={}^{3}\sqrt{4}\]

в)
\[{\frac{4}{\sqrt{3}+5}}={\frac{4}{\sqrt{3}+5}}\times{\frac{\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}+5}}={\frac{4\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}+5}}={\frac{4\sqrt{3}-5}{0}}{\frac{2\lambda{\sqrt{3}}-5}{3}}={\frac{2\lambda{\sqrt{3}}-5}{\sqrt{3}-5}}={\frac{2\lambda{\sqrt{3}}-5}{\sqrt{3}}}={\frac{2\Theta(5-1)\Lambda}{21}}\]

Бөлшектің алымындағы иррационалдықтан арылыңыз:

г)
\[{\frac{7-{\sqrt{a}}}{49-{\ 7{\sqrt{a}}}+a}}={\frac{7-{\sqrt{a}}}{49-{7{\sqrt{a}}}+a}}{\frac{{\overline{{7}}}+{\sqrt{a}}}{7+{\sqrt{a}}}}={\frac{49-a}{7^{3}-{\sqrt{a}}}}={\frac{49-a}{343-a{\sqrt{a}}}}\]

5) Сандарды салыстырыңыз:

а)
\[\frac{2}{3}\sqrt{72},\sqrt{30},7\sqrt{2}\]

1)

2)
\[\sqrt{30}\]

3)
\[7\sqrt{2}\underline{{{-\sqrt{\gamma^{2}\times\chi}}}}\longrightarrow\sqrt{4\bf{9}.\underline{{{\chi}}}}\underline{{{-\sqrt{\Omega\mathrm{g}}\times}}}\underline{{{-\sqrt{\mathrm{g}\mathrm{g}}}}}\]
30<32<98 олай болса,
\[\sqrt{30},\frac{2}{3}\sqrt{72},7\sqrt{2}\]

б) Өсу ретімен орналастырыңыз:

Түбірдің көрсеткіштерін бірдей етіп аламыз.

1)
\[\sqrt3\ =\ ^{2.3\sqrt{3^{3}}}\ =\stackrel{6}{\sqrt27}\]

2)

3)
\[\hat{\langle118}\]
16<18<27 болғандықтан
\[3\sqrt{\lambda}\,_{?}\,6\sqrt{\vert\,\aleph_{\cdot}}\,\sqrt{\bar{3}}\]

6)

Квадрат түбірлері бар есептерді шығарғанда
\[{\sqrt{A\pm{\sqrt{B}}}}={\sqrt{\frac{A+{\sqrt{A^{2}-B}}}{2}}}\pm{\sqrt{\frac{A-{\sqrt{A^{2}-B}}}{2}}}\]

формуласын да пайдалануға болады.

Мысалы: Өрнекті ықшамдаңыз.
\[{\sqrt{2\,+{\sqrt{3}}}}\]

1 - тәсіл: А=2; B=3

2 - тәсіл: 2+
\[\sqrt{3}\]
өрнегін екі мүшенің қосындысының квадраты түрінде жазамыз.

\[2+\sqrt{3}=\frac{1}{2}\bigg(+2\sqrt{3}\bigg)=\frac{1}{2}\bigg(+2\sqrt{3}+3\bigg)=\frac{\bigg(1+\sqrt{3}\bigg)}{\sqrt{2}}=\frac{\alpha_{1}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\alpha_{1}+\sqrt{3}}{\P2}\frac{\frac{2}{\ddot{\phi}}}{\downarrow}{\sin}\bigg)\]

1. 3. Алгебралық өрнектердің түрлері туралы негізгі ұғымдар

1. Анықтама: Сандар мен айнымалылардан қосу, азайту, көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбір табу амалдары арқылы жасалған өрнектерді алгебралық өрнектер деп атайды.

Мысалы:

1)

2) 3
\[\begin{array}{r}{a^{5}+2a b^{4}+7}\\ {3{\sqrt{2a}}+{\cfrac{1}{c}}}\\ {6a-2)^{3}}\end{array}\]

3)

2. Анықтама: Алгебралық өрнекте айнымалыға бөлу амалы болмаса, ол өрнек бүтін деп аталады.

Мысалы:
\[1)a+b+{\frac{d}{10}}{\frac{d}{2){\bigg(}{\sqrt{2}}+a{\bigg)}}}\]

3. Анықтама: Құрамында айнымалыға бөлу амалы бар алгебралық өрнекті бөлшек алгебралық өрнек деп атайды.

\[\begin{array}{c}{{1}}\\ {{\frac{3}{x+b}}}\\ {{2){\frac{5}{x}}+y^{3}}}\end{array}\]

4. Анықтама: Бүтін және бөлшек өрнектерді біріктіріп, рационал өрнектер деп атайды.

5. Анықтама: алгебралық өрнектің құрамында айнымалыдан түбір табу немесе айнымалының бөлшек көрсеткішті дәрежесі болса, ондай өрнекті иррационал өрнек деп атайды.